平均報酬率計算機（幾何平均的年化報酬率、累積報酬率）

請從最早的一期開始，依序輸入各期的報酬率（%）和持有期間（年、月）。2 期以上即可計算（最多 20 期）。會算出整體投資的累積報酬率，以及換算成每年的平均報酬率（幾何平均、年化）。

報酬率請以半形數字（%）輸入（虧損的期間為負數，例如 -2）。持有期間請在年、月至少一個欄位輸入半形整數（兩個都填時會相加，例如「1」年和「2」個月＝1 年 2 個月）。不使用的列保持空白即可。

計算結果與圖表

在左側輸入各期的報酬率和持有期間，按下「計算」，結果、圖表和從 100 萬元開始的餘額變化表就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式與圖表
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
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這個頁面可以做什麼

由「第 1 年 +10%、接下來 5 個月 −2%……」這樣各期的報酬率（%）和持有期間（年、月），算出整體投資的累積報酬率和平均報酬率（年化）
平均報酬率是把高低起伏的各期報酬率平均後，換算成「相當於每年都以相同的幾 % 成長」的值（幾何平均的年化報酬率），能公平比較持有期間不同的投資
用公式卡清楚解說和算術平均的差別：為什麼會出現「平均 +25% 卻沒賺錢」（這是本頁最重要的重點）
也會顯示從 100 萬元開始時，各期的餘額變化表，以及實際餘額和以平均報酬率穩定成長的曲線重疊的圖表

本頁是在「已知各期報酬率」時的計算。中途有投入或提領（定期定額、贖回）的投資，用資金進出求出的資金加權報酬率比較適合（請見相關頁面的 IRR 計算機）。這是不考慮手續費和稅金的數學計算，不推薦任何特定投資。

這個計算有什麼用？

正確算出基金、股票績效的「年化報酬率」

像「第 1 年 +10%、第 2 年 −5%、第 3 年 +20%」這樣成績高低起伏時，基金月報或 ETF 績效資料上的「年化報酬率」，就是用和本頁相同的幾何平均計算的。
能把自己的投資成績換算成年化，就能在同一個基準上比較不同的基金或 ETF（例如台股的 0050），或和目標（例如年 5%）對照。另外，中途有定期定額或贖回時，用資金加權報酬率（IRR）來看才準確。

看穿「平均 +25%」廣告的陷阱（和算術平均的差別）

−50% 和 +100% 的算術平均是 +25%，但實際的資產是 100 萬元 → 50 萬元 → 100 萬元，完全沒賺。成績起伏越大，算術平均看起來就比實際越好。
看到「平均報酬率 ○%」的廣告或文章時，先懷疑它是算術平均還是幾何平均（年化）。光是這一個知識，就比較不容易被誇大的數字騙。

求企業營收或使用者數的成長率（CAGR）

把「3 年營收成長 1.5 倍」換算成年化，就是 \(1.5^{1/3} - 1 \approx 14.5\%\)。這個值叫做 CAGR（年複合成長率），在營運計畫、財報資料、法說會簡報中都是標準用法。
能把期間不同的事業或公司的成長統一成「每年」來比較，所以在製作商業資料或分析企業時很常用到。

規劃退休金等長期的資產累積

先由過去的成績求出平均報酬率（年化），就能用複利估算「照這樣下去，20 年後會變成多少」，例如勞退自提或定期定額投資的規劃（年化 5% 時，20 年約變成 2.65 倍）。
不過過去的平均報酬率不代表未來。規劃時也用稍低的年化報酬率算一次，保留一些彈性比較穩健。

比較持有期間不同的投資哪一個比較有效率

「2 年 +30% 的 A」和「3 年半 +50% 的 B」，哪一個比較有效率？只看累積報酬率無法比較，但換算成年化後，A 約 14.0%、B 約 12.3%，可見 A 比較有效率。
即使持有期間有零星的月數，用本頁的計算也能直接統一成年化報酬率。

公式與圖表

換算成年的持有期間

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(h\) \(=\) \(y\) \(+\) \(m\) \(\div\) \(12\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ \(h\)：換算成年的持有期間 \(=\) ③ \(y\)：持有年數 \(+\) ① \(m\)：持有月數 \(\div\) ② \(12\)：一年的月數

用文字讀公式

① 把 \(m\)：持有月數

② 除以 \(12\)：一年的月數換算成年，

③ 再加上 \(y\)：持有年數，

④ 就得到 \(h\)：換算成年的持有期間

簡單範例

把持有期間「1 年 2 個月」換算成年

\(h\)：換算成年的持有期間 \(=\) 年數（1 年） \(+\) 月數（2 個月） \(\div\) 一年的月數（12）

\(1 + 2 \div 12 = 1 + 0.1666\cdots \approx 1.17\)

思考重點

為了用「年化」比較報酬率，第一步是把所有持有期間統一成以年為單位。6 個月就是 \(6 \div 12 = 0.5\) 年，2 年 3 個月就是 \(2 + 3 \div 12 = 2.25\) 年。

期末餘額（複利連鎖）

圖表

數學寫法（一般的數學式）

\(B_i\) \(=\) \(B_{i-1}\) \(\times\) \((1 + r_i)\) \(h_i\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ \(B_i\)：該期的期末餘額 \(=\) ① \(B_{i-1}\)：前一期的期末餘額 \(\times\) ② \((1 + r_i)\)：一年的成長倍數 ③ \(h_i\)：換算成年的持有期間

用文字讀公式

① 把 \(B_{i-1}\)：前一期的期末餘額

② 乘上 \((1 + r_i)\)：一年的成長倍數（\(r_i\) 是該期的報酬率，+10% 是 1.1，−5% 是 0.95）的

③ \(h_i\)：換算成年的持有期間次方，

④ 就得到 \(B_i\)：該期的期末餘額

簡單範例

把 100 萬元以年化報酬率 10% 持有 2 年後的餘額是（單位：萬元）

\(B\)：期末餘額 \(=\) 前一期的餘額（100 萬元） \(\times\) 成長倍數（1.1）持有期間（2 年）

\(100 \times 1.1 \times 1.1 = 121\)

思考重點

前一期的期末餘額，直接成為下一期的本金，這就是複利。這個計算機從第 1 期開始依序把這個公式串起來（連鎖），求出最後的餘額。持有期間不是整數年時，會變成像 \(1.1^{0.5}\)（半年）這樣的小數次方。手算很辛苦，但用工程計算機或 Excel 一下就能算出來。

累積報酬率

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(R\) \(=\) \(B_n\) \(\div\) \(B_0\) \(-\) \(1\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ \(R\)：累積報酬率 \(=\) ① \(B_n\)：最後的餘額 \(\div\) ② \(B_0\)：起始金額 \(-\) ③ \(1\)：本金的部分

用文字讀公式

① 把 \(B_n\)：最後的餘額

② 除以 \(B_0\)：起始金額，算出整段期間變成幾倍，

③ 再減掉 \(1\)：本金的部分（1 倍＝不賺也不賠），

④ 就得到 \(R\)：累積報酬率（以 % 表示時再乘 100）

簡單範例

100 萬元最後變成 132 萬元時，累積報酬率是（單位：萬元）

\(R\)：累積報酬率 \(=\) 最後的餘額（132 萬元） \(\div\) 起始金額（100 萬元） \(-\) \(1\)：本金的部分

\(132 \div 100 = 1.32\)

\(1.32 - 1 = 0.32\ \ (32\%)\)

思考重點

累積報酬率是「整段期間下來，最後增加（減少）了幾 %」，不考慮花了幾年。同樣是 +32%，2 年達成和花了 10 年，投資的價值完全不同。所以把年數統一、讓它可以比較的，就是下一個平均報酬率（年化）。

平均報酬率（幾何平均、年化）

圖表

數學寫法（一般的數學式）

\(r_{avg}\) \(=\) \(\left(\dfrac{B_n}{B_0}\right)\) \(1/T\) \(-\) \(1\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ \(r_{avg}\)：平均報酬率（年化） \(=\) ① 整段期間的倍數（最後的餘額 \(B_n\) ÷ 起始金額 \(B_0\)） ② 總持有期間 \(T\) 分之 1 次方 \(-\) ③ \(1\)：本金的部分

用文字讀公式

① 把整段期間的倍數（最後的餘額 \(B_n\) ÷ 起始金額 \(B_0\)）

② 取總持有期間 \(T\) 分之 1 次方，換算成「花 \(T\) 年變成這個倍數時，每年的倍數」，

③ 再減掉 \(1\)：本金的部分，

④ 就得到 \(r_{avg}\)：平均報酬率（年化）（以 % 表示時再乘 100）

簡單範例

100 萬元在 2 年後變成 132 萬元（1.32 倍）時，平均報酬率（年化）是

\(r_{avg}\)：平均報酬率（年化） \(=\) 整段期間的倍數（1.32）總持有期間（2 年）分之 1 次方 \(-\) \(1\)：本金的部分

\(1.32^{1/2} = \sqrt{1.32} \approx 1.1489\)

\(1.1489 - 1 = 0.1489\ \ (14.89\%)\)

思考重點

「\(1/T\) 次方」就是求「\(T\) 次方後會等於原本倍數的數」，也就是倍數的 \(T\) 次方根。用這種方法求以乘法相連的量的平均，就是幾何平均數，和加起來再除的一般平均（算術平均數）結果不同。為什麼不能用算術平均？請想想第 1 年 −50%、第 2 年 +100% 的投資。算術平均是 \((-50 + 100) \div 2 = +25\%\)，但實際上是 100 萬元 → 50 萬元 → 100 萬元，完全沒賺。報酬率不是用加法而是用乘法（\(0.5 \times 2 = 1\) 倍）累積，所以平均也必須用以乘法為基礎的幾何平均（這個例子是 \(1^{1/2} - 1 = 0\%\)）來求。報酬率起伏越大，算術平均看起來就比實際越好。

平均報酬率是表示「把高低起伏的各期報酬率，換算成每年相同的幾 % 才剛好吻合」的幾何平均年化報酬率。報酬率是用乘法累積的，所以重點是不用加起來再除的算術平均，而是用整段期間倍數的 \(T\) 次方根來求。

符號與用語解說

符號

\(r_i\)	r i	第 \(i\) 期的報酬率，表示資產在該期增加（減少）了幾 %。計算時要把 % 換成小數（+10% 是 0.1，−5% 是 −0.05）。
\(y\), \(m\)	y、m	輸入的持有期間。\(y\) 是年數，\(m\) 是月數。（例如 1 年 2 個月，\(y=1\)、\(m=2\)）
\(h_i\)	h i	把第 \(i\) 期的持有期間換算成年的值，用 \(h = y + m \div 12\) 求出。（例如 1 年 2 個月 → 約 1.17 年）
\(B_0\), \(B_i\), \(B_n\)	B 0、B i、B n	餘額（Balance）。\(B_0\) 是起始金額，\(B_i\) 是第 \(i\) 期的期末餘額，\(B_n\) 是最後一期的期末餘額。本頁的變化表以 \(B_0 = 100\) 萬元計算。
\(T\)	T	總持有期間（年），把各期的 \(h_i\) 全部相加的值。（例如 1 年＋1 年＋6 個月 → \(T = 2.5\) 年）
\(R\)	大寫 R	累積報酬率，整段期間下來資產增加（減少）了幾 %。
\(r_{avg}\)	r average	平均報酬率（年化）。把高低起伏的各期報酬率換算成「每年相同的幾 %」的值，是本頁的主要答案。avg 是英文 average（平均）的縮寫。
\(x^{1/T}\)	x 的 T 分之 1 次方	\(x\) 的 \(T\) 次方根，也就是「\(T\) 次方後等於 \(x\) 的數」。（例如 \(1.21^{1/2} = \sqrt{1.21} = 1.1\)）可以用工程計算機或 Excel 的「^(1/T)」計算。

用語

報酬率	表示投資的錢在該期增加（減少）了幾 % 的值，也叫收益率。虧損的期間報酬率為負。
累積報酬率	以 % 表示整段期間合計賺（賠）多少的值。因為不考慮花了幾年，不適合用來比較期間不同的投資。
平均報酬率	把累積報酬率換算成「相當於每年都以相同的幾 % 成長」的值，也叫年化報酬率。能統一年數來比較，所以是投資績效表示的標準。
幾何平均數	以乘法相連的量的平均。把 \(n\) 個值全部相乘，再取 \(n\) 次方根。像報酬率這樣以倍數累積的量，正確的平均方法是用幾何平均，而不是算術平均。
算術平均數	全部加起來再除以個數的一般平均。用在報酬率的平均時，起伏越大，數字看起來就比實際越好（−50% 和 +100% 的算術平均是 +25%，但實際上完全沒賺）。
複利	把增加的部分也併入本金，下一期整筆一起增加的方式。本頁的計算以「前一期的期末餘額成為下一期的本金」的複利為前提。
年化	把期間長短不一的成績統一成「每年幾 %」。像 6 個月 +3% 和 2 年 +10% 這樣的成績，換算成年化後就能公平比較。
年複合成長率	英文縮寫 CAGR（Compound Annual Growth Rate）。和本頁的平均報酬率是完全相同的計算，常用來以年化表示企業營收、使用者數等的成長率。
資金加權報酬率	連中途的投入、提領都考慮進去，表示「自己的錢實際賺了多少」的報酬率（和 IRR 內部報酬率是相同的計算）。像定期定額這樣中途有資金進出的投資，報酬率用這個比本頁的計算更適合。不考慮資金進出的本頁報酬率，則叫做時間加權報酬率。

建議先了解的基礎知識

為了能「理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。

比率與百分率（國小高年級，10～12 歲）	知道比率可以用「比較量 ÷ 基準量」求出能在小數、倍數、% 之間互換，例如 0.1 和 10%、1.32 倍和 +32%
分數與小數（國小高年級，10～12 歲）	能把除法的結果用小數表示，例如 \(6 \div 12 = 0.5\)（把月數換算成年時會用到）
正負數（國中，12～15 歲）	能用負的報酬率（例如 −5%）表示虧損的期間知道加上負數會得到比 1 小的倍數，例如 \(1 + (-0.05) = 0.95\)
次方與指數（國中，12～15 歲）	知道次方就是同一個數重複相乘，例如 \(1.1^2 = 1.1 \times 1.1\)
方根與指數的推廣（高中，15～18 歲）	知道「\(1/T\) 次方」表示 \(T\) 次方根，例如 \(x^{1/2} = \sqrt{x}\)（計算本身交給計算機或 Excel 就可以）
複利的概念（高中，15～18 歲）	知道增加的部分也會併入本金，下一期整筆一起增加知道依序串起「前一期的期末餘額 × 倍數」，就會得到最後的餘額

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

求「換算成年的持有期間」的表格

持有期間：年	1
持有期間：月	2
換算成年的持有期間（年）	=B1+B2/12

求「期末餘額（複利）」的表格

前一期的期末餘額（元）	1000000
該期的報酬率（%）	10
換算成年的持有期間（年）	2
期末餘額（元）	=B1*(1+B2/100)^B3

求「累積報酬率」的表格

起始金額（元）	1000000
最後的餘額（元）	1320000
累積報酬率（%）	=(B2/B1-1)*100

求「平均報酬率（年化）」的表格

起始金額（元）	1000000
最後的餘額（元）	1320000
總持有期間（年）	2
平均報酬率（年化 %）	=((B2/B1)^(1/B3)-1)*100

「^」是次方（乘幾次）的符號，「^(1/B3)」就是 B3 次方根（總持有年數的次方根）。
第 1 個表格是 1 + 2 ÷ 12，約 1.17 年；第 2 個表格是 1000000 × 1.1 × 1.1 = 1,210,000 元。
第 3 個表格顯示 32%，第 4 個表格約為 14.89%。只要把 B 欄改成自己的數字就能使用。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

求「換算成年的持有期間」的表格

持有期間：年	1
持有期間：月	2
換算成年的持有期間（年）	=B1+B2/12

求「期末餘額（複利）」的表格

前一期的期末餘額（元）	1000000
該期的報酬率（%）	10
換算成年的持有期間（年）	2
期末餘額（元）	=B1*(1+B2/100)^B3

求「累積報酬率」的表格

起始金額（元）	1000000
最後的餘額（元）	1320000
累積報酬率（%）	=(B2/B1-1)*100

求「平均報酬率（年化）」的表格

起始金額（元）	1000000
最後的餘額（元）	1320000
總持有期間（年）	2
平均報酬率（年化 %）	=((B2/B1)^(1/B3)-1)*100

可以直接使用和 Excel 相同的公式。把表格整個複製貼到 A1 儲存格，再把 B 欄改成自己的數字即可。

用 Python 計算的方法

# (報酬率 %, 持有年數, 持有月數)，從最早的一期依序排列
periods = [(10, 1, 2), (-2, 0, 5), (15, 2, 3)]
start_balance = 1000000        # 起始金額（元）

balance = start_balance
total_years = 0
for return_percent, years, months in periods:
    holding_years = years + months / 12                       # 換算成年的持有期間
    total_years += holding_years
    balance *= (1 + return_percent / 100) ** holding_years    # 複利連鎖
    print(f"報酬率 {return_percent}%，持有 {holding_years:.4f} 年 -> 餘額 {balance:,.0f} 元")

cumulative_return = (balance / start_balance - 1) * 100
average_return = ((balance / start_balance) ** (1 / total_years) - 1) * 100
print(f"累積報酬率：{cumulative_return:.2f}%")
print(f"平均報酬率（年化）：{average_return:.2f}%")
print(f"總持有期間：{total_years:.4f} 年")

只用標準函式庫就能執行。「**」是次方的符號，「** (1 / total_years)」就是總持有期間的次方根（幾何平均）。請修改開頭的 periods 後執行（例子會得到累積報酬率 51.78%、平均報酬率 11.50%、總持有期間約 3.83 年＝3 年 10 個月）。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

換算成年的持有期間

h = y + m ÷ 12

h = y + \dfrac{m}{12}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>h</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>y</mi>
    <mo>+</mo>
    <mfrac>
      <mi>m</mi>
      <mn>12</mn>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

h = y + m / 12

y + m/12

h := y + m/12;

h = y + m/12;

h = y + m/12

期末餘額（複利連鎖）

B_i = B_{i-1} \times (1 + r_i)^{h_i}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>B</mi><mi>i</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>B</mi><mrow><mi>i</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
    <mo>&#x00D7;</mo>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msub><mi>r</mi><mi>i</mi></msub><mo>)</mo></mrow>
      <msub><mi>h</mi><mi>i</mi></msub>
    </msup>
  </mrow>
</math>

B_i = B_(i-1) (1 + r_i)^(h_i)

bprev (1 + r)^h

B := Bprev*(1 + r)^h;

B = Bprev*(1 + r)^h;

B_i = B_(i−1) (1 + r_i)^(h_i)

累積報酬率

R = Bₙ ÷ B₀ − 1

R = \dfrac{B_n}{B_0} - 1

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>R</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <msub><mi>B</mi><mi>n</mi></msub>
      <msub><mi>B</mi><mn>0</mn></msub>
    </mfrac>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mn>1</mn>
  </mrow>
</math>

R = (B_n) / (B_0) - 1

bn/b0 - 1

R := Bn/B0 - 1;

R = Bn/B0 - 1;

R = B_n/B_0 − 1

平均報酬率（幾何平均、年化）

r_{avg} = \left(\dfrac{B_n}{B_0}\right)^{1/T} - 1

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>r</mi><mi>avg</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <msup>
      <mrow>
        <mo>(</mo>
        <mfrac>
          <msub><mi>B</mi><mi>n</mi></msub>
          <msub><mi>B</mi><mn>0</mn></msub>
        </mfrac>
        <mo>)</mo>
      </mrow>
      <mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mi>T</mi></mrow>
    </msup>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mn>1</mn>
  </mrow>
</math>

r_(avg) = ((B_n) / (B_0))^(1/T) - 1

(bn/b0)^(1/T) - 1

r_avg := (Bn/B0)^(1/T) - 1;

r_avg = (Bn/B0)^(1/T) - 1;

r_avg = (B_n/B_0)^(1/T) − 1

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是投資計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下列計算，並且只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。

某項投資從最早的一期起，依序有以下的成績：
- 1 年 2 個月期間報酬率 +10%
- 5 個月期間報酬率 −2%
- 2 年 3 個月期間報酬率 +15%
請把各期的持有期間用「年數 + 月數 ÷ 12」換算成年，並以複利把餘額串起來（前一期的期末餘額是下一期的本金）。
請分別求出下列的值：
1. 累積報酬率（%，小數 2 位）＝ 整段期間的倍數 − 1
2. 平均報酬率（年化 %，小數 2 位）＝ 整段期間的倍數的（1 ÷ 總持有期間）次方 − 1（幾何平均）
3. 總持有期間（年）
4. 從新臺幣 100 萬元開始時，各期的期末餘額（元）

請列出計算時使用的公式，以及執行結果的數值。