請在球冠（用平面從球切下的圓頂形）的「底面半徑 \(r\)」「球半徑 \(R\)」「高 \(h\)」中，只在已知的 2 個欄位填入數值。會先反推剩下的 1 個，再算出圓弧曲面部分的面積（\(2\pi Rh\)）、底面圓面積和兩者合計。
只輸入 2 個欄位（剩下 1 個保持空白）。長度請輸入大於 0 的數值（可以是小數），3 個欄位的單位要一致（例如全部用公分）。面積的單位是輸入單位的平方（公分就是 cm²）。輸入 \(r\) 和 \(R\) 時，高 \(h\) 的答案可能有 2 個（淺的球冠和深的球冠）。
計算結果與圖形
在左邊的輸入欄中，填入 3 個欄位裡已知的 2 個，按下「計算」，結果就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 馬上算出球冠（用平面把球一刀切下、像圓頂的形狀）的表面積
- 在「底面半徑 \(r\)」「球半徑 \(R\)」「高 \(h\)」中，只要輸入已知的 2 個，剩下的 1 個也會自動反推
- 附計算過程，一次顯示圓弧曲面部分的面積（\(2\pi Rh\)）、底面（切口的圓）面積和兩者合計
- 計算結果的球冠也會用 3D 圖形顯示（可以拖曳旋轉）
- 公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，都整理在這個頁面
面積的單位是輸入長度單位的平方（以公分輸入就是 cm²）。對象是「用平面把球直直切下的形狀」（切口是圓的形狀），像圓頂屋頂、碗、鏡片、浮出水面的浮標等，都是這種形狀。
這個計算有什麼用？
估算天象儀、圓頂屋頂的面積（建築）
天象儀、天文台、巨蛋球場的圓形屋頂，正是球冠的形狀。屋頂材料和塗裝的量，可以用曲面面積 \(2\pi Rh\) 估算。
例如直徑 16 公尺（底面半徑 8 公尺）、高 4 公尺的圓頂，原本球的半徑是 \(R = (4^2 + 8^2) \div (2 \times 4) = 10\) 公尺，屋頂面積可以算出是 \(2\pi \times 10 \times 4 \approx 251\,\mathrm{m^2}\)。
測量鏡片的圓弧程度（曲率半徑）（光學、眼鏡）
眼鏡和隱形眼鏡的表面是球冠的形狀，圓弧程度用「原本球的半徑」（曲率半徑）來表示。鏡片師傅使用的球徑計，會量出鏡片表面的寬度 \(2r\) 和隆起的高 \(h\)，再用公式 6（\(R = (h^2 + r^2) \div 2h\)）算出原本球的半徑。
例如在半徑 6 公釐的範圍內隆起 0.9 公釐，曲率半徑就是 \((0.9^2 + 6^2) \div 1.8 \approx 20.5\) 公釐。
估算圓頂蛋糕的淋面用量（料理、烘焙）
在圓頂蛋糕（半球）上淋巧克力或鏡面淋醬（有光澤的淋面）時，需要的量和表面的面積成正比。直徑 12 公分的半球蛋糕，\(R = h = 6\) 公分，所以曲面面積是 \(2\pi \times 6 \times 6 \approx 226\,\mathrm{cm^2}\)。
也能用來估算「模具尺寸變成 2 倍，淋面要幾倍」（因為是面積，約 4 倍）。
浮在水面的浮標「露出部分」的面積（海洋、船舶）
球形浮標浮在水面上時，露出水面的部分是球冠。半徑 15 公分的浮標露出水面 10 公分，接觸空氣的面積是 \(2\pi \times 15 \times 10 \approx 942\,\mathrm{cm^2}\)。
從整顆球的表面積 \(4\pi R^2 \approx 2827\,\mathrm{cm^2}\) 減掉，就知道泡在水裡的面積（需要防汙塗裝的範圍）約 \(1885\,\mathrm{cm^2}\)。
人造衛星電波覆蓋範圍的大小（太空、通訊）
人造衛星電波能到達的地表範圍（覆蓋區），可以近似成地球表面的一部分，也就是球冠。覆蓋面積可以用地球半徑 \(R \approx 6371\) 公里和範圍的深度 \(h\)，以 \(2\pi Rh\) 估算（實際設計還會考慮電波強度的分布等）。
「把衛星升高，覆蓋範圍會擴大多少」這類通訊網路的規劃，就是以這個公式的想法為基礎。
公式與圖示
球冠（圓弧曲面部分）的面積
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(S_1\)
\(=\)
\(2\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(R\)
\(\times\)
\(h\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑤
球冠的曲面面積 \(S_1\)
\(=\)
④
常數 \(2\)
\(\times\)
③
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
①
球半徑 \(R\)
\(\times\)
②
球冠的高 \(h\)
用文字讀公式
①
把
球半徑 \(R\)
②
乘以
球冠的高 \(h\)
，
③
乘以
圓周率 \(\pi\)
，
④
再乘以
常數 \(2\)
，就得到
⑤
球冠的曲面面積 \(S_1\)
。
簡單範例
把半徑 10 公分的球，在距離頂端高 5 公分處切下的球冠，圓弧曲面部分的面積是
球冠的曲面面積 \(S_1\)
\(=\)
常數 \(2\)
\(\times\)
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
球半徑（10 cm）
\(\times\)
高（5 cm）
\(2 \times \pi \times 10 \times 5 = 100\pi \approx 314.2\,\mathrm{cm^2}\)
思考重點
奇妙的是，這個公式裡沒有底面半徑 \(r\)。球冠的曲面面積只由「原本球的半徑 \(R\)」和「高 \(h\)」這 2 個值決定。而且 \(2\pi Rh\) 和「半徑 \(R\)、高 \(h\) 的圓柱側面積」完全相同。把球切成厚度相同的薄片，不管靠近邊緣還是在正中央，曲面的面積都相等，這是古希臘數學家阿基米德發現的美妙性質。
代入 \(h = 2R\)（整顆球）會得到 \(2\pi R \times 2R = 4\pi R^2\)，也能確認和球的表面積公式完全一致。
底面（切口的圓）的面積
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(S_2\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
底面圓的面積 \(S_2\)
\(=\)
③
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
①
底面半徑 \(r\)
②
平方（同一個數連乘 2 次）
用文字讀公式
①
把
底面半徑 \(r\)
②
平方（同一個數連乘 2 次）
，
③
再乘以
圓周率 \(\pi\)
，就得到
④
底面圓的面積 \(S_2\)
。
簡單範例
底面（切口的圓）半徑 3 公分的球冠，底面的面積是
底面圓的面積 \(S_2\)
\(=\)
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
底面半徑（3 cm）
平方
\(\pi \times 3^{2} = 9\pi \approx 28.3\,\mathrm{cm^2}\)
思考重點
這就是一般「圓面積＝圓周率 × 半徑的平方」的公式。不管在球的哪裡切，用平面切出的切口一定是圓，所以底面的面積可以用圓面積公式求出。
表面積合計（曲面＋底面）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(S\)
\(=\)
\(2\pi R h\)
\(+\)
\(\pi r^2\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
表面積合計 \(S\)
\(=\)
①
曲面面積 \(2\pi Rh\)
\(+\)
②
底面面積 \(\pi r^2\)
用文字讀公式
①
把
球冠的曲面面積 \(2\pi Rh\)（公式 1）
②
加上
底面圓的面積 \(\pi r^2\)（公式 2）
，就得到
③
表面積合計 \(S\)
。
簡單範例
把半徑 10 公分的球切下高 5 公分的球冠（底面半徑是 \(\sqrt{75} \approx 8.66\) 公分），表面積合計是
表面積合計 \(S\)
\(=\)
曲面面積（\(100\pi\) cm²）
\(+\)
底面面積（\(75\pi\) cm²）
\(2\pi \times 10 \times 5 + \pi \times (\sqrt{75})^{2} = 100\pi + 75\pi\)
\(100\pi + 75\pi = 175\pi \approx 549.8\,\mathrm{cm^2}\)
思考重點
「表面積合計」是從外面看從球切下的實心一塊（球缺）時，整個表面的面積（圓弧曲面＋切口的圓）。
像圓頂屋頂的面積這樣「只想知道圓弧曲面」時，請使用公式 1 的 \(S_1 = 2\pi Rh\)（計算結果中「球冠（圓弧曲面部分）的面積」）的值。
底面半徑 \(r\) 的求法（已知 \(R\) 和 \(h\) 時）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(r\)
\(=\)
\(\sqrt{2Rh - h^{2}}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
②
底面半徑 \(r\)
\(=\)
①
\(2Rh - h^2\) 的平方根
用文字讀公式
①
求出
\(2Rh - h^2\)（球半徑 × 高的 2 倍，減去高的平方所得的值）的平方根
，就得到
②
底面半徑 \(r\)
。
簡單範例
把半徑 10 公分的球切下高 5 公分的球冠，底面（切口的圓）半徑是
底面半徑 \(r\)
\(=\)
\(2 \times 10 \times 5 - 5^2\)（＝75）的平方根
\(r = \sqrt{2 \times 10 \times 5 - 5^{2}} = \sqrt{100 - 25}\)
\(r = \sqrt{75} \approx 8.66\,\mathrm{cm}\)
思考重點
把球心、底面圓的圓心、切口邊緣這 3 點連起來，會形成直角三角形。對它使用畢氏定理，得到 \(r^2 = R^2 - (R-h)^2 = 2Rh - h^2\)，就能導出這個公式。
根號裡面可以變形成 \(2Rh - h^2 = h(2R - h)\)，所以只要高 \(h\) 不大於球的直徑 \(2R\)，它就會是 0 以上，一定能計算。
高 \(h\) 的求法（已知 \(r\) 和 \(R\) 時，答案有 2 個）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(h\)
\(=\)
\(R\)
\(\pm\)
\(\sqrt{R^{2} - r^{2}}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
球冠的高 \(h\)
\(=\)
①
球半徑 \(R\)
\(\pm\)
②
\(R^2 - r^2\) 的平方根
用文字讀公式
①
在
球半徑 \(R\)
上
②
加上或減去
\(R^2 - r^2\)（球半徑的平方減去底面半徑的平方所得的值）的平方根
（± 的 2 種情況），就得到
③
球冠的高 \(h\)
。
簡單範例
從半徑 2 公尺的球切下底面半徑 1 公尺的部分時，球冠的高是
球冠的高 \(h\)
\(=\)
球半徑（2 m）
\(\pm\)
\(2^2 - 1^2\)（＝3）的平方根
\(h = 2 \pm \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = 2 \pm \sqrt{3} \approx 2 \pm 1.732\)
\(h = 2 - \sqrt{3} \approx 0.268, \quad h = 2 + \sqrt{3} \approx 3.732\)
思考重點
答案有 2 個，是因為即使切口一樣大，也有「切得淺（頂端那一側的小球冠）」和「切得深（剩下的大球冠）」2 種情況。2 個高相加一定等於球的直徑 \(2R\)（例子中 \(0.268 + 3.732 = 4 = 2R\)）。
另外，\(r = R\)（在球最粗的地方切）時，\(\sqrt{R^2 - r^2} = 0\)，答案只有 \(h = R\) 一個，也就是剛好是半球。
球半徑 \(R\) 的求法（已知 \(r\) 和 \(h\) 時）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(R\)
\(=\)
\((\)
\(h^{2}\)
\(+\)
\(r^{2}\)
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(2h\)
\()\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
球半徑 \(R\)
\(=\)
\((\)
①
高 \(h\) 的平方
\(+\)
②
底面半徑 \(r\) 的平方
\()\)
\(\div\)
\((\)
③
高 \(h\) 的 2 倍 \(2h\)
\()\)
用文字讀公式
①
把
高 \(h\) 的平方
②
加上
底面半徑 \(r\) 的平方
，
③
再除以
高 \(h\) 的 2 倍 \(2h\)
，就得到
④
球半徑 \(R\)
。
簡單範例
底面半徑 3 公分、高 2 公分的圓頂形（球冠），原本球的半徑是
球半徑 \(R\)
\(=\)
\((\)
高的平方（\(2^2 = 4\)）
\(+\)
半徑的平方（\(3^2 = 9\)）
\()\)
\(\div\)
\((\)
高的 2 倍（\(4\)）
\()\)
\(R = \dfrac{2^{2} + 3^{2}}{2 \times 2} = \dfrac{4 + 9}{4} = \dfrac{13}{4} = 3.25\,\mathrm{cm}\)
思考重點
這個公式可以從只剩下「圓球一部分」的形狀（盤子的碎片、鏡片、圓頂）還原出原本球的大小。只要量出切口半徑 \(r\) 和從切口隆起的高 \(h\) 這 2 個值，就能知道原本球的半徑。
測量鏡片或鏡面圓弧程度「曲率半徑」的工具（球徑計），也正是用這個公式計算。
球冠的圓弧曲面面積，只要用「2 × 圓周率 π × 球半徑 R × 高 h」就能求出（重點是不會出現底面半徑 r）。連切口的圓也算進去的表面積合計，只要再加上圓面積 πr² 即可。r、R、h 只要知道其中 2 個，就能算出剩下的 1 個。
符號與用語解說
符號
| \(S\) | S | 常用來表示面積的符號，取自英文 surface（表面）或 square（正方形、平方）的第一個字母。在本頁表示球冠的表面積。 |
| \(R\) | R（大寫） | 原本的球（切開前的整顆球）的半徑，取自英文 radius（半徑）的第一個字母。為了和小寫的 \(r\) 區分，所以用大寫。 |
| \(r\) | r（小寫） | 底面（切口的圓）的半徑。雖然同樣叫「半徑」，但和大寫的 \(R\)（球半徑）是不同的長度，請注意。 |
| \(h\) | h | 球冠的高，也就是從切口的平面到球面頂端的距離，取自英文 height（高）的第一個字母。 |
| \(\pi\) | pi | 圓周率，表示圓周長是直徑幾倍的常數，約 3.14159…無限延續。國小用 3.14 計算。 |
| \(r^2\) | r 的平方 | 同一個數 \(r\) 連乘 2 次的值（\(r \times r\)）。右上角的小 2 是指數，意思是「乘 2 次」（例如 \(3^2 = 3 \times 3 = 9\)）。 |
| \(\sqrt{\phantom{0}}\) | 根號 | 表示平方後等於該數、0 以上的數的符號（例如 \(\sqrt{75}\) 是「平方後等於 75 的數」，約 8.66）。 |
| \(\pm\) | 正負 | 表示「加和減兩種情況都是答案」的符號。在公式 5 中表示高 \(h\) 的答案有 2 個。 |
| \(\mathrm{cm^2}\) | 平方公分 | 面積的單位。每邊 1 公分的正方形，面積是 1 cm²。這個計算機的面積單位是「輸入長度單位的平方」（以公尺輸入就是 m²）。 |
用語
| 球冠 | 用一個平面把球一刀切開時得到的圓弧曲面部分，像圓頂屋頂、碗、隱形眼鏡的形狀。 |
| 球缺 | 用一個平面從球切下的「實心的一塊」。它的表面由球冠（圓弧曲面）和底面（切口的圓）組成，本頁的「表面積合計」就是球缺整個表面的面積。 |
| 半球 | 用通過球心的平面把球剛好切成一半的形狀，是高 \(h\) 等於球半徑 \(R\)（\(h = R\)）的特殊球冠。 |
| 表面積 | 立體整個表面的面積。和體積（裡面的多少）是不同的量，在考慮塗裝面積、包裝紙面積等時使用。 |
| 曲面 | 不是平的、而是彎曲的面。球冠「圓圓的部分」是曲面，切口的圓是平面。 |
| 畢氏定理 | 直角三角形中「夾直角的兩邊的平方和＝斜邊的平方」成立的定理（也叫勾股定理）。公式 4～6 的反推公式，都是對球的截面中出現的直角三角形使用這個定理推導出來的。 |
| 平方根 | 平方後等於該數的數，符號是 \(\sqrt{\phantom{0}}\)（根號）。在反推的公式 4、公式 5 中，為了「把平方的計算還原」而出現。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
| 圓面積與圓周率（國小六年級，11～12 歲） |
|
| 次方與指數（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 球的表面積公式（國中～高中，12～18 歲） |
|
| 平方根（國中八年級，13～14 歲） |
|
| 畢氏定理（國中八年級，13～14 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「球冠（曲面）的面積」的表格
| 球半徑 R | 10 |
| 球冠的高 h | 5 |
| 球冠（曲面）的面積 | =2*PI()*B1*B2 |
求「底面（切口的圓）的面積」的表格
| 底面半徑 r | 3 |
| 底面圓的面積 | =PI()*B1^2 |
求「表面積合計」的表格（由 R 和 h）
| 球半徑 R | 10 |
| 球冠的高 h | 5 |
| 底面半徑 r（自動計算） | =SQRT(2*B1*B2-B2^2) |
| 表面積合計 | =2*PI()*B1*B2+PI()*B3^2 |
反推「底面半徑 r」的表格
| 球半徑 R | 10 |
| 球冠的高 h | 5 |
| 底面半徑 r | =SQRT(2*B1*B2-B2^2) |
反推「高 h」的表格（答案有 2 個）
| 底面半徑 r | 1 |
| 球半徑 R | 2 |
| 高 h（解 1，淺的球冠） | =B2-SQRT(B2^2-B1^2) |
| 高 h（解 2，深的球冠） | =B2+SQRT(B2^2-B1^2) |
反推「球半徑 R」的表格
| 底面半徑 r | 3 |
| 球冠的高 h | 2 |
| 球半徑 R | =(B2^2+B1^2)/(2*B2) |
貼上後，A 欄是項目名稱，B 欄是數值。上面的列是輸入欄，最後一列的公式會用輸入欄的值自動計算。
「PI()」是傳回圓周率 π（3.14159…）的函數，「SQRT()」是求平方根（根號）的函數。「*」是乘法，「/」是除法，「^」是次方（平方）的符號。
例如第 1 個表格的 B3 會顯示約 314.16，第 3 個表格的 B4 會顯示約 549.78。第 5 個表格是高的答案有 2 個的例子（約 0.268 和約 3.732）。只要把輸入欄的數值改成自己的值就能使用。
「PI()」是傳回圓周率 π（3.14159…）的函數，「SQRT()」是求平方根（根號）的函數。「*」是乘法，「/」是除法，「^」是次方（平方）的符號。
例如第 1 個表格的 B3 會顯示約 314.16，第 3 個表格的 B4 會顯示約 549.78。第 5 個表格是高的答案有 2 個的例子（約 0.268 和約 3.732）。只要把輸入欄的數值改成自己的值就能使用。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「球冠（曲面）的面積」的表格
| 球半徑 R | 10 |
| 球冠的高 h | 5 |
| 球冠（曲面）的面積 | =2*PI()*B1*B2 |
求「底面（切口的圓）的面積」的表格
| 底面半徑 r | 3 |
| 底面圓的面積 | =PI()*B1^2 |
求「表面積合計」的表格（由 R 和 h）
| 球半徑 R | 10 |
| 球冠的高 h | 5 |
| 底面半徑 r（自動計算） | =SQRT(2*B1*B2-B2^2) |
| 表面積合計 | =2*PI()*B1*B2+PI()*B3^2 |
反推「底面半徑 r」的表格
| 球半徑 R | 10 |
| 球冠的高 h | 5 |
| 底面半徑 r | =SQRT(2*B1*B2-B2^2) |
反推「高 h」的表格（答案有 2 個）
| 底面半徑 r | 1 |
| 球半徑 R | 2 |
| 高 h（解 1，淺的球冠） | =B2-SQRT(B2^2-B1^2) |
| 高 h（解 2，深的球冠） | =B2+SQRT(B2^2-B1^2) |
反推「球半徑 R」的表格
| 底面半徑 r | 3 |
| 球冠的高 h | 2 |
| 球半徑 R | =(B2^2+B1^2)/(2*B2) |
和 Excel 相同的公式（包括 PI()、SQRT() 函數）可以直接使用。把表格整個複製後貼到 A1 儲存格，再把輸入欄的數值改成自己的值即可。
用 Python 計算的方法
import math
ball_radius = 10 # 球半徑 R（這個例子用公分）
cap_height = 5 # 球冠的高 h
base_radius = math.sqrt(2 * ball_radius * cap_height - cap_height ** 2) # 底面半徑 r（反推）
cap_area = 2 * math.pi * ball_radius * cap_height # 球冠（曲面）的面積
base_area = math.pi * base_radius ** 2 # 底面圓的面積
total_area = cap_area + base_area # 表面積合計
print(f"底面半徑 r：{base_radius} cm")
print(f"球冠（曲面）的面積：{cap_area} cm2")
print(f"底面圓的面積：{base_area} cm2")
print(f"表面積合計：{total_area} cm2")
只用標準函式庫就能執行。「math.pi」是圓周率 π，「math.sqrt()」是平方根（根號），「**」是次方（平方）的符號。請改寫開頭的球半徑和高再執行（這是以公分輸入的例子）。想由 r 和 h 反推球半徑時，改成「ball_radius = (cap_height ** 2 + base_radius ** 2) / (2 * cap_height)」即可。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
球冠（圓弧曲面部分）的面積
S₁ = 2πRh
S_1 = 2\pi R h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mi>π</mi>
<mi>R</mi>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
S_1 = 2 pi R h
2*Pi*R*h
S1 := 2*Pi*R*h;
S1 = 2*pi*R*h;
S_1 = 2πRh
底面（切口的圓）的面積
S₂ = πr²
S_2 = \pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S_2 = pi r^2
Pi*r^2
S2 := Pi*r^2;
S2 = pi*r^2;
S_2 = πr^2
表面積合計（曲面＋底面）
S = 2πRh + πr²
S = 2\pi R h + \pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn><mi>π</mi><mi>R</mi><mi>h</mi>
<mo>+</mo>
<mi>π</mi><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S = 2 pi R h + pi r^2
2*Pi*R*h + Pi*r^2
S := 2*Pi*R*h + Pi*r^2;
S = 2*pi*R*h + pi*r^2;
S = 2πRh + πr^2
底面半徑 \(r\) 的求法（已知 \(R\) 和 \(h\) 時）
r = √(2Rh − h²)
r = \sqrt{2Rh - h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<mn>2</mn><mi>R</mi><mi>h</mi>
<mo>−</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
r = sqrt(2Rh - h^2)
Sqrt[2*R*h - h^2]
r := sqrt(2*R*h - h^2);
r = sqrt(2*R*h - h^2);
r = √(2Rh − h^2)
高 \(h\) 的求法（已知 \(r\) 和 \(R\) 時，答案有 2 個）
h = R ± √(R² − r²)
h = R \pm \sqrt{R^{2} - r^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>h</mi>
<mo>=</mo>
<mi>R</mi>
<mo>±</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
h = R +- sqrt(R^2 - r^2)
Solve[r^2 + (R - h)^2 == R^2, h]
solve(r^2 + (R - h)^2 = R^2, h);
h = [R - sqrt(R^2 - r^2), R + sqrt(R^2 - r^2)];
h = R ± √(R^2 − r^2)
球半徑 \(R\) 的求法（已知 \(r\) 和 \(h\) 時）
R = (h² + r²) ÷ (2h)
R = \dfrac{h^{2} + r^{2}}{2h}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>R</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
<mrow><mn>2</mn><mi>h</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
R = (h^2 + r^2) / (2h)
(h^2 + r^2)/(2*h)
R := (h^2 + r^2)/(2*h);
R = (h^2 + r^2)/(2*h);
R = (h^2 + r^2)/(2h)
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算，並只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。 用平面在距離頂端高 5 公分處切開半徑 10 公分的球，做出球冠（圓頂形）。 請分別求出下面的值。 1. 底面（切口的圓）的半徑 r（r = √(2Rh − h²)） 2. 球冠圓弧曲面部分的面積（S₁ = 2πRh） 3. 底面圓的面積（S₂ = πr²） 4. 表面積合計（S = S₁ + S₂） 請列出計算用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
DataChef 的特色
簡單又免費
免費且無使用次數限制
不需專業知識，操作直覺又簡單
不需專業知識，操作直覺又簡單
免註冊會員
開啟頁面即可立即使用
無須登錄任何個人資料
無須登錄任何個人資料
安全又安心
通訊全程高度加密
按下「下載」後自動刪除檔案
按下「下載」後自動刪除檔案
高速
顯示與轉換都快速順暢，毫無等待壓力
無浮水印
沒有浮水印
無須標註來源出處
無須標註來源出處
可商業使用
可免費用於商業用途
亦無須事先取得商用授權
亦無須事先取得商用授權
相關功能
球體積計算機（V＝4/3 × π × 半徑的 3 次方）
由半徑計算切開之前「整顆球」的體積
圓計算機（半徑、直徑、圓周長、面積互相換算）
針對球冠的底面（切口的圓），一次算出半徑、圓周長、面積
