二項分布計算機（恰好 k 次的機率、累積機率、期望值與變異數）

請輸入試驗次數 n、每次成功的機率 p、成功次數 k。會一次顯示恰好 k 次的機率、k 次以下與 k 次以上的累積機率、期望值、變異數、標準差，以及整個分布的長條圖。

試驗次數 n

每次成功的機率 p

成功次數 k

數值請用半形輸入。機率 p 請輸入 0～1 的小數（例：25% 就輸入 0.25）或 1/4 這樣的分數，n 是 1～50 的整數，k 是 0～n 的整數。

計算結果與圖表

在左側輸入欄輸入次數和機率，按下「計算」，結果和分布長條圖就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式與圖表
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
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這個頁面可以做什麼

只要輸入 3 個數值，馬上就能算出「機率為 \(p\) 的事重複 \(n\) 次，恰好發生 \(k\) 次的機率」\(P(X = k) = {}_{n}\mathrm{C}_{k}\, p^{k} (1-p)^{n-k}\)
答案同時以 \(\dfrac{3}{8}\) 這樣約分後的最簡分數（精確值），以及小數、百分率顯示。也能看到組合數 \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) 的計算過程
「\(k\) 次以下的機率 \(P(X \le k)\)」「\(k\) 次以上的機率 \(P(X \ge k)\)」等累積機率也會同時算出來
也會顯示期望值 \(E(X) = np\)、變異數 \(\mathrm{Var}(X) = np(1-p)\)、標準差 \(\sigma\)，以及能否用常態分布近似的判斷
把發生次數從 0 次到 \(n\) 次的整個分布畫成長條圖，「大約幾次最容易發生」一目瞭然

只適用於「每次的機率都相同，而且每次的結果互不影響（獨立）」的重複。像抽出的籤不放回、繼續再抽這樣每次機率都會改變的情況，就不能使用。

這個計算有什麼用？

估算抽卡、抽籤「n 次中中 k 次」的機率（遊戲、娛樂）

機率 1% 的抽卡抽 100 次時，中獎次數服從二項分布 \(B(100,\ 0.01)\)（前提是公布的機率每次都相同且互相獨立）。一次都沒中的機率高達 \(0.99^{100} \approx 36.6\%\)，從分布就能看出「就算只有 1%，抽 100 次也幾乎一定會中」這個直覺有多危險。
規劃課金預算時「期望值 \(np\) 次＋分散程度」的估算，正是這個頁面的計算。

設計抽樣檢驗的允收標準（製造、品質管理）

工廠常用「從一批產品中抽出 \(n\) 個，不良品在 \(c\) 個以下就允收」的抽樣檢驗，取代全數檢驗。不良率 \(p\) 的這批產品被允收的機率，就是二項分布的累積機率 \(P(X \le c)\)。例如從不良率 1% 的一批產品抽 20 個，規定不良品 0 個才允收，允收的機率是 \(0.99^{20} \approx 81.8\%\)。
「不良率在多少以內要高機率允收、品質差的批次要能剔除」，這種檢驗標準的設計就會用到這個計算。

估算選擇題「矇對」的機率（教育、證照考試）

20 題 4 選 1 的選擇題全部用猜的，答對的題數服從二項分布 \(B(20,\ 0.25)\)，期望值是 \(20 \times 0.25 = 5\) 題。矇對 8 題以上的機率只有約 10%，用機率就能證明「只靠猜很難達到及格線」。
出題的一方也會考慮這個分布來決定題數和標準，讓人不容易靠矇的超過及格線。

解讀運動中成功次數的變化（籃球等）

罰球命中率 70% 的球員投 10 球，恰好投進 7 球的機率只有 \({}_{10}\mathrm{C}_{7} \times 0.7^{7} \times 0.3^{3} \approx 26.7\%\)（假設每球互相獨立、命中率固定）。「七成的球員 10 球投進 7 球」其實並不理所當然，投進 6 球或 8 球也很常見。
要分辨看起來手感好或手感差的表現，有多少只是「機率上正常的波動」，就會用到二項分布。

民調、收視率調查誤差的依據（統計調查）

「支持度」「收視率」等調查，會把 \(n\) 位受訪者中符合條件的人數，視為服從二項分布。台灣的民調報導常寫「抽樣誤差正負幾個百分點」，這個誤差就是由標準差 \(\sqrt{np(1-p)}\) 與常態近似算出來的。
「要訪問多少人，誤差才能縮小到多少」這種樣本數的設計，正是以二項分布的性質為依據。

公式與圖表

二項分布的機率（恰好發生 \(k\) 次的機率）

圖表

數學寫法（一般的數學式）

\(P(X = k)\) \(=\) \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) \(\times\) \(p\) \(k\) \(\times\) \((1 - p)\) \(n - k\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

⑥ \(P(X = k)\)：恰好發生 \(k\) 次的機率 \(=\) ⑤ \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)：在第幾次成功的排法數 \(\times\) ① \(p\)：成功的機率 ② \(k\)：成功次數 \(\times\) ③ \(1 - p\)：失敗的機率 ④ \(n - k\)：失敗次數

用文字讀公式

① 把 \(p\)：成功的機率

② 依 \(k\)：成功次數重複相乘，

③ 把 \(1 - p\)：失敗的機率

④ 依 \(n - k\)：失敗次數重複相乘，

⑤ 再乘以 \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)：在第幾次成功的排法數，

⑥ 就得到 \(P(X = k)\)：恰好發生 \(k\) 次的機率

簡單範例

丟硬幣（出現正面的機率 \(\dfrac{1}{2}\)）4 次，恰好出現 2 次正面的機率是

\(P(X = 2)\)：恰好 2 次 \(=\) 排法數 \({}_{4}\mathrm{C}_{2}\) \(\times\) 正面的機率 \(\dfrac{1}{2}\) 乘 2 次 \(\times\) 反面的機率 \(\dfrac{1}{2}\) 乘 2 次

\({}_{4}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\)

\(P(X = 2) = 6 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} = \dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8}\ \ (37.5\%)\)

思考重點

「成功 \(k\) 次、失敗 \(n-k\) 次」的某一種排列，機率是 \(p^{k} (1-p)^{n-k}\)。這樣的排法（在第幾次成功的選法）共有 \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) 種，所以乘上它就是答案。這和高中學到的「獨立重複試驗的機率」是同一個公式。把發生次數 \(X\) 所取的每個值（0 次、1 次、…、\(n\) 次）的機率整理在一起的分布，稱為二項分布，寫成 \(B(n,\ p)\)。這個頁面的計算機會把整個分布畫成長條圖。

累積機率（\(k\) 次以下、\(k\) 次以上的機率）

數學寫法（一般的數學式）

\(P(X \le k)\) \(=\) \(P(X=0) + P(X=1) + \cdots + P(X=k)\)

\(P(X \ge k)\) \(=\) \(1\) \(-\) \(P(X \le k - 1)\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

② \(P(X \le k)\)：\(k\) 次以下的機率 \(=\) ① 恰好 0 次～恰好 \(k\) 次的機率總和

⑤ \(P(X \ge k)\)：\(k\) 次以上的機率 \(=\) ③ \(1\)：全體的機率 \(-\) ④ \(k-1\) 次以下的機率

用文字讀公式

① 把恰好 0 次、恰好 1 次、…、恰好 \(k\) 次的機率全部相加，

② 就得到 \(P(X \le k)\)：\(k\) 次以下的機率。

③ 「\(k\) 次以上」利用餘事件計算比較快：從 \(1\)：全體的機率

④ 減去 \(P(X \le k-1)\)：\(k-1\) 次以下的機率，

⑤ 就得到 \(P(X \ge k)\)：\(k\) 次以上的機率。

簡單範例

丟硬幣 4 次時，正面出現 2 次以下的機率，以及 2 次以上的機率是

\(P(X \le 2)\)：2 次以下的機率 \(=\) 0 次、1 次、2 次的機率總和

\(P(X \le 2) = \dfrac{1}{16} + \dfrac{4}{16} + \dfrac{6}{16} = \dfrac{11}{16}\ \ (68.75\%)\)

\(P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) = 1 - \dfrac{5}{16} = \dfrac{11}{16}\ \ (68.75\%)\)

思考重點

「以下」「以上」都包含該次數本身（2 次以下＝0 次、1 次、2 次）。「\(k\) 次以下」只要把恰好的機率相加；「\(k\) 次以上」則用全體的 1 減去「\(k-1\) 次以下」（餘事件），這是標準做法。「至少發生 1 次的機率」就是 \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)\)，是餘事件最常見的用法。

二項分布的期望值、變異數、標準差

數學寫法（一般的數學式）

\(E(X)\) \(=\) \(n\) \(\times\) \(p\)

\(\mathrm{Var}(X)\) \(=\) \(n\) \(\times\) \(p\) \(\times\) \((1 - p)\)

\(\sigma\) \(=\) \(\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ \(E(X)\)：期望值（平均發生的次數） \(=\) ① \(n\)：試驗次數 \(\times\) ② \(p\)：成功的機率

⑤ \(\mathrm{Var}(X)\)：變異數（分散程度的大小） \(=\) \(n\)：試驗次數 \(\times\) \(p\)：成功的機率 \(\times\) ④ \(1 - p\)：失敗的機率

⑦ \(\sigma\)：標準差（分散程度的參考） \(=\) ⑥ 變異數 \(\mathrm{Var}(X)\) 開根號

用文字讀公式

① 把 \(n\)：試驗次數

② 乘以 \(p\)：成功的機率，

③ 就得到 \(E(X)\)：期望值（平均發生的次數）；

④ 再乘以 \(1 - p\)：失敗的機率，

⑤ 就得到 \(\mathrm{Var}(X)\)：變異數（分散程度的大小）。

⑥ 把變異數 \(\mathrm{Var}(X)\) 開根號（取平方根），

⑦ 就得到 \(\sigma\)：標準差（分散程度的參考）。

簡單範例

擲骰子 30 次，擲出 1 點的次數（\(n = 30\)，\(p = \dfrac{1}{6}\)）的情況是

\(E(X)\)：期望值 \(=\) 試驗次數 \(30\) \(\times\) 1 點的機率 \(\dfrac{1}{6}\)

\(E(X) = 30 \times \dfrac{1}{6} = 5\)

\(\mathrm{Var}(X) = 30 \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{25}{6}\)

\(\sigma = \sqrt{\dfrac{25}{6}} = \dfrac{5}{\sqrt{6}} = \dfrac{5\sqrt{6}}{6} \approx 2.04\)

思考重點

期望值 \(np\) 就是「機率 \(\dfrac{1}{6}\) 的事做 30 次，平均大約會發生 \(30 \times \dfrac{1}{6} = 5\) 次」這個直覺本身。變異數與標準差是「實際次數離期望值有多容易偏離」的參考。標準差約為 2 的話，可以解讀成「不一定剛好 5 次，大多落在 3～7 次左右」。 \(n\) 相同時，變異數 \(np(1-p)\) 在 \(p = \dfrac{1}{2}\) 時最大（也就是成功和失敗各占一半時，結果最難預測）。

常態近似（判斷標準為 \(np \ge 5\) 且 \(n(1-p) \ge 5\)）

圖表

數學寫法（一般的數學式）

文字寫法（把符號換成文字的公式）

\(B(n,\ p)\) \(\approx\) \(N(np,\ np(1 - p))\)

① 二項分布 \(B(n,\ p)\) \(\approx\) ② 平均數 \(np\)、變異數 \(np(1-p)\) 的常態分布

用文字讀公式

① 二項分布 \(B(n,\ p)\) 在符合 \(np \ge 5\) 且 \(n(1-p) \ge 5\) 的判斷標準時，

② 可以大致換成平均數 \(np\)、變異數 \(np(1-p)\) 的常態分布 \(N(np,\ np(1-p))\) 。

簡單範例

丟硬幣 20 次出現正面的次數（\(n = 20\)，\(p = \dfrac{1}{2}\)）

二項分布 \(B(20,\ \dfrac{1}{2})\) \(\approx\) 常態分布 \(N(10,\ 5)\)

\(np = 20 \times \dfrac{1}{2} = 10 \ge 5,\quad n(1 - p) = 20 \times \dfrac{1}{2} = 10 \ge 5\)

\(B\left(20,\ \dfrac{1}{2}\right) \approx N(10,\ 5)\)

思考重點

\(n\) 越大，二項分布的長條圖就越接近左右對稱的鐘形，和常態分布幾乎一樣。所以 \(n\) 很大時，可以把二項分布麻煩的加總，換成用常態分布表（或 z 分數）計算。這就是常態近似，\(np \ge 5\) 且 \(n(1-p) \ge 5\) 是代表性的判斷標準。 \(N(np,\ np(1-p))\) 括號內的順序是「平均數、變異數」。近似之後「幾次以上的機率」等計算，可以用本網站的「常態分布的機率」頁面。

二項分布是「機率為 \(p\) 的事重複 \(n\) 次時發生次數」的分布，恰好 \(k\) 次的機率是 \(P(X = k) = {}_{n}\mathrm{C}_{k}\, p^{k} (1-p)^{n-k}\)，期望值是 \(np\)，變異數是 \(np(1-p)\)。\(n\) 很大時，可以用常態分布 \(N(np,\ np(1-p))\) 近似。

符號與用語解說

符號

\(X\)	X	表示「發生次數」的隨機變數。由機率決定的數，習慣用字母表後段的大寫字母 \(X,\ Y,\ Z\) 表示。
\(P(X = k)\)	P of X 等於 k	發生次數 \(X\) 恰好為 \(k\) 次的機率。\(P\) 是 probability（機率）的第一個字母。
\({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)	n 取 k 的組合數	從 \(n\) 個中選 \(k\) 個的組合數。\(C\) 是 combination（組合）的第一個字母。台灣的高中教科書寫成 \(C^{n}_{k}\)，大學或國外的書也寫成 \(\dbinom{n}{k}\)，意思都相同。
\(n\)	n	試驗次數（重複的次數）。表示次數或個數時，常用 number（數）的第一個字母 \(n\)。
\(p\)	p	每次試驗成功的機率。是 probability（機率）的第一個字母，小寫常用來表示「每一次的機率」。
\(1 - p\)	1 減 p	每次試驗失敗的機率（不成功的機率）。成功和失敗一定會發生其中一個，所以就是全體的 \(1\) 減去 \(p\)。也常寫成 \(q\)。
\(k\)	k	成功次數，是 \(0\) 到 \(n\) 的整數。指定「發生幾次」時常用 \(k\)。
\(P(X \le k)\)	P of X 小於或等於 k	發生次數在 \(k\) 次以下（0 次～\(k\) 次其中之一）的機率。把「恰好的機率」加到 \(k\) 次為止的累積機率。
\(P(X \ge k)\)	P of X 大於或等於 k	發生次數在 \(k\) 次以上（\(k\) 次～\(n\) 次其中之一）的機率。用全體的 \(1\) 減去 \(P(X \le k-1)\)（餘事件），就能少做很多加法。
\(E(X)\)	E of X	期望值（平均發生的次數）。\(E\) 是 expectation（期望值）的第一個字母。二項分布的 \(E(X) = np\)。
\(\mathrm{Var}(X)\)	Var of X	變異數（分散程度的大小）。Var 來自 variance（變異數）。二項分布的 \(\mathrm{Var}(X) = np(1-p)\)。
\(\sigma\)	sigma	標準差。希臘字母的小寫 sigma，相當於 standard deviation 的 s。是變異數的平方根 \(\sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}\)，表示離期望值偏離程度的參考。
\(B(n,\ p)\)	B n p	試驗次數 \(n\)、成功機率 \(p\) 的二項分布。\(B\) 是 binomial（二項的）的第一個字母。「\(X\) 服從二項分布」寫成 \(X \sim B(n,\ p)\)。
\(N(\mu,\ \sigma^2)\)	N mu sigma 平方	平均數 \(\mu\)、變異數 \(\sigma^2\) 的常態分布。\(N\) 是 normal distribution（常態分布）的第一個字母。括號內習慣依「平均數、變異數」的順序書寫。
\(\approx\)	約等於	表示大約相等的符號。這個頁面用它來表示「二項分布可以大致換成常態分布」。

用語

二項分布	「機率為 \(p\) 的事重複 \(n\) 次時，會發生幾次」的機率分布。名稱來自公式中的 \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) 和二項係數（二項式定理的係數）相同。台灣在高中選修數學的「隨機變數」單元學到。
隨機變數	值由機率決定的變數。在這個頁面，「發生次數」就是隨機變數，會以各自固定的機率，取 0 次到最多 n 次的值。
試驗	像丟硬幣、抽一次籤這樣，結果由偶然決定的實驗或觀察，做一次就是一次試驗。
重複試驗	把同一個試驗以每次相同的機率、互不影響地（獨立地）重複進行，也稱為獨立重複試驗。二項分布就是重複試驗中「成功次數」的分布。
獨立	某次試驗的結果不會影響另一次試驗的結果。擲骰子的第 1 次和第 2 次是獨立的；但抽出的籤不放回、繼續抽的話就不是獨立的（因為前一次的結果會改變剩下的中獎籤數量）。
組合	從 \(n\) 個中「不考慮順序」選出 \(k\) 個的選法，總數是 \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)。在二項分布中，它表示「\(n\) 次中在哪幾次成功」的選法數。
累積機率	把「恰好 \(k\) 次」的機率加到某個次數為止的機率。「\(k\) 次以下的機率」\(P(X \le k)\) 就是代表。
餘事件	某件事「不發生」的那一方的事件。機率的總和一定是 1，所以像「\(k\) 次以上」這樣的機率，用 1 減去相反那一側（\(k-1\) 次以下）的機率就能輕鬆求出。
期望值	把該試驗做很多次時的平均值。在二項分布中就是「平均發生幾次」，公式很簡單，就是 \(np\)。
變異數	表示實際的值離期望值有多容易偏離（分散程度）的量。定義為偏離量平方的平均。
標準差	變異數的平方根。變異數的單位會變成「平方」，所以開根號、讓單位回到原本的（這個頁面是次數），作為分散程度的參考。
常態分布	平均數附近最容易發生、離平均越遠越不容易發生，左右對稱的鐘形分布。身高、測量誤差等生活中許多量都接近這個形狀，二項分布在 \(n\) 很大時也會接近常態分布。
常態近似	\(n\) 很大時，把二項分布換成常態分布 \(N(np,\ np(1-p))\) 來計算。\(np \ge 5\) 且 \(n(1-p) \ge 5\) 是代表性的判斷標準。

建議先了解的基礎知識

為了讓您「真正理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議事先理解的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習這張表的內容是最快的捷徑。

機率的基礎（國中九年級，14～15 歲）	知道機率是用 0 到 1 的數表示「發生的可能性」（包括 0.25 = 25% 這樣的換算）知道所有可能情況的機率加起來一定等於 1
分數的計算（國小五年級～國中七年級，10～13 歲）	會算分數的乘法（\(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\)），也會約分、通分習慣把答案保留為分數（也能把 \(\dfrac{3}{8}\) 換成 0.375）
次方與指數（國中七年級～高一，12～16 歲）	知道右上角的小數字（指數）表示「乘的次數」，例如 \(p^{3} = p \times p \times p\) 會算分數的次方，例如 \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4} = \dfrac{1}{16}\)
排列與組合（高一，15～16 歲）	知道 \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)（台灣的教科書寫成 \(C^{n}_{k}\)）是「從 \(n\) 個中不考慮順序選出 \(k\) 個的選法數」會像 \({}_{4}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\) 這樣計算
獨立重複試驗的機率與餘事件（高中，15～17 歲）	理解「每次機率相同、獨立地重複」這個重複試驗的設定會用 \(1 - P(X = 0)\) 求「至少 1 次」，也就是餘事件的概念
隨機變數與期望值、變異數（高中選修數學，17～18 歲）	理解隨機變數（值由機率決定的變數）與機率分布這些詞的意思知道期望值表示「平均的值」，變異數與標準差表示「分散程度的大小」
常態分布（高中選修數學，17～18 歲）	知道常態分布是「平均數附近最容易發生、左右對稱的鐘形分布」（閱讀常態近似的卡片時需要）知道 \(N(\mu,\ \sigma^2)\) 括號內的順序是「平均數、變異數」

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

求「恰好發生 k 次的機率」的表格

試驗次數 n	4
每次成功的機率 p	0.5
成功次數 k	2
恰好發生 k 次的機率 P(X=k)	=BINOM.DIST(B3,B1,B2,FALSE)

求「累積機率（k 次以下、k 次以上）」的表格

試驗次數 n	4
每次成功的機率 p	0.5
成功次數 k	2
k 次以下的機率 P(X≤k)	=BINOM.DIST(B3,B1,B2,TRUE)
k 次以上的機率 P(X≥k)	=1-BINOM.DIST(B3-1,B1,B2,TRUE)

求「期望值、變異數、標準差」的表格

試驗次數 n	30
每次成功的機率 p	=1/6
期望值 E(X) = np	=B1*B2
變異數 Var(X) = np(1-p)	=B1B2(1-B2)
標準差 σ	=SQRT(B4)

確認「常態近似判斷標準」的表格

試驗次數 n	20
每次成功的機率 p	0.5
np	=B1*B2
n(1-p)	=B1*(1-B2)
是否符合判斷標準	=AND(B3>=5,B4>=5)

貼上後，上方的列（n、p、k）是輸入欄，下方的列是自動計算的結果。
BINOM.DIST 是二項分布的函數，引數依序是「成功次數，試驗次數，成功機率，是否累積」。最後一個設為 FALSE 是「恰好的機率」，設為 TRUE 是「該次數以下的累積機率」。
第 1 個表格是丟硬幣 4 次恰好出現 2 次正面的例子，答案是 0.375（= 3/8）。
第 2 個表格的答案都是 0.6875。「k 次以上」是用 1 減去「k−1 次以下」求出的（k 輸入 0 時這個公式會出現錯誤，但 0 次以上的機率一定是 1）。
第 3 個表格是擲骰子 30 次擲出 1 點次數的例子，期望值 5、變異數 4.1667、標準差 2.0412。
第 4 個表格在 np 和 n(1−p) 都在 5 以上時顯示 TRUE（符合常態近似的判斷標準），否則顯示 FALSE。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

求「恰好發生 k 次的機率」的表格

試驗次數 n	4
每次成功的機率 p	0.5
成功次數 k	2
恰好發生 k 次的機率 P(X=k)	=BINOMDIST(B3,B1,B2,FALSE)

求「累積機率（k 次以下、k 次以上）」的表格

試驗次數 n	4
每次成功的機率 p	0.5
成功次數 k	2
k 次以下的機率 P(X≤k)	=BINOMDIST(B3,B1,B2,TRUE)
k 次以上的機率 P(X≥k)	=1-BINOMDIST(B3-1,B1,B2,TRUE)

求「期望值、變異數、標準差」的表格

試驗次數 n	30
每次成功的機率 p	=1/6
期望值 E(X) = np	=B1*B2
變異數 Var(X) = np(1-p)	=B1B2(1-B2)
標準差 σ	=SQRT(B4)

確認「常態近似判斷標準」的表格

試驗次數 n	20
每次成功的機率 p	0.5
np	=B1*B2
n(1-p)	=B1*(1-B2)
是否符合判斷標準	=AND(B3>=5,B4>=5)

在 Google 試算表中，函數名稱是 BINOMDIST（引數的順序和 Excel 的 BINOM.DIST 相同：「成功次數，試驗次數，成功機率，是否累積」）。把表格整個複製、貼到 A1 儲存格，再把 n、p、k 改成自己的數值即可。
「k 次以上」的公式在 k 輸入 0 時會出現錯誤，這點也和 Excel 相同（0 次以上的機率一定是 1）。

用 Python 計算的方法

from fractions import Fraction
from math import comb, sqrt

trial_count = 4                  # 試驗次數 n
success_prob = Fraction(1, 2)    # 每次成功的機率 p（也可以用 0.3 這樣的小數）
success_count = 2                # 成功次數 k

failure_prob = 1 - success_prob

# 恰好發生 k 次的機率 P(X=k) = nCk × p^k × (1−p)^(n−k)
exact_prob = (comb(trial_count, success_count)
              * success_prob ** success_count
              * failure_prob ** (trial_count - success_count))
print(f"恰好 {success_count} 次的機率：{exact_prob} = {float(exact_prob)}")

# 累積機率（k 次以下、k 次以上）
prob_le = sum(comb(trial_count, i) * success_prob ** i * failure_prob ** (trial_count - i)
              for i in range(success_count + 1))
prob_ge = 1 - prob_le + exact_prob
print(f"{success_count} 次以下的機率：{prob_le} = {float(prob_le)}")
print(f"{success_count} 次以上的機率：{prob_ge} = {float(prob_ge)}")

# 期望值、變異數、標準差
mean = trial_count * success_prob
variance = mean * failure_prob
print(f"期望值：{mean}  變異數：{variance}  標準差：{sqrt(variance)}")

只用標準函式庫就能執行。使用 fractions 模組，就能以沒有小數捨入誤差的精確分數計算（comb 是組合數 nCk）。這個例子是丟硬幣 4 次恰好出現 2 次正面，執行後會顯示機率 3/8 = 0.375，2 次以下與 2 次以上都是 11/16 = 0.6875，以及期望值 2、變異數 1、標準差 1.0。把 n、p、k 這 3 個數值改掉後執行即可。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

二項分布的機率（恰好發生 \(k\) 次的機率）

P(X = k) = nCk pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mfrac linethickness="0"><mi>n</mi><mi>k</mi></mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
    <msup><mi>p</mi><mi>k</mi></msup>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>k</mi></mrow>
    </msup>
  </mrow>
</math>

P(X = k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)

PDF[BinomialDistribution[n, p], k]

binomial(n, k)*p^k*(1-p)^(n-k);

binopdf(k, n, p)

P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)

累積機率（\(k\) 次以下、\(k\) 次以上的機率）

P(X ≤ k) = Σ[i=0→k] nCi pⁱ (1 − p)ⁿ⁻ⁱ

P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^{i} (1 - p)^{n - i}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>&#x2264;</mo><mi>k</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
      <mi>k</mi>
    </munderover>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mfrac linethickness="0"><mi>n</mi><mi>i</mi></mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
    <msup><mi>p</mi><mi>i</mi></msup>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>i</mi></mrow>
    </msup>
  </mrow>
</math>

P(X <= k) = sum_(i=0)^k C(n,i) p^i (1-p)^(n-i)

CDF[BinomialDistribution[n, p], k]

add(binomial(n, i)*p^i*(1-p)^(n-i), i = 0..k);

binocdf(k, n, p)

P(X≤k) = Σ_(i=0)^k C(n,i) p^i (1-p)^(n-i)

二項分布的期望值、變異數、標準差

E(X) = np,  Var(X) = np(1 − p),  σ = √(np(1 − p))

E(X) = np, \quad \mathrm{Var}(X) = np(1 - p), \quad \sigma = \sqrt{np(1 - p)}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>E</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>n</mi><mi>p</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>Var</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>=</mo>
    <mi>n</mi><mi>p</mi>
    <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
    <mo>,</mo>
    <mi>&#x3C3;</mi><mo>=</mo>
    <msqrt><mi>n</mi><mi>p</mi><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow></msqrt>
  </mrow>
</math>

E(X) = np, Var(X) = np(1-p), sigma = sqrt(np(1-p))

{Mean[BinomialDistribution[n, p]], Variance[BinomialDistribution[n, p]], StandardDeviation[BinomialDistribution[n, p]]}

n*p; n*p*(1-p); sqrt(n*p*(1-p));

[m, v] = binostat(n, p); s = sqrt(v);

E(X) = np, Var(X) = np(1-p), σ = √(np(1-p))

常態近似（判斷標準為 \(np \ge 5\) 且 \(n(1-p) \ge 5\)）

B(n, p) ≈ N(np, np(1 − p))

B(n,\ p) \approx N(np,\ np(1 - p))

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>B</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>p</mi><mo>)</mo>
    <mo>&#x2248;</mo>
    <mi>N</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mi>p</mi><mo>,</mo>
    <mi>n</mi><mi>p</mi>
    <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

B(n, p) ~~ N(np, np(1-p))

NormalDistribution[n p, Sqrt[n p (1 - p)]]

Normal(n*p, sqrt(n*p*(1-p)));

pd = makedist('Normal', 'mu', n*p, 'sigma', sqrt(n*p*(1-p)));

B(n, p) ≈ N(np, np(1-p))

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是數學（機率、統計）計算的助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下列計算，並只以執行結果的數值作為回答的依據（請不要用心算或猜測回答）。

抽中獎機率為 1/6 的籤 10 次時，請針對中獎次數的二項分布求出下列各項。
1. 恰好中獎 2 次的機率 P(X=2)（請同時以最簡分數和小數表示）
2. 中獎 2 次以下的機率 P(X≤2)，以及 2 次以上的機率 P(X≥2)
3. 期望值 E(X)、變異數 Var(X)、標準差 σ
4. 是否符合常態近似的判斷標準 np ≥ 5 且 n(1−p) ≥ 5

在 Python 中請使用標準函式庫的 fractions 與 math.comb 精確計算，並列出計算時使用的公式與執行結果的數值。