請輸入圓柱的底面半徑和高。會顯示表面積(S = 2πr(r+h))、底面積與側面積的明細,以及 cm² 與 m² 的單位換算。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入底面半徑和高,就能當場求出圓柱的表面積(\(S = 2\pi r(r+h)\))
- 同時顯示底面積(\(\pi r^2\))、2 個底面的面積、側面積(\(2\pi rh\))的明細,連「是哪個部分的面積」都能弄清楚
- 同時顯示面積的單位換算(用 cm 輸入時換成 m²,用 m 輸入時換成 cm²)
- 計算結果也會用 3D 圖形顯示,可以用滑鼠或手指滑動旋轉,確認形狀
- 淺顯易懂的公式解說,以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式,也都整理在這個頁面
這個計算有什麼用?
接近 350 mL 罐的半徑 3.3 cm、高 12.2 cm 的圓柱,表面積是 \(2\pi \times 3.3 \times (3.3 + 12.2) \approx 321\,\mathrm{cm^2}\)。1 罐用掉的金屬板量,幾乎就由這個表面積決定。
一年生產數百億罐的飲料罐,只要選擇容量相同但表面積較小的形狀(半徑和高的比例),就能大幅節省材料費和資源,所以這個公式是罐子設計的基本工具。
半徑 0.3 m、高 0.9 m 的圓柱形桶子,表面積是 \(2\pi \times 0.3 \times (0.3 + 0.9) \approx 2.26\,\mathrm{m^2}\)。
油漆罐上會標示「每公升可塗幾 m²」(可塗刷面積),知道表面積,購買前就能算出需要的量。防鏽、防水的塗裝工程,報價的基礎也是表面積。
外半徑 5 cm(0.05 m)、長 10 m 的管子,包覆的保溫材面積是側面積 \(2\pi \times 0.05 \times 10 \approx 3.14\,\mathrm{m^2}\)(管子兩端接著其他管子,所以只考慮側面)。
熱水管保溫、防止結露的工程,就是用這個側面積的公式估算材料用量。這是「只用到表面積中需要的部分」的代表性應用。
直徑 15 cm(半徑 7.5 cm,俗稱 6 吋)、高 6 cm 的整個蛋糕,側面積是 \(2\pi \times 7.5 \times 6 \approx 283\,\mathrm{cm^2}\),繞側面一圈的圍邊膜長度是圓周長 \(2\pi \times 7.5 \approx 47\,\mathrm{cm}\)。
把側面想成「剪開後是長方形(一邊 = 圓周長、另一邊 = 高)」,直接用本頁的公式,就能算出蛋糕圍邊膜或裝飾巧克力片需要多少。
做半徑 3.5 cm、高 20 cm 的水壺套時,側面用的布是「一邊 = 圓周長約 \(22\,\mathrm{cm}\)、另一邊 = \(20\,\mathrm{cm}\)」的長方形,面積是 \(2\pi \times 3.5 \times 20 \approx 440\,\mathrm{cm^2}\)。底部用的布約是 1 個圓的 \(\pi \times 3.5^2 \approx 38\,\mathrm{cm^2}\)(實際上還要加縫份)。
筒狀收納包、筆筒套等,用布或紙包覆圓柱形物品時,打版可以直接用上展開圖的想法。
公式與圖示
符號與用語解說
符號
| \(S\) | S | 常用來表示面積的符號。本頁用來表示圓柱的表面積(所有面的面積總和)。 |
| \(S_{\text{底}}\) | S 底 | 表示底面積(1 個底面圓的面積)的符號。下標的「底」就是底面的意思,用圓面積的公式 \(\pi r^2\) 求出。 |
| \(S_{\text{側}}\) | S 側 | 表示側面積(整個側面的面積)的符號。下標的「側」就是側面的意思,用 圓周長 × 高 = \(2\pi rh\) 求出。 |
| \(r\) | r | 底面圓的半徑(中心到邊緣的長度),取自英文 radius(半徑)的字首,長度是直徑的一半。 |
| \(h\) | h | 圓柱的高(從底面到上面的垂直長度),取自英文 height(高度)的字首。 |
| \(\pi\) | pi | 表示圓周率的希臘字母。它是圓周長 ÷ 直徑的值,\(3.14159\ldots\) 無限延續下去。國小用的「3.14」是它的近似值。 |
| \(r^2\) | r 的平方 | 同一個數 \(r\) 乘 2 次的值(\(r \times r\))。右上角的小 2 是指數,意思是「乘 2 次」。 |
| \(2\pi r\) | 2 pi r | 底面圓的圓周長(一圈的長度),也就是「直徑(\(2r\))× 圓周率」,等於側面剪開後長方形的一邊。 |
| \(\mathrm{cm^2}\) | 平方公分 | 面積的單位。邊長 1 cm 的正方形的面積是 1 cm²,讀作「平方公分」。 |
| \(\mathrm{m^2}\) | 平方公尺 | 面積的單位。邊長 1 m 的正方形的面積是 1 m²,且 \(1\,\mathrm{m^2} = 10000\,\mathrm{cm^2}\)。 |
用語
| 圓柱 | 底面是圓,不管從哪裡橫切都是同樣大小的圓的筆直立體。罐頭、汽油桶、衛生紙捲筒的芯等,生活中隨處可見。 |
| 表面積 | 立體整個表面的面積總和。圓柱的表面積是「上下 2 個底面+側面」的面積加起來,直接關係到包裝紙、油漆等「覆蓋表面的材料用量」。 |
| 底面 | 柱體上下的面。圓柱上下各有 1 個同樣大小的圓,兩個都叫做底面。 |
| 底面積 | 底面的面積。圓柱的底面是圓,所以底面積用圓面積的公式 \(\pi r^2\)(半徑 × 半徑 × 圓周率)求出。 |
| 側面 | 立體周圍的面。圓柱的側面是 1 個彎曲的面,沿著直線剪開攤平就是長方形。 |
| 側面積 | 整個側面的面積。圓柱的側面積,用剪開後長方形的面積「圓周長 × 高 = \(2\pi rh\)」求出。 |
| 展開圖 | 把立體剪開、攤平在平面上的圖。圓柱的展開圖是「2 個圓+1 個長方形」,表面積基本上就是用這個展開圖的面積總和求出。 |
| 圓周長 | 圓一圈的長度,用「直徑 × 圓周率」= \(2\pi r\) 求出。圓柱的側面剪開後,長方形的一邊剛好就是圓周長。 |
| 圓周率 | 表示圓周長是直徑幾倍的數。不管多大的圓都是同一個值,用符號 \(\pi\) 表示(約 3.14)。 |
| 因式分解 | 把式子中共同的乘法部分提出來(提出公因式)。把 \(2\pi r^2 + 2\pi rh\) 兩項共同的 \(2\pi r\) 提出來,就變成 \(2\pi r(r+h)\)。 |
| 單位換算 | 把同一個量改用別的單位表示。面積的重點是:長度換算率(1 m = 100 cm)的平方,就是面積的換算率(1 m² = 10000 cm²)。 |
建議先了解的基礎知識
為了讓您「理解意義」地使用本頁的計算,這裡整理了事先了解會更好懂的基礎知識。
| 圓面積與圓周長(國小高年級,10~12 歲) |
|
| 長方形的面積(國小四年級,9~10 歲) |
|
| 展開圖(國小) |
|
| 面積的單位(國小) |
|
| 圓周率與用符號代表數(國中,12~15 歲) |
|
用 Excel 計算的方法
| 底面半徑 r | 3 |
| 高 h | 4 |
| 2 個底面(2πr²) | =2*PI()*B1^2 |
| 側面積(2πrh) | =2*PI()*B1*B2 |
| 圓柱的表面積 | =B3+B4 |
| 底面半徑 r | 3 |
| 底面積(πr²) | =PI()*B1^2 |
| 底面半徑 r | 3 |
| 高 h | 4 |
| 側面積(2πrh) | =2*PI()*B1*B2 |
| 底面半徑 r | 3 |
| 高 h | 4 |
| 圓柱的表面積(2πr(r+h)) | =2*PI()*B1*(B1+B2) |
| 以 cm² 表示的表面積 | 22600 |
| 以 m² 表示的表面積 | =B1/10000 |
公式裡的「PI()」是傳回圓周率 π(3.14159…)的 Excel 函數,「B1」「B2」意思是「使用該儲存格裡的數值」,「*」是乘號,「/」是除號,「^」是乘方(乘幾次)的符號。
例如第一個表格的 B3 會顯示約 56.549,B4 約 75.398,B5 約 131.947(因為用 cm 輸入,所以是 cm²)。第四個表格的 B3 也是約 131.947,第五個表格的 B2 是 2.26。只要把輸入欄的數值改成您自己的圓柱尺寸即可使用。
用 Google 試算表計算的方法
| 底面半徑 r | 3 |
| 高 h | 4 |
| 2 個底面(2πr²) | =2*PI()*B1^2 |
| 側面積(2πrh) | =2*PI()*B1*B2 |
| 圓柱的表面積 | =B3+B4 |
| 底面半徑 r | 3 |
| 底面積(πr²) | =PI()*B1^2 |
| 底面半徑 r | 3 |
| 高 h | 4 |
| 側面積(2πrh) | =2*PI()*B1*B2 |
| 底面半徑 r | 3 |
| 高 h | 4 |
| 圓柱的表面積(2πr(r+h)) | =2*PI()*B1*(B1+B2) |
| 以 cm² 表示的表面積 | 22600 |
| 以 m² 表示的表面積 | =B1/10000 |
用 Python 計算的方法
import math
radius = 3 # 底面半徑(這個例子是 cm)
height = 4 # 高(和半徑用相同的單位)
base_area = math.pi * radius ** 2 # 底面積(1 個圓,這個例子是 cm2)
bases_area = base_area * 2 # 2 個底面
lateral_area = 2 * math.pi * radius * height # 側面積(圓周長 × 高)
surface_area = bases_area + lateral_area # 圓柱的表面積(= 2πr(r+h))
print(f"底面積(1 個圓):{base_area} cm2")
print(f"2 個底面:{bases_area} cm2")
print(f"側面積:{lateral_area} cm2")
print(f"圓柱的表面積:{surface_area} cm2")
用 LaTeX 等數學式語言的寫法(可直接複製)
S = S底 × 2 + S側
S = S_{\text{底}} \times 2 + S_{\text{側}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<msub><mi>S</mi><mtext>底</mtext></msub>
<mo>×</mo>
<mn>2</mn>
<mo>+</mo>
<msub><mi>S</mi><mtext>側</mtext></msub>
</mrow>
</math>
S = S_"底" xx 2 + S_"側"
sBase*2 + sSide
S := sBase*2 + sSide;
S = s_base*2 + s_side;
S = S_底 × 2 + S_側
S底 = π × r²
S_{\text{底}} = \pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mtext>底</mtext></msub>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S_"底" = pi r^2
Pi*r^2
sBase := Pi*r^2;
s_base = pi*r^2;
S_底 = πr^2
S側 = 2 × π × r × h
S_{\text{側}} = 2\pi r h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mtext>側</mtext></msub>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mo>⁢</mo>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>r</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
S_"側" = 2 pi r h
2*Pi*r*h
sSide := 2*Pi*r*h;
s_side = 2*pi*r*h;
S_側 = 2πrh
S = 2 × π × r × (r + h)
S = 2\pi r(r+h)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mo>⁢</mo>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>r</mi>
<mo>⁢</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>+</mo><mi>h</mi><mo>)</mo></mrow>
</mrow>
</math>
S = 2 pi r (r + h)
2*Pi*r*(r + h)
S := 2*Pi*r*(r + h);
S = 2*pi*r*(r + h);
S = 2πr(r + h)
S[m²] = S[cm²] ÷ 10000
S_{\mathrm{m^2}} = S_{\mathrm{cm^2}} \div 10000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">m</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>S</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>10000</mn>
</mrow>
</math>
S_(m^2) = S_(cm^2) -: 10000
sCm2/10000
sM2 := sCm2/10000;
s_m2 = s_cm2/10000;
S(m²) = S(cm²)/10000
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行以下計算,並且只根據執行結果的數值回答(不要用心算或推測回答)。 有一個底面半徑 3 cm、高 4 cm 的圓柱。 請分別求出: 1. 底面積(1 個圓)是多少 cm² 2. 側面積是多少 cm² 3. 圓柱的表面積(2 個底面+側面)是多少 cm² 請列出使用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說,也都能在同一個頁面查看
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