板材裁切計算機（一張夾板能裁幾片）

請輸入板材尺寸、鋸路、木紋方向，以及要裁出的零件的寬、高、片數（零件最多 8 種，寬和高都空白的列會被忽略）。厚度和板材單價可以留空。

單位

板材尺寸（寬 × 高，mm）

× mm

鋸路（鋸片厚度，mm）

厚度（mm，可留空）

木紋方向（零件能否轉向）要裁出的零件（寬、高、片數）

代號名稱（選填）寬（mm）高（mm）片數

板材單價（NT$/張，可留空）

長度全部以 mm（公釐）輸入。鋸路留空時以 3 mm、片數留空時以 1 片計算。零件名稱留空時會顯示「零件 A」～「零件 H」。

計算結果與圖形

在左側輸入板材的尺寸，以及要裁出的零件的寬、高、片數，按下「計算」，結果和裁切配置圖就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
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這個頁面可以做什麼

只要輸入板材的尺寸（可從 3 × 6 尺 1820 × 910 mm、4 × 8 尺 2440 × 1220 mm 等下拉選單選擇或手動輸入），以及要裁出的零件的寬、高、片數（最多 8 種），馬上就知道要買幾張板材
會考慮鋸路（鋸片的厚度，預設 3 mm）和木紋方向（零件能否轉 90°）。只有同一種零件時用「橫 × 直」的格子計算（也會比較轉向，以及在剩下的長條轉向排入的方案）；多種零件則依高度排成一層一層的分層排列法合併裁切
顯示每張板材「哪裡放什麼」的彩色裁切配置圖，以及「第 1 張板材：頂板 × 2＋側板 × 2，剩料 0.286 m²」這樣的配置表。也會和每種零件各用不同板材裁切時的張數比較，看出合併裁切能省幾張
同時列出剩料面積、利用率（零件總面積 ÷ 板材總面積），以及由面積求出的理論最少張數（下限），並顯示配置是否等於下限。輸入板材單價（選填）還會算出概算費用
公式的淺顯解說，以及 Excel、Google 試算表、Python 可直接複製的公式，也都整理在這個頁面

配置是用「只把同一種零件排成橫 × 直」「把零件依高度由高到低排成一層一層（分層排列法）」這種固定步驟的啟發式方法，不一定總是得到最少張數（不保證最佳解）。所有裁切線都以從板材一端直直切到另一端為前提（直通裁切），符合居家修繕賣場、木材行代客裁切的切法（只能直線裁切，有些店每張板材的裁切次數有上限）。專業的開料軟體會找更複雜的組合，但用在 DIY 採購和交代裁切已經足夠準確。角材、管子這類「只看長度」的一維取料，請用「木材裁切計算機」。

這個計算有什麼用？

DIY 書櫃、收納箱、書桌時採購夾板

例如用 3 × 6 尺（1820 × 910 mm）的夾板做頂板 900 × 450 mm × 2 片、側板 700 × 400 mm × 4 片、層板 600 × 350 mm × 3 片的書櫃，每種零件分開買要 3 張板材，但依高度一層一層排入的合併裁切只要 2 張（第 1 張：頂板 × 2＋側板 × 2，第 2 張：側板 × 2＋層板 × 3）。
夾板很占空間、不好放進車裡，買多了也沒地方放，所以採購前先決定好張數和配置就不會浪費。想讓木紋對齊的裝飾夾板選「對齊」計算，結構用夾板或要整面上漆的板子選「不限」減少張數。

交代賣場、木材行代客裁切

居家修繕賣場或木材行的代客裁切（裁板機）只能「從板材一端直直切到另一端」，常以每刀計價，有些店也會限制每張板材的裁切次數。本頁的配置圖符合這種切法（直通裁切），照著圖交代「先在從上面算 450 mm 的位置橫切一刀，再把上面那塊從左邊算 900 mm 的位置直切……」，到店裡就不會手忙腳亂（鋸路是鋸片削掉的部分，所以裁切位置就是零件尺寸本身）。
先數好裁切的刀數，就能估出費用，也能確認是否在次數上限內。鋸路請依店家裁板機的鋸片厚度（多在 3 mm 左右，可以向店家確認）修改。另外，有些店不接寬度很窄（幾 cm 以下）的裁切，或斜切、切到一半停下的裁切，細長零件多時先確認比較安心。

在設計階段配合「好裁的尺寸」

把 3 × 6 尺板四等分的 455 × 455 mm 零件，不計鋸路看起來能裁 8 片，但鋸路 3 mm 時橫 $\lfloor 1823 \div 458 \rfloor = 3$ 片、直 $\lfloor 913 \div 458 \rfloor = 1$ 片，只能裁 3 片。只要改成 450 × 450 mm，就能裁橫 4 片 × 直 2 片＝8 片。
像這樣，在設計階段把零件尺寸稍微改一下，板材張數可能差很多。把層板深度縮 5 mm、桌面分成 2 片等調整，採購前先用這個計算機試試，就能省下材料費。

家具工廠、木作師傅、招牌店的材料規劃（排版）

家具工廠、木作師傅、招牌店（鋁複合板、壓克力板）、鈑金工廠（鐵板）的材料費占成本很大的比例，所以平常就在管理要怎麼從板材裁出零件（排版、開料）和利用率。本頁的「利用率」是零件總面積除以板材總面積，實務上也是同樣的定義。
實際的工廠要配置好幾百種零件，所以會用專用的開料軟體（排版軟體）。分層排列法是二維長方形排列教科書等級的啟發式方法，也是這類軟體思路的基礎之一。

壓克力板、玻璃、矽酸鈣板、裝飾板等各種板材

「從固定規格的板子裁出長方形」的東西，都能用和夾板相同的公式計算，例如壓克力板、PVC 板（4 × 8 尺、3 × 6 尺等規格）、台灣天花板常用的矽酸鈣板與石膏板（3 × 6 尺）、裝飾板、木心板、清水模板等。玻璃這種用刀劃線再折斷的材料，鋸路請設為 0（磁磚用手動切割器時也是 0，用水刀切割機就是刀片厚度），沒有木紋的材料選「不限」，張數就會減少。
不過玻璃和薄壓克力容易破，有花紋的裝飾板有花紋方向的限制，請配合材料的特性修改鋸路和轉向的設定。

公式與圖示

只排同一種零件時，一張板材能裁的片數

圖示

數學寫法（一般的數學式）

$c$ $=$ $\lfloor$ $($ $W$ $+$ $k$ $)$ $\div$ $($ $w$ $+$ $k$ $)$ $\rfloor$

$r$ $=$ $\lfloor$ $($ $H$ $+$ $k$ $)$ $\div$ $($ $h$ $+$ $k$ $)$ $\rfloor$

$m$ $=$ $c$ $\times$ $r$

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ 橫排的片數 $c$ $=$ $\lfloor$ $($ ① 板材寬 $W$ $+$ ② 鋸路 $k$ $)$ $\div$ $($ ③ 零件寬 $w$ $+$ 鋸路 $k$ $)$ $\rfloor$

⑦ 直排的片數 $r$ $=$ $\lfloor$ $($ ⑤ 板材高 $H$ $+$ 鋸路 $k$ $)$ $\div$ $($ ⑥ 零件高 $h$ $+$ 鋸路 $k$ $)$ $\rfloor$

⑧ 一張板材能裁的片數 $m$ $=$ 橫排的片數 $c$ $\times$ 直排的片數 $r$

用文字讀公式

① 板材寬 $W$ 加上 1 次

② 鋸路 $k$ ，除以

③ 零件寬 $w$ 也加上鋸路 $k$ 的值，小數部分無條件捨去（符號 $\lfloor\ \rfloor$ 表示「無條件捨去」），

④ 就是橫排的片數 $c$ 。同樣地，

⑤ 板材高 $H$ 加上鋸路，除以

⑥ 零件高 $h$ 加上鋸路的值再無條件捨去，

⑦ 就是直排的片數 $r$ ，兩者相乘，

⑧ 就是一張板材能裁的片數 $m$

簡單範例

從 3 × 6 尺（1820 × 910 mm）的夾板裁 600 × 400 mm 的層板，鋸路 3 mm 時一張能裁的片數是

橫排的片數 $c$ $=$ $\lfloor$ $($ 板材寬（1820 mm） $+$ 鋸路（3 mm） $)$ $\div$ $($ 零件寬（600 mm） $+$ 鋸路（3 mm） $)$ $\rfloor$

直排的片數 $r$ $=$ $\lfloor$ $($ 板材高（910 mm） $+$ 鋸路（3 mm） $)$ $\div$ $($ 零件高（400 mm） $+$ 鋸路（3 mm） $)$ $\rfloor$

能裁的片數 $m$ $=$ 橫排的片數 $c$ $\times$ 直排的片數 $r$

$c = \lfloor 1823 \div 603 \rfloor = \lfloor 3.02 \cdots \rfloor = 3$

$r = \lfloor 913 \div 403 \rfloor = \lfloor 2.26 \cdots \rfloor = 2$

$m = 3 \times 2 = 6$

思考重點

要橫排 $n$ 片，零件寬 $n$ 片份加上中間 $n - 1$ 次的鋸路，必須放得進板材的寬（最後一片用到板材邊緣就好，那裡不必再切）。也就是 $n \times w + (n - 1) \times k \le W$，兩邊都加上 $k$ 就變成 $n \times (w + k) \le W + k$。所以「板材寬＋鋸路」除以「零件寬＋鋸路」再無條件捨去，就是橫排的片數。直的方向也是同樣的思路，二維取料就是「橫排幾片 × 直排幾片」的乘法。這個式子以板材邊緣直接當零件邊緣使用為前提，板邊有缺角或不直、需要修邊時，請把修掉的部分扣掉再輸入板材尺寸。忽略鋸路可能會算錯片數。例如把 3 × 6 尺板四等分成 455 × 455 mm 的零件，不計鋸路時能裁橫 4 片 × 直 2 片＝8 片，但鋸路 3 mm 時 $\lfloor 1823 \div 458 \rfloor = 3$、$\lfloor 913 \div 458 \rfloor = 1$，只能裁 3 片（橫的第 4 片差 9 mm，直的第 2 片差 3 mm）。木紋方向選「不限」時，這個計算機會把零件的寬和高交換（轉 90°）再算一次，採用較多的那個。還會試在格子右側或下方剩下的長條，轉向排入零件的方案（例如橫 3 片 × 直 3 片＝9 片，再在右邊剩下的寬度轉向多排 1 片，共 10 片）。這個簡單計算是「只排同一種零件」時的片數，多種零件混在一起時，會用下一個「分層排列法」配置。

每種零件分開買時的張數

數學寫法（一般的數學式）

$B_i$ $=$ $\lceil$ $q_i$ $\div$ $m_i$ $\rceil$

$B_{\text{分}}$ $=$ $B_1 + B_2 + \cdots$

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ 只裁零件 $i$ 所需的板材張數 $B_i$ $=$ $\lceil$ ① 零件 $i$ 的需要片數 $q_i$ $\div$ ② 一張板材能裁的片數 $m_i$ $\rceil$

⑤ 分開買時的合計張數 $B_{\text{分}}$ $=$ ④ 各零件張數 $B_1,\ B_2,\ \ldots$ 的合計

用文字讀公式

① 零件 $i$ 的需要片數 $q_i$ 除以

② 一張板材能裁的片數 $m_i$ ，小數部分無條件進位（符號 $\lceil\ \rceil$ 表示「無條件進位」），

③ 就是只裁零件 $i$ 所需的板材張數 $B_i$ ，

④ 各零件張數 $B_1,\ B_2,\ \ldots$ 的合計，

⑤ 就是分開買時的合計張數 $B_{\text{分}}$

簡單範例

從 3 × 6 尺板（鋸路 3 mm、可以轉向）裁頂板 900 × 450 mm × 2 片、側板 700 × 400 mm × 4 片、層板 600 × 350 mm × 3 片，每種零件各用不同板材時的張數是

$\text{頂板}：\lceil 2 \div 4 \rceil = 1,\quad \text{側板}：\lceil 4 \div 5 \rceil = 1,\quad \text{層板}：\lceil 3 \div 6 \rceil = 1$

$B_{\text{分}} = 1 + 1 + 1 = 3$

思考重點

像「頂板用的板材」「側板用的板材」這樣依零件種類分開買板材，就是這個簡單計算。頂板一張板材能裁 4 片（橫 2 × 直 2），所以 2 片只要 1 張（剩 2 片份）；側板能裁 5 片（橫 2 × 直 2 共 4 片，再在右邊剩下寬 414 mm 的長條轉向排 1 片），所以 4 片只要 1 張；層板能裁 6 片（橫 3 × 直 2），所以 3 片只要 1 張（剩 3 片份），合計 3 張。這種方法思路簡單，裁切時也不會搞混，但頂板和層板的板材剩下很多。下一個「分層排列法」，就是把其他零件塞進這些剩餘空間來減少張數的方法。

分層排列法的配置（排進同一層的條件與疊得下層的條件）

圖示

數學寫法（一般的數學式）

$w_1 + w_2 + \cdots + w_n$ $+$ $(n - 1)$ $\times$ $k$ $\leq$ $W$

$h_1 + h_2 + \cdots + h_s$ $+$ $(s - 1)$ $\times$ $k$ $\leq$ $H$

文字寫法（把符號換成文字的公式）

① 同一層排的零件寬 $w_1,\ w_2,\ \ldots,\ w_n$ 的合計 $+$ ② 同一層的片數 $n$ 減 1 $\times$ ③ 鋸路 $k$ $\leq$ ④ 板材寬 $W$

⑤ 各層高度（該層最高零件的高）$h_1,\ h_2,\ \ldots,\ h_s$ 的合計 $+$ ⑥ 層數 $s$ 減 1 $\times$ 鋸路 $k$ $\leq$ ⑦ 板材高 $H$

用文字讀公式

① 同一層排的零件寬 $w_1,\ w_2,\ \ldots,\ w_n$ 的合計，加上

② 同一層的片數 $n$ 減 1 乘以

③ 鋸路 $k$ （零件之間鋸路的合計），只要在

④ 板材寬 $W$ 以下，就能排進這一層。同樣地，

⑤ 各層高度（該層最高零件的高）$h_1,\ h_2,\ \ldots,\ h_s$ 的合計，加上

⑥ 層數 $s$ 減 1 乘以鋸路 $k$，只要在

⑦ 板材高 $H$ 以下，就能在這張板材疊上這些層

簡單範例

把上面的例子（頂板 900 × 450 mm × 2 片、側板 700 × 400 mm × 4 片、層板 600 × 350 mm × 3 片，鋸路 3 mm）用分層排列法配置到 3 × 6 尺板，第 1 張板材會是「頂板 2 片的一層」和「側板 2 片的一層」共 2 層

$\text{第 1 層（高 450）}：900 + 900 + 1 \times 3 = 1803 \leq 1820$

$\text{第 2 層（高 400）}：700 + 700 + 1 \times 3 = 1403 \leq 1820$

$\text{各層高度合計}：450 + 400 + 1 \times 3 = 853 \leq 910$

思考重點

分層排列法（FFDH＝First Fit Decreasing Height）是用下面的步驟決定配置。 (1) 把所有零件依高度由高到低排列（高度相同時依寬度由寬到窄，再相同就依輸入的列順序）。 (2) 從第一個零件開始，依序放進現有各層中「剩下的寬度放得下、且零件高度不超過該層高度」的第一層。木紋選不限時，轉向後放得下的層也可以放。 (3) 沒有放得下的層，就在現有板材中「剩下的高度放得下零件高度」的第一張開新的一層。也沒有的話，就再加一張新的板材。每一層的高度，是最先放進去的零件（＝該層最高的零件）的高度。同一層內每次往右前進「零件寬＋鋸路」，層與層之間每次往下前進「高＋鋸路」，所以條件就是上面兩條不等式。用「層」來分區，是為了讓裁切線能從板材一端直直切到另一端（直通裁切），和居家修繕賣場、木材行用裁板機代客裁切的切法相同。這個計算機會把零件方向（木紋不限時有「長邊橫放」「長邊直放」「原輸入方向」）和層的方向（橫向分層、直向分條）的組合全部試過，採用張數最少的；再和「先把只排同一種零件的板材排滿，剩下的用分層排列法」「每種零件分開裁」的方法比較，顯示最少的那個。即使如此，二維取料的組合非常多，不保證這就是最少張數。專業的開料軟體會找更複雜的組合，以及不從板材一端切到另一端的切法；家庭 DIY 以這個結果為參考，把剩下的剩料拿去做小東西最實用。

剩料面積與利用率

數學寫法（一般的數學式）

$A_{\text{剩}}$ $=$ $B$ $\times$ $W$ $\times$ $H$ $-$ $\sum_i q_i\,w_i\,h_i$

$Y$ $=$ $\sum_i q_i\,w_i\,h_i$ $\div$ $($ $B$ $\times$ $W$ $\times$ $H$ $)$ $\times$ $100$

文字寫法（把符號換成文字的公式）

⑤ 剩料面積 $A_{\text{剩}}$ $=$ ① 板材張數 $B$ $\times$ ② 板材寬 $W$ $\times$ ③ 板材高 $H$ $-$ ④ 所有零件的面積合計 $\sum_i q_i\,w_i\,h_i$

⑥ 利用率 $Y$（%） $=$ 所有零件的面積合計 $\sum_i q_i\,w_i\,h_i$ $\div$ $($ 板材張數 $B$ $\times$ 板材寬 $W$ $\times$ 板材高 $H$ $)$ $\times$ $100$

用文字讀公式

① 板材張數 $B$ 乘以

② 板材寬 $W$ 和

③ 板材高 $H$ （買的板材總面積），減去

④ 所有零件的面積合計 $\sum_i q_i\,w_i\,h_i$ ，

⑤ 就是剩料面積 $A_{\text{剩}}$ ；零件面積合計除以板材總面積再乘以 100，

⑥ 就是利用率 $Y$（%）

簡單範例

上面的例子（頂板 2 片、側板 4 片、層板 3 片配置到 2 張 3 × 6 尺板）的剩料面積和利用率是

$\sum q\,w\,h = 2 \times 900 \times 450 + 4 \times 700 \times 400 + 3 \times 600 \times 350$

$= 810{,}000 + 1{,}120{,}000 + 630{,}000 = 2{,}560{,}000\ \text{mm}^2$

$A_{\text{剩}} = 2 \times 1820 \times 910 - 2{,}560{,}000 = 752{,}400\ \text{mm}^2 \approx 0.752\ \text{m}^2$

$Y = 2{,}560{,}000 \div 3{,}312{,}400 \times 100 \approx 77.3\ \%$

思考重點

剩料面積是「買的板材面積」和「當零件使用的面積」的差，所以也包含被鋸路變成木屑的部分（鋸路 3 mm、切 1 m 長就損失 3,000 mm²＝0.003 m²，零件越多影響越大）。1 m²＝1,000,000 mm²，所以 mm² 的值除以 1,000,000 就是 m²。利用率是材料中能當成品（零件）使用的比例，越接近 100% 浪費越少。數值會因零件尺寸和板材尺寸搭不搭而差很多（剛好把板材等分的尺寸就高，零碎尺寸或種類多就低），家庭 DIY 多少會有剩料是正常的。剩料可以拿去做小層板或補強材，所以不能只看利用率判斷好壞。

由面積求出的理論最少張數（下限）

數學寫法（一般的數學式）

$B_{\min}$ $=$ $\lceil$ $\sum_i q_i\,(w_i + k)(h_i + k)$ $\div$ $(W + k)(H + k)$ $\rceil$

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ 理論最少張數 $B_{\min}$ $=$ $\lceil$ ① 所有零件的（寬＋鋸路）×（高＋鋸路）合計 $\sum_i q_i\,(w_i + k)(h_i + k)$ $\div$ ② （板材寬＋鋸路）×（板材高＋鋸路）$(W + k)(H + k)$ $\rceil$

用文字讀公式

① 所有零件的（寬＋鋸路）×（高＋鋸路）合計 $\sum_i q_i\,(w_i + k)(h_i + k)$ 除以

② （板材寬＋鋸路）×（板材高＋鋸路）$(W + k)(H + k)$ ，小數部分無條件進位，

③ 就是理論最少張數 $B_{\min}$

簡單範例

上面的例子（頂板 900 × 450 mm × 2 片、側板 700 × 400 mm × 4 片、層板 600 × 350 mm × 3 片，3 × 6 尺板、鋸路 3 mm）的理論最少張數是

$2 \times 903 \times 453 + 4 \times 703 \times 403 + 3 \times 603 \times 353$

$= 818{,}118 + 1{,}133{,}236 + 638{,}577 = 2{,}589{,}931$

$(1820 + 3) \times (910 + 3) = 1823 \times 913 = 1{,}664{,}399$

$2{,}589{,}931 \div 1{,}664{,}399 \approx 1.56,\quad \lceil 1.56 \rceil = 2$

思考重點

再怎麼巧妙地配置，零件也放不進面積比零件總面積還小的板材。把鋸路也算進去，把「每片零件占 $(w + k) \times (h + k)$ 的面積、板材有 $(W + k) \times (H + k)$ 的面積」相除再無條件進位，就是只由面積決定的下限（不可能比這更少的張數）。上面的例子，分層排列法的 2 張等於下限的 2 張，可以確定這是無法再減少的最佳張數。不過二維取料常常面積還有剩，卻因為「形狀不合」而放不進去。例如從 3 × 6 尺板裁 1 片 1800 × 450 mm 的桌面和 2 片 500 × 500 mm 的箱子側板，面積的下限是 1 張，但桌面下方剩下的高度是 $910 - 450 - 3 = 457$ mm，放不下 500 mm 的側板，需要 2 張板材。和一維的木材裁切相比，下限和實際張數更容易有差距，所以顯示「近似」時，換組合也不一定能減少。

能省的張數與概算費用

數學寫法（一般的數學式）

$\Delta$ $=$ $B_{\text{分}}$ $-$ $B$

$T$ $=$ $u$ $\times$ $B$

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ 能省的張數 $\Delta$ $=$ ① 分開買時的張數 $B_{\text{分}}$ $-$ ② 合併裁切的張數 $B$

⑤ 概算費用 $T$ $=$ ④ 板材單價 $u$ $\times$ 合併裁切的張數 $B$

用文字讀公式

① 分開買時的張數 $B_{\text{分}}$ 減去

② 合併裁切的張數 $B$ ，

③ 就是能省的張數 $\Delta$ ；

④ 板材單價 $u$ 乘以合併裁切的張數 $B$，

⑤ 就是概算費用 $T$

簡單範例

上面的例子中，每張板材 NT$500 時，能省的張數和費用是

$\Delta = 3 - 2 = 1$

$T = 500 \times 2 = 1000$

$500 \times 3 - 1000 = 500$

思考重點

分開買的費用是 $u \times B_{\text{分}}$，合併裁切的費用是 $u \times B$，所以差額是 $u \times \Delta$。單價請輸入每張板材的價格。費用只有板材本身，不含裁切費（常以每刀多少計價）、運費、塗料等。要估裁切費時，請數配置圖上裁切線的條數。

只有同一種零件時，用「（板材寬＋鋸路）÷（零件寬＋鋸路）無條件捨去」×「高也同樣計算」，就知道一張能裁幾片。多種零件時，用依高度一層一層排入的分層排列法（裁切線從一端通到另一端的直通裁切）合併裁切，等於面積的下限時就無法再減少。不等於時，二維取料也常因形狀限制無法減到下限，本計算機的配置是不保證最佳解的參考值。

符號與用語解說

符號

$W$	板材的寬（mm），也就是買來的一張夾板的橫向長度。取自 Width（寬）的字首，為了和零件寬 $w$ 區別用大寫。
$H$	板材的高（mm），也就是一張夾板的直向長度。取自 Height（高）的字首，為了和零件高 $h$ 區別用大寫。木紋選「不限」時交換寬和高張數也不變（選「對齊」時要和零件方向一致）。
$w$、$w_i$	零件（要裁出的板）的寬（mm）。$w_i$ 的 $i$ 是「第 $i$ 種零件」的編號（因為有頂板、側板、層板等好幾種）。
$h$、$h_i$	零件的高（mm）。分層排列法的式子中，$h_1,\ h_2,\ \ldots$ 也用來表示「各層的高度」（層高＝該層最高零件的高）。
$k$	鋸路（鋸片厚度，mm）。每切一次就會損失這麼多的板子。取自 kerf（英文的「鋸口」）的字首。
$c$	只排同一種零件時，沿板材寬方向橫排的片數，用 $\lfloor (W + k) \div (w + k) \rfloor$ 求出。取自 column（行）的字首。
$r$	只排同一種零件時，沿板材高方向直排的片數，用 $\lfloor (H + k) \div (h + k) \rfloor$ 求出。取自 row（列）的字首。
$m$、$m_i$	只排同一種零件時，一張板材能裁的片數，用橫排片數 $c$ 乘以直排片數 $r$ 的 $m = c \times r$ 求出。
$q_i$	零件 $i$ 的需要片數，取自 quantity（數量）的字首。
$B_i$	只裁零件 $i$ 所需的板材張數，用 $\lceil q_i \div m_i \rceil$ 求出。
$B_{\text{分}}$	每種零件各用不同板材裁切（分開買）時的合計張數，是各零件 $B_i$ 全部加起來的值。
$B$	合併裁切（分層排列法等配置）所需的板材張數，是本頁的主角。
$n$	同一層橫排的零件片數。零件之間有 $n - 1$ 次的鋸路，用於排進同一層的條件式。取自 number（數）的字首。
$s$	一張板材上疊的層數。層與層之間有 $s - 1$ 次的鋸路，用於疊得下層的條件式。取自 shelf（層架）的字首。
$A_{\text{剩}}$	剩料面積（mm²、m²）。買的板材總面積減去零件總面積的值，也包含被鋸路變成木屑的部分。$A$ 取自 Area（面積）的字首。
$Y$	利用率（%）。零件總面積除以板材總面積再乘以 100 的值，取自 Yield（產出率）的字首。
$B_{\min}$	由面積求出的理論最少張數（下限），用 $\lceil \sum_i q_i (w_i + k)(h_i + k) \div ((W + k)(H + k)) \rceil$ 求出，合併裁切的張數 $B$ 等於它就是最佳。min 是 minimum（最小）的縮寫。
$\Delta$	能省的張數，就是 $B_{\text{分}} - B$。希臘字母 delta 常用來表示「差」（對應 difference 的字首 d）。
$u$	每張板材的單價（NT$），取自 unit price（單價）的字首。
$T$	概算費用（NT$），取自 total（合計）的字首。只有板材本身，不含裁切費、運費。
$\lfloor x \rfloor$	高斯符號（地板函數），把小數部分無條件捨去變成整數的符號（例如：$\lfloor 3.02 \rfloor = 3$、$\lfloor 2 \rfloor = 2$）。能裁的片數要「捨去放不下的部分」，所以用這個符號。
$\lceil x \rceil$	天花板函數，把小數部分無條件進位變成整數的符號（例如：$\lceil 1.56 \rceil = 2$、$\lceil 2 \rceil = 2$）。買的張數要「不夠就多買一張」，所以用這個符號。
$\sum$	表示「全部加起來」的符號。$\sum_i q_i w_i h_i$ 就是對每種零件 $i$ 計算 $q_i w_i h_i$（片數 × 寬 × 高）再全部相加。希臘字母 sigma，相當於 Sum（合計）的字首 S。

用語

板材	用來裁出零件的整張大板，例如夾板、木心板、MDF、裝飾板、壓克力板、鐵板等以固定規格尺寸販售的板材。本頁把它當成寬 $W$ × 高 $H$ 的長方形。
取料	決定要怎麼從板材裁出所需零件的作業，也叫開料、裁切規劃。本頁是同時考慮寬和高的二維取料；角材、管子這類只考慮長度的一維取料，請用「木材裁切計算機」。
鋸路	用鋸子切時，板子被鋸片厚度削掉而損失的長度。圓鋸或裁板機的鋸片厚度多在 1.5～3 mm，再加上切口崩邊和畫線的寬度，一般抓 3 mm 左右估算。知道使用的鋸片厚度（鋸片上刻印的 kerf 值）時，請輸入該值。切幾次就累積幾次，裁很多小零件時影響越大。
木紋	木材纖維方向在板面形成的花紋。裝飾夾板或實木板，零件的木紋不全部同方向看起來會不自然，所以取料時零件可能不能轉 90°。本頁用「木紋方向」選擇能否轉向。結構用夾板或要整面上漆的板子選「不限」即可。
直通裁切	從板材一端直直切到另一端的切法（英文 guillotine cut）。切下來的板子再從一端切到另一端，重複下去裁出零件。賣場或木材行代客裁切用的裁板機只能這樣切，所以本計算機的配置也限定為能直通裁切的形狀（分層排列法）。允許切到一半停下的切法（L 形切口）有時能排得更密，但家用圓鋸也不好切，所以不採用。
分層排列法（FFDH）	把零件依高度由高到低排列，從上往下依序做出橫跨板材的「層」並排入的配置步驟。是 First Fit Decreasing Height（依高度由大到小，放進第一個放得下的層）的縮寫，屬於二維長方形排列的代表性啟發式方法。裁切線從一端通到另一端，所以可以直接請店家代客裁切。步驟簡單、結果也不錯，但不一定總是最少張數。
剩料	裁出零件後剩下的材料，例如板材邊緣剩下的細長板，或層右邊剩下的碎料。剩料越少材料浪費越少，利用率越高。大塊剩料可以拿去做小層板或補強材。
利用率	材料中能當成品（零件）使用的比例，也叫得料率。本頁是「零件總面積 ÷ 買的板材總面積」，剩料和鋸路越少就越接近 100%。
下限	「再怎麼巧妙也不可能比這更小」的值。本頁的理論最少張數是由面積求出的下限，配置的張數等於它就知道是最佳。不等於時，二維取料也常因形狀限制無法減到下限。
最佳解	所有可能方法中最好的答案。本頁指「板材張數最少的配置」。合併裁切的張數等於下限就是最佳解；不等於時，本計算機不會搜尋全部組合，所以無法確定是不是最佳解。
啟發式方法	「不保證一定是最佳解，但用固定步驟快速得到好答案的方法」（heuristic）。取料這類組合問題，零件一多可能的擺法就爆炸性增加、無法全部試，所以實務上也常用啟發式方法。本頁的分層排列法和格子計算都是其中之一。
夾板	把薄木片（單板）以木紋互相垂直的方式多層黏合的板子，也叫合板。不容易翹曲、能做成大片，廣泛用於 DIY 的層架、箱子和打底。有柳安夾板、松木結構夾板、裝飾夾板等；台灣常以「分」稱厚度，3 分約 9 mm、4 分約 12 mm。
清水模板	灌混凝土時當模板用的夾板，表面有塗裝，能讓混凝土表面平整。尺寸依產品而不同，用模板裁切時，請把板材尺寸改成實際的寬、高再計算。
3×6 尺	3 尺 × 6 尺（約 910 × 1820 mm）的板材規格。夾板、木心板、石膏板、矽酸鈣板最常見的尺寸之一。1 台尺約 303 mm，3 尺約 910 mm、6 尺約 1820 mm；店家和產品的實際尺寸會差幾 mm（例如 915 × 1830 mm）。
4×8 尺	4 尺 × 8 尺（約 1220 × 2440 mm）的板材規格。台灣的夾板、木心板很常用這個尺寸，比 3 × 6 尺大，想一整片裁出大桌面或整面牆板時使用。實際尺寸依產品略有不同，請確認購買產品的尺寸再輸入。
木心板	中間是實木條、兩面貼薄木片的三層板，台灣做系統櫃以外的木作櫃常用。厚度多為 18 mm（6 分），尺寸有 3 × 6 尺、3 × 7 尺、4 × 8 尺、2 × 8 尺等。

建議先了解的基礎知識

為了讓您「理解意思」地使用這個頁面的計算，這裡整理了事先了解會更好懂的基礎知識。

有餘數的除法（國小三～四年級，8～10 歲）	知道像「1820 ÷ 600 = 3…20」這樣，除法的商表示「排得下幾片」，餘數表示「還剩多少」
概數（國小四年級，9～10 歲）	了解無條件捨去、無條件進位、四捨五入的不同能用自己的話說明「為什麼能裁的片數要無條件捨去、買的張數要無條件進位」
長方形的面積（國小四年級，9～10 歲）	知道長方形面積＝寬 × 高，並能換算 mm²、m² 的單位（$1\,\text{m}^2 = 1{,}000{,}000\,\text{mm}^2$）
百分率（國小五～六年級，10～12 歲）	能像利用率「零件總面積 ÷ 板材總面積 × 100」這樣，用百分率（%）表示比例
用文字符號列式與不等式（國中，12～15 歲）	能像「排得下 $n$ 片的條件是 $n \times w + (n-1) \times k \le W$」這樣，用文字式表示條件知道不等式兩邊加上同一個數，大小關係不變（變形成 $n(w + k) \le W + k$）

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

求「只排同一種零件時，一張板材能裁的片數」的表格

板材寬（mm）	1820
板材高（mm）	910
零件寬（mm）	600
零件高（mm）	400
鋸路（mm）	3
橫排的片數	=INT((B1+B5)/(B3+B5))
直排的片數	=INT((B2+B5)/(B4+B5))
一張板材能裁的片數	=B6*B7

求「每種零件分開買時的張數」的表格

零件的需要片數	8
一張板材能裁的片數	6
需要的板材張數	=ROUNDUP(B1/B2,0)

求「剩料面積與利用率」的表格

板材張數	2
板材寬（mm）	1820
板材高（mm）	910
所有零件的面積合計（mm²）	1920000
剩料面積（mm²）	=B1B2B3-B4
剩料面積（m²）	=B5/1000000
利用率（%）	=B4/(B1B2B3)*100

求「由面積求出的理論最少張數」的表格

所有零件的（寬＋鋸路）×（高＋鋸路）合計（mm²）	2589931
（板材寬＋鋸路）×（板材高＋鋸路）（mm²）	1664399
理論最少張數	=ROUNDUP(B1/B2,0)

求「能省的張數與概算費用」的表格

分開買時的張數	3
合併裁切的張數	2
板材單價（NT$）	500
能省的張數	=B1-B2
概算費用（NT$）	=B3*B2

貼上後，B 欄上方的列是輸入欄，下方的列會自動算出結果。
「INT（值）」是把小數部分無條件捨去變成整數的函數（公式中的 ⌊ ⌋），「ROUNDUP（值，0）」是無條件進位的函數（公式中的 ⌈ ⌉）。
第 1 個表格的 B8 是 6 片（橫 3 片 × 直 2 片），第 2 個表格的 B3 是 2 張，第 3 個表格的 B6 是 1.3924 m²、B7 是 57.96…%（600 × 400 mm 裁 8 片、板材 2 張的例子），第 4 個表格的 B3 是 2 張，第 5 個表格是省 1 張、費用 NT$1,000。
分層排列法的配置本身，是把零件依高度重新排序、從上往下依序放進各層的手工作業，所以試算表適合用來確認「能裁的片數」「剩料」「下限」，配置圖用本頁或下方的 Python 程式碼產生最可靠。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

求「只排同一種零件時，一張板材能裁的片數」的表格

板材寬（mm）	1820
板材高（mm）	910
零件寬（mm）	600
零件高（mm）	400
鋸路（mm）	3
橫排的片數	=INT((B1+B5)/(B3+B5))
直排的片數	=INT((B2+B5)/(B4+B5))
一張板材能裁的片數	=B6*B7

求「每種零件分開買時的張數」的表格

零件的需要片數	8
一張板材能裁的片數	6
需要的板材張數	=ROUNDUP(B1/B2,0)

求「剩料面積與利用率」的表格

板材張數	2
板材寬（mm）	1820
板材高（mm）	910
所有零件的面積合計（mm²）	1920000
剩料面積（mm²）	=B1B2B3-B4
剩料面積（m²）	=B5/1000000
利用率（%）	=B4/(B1B2B3)*100

求「由面積求出的理論最少張數」的表格

所有零件的（寬＋鋸路）×（高＋鋸路）合計（mm²）	2589931
（板材寬＋鋸路）×（板材高＋鋸路）（mm²）	1664399
理論最少張數	=ROUNDUP(B1/B2,0)

求「能省的張數與概算費用」的表格

分開買時的張數	3
合併裁切的張數	2
板材單價（NT$）	500
能省的張數	=B1-B2
概算費用（NT$）	=B3*B2

可以直接使用和 Excel 相同的公式（INT、ROUNDUP 的函數名稱也一樣）。把表格整個複製貼到 A1 儲存格，再把 B 欄改成自己的數值即可。

用 Python 計算的方法

import math

sheet_w, sheet_h = 1820, 910   # 板材的寬、高（mm）。3 × 6 尺
kerf = 3                       # 鋸路（鋸片厚度，mm）
rotate = True                  # 木紋不限（零件可以轉 90°）時為 True
unit_price = 500               # 每張板材的單價（NT$）
# 要裁出的零件：(名稱, 寬mm, 高mm, 片數)
parts = [("頂板", 900, 450, 2), ("側板", 700, 400, 4), ("層板", 600, 350, 3)]

# 每種零件分開買時的張數（橫 × 直的格子。可以轉向時也試交換方向）
def per_sheet(w, h):
    return ((sheet_w + kerf) // (w + kerf)) * ((sheet_h + kerf) // (h + kerf))   # 無條件捨去（公式中的 ⌊ ⌋）
sheets_separate = 0
for name, w, h, qty in parts:
    m = max(per_sheet(w, h), per_sheet(h, w) if rotate else 0)
    sheets_separate += math.ceil(qty / m)   # 無條件進位（公式中的 ⌈ ⌉）

# 合併裁切：分層排列法（依高度由高到低，放進第一個放得下的層。可以轉向時長邊橫放）
pieces = []
for name, w, h, qty in parts:
    pw, ph = (max(w, h), min(w, h)) if rotate else (w, h)
    pieces += [(name, pw, ph)] * qty
pieces.sort(key=lambda p: (-p[2], -p[1]))
sheets = []   # 每張板材 {"y": 下一層的位置, "shelves": [{"y", "h", "x", "parts"}]}
for name, pw, ph in pieces:
    for sheet in sheets:
        shelf = next((s for s in sheet["shelves"] if ph <= s["h"] and pw <= sheet_w - s["x"]), None)
        if shelf is None and ph <= sheet_h - sheet["y"]:
            shelf = {"y": sheet["y"], "h": ph, "x": 0, "parts": []}
            sheet["shelves"].append(shelf)
            sheet["y"] += ph + kerf
        if shelf is not None:
            shelf["parts"].append((name, shelf["x"], shelf["y"], pw, ph))
            shelf["x"] += pw + kerf
            break
    else:
        sheets.append({"y": ph + kerf, "shelves": [{"y": 0, "h": ph, "x": pw + kerf, "parts": [(name, 0, 0, pw, ph)]}]})

# 剩料、利用率、面積的下限
parts_area = sum(qty * w * h for name, w, h, qty in parts)
total_area = len(sheets) * sheet_w * sheet_h
lower_bound = math.ceil(sum(qty * (w + kerf) * (h + kerf) for name, w, h, qty in parts) / ((sheet_w + kerf) * (sheet_h + kerf)))

print(f"每種零件分開買：{sheets_separate} 張")
print(f"合併裁切（分層排列法）：{len(sheets)} 張（面積的下限 {lower_bound} 張）")
for i, sheet in enumerate(sheets, 1):
    for shelf in sheet["shelves"]:
        print(f"  板材{i} 層(y={shelf['y']})：" + "、".join(f"{n}@x={x} {pw}x{ph}" for n, x, y, pw, ph in shelf["parts"]))
print(f"剩料面積：{(total_area - parts_area) / 1e6:.3f} m²  利用率：{parts_area / total_area * 100:.1f}%")
print(f"概算費用：NT${unit_price * len(sheets)}")

只用標準函式庫就能執行。「//」是無條件捨去的除法（公式中的 ⌊ ⌋），math.ceil() 是無條件進位（公式中的 ⌈ ⌉）。這段程式碼是分層排列法的基本形（長邊橫放、只有橫向分層），所以本頁的計算機若用其他零件方向、層的方向的組合，或在長條轉向排入的方案找到更少的張數，結果可能和它不同（等於下限時就相同）。for 迴圈的 else 會在迴圈沒有 break 而結束時（哪張板材都放不下時）執行，加上一張新的板材。把開頭的板材尺寸、鋸路、零件清單改成自己的數值後執行即可。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

只排同一種零件時，一張板材能裁的片數

c = ⌊(W + k) ÷ (w + k)⌋,  r = ⌊(H + k) ÷ (h + k)⌋,  m = c × r

c = \left\lfloor \frac{W + k}{w + k} \right\rfloor,\quad r = \left\lfloor \frac{H + k}{h + k} \right\rfloor,\quad m = c \times r

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>c</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x230A;</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>W</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
      <mrow><mi>w</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
    </mfrac>
    <mo>&#x230B;</mo>
    <mo>,</mo>
    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x230A;</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>H</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
      <mrow><mi>h</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
    </mfrac>
    <mo>&#x230B;</mo>
    <mo>,</mo>
    <mi>m</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>c</mi>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mi>r</mi>
  </mrow>
</math>

c = |__ (W + k) / (w + k) __|,  r = |__ (H + k) / (h + k) __|,  m = c * r

c = Floor[(W + k)/(w + k)]; r = Floor[(H + k)/(h + k)]; m = c*r

c := floor((W + k)/(w + k));  r := floor((H + k)/(h + k));  m := c*r;

c = floor((W + k)/(w + k)); r = floor((H + k)/(h + k)); m = c*r;

c = ⌊(W + k)/(w + k)⌋, r = ⌊(H + k)/(h + k)⌋, m = c × r

每種零件分開買時的張數

Bᵢ = ⌈qᵢ ÷ mᵢ⌉,  B分 = B₁ + B₂ + …

B_i = \left\lceil \frac{q_i}{m_i} \right\rceil,\quad B_{\text{分}} = \sum_i B_i

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>B</mi><mi>i</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2308;</mo>
    <mfrac><msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>m</mi><mi>i</mi></msub></mfrac>
    <mo>&#x2309;</mo>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>B</mi><mtext>分</mtext></msub>
    <mo>=</mo>
    <munder><mo>&#x2211;</mo><mi>i</mi></munder>
    <msub><mi>B</mi><mi>i</mi></msub>
  </mrow>
</math>

B_i = |~ q_i / m_i ~|,  B_"分" = sum_i B_i

Total[Ceiling[q/m]]

B := add(ceil(q[i]/m[i]), i = 1 .. n);

B = sum(ceil(q ./ m));

B_i = ⌈q_i/m_i⌉, B_分 = ∑_i B_i

分層排列法的配置（排進同一層的條件與疊得下層的條件）

w₁ + w₂ + … + wₙ + (n − 1)k ≤ W,  h₁ + h₂ + … + hₛ + (s − 1)k ≤ H

\sum_{j=1}^{n} w_j + (n - 1)k \leq W,\quad \sum_{t=1}^{s} h_t + (s - 1)k \leq H

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <munderover><mo>&#x2211;</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></munderover>
    <msub><mi>w</mi><mi>j</mi></msub>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mi>k</mi>
    <mo>&#x2264;</mo>
    <mi>W</mi>
    <mo>,</mo>
    <munderover><mo>&#x2211;</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>s</mi></munderover>
    <msub><mi>h</mi><mi>t</mi></msub>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>s</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mi>k</mi>
    <mo>&#x2264;</mo>
    <mi>H</mi>
  </mrow>
</math>

sum_(j=1)^n w_j + (n - 1) k <= W,  sum_(t=1)^s h_t + (s - 1) k <= H

Total[w] + (Length[w] - 1)*k <= W && Total[h] + (Length[h] - 1)*k <= H

add(w[j], j = 1 .. n) + (n - 1)*k <= W;  add(h[t], t = 1 .. s) + (s - 1)*k <= H;

sum(w) + (numel(w) - 1)*k <= W && sum(h) + (numel(h) - 1)*k <= H

∑_(j=1)^n w_j + (n − 1)k ≤ W, ∑_(t=1)^s h_t + (s − 1)k ≤ H

剩料面積與利用率

A剩 = B × W × H − Σ qᵢ wᵢ hᵢ,  Y = Σ qᵢ wᵢ hᵢ ÷ (B × W × H) × 100

A_{\text{剩}} = B\,W\,H - \sum_i q_i w_i h_i,\quad Y = \frac{\sum_i q_i w_i h_i}{B\,W\,H} \times 100

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>A</mi><mtext>剩</mtext></msub>
    <mo>=</mo>
    <mi>B</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>W</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>H</mi>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <munder><mo>&#x2211;</mo><mi>i</mi></munder>
    <msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>w</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>h</mi><mi>i</mi></msub>
    <mo>,</mo>
    <mi>Y</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><munder><mo>&#x2211;</mo><mi>i</mi></munder><msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>w</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>h</mi><mi>i</mi></msub></mrow>
      <mrow><mi>B</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>W</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>H</mi></mrow>
    </mfrac>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mn>100</mn>
  </mrow>
</math>

A_"剩" = B W H - sum_i q_i w_i h_i,  Y = (sum_i q_i w_i h_i) / (B W H) * 100

{B*W*H - Total[q*w*h], Total[q*w*h]/(B*W*H)*100}

Awaste := B*W*H - add(q[i]*w[i]*h[i], i = 1 .. n);  Y := add(q[i]*w[i]*h[i], i = 1 .. n)/(B*W*H)*100;

Awaste = B*W*H - sum(q .* w .* h); Y = sum(q .* w .* h)/(B*W*H)*100;

A_剩 = BWH − ∑_i q_i w_i h_i, Y = (∑_i q_i w_i h_i)/(BWH) × 100

由面積求出的理論最少張數（下限）

Bmin = ⌈Σ qᵢ (wᵢ + k)(hᵢ + k) ÷ ((W + k)(H + k))⌉

B_{\min} = \left\lceil \frac{\sum_i q_i (w_i + k)(h_i + k)}{(W + k)(H + k)} \right\rceil

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>B</mi><mi>min</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2308;</mo>
    <mfrac>
      <mrow><munder><mo>&#x2211;</mo><mi>i</mi></munder><msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><mo>(</mo><msub><mi>w</mi><mi>i</mi></msub><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><msub><mi>h</mi><mi>i</mi></msub><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mo>(</mo><mi>W</mi><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>H</mi><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></mrow>
    </mfrac>
    <mo>&#x2309;</mo>
  </mrow>
</math>

B_min = |~ (sum_i q_i (w_i + k)(h_i + k)) / ((W + k)(H + k)) ~|

Ceiling[Total[q*(w + k)*(h + k)]/((W + k)*(H + k))]

Bmin := ceil(add(q[i]*(w[i] + k)*(h[i] + k), i = 1 .. n)/((W + k)*(H + k)));

Bmin = ceil(sum(q .* (w + k) .* (h + k))/((W + k)*(H + k)));

B_min = ⌈(∑_i q_i (w_i + k)(h_i + k))/((W + k)(H + k))⌉

能省的張數與概算費用

Δ = B分 − B,  T = u × B

\Delta = B_{\text{分}} - B,\quad T = u \times B

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x394;</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>B</mi><mtext>分</mtext></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>B</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>T</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>u</mi>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mi>B</mi>
  </mrow>
</math>

Delta = B_"分" - B,  T = u * B

{bSep - b, u*b}

Delta := Bsep - B;  T := u*B;

Delta = Bsep - B; T = u*B;

Δ = B_分 − B, T = u × B

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是夾板取料（開料）的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算，並只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。

從 1820 × 910 mm（3 × 6 尺）的夾板，在鋸路 3 mm、零件可以轉 90° 的條件下，裁出頂板 900 × 450 mm × 2 片、側板 700 × 400 mm × 4 片、層板 600 × 350 mm × 3 片。
請分別求出下列數值。
1. 每種零件只排同一種時，一張板材能裁的片數（⌊(1820+3) ÷（寬+3）⌋ × ⌊(910+3) ÷（高+3）⌋，也計算交換寬和高的方向，取較多的）
2. 每種零件各用不同板材裁切時的板材合計張數（需要片數 ÷ 能裁片數無條件進位的合計）
3. 把零件依高度由高到低排列，從上往下做出橫跨板材的層並排入的分層排列法（First Fit Decreasing Height，同一層內每次往右前進寬＋鋸路，層與層之間每次往下前進高＋鋸路）配置時的板材張數，以及每張板材上零件的位置
4. 剩料面積（板材總面積 − 零件總面積）和利用率（%）
5. 由面積求出的理論最少張數（全部零件的（寬+3）×（高+3）合計除以 (1820+3) × (910+3) 再無條件進位）

請列出計算用的程式碼和執行結果的數值。

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\(W\)	板材的寬（mm），也就是買來的一張夾板的橫向長度。取自 Width（寬）的字首，為了和零件寬 \(w\) 區別用大寫。
\(H\)	板材的高（mm），也就是一張夾板的直向長度。取自 Height（高）的字首，為了和零件高 \(h\) 區別用大寫。木紋選「不限」時交換寬和高張數也不變（選「對齊」時要和零件方向一致）。
\(w\)、\(w_i\)	零件（要裁出的板）的寬（mm）。\(w_i\) 的 \(i\) 是「第 \(i\) 種零件」的編號（因為有頂板、側板、層板等好幾種）。
\(h\)、\(h_i\)	零件的高（mm）。分層排列法的式子中，\(h_1,\ h_2,\ \ldots\) 也用來表示「各層的高度」（層高＝該層最高零件的高）。
\(k\)	鋸路（鋸片厚度，mm）。每切一次就會損失這麼多的板子。取自 kerf（英文的「鋸口」）的字首。
\(c\)	只排同一種零件時，沿板材寬方向橫排的片數，用 \(\lfloor (W + k) \div (w + k) \rfloor\) 求出。取自 column（行）的字首。
\(r\)	只排同一種零件時，沿板材高方向直排的片數，用 \(\lfloor (H + k) \div (h + k) \rfloor\) 求出。取自 row（列）的字首。
\(m\)、\(m_i\)	只排同一種零件時，一張板材能裁的片數，用橫排片數 \(c\) 乘以直排片數 \(r\) 的 \(m = c \times r\) 求出。
\(q_i\)	零件 \(i\) 的需要片數，取自 quantity（數量）的字首。
\(B_i\)	只裁零件 \(i\) 所需的板材張數，用 \(\lceil q_i \div m_i \rceil\) 求出。
\(B_{\text{分}}\)	每種零件各用不同板材裁切（分開買）時的合計張數，是各零件 \(B_i\) 全部加起來的值。
\(B\)	合併裁切（分層排列法等配置）所需的板材張數，是本頁的主角。
\(n\)	同一層橫排的零件片數。零件之間有 \(n - 1\) 次的鋸路，用於排進同一層的條件式。取自 number（數）的字首。
\(s\)	一張板材上疊的層數。層與層之間有 \(s - 1\) 次的鋸路，用於疊得下層的條件式。取自 shelf（層架）的字首。
\(A_{\text{剩}}\)	剩料面積（mm²、m²）。買的板材總面積減去零件總面積的值，也包含被鋸路變成木屑的部分。\(A\) 取自 Area（面積）的字首。
\(Y\)	利用率（%）。零件總面積除以板材總面積再乘以 100 的值，取自 Yield（產出率）的字首。
\(B_{\min}\)	由面積求出的理論最少張數（下限），用 \(\lceil \sum_i q_i (w_i + k)(h_i + k) \div ((W + k)(H + k)) \rceil\) 求出，合併裁切的張數 \(B\) 等於它就是最佳。min 是 minimum（最小）的縮寫。
\(\Delta\)	能省的張數，就是 \(B_{\text{分}} - B\)。希臘字母 delta 常用來表示「差」（對應 difference 的字首 d）。
\(u\)	每張板材的單價（NT$），取自 unit price（單價）的字首。
\(T\)	概算費用（NT$），取自 total（合計）的字首。只有板材本身，不含裁切費、運費。
\(\lfloor x \rfloor\)	高斯符號（地板函數），把小數部分無條件捨去變成整數的符號（例如：\(\lfloor 3.02 \rfloor = 3\)、\(\lfloor 2 \rfloor = 2\)）。能裁的片數要「捨去放不下的部分」，所以用這個符號。
\(\lceil x \rceil\)	天花板函數，把小數部分無條件進位變成整數的符號（例如：\(\lceil 1.56 \rceil = 2\)、\(\lceil 2 \rceil = 2\)）。買的張數要「不夠就多買一張」，所以用這個符號。
\(\sum\)	表示「全部加起來」的符號。\(\sum_i q_i w_i h_i\) 就是對每種零件 \(i\) 計算 \(q_i w_i h_i\)（片數 × 寬 × 高）再全部相加。希臘字母 sigma，相當於 Sum（合計）的字首 S。

板材裁切計算機（一張夾板能裁幾片）

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