木材裁切計算機（一支定尺能切幾支、取料配置）

請輸入定尺長度、鋸路，以及需要的零件長度和支數（零件最多 8 種，長度留空的列會略過）。定尺單價可以留空。

單位

定尺長度（mm）

鋸路（鋸片厚度，mm）

需要的零件（長度、支數）

代號名稱（選填）長度（mm）支數

定尺單價（元/支，可留空）

長度全部以 mm（公釐）輸入。鋸路留空時以 3 mm、支數留空時以 1 支計算。零件名稱留空時會顯示為「零件 A」～「零件 H」。

計算結果與圖示

在左側輸入定尺長度和需要的零件長度、支數，按下「計算」，結果和取料配置圖就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式與圖示
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
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這個頁面可以做什麼

只要輸入定尺長度（6 尺 1820 mm、8 尺 2430 mm、12 尺 3640 mm 等）和需要的零件長度、支數（最多 8 種），馬上就知道要買幾支定尺
計算時會算入鋸路（鋸片的厚度，預設 3 mm），不會漏掉「把 1820 mm 四等分成 455 mm × 4 支，其實一支只能切出 3 支」這類陷阱
以從長零件開始依序排入的配置方式（First Fit Decreasing）為基礎，零件合計 60 支以下時，還會搜尋「支數最少的組合」，並顯示「第 1 支定尺：桌腳 × 2，剩料 214 mm」這樣的取料配置表，以及每支定尺的橫條圖
同時列出每種零件各用不同定尺裁切時的簡單計算支數，讓您看出合併裁切能省幾支。也會和理論上的最少支數（下限）比較，顯示配置是最佳（無法再減少）還是近似
輸入定尺單價（選填），也會算出概算費用和省下的金額。公式的淺顯解說，以及 Excel、Google 試算表、Python 可直接複製的公式，也都整理在這個頁面

配置以「從長零件開始，依序放進第一支放得下的定尺」的步驟（First Fit Decreasing）為基礎；這樣的支數達不到「理論上的最少支數」時，若零件合計 60 支以下，會搜尋所有可能的組合，改用支數最少的配置（結果中的「合併裁切的判定」會顯示是最佳還是近似）。合計超過 60 支時，結果只是依步驟得到的參考值，不一定是最少支數。要避開木紋、節眼、彎曲取料，或要把定尺兩端切掉再用時，請多預留一些。像磁磚、木地板這樣由「面積」求片數時，請使用「磁磚片數計算機」「木地板用量計算」頁面。

這個計算有什麼用？

DIY 桌子、層架、長凳的備料

例如用 1820 mm 的角材做桌腳 800 mm × 4 支、牙板 500 mm × 2 支、橫撐 400 mm × 2 支的小桌子，依零件分開購買要定尺 4 支，但用由長到短排入的合併裁切只要 3 支（第 1 支：桌腳 × 2，第 2 支：桌腳 × 2，第 3 支：牙板 × 2＋橫撐 × 2，剩料 8 mm）。
採買前先算好支數，就能減少不夠又要再跑一趟、或買太多沒地方放的失誤。請木材行或居家修繕賣場代客裁切時，有取料配置表也能一次交代清楚。

木棧板平台、圍籬、遮蔽板的龍骨和立柱

像木棧板平台的龍骨、圍籬的橫料這種「要用很多支相同長度零件」的工程，鋸路的累積會影響支數。例如從 1820 mm 的定尺切 455 mm 的橫料，不計鋸路剛好 4 支，但鋸路 3 mm 時 $4 \times 455 + 3 \times 3 = 1829$ mm，第 4 支差 9 mm，一支只能切 3 支。需要 40 支時，定尺不是 10 支，而是 $\lceil 40 \div 3 \rceil = 14$ 支。
只要把長度從 455 mm 改成 450 mm 就能切 4 支、只需 10 支，所以在設計階段先確認「是不是一支定尺能切幾支的長度」，能大幅省下材料費。

水管、電線管、鋁擠型、窗簾軌道的裁切

PVC 水管（每支 4 m 的定尺）、電線管、鋁擠型、窗簾軌道等「以固定長度販售、裁切後使用的東西」，都能用和木材相同的公式計算。例如從 4000 mm 的 PVC 管切 1200 mm × 5 支、950 mm × 3 支、300 mm × 1 支，合併裁切要 3 支（分開購買要 4 支）。
不過用切管器切時鋸路幾乎是 0，用鋼鋸則約 1～2 mm，會因工具而不同，請依工具調整鋸路欄。

製材廠、家具工廠、鐵工廠的材料規劃（材料利用率）

工廠的材料費占成本很大的比例，所以會把「材料中有多少做成了成品」當作材料利用率（良率）來管理。本頁的「材料利用率」是零件合計長度除以購買的定尺合計長度，剩料和鋸路越少越接近 100%。
實際的工廠要把數百種零件配置到數千支材料上，所以會使用專門解這個「裝箱問題」的軟體。由長到短排入的 First Fit Decreasing，在這類軟體中也是做出初步方案的經典方法。

踢腳板、天花板線板、收邊條等室內裝修的定尺材

踢腳板（牆和地板交界的板條）、天花板線板（牆和天花板交界）常以 8 尺、12 尺等定尺販售，再配合各面牆的長度裁切。例如牆長 3600 mm、2700 mm、3600 mm、2700 mm（扣除門窗）的房間，用 3640 mm（12 尺）定尺的踢腳板繞一圈，3600 mm 的牆剛好放得下，但 2700 mm 的料剩下的 937 mm 什麼都放不進去，所以合併裁切也要 4 支。
像這樣「一面牆的長度」超過定尺的一半時，支數就無法減少，可以先考慮是否允許接縫，或改用其他長度的定尺。

公式與圖示

一支定尺能切的支數

圖示

數學寫法（一般的數學式）

$m$ $=$ $\lfloor$ $($ $L$ $+$ $k$ $)$ $\div$ $($ $l$ $+$ $k$ $)$ $\rfloor$

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ 一支定尺能切的支數 $m$ $=$ $\lfloor$ $($ ① 定尺長度 $L$ $+$ ② 鋸路 $k$ $)$ $\div$ $($ ③ 零件長度 $l$ $+$ 鋸路 $k$ $)$ $\rfloor$

用文字讀公式

① 在定尺長度 $L$ 上

② 加一次鋸路 $k$

③ 再除以零件長度 $l$ 加上鋸路 $k$ 的值，小數部分無條件捨去（符號 $\lfloor\ \rfloor$ 表示「無條件捨去」）

④ 就得到一支定尺能切的支數 $m$

簡單範例

從 1820 mm 的定尺（6 尺的角材）切 800 mm 的桌腳，鋸路 3 mm 時一支能切的支數是

能切的支數 $m$ $=$ $\lfloor$ $($ 定尺（1820 mm） $+$ 鋸路（3 mm） $)$ $\div$ $($ 零件（800 mm） $+$ 鋸路（3 mm） $)$ $\rfloor$

$(1820 + 3) \div (800 + 3) = 1823 \div 803 \approx 2.27$

$\lfloor 2.27 \rfloor = 2$

思考重點

為什麼定尺和零件兩邊都要加上鋸路呢？從定尺切出 $n$ 支零件時，切的次數是扣掉最後一刀的 $n - 1$ 次（最後一支零件用到定尺的尾端即可，不必再切）。也就是說，能切出 $n$ 支的條件是 $n \times l + (n - 1) \times k \le L$。兩邊都加上 $k$，就變成 $n \times (l + k) \le L + k$，只要「把一支零件看成 $l + k$、把定尺看成 $L + k$ 來相除」就能判斷。現場也常用「零件長度＋鋸路」乘上支數，在定尺以內就切得出來的簡便算式（把切的次數當成 $n$ 次）。這個計算機採用上面 $n - 1$ 次的算式，所以有時會比簡便算式多切出一支。如果要把定尺兩端切掉再用（不用尾端），請從定尺長度扣掉那部分再輸入。忽略鋸路可能會算錯支數。例如把 1820 mm 四等分的 455 mm 零件，不計鋸路剛好切 4 支，但鋸路 3 mm 時 $4 \times 455 + 3 \times 3 = 1829 > 1820$，第 4 支差 9 mm，只能切 $\lfloor 1823 \div 458 \rfloor = 3$ 支。

每種零件分開購買時的支數

數學寫法（一般的數學式）

$B_i$ $=$ $\lceil$ $q_i$ $\div$ $m_i$ $\rceil$

$B_{\text{分}}$ $=$ $B_1 + B_2 + \cdots$

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ 只切零件 $i$ 所需的定尺支數 $B_i$ $=$ $\lceil$ ① 零件 $i$ 的需要支數 $q_i$ $\div$ ② 一支定尺能切的支數 $m_i$ $\rceil$

⑤ 分開購買時的合計支數 $B_{\text{分}}$ $=$ ④ 每種零件的支數 $B_1,\ B_2,\ \ldots$ 的合計

用文字讀公式

① 把零件 $i$ 的需要支數 $q_i$

② 除以一支定尺能切的支數 $m_i$ ，小數部分無條件進位（符號 $\lceil\ \rceil$ 表示「無條件進位」）

③ 就得到只切零件 $i$ 所需的定尺支數 $B_i$

④ 而每種零件的支數 $B_1,\ B_2,\ \ldots$ 的合計

⑤ 就是分開購買時的合計支數 $B_{\text{分}}$

簡單範例

從 1820 mm 的定尺（鋸路 3 mm），每種零件各用不同的定尺切出桌腳 800 mm × 4 支、牙板 500 mm × 2 支、橫撐 400 mm × 2 支時，支數是

$\text{桌腳}：\lceil 4 \div 2 \rceil = 2,\quad \text{牙板}：\lceil 2 \div 3 \rceil = 1,\quad \text{橫撐}：\lceil 2 \div 4 \rceil = 1$

$B_{\text{分}} = 2 + 1 + 1 = 4$

思考重點

像「桌腳用的定尺」「牙板用的定尺」這樣依零件種類分開買定尺，就是這個簡單計算。桌腳一支定尺能切 2 支，4 支需要定尺 2 支；牙板能切 3 支，2 支只要定尺 1 支（多出 1 支的份）；橫撐能切 4 支，定尺 1 支（多出 2 支的份），合計 4 支。這個方法想法簡單，買回來後裁切也不會搞混，但牙板和橫撐的定尺各剩下很大一段。下一個「合併裁切」，就是把其他零件塞進這些剩餘部分來減少支數的方法。

合併裁切（從長零件開始依序排入的配置）與剩料

圖示

數學寫法（一般的數學式）

$w$ $=$ $L$ $-$ $l_1 + l_2 + \cdots + l_n$ $-$ $n$ $\times$ $k$

文字寫法（把符號換成文字的公式）

⑤ 一支定尺的剩料 $w$ $=$ ① 定尺長度 $L$ $-$ ② 從這支定尺切出的零件長度 $l_1,\ l_2,\ \ldots,\ l_n$ 的合計 $-$ ③ 從這支定尺切出的支數 $n$ $\times$ ④ 鋸路 $k$

用文字讀公式

① 從定尺長度 $L$

② 減去從這支定尺切出的零件長度 $l_1,\ l_2,\ \ldots,\ l_n$ 的合計，再減去

③ 從這支定尺切出的支數 $n$ 乘以

④ 鋸路 $k$ 的值（每切一次削掉的部分）

⑤ 就得到一支定尺的剩料 $w$ （小於 0 時，表示最後一支零件剛好用到定尺的尾端，剩料為 0）

簡單範例

把上面的例子（桌腳 800 mm × 4 支、牙板 500 mm × 2 支、橫撐 400 mm × 2 支）用 1820 mm 的定尺合併裁切，第 3 支定尺放入牙板 2 支和橫撐 2 支，它的剩料是

剩料 $w$ $=$ 定尺（1820 mm） $-$ 零件合計（500 + 500 + 400 + 400 mm） $-$ 支數（4 支） $\times$ 鋸路（3 mm）

$1820 - (500 + 500 + 400 + 400) - 4 \times 3 = 1820 - 1800 - 12 = 8$

思考重點

合併裁切的配置，是用下面 3 個步驟（First Fit Decreasing＝「由長到短，放進第一個放得下的地方」）決定的。 (1) 把所有零件由長到短排列（同樣長度的依輸入列的順序）。 (2) 從第一支零件開始，依序放進現有定尺中「剩餘長度大於或等於該零件」的第一支。放入後，那支定尺的剩餘長度減少「零件長度＋鋸路」。 (3) 哪一支定尺都放不下時，就新增一支定尺放進去。上面的例子由長到短排成 800、800、800、800、500、500、400、400，第 1 支定尺放 2 支 800（剩 214 mm，第 3 支 800 放不下），第 2 支定尺放 2 支 800，第 3 支定尺放 2 支 500 後剩 814 mm，所以 2 支 400 也放得下，剩 8 mm。合計 3 支就夠，比分開購買的 4 支少 1 支。這個步驟想法簡單、結果也不錯，但不一定總是最少支數。例如從 1820 mm 的定尺（鋸路 3 mm）切 700 mm × 4 支、600 mm × 2 支、450 mm × 2 支，用這個步驟需要 4 支定尺，但改成「700＋600＋450」2 支和「700＋700」1 支的組合，3 支就夠了。由長到短的步驟會「先把 700 兩兩塞滿」，所以發現不了這個組合。數學上已證明，這個步驟的支數不會超過最少支數的約 1.22 倍再加 1 支，而且只要和下一個「理論上的最少支數」一致，就能確認是最少。所以這個計算機在步驟所得支數達不到理論上的最少支數時，若零件合計 60 支以下，會用「每支定尺都一定放入剩下最長的零件，試遍所有放法」的搜尋（分支定界法）求出支數最少的配置並替換。上面 700、600、450 的例子，搜尋後也會顯示 3 支的配置。是否完成搜尋會顯示在結果的「合併裁切的判定」，合計超過 60 支時則是依步驟所得的近似。

理論上的最少支數（下限）

數學寫法（一般的數學式）

$B_{\min}$ $=$ $\lceil$ $\sum_i q_i\,(l_i + k)$ $\div$ $(L + k)$ $\rceil$

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ 理論上的最少支數 $B_{\min}$ $=$ $\lceil$ ① 所有零件（長度＋鋸路）的合計 $\sum_i q_i\,(l_i + k)$ $\div$ ② 定尺長度＋鋸路 $L + k$ $\rceil$

用文字讀公式

① 把所有零件（長度＋鋸路）的合計 $\sum_i q_i\,(l_i + k)$

② 除以定尺長度＋鋸路 $L + k$ ，小數部分無條件進位

③ 就得到理論上的最少支數 $B_{\min}$

簡單範例

上面的例子（桌腳 800 mm × 4 支、牙板 500 mm × 2 支、橫撐 400 mm × 2 支，定尺 1820 mm、鋸路 3 mm）理論上的最少支數是

$4 \times (800 + 3) + 2 \times (500 + 3) + 2 \times (400 + 3) = 3212 + 1006 + 806 = 5024$

$5024 \div (1820 + 3) = 5024 \div 1823 \approx 2.76$

$\lceil 2.76 \rceil = 3$

思考重點

如同「一支定尺能切的支數」的公式所示，放進一支定尺的零件，必須滿足「各零件（長度＋鋸路）的合計 ≤ 定尺長度＋鋸路」。不論怎麼巧妙配置，支數都不可能少於「所有零件（長度＋鋸路）的合計 ÷ $L + k$」。這就是下限（不可能再往下的值）。合併裁切的支數和這個下限一致時，就確定是無法再減少的最少支數（最佳）。上面的例子是 3 支，和下限 3 支一致，所以是最佳。不一致時，換個零件組合可能還能減少，但下限只是「不會比這更少」的值，不一定能減到下限。例如從 1820 mm 的定尺（鋸路 3 mm）切 1000 mm × 3 支，下限是 $\lceil 3009 \div 1823 \rceil = 2$ 支，但一支定尺只放得下一支 1000 mm，怎麼組合都需要 3 支。這個計算機在合計 60 支以下時會搜尋組合，所以顯示「已搜尋所有組合確認」的支數，即使比下限多，也已經是最少。

可省下的支數與概算費用

數學寫法（一般的數學式）

$\Delta$ $=$ $B_{\text{分}}$ $-$ $B$

$T$ $=$ $u$ $\times$ $B$

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ 可省下的支數 $\Delta$ $=$ ① 分開購買時的支數 $B_{\text{分}}$ $-$ ② 合併裁切的支數 $B$

⑤ 概算費用 $T$ $=$ ④ 定尺單價 $u$ $\times$ 合併裁切的支數 $B$

用文字讀公式

① 從分開購買時的支數 $B_{\text{分}}$

② 減去合併裁切的支數 $B$

③ 就得到可省下的支數 $\Delta$ ；

④ 把定尺單價 $u$ 乘以合併裁切的支數 $B$

⑤ 就得到概算費用 $T$

簡單範例

上面的例子中，定尺每支 NT$100 時，可省下的支數和費用是

$\Delta = 4 - 3 = 1$

$T = 100 \times 3 = 300$

$100 \times 4 - 300 = 100$

思考重點

分開購買的費用是 $u \times B_{\text{分}}$，合併裁切的費用是 $u \times B$，所以差額是 $u \times \Delta$。單價請輸入每支定尺的價格。以「才」或 m³ 計價、不是按支賣的木材，請換算成每支的單價再輸入。費用只含木材本身，不含裁切費、運費、塗料等。

一支定尺能切的支數，基本上是用「（定尺＋鋸路）÷（零件＋鋸路）」再無條件捨去求出。多種零件時，用由長到短「放進第一支放得下的定尺」的合併裁切就能減少支數。這個支數和「理論上的最少支數」一致時，就無法再減少；不一致時，若零件合計 60 支以下，也會搜尋組合求出支數最少的配置。

符號與用語解說

符號

$L$	定尺長度（mm），也就是買回來的一支木材的長度。取自 Length（長度）的字首，為了和零件長度 $l$ 區分而用大寫。
$l$、$l_i$	零件（要切出的材料）的長度（mm）。$l_i$ 的 $i$ 是「第 $i$ 種零件」的編號（因為有桌腳、牙板、橫撐等多種零件）。
$k$	鋸路（鋸片的厚度，mm）。每切一次，木材就會被削掉這麼多而變短。取自 kerf（英文的「鋸路」）的字首。
$m$、$m_i$	一支定尺能切出的零件支數。用 $m = \lfloor (L + k) \div (l + k) \rfloor$ 求出。
$q_i$	零件 $i$ 的需要支數。取自 quantity（數量）的字首。
$B_i$、$B_{\text{分}}$	$B_i$ 是只切零件 $i$ 所需的定尺支數（$\lceil q_i \div m_i \rceil$）。$B_{\text{分}}$ 是每種零件分開購買時的合計支數（$B_i$ 的合計）。
$B$	合併裁切（從長零件開始依序排入的配置）所需的定尺支數，是本頁最主要的值。
$n$	從某一支定尺切出的零件支數。取自 number（數）的字首。在剩料的公式中，用來決定要扣幾次鋸路。
$w$	一支定尺的剩料（沒用到而剩下的長度，mm）。取自 waste（剩餘、浪費）的字首。
$B_{\min}$	理論上的最少支數（下限）。用 $\lceil \sum_i q_i (l_i + k) \div (L + k) \rceil$ 求出，合併裁切的支數 $B$ 和它一致就是最佳。min 是 minimum（最小）的縮寫。
$\Delta$	可省下的支數，也就是 $B_{\text{分}} - B$。希臘字母 delta 常用來表示「差」（對應 difference 的字首 d）。
$u$	每支定尺的單價（元）。取自 unit price（單價）的字首。
$T$	概算費用（元）。取自 total（合計）的字首。只含木材本身，不含裁切費和運費。
$\lfloor x \rfloor$	把小數部分無條件捨去成整數的符號（高斯符號、下取整函數）。（例：$\lfloor 2.27 \rfloor = 2$、$\lfloor 3 \rfloor = 3$）能切的支數要「捨去放不下的部分」，所以用這個符號。
$\lceil x \rceil$	把小數部分無條件進位成整數的符號（上取整函數）。（例：$\lceil 2.76 \rceil = 3$、$\lceil 2 \rceil = 2$）要買的支數要「不夠的部分多買一支」，所以用這個符號。
$\sum$	表示「全部加起來」的符號。$\sum_i q_i (l_i + k)$ 就是對每種零件 $i$ 計算 $q_i (l_i + k)$ 再全部相加。希臘字母 sigma，相當於 Sum（合計）的字首 S。

用語

定尺	木材、鋼材、管材等以固定長度販售時的標準長度。台灣的角材多以台尺計長，3 尺（910 mm）、4 尺（1210 mm）、6 尺（1820 mm）、8 尺（2430 mm）、12 尺（3640 mm）等都很常見。
鋸路	用鋸子切割時，被鋸片厚度削掉而損失的長度。圓鋸片的厚度多在 1.5～2 mm 左右，再考慮切口崩邊和畫線（標示切割位置的記號）的寬度，一般以 3 mm 左右估算。知道所用鋸片的厚度（鋸片上標示的 kerf 值）時，請輸入那個值。切幾次就累積幾次，所以切越多短零件影響越大。
取料	決定要如何從材料（板材、角材、定尺）切出所需零件的作業，也稱下料、裁料規劃。本頁只考慮「長度」的一維取料，不處理從夾板縱橫裁切的二維取料。
剩料	切出零件後剩下的材料，也就是留在定尺尾端的短料頭。剩料越少，材料浪費越少，材料利用率越高。
合併裁切	不把定尺分成「桌腳用」「牙板用」，而是把其他種類的零件也塞進一支定尺的剩餘部分一起切的方法。常比依零件種類分開購買更省支數，本頁的取料配置表就是顯示這種切法。
First Fit Decreasing （FFD）	「由大到小（Decreasing），放進第一個放得下的地方（First Fit）」的配置步驟，中文稱「遞減首次適配法」。是把物品裝進箱子的問題（裝箱問題）中代表性的近似方法，本頁的合併裁切就是用它。步驟簡單、結果也好，已證明支數不會超過最少支數的約 1.22 倍再加 1 支，但不一定總是最少。這個計算機在步驟所得支數達不到下限時，若合計 60 支以下，會用分支定界法搜尋最少的配置。
裝箱問題	把各種大小的物品裝進大小固定的箱子時，求出讓箱子數量最少的裝法的問題（bin packing problem）。木材的取料（定尺＝箱子，零件＝物品）就是它的一維版本。物品一多，求最佳裝法的計算量會急遽增加，所以實務上常用步驟固定的近似方法（FFD 等）。
分支定界法	把可能的組合分支依序嘗試，一旦知道「這條分支再怎麼走都不會比目前最好的更好」就中途剪掉（定界），不必全部試完就能找到最佳解的搜尋方法。本頁把每支定尺的放法當作分支，剪掉「已用支數＋由剩下零件算出的下限」大於或等於目前最佳的分支，求出支數最少的配置。
材料利用率	材料中能做成成品（零件）的比例，工廠也稱「良率」「出材率」。本頁是「零件合計長度 ÷ 購買的定尺合計長度」，剩料和鋸路越少越接近 100%。
下限	「再怎麼下工夫也不會比這更小」的值。本頁理論上的最少支數就是下限，配置的支數和它一致就知道是最佳。不一致時，也不一定能減到下限（從 1820 mm 切 1000 mm × 3 支的例子，下限 2 支，實際需要 3 支）。
最佳解	所有可能方法中最好的答案。本頁指的是「定尺支數最少的配置」。合併裁切的支數和下限一致就是最佳解；即使不一致，只要搜尋所有組合確認「無法再減少」，也是最佳解。
台尺	台灣木工、室內裝修常用的長度單位，1 台尺＝ 10/33 m ≈ 30.3 cm（和日本的尺相同），1 台尺＝ 10 台寸。角材的 6 尺（約 182 cm）、8 尺（約 243 cm）、12 尺（約 364 cm），夾板的 4 × 8 尺等，都是用台尺表示。
角材	斷面為長方形或正方形的細長木料，台灣裝潢、木工 DIY 最常用的材料。常見斷面為 1.2 吋 × 1 吋（約 3.3 × 2.7 cm）和 1.8 吋 × 1 吋（約 5.1 × 2.7 cm），長度有 3、4、6、7、8、12 尺等，材種有柳安、雲杉、松木、集成材等。

建議先了解的基礎知識

為了能「理解意義」地使用本頁的計算，整理了建議先了解的基礎知識。

除法與餘數（國小中年級，8～10 歲）	像「1820 ÷ 800 = 2…220」這樣，了解除法的商代表「能切幾支」，餘數代表「剩下多少」
概數（國小中年級，8～10 歲）	了解無條件捨去、無條件進位、四捨五入的差別能用自己的話說明「為什麼能切的支數要捨去，要買的支數要進位」
小數的除法（國小高年級，10～12 歲）	能掌握 $1823 \div 803 \approx 2.27$ 這類除法商的大小（計算本身用計算機即可）
代數式與不等式（國中，12～15 歲）	能像「切出 $n$ 支的條件是 $n \times l + (n-1) \times k \le L$」這樣，用文字式表示條件了解不等式兩邊加上同一個數，大小關係不變（變形成 $n(l + k) \le L + k$）
比率與百分率（國小高年級，10～12 歲）	能像材料利用率「零件合計長度 ÷ 定尺合計長度 × 100」這樣，把比率用百分率（%）表示

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

求「一支定尺能切的支數」的表

定尺長度（mm）	1820
零件長度（mm）	800
鋸路（mm）	3
一支定尺能切的支數	=INT((B1+B3)/(B2+B3))

求「每種零件分開購買時的支數」的表

零件的需要支數	4
一支定尺能切的支數	2
所需定尺支數	=ROUNDUP(B1/B2,0)

求「一支定尺的剩料」的表

定尺長度（mm）	1820
從這支定尺切出的零件長度合計（mm）	1800
從這支定尺切出的支數	4
鋸路（mm）	3
剩料（mm）	=MAX(0,B1-B2-B3*B4)

求「理論上的最少支數」的表

所有零件（長度＋鋸路）的合計（mm）	5024
定尺長度＋鋸路（mm）	1823
理論上的最少支數	=ROUNDUP(B1/B2,0)

求「可省下的支數與概算費用」的表

分開購買時的支數	4
合併裁切的支數	3
定尺單價（元）	100
可省下的支數	=B1-B2
概算費用（元）	=B3*B2

貼上後，B 欄上方的列是輸入欄，最後一列會自動算出結果。
「INT（值）」是把小數部分捨去成整數的函數（公式中的 ⌊ ⌋），「ROUNDUP（值，0）」是無條件進位的函數（公式中的 ⌈ ⌉）。
第 1 個表的 B4 是 2 支，第 2 個表的 B3 是 2 支，第 3 個表的 B5 是 8 mm，第 4 個表的 B3 是 3 支，第 5 個表是省下 1 支、費用 300 元。
「從長零件開始依序排入」的配置本身，要把零件依長度由大到小排序後由上往下套進定尺，是手工作業，所以試算表適合用來確認「能切的支數」「剩料」「下限」，取料配置表用本頁或下方的 Python 程式碼製作比較確實。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

求「一支定尺能切的支數」的表

定尺長度（mm）	1820
零件長度（mm）	800
鋸路（mm）	3
一支定尺能切的支數	=INT((B1+B3)/(B2+B3))

求「每種零件分開購買時的支數」的表

零件的需要支數	4
一支定尺能切的支數	2
所需定尺支數	=ROUNDUP(B1/B2,0)

求「一支定尺的剩料」的表

定尺長度（mm）	1820
從這支定尺切出的零件長度合計（mm）	1800
從這支定尺切出的支數	4
鋸路（mm）	3
剩料（mm）	=MAX(0,B1-B2-B3*B4)

求「理論上的最少支數」的表

所有零件（長度＋鋸路）的合計（mm）	5024
定尺長度＋鋸路（mm）	1823
理論上的最少支數	=ROUNDUP(B1/B2,0)

求「可省下的支數與概算費用」的表

分開購買時的支數	4
合併裁切的支數	3
定尺單價（元）	100
可省下的支數	=B1-B2
概算費用（元）	=B3*B2

和 Excel 相同的公式（INT、ROUNDUP、MAX 的函數名稱也一樣）可以直接使用。把表格整個複製貼到 A1 儲存格，再把 B 欄換成您的數值即可。

用 Python 計算的方法

import math

stock_length = 1820      # 定尺長度（mm）
kerf = 3                 # 鋸路（鋸片厚度，mm）
unit_price = 100         # 每支定尺的單價（元）
# 需要的零件：(名稱, 長度mm, 支數)
parts = [("桌腳", 800, 4), ("牙板", 500, 2), ("橫撐", 400, 2)]

# 每種零件分開購買時的支數（除以一支定尺能切的支數後無條件進位）
stocks_separate = 0
for name, length, qty in parts:
    per_stock = (stock_length + kerf) // (length + kerf)   # 無條件捨去（公式中的 ⌊ ⌋）
    stocks_separate += math.ceil(qty / per_stock)           # 無條件進位（公式中的 ⌈ ⌉）

# 合併裁切：從長零件開始，依序放進第一支放得下的定尺（First Fit Decreasing）
items = sorted([(length, name) for name, length, qty in parts for _ in range(qty)], key=lambda t: -t[0])
stocks = []   # 每支定尺 {"parts": [...], "remaining": 剩餘長度}
for length, name in items:
    for stock in stocks:
        if length <= stock["remaining"]:
            stock["parts"].append((name, length))
            stock["remaining"] = max(0, stock["remaining"] - length - kerf)
            break
    else:
        stocks.append({"parts": [(name, length)], "remaining": max(0, stock_length - length - kerf)})

# 理論上的最少支數（下限）
lower_bound = math.ceil(sum(qty * (length + kerf) for name, length, qty in parts) / (stock_length + kerf))

print(f"每種零件分開購買時: {stocks_separate} 支")
print(f"合併裁切: {len(stocks)} 支（理論上的最少支數 {lower_bound} 支）")
for i, stock in enumerate(stocks, 1):
    names = " + ".join(f"{name}{length}" for name, length in stock["parts"])
    print(f"  第{i}支定尺: {names}  剩料 {stock['remaining']} mm")
print(f"可省下的支數: {stocks_separate - len(stocks)} 支")
print(f"概算費用: {unit_price * len(stocks)} 元")

只用標準函式庫就能執行。「//」是無條件捨去的除法（公式中的 ⌊ ⌋），math.ceil() 是無條件進位（公式中的 ⌈ ⌉）。這段程式碼只執行「由長到短排入」的步驟（First Fit Decreasing），所以本頁計算機透過組合搜尋找到更少支數時，兩者可能不一致（和下限一致時就相同）。for 迴圈的 else 會在迴圈沒有 break 而結束時（哪一支定尺都放不下時）執行，新增一支定尺。把開頭的定尺、鋸路和零件清單換成您的數值再執行即可。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

一支定尺能切的支數

m = ⌊(L + k) ÷ (l + k)⌋

m = \left\lfloor \frac{L + k}{l + k} \right\rfloor

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>m</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x230A;</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>L</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
      <mrow><mi>l</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
    </mfrac>
    <mo>&#x230B;</mo>
  </mrow>
</math>

m = |__ (L + k) / (l + k) __|

Floor[(L + k)/(l + k)]

m := floor((L + k)/(l + k));

m = floor((L + k)/(l + k));

m = ⌊(L + k)/(l + k)⌋

每種零件分開購買時的支數

Bᵢ = ⌈qᵢ ÷ mᵢ⌉,  B分 = B₁ + B₂ + …

B_i = \left\lceil \frac{q_i}{m_i} \right\rceil,\quad B_{\text{分}} = \sum_i B_i

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>B</mi><mi>i</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2308;</mo>
    <mfrac><msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>m</mi><mi>i</mi></msub></mfrac>
    <mo>&#x2309;</mo>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>B</mi><mtext>分</mtext></msub>
    <mo>=</mo>
    <munder><mo>&#x2211;</mo><mi>i</mi></munder>
    <msub><mi>B</mi><mi>i</mi></msub>
  </mrow>
</math>

B_i = |~ q_i / m_i ~|,  B_"分" = sum_i B_i

Total[Ceiling[q/m]]

B := add(ceil(q[i]/m[i]), i = 1 .. n);

B = sum(ceil(q ./ m));

B_i = ⌈q_i/m_i⌉, B_分 = ∑_i B_i

合併裁切（從長零件開始依序排入的配置）與剩料

w = L − (l₁ + l₂ + … + lₙ) − n × k

w = L - \sum_{j=1}^{n} l_j - n k

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>w</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>L</mi>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <munderover><mo>&#x2211;</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></munderover>
    <msub><mi>l</mi><mi>j</mi></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>n</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>k</mi>
  </mrow>
</math>

w = L - sum_(j=1)^n l_j - n k

L - Total[l] - Length[l]*k

w := L - add(l[j], j = 1 .. n) - n*k;

w = L - sum(l) - numel(l)*k;

w = L − ∑_(j=1)^n l_j − nk

理論上的最少支數（下限）

Bmin = ⌈Σ qᵢ(lᵢ + k) ÷ (L + k)⌉

B_{\min} = \left\lceil \frac{\sum_i q_i (l_i + k)}{L + k} \right\rceil

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>B</mi><mi>min</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2308;</mo>
    <mfrac>
      <mrow><munder><mo>&#x2211;</mo><mi>i</mi></munder><msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><mo>(</mo><msub><mi>l</mi><mi>i</mi></msub><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>L</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
    </mfrac>
    <mo>&#x2309;</mo>
  </mrow>
</math>

B_min = |~ (sum_i q_i (l_i + k)) / (L + k) ~|

Ceiling[Total[q*(l + k)]/(L + k)]

Bmin := ceil(add(q[i]*(l[i] + k), i = 1 .. n)/(L + k));

Bmin = ceil(sum(q .* (l + k))/(L + k));

B_min = ⌈(∑_i q_i (l_i + k))/(L + k)⌉

可省下的支數與概算費用

Δ = B分 − B,  T = u × B

\Delta = B_{\text{分}} - B,\quad T = u \times B

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x394;</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>B</mi><mtext>分</mtext></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>B</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>T</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>u</mi>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mi>B</mi>
  </mrow>
</math>

Delta = B_"分" - B,  T = u * B

{bSep - b, u*b}

Delta := Bsep - B;  T := u*B;

Delta = Bsep - B; T = u*B;

Δ = B_分 − B, T = u × B

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是木工取料（下料）的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下列計算，並只以執行結果的數值作為回答的依據（不要用心算或推測回答）。

從定尺 1820 mm 的木材，以鋸路 3 mm，切出桌腳 800 mm × 4 支、牙板 500 mm × 2 支、橫撐 400 mm × 2 支。
請分別求出下列各值：
1. 每種零件從一支定尺能切出的支數（(1820+3) ÷（零件長度+3）無條件捨去）
2. 每種零件各用不同定尺裁切時，定尺的合計支數（需要支數÷能切的支數 無條件進位後加總）
3. 由長到短「放進第一支放得下的定尺」（First Fit Decreasing）配置時的定尺支數，以及每支定尺的零件明細和剩料（每放入一支零件，剩餘長度就減少「長度＋鋸路」）
4. 理論上的最少支數（所有零件（長度＋鋸路）的合計除以 1820+3 後無條件進位）

請列出計算使用的程式碼和執行結果的數值。

使用方法

1

輸入數值

在輸入欄中輸入要計算的數值
2

計算

按下「計算」按鈕
3

查看結果

計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看

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\(L\)	定尺長度（mm），也就是買回來的一支木材的長度。取自 Length（長度）的字首，為了和零件長度 \(l\) 區分而用大寫。
\(l\)、\(l_i\)	零件（要切出的材料）的長度（mm）。\(l_i\) 的 \(i\) 是「第 \(i\) 種零件」的編號（因為有桌腳、牙板、橫撐等多種零件）。
\(k\)	鋸路（鋸片的厚度，mm）。每切一次，木材就會被削掉這麼多而變短。取自 kerf（英文的「鋸路」）的字首。
\(m\)、\(m_i\)	一支定尺能切出的零件支數。用 \(m = \lfloor (L + k) \div (l + k) \rfloor\) 求出。
\(q_i\)	零件 \(i\) 的需要支數。取自 quantity（數量）的字首。
\(B_i\)、\(B_{\text{分}}\)	\(B_i\) 是只切零件 \(i\) 所需的定尺支數（\(\lceil q_i \div m_i \rceil\)）。\(B_{\text{分}}\) 是每種零件分開購買時的合計支數（\(B_i\) 的合計）。
\(B\)	合併裁切（從長零件開始依序排入的配置）所需的定尺支數，是本頁最主要的值。
\(n\)	從某一支定尺切出的零件支數。取自 number（數）的字首。在剩料的公式中，用來決定要扣幾次鋸路。
\(w\)	一支定尺的剩料（沒用到而剩下的長度，mm）。取自 waste（剩餘、浪費）的字首。
\(B_{\min}\)	理論上的最少支數（下限）。用 \(\lceil \sum_i q_i (l_i + k) \div (L + k) \rceil\) 求出，合併裁切的支數 \(B\) 和它一致就是最佳。min 是 minimum（最小）的縮寫。
\(\Delta\)	可省下的支數，也就是 \(B_{\text{分}} - B\)。希臘字母 delta 常用來表示「差」（對應 difference 的字首 d）。
\(u\)	每支定尺的單價（元）。取自 unit price（單價）的字首。
\(T\)	概算費用（元）。取自 total（合計）的字首。只含木材本身，不含裁切費和運費。
\(\lfloor x \rfloor\)	把小數部分無條件捨去成整數的符號（高斯符號、下取整函數）。（例：\(\lfloor 2.27 \rfloor = 2\)、\(\lfloor 3 \rfloor = 3\)）能切的支數要「捨去放不下的部分」，所以用這個符號。
\(\lceil x \rceil\)	把小數部分無條件進位成整數的符號（上取整函數）。（例：\(\lceil 2.76 \rceil = 3\)、\(\lceil 2 \rceil = 2\)）要買的支數要「不夠的部分多買一支」，所以用這個符號。
\(\sum\)	表示「全部加起來」的符號。\(\sum_i q_i (l_i + k)\) 就是對每種零件 \(i\) 計算 \(q_i (l_i + k)\) 再全部相加。希臘字母 sigma，相當於 Sum（合計）的字首 S。

木材裁切計算機（一支定尺能切幾支、取料配置）

目錄

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