請輸入要計算的算式。可以使用整數、小數、分數(像 1/2 這樣用除法的形式寫)、括號和次方(^2 或 ²)。只有加減法的算式,也會用數線顯示到答案為止的移動。
這個頁面可以做什麼
- 輸入 -3+5-(-2) 這樣的正負數算式,不只顯示答案,還會照國中七年級學的步驟,一步一步顯示計算過程
- 「把減法改成加法」「去括號時同號為+、異號為−」「乘除法中負數有偶數個為+、奇數個為−」等符號規則,每一步用了哪一條都會用文字說明
- 只有加減法的算式,還能用箭頭在數線上移動的圖(+往右、−往左)確認計算的過程
- 可以使用整數、小數、分數(像 1/2 這樣用除法的形式輸入)、多層括號和次方(^2 或 ²)。容易搞錯的 \((-2)^2\) 和 \(-2^2\) 的差別也能正確處理
- 除不盡的答案,不會四捨五入成小數,而是以約分後的分數(精確值)顯示。淺顯易懂的公式解說,以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式,也都整理在這個頁面
這個計算有什麼用?
寒流來襲時,合歡山等高山的氣溫常降到「−5℃」,這就是生活中用到負數的代表例子。早上 −5℃ 的氣溫,中午升到 3℃ 時的升溫幅度是 3 − (−5) = 8℃,正是「減去負數」的計算。
最高溫和最低溫的差(日夜溫差)、和前一天的溫差也都能用同樣的減法求出,氣象預報說的「比昨天低 5 度」,就相當於加上 −5 的計算。
收入用+、支出用−表示,一個月的收支就是正負數相加的合計。例如 +45,000 元(薪水)、−30,000 元(生活費)、−12,000 元(房租),45,000 − 30,000 − 12,000 = +3,000 元,就是有盈餘。
公司的財報和店家的帳簿也是同樣的想法,能正確計算含有虧損(負數)的合計,是管理金錢的基本。
以海平面為 0,山的高度用+、海的深度用−表示。海拔 3,952 m 的玉山頂和水深 2,500 m 的海底,高度差是 3,952 − (−2,500) = 6,452 m,用負數的減法一次就能求出。
地圖上的海拔和海圖上的水深都統一用這種方式表示,計算跨越基準(海平面)的差時,正負數是不可或缺的。
世界各地的時間,用和基準(UTC)的差,以 +8(台灣)、−5(紐約的冬令時間)這樣的正負數表示。台灣和紐約的時差是 8 − (−5) = 13 小時,正是負數的減法。
和國外開會時對時間、計算飛機的抵達時間,都是靠這種「帶符號的數的減法」。
高爾夫用和標準桿(Par)的差表示成績,例如 −3(低於標準桿 3 桿)、+2(高於標準桿 2 桿),總成績就是各洞正負數的總和。−3 的選手和 +2 的選手相差 (−3) − (+2) = −5,可知領先 5 桿。
籃球、足球的「得失分差」也是得分減失分的帶符號的數,實際用來決定排名。
公式與數線
符號與用語解說
符號
| \(+\) | 加、正 | 有兩種作用的符號。一是像「3 + 5」表示加法(加法的符號),二是像「+3」表示比 0 大的數(正數,正號)。正號常常省略,3 和 +3 是同一個數。 |
| \(-\) | 減、負 | 和+一樣有兩種作用的符號。一是像「5 − 3」表示減法(減法的符號),二是像「−3」表示比 0 小的數(負數,負號)。在這兩種作用之間轉換(把減法改成「加上負數」),就是正負數計算的訣竅。 |
| \(\times,\ \div\) | 乘、除 | 乘法和除法的符號。在算式中要比加減法先算。用鍵盤輸入時,一般用 * 代替 ×、用 / 代替 ÷,這個計算機兩種寫法都接受。 |
| \((\ )\) | 括號 | 表示一組計算的符號,括號內的部分最優先計算。另外,像「5 − (−2)」這樣運算符號和符號相鄰時,也用來把負數括起來(這是為了不把 − − 兩個符號並排寫的規定)。 |
| \(a^{2}\) | a 的平方 | 次方的寫法。右上的小數字(指數)表示「同一個數連乘的個數」,\(a^2 = a \times a\)。指數只作用在緊鄰左邊的東西上,所以 \((-2)^2 = +4\) 和 \(-2^2 = -4\) 是不同的式子。 |
用語
| 正數 | 比 0 大的數,例如 +3、2.5。在數線上位於 0 的右邊。正號+可以省略,所以以前用的一般的數都是正數。 |
| 負數 | 比 0 小的數,例如 −3、−0.5。在數線上位於 0 的左邊。像氣溫的「−5℃」、收支的「−3 萬元(虧損)」,用來表示比基準小、或方向相反的量。0 既不是正數也不是負數。 |
| 符號 | 放在數前面的+或−。加上+(或什麼都沒加)的數是正數,加上−的數是負數。正負數的計算,由「決定符號」和「計算絕對值」兩個步驟組成。 |
| 絕對值 | 在數線上,這個數離 0 的距離,也就是去掉符號後數的大小。−5 的絕對值是 5,+3 的絕對值是 3。加法和乘法的符號規則,全都分成「符號」和「絕對值」來描述。 |
| 項 | 把算式改成只有加法的形式時,每一個數的單位。把 −3 + 5 − (−2) 改成只有加法的算式是 −3 + 5 + 2,項是 −3、+5、+2 這 3 個。 |
| 同號 | 兩個數的符號相同(+和+、−和−)。加法的規則和去括號的方法,都依同號或異號分成不同情況。 |
| 異號 | 兩個數的符號不同(+和−)。加法的規則和去括號的方法,都依同號或異號分成不同情況。 |
| 四則運算 | 加法、減法、乘法、除法 4 種計算的合稱。4 種混合在一起的算式計算稱為「四則混合運算」。 |
| 加法 | 加起來的計算。在正負數中,「減法可以把減數變號,改成加法」是計算的出發點。 |
| 減法 | 減掉的計算。在正負數中,「減法可以把減數變號,改成加法」是計算的出發點。 |
| 乘法 | 相乘的計算。在算式中要比加法、減法先算。答案的符號由「負數的個數是偶數個為+,奇數個為−」決定。 |
| 除法 | 相除的計算。在算式中要比加法、減法先算。答案的符號和乘法一樣,由「負數的個數是偶數個為+,奇數個為−」決定。 |
| 次方 | 把同一個數連乘好幾個的計算(又稱乘方)。像 \((-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8\) 這樣寫,右上的小數字(指數)表示連乘的個數。要比括號外的乘法、除法先算。 |
| 指數 | 寫在次方右上的小數字,表示連乘的個數。指數只作用在「緊鄰左邊的東西」上,所以有沒有括號會讓答案不同:\((-2)^2 = +4\)、\(-2^2 = -4\)。 |
| 數線 | 用一條直線上的點表示數的圖。0 的右邊是正數,左邊是負數,越往右數越大。加法可以用「+往右、−往左移動」的箭頭表示,最適合用來建立正負數的概念。 |
| 倒數 | 相乘等於 1 的另一個數。\(\dfrac{2}{3}\) 的倒數是 \(\dfrac{3}{2}\)。分數的除法要改成「乘以倒數」來計算。請注意符號不變(負數的倒數仍然是負數)。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意思」地使用這個頁面的計算,這裡整理了建議先了解的基礎知識。
卡住的時候,回到這裡的內容複習是最快的方法。
| 整數、小數的四則運算(國小一~五年級,6~11 歲) |
|
| 分數的計算(國小五~六年級,10~12 歲) |
|
| 四則運算的順序(國小四年級,9~10 歲) |
|
| 數線(國小三年級~國中七年級,8~13 歲) |
|
用 Excel 計算的方法
| 要計算的算式(在 = 後面接著寫算式) | =-3+5-(-2) |
| 數 a | -3 |
| 數 b | -4 |
| 和 a+b | =B1+B2 |
| 數 a | -3 |
| 數 b | 5 |
| 和 a+b | =B1+B2 |
| 被減數 a | 8 |
| 減數 b | -5 |
| 差 a−b | =B1-B2 |
| 數 a | -2 |
| 數 b | -3 |
| 積 a×b | =B1*B2 |
| 商 a÷b | =B1/B2 |
| 數 a | -3 |
| 指數 n | 2 |
| 次方 a^n | =B1^B2 |
第 2 個以後的表,是用儲存格參照驗證這個頁面「公式」中介紹的符號規則。同號相加的例子是 −7,異號相加的例子是 2,減法的例子是 8− (−5) = 13,乘法的例子是 (−2) × (−3) = 6。
次方的表用儲存格參照(=B1^B2),所以和數學一樣 (−3)² = 9。不過如果在公式中直接寫「=-3^2」,Excel 的規格是先處理開頭的負號再算次方,會傳回 9(和數學的慣例 −3² = −9 相反)。想算 −3² 時,請寫成「=-(3^2)」。
用 Google 試算表計算的方法
| 要計算的算式(在 = 後面接著寫算式) | =-3+5-(-2) |
| 數 a | -3 |
| 數 b | -4 |
| 和 a+b | =B1+B2 |
| 數 a | -3 |
| 數 b | 5 |
| 和 a+b | =B1+B2 |
| 被減數 a | 8 |
| 減數 b | -5 |
| 差 a−b | =B1-B2 |
| 數 a | -2 |
| 數 b | -3 |
| 積 a×b | =B1*B2 |
| 商 a÷b | =B1/B2 |
| 數 a | -3 |
| 指數 n | 2 |
| 次方 a^n | =B1^B2 |
Google 試算表也和 Excel 一樣,在公式中直接寫「=-3^2」會得到 9(先處理開頭的負號再算次方)。想算 −3² 時,請寫成「=-(3^2)」。
用 Python 計算的方法
from fractions import Fraction
# 直接寫出要計算的算式(× 寫成 *,÷ 寫成 /,次方寫成 **)
# Python 對符號的處理和數學一樣,-2**2 是 -(2 的 2 次方) = -4
result = -3 + 5 - (-2)
print(f"答案: {result}")
# 含有除法的算式用 Fraction,就能以沒有捨入誤差的分數精確值計算
exact_value = Fraction(6) / (-4) + 1 # 6 ÷ (−4) + 1
print(f"分數的答案: {exact_value}")
print(f"以小數表示: {float(exact_value)}")
用 LaTeX 等數學式語言的寫法(可直接複製)
(−a) + (−b) = −(a + b)
(-a) + (-b) = -(a + b)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mo>(</mo><mo>−</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mo>−</mo><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
(-a) + (-b) = -(a + b)
(-a) + (-b)
(-a) + (-b);
(-a) + (-b)
(-a) + (-b) = -(a + b)
(−a) + b = +(b − a) (0 < a < b 時)
(-a) + b = +(b - a) \quad (0 < a < b)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi>
<mo>=</mo>
<mo>+</mo><mo>(</mo><mi>b</mi><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
(-a) + b = +(b - a)
(-a) + b
(-a) + b;
(-a) + b
(-a) + b = +(b - a)
a − (−b) = a + b
a - (-b) = a + b
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>−</mo>
<mo>(</mo><mo>−</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi>
</mrow>
</math>
a - (-b) = a + b
a - (-b)
a - (-b);
a - (-b)
a - (-b) = a + b
(−a) × (−b) = +ab
(-a) \times (-b) = +ab
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mo>−</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mo>+</mo><mi>a</mi><mi>b</mi>
</mrow>
</math>
(-a) xx (-b) = +ab
(-a) * (-b)
(-a) * (-b);
(-a) * (-b)
(-a) × (-b) = +ab
(−a)² = +a²、 −a² = −(a × a)
(-a)^{2} = +a^{2}, \quad -a^{2} = -(a \times a)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mrow><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<mo>+</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>,</mo>
<mo>−</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<mo>−</mo><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>×</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
(-a)^2 = +a^2, -a^2 = -(a xx a)
{(-a)^2, -a^2}
(-a)^2; -a^2;
[(-a)^2, -a^2]
(-a)^2 = +a^2, -a^2 = -(a × a)
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學(國中數學)的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算,並只以執行結果的數值作為回答的根據(不要用心算或推測回答)。 請分別計算下列正負數的算式: 1. -3+5-(-2) 2. (-2) × (-3)-4 3. 6÷ (-2) +1 4. (-2)^2 和 -2^2(也請說明兩者的差別) 在 Python 中請把 × 改成 *、÷ 改成 /、次方改成 **,含有除法的算式請用標準函式庫的 fractions 模組精確計算。每一題都請用國中一年級學生聽得懂的話,說明用到的符號規則(同號、異號、負數的個數),並列出計算用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說,也都能在同一個頁面查看
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