請選擇轉換方向，並輸入圓方程式的係數。下方的數學式和輸入欄是連動的，直接改寫式中的係數也能計算。若要判斷直線與圓的關係，請在最後一個下拉選單選擇「同時判斷與直線 px + qy + s = 0 的關係」。
請用半形輸入數值。可以使用小數、負數和 3/4 這樣的分數。含 x 或 y 的項，係數空白時當成 1（x 就是 1x）；常數項和圓心坐標空白時當成 0。用不到的項請填 0。
計算結果與圖表
在左邊的輸入欄填入係數，按下「計算」，結果和圓的圖形就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 把圓方程式的一般式 \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\) 配方成標準式 \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\)，以分數和 \(\sqrt{\ }\) 的精確值求出圓心與半徑（附計算過程）
- 反過來，也能由圓心和等號右邊（半徑的平方）展開成一般式
- 等號右邊的 \(r^{2}\) 小於或等於 0、「不是圓」的情況（只表示一個點、或沒有圖形），也會附上理由判斷出來
- 比較圓心到直線的距離 \(d\) 與半徑 \(r\)，判斷直線 \(px + qy + s = 0\) 與圓的關係（相交於兩點、相切、沒有交點），並以精確值求出交點坐標
- 計算機會顯示和手寫相同形式的圓方程式，也可以直接改寫式中的係數來計算。計算結果也能從圓與直線的圖形確認
坐標和係數除了小數、負數，也能輸入像 3/4 這樣的分數。
這個計算有什麼用？
遊戲的碰撞判定（圓形的碰撞範圍）
在 2D 遊戲中，把角色或子彈的「碰撞範圍」近似成圓是常見的做法。子彈的軌跡（直線）有沒有打中敵人的圓，正是用本頁的判斷方法：比較圓心到直線的距離 \(d\) 與半徑 \(r\)。兩個圓有沒有重疊，也同樣是比較兩個圓心的距離與兩個半徑的和。
之所以用圓，是因為圓轉動時形狀不變，只要一次距離計算就能判斷。學習遊戲程式設計時，每一個畫面都會看到圓方程式在運作。
訊號涵蓋範圍的模型（手機基地台、Wi-Fi）
在沒有障礙物的理想條件下，手機基地台或 Wi-Fi 路由器的訊號範圍，可以用以天線為圓心的圓來表示（半徑＝訊號可達的距離）。「這個地點收得到訊號嗎？」就是比較到圓心的距離和半徑，也就是判斷這個地點在圓內還是圓外。
實際的訊號會受到地形和建築物影響，不會完全符合這個模型。即使如此，圓的模型仍是規劃基地台位置、避免出現訊號死角的出發點。
定位的原理（GPS、手機的目前位置）
GPS 定位的基本想法是：知道和衛星之間的距離後，自己可能所在的位置就縮小到一個球面上（在平面上思考就是圓）。把到多顆衛星的距離所形成的圓（球面）聯立，求出它們交會的點，就是自己的位置。
實際的計算是在三維空間中進行，還要修正時鐘的誤差，所以更複雜。不過，圓方程式「到某點距離固定的點所成的集合」這個想法，正是它的基礎。
設計、製圖與 CAD（管理圓弧和孔的位置）
機械零件和建築的圖面上到處都是圓：螺栓孔、圓弧形的邊緣、管線的截面等。CAD 軟體用「圓心坐標和半徑」（也就是標準式的資訊）來記錄圓，每次編輯圖形時都會計算圓與直線的交點和切線。
「在這裡鑽孔，離邊緣夠遠嗎？」這類檢查，最後也是歸結為計算到圓心的距離。
道路與鐵路彎道的設計（圓曲線）
道路和鐵路彎道的基本形狀是稱為「圓曲線」的圓弧，設計圖上用圓心和半徑來管理。半徑越小，彎道越急，所以道路的設計規範會依設計速率訂定最小曲線半徑。
直線段和彎道平順銜接的地方，直接用到「直線與圓相切」這個條件。切線的概念，實際塑造了我們行走的道路。
公式與圖示
圓方程式（標準式）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\((x - a)^{2}\)
\(+\)
\((y - b)^{2}\)
\(=\)
\(r^{2}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
①
\(x\) 坐標與圓心的 \(x\) 坐標 \(a\) 之差的平方
\(+\)
②
\(y\) 坐標與圓心的 \(y\) 坐標 \(b\) 之差的平方
\(=\)
③
半徑 \(r\) 的平方
用文字讀公式
①
不論取圓上的哪一點 \((x,\ y)\)，
與圓心在 \(x\) 方向的差 \(x - a\) 的平方
②
加上
與圓心在 \(y\) 方向的差 \(y - b\) 的平方
，
③
都等於
半徑 \(r\) 的平方
簡單範例
圓心 (1, 2)、半徑 3 的圓方程式是
\((x - 1)^{2}\)
\(+\)
\((y - 2)^{2}\)
\(=\)
\(3^{2} = 9\)
\((x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9\)
思考重點
圓是「到圓心的距離固定（＝半徑 \(r\)）的點所成的集合」。用畢氏定理寫出圓上一點 \((x,\ y)\) 與圓心 \((a,\ b)\) 的距離，就得到 \(\sqrt{(x-a)^{2} + (y-b)^{2}} = r\)，兩邊平方後就是標準式。換句話說，標準式就是把圓的定義「到圓心的距離是 \(r\)」寫成式子。
要注意等號右邊是半徑的平方 \(r^{2}\)。\((x-1)^{2} + (y-2)^{2} = 9\) 的半徑不是 9，而是 \(\sqrt{9} = 3\)。
一般式 → 標準式（用配方法求圓心與半徑）
數學寫法
（一般的數學式）
\(\mathrm{C}\)
\(=\)
\(\left(-\dfrac{l}{2},\ -\dfrac{m}{2}\right)\)
\(r^{2}\)
\(=\)
\(\dfrac{l^{2}}{4} + \dfrac{m^{2}}{4} - n\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
②
圓心 \(\mathrm{C}\)
\(=\)
①
\(x\) 的係數 \(l\) 和 \(y\) 的係數 \(m\) 各取一半再變號的坐標
④
半徑的平方 \(r^{2}\)
\(=\)
③
係數一半的平方和，減去常數項 \(n\) 的值
用文字讀公式
①
把一般式 \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\) 配方後，
係數 \(l\)、\(m\) 各取一半再變號的坐標
②
就是
圓心 \(\mathrm{C}\)
，
③
而
係數一半的平方和減去常數項 \(n\) 的值
④
就是
半徑的平方 \(r^{2}\)
簡單範例
把 \(x^{2} + y^{2} - 4x - 6y + 9 = 0\) 配方後
圓心 \((2,\ 3)\)
\(,\)
\(r^{2} = 4 + 9 - 9 = 4\)
\(x^{2} - 4x = (x - 2)^{2} - 4\)
\(y^{2} - 6y = (y - 3)^{2} - 9\)
\((x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4 + 9 - 9 = 4\)
\(r = \sqrt{4} = 2\)
思考重點
配方法是把 \(x^{2} - 4x\) 這種「平方項加一次項」，改寫成 \((x - 2)^{2} - 4\) 這種「（某個式子）的平方＋常數」的形式。用 \(x\) 係數的一半（\(-4\) 的一半是 \(-2\)）做出 \((x - 2)^{2}\)，展開後會多出 \(+4\)，所以要把這部分減掉，才能保持等號兩邊相等。
配方後等號右邊就是 \(r^{2}\)，這時一定要檢查它的正負。右邊是 0 時，滿足式子的只有圓心一個點；右邊是負數時，因為平方和不會是負數，完全沒有點滿足式子。也就是說，一般式不一定表示圓，只有右邊是正數時才是圓。
圓與直線的關係（比較圓心到直線的距離 d 與半徑 r）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(d\)
\(=\)
\(\dfrac{\left|\,pa + qb + s\,\right|}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
②
圓心 \((a,\ b)\) 到直線的距離 \(d\)
\(=\)
①
把圓心坐標代入直線方程式左邊所得值的絕對值，除以 \(\sqrt{p^{2} + q^{2}}\)
用文字讀公式
①
對於直線 \(px + qy + s = 0\)，
把圓心坐標 \((a,\ b)\) 代入左邊所得值的絕對值除以 \(\sqrt{p^{2} + q^{2}}\)
，
②
就是
圓心到直線的距離 \(d\)
。把這個 \(d\) 和半徑 \(r\) 比較，就知道圓與直線的關係
簡單範例
圓 \((x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4\)（圓心 \((2,\ 3)\)，半徑 2）與直線 \(3x + 4y - 8 = 0\) 的情況
距離 \(d = 2\)
\(=\)
半徑 \(r = 2\)
\(d = \dfrac{|3 \times 2 + 4 \times 3 - 8|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \dfrac{10}{5} = 2\)
\(d = r\)
思考重點
依距離 \(d\) 和半徑 \(r\) 的大小，關係分成 3 種。\(d < r\) 時，直線與圓相交於相異兩點（兩交點之間的線段稱為弦）；\(d = r\) 時，直線與圓只有一個交點（相切，這條直線是切線，交點稱為切點）；\(d > r\) 時，兩者沒有交點（相離）。
比較含 \(\sqrt{\ }\) 的數容易出錯，所以本計算機用精確的分數比較 \(d^{2}\) 和 \(r^{2}\)。手算時也可以用同樣的技巧。
另一種方法是把圓和直線的方程式聯立：消去 \(y\)（或 \(x\)）後，看所得一元二次方程式的判別式 \(D\) 的正負（\(D > 0\)：兩個交點，\(D = 0\)：相切，\(D < 0\)：沒有交點）。要求交點坐標時，就是解這個聯立方程式。
圓方程式有兩種寫法：看得出圓心與半徑的標準式 \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\)，以及展開後的一般式 \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\)。用配方法可以把一般式化成標準式，但只有等號右邊（\(r^{2}\) 位置的值）是正數時才是圓。圓與直線的關係，由圓心到直線的距離 \(d\) 和半徑 \(r\) 的大小決定。
符號與用語解說
符號
| \((x,\ y)\) | x、y | 在圓上移動的點的坐標。圓方程式的意思是「把滿足這個式子的 \((x,\ y)\) 全部集合起來就是圓」。 |
| \(a,\ b\) | a、b | 表示圓心坐標 \((a,\ b)\) 的字母。表示固定的數時，習慣使用字母表開頭的字母。和會移動的 \(x\)、\(y\) 不同，對同一個圓來說它們是固定的。台灣的課本多半把圓心寫成 \((h,\ k)\)。 |
| \(r\) | r | 圓的半徑，取自英文 radius 的第一個字母。請注意，標準式等號右邊出現的不是 \(r\) 本身，而是它的平方 \(r^{2}\)。 |
| \(\mathrm{C}\) | C | 常用來表示圓心的字母，取自英文 center 的第一個字母。有時也用 \(C\) 來命名圓本身。 |
| \(l,\ m,\ n\) | l、m、n | 一般式 \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\) 的係數。台灣的課本常寫成 \(x^{2} + y^{2} + dx + ey + f = 0\)，意思相同。 |
| \(d\) | d | 圓心到直線的距離，取自英文 distance 的第一個字母。和半徑 \(r\) 比較大小，就能決定圓與直線的關係。 |
| \(p,\ q,\ s\) | p、q、s | 本頁把直線寫成 \(px + qy + s = 0\) 時的係數。直線通常寫成 \(ax + by + c = 0\)，但為了不和圓心 \((a,\ b)\) 混淆，本頁改用其他字母。 |
| \(\sqrt{\ }\) | 根號 | 表示「平方後等於該數的正數」（平方根）的符號。半徑用 \(r = \sqrt{r^{2}}\) 求出。例如 \(r^{2} = 8\) 時，\(r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)。 |
用語
| 圓 | 平面上到某一點（圓心）的距離固定（半徑）的所有點所形成的圖形。把這個「距離固定」的定義寫成式子，就是圓方程式。 |
| 圓方程式 | 表示坐標平面上的圓的式子，也稱為圓的方程式。滿足式子的點 \((x,\ y)\) 所成的集合正好是圓。在高中的「直線與圓」單元學到。 |
| 標準式 | \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\) 的形式（課本常寫成 \((x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}\)）。優點是只要看式子就能讀出圓心 \((a,\ b)\) 和半徑 \(r\)。 |
| 一般式 | 把標準式展開整理後的 \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\) 形式。雖然不能直接讀出圓心和半徑，但因為已經展開，在計算過程中比較好處理。 |
| 配方法 | 把 \(x^{2} + lx\) 這種式子改寫成 \(\left(x + \dfrac{l}{2}\right)^{2} - \dfrac{l^{2}}{4}\) 這種「（某個式子）的平方＋常數」的方法，也簡稱「配方」。求二次函數的頂點時也會用到，是本頁計算的核心技巧。 |
| 圓心 | 圓正中央的點，到圓上任何一點的距離都相等（＝半徑）。標準式中的 \((a,\ b)\) 就是圓心坐標。 |
| 半徑 | 從圓心到圓上一點的距離 \(r\)。因為是長度，一定是正數。取標準式等號右邊 \(r^{2}\) 的平方根求出。 |
| 畢氏定理 | 直角三角形中「斜邊的平方＝另外兩邊的平方和」的定理（也稱為商高定理）。兩點距離公式就是以它為基礎，圓的標準式也是把這個定理寫成式子。在國中八年級學到。 |
| 交點 | 同時在兩個圖形上的點。以圓與直線來說，相交時有 2 個，相切時有 1 個，相離時有 0 個。坐標要把兩個式子聯立求出。 |
| 相切 | 圓與直線只有一個交點。這條直線稱為切線，那個交點稱為切點。圓心到切線的距離正好等於半徑。 |
| 弦 | 圓與直線相交於兩點時，連接這兩點的線段。從圓心到弦的垂線會把弦正好平分，所以半弦長、圓心到直線的距離 \(d\) 與半徑 \(r\) 之間符合畢氏定理。 |
| 點到直線的距離 | 從點到直線所作垂線的長度（點到直線的最短距離）。用 \(d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\) 計算，可用來判斷圓與直線的關係。 |
| 判別式 | 告訴我們一元二次方程式 \(ax^{2} + bx + c = 0\) 有幾個解的式子 \(D = b^{2} - 4ac\)。把圓與直線的方程式聯立所得一元二次方程式的判別式，也能判斷兩者的關係（\(D > 0\)：兩個交點，\(D = 0\)：相切，\(D < 0\)：沒有交點）。 |
| 坐標平面 | 把水平的數線（\(x\) 軸）和鉛直的數線（\(y\) 軸）垂直相交，讓每個點的位置都能用一組數 \((x,\ y)\) 表示的平面。是圖形和方程式交會的地方。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習表中的內容是最快的方法。
| 坐標平面與點的坐標（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 畢氏定理與兩點距離（國中八年級，13～14 歲） |
|
| 平方根（國中八年級，13～14 歲） |
|
| 乘法公式、因式分解與配方法（國中八年級～高一，13～16 歲） |
|
| 點到直線的距離（高中，15～17 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「一般式 → 標準式（圓心與半徑）」的表格
| x 的係數 l | -4 |
| y 的係數 m | -6 |
| 常數項 n | 9 |
| 圓心的 x 坐標（−l/2） | =-B1/2 |
| 圓心的 y 坐標（−m/2） | =-B2/2 |
| 半徑的平方 r²（l²/4 + m²/4 − n） | =B1^2/4+B2^2/4-B3 |
| 半徑 r（只有 r² > 0 時才是圓） | =IF(B6>0,SQRT(B6),"不是圓") |
求「標準式 → 一般式」的表格
| 圓心的 x 坐標 a | 1 |
| 圓心的 y 坐標 b | -2 |
| 等號右邊的值（半徑的平方 r²） | 9 |
| x 的係數 l（−2a） | =-2*B1 |
| y 的係數 m（−2b） | =-2*B2 |
| 常數項 n（a² + b² − r²） | =B1^2+B2^2-B3 |
判斷「圓與直線的關係」的表格
| 圓心的 x 坐標 a | 2 |
| 圓心的 y 坐標 b | 3 |
| 半徑 r | 2 |
| 直線的 x 係數 p | 3 |
| 直線的 y 係數 q | 4 |
| 直線的常數項 s | -8 |
| 圓心到直線的距離 d | =ABS(B4*B1+B5*B2+B6)/SQRT(B4^2+B5^2) |
| 關係的判斷 | =IF(B7<B3,"相交於相異兩點",IF(B7=B3,"相切","沒有交點")) |
貼上後，上面幾列（係數等）是輸入欄，下面幾列會自動算出結果。「^」是次方，SQRT 是平方根，ABS 是絕對值。
第 1 個表格是 x²+y²−4x−6y+9=0 的例子：圓心 (2, 3)，r²=4，半徑 2。r² 小於或等於 0 時不是圓，儲存格會顯示「不是圓」。
第 2 個表格是圓心 (1, −2)、r²=9 的例子：l=−2，m=4，n=−4，所以式子是 x²+y²−2x+4y−4=0。
第 3 個表格是圓 (x−2)²+ (y−3)²=4 與直線 3x+4y−8=0 的例子。d=2 和半徑 2 相等，所以結果是「相切」。SQRT 可能有些微的小數誤差，若要精確判斷是否相切，比較 d² 和 r² 比較保險（比較 = (B4*B1+B5*B2+B6)^2/(B4^2+B5^2) 和 B3^2）。
第 1 個表格是 x²+y²−4x−6y+9=0 的例子：圓心 (2, 3)，r²=4，半徑 2。r² 小於或等於 0 時不是圓，儲存格會顯示「不是圓」。
第 2 個表格是圓心 (1, −2)、r²=9 的例子：l=−2，m=4，n=−4，所以式子是 x²+y²−2x+4y−4=0。
第 3 個表格是圓 (x−2)²+ (y−3)²=4 與直線 3x+4y−8=0 的例子。d=2 和半徑 2 相等，所以結果是「相切」。SQRT 可能有些微的小數誤差，若要精確判斷是否相切，比較 d² 和 r² 比較保險（比較 = (B4*B1+B5*B2+B6)^2/(B4^2+B5^2) 和 B3^2）。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「一般式 → 標準式（圓心與半徑）」的表格
| x 的係數 l | -4 |
| y 的係數 m | -6 |
| 常數項 n | 9 |
| 圓心的 x 坐標（−l/2） | =-B1/2 |
| 圓心的 y 坐標（−m/2） | =-B2/2 |
| 半徑的平方 r²（l²/4 + m²/4 − n） | =B1^2/4+B2^2/4-B3 |
| 半徑 r（只有 r² > 0 時才是圓） | =IF(B6>0,SQRT(B6),"不是圓") |
求「標準式 → 一般式」的表格
| 圓心的 x 坐標 a | 1 |
| 圓心的 y 坐標 b | -2 |
| 等號右邊的值（半徑的平方 r²） | 9 |
| x 的係數 l（−2a） | =-2*B1 |
| y 的係數 m（−2b） | =-2*B2 |
| 常數項 n（a² + b² − r²） | =B1^2+B2^2-B3 |
判斷「圓與直線的關係」的表格
| 圓心的 x 坐標 a | 2 |
| 圓心的 y 坐標 b | 3 |
| 半徑 r | 2 |
| 直線的 x 係數 p | 3 |
| 直線的 y 係數 q | 4 |
| 直線的常數項 s | -8 |
| 圓心到直線的距離 d | =ABS(B4*B1+B5*B2+B6)/SQRT(B4^2+B5^2) |
| 關係的判斷 | =IF(B7<B3,"相交於相異兩點",IF(B7=B3,"相切","沒有交點")) |
可以直接使用和 Excel 相同的公式。把表格整個複製並貼到 A1 儲存格，再把係數改成您自己的數值。
用 Python 計算的方法
from fractions import Fraction
import math
# 一般式 x² + y² + lx + my + n = 0 的係數（3/4 這樣的分數可以寫成 Fraction(3, 4)）
coef_l = Fraction(-4)
coef_m = Fraction(-6)
coef_n = Fraction(9)
center_x = -coef_l / 2
center_y = -coef_m / 2
radius_squared = coef_l ** 2 / 4 + coef_m ** 2 / 4 - coef_n
print(f"圓心：({center_x}, {center_y})")
print(f"半徑的平方 r²：{radius_squared}")
if radius_squared > 0:
print(f"半徑 r：{math.sqrt(radius_squared)}")
elif radius_squared == 0:
print("不是圓：只表示圓心這一個點")
else:
print("不是圓：沒有點滿足這個式子")
# 與直線 px + qy + s = 0 的關係（用分數比較 d² 和 r²，所以沒有捨入誤差）
line_p = Fraction(3)
line_q = Fraction(4)
line_s = Fraction(-8)
distance_squared = (line_p * center_x + line_q * center_y + line_s) ** 2 / (line_p ** 2 + line_q ** 2)
if distance_squared < radius_squared:
print("圓與直線相交於相異兩點")
elif distance_squared == radius_squared:
print("圓與直線相切")
else:
print("圓與直線沒有交點")
使用標準函式庫的 fractions 模組，就能以沒有小數捨入誤差的精確分數來計算。這個例子使用圓 x²+y²−4x−6y+9=0 和直線 3x+4y−8=0，執行後會顯示圓心 (2, 3)、r²=4、半徑 2.0 和「圓與直線相切」。距離和半徑用 d² 和 r² 來比較，是為了避免平方根的小數誤差影響相切的判斷。請改寫係數後再執行看看。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
圓方程式（標準式）
(x − a)² + (y − b)² = r²
(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
(x - a)^2 + (y - b)^2 == r^2
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2;
(x - a)^2 + (y - b)^2 == r^2
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
一般式 → 標準式（用配方法求圓心與半徑）
(x + l/2)² + (y + m/2)² = l²/4 + m²/4 − n
\left(x + \frac{l}{2}\right)^{2} + \left(y + \frac{m}{2}\right)^{2} = \frac{l^{2}}{4} + \frac{m^{2}}{4} - n
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>l</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>m</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<mfrac><msup><mi>l</mi><mn>2</mn></msup><mn>4</mn></mfrac>
<mo>+</mo>
<mfrac><msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup><mn>4</mn></mfrac>
<mo>−</mo>
<mi>n</mi>
</mrow>
</math>
(x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 = l^2/4 + m^2/4 - n
Simplify[(x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 - (l^2/4 + m^2/4 - n) == x^2 + y^2 + l x + m y + n]
Student:-Precalculus:-CompleteSquare(x^2 + y^2 + l*x + m*y + n, [x, y]);
expand((x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 - (l^2/4 + m^2/4 - n))
(x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 = l^2/4 + m^2/4 - n
圓與直線的關係（比較圓心到直線的距離 d 與半徑 r）
d = |pa + qb + s| / √(p² + q²)
d = \frac{\left|pa + qb + s\right|}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mo>|</mo><mi>p</mi><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>q</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>s</mi><mo>|</mo></mrow>
<msqrt><mrow><msup><mi>p</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>q</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt>
</mfrac>
</mrow>
</math>
d = |p a + q b + s| / sqrt(p^2 + q^2)
d = Abs[p a + q b + s]/Sqrt[p^2 + q^2]
d := abs(p*a + q*b + s)/sqrt(p^2 + q^2);
d = abs(p*a + q*b + s)/sqrt(p^2 + q^2);
d = |pa + qb + s|/√(p^2 + q^2)
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學（坐標幾何）的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並只根據執行結果的數值回答（不要用心算或猜測作答）。 對於圓 x² + y² − 4x − 6y + 9 = 0，請分別列出以下內容： 1. 用配方法化成標準式 (x−a)² + (y−b)² = r² 的式子 2. 圓心與半徑（用精確值表示） 3. 直線 3x + 4y − 8 = 0 與這個圓的關係（相交於相異兩點／相切／沒有交點），若有交點也請列出坐標 在 Python 中請使用標準函式庫的 fractions 模組（或 sympy）精確計算，距離與半徑的比較請用 d² 和 r² 的比較進行。請列出所用的公式和執行結果的數值。
使用方法
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1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
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2計算按下「計算」按鈕
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3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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