請選擇直線的寫法（一般式或斜截式），再輸入係數和點的坐標。下方的數學式和輸入欄是連動的，直接改寫式中的數字也能計算。
請用半形輸入數字。可以使用小數、負數和 3/4 這樣的分數。x 或 y 項的係數空白時當作 1（x 就是 1x），常數項和坐標空白時當作 0。
計算結果與圖形
在左邊的輸入欄填入直線的係數和點的坐標，按下「計算」，結果和圖示就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入係數和坐標，就能當場算出點 \(\mathrm{P}(x_0,\ y_0)\) 到直線 \(ax + by + c = 0\) 的距離（從點到直線所作垂線的長度＝最短距離）
- 答案會同時以 \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\) 這種分母有理化後的精確值，以及小數（12 位有效數字）顯示
- 除了距離，也能求出垂足 \(\mathrm{H}\)（直線上離點 \(\mathrm{P}\) 最近的點）的坐標，以及垂線本身的方程式
- 直線可以用一般式 \(ax + by + c = 0\) 或斜截式 \(y = mx + k\) 輸入（用斜截式時，也會顯示化成一般式的過程）
- 兩條平行直線 \(ax + by + c_1 = 0\) 和 \(ax + by + c_2 = 0\) 的距離，也能在同一個畫面計算
- 計算結果也能在坐標平面的圖上確認。淺顯易懂的公式解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面
係數和坐標除了小數、負數，也能輸入像 3/4 這樣的分數。本頁處理的是平面（二維）上的直線。
這個計算有什麼用？
導航、地圖 App 判斷「現在開在哪條路上」
手機或汽車導航收到的定位資訊，有數公尺到數十公尺的誤差。如果直接把那個點畫出來，可能會顯示在建築物裡或稻田中間。所以地圖 App 會計算測得的點到附近每條道路（在地圖上是一連串線段）的距離，再把點移到最近的道路上。這叫做地圖匹配（map matching），核心就是點到直線的距離。
如果再求出垂足，就能知道您正在那條路的哪個位置，也就能告訴您距離下一個轉彎還有多遠。
在建築、土木的設計與測量中算出「與基準線的距離」
建築圖面上有柱中心線（軸線），道路和鐵路的設計有中心線等基準直線，柱子、牆壁、路緣石和樁的位置，都以「離基準線多遠」來指定。這個距離正是點到直線的距離。在工地，測量人員會用全站儀測得的坐標算出這個距離，再和設計值比對。
把路緣石放在離中心線半個路寬的位置，也就是沿著道路一再重複這個計算。
機器學習選出「分開兩個群體的界線」
一種叫做支援向量機（SVM）的分類方法，會在兩群資料之間畫一條線（高維度時是平面）。它會選擇離兩群資料點都盡量遠的線，而這個「多遠」就是點到直線的距離。一般認為，選擇間隔（margin）最寬的線，對還沒看過的資料比較不容易出錯。
在深度學習普及之前，它就是垃圾郵件過濾和影像分類的標準方法，訓練資料少的時候至今仍是很有力的選擇。
從照片或點雲中找出直線（影像處理、自動駕駛）
自動駕駛的車道辨識，以及掃描文件時的傾斜校正，都需要找出最符合一群偵測點的直線。直線配合得好不好，是把每個點到直線的距離平方後相加來衡量，選出總和最小的那條直線。
RANSAC 這種忽略離群值來配合直線的方法，也是用點到直線的距離來判斷：離直線在一定距離以內的點，就算是符合這條直線。
讓地圖或圖形的折線變輕量
在地圖 App 把畫面縮小時，海岸線和道路細小的彎曲會自動省略。這用的是 Ramer–Douglas–Peucker 演算法：找出離「連接路徑兩端的直線」最遠的點，若那個距離小於設定的上限，就把中間的點全部省略；若沒有，就在那個點把路徑切開，再重複同樣的檢查。
資料量大幅減少，形狀卻依然正確，是因為這個演算法用正確的距離衡量每個點「偏離直線多遠」。
公式與圖示
點到直線的距離
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(d\)
\(=\)
\(\left|a x_0 + b y_0 + c\right|\)
\(\div\)
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
點 \(\mathrm{P}\) 到直線的距離 \(d\)
\(=\)
①
把點的坐標代入 \(ax + by + c\) 的值的絕對值
\(\div\)
②
法向量的長度 \(\sqrt{a^2 + b^2}\)
用文字讀公式
①
把點的坐標 \((x_0,\ y_0)\) 代入 \(ax + by + c\) 的值的絕對值
除以
②
法向量 \((a,\ b)\) 的長度 \(\sqrt{a^2 + b^2}\)
，就得到
③
點 \(\mathrm{P}\) 到直線的距離 \(d\)
簡單範例
點 \(\mathrm{P}(4,\ 3)\) 到直線 \(x + 2y - 3 = 0\) 的距離是
距離 \(d\)
\(=\)
代入後的值的絕對值（\(|4 + 6 - 3| = 7\)）
\(\div\)
法向量的長度（\(\sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\)）
\(d = \dfrac{\left|1 \times 4 + 2 \times 3 + (-3)\right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \dfrac{7}{\sqrt{5}} = \dfrac{7\sqrt{5}}{5} \approx 3.13\)
思考重點
「點到直線的距離」是指從點到直線所作垂線的長度。直線上的點有無限多個，其中離點 \(\mathrm{P}\) 最近的只有垂足，到其他點的長度一定比較長（由直角三角形「斜邊比兩股長」的性質可知）。所以把「距離＝最短距離＝垂線的長度」當作定義，不會有疑義。
把 \(\dfrac{7}{\sqrt{5}}\) 改寫成 \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\) 叫做分母有理化。分母有根號時不容易看出數值大小，也不方便和其他值相加減，所以答案習慣寫成分母有理化後的形式。
\(a\) 和 \(b\) 都是 0 時，\(ax + by + c = 0\) 不是直線，這個公式不能使用。
為什麼這個公式能求出距離（用法向量說明）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(d\)
\(=\)
\(\left|\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\)
\(\div\)
\(\left|\vec{n}\right|\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
點 \(\mathrm{P}\) 到直線的距離 \(d\)
\(=\)
①
法向量與 \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) 的內積的絕對值
\(\div\)
②
法向量 \(\vec{n}\) 的長度
用文字讀公式
①
設直線上任意一點為 \(\mathrm{A}\)，與直線垂直的向量（法向量）為 \(\vec{n} = (a,\ b)\)，把
\(\vec{n}\) 與 \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) 的內積的絕對值
除以
②
法向量 \(\vec{n}\) 的長度 \(|\vec{n}|\)
，就得到
③
點 \(\mathrm{P}\) 到直線的距離 \(d\)
簡單範例
用直線 \(x + 2y - 3 = 0\) 上的點 \(\mathrm{A}(3,\ 0)\) 和點 \(\mathrm{P}(4,\ 3)\) 試算（\(\vec{n} = (1,\ 2)\)、\(\overrightarrow{\mathrm{AP}} = (1,\ 3)\)）
距離 \(d\)
\(=\)
內積的絕對值（\(|1 \times 1 + 2 \times 3| = 7\)）
\(\div\)
法向量的長度（\(\sqrt{5}\)）
\(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}} = 1 \times 1 + 2 \times 3 = 7\)
\(d = \dfrac{\left|7\right|}{\sqrt{5}} = \dfrac{7\sqrt{5}}{5} \approx 3.13\)
思考重點
把直線 \(ax + by + c = 0\) 中 \(x\) 的係數和 \(y\) 的係數直接排成向量 \(\vec{n} = (a,\ b)\)，它會和這條直線垂直，這叫做法向量。設直線上兩點為 \((x_1,\ y_1)\)、\((x_2,\ y_2)\)，兩點都滿足方程式，相減得到 \(a(x_2 - x_1) + b(y_2 - y_1) = 0\)，也就是 \(\vec{n}\) 與沿著直線的向量的內積為 0，所以兩者垂直。
點 \(\mathrm{A}\) 在直線上時 \(ax_1 + by_1 + c = 0\)，所以把 \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}} = a(x_0 - x_1) + b(y_0 - y_1)\) 展開，就會等於 \(ax_0 + by_0 + c\)。距離公式的分子之所以是「把點的坐標代入方程式的值」，原因就在這裡。
內積 \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) 等於「把 \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) 垂直投影到 \(\vec{n}\) 方向的影子長度」乘以 \(|\vec{n}|\)（正射影）。影子落在和 \(\vec{n}\) 相反的方向時正負號為負，所以取絕對值變成長度。
那為什麼這個影子的長度就是要求的距離？設垂足為 \(\mathrm{H}\)，可以把 \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) 拆成 \(\overrightarrow{\mathrm{AH}} + \overrightarrow{\mathrm{HP}}\) 兩段。\(\overrightarrow{\mathrm{AH}}\) 沿著直線，與 \(\vec{n}\) 垂直，在 \(\vec{n}\) 方向的影子是 0。剩下的 \(\overrightarrow{\mathrm{HP}}\) 與 \(\vec{n}\) 平行，影子就是它本身的長度，也就是點 \(\mathrm{P}\) 到直線的距離 \(d\)。點 \(\mathrm{A}\) 取在直線上哪裡答案都不變，因為移動的部分全都被 \(\overrightarrow{\mathrm{AH}}\) 吸收，不影響影子。
所以，把內積除以 \(|\vec{n}|\) 就回到距離。分母的 \(\sqrt{a^2 + b^2}\) 就是這個 \(|\vec{n}|\)。
直線為斜截式 \(y = mx + k\) 時的距離
數學寫法
（一般的數學式）
\(d\)
\(=\)
\(\left|m x_0 - y_0 + k\right|\)
\(\div\)
\(\sqrt{m^{2} + 1}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
點 \(\mathrm{P}\) 到直線的距離 \(d\)
\(=\)
①
把點的坐標代入 \(mx - y + k\) 的值的絕對值
\(\div\)
②
法向量 \((m,\ -1)\) 的長度 \(\sqrt{m^2 + 1}\)
用文字讀公式
①
先把直線 \(y = mx + k\) 改寫成 \(mx - y + k = 0\)，再把
把點的坐標代入 \(mx - y + k\) 的值的絕對值
除以
②
法向量 \((m,\ -1)\) 的長度 \(\sqrt{m^2 + 1}\)
，就得到
③
點 \(\mathrm{P}\) 到直線的距離 \(d\)
簡單範例
點 \(\mathrm{P}(4,\ 3)\) 到直線 \(y = 2x + 1\) 的距離是（化成一般式為 \(2x - y + 1 = 0\)）
距離 \(d\)
\(=\)
代入後的值的絕對值（\(|8 - 3 + 1| = 6\)）
\(\div\)
法向量的長度（\(\sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\)）
\(y = 2x + 1 \;\Longrightarrow\; 2x - y + 1 = 0\)
\(d = \dfrac{\left|2 \times 4 - 3 + 1\right|}{\sqrt{2^{2} + 1}} = \dfrac{6}{\sqrt{5}} = \dfrac{6\sqrt{5}}{5} \approx 2.68\)
思考重點
直線以 \(y = mx + k\) 的形式給出時，把右邊移到左邊，改寫成 \(mx - y + k = 0\)。和一般式 \(ax + by + c = 0\) 比較，\(a = m\)、\(b = -1\)、\(c = k\)，所以分母是 \(\sqrt{m^2 + (-1)^2} = \sqrt{m^2 + 1}\)。
也就是說，不必背新的公式，只要化成一般式再套用同一個公式即可。在本計算機選擇「斜截式」時，內部也會先化成一般式再計算，並在計算過程中顯示化簡的方法。
另外，與 \(y\) 軸平行的直線（例如 \(x = 3\)）斜率不存在，不能寫成 \(y = mx + k\) 的形式。這時請用一般式，輸入 \(a = 1\)、\(b = 0\)、\(c = -3\)。
垂足 \(\mathrm{H}\) 的坐標
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(\mathrm{H}\)
\(=\)
\(\left(x_0,\ y_0\right)\)
\(-\)
\(t\,(a,\ b)\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
垂足 \(\mathrm{H}\) 的坐標
\(=\)
①
點 \(\mathrm{P}\) 的坐標 \((x_0,\ y_0)\)
\(-\)
②
法向量 \((a,\ b)\) 的 \(t\) 倍
用文字讀公式
①
先求出倍率 \(t = \dfrac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}\)，再從
點 \(\mathrm{P}\) 的坐標 \((x_0,\ y_0)\)
減去
②
法向量 \((a,\ b)\) 的 \(t\) 倍
，就得到
③
垂足 \(\mathrm{H}\) 的坐標
簡單範例
從點 \(\mathrm{P}(4,\ 3)\) 到直線 \(x + 2y - 3 = 0\) 作垂線，垂足是（\(t = \dfrac{7}{5}\)）
垂足 \(\mathrm{H}\)
\(=\)
點 \(\mathrm{P}\) 的坐標（\((4,\ 3)\)）
\(-\)
法向量的 \(\dfrac{7}{5}\) 倍（\(\left(\dfrac{7}{5},\ \dfrac{14}{5}\right)\)）
\(t = \dfrac{1 \times 4 + 2 \times 3 + (-3)}{1^{2} + 2^{2}} = \dfrac{7}{5}\)
\(\mathrm{H} = \left(4 - \dfrac{7}{5} \times 1,\ \ 3 - \dfrac{7}{5} \times 2\right) = \left(\dfrac{13}{5},\ \dfrac{1}{5}\right)\)
思考重點
從點 \(\mathrm{P}\) 沿著與法向量 \(\vec{n} = (a,\ b)\) 平行的方向直直前進，一定會碰到直線，碰到的地方就是垂足 \(\mathrm{H}\)。就像 \(\mathrm{H} = (x_0,\ y_0) - t\,(a,\ b)\) 是減法一樣，倍率 \(t\) 表示「要往回走幾個 \(\vec{n}\) 才會到達直線」。\(t\) 為正時往 \(\vec{n}\) 的反方向走，為負時往 \(\vec{n}\) 的同方向走。
\(t\) 的分子和距離公式的分子（取絕對值之前的值）相同，分母是 \(a^2 + b^2\)，也就是 \(|\vec{n}|^2\)。距離公式只除以一次 \(|\vec{n}|\)，這裡卻除了兩次，是有原因的：要走的長度是距離 \(d\)，而一個 \(\vec{n}\) 的長度是 \(|\vec{n}|\)，所以需要的倍率是 \(d \div |\vec{n}|\)。把 \(d = \dfrac{\left|ax_0 + by_0 + c\right|}{|\vec{n}|}\) 代進去，就變成除以兩次 \(|\vec{n}|\) 的形式。
知道垂足之後，點 \(\mathrm{P}\) 對直線的對稱點也能馬上用 \(2\mathrm{H} - \mathrm{P}\) 求出。在幾何題中，這個對稱點常常就是解題的關鍵。
兩平行線的距離
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(d\)
\(=\)
\(\left|c_1 - c_2\right|\)
\(\div\)
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
兩直線的距離 \(d\)
\(=\)
①
常數項差的絕對值 \(|c_1 - c_2|\)
\(\div\)
②
法向量的長度 \(\sqrt{a^2 + b^2}\)
用文字讀公式
①
對於 \(x\) 和 \(y\) 的係數相同的兩直線 \(ax + by + c_1 = 0\)、\(ax + by + c_2 = 0\)，把
常數項差的絕對值 \(|c_1 - c_2|\)
除以
②
法向量的長度 \(\sqrt{a^2 + b^2}\)
，就得到
③
兩直線的距離 \(d\)
簡單範例
直線 \(x + 2y - 3 = 0\) 和直線 \(x + 2y + 7 = 0\) 的距離是
兩直線的距離 \(d\)
\(=\)
常數項差的絕對值（\(|-3 - 7| = 10\)）
\(\div\)
法向量的長度（\(\sqrt{5}\)）
\(d = \dfrac{\left|(-3) - 7\right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \dfrac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \approx 4.47\)
思考重點
兩直線是否平行，由 \(x\) 和 \(y\) 係數的比決定。對 \(a_1x + b_1y + c_1 = 0\) 和 \(a_2x + b_2y + c_2 = 0\) 來說，\(a_1b_2 - a_2b_1 = 0\) 時兩直線平行（這只是把「比相等」寫成乘法的形式，係數有 0 也能用）。例如 \(2x + 4y - 6 = 0\) 和 \(x + 2y + 7 = 0\) 滿足這個條件，所以平行。不過，係數不一致時不能用這個公式的分子，請先把其中一式乘以某個數，讓 \(x\) 和 \(y\) 的係數完全相同再套用。本計算機只輸入一組 \(x\)、\(y\) 的係數和兩個常數項，所以不用擔心忘記調整係數。
兩平行線的距離，不論在其中一條直線上的哪裡取點，值都一樣。所以只要想成「在一條直線上取一點，再用點到直線的距離公式求它到另一條直線的距離」，就能馬上導出這個公式。\(ax + by + c_1 = 0\) 上的點滿足 \(ax_0 + by_0 = -c_1\)，所以 \(|ax_0 + by_0 + c_2| = |c_2 - c_1|\)。
\(c_1\) 和 \(c_2\) 相等時，兩個式子表示同一條直線，距離是 0。反過來，不平行的兩直線一定相交於一點，沒有相隔的寬度，距離是 0。這就是這個公式只適用於平行線的原因。
點 \(\mathrm{P}(x_0,\ y_0)\) 到直線 \(ax + by + c = 0\) 的距離，只要把點的坐標代入方程式取絕對值 \(|ax_0 + by_0 + c|\)，再除以法向量 \((a,\ b)\) 的長度 \(\sqrt{a^2 + b^2}\) 就能求出。這個距離就是從點到直線所作垂線的長度，垂足是 \(\mathrm{H} = (x_0 - ta,\ y_0 - tb)\)，其中 \(t = \dfrac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}\)。
符號與用語解說
符號
| \(d\) | d | 常用來表示距離的字母，取自 distance（距離）的字首。本頁表示點到直線的距離（＝垂線的長度）。 |
| \(a,\ b,\ c\) | a、b、c | 直線方程式 \(ax + by + c = 0\) 的係數。\(a\) 是 \(x\) 前面的數，\(b\) 是 \(y\) 前面的數，\(c\) 是只有數字的項（常數項）。固定的數習慣用字母表前面的字母表示。 |
| \(x_0,\ y_0\) | x 零、y 零 | 要量距離的點 \(\mathrm{P}\) 的坐標。右下角的小 0 是下標，用來表示「不是會變動的變數 \(x\)，而是某個特定點的坐標」。 |
| \(\mathrm{P},\ \mathrm{H},\ \mathrm{A}\) | P、H、A | 點的名稱。\(\mathrm{P}\) 取自 point（點），\(\mathrm{H}\) 是習慣上用來表示垂足的字母（可聯想成高 height 的垂足），\(\mathrm{A}\) 是在直線上取的輔助點。 |
| \(\left|\ \right|\) | 絕對值 | 絕對值的符號。裡面是正數就不變，是負數就去掉負號（\(|-7| = 7\)）。距離不會是負的，所以公式中會把代入後的值取絕對值。 |
| \(\sqrt{\ }\) | 根號 | 表示平方根（平方後等於裡面的數、且大於或等於 0 的數）的符號。\(\sqrt{5}\) 是平方後等於 5 的數。據說這個符號來自 radix（根）的字首 r 拉長的形狀。 |
| \(\vec{n}\) | 向量 n | 法向量：表示與直線垂直方向的向量，取 normal（法線、垂直）的字首 n。直線 \(ax + by + c = 0\) 的法向量是 \(\vec{n} = (a,\ b)\)。 |
| \(\left|\vec{n}\right|\) | 向量 n 的長度 | 向量的長度（箭頭的長度）。\(\vec{n} = (a,\ b)\) 時 \(|\vec{n}| = \sqrt{a^2 + b^2}\)，這就是距離公式的分母。 |
| \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) | 內積 | 兩個向量的內積：把對應的分量相乘再相加（\((a,\ b)\) 和 \((p,\ q)\) 就是 \(ap + bq\)），表示兩個方向有多一致。中間的點是和一般乘法不同的運算符號。 |
| \(t\) | t | 表示從點 \(\mathrm{P}\) 走幾個法向量才會到達直線的倍率。像這樣會變動的數，習慣用 \(t\)（取自 time）表示。 |
| \(m,\ k\) | m、k | 斜截式 \(y = mx + k\) 的斜率與 y 截距。\(m\) 是世界通用的斜率符號。y 截距在課本上常寫成 \(b\)（\(y = mx + b\)），但本頁為了不和一般式的 \(b\) 混淆，使用 \(k\)。 |
| \(c_1,\ c_2\) | c 1、c 2 | 兩條平行線各自的常數項。右下角的小數字是下標，用來區分「第 1 條」「第 2 條」。 |
| \(\ell_1,\ \ell_2\) | l 1、l 2 | 直線的名稱。表示直線的字母，習慣用 line（直線）的字首 l 的草寫體 \(\ell\)。 |
用語
| 點到直線的距離 | 從點到直線所作垂線的長度。它比到直線上其他任何點的長度都短，所以也是點與直線的「最短距離」。在高中數學的坐標幾何學習。 |
| 垂線 | 與某條直線垂直相交的直線或線段。從點到直線作垂線，垂線的長度就是點到直線的距離。 |
| 垂足 | 從點所作的垂線與原直線的交點，也是直線上離那個點最近的地方。 |
| 一般式 | 把直線方程式寫成 \(ax + by + c = 0\) 的形式。與 \(y\) 軸平行的直線（例如 \(x = 3\)）也能寫，所以所有直線都能用同一個形式處理。 |
| 斜截式 | 把直線方程式寫成 \(y = mx + k\) 的形式（課本上常寫成 \(y = mx + b\)）。斜率和與 \(y\) 軸的交點一目了然，但與 \(y\) 軸平行的直線無法這樣寫。 |
| 法向量 | 表示與直線（或平面）垂直方向的向量。直線 \(ax + by + c = 0\) 的法向量是 \((a,\ b)\)。點到直線的距離公式，就是在求沿著這個法向量方向量出的長度。 |
| 內積 | 由兩個向量算出一個數的計算：對應分量相乘再相加（\((a,\ b)\cdot(p,\ q) = ap + bq\)），也等於 \(|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\)。值為 0 時兩個向量垂直。 |
| 正射影 | 把一個向量沿另一個向量的方向垂直投影所得的影子。點到直線的距離，就是 \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) 投影到法向量方向的影子長度。 |
| 絕對值 | 去掉正負號後的大小，相當於數線上與 0 的距離（\(|-7| = 7\)，\(|7| = 7\)）。距離不會是負的，所以公式中使用絕對值。 |
| 分母有理化 | 把分子和分母乘上相同的數，消去分母中的根號。例如把 \(\dfrac{7}{\sqrt{5}}\) 的分子和分母都乘以 \(\sqrt{5}\)，得到 \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\)。台灣在國中八年級學習，答案習慣寫成這種形式。 |
| 平行 | 兩直線不相交（不論延長多遠都不會碰到）的關係。對 \(a_1x + b_1y + c_1 = 0\) 和 \(a_2x + b_2y + c_2 = 0\) 來說，\(x\) 和 \(y\) 係數的比相等（寫成式子是 \(a_1b_2 - a_2b_1 = 0\)）時，兩直線平行或重合。常數項的比也相同時，兩直線重合。 |
| 對稱點 | 對某條直線像照鏡子一樣翻折過去的點。知道垂足 \(\mathrm{H}\) 之後，點 \(\mathrm{P}\) 的對稱點可以用 \(2\mathrm{H} - \mathrm{P}\) 求出。 |
| 坐標平面 | 畫出 \(x\) 軸和 \(y\) 軸，讓平面上的點能用 \((x,\ y)\) 表示的平面。好處是能把幾何問題轉換成式子的計算。 |
建議先了解的基礎知識
為了讓您「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了事先了解會更好懂的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習這些內容是最快的捷徑。
| 坐標平面與點的坐標（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 直線方程式（國中八年級～高中一年級，13～16 歲） |
|
| 平方根與分母有理化（國中八年級，13～14 歲） |
|
| 絕對值（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 畢氏定理與兩點距離（國中八年級～高中一年級，13～16 歲） |
|
| 向量與內積（高中二年級，16～17 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「點到直線的距離」的表格
| x 的係數 a | 1 |
| y 的係數 b | 2 |
| 常數項 c | -3 |
| 點 P 的 x 坐標 | 4 |
| 點 P 的 y 坐標 | 3 |
| 分子 |a*x0+b*y0+c| | =ABS(B1*B4+B2*B5+B3) |
| 分母 √(a^2+b^2) | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 距離 d | =B6/B7 |
驗證「用法向量說明」的表格
| x 的係數 a | 1 |
| y 的係數 b | 2 |
| 直線上點 A 的 x 坐標 | 3 |
| 直線上點 A 的 y 坐標 | 0 |
| 點 P 的 x 坐標 | 4 |
| 點 P 的 y 坐標 | 3 |
| 內積 n·AP | =B1*(B5-B3)+B2*(B6-B4) |
| 法向量的長度 |n| | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 距離 d | =ABS(B7)/B8 |
求「斜截式時的距離」的表格
| 斜率 m | 2 |
| y 截距 k | 1 |
| 點 P 的 x 坐標 | 4 |
| 點 P 的 y 坐標 | 3 |
| 距離 d | =ABS(B1*B3-B4+B2)/SQRT(B1^2+1) |
求「垂足 H 的坐標」的表格
| x 的係數 a | 1 |
| y 的係數 b | 2 |
| 常數項 c | -3 |
| 點 P 的 x 坐標 | 4 |
| 點 P 的 y 坐標 | 3 |
| 倍率 t | =(B1*B4+B2*B5+B3)/(B1^2+B2^2) |
| H 的 x 坐標 | =B4-B1*B6 |
| H 的 y 坐標 | =B5-B2*B6 |
求「兩平行線的距離」的表格
| x 的係數 a | 1 |
| y 的係數 b | 2 |
| 第 1 條的常數項 c1 | -3 |
| 第 2 條的常數項 c2 | 7 |
| 距離 d | =ABS(B3-B4)/SQRT(B1^2+B2^2) |
貼上後，上方的列（係數和坐標）就是輸入欄，下方的列會自動算出結果。
「^」是次方，ABS 是取絕對值，SQRT 是求平方根。
第一個表格是點 (4, 3) 和直線 x + 2y - 3 = 0 的例子，分子是 7，分母約 2.2360679775，距離約 3.1304951685。
第二個表格驗證用「法向量與 AP 的內積 ÷ 法向量的長度」也能求出同樣的距離。內積是 7，距離約 3.1304951685，和第一個表格相同。
第三個表格是點 (4, 3) 和直線 y = 2x + 1 的例子，距離約 2.683281573。
第四個表格得到 1.4、2.6、0.2，所以垂足是 (2.6, 0.2) = (13/5, 1/5)。
第五個表格是 x + 2y - 3 = 0 和 x + 2y + 7 = 0 的距離，答案約 4.472135955。
「^」是次方，ABS 是取絕對值，SQRT 是求平方根。
第一個表格是點 (4, 3) 和直線 x + 2y - 3 = 0 的例子，分子是 7，分母約 2.2360679775，距離約 3.1304951685。
第二個表格驗證用「法向量與 AP 的內積 ÷ 法向量的長度」也能求出同樣的距離。內積是 7，距離約 3.1304951685，和第一個表格相同。
第三個表格是點 (4, 3) 和直線 y = 2x + 1 的例子，距離約 2.683281573。
第四個表格得到 1.4、2.6、0.2，所以垂足是 (2.6, 0.2) = (13/5, 1/5)。
第五個表格是 x + 2y - 3 = 0 和 x + 2y + 7 = 0 的距離，答案約 4.472135955。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「點到直線的距離」的表格
| x 的係數 a | 1 |
| y 的係數 b | 2 |
| 常數項 c | -3 |
| 點 P 的 x 坐標 | 4 |
| 點 P 的 y 坐標 | 3 |
| 分子 |a*x0+b*y0+c| | =ABS(B1*B4+B2*B5+B3) |
| 分母 √(a^2+b^2) | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 距離 d | =B6/B7 |
驗證「用法向量說明」的表格
| x 的係數 a | 1 |
| y 的係數 b | 2 |
| 直線上點 A 的 x 坐標 | 3 |
| 直線上點 A 的 y 坐標 | 0 |
| 點 P 的 x 坐標 | 4 |
| 點 P 的 y 坐標 | 3 |
| 內積 n·AP | =B1*(B5-B3)+B2*(B6-B4) |
| 法向量的長度 |n| | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 距離 d | =ABS(B7)/B8 |
求「斜截式時的距離」的表格
| 斜率 m | 2 |
| y 截距 k | 1 |
| 點 P 的 x 坐標 | 4 |
| 點 P 的 y 坐標 | 3 |
| 距離 d | =ABS(B1*B3-B4+B2)/SQRT(B1^2+1) |
求「垂足 H 的坐標」的表格
| x 的係數 a | 1 |
| y 的係數 b | 2 |
| 常數項 c | -3 |
| 點 P 的 x 坐標 | 4 |
| 點 P 的 y 坐標 | 3 |
| 倍率 t | =(B1*B4+B2*B5+B3)/(B1^2+B2^2) |
| H 的 x 坐標 | =B4-B1*B6 |
| H 的 y 坐標 | =B5-B2*B6 |
求「兩平行線的距離」的表格
| x 的係數 a | 1 |
| y 的係數 b | 2 |
| 第 1 條的常數項 c1 | -3 |
| 第 2 條的常數項 c2 | 7 |
| 距離 d | =ABS(B3-B4)/SQRT(B1^2+B2^2) |
和 Excel 相同的公式可以直接使用。把表格整個複製貼到 A1 儲存格，再把係數和坐標改成您自己的數值即可。
用 Python 計算的方法
from fractions import Fraction
# 直線 ax + by + c = 0（像 3/4 這樣的分數可以寫成 Fraction(3, 4)）
a = Fraction(1)
b = Fraction(2)
c = Fraction(-3)
# 點 P 的坐標
x0 = Fraction(4)
y0 = Fraction(3)
# 代入點後的值（含正負號）與法向量長度的平方
substituted = a * x0 + b * y0 + c
square = a * a + b * b
distance = abs(float(substituted)) / float(square) ** 0.5
print(f"分子 |a*x0+b*y0+c| = {abs(substituted)}")
print(f"分母 √(a^2+b^2) = √{square}")
print(f"距離 d = {distance}")
# 垂足 H（往回走法向量的 t 倍）
t = substituted / square
foot_x = x0 - a * t
foot_y = y0 - b * t
print(f"倍率 t = {t}")
print(f"垂足 H = ({foot_x}, {foot_y})")
使用標準函式庫的 fractions 模組，分子、分母和垂足都能用沒有捨入誤差的分數計算。這個例子求點 (4, 3) 到直線 x + 2y - 3 = 0 的距離。執行後會顯示分子 7、分母 √5、距離 3.1304951684997055、倍率 t = 7/5 和垂足 (13/5, 1/5)。請改寫係數和坐標後再執行。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
點到直線的距離
d = |a·x₀ + b·y₀ + c| ÷ √(a² + b²)
d = \frac{\left|a x_0 + b y_0 + c\right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>|</mo>
<mi>a</mi><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><msub><mi>y</mi><mn>0</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
<mo>|</mo>
</mrow>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mfrac>
</mrow>
</math>
d = abs(a*x_0 + b*y_0 + c)/sqrt(a^2 + b^2)
d = Abs[a x0 + b y0 + c]/Sqrt[a^2 + b^2]
d := abs(a*x0 + b*y0 + c)/sqrt(a^2 + b^2);
d = abs(a*x0 + b*y0 + c)/sqrt(a^2 + b^2);
d = |a x_0+b y_0+c|/√(a^2+b^2)
為什麼這個公式能求出距離（用法向量說明）
d = |n·AP| ÷ |n|
d = \frac{\left|\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|}{\left|\vec{n}\right|}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>|</mo>
<mover><mi>n</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>⋅</mo>
<mover><mrow><mi>A</mi><mi>P</mi></mrow><mo>→</mo></mover>
<mo>|</mo>
</mrow>
<mrow>
<mo>|</mo>
<mover><mi>n</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>|</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
d = abs(vec n * vec(AP))/abs(vec n)
d = Abs[n . ap]/Norm[n]
d := abs(DotProduct(n, ap))/Norm(n, 2);
d = abs(dot(n, ap))/norm(n);
d = |n\vec ∙AP\vec |/|n\vec |
直線為斜截式 \(y = mx + k\) 時的距離
d = |m·x₀ − y₀ + k| ÷ √(m² + 1)
d = \frac{\left|m x_0 - y_0 + k\right|}{\sqrt{m^{2} + 1}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>|</mo>
<mi>m</mi><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub>
<mo>−</mo>
<msub><mi>y</mi><mn>0</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mi>k</mi>
<mo>|</mo>
</mrow>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msqrt>
</mfrac>
</mrow>
</math>
d = abs(m*x_0 - y_0 + k)/sqrt(m^2 + 1)
d = Abs[m x0 - y0 + k]/Sqrt[m^2 + 1]
d := abs(m*x0 - y0 + k)/sqrt(m^2 + 1);
d = abs(m*x0 - y0 + k)/sqrt(m^2 + 1);
d = |m x_0-y_0+k|/√(m^2+1)
垂足 \(\mathrm{H}\) 的坐標
H = (x₀ − t·a, y₀ − t·b) t = (a·x₀ + b·y₀ + c) ÷ (a² + b²)
\mathrm{H} = \left(x_0 - t a,\ y_0 - t b\right),\quad t = \frac{a x_0 + b y_0 + c}{a^{2} + b^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi mathvariant="normal">H</mi>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo>
<mrow><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>−</mo><mi>t</mi><mi>a</mi></mrow>
<mo>,</mo>
<mrow><msub><mi>y</mi><mn>0</mn></msub><mo>−</mo><mi>t</mi><mi>b</mi></mrow>
<mo>)</mo>
<mo>,</mo>
<mi>t</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>a</mi><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><msub><mi>y</mi><mn>0</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
</mrow>
<mrow>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
H = (x_0 - t*a, y_0 - t*b), t = (a*x_0 + b*y_0 + c)/(a^2 + b^2)
t = (a x0 + b y0 + c)/(a^2 + b^2); h = {x0 - t a, y0 - t b}
t := (a*x0 + b*y0 + c)/(a^2 + b^2); H := [x0 - t*a, y0 - t*b];
t = (a*x0 + b*y0 + c)/(a^2 + b^2); H = [x0 - t*a, y0 - t*b];
H = (x_0-t a, y_0-t b), t = (a x_0+b y_0+c)/(a^2+b^2)
兩平行線的距離
d = |c₁ − c₂| ÷ √(a² + b²)
d = \frac{\left|c_1 - c_2\right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>|</mo>
<msub><mi>c</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>−</mo>
<msub><mi>c</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>|</mo>
</mrow>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mfrac>
</mrow>
</math>
d = abs(c_1 - c_2)/sqrt(a^2 + b^2)
d = Abs[c1 - c2]/Sqrt[a^2 + b^2]
d := abs(c1 - c2)/sqrt(a^2 + b^2);
d = abs(c1 - c2)/sqrt(a^2 + b^2);
d = |c_1-c_2|/√(a^2+b^2)
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學（坐標幾何）的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並且只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。 針對點 (4, 3) 和直線 x + 2y - 3 = 0，請求出： 1. 點到直線的距離（以分母有理化的精確值和小數表示） 2. 從點到直線所作垂線的垂足坐標（以最簡分數表示） 3. 這條垂線的方程式（通過該點且與直線垂直的直線） Python 請使用標準函式庫的 fractions 模組和 sympy 精確計算。請列出使用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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相關功能
斜率計算機（直線的斜率、距離、角度）
由兩點的坐標計算直線的斜率、兩點間的距離、斜角與直線方程式
兩點距離計算機（由坐標求距離、直線方程式）
由兩點的坐標計算連接兩點的線段長度，以及通過這兩點的直線方程式
向量計算機（和、差、係數積、長度、內積、夾角）
一次算出以坐標表示的向量的和、差、係數積、長度、內積、夾角與單位向量
