請選擇要計算的內容，並輸入機率。下方的數學式與輸入欄連動，直接修改式子裡的數字也能計算。
機率可以用半形的「0.3」「30%」「3/10」任一種形式輸入。
計算結果與圖表
在左側輸入欄輸入機率，按下「計算」，結果和圖示就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入 \(P(A)\) 和 \(P(A \cap B)\)，馬上就能求出條件機率 \(P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\)
- 在貝氏定理模式中，可以由原因的機率 \(P(A)\)，以及有、無原因時結果 B 各自發生的機率 \(P(B \mid A)\)、\(P(B \mid A')\)，反推出「結果 B 發生時，原因是 A 的機率 \(P(A \mid B)\)」
- 用全機率定理組出 \(P(B)\) 的過程，可以透過代入數值的計算過程與樹狀圖、面積圖確認
- 答案會同時以 \(\dfrac{10}{109}\) 這樣約分後的最簡分數（精確值），以及小數與百分率顯示
- 機率可以用 0.3、30%、3/10 任一種形式輸入。另附公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 使用的公式
即使兩件事不是獨立的，也可以使用條件機率（其實正是在「一方的結果會改變另一方機率」的時候，才更需要這個計算）。
這個計算有什麼用？
正確解讀檢查結果的意義（陽性≠幾乎確定）
聽到「準確度 90% 的檢查呈陽性」，會覺得有 90% 的機率符合；但如果假設全體中只有 1% 的人符合來計算，呈陽性時真的符合的機率（陽性預測值）只有約 9%。這是因為少數「真正的陽性」，被大量不符合的人當中出現的「偽陽性」淹沒了。
這是貝氏定理最有名的例子，在醫療現場，「檢查結果要和事前機率一起解讀」也是基本原則。（實際的機率依檢查與情況而不同，這裡的數值只是計算範例。）
垃圾郵件過濾（貝氏過濾器）
電子郵件軟體判斷垃圾郵件的經典基礎，是由「這個詞出現在垃圾郵件中的機率」和「出現在一般郵件中的機率」，用貝氏定理反推「含有這個詞的郵件是垃圾郵件的機率」的機制（貝氏過濾器）。
由「原因（垃圾郵件）→結果（詞的出現）」的統計推估「結果→原因」，是貝氏定理教科書般的應用。
製造業的品質管理（不良品來自哪條產線？）
在一間由機器 X 生產 6 成產品（不良率 2%）、機器 Y 生產 4 成產品（不良率 5%）的工廠，檢驗時發現的不良品來自機器 X 的機率，可以用貝氏定理算出 \(\dfrac{0.6 \times 0.02}{0.6 \times 0.02 + 0.4 \times 0.05} = \dfrac{3}{8}\)（37.5%）。
「發現不良品時，應該先檢查哪條產線」這種現場的優先順序，就能用數字而不是憑直覺來決定。
抽籤、紙牌遊戲中「抽出之後」的機率（乘法定理）
從 10 支中有 3 支中獎的籤中不放回地抽 2 支，2 支都中獎的機率是 \(\dfrac{3}{10} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{15}\)。第 1 支的結果會改變第 2 支的機率（不獨立），所以要用條件機率和乘法定理。
玩撲克牌或其他紙牌遊戲時，根據「已經翻開的牌」思考剩下牌堆的機率，也是完全相同的計算。
保險與授信的風險評估（用各種條件下的機率細分風險）
訂定汽車保險的保費時，不會把「發生事故的機率」看成所有人都一樣，而是依年齡、駕駛經歷、居住地區等條件，估計成各條件下的條件機率，再反映在不同的保費上。
「知道條件後機率就會改變」這個條件機率的概念，正是支撐保險、貸款審核、信用評分等金融機制的基礎。
公式與圖示
條件機率
面積圖
數學寫法
（一般的數學式）
\(P(B \mid A)\)
\(=\)
\(P(A \cap B)\)
\(\div\)
\(P(A)\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(P(B \mid A)\)：A 發生時 B 發生的機率
\(=\)
①
\(P(A \cap B)\)：A 與 B 都發生的機率
\(\div\)
②
\(P(A)\)：A 發生的機率
用文字讀公式
①
把
\(P(A \cap B)\)：A 與 B 都發生的機率
②
除以
\(P(A)\)：A 發生的機率
，
③
就得到
\(P(B \mid A)\)：A 發生時 B 發生的機率
簡單範例
擲一次骰子。已知擲出的是偶數（機率 \(\dfrac{1}{2}\)）時，點數是 4 點以上的機率是（偶數且 4 點以上的是 4 和 6，機率 \(\dfrac{1}{3}\)）
\(P(B \mid A)\)：已知偶數時 4 點以上
\(=\)
偶數且 4 點以上 \(\dfrac{1}{3}\)
\(\div\)
偶數 \(\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{1}{3} \div \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \times 2 = \dfrac{2}{3}\)
思考重點
一般的機率是「B 在全體（機率 1）中所占的比例」；而條件機率是在知道「A 發生了」的那一刻，思考的範圍就從全體縮小到只剩 A。所以把分母從 1 換成 \(P(A)\)，「B 在 A 之中所占的比例」就是條件機率。
最常見的錯誤，是和兩個都發生的機率 \(P(A \cap B)\)（聯合機率）混淆。以上面的骰子為例，以全體為分母的「偶數且 4 點以上」的機率是 \(\dfrac{1}{3}\)，只以偶數為分母的條件機率則是 \(\dfrac{2}{3}\)。式子的形狀雖然相似，但「把什麼當作分母（全體）」不同，所以是不同的機率。
\(P(B \mid A)\) 讀作「在 A 發生的條件下 B 發生的機率」，直線右邊是已知發生的條件。請注意不要把兩邊對調：\(P(B \mid A)\) 和 \(P(A \mid B)\) 通常是不同的數。
乘法定理（兩個都發生的機率）
數學寫法
（一般的數學式）
\(P(A \cap B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(\times\)
\(P(B \mid A)\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(P(A \cap B)\)：A 與 B 都發生的機率
\(=\)
①
\(P(A)\)：A 發生的機率
\(\times\)
②
\(P(B \mid A)\)：A 發生時 B 發生的機率
用文字讀公式
①
把
\(P(A)\)：A 發生的機率
②
乘以
\(P(B \mid A)\)：A 發生時 B 發生的機率
，
③
就得到
\(P(A \cap B)\)：A 與 B 都發生的機率
簡單範例
10 支籤中有 3 支是中獎籤，抽出後不放回，連續抽 2 支。第 1 支中獎的機率是 \(\dfrac{3}{10}\)，這時剩下的 9 支中有 2 支中獎籤，所以第 2 支也中獎的機率是 \(\dfrac{2}{9}\)。2 支都中獎的機率是
\(P(A \cap B)\)：2 支都中獎
\(=\)
第 1 支中獎 \(\dfrac{3}{10}\)
\(\times\)
第 1 支中獎時第 2 支也中獎 \(\dfrac{2}{9}\)
\(\dfrac{3}{10} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{6}{90} = \dfrac{1}{15}\)
思考重點
這只是把條件機率公式兩邊同乘分母 \(P(A)\) 得到的式子，內容完全相同，只是換個說法。可以想成「先發生 A，在這個前提下 B 也發生」，依時間順序把機率相乘。
如果 A 和 B 獨立（一方的結果不影響另一方），就有 \(P(B \mid A) = P(B)\)，這個式子就回到熟悉的 \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)。也就是說，「獨立事件的機率相乘」是乘法定理的特殊情況。
全機率定理（把 B 發生的機率依路徑相加）
數學寫法
（一般的數學式）
\(P(B)\)
\(=\)
\(P(A \cap B)\)
\(+\)
\(P(A' \cap B)\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(P(B)\)：B 發生的機率
\(=\)
①
\(P(A \cap B)\)：經過 A 而發生 B
\(+\)
②
\(P(A' \cap B)\)：經過非 A 而發生 B
用文字讀公式
①
把
\(P(A \cap B)\)：經過 A 而發生 B
②
加上
\(P(A' \cap B)\)：經過非 A 而發生 B
，
③
就得到
\(P(B)\)：B 發生的機率
簡單範例
假設所有人都接受某項檢查。若符合條件的人占全體 1%（呈陽性的機率 90%），不符合的人占 99%（被誤判為陽性的機率 9%），由乘法定理得 \(P(A \cap B) = 0.01 \times 0.9 = 0.009\)、\(P(A' \cap B) = 0.99 \times 0.09 = 0.0891\)，所以檢查呈陽性的機率是
\(P(B)\)：呈陽性
\(=\)
符合且陽性（0.009）
\(+\)
不符合卻陽性（0.0891）
\(0.009 + 0.0891 = 0.0981\ \ (9.81\%)\)
思考重點
通往 B 的路徑只有「經過 A」和「經過非 A（餘事件 \(A'\)）」這 2 條，而且這 2 條不會同時發生（互斥）。所以把各條路徑的機率直接相加，就是 \(P(B)\)。
各條路徑的機率用乘法定理 \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)\) 和 \(P(A' \cap B) = P(A') \times P(B \mid A')\) 計算。全部寫在一起就是 \(P(B) = P(A)\,P(B \mid A) + P(A')\,P(B \mid A')\)。在樹狀圖中，相當於「把所有通往 B 的枝全部加起來」。
貝氏定理（由結果反推原因的機率）
樹狀圖
數學寫法
（一般的數學式）
\(P(A \mid B)\)
\(=\)
\(P(A \cap B)\)
\(\div\)
\(P(B)\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(P(A \mid B)\)：B 發生時原因是 A 的機率
\(=\)
①
\(P(A \cap B)\)：經過 A 而發生 B
\(\div\)
②
\(P(B)\)：B 發生的機率
用文字讀公式
①
把
\(P(A \cap B)\)：經過 A 而發生 B
②
除以
\(P(B)\)：B 發生的機率（用全機率定理算出）
，
③
就得到
\(P(A \mid B)\)：B 發生時原因是 A 的機率
簡單範例
接續上面全機率定理的例子。檢查呈陽性（B）時，真的符合條件（A）的機率是
\(P(A \mid B)\)：陽性時真的符合
\(=\)
符合且陽性（0.009）
\(\div\)
呈陽性（0.0981）
\(\dfrac{0.009}{0.0981} = \dfrac{90}{981} = \dfrac{10}{109} \approx 0.092\ \ (9.2\%)\)
思考重點
形式就是條件機率的公式，只是把前提從 A 換成 B。但用法是反方向的：已知的是「原因→結果」的機率（\(P(B \mid A)\)：符合條件的話 90% 呈陽性），想知道的卻是「結果→原因」的機率（\(P(A \mid B)\)：呈陽性時真的符合條件的機率）。幫我們做這個方向轉換的，就是貝氏定理。
也常寫成把分母 \(P(B)\) 用全機率定理展開的形式 \(P(A \mid B) = \dfrac{P(A)\,P(B \mid A)}{P(A)\,P(B \mid A) + P(A')\,P(B \mid A')}\)，內容是一樣的。
例子的答案「準確度 90% 的檢查，呈陽性也只有約 9%」小得違反直覺，是因為符合條件的人本來就只有 1%，少數「真正的陽性」被大量的「偽陽性」淹沒了。看到結果之前的機率 \(P(A)\) 稱為事前機率，看到結果之後的 \(P(A \mid B)\) 稱為事後機率。
條件機率 \(P(B \mid A)\) 是「把分母從全體的 1 換成前提 \(P(A)\)，B 在 A 之中的比例」。貝氏定理是它的應用，由「原因→結果」的機率反推「結果→原因」的機率。分母 \(P(B)\) 用全機率定理（依路徑相加）組出來。
符號與用語解說
符號
| \(P(A)\) | P of A | 事件 A 發生的機率。P 是英文「機率」Probability 的第一個字母。 |
| \(P(B \mid A)\) | P of B given A | 已知 A 發生時，B 發生的機率（條件機率）。讀作「在 A 發生的條件下 B 發生的機率」。日本等地的教科書也會寫成 \(P_{A}(B)\)，把條件寫在右下角。 |
| \(\mid\) | given（在…的條件下） | 寫在 \(P(\ \ )\) 裡面的直線。直線右邊的事件是條件（已知發生的事），讀作「在…的條件下」。\(P(B \mid A)\) 和 \(P(A \mid B)\) 的意思不同。 |
| \(A'\) | A prime（餘事件） | 表示「A 不發生」這個事件（餘事件），也寫成 \(A^c\) 或 \(\overline{A}\)。可用 \(P(A') = 1 - P(A)\) 求出。 |
| \(\cap\) | 交集 | 表示「且」的符號。\(A \cap B\) 是「A 與 B 都發生」這個事件，在文氏圖中就是兩個圓重疊的部分。 |
| \(P(A \cap B)\) | A 交集 B 的機率 | A 與 B 都發生的機率（聯合機率），是條件機率的分子。它一定小於或等於 \(P(A)\)（因為兩個都發生是 A 的一部分）。 |
用語
| 事件 | 像「擲骰子擲出偶數」「檢查呈陽性」這樣，會發生或不會發生的事情。數學上把這種事情稱為「事件」，並取 A、B 等名稱來處理。 |
| 條件機率 | 在已知某個事件 A 發生的條件下，另一個事件 B 發生的機率。計算方式為 \(P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\)，也就是「把思考的範圍從全體縮小到只剩 A 時，B 所占的比例」。 |
| 乘法定理 | 指 \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)\)，也稱為機率的乘法公式。是把條件機率公式去分母的形式，依序相乘求出「先發生 A，接著 B 也發生」的機率。 |
| 全機率定理 | 把 B 發生的機率分成「經過 A 的路徑」和「經過非 A 的路徑」再相加的定理，台灣的高中教科書也稱為分割定理。公式是 \(P(B) = P(A)\,P(B \mid A) + P(A')\,P(B \mid A')\)，用來組出貝氏定理的分母。 |
| 貝氏定理 | 由「原因→結果」的機率反推「結果→原因」的機率的定理。公式是 \(P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\)。名稱來自 18 世紀英國的牧師湯瑪斯·貝葉斯（Thomas Bayes），支撐著垃圾郵件過濾等現代資訊技術。 |
| 事前機率 | 看到結果（資料）之前估計的原因 A 的機率 \(P(A)\)。以檢查的例子來說，就是「全體中原本有多少人符合條件」。 |
| 事後機率 | 看到結果 B 之後更新的原因 A 的機率 \(P(A \mid B)\)。貝氏定理可以說是「用觀察到的結果，把事前機率更新成事後機率」的定理。 |
| 餘事件 | 指該事件「不發生」這個相反的事件。符號是 \(A'\)，機率是 \(1 - P(A)\)。在全機率定理中負責「不經過 A 的路徑」。 |
| 互斥 | 兩個事件不會同時發生。「經過 A 而發生 B」和「經過非 A 而發生 B」是互斥的，所以在全機率定理中可以直接相加。 |
| 獨立 | 一方的結果不會影響另一方發生的機率。用條件機率的說法，就是「\(P(B \mid A) = P(B)\)（即使知道 A 發生了，B 的機率也不變）」。 |
| 偽陽性 | 實際上並不符合，檢查卻顯示「陽性（符合）」。即使偽陽性的機率很小，只要不符合的人占絕大多數，偽陽性的人數就可能比真正陽性的人還多。 |
| 樹狀圖 | 把可能發生的情況像樹枝一樣分開畫出的圖。在枝上寫上機率，沿著枝相乘就得到「這條路徑的機率」。是最適合用眼睛追蹤條件機率、貝氏定理計算的圖。 |
建議先了解的基礎知識
為了讓您「真正理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議事先理解的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習這張表的內容是最快的捷徑。
| 機率的基礎（國中九年級，14～15 歲） |
|
| 比率與百分率（國小五年級，10～11 歲） |
|
| 分數的乘法與除法（國小五～六年級，10～12 歲） |
|
| 排列組合與樹狀圖（國中九年級～高一，14～16 歲） |
|
| 集合與文氏圖（高一，15～16 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「條件機率 P(B|A)」的表格
| 事件 A 發生的機率 P(A) | 0.5 |
| 兩個都發生的機率 P(A∩B) | 0.2 |
| 條件機率 P(B|A) | =B2/B1 |
求「兩個都發生的機率 P(A∩B)」的表格（乘法定理）
| 事件 A 發生的機率 P(A) | 0.5 |
| A 發生時 B 發生的機率 P(B|A) | 0.4 |
| 兩個都發生的機率 P(A∩B) | =B1*B2 |
求「B 發生的機率 P(B)」的表格（全機率定理）
| 原因 A 的機率 P(A) | 0.01 |
| A 發生時 B 發生的機率 P(B|A) | 0.9 |
| A 不發生時 B 發生的機率 P(B|A') | 0.09 |
| B 發生的機率 P(B) | =B1*B2+(1-B1)*B3 |
求「原因的機率 P(A|B)」的表格（貝氏定理）
| 原因 A 的機率 P(A) | 0.01 |
| A 發生時 B 發生的機率 P(B|A) | 0.9 |
| A 不發生時 B 發生的機率 P(B|A') | 0.09 |
| 兩個都發生的機率 P(A∩B) | =B1*B2 |
| B 發生的機率 P(B) | =B4+(1-B1)*B3 |
| B 發生時原因是 A 的機率 P(A|B) | =B4/B5 |
貼上後，A 欄是各列的名稱，B 欄是數值。上方幾列是輸入欄，下方幾列的公式會用輸入欄的值自動計算。
公式中的「B1」「B2」代表「使用該儲存格裡的數值」，「*」是乘法、「/」是除法的符號。
第 1 個表格是 0.2 ÷ 0.5 = 0.4，第 2 個表格是 0.5 × 0.4 = 0.2。
第 3 個表格是 0.01 × 0.9 + 0.99 × 0.09 = 0.0981，也就是把呈陽性的機率依路徑相加。
第 4 個表格中，B4 是 0.009，B5 是 0.0981，最後的 B6 是 0.009 ÷ 0.0981 ≈ 0.0917（約 9.2%）。
公式中的「B1」「B2」代表「使用該儲存格裡的數值」，「*」是乘法、「/」是除法的符號。
第 1 個表格是 0.2 ÷ 0.5 = 0.4，第 2 個表格是 0.5 × 0.4 = 0.2。
第 3 個表格是 0.01 × 0.9 + 0.99 × 0.09 = 0.0981，也就是把呈陽性的機率依路徑相加。
第 4 個表格中，B4 是 0.009，B5 是 0.0981，最後的 B6 是 0.009 ÷ 0.0981 ≈ 0.0917（約 9.2%）。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「條件機率 P(B|A)」的表格
| 事件 A 發生的機率 P(A) | 0.5 |
| 兩個都發生的機率 P(A∩B) | 0.2 |
| 條件機率 P(B|A) | =B2/B1 |
求「兩個都發生的機率 P(A∩B)」的表格（乘法定理）
| 事件 A 發生的機率 P(A) | 0.5 |
| A 發生時 B 發生的機率 P(B|A) | 0.4 |
| 兩個都發生的機率 P(A∩B) | =B1*B2 |
求「B 發生的機率 P(B)」的表格（全機率定理）
| 原因 A 的機率 P(A) | 0.01 |
| A 發生時 B 發生的機率 P(B|A) | 0.9 |
| A 不發生時 B 發生的機率 P(B|A') | 0.09 |
| B 發生的機率 P(B) | =B1*B2+(1-B1)*B3 |
求「原因的機率 P(A|B)」的表格（貝氏定理）
| 原因 A 的機率 P(A) | 0.01 |
| A 發生時 B 發生的機率 P(B|A) | 0.9 |
| A 不發生時 B 發生的機率 P(B|A') | 0.09 |
| 兩個都發生的機率 P(A∩B) | =B1*B2 |
| B 發生的機率 P(B) | =B4+(1-B1)*B3 |
| B 發生時原因是 A 的機率 P(A|B) | =B4/B5 |
可以直接使用和 Excel 相同的公式。把表格整個複製、貼到 A1 儲存格後，上方幾列是輸入欄，下方幾列是自動計算的結果。
只要把輸入欄的數值改成自己的機率，就能直接使用。
只要把輸入欄的數值改成自己的機率，就能直接使用。
用 Python 計算的方法
from fractions import Fraction
# ===== 條件機率 P(B|A) = P(A∩B) ÷ P(A) =====
p_a = Fraction(1, 2) # P(A)：作為前提的事件 A 的機率
p_a_and_b = Fraction(1, 3) # P(A∩B)：兩個都發生的機率
p_b_given_a = p_a_and_b / p_a
print(f"條件機率 P(B|A)：{p_b_given_a} = {float(p_b_given_a):.4f}")
# ===== 貝氏定理（用全機率定理組出分母） =====
prior = Fraction(1, 100) # P(A)：原因 A 的機率（事前機率）
p_b_given_a2 = Fraction(90, 100) # P(B|A)：A 發生時 B 發生的機率
p_b_given_not_a = Fraction(9, 100) # P(B|A')：A 不發生時 B 發生的機率
p_joint = prior * p_b_given_a2 # P(A∩B)
p_b = p_joint + (1 - prior) * p_b_given_not_a # P(B)（全機率定理）
posterior = p_joint / p_b # P(A|B)（事後機率）
print(f"B 發生的機率 P(B)：{p_b} = {float(p_b):.4f}")
print(f"原因是 A 的機率 P(A|B)：{posterior} = {float(posterior):.4f}")
使用標準函式庫的 fractions 模組，就能以沒有小數捨入誤差的精確分數計算。執行後，條件機率會顯示「2/3」，貝氏定理的例子會顯示 P(B) = 981/10000（0.0981）、P(A|B) = 10/109（約 0.0917）。把機率的值改掉後執行即可（0.5 可以像 Fraction(5, 10) 這樣寫成分數）。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
條件機率
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>∣</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
P(B | A) = P(A nn B) / P(A)
pAandB/pA
pBgivenA := pAandB/pA;
p_b_given_a = p_a_and_b/p_a;
P(B|A) = P(A∩B)/P(A)
乘法定理（兩個都發生的機率）
P(A∩B) = P(A) × P(B|A)
P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>∣</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(A nn B) = P(A) xx P(B | A)
pA*pBgivenA
pAandB := pA*pBgivenA;
p_a_and_b = p_a*p_b_given_a;
P(A∩B) = P(A) × P(B|A)
全機率定理（把 B 發生的機率依路徑相加）
P(B) = P(A) × P(B|A) + P(A′) × P(B|A′)
P(B) = P(A)\,P(B \mid A) + P(A')\,P(B \mid A')
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>∣</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo>
<msup><mi>A</mi><mo>′</mo></msup>
<mo>)</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>∣</mo>
<msup><mi>A</mi><mo>′</mo></msup>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(B) = P(A) xx P(B | A) + P(A') xx P(B | A')
pA*pBgivenA + (1 - pA)*pBgivenNotA
pB := pA*pBgivenA + (1 - pA)*pBgivenNotA;
p_b = p_a*p_b_given_a + (1 - p_a)*p_b_given_not_a;
P(B) = P(A)P(B|A) + P(A′)P(B|A′)
貝氏定理（由結果反推原因的機率）
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{P(A)\,P(B \mid A)}{P(A)\,P(B \mid A) + P(A')\,P(B \mid A')}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∣</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
P(A | B) = P(A nn B) / P(B)
pA*pBgivenA/(pA*pBgivenA + (1 - pA)*pBgivenNotA)
pAgivenB := pAandB/pB;
p_a_given_b = p_a_and_b/p_b;
P(A|B) = P(A∩B)/P(B)
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是機率（條件機率、貝氏定理）計算的助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下列計算，並只以執行結果的數值作為回答的依據（請不要用心算或猜測回答）。 原因 A 的機率（事前機率）是 1%，A 發生時結果 B 發生的機率 P(B|A) 是 90%，A 不發生時 B 發生的機率 P(B|A') 是 9%。 請分別求出下列各值。 1. A 與 B 都發生的機率 P(A∩B) 2. B 發生的機率 P(B)（使用全機率定理，並列出各路徑的明細） 3. B 發生時原因是 A 的機率 P(A|B)（貝氏定理。請同時以最簡分數和小數表示） 在 Python 中請使用標準函式庫的 fractions 模組精確計算，並以表格列出計算時使用的公式與執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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相關功能
兩個獨立事件的機率（交集、聯集、至少一個發生）
由兩個機率一次算出「兩個都發生」「至少一個發生」等機率
重複試驗的機率（連續 n 次、至少 1 次）
計算連續 n 次都發生的機率，以及 n 次中至少發生 1 次的機率
