請選擇要計算的內容，再輸入數值。相似比 m : n 的順序是「圖形①：圖形②」。
請用半形數字輸入，可以用小數或 3/4 這樣的分數（只限大於 0 的數）。相似比即使是 1.5 : 2 這樣的比，也會先化成最簡整數比再計算。
計算結果與圖形
在左邊的輸入欄填入相似比，按下「計算」，結果和圖形就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入相似比 \(m : n\)，就能當場算出面積比 \(m^2 : n^2\)、體積比 \(m^3 : n^3\)。像 1.5 : 2 這樣含小數、分數的比，也會化成 3 : 4 這樣的最簡整數比顯示
- 可以由相似比和其中一個圖形的長度、面積、體積，換算另一個圖形的值。答案會同時以 \(\dfrac{21}{2}\) 這樣約分後的分數（精確值）和小數顯示
- 也支援 1/25000 這樣的地圖比例尺：地圖上的長度 → 實際距離、實際距離 → 地圖上的長度，連同 cm、m、km 的單位換算一起計算
- 用公式和圖示淺顯地解說「相似比平方後是面積比、立方後是體積比」的理由
- 相似比和換算的計算結果會顯示兩個相似圖形的圖，比例尺的計算結果會顯示換算原理的示意圖，可以親眼確認比的關係
相似比、長度、面積、體積、比例尺的分母請輸入大於 0 的數（相似圖形的邊長和面積一定是正數）。
這個計算有什麼用？
從地圖讀出實際距離（登山、散步、防災）
登山常用的 1/25000 地形圖上，地圖上的 4 cm 相當於實際的 1 km（4 × 25000 = 100000 cm）。在地圖上量出路線長度，再乘以比例尺的分母，就能估計要走的距離。
用疏散避難圖估算從家裡到避難處所的距離時，也是用同樣的比例尺計算。
模型、組裝模型、微縮模型的尺寸（比例尺的相似）
1/144 的組裝模型、1/150 的鐵道模型（N 規）、1/100 的建築模型等，「1/○○」就是比例尺本身。把全長 15 m 的實物車廂做成 1/150 的模型，就是 15 m ÷ 150 = 10 cm。模型的設計，就是不斷累積「做出和實物相似的縮圖、縮小立體」的計算。
換了蛋糕模、鍋子的尺寸時，材料的份量（面積比、體積比）
把 6 吋（直徑約 15 cm）蛋糕模的食譜改用 7 吋（直徑約 18 cm）的模具做時，直徑的比是 15 : 18 = 5 : 6。如果深度也照同樣比例加深、是相似的模具，材料就按體積比 \(5^3 : 6^3 = 125 : 216\)（約 1.7 倍）增加。如果深度相同，增加的只有底面積的部分，所以按面積比 \(5^2 : 6^2 = 25 : 36\)（1.44 倍）估算。
知道「長度只變一點，份量就會以平方、立方大幅改變」，就能減少做菜失敗。
影印機的放大縮小與紙張尺寸（面積比）
就像 2 張 A4 剛好是 1 張 A3，影印紙的規格是「大一級的尺寸＝面積 2 倍」。面積比是 \(1 : 2\)，所以長度的比（相似比）是它的平方根 \(1 : \sqrt{2}\)。影印機的「141%」按鈕就是 \(\sqrt{2} \approx 1.41\)，也就是 A4 → A3 的放大。
海報放大列印時「長度放大 2 倍，墨水和紙張費用卻變成 4 倍」，也是面積比的道理。
生物與建築物大小的極限（平方立方定律）
身體形狀幾乎保持相似而長度變成 2 倍時，支撐身體的骨骼截面積（強度的來源）只變成 \(2^2 = 4\) 倍，體重（體積）卻變成 \(2^3 = 8\) 倍。越大的動物腳越粗壯，就是因為這個「平方立方定律」。
建築或機械設計中，有時「模型很順利，做成實物大小卻壞掉」，面積和體積增加方式的不同也是原因之一。
公式與圖示
相似比與對應邊的長度
數學寫法
（一般的數學式）
\(b\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\(\dfrac{n}{m}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
圖形②的對應邊長 \(b\)
\(=\)
①
圖形①的邊長 \(a\)
\(\times\)
②
相似比的倍率 \(\dfrac{n}{m}\)
用文字讀公式
①
在相似比為 \(m : n\) 的相似圖形中，
圖形①的邊長 \(a\)
乘以
②
相似比的倍率 \(\dfrac{n}{m}\)（\(n\) 除以 \(m\) 的數）
，就得到
③
圖形②的對應邊長 \(b\)
。
簡單範例
在相似比 \(2 : 3\) 的相似圖形中，圖形①某一邊長 \(12\) cm 時，圖形②的對應邊長是
圖形②的對應邊長
\(=\)
圖形①的邊長（12 cm）
\(\times\)
倍率 \(\dfrac{3}{2}\)
\(b = 12 \times \dfrac{3}{2} = 18\)
思考重點
相似圖形中，不論取哪一組對應邊，長度的比都和相似比 \(m : n\) 相同。所以用「圖形①的長度 × \(\dfrac{n}{m}\)」就能求出圖形②的長度（反過來由圖形②求圖形①時，乘以 \(\dfrac{m}{n}\)）。
不只邊長，周長、對角線、高等屬於「長度」的量，比都直接是相似比 \(m : n\)。
相似圖形的面積比（相似比的平方）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(S_{1} : S_{2}\)
\(=\)
\(m\)
\(2\)
\(:\)
\(n\)
\(2\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
面積比（圖形①與圖形②面積的比）
\(=\)
①
相似比的 \(m\)（圖形①）
③
平方
\(:\)
②
相似比的 \(n\)（圖形②）
平方
用文字讀公式
①
把相似比 \(m : n\) 中
圖形①的值 \(m\)
和
②
圖形②的值 \(n\)
③
分別平方
，就得到
④
面積比 \(S_1 : S_2\)
。
簡單範例
相似比 \(2 : 3\) 的相似圖形，面積比是
面積比
\(=\)
\(2^2 = 4\)
\(:\)
\(3^2 = 9\)
\(S_{1} : S_{2} = 2^{2} : 3^{2} = 4 : 9\)
思考重點
面積比是「平方」的理由：相似比是 \(m : n\)，表示圖形②是把圖形①的長和寬都放大（或縮小）成 \(\dfrac{n}{m}\) 倍的形狀。面積是「長 × 寬」這樣由兩個長度相乘決定的量，所以 \(\dfrac{n}{m}\) 倍乘了兩次，變成 \(\left(\dfrac{n}{m}\right)^2\) 倍。像上圖這樣相似比 \(1 : 2\) 的長方形，大的剛好放得下 \(4 = 2^2\) 個小的。
三角形或圓這種長方形以外的圖形，只要想成切成細小的方格，同樣成立，所以任何相似圖形的面積比都是 \(m^2 : n^2\)。立體的表面積的比也屬於面積，同樣是 \(m^2 : n^2\)。
相似立體的體積比（相似比的立方）
數學寫法
（一般的數學式）
\(V_{1} : V_{2}\)
\(=\)
\(m\)
\(3\)
\(:\)
\(n\)
\(3\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
體積比（立體①與立體②體積的比）
\(=\)
①
相似比的 \(m\)（立體①）
③
立方
\(:\)
②
相似比的 \(n\)（立體②）
立方
用文字讀公式
①
把相似比 \(m : n\) 中
立體①的值 \(m\)
和
②
立體②的值 \(n\)
③
分別立方
，就得到
④
體積比 \(V_1 : V_2\)
。
簡單範例
相似比 \(2 : 3\) 的相似立體，體積比是
體積比
\(=\)
\(2^3 = 8\)
\(:\)
\(3^3 = 27\)
\(V_{1} : V_{2} = 2^{3} : 3^{3} = 8 : 27\)
思考重點
體積比是「立方」的理由，和面積比是平方的道理相同。體積是「長 × 寬 × 高」這樣由三個長度相乘決定的量，所以相似比的倍率 \(\dfrac{n}{m}\) 乘了三次，變成 \(\left(\dfrac{n}{m}\right)^3\) 倍。
例如邊長 2 倍的正方體，剛好放得下 \(8 = 2^3\) 個原來的正方體。把「長度是 1 次方、面積是平方、體積是立方」整組記起來，考試和生活中都不會搞混。
地圖比例尺與實際距離
數學寫法
（一般的數學式）
\(L\)
\(=\)
\(\ell\)
\(\times\)
\(d\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
實際距離 \(L\)
\(=\)
①
地圖上的長度 \(\ell\)
\(\times\)
②
比例尺的分母 \(d\)
用文字讀公式
①
在比例尺 \(\dfrac{1}{d}\) 的地圖上，
地圖上的長度 \(\ell\)
乘以
②
比例尺的分母 \(d\)（25000 等）
，就得到
③
實際距離 \(L\)
。
簡單範例
在比例尺 \(\dfrac{1}{25000}\) 的地圖上，地圖上的長度是 \(4\) cm 時，實際距離是
實際距離
\(=\)
地圖上的長度（4 cm）
\(\times\)
比例尺的分母（25000）
\(L = 4 \times 25000 = 100000\)
\(100000\ \mathrm{cm} = 1000\ \mathrm{m} = 1\ \mathrm{km}\)
思考重點
比例尺 \(\dfrac{1}{25000}\) 的地圖，是把實物縮小成 \(\dfrac{1}{25000}\) 的「和實物相似的縮圖」。也就是說，地圖和實物的相似比是 \(1 : 25000\)，可以直接套用對應邊長的計算（第一個公式）。
反過來由實際距離求地圖上的長度時，就除以比例尺的分母（\(\ell = L \div d\)）。
也別忘了換算單位：\(1\) m \(= 100\) cm，\(1\) km \(= 1000\) m \(= 100000\) cm。地圖的題目通常是「先用 cm 計算，再換成 km」。
相似比為 \(m : n\) 的相似圖形中，對應邊等長度的比直接是 \(m : n\)，面積比是平方後的 \(m^2 : n^2\)，體積比是立方後的 \(m^3 : n^3\)。地圖比例尺 \(\dfrac{1}{d}\) 就是「和實物的相似比為 \(1 : d\) 的縮圖」，所以實際距離可以用「地圖上的長度 × \(d\)」求出。
符號與用語解說
符號
| \(m,\ n\) | m、n | 表示相似比的兩個數。本頁中 \(m\) 是圖形①，\(n\) 是圖形②。基本上用整數的比表示，像 1.5 : 2 這樣的比也能化成最簡整數比（這個例子是 3 : 4）。 |
| \(:\) | 比 | 表示比的符號。\(2 : 3\) 讀作「2 比 3」，表示「兩個量的比例是 2 和 3 的關係」。 |
| \(a,\ b\) | a、b | 對應邊的長度。圖形①的邊是 \(a\)，圖形②的對應邊是 \(b\)。習慣上用字母表前面的字母表示已知的長度。 |
| \(S_1,\ S_2\) | S 1、S 2 | 圖形①、圖形②的面積。\(S\) 是常用來表示面積的字母，一般認為取自 Square（正方形、平方）或 Surface（面）的字首。右下角的小數字（下標）用來區分「是哪一個圖形」。 |
| \(V_1,\ V_2\) | V 1、V 2 | 立體①、立體②的體積。\(V\) 取自 Volume（體積）的字首。 |
| \(m^2\) | m 的平方 | \(m\) 乘兩次的數（\(m^2 = m \times m\)），稱為「平方」或「2 次方」。面積比是相似比的平方。 |
| \(m^3\) | m 的立方 | \(m\) 乘三次的數（\(m^3 = m \times m \times m\)），稱為「立方」或「3 次方」。體積比是相似比的立方。 |
| \(\ell\) | l | 地圖上的長度。是把 length（長度）的字首 l 寫成草寫體的字母，用來和數字 1、大寫的 I 區分。 |
| \(L\) | L（大寫） | 實際距離。為了和地圖上的長度 \(\ell\) 區分，寫成大寫。 |
| \(d\) | d | 比例尺的分母。比例尺 \(\dfrac{1}{25000}\) 就是 \(d = 25000\)，取自 denominator（分母）的字首。 |
用語
| 相似 | 形狀相同、大小不同的兩個圖形的關係。把其中一個放大或縮小，就能和另一個完全疊合。符號寫成 \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)。 |
| 相似比 | 兩個相似圖形對應邊長的比。不論取哪一組對應邊，比都相同。 |
| 對應邊 | 兩個相似（或全等）圖形中，位置互相對應的邊。相似圖形的對應邊長的比全部相等。 |
| 面積比 | 兩個圖形面積的比。相似圖形的面積比，是把相似比 \(m : n\) 平方後的 \(m^2 : n^2\)。 |
| 體積比 | 兩個立體體積的比。相似立體的體積比，是把相似比 \(m : n\) 立方後的 \(m^3 : n^3\)。 |
| 表面積 | 立體整個表面的面積。屬於面積，所以相似立體表面積的比和面積比一樣是 \(m^2 : n^2\)。 |
| 比例尺 | 把實物縮小多少畫成地圖、圖面的比例，用 \(\dfrac{1}{25000}\) 這樣的分數或「1 : 25000」這樣的比表示。比例尺 \(\dfrac{1}{25000}\) 的地圖，是和實物的相似比為 \(1 : 25000\) 的縮圖。 |
| 縮圖 | 不改變形狀而縮小的圖。台灣在國小六年級學習，國中九年級的「相似形」就是用數學語言把它重新整理。 |
| 放大圖 | 不改變形狀而放大的圖。台灣在國小六年級學習，國中九年級的「相似形」就是用數學語言把它重新整理。 |
| 最簡整數比 | 化成盡可能小的整數的比。把比的前後項都除以最大公因數（例如 \(12 : 18 = 2 : 3\)）。含小數或分數的比，先把前後項同乘一個數化成整數，再化簡（例如 \(1.5 : 2 = 3 : 4\)）。 |
| 最大公因數 | 兩個以上整數共同的因數（能整除的數）中最大的一個。化成最簡整數比時，把比的前後項都除以這個數。 |
| 乘方 | 同一個數重複相乘。像 \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\) 這樣，右上角的小數字（指數）表示相乘的次數。 |
建議先了解的基礎知識
為了讓您「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了事先了解會更好懂的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習這些內容是最快的捷徑。
| 比與比值（國小六年級，11～12 歲） |
|
| 放大圖與縮圖（國小六年級，11～12 歲） |
|
| 乘方（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 分數的乘除（國小五～六年級） |
|
| 長度單位的換算（國小） |
|
| 相似形（國中九年級，14～15 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「相似比 → 面積比、體積比」的表格
| 相似比的 m（圖形①） | 2 |
| 相似比的 n（圖形②） | 3 |
| 面積比的圖形① m² | =B1^2 |
| 面積比的圖形② n² | =B2^2 |
| 體積比的圖形① m³ | =B1^3 |
| 體積比的圖形② n³ | =B2^3 |
「用相似比換算對應邊長、面積、體積」的表格（面積的例子）
| 相似比的 m（圖形①） | 3 |
| 相似比的 n（圖形②） | 5 |
| 圖形①的面積 | 18 |
| 圖形②的面積（×(n/m)²） | =B3*(B2/B1)^2 |
求「地圖比例尺 → 實際距離」的表格
| 比例尺的分母（1/25000 的 25000） | 25000 |
| 地圖上的長度（cm） | 4 |
| 實際距離（cm） | =B1*B2 |
| 實際距離（m） | =B3/100 |
| 實際距離（km） | =B3/100000 |
求「實際距離 → 地圖上的長度」的表格
| 比例尺的分母（1/50000 的 50000） | 50000 |
| 實際距離（km） | 3 |
| 實際距離（cm） | =B2*100000 |
| 地圖上的長度（cm） | =B3/B1 |
貼上後，上方的列就是輸入欄，下方的列會自動算出結果。「^」是乘方，「*」是乘號，「/」是除號。
第一個表格是相似比 2 : 3 的例子，會求出面積比的 4 和 9、體積比的 8 和 27。相似比請用整數的比輸入（像 1.5 : 2 這樣的比，先把前後項都乘以 2 化成 3 : 4 這樣的整數比再輸入，結果比較好讀）。
第二個表格是相似比 3 : 5、圖形①面積為 18 的例子，圖形②的面積是 50。換算長度時拿掉「^2」，換算體積時改成「^3」。
第三個表格是比例尺 1/25000 的地圖上 4 cm 的例子，實際距離是 100000 cm = 1000 m = 1 km。
第四個表格是把實際距離 3 km 換成比例尺 1/50000 地圖上長度的例子，地圖上的長度是 6 cm。
第一個表格是相似比 2 : 3 的例子，會求出面積比的 4 和 9、體積比的 8 和 27。相似比請用整數的比輸入（像 1.5 : 2 這樣的比，先把前後項都乘以 2 化成 3 : 4 這樣的整數比再輸入，結果比較好讀）。
第二個表格是相似比 3 : 5、圖形①面積為 18 的例子，圖形②的面積是 50。換算長度時拿掉「^2」，換算體積時改成「^3」。
第三個表格是比例尺 1/25000 的地圖上 4 cm 的例子，實際距離是 100000 cm = 1000 m = 1 km。
第四個表格是把實際距離 3 km 換成比例尺 1/50000 地圖上長度的例子，地圖上的長度是 6 cm。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「相似比 → 面積比、體積比」的表格
| 相似比的 m（圖形①） | 2 |
| 相似比的 n（圖形②） | 3 |
| 面積比的圖形① m² | =B1^2 |
| 面積比的圖形② n² | =B2^2 |
| 體積比的圖形① m³ | =B1^3 |
| 體積比的圖形② n³ | =B2^3 |
「用相似比換算對應邊長、面積、體積」的表格（面積的例子）
| 相似比的 m（圖形①） | 3 |
| 相似比的 n（圖形②） | 5 |
| 圖形①的面積 | 18 |
| 圖形②的面積（×(n/m)²） | =B3*(B2/B1)^2 |
求「地圖比例尺 → 實際距離」的表格
| 比例尺的分母（1/25000 的 25000） | 25000 |
| 地圖上的長度（cm） | 4 |
| 實際距離（cm） | =B1*B2 |
| 實際距離（m） | =B3/100 |
| 實際距離（km） | =B3/100000 |
求「實際距離 → 地圖上的長度」的表格
| 比例尺的分母（1/50000 的 50000） | 50000 |
| 實際距離（km） | 3 |
| 實際距離（cm） | =B2*100000 |
| 地圖上的長度（cm） | =B3/B1 |
和 Excel 相同的公式可以直接使用。把表格整個複製貼到 A1 儲存格，再把相似比或長度改成您自己的數值即可。
用 Python 計算的方法
from fractions import Fraction
# 相似比 m : n（圖形① : 圖形②）。像 1.5 這樣的小數也能直接寫
ratio_m = Fraction('1.5')
ratio_n = Fraction('2')
# 化成最簡整數比（把 m ÷ n 約分，分子 : 分母 就是整數比）
reduced = ratio_m / ratio_n
int_m, int_n = reduced.numerator, reduced.denominator
print(f"相似比：{int_m} : {int_n}")
print(f"面積比：{int_m ** 2} : {int_n ** 2}")
print(f"體積比：{int_m ** 3} : {int_n ** 3}")
# 由相似比和圖形①的面積求圖形②的面積（面積用相似比的平方換算）
area_of_first = Fraction(18)
area_of_second = area_of_first * (ratio_n / ratio_m) ** 2
print(f"圖形②的面積：{area_of_second} = {float(area_of_second)}")
使用標準函式庫的 fractions 模組，就能保持精確的分數、沒有小數捨入誤差地計算。這個範例是相似比 1.5 : 2，執行後會顯示相似比「3 : 4」、面積比「9 : 16」、體積比「27 : 64」，以及圖形①面積為 18 時圖形②的面積「32 = 32.0」。請改寫相似比和面積後執行。換算長度時拿掉「** 2」，換算體積時改成「** 3」。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
相似比與對應邊的長度
b = a × n/m
b = a \times \dfrac{n}{m}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>b</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mo>×</mo>
<mfrac><mi>n</mi><mi>m</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
b = a xx n/m
b = a*(n/m)
b := a*n/m;
b = a*n/m;
b = a(n/m)
相似圖形的面積比（相似比的平方）
S₁ : S₂ = m² : n²
S_{1} : S_{2} = m^{2} : n^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>:</mo>
<msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>=</mo>
<msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>:</mo>
<msup><mi>n</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S_1 : S_2 = m^2 : n^2
S1/S2 == m^2/n^2
S1/S2 = m^2/n^2;
S1/S2 == m^2/n^2
S_1 : S_2 = m^2 : n^2
相似立體的體積比（相似比的立方）
V₁ : V₂ = m³ : n³
V_{1} : V_{2} = m^{3} : n^{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>:</mo>
<msub><mi>V</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>=</mo>
<msup><mi>m</mi><mn>3</mn></msup>
<mo>:</mo>
<msup><mi>n</mi><mn>3</mn></msup>
</mrow>
</math>
V_1 : V_2 = m^3 : n^3
V1/V2 == m^3/n^3
V1/V2 = m^3/n^3;
V1/V2 == m^3/n^3
V_1 : V_2 = m^3 : n^3
地圖比例尺與實際距離
L = ℓ × d
L = \ell \times d
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>L</mi>
<mo>=</mo>
<mi>ℓ</mi>
<mo>×</mo>
<mi>d</mi>
</mrow>
</math>
L = l xx d
L = l*d
L := l*d;
L = l*d;
L = ℓ × d
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學（國中的相似形）的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並且只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。 針對相似比 1.5 : 2 的相似圖形，請分別列出： 1. 化成最簡整數比的相似比 2. 面積比（相似比的平方）和體積比（相似比的立方），都用整數比表示 3. 圖形①的面積是 18 cm² 時，圖形②的面積 另外，也請求出比例尺 1/25000 的地圖上長 4 cm 的距離，實際上是幾 km。 Python 請使用標準函式庫的 fractions 模組精確計算，並列出使用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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相關功能
比例計算機（解比例式、比的放大與縮小）
用「內項乘積＝外項乘積」求出像「3:4＝600:□ 的 □ 是多少？」這樣的比例式未知數
多邊形內角、外角計算機（內角和、外角和、正多邊形反推）
附分割成三角形的圖示，計算 n 邊形的內角和、外角和，以及正 n 邊形的一個內角與外角
