扇形面積計算機（由半徑和圓心角計算）

請輸入扇形的半徑和圓心角。會計算面積（πr² × 圓心角 ÷ 360），並畫出扇形圖。

單位

半徑 r

圓心角（度）

圓心角（弧度）

圓心角請只填「度」或「弧度」其中一個。請用半形數字、不加單位輸入（半徑用公分輸入，面積就是 cm²；用公尺就是 m²）。

計算結果與圖形

在左邊的輸入欄填入半徑和圓心角（度或弧度其中一個），按下「計算」，結果和扇形圖就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式與圖示
- 扇形的面積（圓心角用度表示時）
- 扇形的面積（圓心角用弧度表示時）
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
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這個頁面可以做什麼

只要輸入半徑和圓心角，就能當場知道扇形的面積（\(\pi r^2 \times\) 圓心角 \(\div\, 360\)）
圓心角可以用「度（°）」或「弧度」輸入（填其中一個欄位）
可以整除時，也會顯示保留圓周率 \(\pi\) 的精確形式（半徑 30、圓心角 90° 時是 \(225\pi\)）
計算結果會和扇形圖一起顯示，整個圓中求的是哪一部分的面積一目了然
淺顯的公式解說，以及可直接複製的 Excel、Google 試算表、Python 寫法，都整理在這個頁面

圓周率用 \(\pi = 3.14159\ldots\) 計算（國小數學用的「3.14」是它的近似值）。請不加單位、只輸入數字。半徑用公分輸入，面積就是 cm²；用公尺就是 m²。

這個計算有什麼用？

比較披薩、整個蛋糕 1 片的大小（食物的等分）

把直徑 30 公分（半徑 15 公分）的披薩切成 8 等分，1 片就是圓心角 \(360^\circ \div 8 = 45^\circ\) 的扇形。面積是 \(\pi \times 15^2 \times \dfrac{45}{360} = \dfrac{225\pi}{8} \approx 88.4\,\mathrm{cm^2}\)。
像「中披薩切 8 片的 1 片，和大披薩切 12 片的 1 片，哪個比較大」這種比較，只要用這個公式算出面積，就能用數字判斷。

估算灑水器的灑水範圍（園藝、農業）

擺動式灑水器會在以水能噴到的距離為半徑、擺動角度為圓心角的扇形範圍內灑水。半徑 10 公尺、轉動 180° 的機型是 \(\pi \times 10^2 \times \dfrac{180}{360} = 50\pi \approx 157.1\,\mathrm{m^2}\)。
和庭院、農田的面積比較，就能在購買前規劃需要的台數和擺放位置（實際的灑水量也會受風和水壓影響，只能當作範圍的參考）。

思考汽車雨刷能刷到的範圍（汽車的設計、保養）

雨刷以刷臂的根部為中心，呈扇形擺動。前端能到的半徑是 60 公分、擺動 90° 的話，掃過範圍的扇形是 \(\pi \times 60^2 \times \dfrac{90}{360} = 900\pi \approx 2827\,\mathrm{cm^2}\)（約 0.28 m²）。
實際能刷到的，是從這裡減去刷片碰不到的內側小扇形後的部分（像年輪蛋糕一樣的形狀），所以要用 2 次這個公式，算「大扇形 − 小扇形」。

算出扇形花圃或廣場的面積（造園、園藝）

路口轉角或建築物前，常會做成扇形的花圃、草坪。半徑 3 公尺、圓心角 120° 的花圃，面積是 \(\pi \times 3^2 \times \dfrac{120}{360} = 3\pi \approx 9.4\,\mathrm{m^2}\)。
草皮、土、磚塊等材料，都是以每單位面積的需要量（每平方公尺幾袋等）販售，知道面積就能估算要買的量。

確認監視攝影機、感應器涵蓋的範圍（防盜、看護）

監視攝影機或人體感應器的規格書上，會寫「視角 90°、偵測距離 8 公尺」這類資訊。把水平方向能涵蓋的範圍看成扇形，就是 \(\pi \times 8^2 \times \dfrac{90}{360} = 16\pi \approx 50.3\,\mathrm{m^2}\)。
和停車場、店內的平面圖疊在一起，就能在安裝前評估有沒有死角、需要幾台（實際拍到的範圍會因障礙物和上下方向的角度而改變）。

公式與圖示

扇形的面積（圓心角用度表示時）

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(S\) \(=\) \(\pi\) \(\times\) \(r\) \(2\) \(\times\) \(\theta\) \(\div\) \(360\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

⑥ 扇形的面積 \(S\) \(=\) ③ 圓周率 \(\pi\) \(\times\) ① 半徑 \(r\) ② 平方（同一個長度乘兩次） \(\times\) ④ 圓心角 \(\theta\)（度） \(\div\) ⑤ 整個圓的角度 \(360^\circ\)

用文字讀公式

① 半徑 \(r\) 先

② 平方（同一個長度乘兩次），再乘以

③ 圓周率 \(\pi\)（約 3.14），先得到整個圓的面積 \(\pi r^2\)。接著乘以

④ 圓心角 \(\theta\)（度），再除以

⑤ 整個圓的角度 \(360^\circ\) （＝乘上圓心角占整個圓的比例），就得到

⑥ 扇形的面積 \(S\) 。

簡單範例

半徑 30 公分、圓心角 90° 的扇形，面積是

扇形的面積 \(S\) \(=\) 圓周率 \(\pi\) \(\times\) 半徑（30 cm）平方 \(\times\) 圓心角（90°） \(\div\) 整個圓的角度（360°）

\(\pi \times 30^2 \times \dfrac{90}{360} = 900\pi \times \dfrac{1}{4} = 225\pi\)

\(225\pi = 225 \times 3.14159\ldots \approx 706.86\,\mathrm{cm^2}\)

思考重點

扇形就是「像切披薩一樣，按圓心角從圓切下的 1 片」。所以面積只要把整個圓的面積 \(\pi r^2\)，乘上「圓心角占整個圓（360°）的比例」\(\left(\dfrac{\theta}{360}\right)\) 就能求出。圓心角 90° 是整個圓的 \(\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}\)，180° 是一半，360° 剛好是整個圓。圓心角是 360° 的因數（90°、60°、45° 等）時，先把 \(\dfrac{\theta}{360}\) 約分再乘，計算會比較輕鬆。

扇形的面積（圓心角用弧度表示時）

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(S\) \(=\) \(\pi\) \(\times\) \(r\) \(2\) \(\times\) \(\theta\) \(\div\) \(2\pi\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

⑥ 扇形的面積 \(S\) \(=\) ③ 圓周率 \(\pi\) \(\times\) ① 半徑 \(r\) ② 平方（同一個長度乘兩次） \(\times\) ④ 圓心角 \(\theta\)（弧度） \(\div\) ⑤ 整個圓的角度 \(2\pi\)

用文字讀公式

① 半徑 \(r\) 先

② 平方（同一個長度乘兩次），再乘以

③ 圓周率 \(\pi\)（約 3.14），先得到整個圓的面積 \(\pi r^2\)。接著乘以

④ 圓心角 \(\theta\)（弧度），再除以

⑤ 整個圓的角度 \(2\pi\)（弧度）（＝乘上圓心角占整個圓的比例），就得到

⑥ 扇形的面積 \(S\) 。

簡單範例

半徑 10 公分、圓心角 1.5708 弧度（約 90°）的扇形，面積是

扇形的面積 \(S\) \(=\) 圓周率 \(\pi\) \(\times\) 半徑（10 cm）平方 \(\times\) 圓心角（1.5708 弧度） \(\div\) 整個圓的角度（\(2\pi\) 弧度）

\(\pi \times 10^2 \times \dfrac{1.5708}{2\pi} = 10^2 \times \dfrac{1.5708}{2}\)

\(100 \times 1.5708 \div 2 = 78.54\,\mathrm{cm^2}\)

思考重點

弧度是高中學到的角度量法（弧度量），\(180^\circ = \pi\) 弧度、\(360^\circ = 2\pi\) 弧度。想法和用度時完全相同，就是把整個圓的面積 \(\pi r^2\)，乘上「圓心角占整個圓（\(2\pi\) 弧度）的比例」。這個式子中，分子的 \(\pi\) 和分母的 \(\pi\) 會約掉，整理後就是高中課本上的 \(S = \dfrac{1}{2} r^2 \theta\)（半徑的平方 × 圓心角 ÷ 2）這個簡單的形式。

扇形的面積用「整個圓的面積 \(\pi r^2\) × 圓心角的比例」求出。圓心角用度表示就 \(\div\,360\)，用弧度表示就 \(\div\,2\pi\)（整理後是 \(S = \dfrac{1}{2} r^2 \theta\)）。半徑用公分輸入，答案就是 cm²。

符號與用語解說

符號

\(S\)	S	常用來表示面積的符號。本頁表示扇形的面積。
\(r\)	r	半徑，取自英文 radius（半徑）的字首，表示從圓心到弧的長度。
\(r^2\)	r 的平方	同一個數 \(r\) 乘兩次的值（\(r \times r\)）。右上角的小 2 是指數，意思是「乘兩次」。
\(\theta\)	theta	常用來表示角的大小的希臘字母。本頁表示扇形的圓心角。
\(\pi\)	pi	圓周率，表示圓周長是直徑的幾倍的數，是 \(3.14159265\ldots\) 無限延續、不循環的小數（無理數）。國小以約 3.14 計算。
\(^\circ\)	度	角度的單位。把圓一圈分成 360 等分，每一份的角是 1°。這是用量角器測量、最常見的角度表示法（度度量）。
\(\mathrm{rad}\)	弧度	高中學到的角度單位（弧度量）。和半徑等長的弧所對的圓心角是 1 弧度，\(180^\circ = \pi\) 弧度（1 弧度 ≈ 57.3°）。

用語

扇形	用 2 條半徑從圓切下、像扇子一樣的形狀，由 2 條半徑和弧圍成。
圓心角	扇形的扇柄部分，也就是在圓心形成的角。表示扇形張開的程度，越大面積和弧也越大。
弧	圓周的一部分，也就是扇形外側彎曲的部分。
圓周率	圓周長 ÷ 直徑的值。不管多大的圓都是相同的值（\(3.14159\ldots\)），符號是 \(\pi\)。
度度量	把圓一圈當作 360° 來量角度的方法，也就是從國小一直使用的「度（°）」的量法。
弧度量	以弧長為基準量角度的方法（單位是弧度），圓一圈是 \(2\pi\) 弧度。在高中數學的三角函數單元開始使用。
比例	表示占整體多少的數。本頁中「圓心角 ÷ 整個圓的角度」，表示扇形占整個圓的比例。

建議先了解的基礎知識

為了能「理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。

比例與分數的乘法（國小五～六年級，10～12 歲）	會用 \(\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}\) 這樣的分數（比例）表示「占整體多少」會分數的約分，以及「數 × 分數」的計算
圓面積（國小六年級，11～12 歲）	知道圓面積用「半徑 × 半徑 × 圓周率（3.14）」求出會讀寫 cm²、m² 這些面積單位
代數式與圓周率 π（國中七年級，12～13 歲）	會把圓周率以符號 \(\pi\) 保留，用 \(225\pi\) 這樣的形式寫答案
平面圖形與扇形（國小六年級，11～12 歲）	了解扇形、圓心角、弧這些用語的意思能想像扇形是「按圓心角的比例從圓切下的形狀」
弧度量（高中，15～18 歲）※只有使用弧度欄時才需要	了解弧度的意思，以及 \(180^\circ = \pi\) 弧度（圓一圈＝\(2\pi\) 弧度）的對應關係

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

求「扇形的面積（圓心角用度表示時）」的表格

半徑	30
圓心角（度）	90
扇形的面積	=PI()B1^2B2/360

求「扇形的面積（圓心角用弧度表示時）」的表格

半徑	10
圓心角（弧度）	1.5708
扇形的面積	=B1^2*B2/2

貼上後，A 欄是項目名稱，B 欄是數值。上面幾列是輸入欄，最後一列的公式會用輸入欄的值自動計算。
公式中的「B1」「B2」意思是「使用該儲存格中的數值」，「*」是乘號，「/」是除號，「^」是次方（乘幾次）的符號。「PI()」是傳回圓周率 π（3.14159…）的函數。
第 1 個表格的 B3 會顯示 π × 30² × 90 ÷ 360＝約 706.86（輸入的是公分，所以單位是 cm²）。第 2 個表格（弧度版是半徑² × 圓心角 ÷ 2）的 B3 會顯示 78.54。只要把輸入欄的數值改成自己的扇形就能使用。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

求「扇形的面積（圓心角用度表示時）」的表格

半徑	30
圓心角（度）	90
扇形的面積	=PI()B1^2B2/360

求「扇形的面積（圓心角用弧度表示時）」的表格

半徑	10
圓心角（弧度）	1.5708
扇形的面積	=B1^2*B2/2

和 Excel 相同的公式（PI() 函數也一樣）可以直接使用。把表格整個複製後貼到 A1 儲存格，再把輸入欄的數值改成自己的扇形即可。

用 Python 計算的方法

import math

radius = 30    # 半徑（本例為 cm）
degrees = 90   # 圓心角（度）

area = math.pi * radius ** 2 * degrees / 360   # 扇形的面積（輸入單位的平方；本例為 cm2）

print(f"扇形的面積：{area} cm2")

# 圓心角用弧度表示時（高中的弧度量）是「半徑的平方 × 圓心角 ÷ 2」
radians = 1.5708
area_by_radians = radius ** 2 * radians / 2
print(f"圓心角 {radians} 弧度時：{area_by_radians} cm2")

只用標準函式庫就能執行。「math.pi」是圓周率 π，「**」是次方（平方），「*」是乘號，「/」是除號。請改寫開頭的半徑和圓心角的值再執行。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

扇形的面積（圓心角用度表示時）

S = πr² × θ ÷ 360

S = \pi r^{2} \times \dfrac{\theta}{360}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>&#x03C0;</mi>
    <msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mfrac><mi>&#x03B8;</mi><mn>360</mn></mfrac>
  </mrow>
</math>

S = pi r^2 xx theta/360

Pi r^2 theta/360

S := Pi*r^2*theta/360;

S = pi*r^2*theta/360;

S = πr^2 × θ/360

扇形的面積（圓心角用弧度表示時）

S = πr² × θ ÷ (2π)

S = \pi r^{2} \times \dfrac{\theta}{2\pi}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>&#x03C0;</mi>
    <msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mfrac><mi>&#x03B8;</mi><mrow><mn>2</mn><mi>&#x03C0;</mi></mrow></mfrac>
  </mrow>
</math>

S = pi r^2 xx theta/(2 pi)

Pi r^2 theta/(2 Pi)

S := Pi*r^2*theta/(2*Pi);

S = pi*r^2*theta/(2*pi);

S = πr^2 × θ/(2π)

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是算術與數學的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算，並只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。

有一個半徑 30 公分、圓心角 90° 的扇形。
請分別求出下列的值：
1. 這個扇形的面積是多少平方公分（用小數表示）
2. 把這個面積用保留圓周率 π 的精確形式表示會是多少

請列出計算用的公式和執行結果的數值。