請選擇計算模式，再輸入已知角的大小。
請用半形數字輸入。角的大小可以用小數或 250/7 這樣的分數。
計算結果與圖形
在左邊選擇模式並輸入角的大小，按下「計算」，結果和平行線的圖就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 在兩條平行線被一條直線（截線）所截的經典圖形中，只要輸入一個角 \(\angle a\)，就能算出形成的 8 個角 \(\angle a\)～\(\angle h\)。像 \(\dfrac{250}{7}^\circ\) 這樣除不盡的角，也會同時以精確值（分數）和小數顯示
- 可以在分色的圖和表格中，確認哪些角是同位角、內錯角、對頂角、同側內角的關係（同色的角大小相等）
- 折線模式可以計算夾在平行線之間的折點的角 \(\angle x = \angle a + \angle b\)，並附上「過折點畫平行的輔助線，用內錯角拆開」這個解法的計算過程
- 也會用附圖的公式卡，淺顯地解說「平行線的同位角、內錯角相等」「對頂角相等」「同側內角和為 \(180^\circ\)」為什麼成立
角的命名方式（哪個角稱為 ∠a）因課本、講義而不同。本頁在上方的交點從右上開始逆時針依序稱為 ∠a、∠b、∠c、∠d，下方的交點也按相同順序稱為 ∠e、∠f、∠g、∠h（位置可以在計算結果的圖上確認）。
這個計算有什麼用？
測量地球的大小（厄拉多塞的測量、測量學）
太陽光從非常遠的地方照過來，所以在地面上可以視為平行的光線。大約 2200 年前，希臘學者厄拉多塞在賽伊尼（今埃及的亞斯文）太陽正好在頭頂的那一天，在遠方的亞歷山卓用木棍的影子量出陽光與木棍的夾角（約 7.2°）。由「平行線的內錯角相等」可知，這個 7.2° 等於從地球中心看兩座城市的夾角。7.2° 剛好是 360° 的 50 分之 1，所以他把兩城的距離乘以 50，相當準確地估算出地球一圈的長度。
在沒有人造衛星的時代測出地球大小的這個方法，至今仍是課本介紹平行線與內錯角時最有名的應用例子。
滑動三角板畫平行線（製圖、美勞）
把三角板靠在直尺上滑動，畫出好幾條同方向的線，這些線全都會平行。因為沿著直尺滑動時，三角板的角度（直尺的線與畫出的線所夾的角＝同位角）不變，所以「同位角相等，則兩直線平行」這個性質直接成了作圖的方法。
建築和機械製圖使用的平行尺，也是讓尺保持平行上下移動、原理相同的工具。
用相同角度大量製作樓梯扶手與欄杆柱（木工、建築）
樓梯的扶手是一條斜線，支撐它的欄杆柱是好幾條垂直的平行線。因為「平行線的同位角相等」，扶手與每根欄杆柱的夾角都一樣，所以知道每根柱子的上端都用相同角度切割就可以。
不必一根一根現場比對就能大量製作相同的構件，就是靠這個性質。
潛望鏡裡光的路徑（光學儀器）
潛水艇和自然課勞作中常見的潛望鏡，是在筒子上下各放一面傾斜 45° 的鏡子、讓兩面鏡子平行相對的工具。經上方鏡子反射而轉彎的光，在下方鏡子再反射轉彎一次後進入眼睛。兩面鏡子平行，所以射入的光和射出的光以內錯角的關係互相平行，看到的景色不會傾斜。
光的路徑在平行線之間折兩次的形狀，和本頁折線模式的圖很像（實際光的方向由反射定律決定）。
公式與圖示
對頂角相等（不平行也成立）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
\(\angle a\)
\(=\)
\(\angle c\)
①
一個角 \(\angle a\)
\(=\)
②
相對的角（對頂角）\(\angle c\)
用文字讀公式
①
兩條直線相交時，
一個角 \(\angle a\)
一定等於
②
相對的角（對頂角）\(\angle c\)
。
簡單範例
兩條直線相交形成的角中，有一個是 \(60^\circ\) 時，它的對頂角是
對頂角 \(\angle c\)
\(=\)
\(\angle a\)（\(60^\circ\)）
\(\angle c = \angle a = 60^\circ\)
思考重點
為什麼相等？\(\angle a\) 和 \(\angle c\) 都和中間的角 \(\angle b\) 加起來成為一直線的 \(180^\circ\)（\(\angle a = 180^\circ - \angle b\)，\(\angle c = 180^\circ - \angle b\)）。兩者都是用 \(180^\circ\) 減去同一個數的結果，所以大小一定相同。
只要兩條直線相交，就能用對頂角的性質，和平行線無關（這點和同位角、內錯角不同，是考試常考的區別）。
平行線的同位角相等
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
\(\angle a\)
\(=\)
\(\angle e\)
①
一個角 \(\angle a\)
\(=\)
②
它的同位角 \(\angle e\)
用文字讀公式
①
直線 \(\ell\) 和 \(m\) 平行時，
一個角 \(\angle a\)
等於
②
位置相同的角（同位角）\(\angle e\)
。
簡單範例
一條直線與兩條平行線相交，\(\angle a = 60^\circ\) 時，它的同位角 \(\angle e\) 是
同位角 \(\angle e\)
\(=\)
\(\angle a\)（\(60^\circ\)）
\(\angle e = \angle a = 60^\circ\)
思考重點
同位角是兩個交點上「位置相同」的一對角。\(\angle a\) 在上方交點的右上，它的同位角 \(\angle e\) 就在下方交點的右上。
只有兩直線平行時，同位角才相等。不平行的話，同位角不會相等。
反過來也成立：同位角相等，兩直線就一定平行（平行線的判別性質）。「因為平行，所以角相等」「因為角相等，所以平行」兩個方向都能用，是平行線單元的核心性質。
平行線的內錯角相等
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
\(\angle c\)
\(=\)
\(\angle e\)
①
內側的一個角 \(\angle c\)
\(=\)
②
它的內錯角 \(\angle e\)
用文字讀公式
①
直線 \(\ell\) 和 \(m\) 平行時，
內側的一個角 \(\angle c\)
等於
②
另一側的內側角（內錯角）\(\angle e\)
。
簡單範例
一條直線與兩條平行線相交，內側的角 \(\angle c = 60^\circ\) 時，它的內錯角 \(\angle e\) 是
內錯角 \(\angle e\)
\(=\)
\(\angle c\)（\(60^\circ\)）
\(\angle e = \angle c = 60^\circ\)
思考重點
內錯角是在平行線的內側（被兩直線夾住的一側）、位於截線兩側的一對角。兩個角和截線看起來像英文字母 Z，所以常用「Z 字形」來記。
為什麼相等？\(\angle c\) 是 \(\angle a\) 的對頂角，所以 \(\angle c = \angle a\)；而 \(\angle a\) 和 \(\angle e\) 是同位角，所以 \(\angle a = \angle e\)。連起來就是 \(\angle c = \angle a = \angle e\)，只用「對頂角」和「同位角」兩個性質就能證明。
和同位角一樣，內錯角相等，兩直線就平行（平行線的判別性質）。
平行線的同側內角和為 180°
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(\angle c\)
\(+\)
\(\angle f\)
\(=\)
\(180^\circ\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
①
內側的一個角 \(\angle c\)
\(+\)
②
同一側的內側角 \(\angle f\)
\(=\)
③
平角 \(180^\circ\)
用文字讀公式
①
直線 \(\ell\) 和 \(m\) 平行時，
內側的一個角 \(\angle c\)
加上
②
在截線同一側的內側角（同側內角）\(\angle f\)
，
③
一定等於
平角 \(180^\circ\)
。
簡單範例
一條直線與兩條平行線相交，同側內角的其中一個 \(\angle c = 60^\circ\) 時，另一個 \(\angle f\) 是
同側內角 \(\angle f\)
\(=\)
\(180^\circ\)
\(-\)
\(\angle c\)（\(60^\circ\)）
\(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\)
思考重點
同側內角是在平行線的內側、位於截線同一側的一對角。內錯角是「在兩側且相等」，同側內角則是「在同一側，相加為 \(180^\circ\)」。
為什麼是 \(180^\circ\)？\(\angle f\) 和 \(\angle e\) 是相鄰的角，所以 \(\angle f = 180^\circ - \angle e\)；又由內錯角相等可知 \(\angle e = \angle c\)。所以 \(\angle c + \angle f = \angle e + (180^\circ - \angle e) = 180^\circ\)。
這個性質正是梯形（有一組對邊平行的四邊形）中「夾在平行邊之間的相鄰兩角和為 \(180^\circ\)」的理由。
折線的角（夾在平行線之間的角）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(\angle x\)
\(=\)
\(\angle a\)
\(+\)
\(\angle b\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
折點的角 \(\angle x\)
\(=\)
①
上方平行線那側的角 \(\angle a\)
\(+\)
②
下方平行線那側的角 \(\angle b\)
用文字讀公式
①
平行線之間有折點時，
上方平行線那側的角 \(\angle a\)
加上
②
下方平行線那側的角 \(\angle b\)
，就得到
③
折點的角 \(\angle x\)
。
簡單範例
上方的角 \(\angle a = 35^\circ\)、下方的角 \(\angle b = 25^\circ\) 時，折點的角 \(\angle x\) 是
折點的角 \(\angle x\)
\(=\)
\(\angle a\)（\(35^\circ\)）
\(+\)
\(\angle b\)（\(25^\circ\)）
\(\angle x = 35^\circ + 25^\circ = 60^\circ\)
思考重點
解法的主角是「通過折點的平行輔助線」。畫出輔助線把 \(\angle x\) 分成上下兩部分，上半部是 \(\angle a\) 的內錯角，下半部是 \(\angle b\) 的內錯角，所以 \(\angle x = \angle a + \angle b\)。
「夾在平行線之間的角」是國中八年級考試的超經典題型，就算折點增加到兩個以上，只要在每個折點畫平行的輔助線，就能用同樣的想法解出來。
這個公式只能在 \(\angle a + \angle b\) 小於 \(180^\circ\) 時使用（剛好 \(180^\circ\) 時不是折線，而是一直線）。
一條直線與平行線相交時形成的角，全部由「對頂角相等（不平行也成立）」「平行線的同位角相等」「平行線的內錯角相等」「同側內角和為 \(180^\circ\)」這 4 個性質決定。只要知道一個角，8 個角就分成「和它相等的 4 個」與「用 \(180^\circ\) 減去它的 4 個」。夾在平行線之間的折線的角，只要過折點畫平行的輔助線，就能用 \(\angle x = \angle a + \angle b\) 求出。
符號與用語解說
符號
| \(\angle\) | 角 | 表示角的符號。\(\angle a\) 表示「命名為 \(a\) 的角」。像 \(\angle APB\) 這樣用三個字母寫時，中間的字母是角的頂點。 |
| \(\ell,\ m\) | l、m | 替直線取的名字。\(\ell\) 是 line（直線）字首 l 的草寫體，習慣寫成這個形狀，以便和數字 1、大寫字母 I 區分。第二條以後依字母順序命名為 \(m\)、\(n\)。 |
| \(\parallel\) | 平行 | 表示平行的符號。\(\ell \parallel m\) 的意思是「直線 \(\ell\) 和直線 \(m\) 平行」。一般認為是用兩條直線表示平行線的形狀而來。 |
| \(x\) | x | 替未知數（所求的角）取的字母。把未知數設為 \(x\)，是課本裡常見的慣例。 |
| \(^\circ\) | 度 | 角度單位「度」的符號。把一圈平分成 360 份，每份的角就是 \(1^\circ\)。一般認為一圈定為 360，是因為 360 的因數很多，容易平分。 |
用語
| 平行線 | 在同一個平面上、不論延長多遠都不相交的兩條直線，符號寫成 \(\ell \parallel m\)。兩條平行線之間的距離（寬度），不論在哪裡量都相等。 |
| 截線 | 穿過兩條直線的一條直線。平行線與截線相交時，兩個交點各形成 4 個角，共 8 個角。 |
| 對頂角 | 兩條直線相交形成的 4 個角中，相對的一對角。對頂角一定相等，和兩直線是否平行無關，只要相交就成立。 |
| 同位角 | 截線與兩條直線相交時，兩個交點上位置相同（例如都在交點的右上）的一對角。兩直線平行時同位角相等；反過來，同位角相等時兩直線平行。 |
| 內錯角 | 在兩條直線的內側（被夾住的一側）、位於截線兩側的一對角。「錯」是「交錯」的意思。兩直線平行時內錯角相等。兩個角和截線看起來像 Z，所以常用「Z 字形」來記。 |
| 同側內角 | 在兩條直線的內側、位於截線同一側的一對角。兩直線平行時，同側內角和為 \(180^\circ\)。梯形中夾在平行邊之間的相鄰兩角，正是這種關係。 |
| 輔助線 | 為了解題而自己在圖上加畫的線。求夾在平行線之間的折線的角時，畫出「通過折點、與平行線平行的輔助線」是解題的關鍵。 |
| 平行線的判別性質 | 「同位角相等，則兩直線平行」「內錯角相等，則兩直線平行」這種反方向的性質。由角的大小證明兩直線平行時使用。 |
| 平角 | 半圈的角 \(180^\circ\)，也就是一直線的角。在直線上取一點，該點周圍一側的角加起來一定是 \(180^\circ\)。這是「相鄰的角相加為 \(180^\circ\)」「對頂角相等」的基礎。 |
建議先了解的基礎知識
為了讓您「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了事先了解會更好懂的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習這些內容是最快的捷徑。
| 角度與旋轉（國小四年級，9～10 歲） |
|
| 垂直與平行（國小四年級，9～10 歲） |
|
| 平角與相鄰的角（國小四年級～國中八年級） |
|
| 用代數符號列式（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 減法與分數（國小五年級～國中七年級） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「由一個角求全部 8 個角」的表格
| 角 ∠a（度） | 60 |
| ∠c、∠e、∠g（與 ∠a 相等的角）（度） | =B1 |
| ∠b、∠d、∠f、∠h（度） | =180-B1 |
求「折線的角」的表格
| 上方平行線那側的角 ∠a（度） | 35 |
| 下方平行線那側的角 ∠b（度） | 25 |
| 折點的角 ∠x（度） | =B1+B2 |
貼上後，上方的列是輸入欄，下方的列會自動算出結果。
「-」是減號，「+」是加號。
第一個表格是在 ∠a 輸入 60 的例子。由對頂角、同位角、內錯角的關係，與 ∠a 相等的角（∠c、∠e、∠g）是 60，其餘 4 個角（∠b、∠d、∠f、∠h）是 180 − 60 ＝ 120。
第二個表格是折線模式的例子，在 ∠a 輸入 35、∠b 輸入 25，折點的角 ∠x 就是 35 + 25 ＝ 60。
「-」是減號，「+」是加號。
第一個表格是在 ∠a 輸入 60 的例子。由對頂角、同位角、內錯角的關係，與 ∠a 相等的角（∠c、∠e、∠g）是 60，其餘 4 個角（∠b、∠d、∠f、∠h）是 180 − 60 ＝ 120。
第二個表格是折線模式的例子，在 ∠a 輸入 35、∠b 輸入 25，折點的角 ∠x 就是 35 + 25 ＝ 60。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「由一個角求全部 8 個角」的表格
| 角 ∠a（度） | 60 |
| ∠c、∠e、∠g（與 ∠a 相等的角）（度） | =B1 |
| ∠b、∠d、∠f、∠h（度） | =180-B1 |
求「折線的角」的表格
| 上方平行線那側的角 ∠a（度） | 35 |
| 下方平行線那側的角 ∠b（度） | 25 |
| 折點的角 ∠x（度） | =B1+B2 |
和 Excel 相同的公式可以直接使用。把表格整個複製貼到 A1 儲存格，再把角的大小改成您自己的數值即可。
用 Python 計算的方法
from fractions import Fraction
# 平行線與截線：由一個角求全部 8 個角
angle_a = Fraction(60) # 像 250/7° 這樣的分數可以寫成 Fraction(250, 7)
angle_b = 180 - angle_a # 相鄰的角（用平角 180° 去減）
print(f"∠a = ∠c = ∠e = ∠g = {angle_a}°（由對頂角、同位角、內錯角相等）")
print(f"∠b = ∠d = ∠f = ∠h = {angle_b}°")
print(f"確認同側內角和：{angle_a}° + {angle_b}° = {angle_a + angle_b}°")
# 折線：夾在平行線之間的折點的角
bend_a = Fraction(35)
bend_b = Fraction(25)
angle_x = bend_a + bend_b
print(f"折點的角 ∠x = {bend_a}° + {bend_b}° = {angle_x}°")
使用標準函式庫的 fractions 模組，像 250/7° 這樣除不盡的角也能保持分數、沒有捨入誤差地計算。執行後，第一部分會顯示分成「4 個 60° 的角和 4 個 120° 的角」以及同側內角和 180°，第二部分會顯示折點的角 60°。請改寫數值後執行。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
對頂角相等（不平行也成立）
∠a = ∠c
\angle a = \angle c
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>∠</mo><mi>a</mi>
<mo>=</mo>
<mo>∠</mo><mi>c</mi>
</mrow>
</math>
/_ a = /_ c
angleA == angleC
angleA = angleC;
angleA == angleC
∠a = ∠c
平行線的同位角相等
∠a = ∠e
\angle a = \angle e
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>∠</mo><mi>a</mi>
<mo>=</mo>
<mo>∠</mo><mi>e</mi>
</mrow>
</math>
/_ a = /_ e
angleA == angleE
angleA = angleE;
angleA == angleE
∠a = ∠e
平行線的內錯角相等
∠c = ∠e
\angle c = \angle e
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>∠</mo><mi>c</mi>
<mo>=</mo>
<mo>∠</mo><mi>e</mi>
</mrow>
</math>
/_ c = /_ e
angleC == angleE
angleC = angleE;
angleC == angleE
∠c = ∠e
平行線的同側內角和為 180°
∠c + ∠f = 180°
\angle c + \angle f = 180^{\circ}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>∠</mo><mi>c</mi>
<mo>+</mo>
<mo>∠</mo><mi>f</mi>
<mo>=</mo>
<msup><mn>180</mn><mo>°</mo></msup>
</mrow>
</math>
/_ c + /_ f = 180^circ
angleC + angleF == 180 Degree
angleC + angleF = 180;
angleC + angleF == 180
∠c + ∠f = 180°
折線的角（夾在平行線之間的角）
∠x = ∠a + ∠b
\angle x = \angle a + \angle b
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>∠</mo><mi>x</mi>
<mo>=</mo>
<mo>∠</mo><mi>a</mi>
<mo>+</mo>
<mo>∠</mo><mi>b</mi>
</mrow>
</math>
/_ x = /_ a + /_ b
angleX == angleA + angleB
angleX = angleA + angleB;
angleX == angleA + angleB
∠x = ∠a + ∠b
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學（平面幾何：平行線與角）的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並且只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。 針對一條直線與兩條平行線相交所形成的 8 個角，請分別列出： 1. 其中一個角是 250/7° 時，8 個角的大小（也請把相等的角分組，並用約分後的分數和小數兩種方式表示） 2. 確認同側內角和為 180° 3. 夾在平行線之間的折線中，上方平行線那側的角是 35°、下方平行線那側的角是 25° 時，折點的角 Python 請使用標準函式庫的 fractions 模組精確計算，並列出使用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
DataChef 的特色
簡單又免費
免費且無使用次數限制
不需專業知識，操作直覺又簡單
不需專業知識，操作直覺又簡單
免註冊會員
開啟頁面即可立即使用
無須登錄任何個人資料
無須登錄任何個人資料
安全又安心
通訊全程高度加密
按下「下載」後自動刪除檔案
按下「下載」後自動刪除檔案
高速
顯示與轉換都快速順暢，毫無等待壓力
無浮水印
沒有浮水印
無須標註來源出處
無須標註來源出處
可商業使用
可免費用於商業用途
亦無須事先取得商用授權
亦無須事先取得商用授權
相關功能
多邊形內角、外角計算機（內角和、外角和、正多邊形反推）
附分割成三角形的圖示，計算 n 邊形的內角和 180°× (n−2)、外角和 360°，以及正 n 邊形的一個內角與外角
圓周角定理計算機（圓周角 ⇔ 圓心角、弧長比、圓內接四邊形對角）
附圖示計算圓周角是圓心角的一半、同弧所對的圓周角相等、直徑所對的圓周角是 90° 等圓的角的性質
