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層板承重計算
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正負數四則運算計算機(附計算過程、數線、符號規則)

請輸入要計算的算式。可以使用整數、小數、分數(像 1/2 這樣用除法的形式寫)、括號和次方(^2 或 ²)。只有加減法的算式,也會用數線顯示到答案為止的移動。

請用半形輸入算式(× ÷ 也可以輸入 * /)。1/2 這樣的分數輸入和 1÷2 意思相同。除不盡的答案不會四捨五入,而是以約分後的分數精確顯示。乘號 × 不能省略。
計算結果與圖表
在左邊的輸入欄填入算式,按下「計算」,附計算過程的結果(只有加減法的算式還會有數線圖)就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼

  • 輸入 -3+5-(-2) 這樣的正負數算式,不只顯示答案,還會照國中七年級學的步驟,一步一步顯示計算過程
  • 「把減法改成加法」「去括號時同號為+、異號為−」「乘除法中負數有偶數個為+、奇數個為−」等符號規則,每一步用了哪一條都會用文字說明
  • 只有加減法的算式,還能用箭頭在數線上移動的圖(+往右、−往左)確認計算的過程
  • 可以使用整數、小數、分數(像 1/2 這樣用除法的形式輸入)、多層括號和次方(^2 或 ²)。容易搞錯的 \((-2)^2\) 和 \(-2^2\) 的差別也能正確處理
  • 除不盡的答案,不會四捨五入成小數,而是以約分後的分數(精確值)顯示。淺顯易懂的公式解說,以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式,也都整理在這個頁面
這個頁面只能計算只有數字的算式。含有 x 等文字的式子,請到「多項式化簡計算機」頁面化簡。

這個計算有什麼用?

求氣溫的變化與溫差(天氣、生活)

寒流來襲時,合歡山等高山的氣溫常降到「−5℃」,這就是生活中用到負數的代表例子。早上 −5℃ 的氣溫,中午升到 3℃ 時的升溫幅度是 3 − (−5) = 8℃,正是「減去負數」的計算。
最高溫和最低溫的差(日夜溫差)、和前一天的溫差也都能用同樣的減法求出,氣象預報說的「比昨天低 5 度」,就相當於加上 −5 的計算。

收支與記帳的合計(盈餘與虧損)

收入用+、支出用−表示,一個月的收支就是正負數相加的合計。例如 +45,000 元(薪水)、−30,000 元(生活費)、−12,000 元(房租),45,000 − 30,000 − 12,000 = +3,000 元,就是有盈餘。
公司的財報和店家的帳簿也是同樣的想法,能正確計算含有虧損(負數)的合計,是管理金錢的基本。

求海拔與水深的差(地理、登山、潛水)

以海平面為 0,山的高度用+、海的深度用−表示。海拔 3,952 m 的玉山頂和水深 2,500 m 的海底,高度差是 3,952 − (−2,500) = 6,452 m,用負數的減法一次就能求出。
地圖上的海拔和海圖上的水深都統一用這種方式表示,計算跨越基準(海平面)的差時,正負數是不可或缺的。

時差的計算(出國旅行、國際工作)

世界各地的時間,用和基準(UTC)的差,以 +8(台灣)、−5(紐約的冬令時間)這樣的正負數表示。台灣和紐約的時差是 8 − (−5) = 13 小時,正是負數的減法。
和國外開會時對時間、計算飛機的抵達時間,都是靠這種「帶符號的數的減法」。

運動比賽的成績與得失分差(高爾夫、籃球等)

高爾夫用和標準桿(Par)的差表示成績,例如 −3(低於標準桿 3 桿)、+2(高於標準桿 2 桿),總成績就是各洞正負數的總和。−3 的選手和 +2 的選手相差 (−3) − (+2) = −5,可知領先 5 桿。
籃球、足球的「得失分差」也是得分減失分的帶符號的數,實際用來決定排名。

公式與數線

同號兩數相加
數線示意圖
數學寫法 (一般的數學式)
\((-a)\) \(+\) \((-b)\) \(=\) \(-(a+b)\)
文字寫法 (把符號換成文字的公式)
① 負數 \(-a\) \(+\) ② 負數 \(-b\) \(=\) ③ 絕對值的和加上共同符號的數 \(-(a+b)\)
用文字讀公式
① 像 負數 \(-a\)
② 和 負數 \(-b\) 這樣符號相同的兩數相加,答案是
③ 絕對值的和 \(a+b\) 加上共同的符號(−)
簡單範例
\((-3) + (-4)\) 的絕對值的和是 3 + 4 = 7,共同的符號是−,所以:
負數(−3) \(+\) 負數(−4) \(=\) 答案 −7
\((-3) + (-4) = -(3 + 4) = -7\)
思考重點
同號(+和+、−和−)的兩數相加,只要用「把絕對值(去掉符號後數的大小)相加,再加上共同的符號」這一條規則就能算。+和+就是一般的加法;−和−就像「欠 3 萬元加上欠 4 萬元,總共欠 7 萬元」,朝同一個方向累積。
異號兩數相加
數線示意圖
數學寫法 (一般的數學式)
\((-a)\) \(+\) \(b\) \(=\) \(+(b-a)\)
文字寫法 (把符號換成文字的公式)
① 負數 \(-a\) \(+\) ② 正數 \(b\) \(=\) ③ 絕對值的差加上絕對值較大者符號的數 \(+(b-a)\)
用文字讀公式
① 像 負數 \(-a\)
② 和 正數 \(b\) 這樣符號不同的兩數相加,答案是
③ 絕對值的差 \(b-a\) 加上絕對值較大者的符號 (這個公式的形式,是 \(b\) 的絕對值較大、\(0 < a < b\) 的情況)
簡單範例
\((-3) + 5\) 的絕對值的差是 5 − 3 = 2,絕對值較大的(5)符號是+,所以:
負數(−3) \(+\) 正數(+5) \(=\) 答案 +2
\((-3) + 5 = +(5 - 3) = 2\)
思考重點
異號(+和−)的兩數相加,可以想像成拔河。−3 往左拉 3,+5 往右拉 5,力氣大的一方(絕對值較大者)獲勝,往獲勝的一方移動兩者相差的量。所以規則是「取絕對值的差,加上絕對值較大者的符號」。 絕對值相等的異號兩數(例:−5 和 +5)相加,拔河勢均力敵,答案是 0。
減法改成「加上變號後的數」
數學寫法 (一般的數學式)
\(a\) \(-\) \((-b)\) \(=\) \(a\) \(+\) \(b\)
文字寫法 (把符號換成文字的公式)
① 數 \(a\) \(-\) ② 負數 \(-b\) \(=\) 數 \(a\) \(+\) ③ 變號後的數 \(+b\)
用文字讀公式
① 用 數 \(a\)
② 減去 負數 \(-b\) 的計算,可以改成加上
③ 變號後的數 \(+b\) (括號前的−和括號內的−同號,所以去掉括號後變成+)
簡單範例
\(8 - (-5)\) 可以改成加上把減數 −5 變號後的 +5,所以:
數 8 \(-\) 負數(−5) \(=\) 數 8 \(+\) 變號後的數 +5
\(8 - (-5) = 8 + 5 = 13\)
思考重點
所有的減法都可以改成「加上變號後的數」(\(a - b = a + (-b)\))。這樣改寫後,算式就變成只有加法的「項的並列」,只用上面兩條加法規則就能算到最後。 去括號時的符號有下面 4 種情況,可以合起來記成「同號為+,異號為−」。 \(+(+b) = +b\)、\(+(-b) = -b\)、\(-(+b) = -b\)、\(-(-b) = +b\) 「減去負數會變成加」,常見的想像是:欠的錢(−)被一筆勾銷(減去),手頭上的錢就變多了。
乘除法的符號規則
數學寫法 (一般的數學式)
\((-a)\) \(\times\) \((-b)\) \(=\) \(+ab\)
文字寫法 (把符號換成文字的公式)
① 負數 \(-a\) \(\times\) ② 負數 \(-b\) \(=\) ③ 絕對值的積加上+的數 \(+ab\)
用文字讀公式
① 把 負數 \(-a\)
② 和 負數 \(-b\) 相乘,負數有 2 個(偶數個),所以答案是
③ 絕對值的積 \(ab\) 加上+
簡單範例
\((-2) \times (-3)\) 的負數有 2 個(偶數個),符號為+,絕對值的積是 2 × 3 = 6,所以:
負數(−2) \(\times\) 負數(−3) \(=\) 答案 +6
\((-2) \times (-3) = +(2 \times 3) = 6\)
思考重點
乘除法的符號,只由「相乘的數中負數的個數」決定。負數有偶數個(0 個、2 個、4 個……)為+,奇數個(1 個、3 個……)為−。除法也是同樣的規則(例:\(6 \div (-2) = -3\))。 「−×−會變成+」可以想成「反過來再反過來就回到原樣」。乘以 −1 就是在數線上把方向反過來,反過來 2 次就回到原本的方向。 決定符號後,剩下的就只是絕對值之間一般的乘除法。
次方與符號-\((-a)^2\) 和 \(-a^2\) 的差別
數學寫法 (一般的數學式)
\((-a)^{2}\) \(=\) \(+a^{2}\)
\(-a^{2}\) \(=\) \(-(a \times a)\)
文字寫法 (把符號換成文字的公式)
① 有括號的次方 \((-a)^2\) \(=\) ② \(-a\) 連乘 2 個的數 \(+a^2\)
③ 沒有括號的次方 \(-a^2\) \(=\) ④ \(a\) 連乘 2 個後再加上−的數 \(-(a \times a)\)
用文字讀公式
① 有括號的次方 \((-a)^2\) ,指數 2 作用在整個括號上,所以是 \((-a) \times (-a)\),負數有 2 個(偶數個),答案是
② \(-a\) 連乘 2 個的數 \(+a^2\) (符號為+)。另一方面,
③ 沒有括號的次方 \(-a^2\) ,指數 2 只作用在緊鄰左邊的 \(a\) 上,所以是
④ \(a\) 連乘 2 個後再加上−的數 \(-(a \times a)\) ,答案的符號相反
簡單範例
\(a = 2\) 時,兩個式子答案的符號相反:
有括號的 \((-2)^2\) \(=\) 答案 +4
沒有括號的 \(-2^2\) \(=\) 答案 −4
\((-2)^{2} = (-2) \times (-2) = +4\)
\(-2^{2} = -(2 \times 2) = -4\)
思考重點
次方(把同一個數連乘好幾個的計算)的指數,只作用在「緊鄰左邊的東西」上。\((-2)^2\) 作用在整個括號上,也就是 −2 連乘 2 個,所以是 +4。\(-2^2\) 的指數只作用在 2 上,所以是 \(2 \times 2 = 4\) 再加上−,答案是 −4。 這是考試中最容易出錯的地方之一,請記住「想要把負數本身做次方時,一定要加括號」。這個計算機會正確區分這兩種寫法來計算。
正負數的計算,依下面的順序進行:(1) 先算次方和括號內 (2) 再算乘除法(負數有偶數個為+、奇數個為−)(3) 把減法改成「加上變號後的數」(4) 由左往右算加法(同號取絕對值的和加共同的符號,異號取絕對值的差加較大者的符號)。這個計算機會把這些步驟直接顯示在計算過程中。

符號與用語解說

符號

\(+\) 加、正 有兩種作用的符號。一是像「3 + 5」表示加法(加法的符號),二是像「+3」表示比 0 大的數(正數,正號)。正號常常省略,3 和 +3 是同一個數。
\(-\) 減、負 和+一樣有兩種作用的符號。一是像「5 − 3」表示減法(減法的符號),二是像「−3」表示比 0 小的數(負數,負號)。在這兩種作用之間轉換(把減法改成「加上負數」),就是正負數計算的訣竅。
\(\times,\ \div\) 乘、除 乘法和除法的符號。在算式中要比加減法先算。用鍵盤輸入時,一般用 * 代替 ×、用 / 代替 ÷,這個計算機兩種寫法都接受。
\((\ )\) 括號 表示一組計算的符號,括號內的部分最優先計算。另外,像「5 − (−2)」這樣運算符號和符號相鄰時,也用來把負數括起來(這是為了不把 − − 兩個符號並排寫的規定)。
\(a^{2}\) a 的平方 次方的寫法。右上的小數字(指數)表示「同一個數連乘的個數」,\(a^2 = a \times a\)。指數只作用在緊鄰左邊的東西上,所以 \((-2)^2 = +4\) 和 \(-2^2 = -4\) 是不同的式子。

用語

正數 比 0 大的數,例如 +3、2.5。在數線上位於 0 的右邊。正號+可以省略,所以以前用的一般的數都是正數。
負數 比 0 小的數,例如 −3、−0.5。在數線上位於 0 的左邊。像氣溫的「−5℃」、收支的「−3 萬元(虧損)」,用來表示比基準小、或方向相反的量。0 既不是正數也不是負數。
符號 放在數前面的+或−。加上+(或什麼都沒加)的數是正數,加上−的數是負數。正負數的計算,由「決定符號」和「計算絕對值」兩個步驟組成。
絕對值 在數線上,這個數離 0 的距離,也就是去掉符號後數的大小。−5 的絕對值是 5,+3 的絕對值是 3。加法和乘法的符號規則,全都分成「符號」和「絕對值」來描述。
項 把算式改成只有加法的形式時,每一個數的單位。把 −3 + 5 − (−2) 改成只有加法的算式是 −3 + 5 + 2,項是 −3、+5、+2 這 3 個。
同號 兩個數的符號相同(+和+、−和−)。加法的規則和去括號的方法,都依同號或異號分成不同情況。
異號 兩個數的符號不同(+和−)。加法的規則和去括號的方法,都依同號或異號分成不同情況。
四則運算 加法、減法、乘法、除法 4 種計算的合稱。4 種混合在一起的算式計算稱為「四則混合運算」。
加法 加起來的計算。在正負數中,「減法可以把減數變號,改成加法」是計算的出發點。
減法 減掉的計算。在正負數中,「減法可以把減數變號,改成加法」是計算的出發點。
乘法 相乘的計算。在算式中要比加法、減法先算。答案的符號由「負數的個數是偶數個為+,奇數個為−」決定。
除法 相除的計算。在算式中要比加法、減法先算。答案的符號和乘法一樣,由「負數的個數是偶數個為+,奇數個為−」決定。
次方 把同一個數連乘好幾個的計算(又稱乘方)。像 \((-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8\) 這樣寫,右上的小數字(指數)表示連乘的個數。要比括號外的乘法、除法先算。
指數 寫在次方右上的小數字,表示連乘的個數。指數只作用在「緊鄰左邊的東西」上,所以有沒有括號會讓答案不同:\((-2)^2 = +4\)、\(-2^2 = -4\)。
數線 用一條直線上的點表示數的圖。0 的右邊是正數,左邊是負數,越往右數越大。加法可以用「+往右、−往左移動」的箭頭表示,最適合用來建立正負數的概念。
倒數 相乘等於 1 的另一個數。\(\dfrac{2}{3}\) 的倒數是 \(\dfrac{3}{2}\)。分數的除法要改成「乘以倒數」來計算。請注意符號不變(負數的倒數仍然是負數)。

建議先了解的基礎知識

為了能「理解意思」地使用這個頁面的計算,這裡整理了建議先了解的基礎知識。
卡住的時候,回到這裡的內容複習是最快的方法。

整數、小數的四則運算(國小一~五年級,6~11 歲)
  • 能正確計算正數之間的加減乘除(正負數的計算,決定符號後,就回到「絕對值之間的一般計算」)
  • 知道有 18 ÷ 3 = 6 這樣的除法,也有除不盡的除法
分數的計算(國小五~六年級,10~12 歲)
  • 會通分(把分母化成一樣)和約分(例:\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}\))
  • 能把分數的除法改成「乘以倒數」
四則運算的順序(國小四年級,9~10 歲)
  • 知道要依「括號內 → 乘除 → 加減」的順序計算
  • 能像 6 + 2 × 3 = 12(先算 2 × 3)這樣,依順序計算
數線(國小三年級~國中七年級,8~13 歲)
  • 知道數在數線上的位置和大小(越右邊的數越大)
  • 有「往右移=變大,往左移=變小」的概念(這個頁面的數線圖就是依這個概念畫的)

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製,貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
直接計算算式的表
要計算的算式(在 = 後面接著寫算式) =-3+5-(-2)
驗證「同號兩數相加」的表
數 a -3
數 b -4
和 a+b =B1+B2
驗證「異號兩數相加」的表
數 a -3
數 b 5
和 a+b =B1+B2
驗證「減法」的表
被減數 a 8
減數 b -5
差 a−b =B1-B2
驗證「乘除法的符號」的表
數 a -2
數 b -3
積 a×b =B1*B2
商 a÷b =B1/B2
驗證「次方與符號」的表
數 a -3
指數 n 2
次方 a^n =B1^B2
在 Excel 中,× 寫成「*」,÷ 寫成「/」,次方寫成「^」。像第 1 個表這樣,在儲存格中「=」後面直接寫算式,就能一次算出正負數的算式,範例算式的答案是 4。
第 2 個以後的表,是用儲存格參照驗證這個頁面「公式」中介紹的符號規則。同號相加的例子是 −7,異號相加的例子是 2,減法的例子是 8− (−5) = 13,乘法的例子是 (−2) × (−3) = 6。
次方的表用儲存格參照(=B1^B2),所以和數學一樣 (−3)² = 9。不過如果在公式中直接寫「=-3^2」,Excel 的規格是先處理開頭的負號再算次方,會傳回 9(和數學的慣例 −3² = −9 相反)。想算 −3² 時,請寫成「=-(3^2)」。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製,貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
直接計算算式的表
要計算的算式(在 = 後面接著寫算式) =-3+5-(-2)
驗證「同號兩數相加」的表
數 a -3
數 b -4
和 a+b =B1+B2
驗證「異號兩數相加」的表
數 a -3
數 b 5
和 a+b =B1+B2
驗證「減法」的表
被減數 a 8
減數 b -5
差 a−b =B1-B2
驗證「乘除法的符號」的表
數 a -2
數 b -3
積 a×b =B1*B2
商 a÷b =B1/B2
驗證「次方與符號」的表
數 a -3
指數 n 2
次方 a^n =B1^B2
可以直接使用和 Excel 相同的公式。把表格整個複製,貼到 A1 儲存格,再把數值改成您自己的算式。
Google 試算表也和 Excel 一樣,在公式中直接寫「=-3^2」會得到 9(先處理開頭的負號再算次方)。想算 −3² 時,請寫成「=-(3^2)」。

用 Python 計算的方法

from fractions import Fraction

# 直接寫出要計算的算式(× 寫成 *,÷ 寫成 /,次方寫成 **)
# Python 對符號的處理和數學一樣,-2**2 是 -(2 的 2 次方) = -4
result = -3 + 5 - (-2)
print(f"答案: {result}")

# 含有除法的算式用 Fraction,就能以沒有捨入誤差的分數精確值計算
exact_value = Fraction(6) / (-4) + 1   # 6 ÷ (−4) + 1
print(f"分數的答案: {exact_value}")
print(f"以小數表示: {float(exact_value)}")
第 1 個例子直接計算 -3+5-(-2),執行後會顯示「4」。第 2 個例子是含有除法的算式,使用標準函式庫的 fractions 模組,6÷ (−4) +1 的答案可以用精確的分數「-1/2」(小數是 -0.5)求出。請把算式的部分改成您自己的計算後執行。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法(可直接複製)

同號兩數相加
(−a) + (−b) = −(a + b)
(-a) + (-b) = -(a + b)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>(</mo><mo>&#x2212;</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2212;</mo><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
  </mrow>
</math>
(-a) + (-b) = -(a + b)
(-a) + (-b)
(-a) + (-b);
(-a) + (-b)
(-a) + (-b) = -(a + b)
異號兩數相加
(−a) + b = +(b − a) (0 < a < b 時)
(-a) + b = +(b - a) \quad (0 < a < b)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>(</mo><mo>&#x2212;</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mi>b</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>+</mo><mo>(</mo><mi>b</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
  </mrow>
</math>
(-a) + b = +(b - a)
(-a) + b
(-a) + b;
(-a) + b
(-a) + b = +(b - a)
減法改成「加上變號後的數」
a − (−b) = a + b
a - (-b) = a + b
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mo>(</mo><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi>
  </mrow>
</math>
a - (-b) = a + b
a - (-b)
a - (-b);
a - (-b)
a - (-b) = a + b
乘除法的符號規則
(−a) × (−b) = +ab
(-a) \times (-b) = +ab
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>(</mo><mo>&#x2212;</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mo>(</mo><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>+</mo><mi>a</mi><mi>b</mi>
  </mrow>
</math>
(-a) xx (-b) = +ab
(-a) * (-b)
(-a) * (-b);
(-a) * (-b)
(-a) × (-b) = +ab
次方與符號-\((-a)^2\) 和 \(-a^2\) 的差別
(−a)² = +a²、 −a² = −(a × a)
(-a)^{2} = +a^{2}, \quad -a^{2} = -(a \times a)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mo>&#x2212;</mo><mi>a</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <mo>+</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>,</mo>
    <mo>&#x2212;</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2212;</mo><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
  </mrow>
</math>
(-a)^2 = +a^2, -a^2 = -(a xx a)
{(-a)^2, -a^2}
(-a)^2; -a^2;
[(-a)^2, -a^2]
(-a)^2 = +a^2, -a^2 = -(a × a)

請 ChatGPT  幫忙計算的方法

你是數學(國中數學)的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算,並只以執行結果的數值作為回答的根據(不要用心算或推測回答)。

請分別計算下列正負數的算式:
1. -3+5-(-2)
2. (-2) × (-3)-4
3. 6÷ (-2) +1
4. (-2)^2 和 -2^2(也請說明兩者的差別)

在 Python 中請把 × 改成 *、÷ 改成 /、次方改成 **,含有除法的算式請用標準函式庫的 fractions 模組精確計算。每一題都請用國中一年級學生聽得懂的話,說明用到的符號規則(同號、異號、負數的個數),並列出計算用的公式和執行結果的數值。

使用方法
  1. 1
    輸入數值
    在輸入欄中輸入要計算的數值
  2. 2
    計算
    按下「計算」按鈕
  3. 3
    查看結果
    計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說,也都能在同一個頁面查看
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