請輸入橢球 3 個方向的半軸 \(a\)、\(b\)、\(c\)（從中心到表面的長度）。會顯示體積 \(V = \dfrac{4}{3}\pi abc\)，以及以公分輸入時換算成公升的值。
3 個半軸請統一單位，只輸入 0 以上的數值（不加單位，只填數字。例如 10 公分就填「10」）。
計算結果與圖形
在左邊的輸入欄填入 3 個方向的半軸長度，按下「計算」，結果和 3D 圖就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入 3 個方向的半軸 \(a\)、\(b\)、\(c\)（從中心到表面的長度），馬上就能知道橢球的體積（\(V = \dfrac{4}{3}\pi abc\)）
- 計算結果也會用可以拖曳旋轉的 3D 圖顯示，哪個長度是哪個方向一目了然
- 3 個欄位填入相同的長度，就能直接用來計算球的體積（\(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\)）
- 同時顯示以公分輸入時換算成公升（L）的值
- 公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，都整理在這個頁面
3 個半軸請用同一種單位輸入（公分就都用公分，公尺就都用公尺）。要輸入的是「從中心到表面的長度」（＝半軸），也就是從一端到另一端的長度（軸）的一半。
這個計算有什麼用？
估算橄欖球、美式足球的體積（運動）
橄欖球的形狀接近細長的旋轉橢球。長約 30 公分、寬約 19 公分的球，半軸是 \(15 \times 9.5 \times 9.5\,\mathrm{cm}\)，體積可以估算為 \(\dfrac{4}{3}\pi \times 15 \times 9.5 \times 9.5 \approx 5671\,\mathrm{cm^3}\)（約 5.7 公升）。
想知道球的充氣量、浮力、收納空間等「不是球但圓圓的東西」的容量時，就能用這個公式（實物會因縫線和鼓起而有些誤差，只是近似值）。
用超音波檢查推估器官或腫瘤的體積（醫療）
醫院的超音波檢查，廣泛使用把器官、囊腫、腫瘤看成橢球來推估體積的方法。量出互相垂直的 3 個方向的徑長（從一端到另一端），各除以 2 得到半軸，再代入這個公式。
例如徑長是 \(4 \times 3 \times 3\,\mathrm{cm}\)，半軸就是 \(2 \times 1.5 \times 1.5\,\mathrm{cm}\)，體積是 \(\dfrac{4}{3}\pi \times 2 \times 1.5 \times 1.5 \approx 18.8\,\mathrm{mL}\)（1 cm³＝1 mL）。攝護腺、膀胱的體積測量等，都靠這個計算支撐日常的診療（器官並不是完美的橢球，所以作為推估值使用）。
由西瓜、哈密瓜的體積估算重量（農業、食品）
西瓜、哈密瓜的形狀接近橢球，所以可以用這個公式從收成的大小估算體積和重量。半軸 \(12 \times 10 \times 10\,\mathrm{cm}\) 的西瓜，體積是 \(\dfrac{4}{3}\pi \times 12 \times 10 \times 10 \approx 5027\,\mathrm{cm^3}\)（約 5 公升）。
西瓜的密度接近水（每 1 cm³ 約 1 公克），所以重量可以概算為約 5 公斤。這個想法也有助於設計裝箱尺寸、訂定出貨規格。
計算地球的體積（地球科學、太空）
地球因為自轉的離心力，是稍微扁一點的旋轉橢球。把赤道半徑約 6378 公里、極半徑約 6357 公里代入這個公式，體積是 \(\dfrac{4}{3}\pi \times 6378 \times 6378 \times 6357 \approx 1.083 \times 10^{12}\,\mathrm{km^3}\)（約 1 兆 832 億立方公里）。
這和天文資料中記載的地球體積幾乎一致。對於因自轉而變扁的行星這類「不是完美球的天體」，天文學實際上就是用這個公式計算體積。
估算雞蛋等接近橢球的食品的容量（料理、食品）
雞蛋的形狀接近橢球。長約 6 公分、粗約 4.5 公分的蛋，半軸是 \(3 \times 2.25 \times 2.25\,\mathrm{cm}\)，體積可以估算為 \(\dfrac{4}{3}\pi \times 3 \times 2.25 \times 2.25 \approx 64\,\mathrm{cm^3}\)（實際的蛋稍微不對稱，實測會比這個略小）。
麵包、飯糰、水果等「大致是橢球」的食物的容量、容器尺寸、隔水加熱要用的水量等，不用秤也能概算。
公式與圖示
橢球的體積
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(V\)
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(a\)
\(\times\)
\(b\)
\(\times\)
\(c\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑥
橢球的體積 \(V\)
\(=\)
⑤
常數 \(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
④
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
①
半軸 \(a\)
\(\times\)
②
半軸 \(b\)
\(\times\)
③
半軸 \(c\)
用文字讀公式
①
把
半軸 \(a\)
、
②
半軸 \(b\)
和
③
半軸 \(c\)
相乘，
④
乘以
圓周率 \(\pi\)（約 3.14）
，
⑤
再乘以
常數 \(\dfrac{4}{3}\)
，就得到
⑥
橢球的體積 \(V\)
。
簡單範例
半軸是 3 公分、2 公分、1 公分的橢球，體積是
橢球的體積 \(V\)
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
半軸（3 cm）
\(\times\)
半軸（2 cm）
\(\times\)
半軸（1 cm）
\(V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3 \times 2 \times 1 = 8\pi\)
\(8\pi = 8 \times 3.14159\ldots \approx 25.13\,\mathrm{cm^3}\)
思考重點
橢球是「把球往 3 個方向各自以不同倍率伸縮而成的立體」。把半徑 1 的球（體積 \(\dfrac{4}{3}\pi\)）橫向拉長 \(a\) 倍、深度拉長 \(b\) 倍、高度拉長 \(c\) 倍，體積也會變成 \(a \times b \times c\) 倍，所以 \(V = \dfrac{4}{3}\pi abc\)。它是把「半徑 × 半徑 × 半徑」換成「3 個方向各自的半軸的乘積」，可以說是球體積公式的親戚。
要輸入的都是「從中心到表面的長度」（半軸）。量的是從一端到另一端（軸）的長度時，請先除以 2 再輸入。
球的體積（橢球的特殊情況）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(V\)
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(3\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑤
球的體積 \(V\)
\(=\)
④
常數 \(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
③
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
①
半徑 \(r\)
②
3 次方（同一個長度連乘 3 次）
用文字讀公式
①
把
半徑 \(r\)
②
做
3 次方（同一個長度連乘 3 次）
，
③
乘以
圓周率 \(\pi\)（約 3.14）
，
④
再乘以
常數 \(\dfrac{4}{3}\)
，就得到
⑤
球的體積 \(V\)
。
簡單範例
半徑 3 公分的球，體積是
球的體積 \(V\)
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
半徑（3 cm）
3 次方
\(V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = 36\pi\)
\(36\pi = 36 \times 3.14159\ldots \approx 113.10\,\mathrm{cm^3}\)
思考重點
球是「3 個半軸全部相等的特殊橢球」。在橢球的公式 \(V = \dfrac{4}{3}\pi abc\) 中令 \(a = b = c = r\)，就得到球的體積公式 \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\)。在這個計算機中，3 個欄位填入相同的數，也能求出球的體積。
體積的單位換算（cm³ → L）
數學寫法
（一般的數學式）
\(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
\(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
\(1000\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
以 L 表示的體積 \(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
①
以 cm³ 表示的體積 \(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
②
每 1 L 的 cm³ 數 \(1000\)
用文字讀公式
①
把
以 cm³ 表示的體積 \(V_{\mathrm{cm^3}}\)
②
除以
每 1 L 的 cm³ 數 \(1000\)
，就得到
③
以 L 表示的體積 \(V_{\mathrm{L}}\)
。
簡單範例
體積 2000 cm³ 的橢球形水槽，裝的水換算成公升是
以 L 表示的體積
\(=\)
以 cm³ 表示的體積（2000）
\(\div\)
每 1 L 的 cm³ 數（1000）
\(2000 \div 1000 = 2\,\mathrm{L}\)
思考重點
\(1\,\mathrm{L}\) 是每邊 10 公分的正方體的體積，\(10 \times 10 \times 10 = 1000\,\mathrm{cm^3}\)，也就是 1000 毫升。
更大的單位 m³，因為 \(1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm}\)，所以 \(1\,\mathrm{m^3} = 100 \times 100 \times 100 = 1000000\,\mathrm{cm^3}\)（＝1000 L）。體積的換算率是長度換算率的 3 次方，這是容易弄錯的地方。
橢球的體積用「4/3 × 圓周率 π × 3 個方向的半軸 a、b、c 的乘積」求出。3 個半軸全部相等的橢球就是球（V＝4/3 πr³）。半軸要統一單位，答案的單位是該單位的 3 次方（公分就是 cm³）。cm³ 換算成公升只要除以 1000。
符號與用語解說
符號
| \(V\) | V | 常用來表示體積的符號，取自英文 volume（體積）的第一個字母。在本頁表示橢球（球）的體積。 |
| \(a,\ b,\ c\) | a、b、c | 橢球 3 個方向的半軸長度。都是「從中心到表面的長度」，相當於球的半徑，是從一端到另一端的長度（軸）的一半。 |
| \(\pi\) | pi | 圓周率，表示圓周長是直徑幾倍的數，\(3.14159265\ldots\) 無限延續、不循環的小數（無理數）。國小數學用的「3.14」是它的近似值。 |
| \(r\) | r | 球的半徑，取自英文 radius（半徑）的第一個字母。球是 3 個半軸都是 \(r\) 的橢球。 |
| \(r^3\) | r 的 3 次方 | 同一個數 \(r\) 連乘 3 次的值（\(r \times r \times r\)）。右上角的小 3 是指數，意思是「乘 3 次」。 |
| \(\mathrm{cm^3}\) | 立方公分 | 體積的單位。每邊 1 公分的正方體，體積是 1 cm³。要和面積的 cm²（平方公分）區分清楚。 |
| \(\mathrm{L}\) | 公升 | 體積（容量）的單位。\(1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm^3}\)，是每邊 10 公分的正方體能裝的量。 |
用語
| 橢球 | 把橢圓變成立體的、光滑的蛋形立體（也叫橢圓體、橢球體）。不管在哪裡切，截面都是橢圓（或圓）。形狀接近橄欖球或西瓜。 |
| 半軸 | 從橢球中心到表面的長度中，沿 3 個對稱方向（互相垂直的方向）量得的長度。橢球的大小和形狀由這 3 個長度決定，是從一端到另一端的長度（軸）的一半。 |
| 橢圓 | 把圓往一個方向拉長（或壓扁）的形狀，是圓圓的、細長的曲線。 |
| 球 | 3 個半軸全部相等的特殊橢球。從哪個方向看都是同樣大小的圓，體積是 \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\)。 |
| 旋轉橢球 | 把橢圓繞著它的軸旋轉 1 圈所形成的立體，是 3 個半軸中有 2 個相等的橢球。橄欖球（細長形）和橘子（扁平形）都屬於這一類，地球也是稍微扁一點的旋轉橢球。 |
| 體積 | 用數字表示立體占有空間的大小，以「有幾個每邊 1 公分的正方體（1 cm³）」來量。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
| 乘法與小數的乘法（國小三～五年級，8～11 歲） |
|
| 體積的意義與單位（國小四～五年級，9～11 歲） |
|
| 圓周率（國小六年級～國中，11～13 歲） |
|
| 分數的乘法（國小五年級，10～11 歲） |
|
| 球的體積（國中～高中，12～18 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「橢球的體積」的表格
| 半軸 a 的長度 | 10 |
| 半軸 b 的長度 | 5 |
| 半軸 c 的長度 | 8 |
| 橢球的體積 | =4/3*PI()*B1*B2*B3 |
求「球的體積」的表格
| 半徑 | 3 |
| 球的體積 | =4/3*PI()*B1^3 |
「cm³ 換算成 L」的表格
| 以 cm³ 表示的體積 | 2000 |
| 以 L 表示的體積 | =B1/1000 |
貼上後，A 欄是項目名稱，B 欄是數值。上面的列是輸入欄，最後一列的公式會用輸入欄的值自動計算。
公式中的「B1」「B2」是「使用該儲存格裡的數值」的意思，「*」是乘法，「/」是除法，「^」是次方（乘幾次），「PI()」是傳回圓周率 π 的函數。
例如第 1 個表格，B4 會顯示 4/3 × π × 10 × 5 × 8＝約 1675.52（以公分輸入，所以是 cm³）。第 2 個表格的 B2 會顯示約 113.10，第 3 個表格的 B2 會顯示 2。只要把輸入欄的數值改成自己的長度就能使用。
公式中的「B1」「B2」是「使用該儲存格裡的數值」的意思，「*」是乘法，「/」是除法，「^」是次方（乘幾次），「PI()」是傳回圓周率 π 的函數。
例如第 1 個表格，B4 會顯示 4/3 × π × 10 × 5 × 8＝約 1675.52（以公分輸入，所以是 cm³）。第 2 個表格的 B2 會顯示約 113.10，第 3 個表格的 B2 會顯示 2。只要把輸入欄的數值改成自己的長度就能使用。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「橢球的體積」的表格
| 半軸 a 的長度 | 10 |
| 半軸 b 的長度 | 5 |
| 半軸 c 的長度 | 8 |
| 橢球的體積 | =4/3*PI()*B1*B2*B3 |
求「球的體積」的表格
| 半徑 | 3 |
| 球的體積 | =4/3*PI()*B1^3 |
「cm³ 換算成 L」的表格
| 以 cm³ 表示的體積 | 2000 |
| 以 L 表示的體積 | =B1/1000 |
和 Excel 相同的公式（包括 PI() 函數）可以直接使用。把表格整個複製後貼到 A1 儲存格，再把輸入欄的數值改成自己的長度即可。
用 Python 計算的方法
import math
a = 10 # 半軸 a 的長度（這個例子用公分，是從中心到表面的長度）
b = 5 # 半軸 b 的長度（和 a 同一種單位）
c = 8 # 半軸 c 的長度（和 a、b 同一種單位）
volume = 4 / 3 * math.pi * a * b * c # 橢球的體積（輸入單位的 3 次方，這個例子是 cm3）
volume_l = volume / 1000 # 以公分輸入時，換算成公升的體積
print(f"橢球的體積：{volume} cm3")
print(f"換算成公升：{volume_l} L")
只用標準函式庫就能執行。「math.pi」是圓周率 π，「*」是乘法，「/」是除法的符號。請改寫開頭的 3 個半軸的值再執行。3 個都設成相同的值，就是球的體積（換算成公升是以公分輸入時的例子）。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
橢球的體積
V = (4/3)πabc
V = \dfrac{4}{3}\pi abc
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<mi>a</mi>
<mi>b</mi>
<mi>c</mi>
</mrow>
</math>
V = 4/3 pi a b c
(4/3) Pi a b c
V := (4/3)*Pi*a*b*c;
V = 4/3*pi*a*b*c;
V = (4/3)πabc
球的體積（橢球的特殊情況）
V = (4/3)πr³
V = \dfrac{4}{3}\pi r^{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>3</mn></msup>
</mrow>
</math>
V = 4/3 pi r^3
(4/3) Pi r^3
V := (4/3)*Pi*r^3;
V = 4/3*pi*r^3;
V = (4/3)πr^3
體積的單位換算（cm³ → L）
V[L] = V[cm³] ÷ 1000
V_{\mathrm{L}} = V_{\mathrm{cm^3}} \div 1000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">L</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>3</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>1000</mn>
</mrow>
</math>
V_L = V_(cm^3) -: 1000
vCm3/1000
vL := vCm3/1000;
v_l = v_cm3/1000;
V(L) = V(cm³)/1000
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算，並只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。 有一個半軸長度為 a = 10 公分、b = 5 公分、c = 8 公分的橢球（半軸是從中心到表面的長度）。 請分別求出下面的值。 1. 這個橢球的體積是多少 cm³（V = 4/3 × π × a × b × c） 2. 把這個體積換算成公升（L）是多少 請列出計算用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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相關功能
圓計算機（半徑、直徑、圓周長、面積互相換算）
由半徑等 1 個值，計算橢球截面上出現的「圓」的面積和圓周長
