請輸入圓錐的底面半徑和高。會顯示體積（1/3 × π × 半徑² × 高）、等底等高圓柱的體積，以及 cm³、公升、m³ 的單位換算。
半徑和高請用相同的單位，只輸入 0 以上的數字（不加單位。例如 3 cm 就輸入「3」）。
計算結果與圖形
在左邊的輸入欄填入底面半徑和高，按下「計算」，結果和可以用滑鼠旋轉的 3D 圖形就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入底面半徑和高，就能當場求出圓錐的體積（體積 ＝ \(\dfrac{1}{3}\) × 圓周率 × 半徑² × 高）
- 計算結果也會用 3D 圖形顯示，可以用滑鼠旋轉一圈，親眼確認每個長度對應哪個尺寸
- 同時顯示和等底等高圓柱體積的比較（圓錐剛好是三分之一），能實際感受公式的意義
- 同時顯示體積的單位換算（用 cm 輸入時換成公升、m³）
- 淺顯易懂地解說「為什麼是三分之一」，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面
半徑和高請用相同的單位輸入（cm 就都用 cm，m 就都用 m）。本頁處理的是頂點在底面圓心正上方的「直圓錐」。圓柱、球、角錐等其他立體的體積，請使用各自的專用頁面。
這個計算有什麼用？
了解冰淇淋甜筒裝得下多少（食物）
霜淇淋或冰淇淋的甜筒部分是圓錐。杯口半徑 3 cm、深 10 cm 的甜筒，裝到齊口的量是 \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 10 \approx 94\,\mathrm{cm^3}\)（約 94 mL）。
用數字就能知道「扣掉上面堆起來的部分，甜筒裡面其實裝得不多」。圓錐形的容器、巧克力、可麗餅等，食物裡到處都有圓錐。
圓錐形紙杯裝得下多少水（辦公室、防災）
飲水機旁邊的圓錐形紙杯（尖底紙杯），很多是杯口半徑 3.5 cm、深 9 cm 左右，容量是 \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 3.5^2 \times 9 \approx 115\,\mathrm{cm^3}\)（約 115 mL）。
「每人 1 杯的話，這些水夠幾個人喝？」這類估算，只用這一個公式就能做到。
手沖咖啡濾杯能倒多少熱水（生活）
圓錐形手沖咖啡濾杯的內側，大致可以看成杯口半徑 5 cm、深 8 cm 的圓錐。裝到齊口的容量是 \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 8 \approx 209\,\mathrm{cm^3}\)（約 210 mL）。
可以算出「一次可以倒多少熱水」「能不能一次沖 2 杯份」的參考值。
估算砂石堆的量（土木、營建）
砂或碎石從卡車卸下來，自然會堆成接近圓錐的形狀（能保持不崩塌的斜面角度叫做休止角）。底部半徑 1.5 m、高 1 m 的話，量大約是 \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 1.5^2 \times 1 \approx 2.4\,\mathrm{m^3}\)。
不一定會堆成漂亮的圓錐，所以只是概算，但工地或造景時會用這個公式快速估算「需要幾車來載」「放得下嗎」。
估算富士山的大小（地球科學、教育）
像日本的富士山這樣的層狀火山，形狀接近圓錐。把山腳半徑當作約 20 km、相對周圍土地的高度約 3.3 km，看成圓錐的話，體積大約是 \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 20^2 \times 3.3 \approx 1400\,\mathrm{km^3}\) 的規模。
實際的山並不是漂亮的圓錐，所以只是概算，但火山研究中，山體的體積也是用這類立體來近似估算的。
公式與圖示
圓錐的體積
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(V\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
\(\times\)
\(h\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑥
圓錐的體積 \(V\)
\(=\)
⑤
三分之一 \(\dfrac{1}{3}\)
\(\times\)
①
圓周率 \(\pi\)（約 3.14）
\(\times\)
②
底面半徑 \(r\)
③
平方（同一個數乘 2 次）
\(\times\)
④
高 \(h\)
用文字讀公式
①
圓周率 \(\pi\)（約 3.14）
乘以
②
底面半徑 \(r\)
的
③
平方（同一個數乘 2 次）
，再乘以
④
高 \(h\)
，就是等底等高圓柱的體積；再
⑤
乘以
三分之一 \(\dfrac{1}{3}\)
（除以 3），就得到
⑥
圓錐的體積 \(V\)
簡單範例
冰淇淋甜筒（底面半徑 3 cm、高 10 cm 的圓錐）的體積是
圓錐的體積 \(V\)
\(=\)
三分之一 \(\dfrac{1}{3}\)
\(\times\)
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
半徑（3 cm）
平方
\(\times\)
高（10 cm）
\(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^{2} \times 10 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 90 = 30\pi\)
\(30\pi \approx 30 \times 3.14 = 94.2\,\mathrm{cm^3}\)
思考重點
為什麼是「三分之一」？準備一個等底等高的圓柱容器，用圓錐容器舀水倒進去，剛好倒 3 次就滿了（學校也常做這個實驗）。也就是說，圓錐的體積剛好是圓柱體積 \(\pi r^2 h\) 的 \(\dfrac{1}{3}\)。嚴謹的證明要用到高中才學的積分，所以一般把「錐體是等底等高柱體的三分之一」當作公式記住。
另一個要注意的是「高」的量法。高 \(h\) 是從底面到頂點垂直量出的長度，不是沿著斜面的長度（母線）。
和圓柱體積的關係（記法）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(V\)
\(=\)
\(\pi r^{2} h\)
\(\div\)
\(3\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
圓錐的體積 \(V\)
\(=\)
①
等底等高圓柱的體積 \(\pi r^2 h\)
\(\div\)
②
3（分成 3 等分的 3）
用文字讀公式
①
等底等高圓柱的體積 \(\pi r^2 h\)
除以
②
3（分成 3 等分的 3）
，就得到
③
圓錐的體積 \(V\)
簡單範例
底面半徑 3 cm、高 10 cm 時，由等底等高圓柱的體積求圓錐的體積，是
圓錐的體積 \(V\)
\(=\)
圓柱的體積（90π ≈ 282.6 cm³）
\(\div\)
3
\(\pi \times 3^{2} \times 10 = 90\pi \approx 90 \times 3.14 = 282.6\,\mathrm{cm^3}\)
\(90\pi \div 3 = 30\pi \approx 94.2\,\mathrm{cm^3}\)
思考重點
用文字說就是「圓錐的體積 ＝ 底面積 × 高 ÷ 3」。底面積（圓面積 \(\pi r^2\)）乘以高是圓柱的體積，把它分成 3 等分，其中 1 份就是圓錐。「底面積 × 高 ÷ 3」這個形式，對底面是三角形或四邊形的錐體（三角錐、四角錐）也完全適用。
體積的單位換算（cm³ → L）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
\(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
\(1000\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
以 L 表示的體積 \(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
①
以 cm³ 表示的體積 \(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
②
1 L 等於多少 cm³ \(1000\)
用文字讀公式
①
以 cm³ 表示的體積 \(V_{\mathrm{cm^3}}\)
除以
②
1 L 等於多少 cm³ \(1000\)
，就得到
③
以 L 表示的體積 \(V_{\mathrm{L}}\)
簡單範例
把冰淇淋甜筒的體積 94.2 cm³ 換成公升（L），是
以 L 表示的體積
\(=\)
以 cm³ 表示的體積（94.2）
\(\div\)
1 L 等於多少 cm³（1000）
\(94.2 \div 1000 = 0.0942\,\mathrm{L}\ \ (94.2\,\mathrm{mL})\)
思考重點
\(1\,\mathrm{L}\) 是邊長 10 cm 的正方體的體積，所以 \(1\,\mathrm{L} = 10 \times 10 \times 10 = 1000\,\mathrm{cm^3}\)。體積的換算率是長度換算率的三次方。因為 \(1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm}\)，所以 \(1\,\mathrm{m^3} = 100 \times 100 \times 100 = 1000000\,\mathrm{cm^3}\)（＝ 1000 L）。容易弄錯的地方是：不是「100 倍」或「10000 倍」，而是「1000000 倍」。
圓錐的體積用「\(\dfrac{1}{3}\) × 圓周率 × 半徑的平方 × 高」＝「底面積 × 高 ÷ 3」求出，剛好是等底等高圓柱的三分之一。半徑和高要用相同的單位，答案是該單位的三次方（cm 就是 cm³）。由 cm³ 換成 L，只要除以 1000。
符號與用語解說
符號
| \(V\) | V | 常用來表示體積的符號，取自英文 volume（體積）的字首。本頁用來表示圓錐的體積。 |
| \(r\) | r | 底面圓的半徑，取自英文 radius（半徑）的字首。是圓心到邊緣的長度，等於直徑的一半。 |
| \(h\) | h | 圓錐的高，取自英文 height（高度）的字首。是從底面到頂點垂直量出的長度，要和沿著斜面的長度（母線）區分。 |
| \(r^2\) | r 的平方 | 同一個數 \(r\) 乘 2 次的值（\(r \times r\)）。右上角的小 2 是指數，意思是「乘 2 次」。 |
| \(\pi\) | pi | 圓周率。表示圓周長是直徑幾倍的數，是 \(3.14159\ldots\) 無限延續下去的小數。國小用 3.14 計算，國中開始用字母 \(\pi\) 直接留在式子裡。 |
| \(\mathrm{cm^3}\) | 立方公分 | 體積的單位。邊長 1 cm 的正方體的體積是 1 cm³，讀作「立方公分」，要和面積的 cm²（平方公分）區分。 |
| \(\mathrm{m^3}\) | 立方公尺 | 體積的單位。邊長 1 m 的正方體的體積是 1 m³，且 \(1\,\mathrm{m^3} = 1000000\,\mathrm{cm^3} = 1000\,\mathrm{L}\)。 |
| \(\mathrm{L}\) | 公升 | 飲料等常見的體積（容積）單位。邊長 10 cm 的正方體的體積是 1 L，\(1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm^3} = 1000\,\mathrm{mL}\)。 |
用語
| 圓錐 | 底面是圓，從底面朝一個頂點平滑地變細的立體。冰淇淋甜筒、尖帽子、交通錐（三角錐）等都是圓錐的形狀。 |
| 直圓錐 | 頂點在底面圓心正上方的圓錐。國中課本裡的圓錐通常就是指它，本計算機也是處理直圓錐。頂點不在圓心正上方的圓錐叫做「斜圓錐」。 |
| 底面 | 圓錐底部的圓。它的面積（圓錐是 \(\pi r^2\)）叫做底面積。 |
| 頂點 | 圓錐尖端的點。高是從這個頂點向底面畫垂直線的長度。 |
| 母線 | 從頂點沿著斜面筆直連到底面圓周的線段。長度可以用畢氏定理求出：\(\sqrt{r^2 + h^2}\)。很容易和高混淆，請注意。 |
| 體積 | 用數表示立體占有空間的大小，以「有幾個邊長 1 cm 的正方體（1 cm³）」來測量。 |
| 圓周率 | 表示圓周長是直徑幾倍的數（約 3.14）。圓、圓錐、圓柱這些和「圓」有關的圖形計算，一定會用到它。 |
建議先了解的基礎知識
為了讓您「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了事先了解會更好懂的基礎知識。
| 體積的意義與單位（國小四～五年級，9～11 歲） |
|
| 圓的面積（國小高年級，10～12 歲） |
|
| 文字符號與圓周率 π（國中，12～15 歲） |
|
| 立體圖形（國中九年級，14～15 歲） |
|
| 小數的乘法與除法（國小五年級，10～11 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「圓錐的體積」的表格
| 底面半徑 | 3 |
| 高 | 10 |
| 圓錐的體積 | =PI()*B1^2*B2/3 |
確認「和圓柱體積的關係」的表格
| 底面半徑 | 3 |
| 高 | 10 |
| 等底等高圓柱的體積 | =PI()*B1^2*B2 |
| 圓錐的體積（圓柱的三分之一） | =B3/3 |
求「由 cm³ 換成 L 的單位換算」的表格
| 以 cm³ 表示的體積 | 94.25 |
| 以 L 表示的體積 | =B1/1000 |
貼上後，A 欄是項目名稱，B 欄是數值。上方的列是輸入欄，最後一列的公式會用輸入欄的值自動計算。
公式裡的「B1」「B2」意思是「使用該儲存格裡的數值」，「PI()」是圓周率（3.14159…），「^」是乘方（乘幾次），「*」是乘號，「/」是除號。
例如第一個表格的 B3 會顯示約 94.25（= 1/3 × π × 3² × 10。因為用 cm 輸入，所以是 cm³）。第二個表格的 B3 是約 282.74，B4 是它的三分之一約 94.25，可以確認圓錐＝圓柱的三分之一。第三個表格的 B2 是 0.09425。只要把輸入欄的數值改成您自己的圓錐尺寸即可使用。
公式裡的「B1」「B2」意思是「使用該儲存格裡的數值」，「PI()」是圓周率（3.14159…），「^」是乘方（乘幾次），「*」是乘號，「/」是除號。
例如第一個表格的 B3 會顯示約 94.25（= 1/3 × π × 3² × 10。因為用 cm 輸入，所以是 cm³）。第二個表格的 B3 是約 282.74，B4 是它的三分之一約 94.25，可以確認圓錐＝圓柱的三分之一。第三個表格的 B2 是 0.09425。只要把輸入欄的數值改成您自己的圓錐尺寸即可使用。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「圓錐的體積」的表格
| 底面半徑 | 3 |
| 高 | 10 |
| 圓錐的體積 | =PI()*B1^2*B2/3 |
確認「和圓柱體積的關係」的表格
| 底面半徑 | 3 |
| 高 | 10 |
| 等底等高圓柱的體積 | =PI()*B1^2*B2 |
| 圓錐的體積（圓柱的三分之一） | =B3/3 |
求「由 cm³ 換成 L 的單位換算」的表格
| 以 cm³ 表示的體積 | 94.25 |
| 以 L 表示的體積 | =B1/1000 |
和 Excel 相同的公式（包含 PI() 函數）可以直接使用。把表格整個複製貼到 A1 儲存格，再把輸入欄的數值改成您自己的圓錐尺寸即可。
用 Python 計算的方法
import math
radius = 3 # 底面半徑（這個例子是 cm）
height = 10 # 高（和半徑用相同的單位）
volume = math.pi * radius ** 2 * height / 3 # 圓錐的體積（輸入單位的三次方，這個例子是 cm3）
volume_l = volume / 1000 # 用 cm 輸入時，換成 L（公升）的體積
print(f"圓錐的體積：{volume} cm3")
print(f"換成公升：{volume_l} L")
只用標準函式庫就能執行。「math.pi」是圓周率（3.14159…），「**」是乘方（radius ** 2 就是半徑的平方），「*」是乘號，「/」是除號。請改寫開頭的半徑和高後執行（這是用 cm 輸入的例子。用 m 輸入時答案是 m³，要換成 L 就乘以 1000）。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
圓錐的體積
V = (1/3)πr²h
V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
V = 1/3 pi r^2 h
Pi*r^2*h/3
V := (1/3)*Pi*r^2*h;
V = (1/3)*pi*r^2*h;
V = (1/3)πr^2 h
和圓柱體積的關係（記法）
V = πr²h ÷ 3
V = \frac{\pi r^{2} h}{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>π</mi><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mi>h</mi></mrow>
<mn>3</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
V = (pi r^2 h)/3
Pi*r^2*h/3
V := Pi*r^2*h/3;
V = pi*r^2*h/3;
V = πr^2 h/3
體積的單位換算（cm³ → L）
V[L] = V[cm³] ÷ 1000
V_{\mathrm{L}} = V_{\mathrm{cm^3}} \div 1000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">L</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>3</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>1000</mn>
</mrow>
</math>
V_(L) = V_(cm^3) -: 1000
vCm3/1000
vL := vCm3/1000;
v_l = v_cm3/1000;
V(L) = V(cm³)/1000
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並且只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。 有一個底面半徑 3 cm、高 10 cm 的圓錐。 請分別求出： 1. 這個圓錐的體積是多少 cm³（V = 1/3 × π × 半徑² × 高） 2. 這個體積換成公升（L）是多少 請列出使用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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相關功能
圓計算機（半徑、直徑、圓周長、面積互相換算）
圓錐的底面是圓。可以由半徑求底面積（πr²）等，互相換算圓的基本量
