請輸入圓錐的底面半徑和高。會顯示表面積（底面積 ＋ 側面積），以及明細的底面積、側面積和母線長。
半徑和高請用相同的單位，只輸入 0 以上的數字（不加單位。例如 3 cm 就輸入「3」）。高是從底面到頂點的垂直長度，不是沿著斜面的長度（母線）。
計算結果與圖形
在左邊的輸入欄填入底面半徑和高，按下「計算」，結果和可以用滑鼠旋轉的 3D 圖形就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入底面半徑和高，就能當場求出圓錐的表面積（表面積 ＝ 底面積 \(\pi r^2\) ＋ 側面積 \(\pi r l\)）
- 同時顯示明細的底面積、側面積，以及母線長 \(l = \sqrt{r^2 + h^2}\)
- 計算結果也會用 3D 圖形顯示，可以用滑鼠旋轉一圈，親眼確認每個長度對應哪個尺寸
- 淺顯易懂地解說「為什麼側面積是 \(\pi r l\)」，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面
半徑和高請用相同的單位輸入（cm 就都用 cm，m 就都用 m）。本頁處理的是頂點在底面圓心正上方的「直圓錐」，計算包含底面圓在內的封閉表面積。圓錐的體積（內部的量）請使用另一個頁面「圓錐體積計算機」。
這個計算有什麼用？
估算尖帽子、勞作需要的紙量（學校、派對）
派對的尖帽子或勞作的圓錐，是只有側面的「沒有底的圓錐」，所以需要的紙張面積可以用側面積 \(\pi r l\) 估算。帽緣半徑 8 cm、高 20 cm 的帽子，母線是 \(\sqrt{8^2 + 20^2} \approx 21.5\,\mathrm{cm}\)，側面積是 \(\pi \times 8 \times 21.5 \approx 540\,\mathrm{cm^2}\)。
還要加上黏貼和裁切的餘量，所以實際上要準備多一點紙。「動手前就知道需要多少材料」正是這個公式方便的地方。
尖屋頂的屋面材料用量（建築）
城堡塔樓、涼亭、穀倉等圓錐形的屋頂，會用側面積估算屋面材料（金屬板或屋瓦）的用量。底面半徑 3 m、高 2 m 的屋頂，母線是 \(\sqrt{3^2 + 2^2} \approx 3.61\,\mathrm{m}\)，側面積是 \(\pi \times 3 \times 3.61 \approx 34\,\mathrm{m^2}\)。
實際施工會有搭接（材料互相重疊的部分）和邊角料，所以會在這個計算值上再加成後訂購。這個公式就是估價的基礎。
單柱帳篷的布料用量（戶外）
在正中央立一根營柱的圓錐形帳篷，側面的布料大致對應側面積，地布對應底面積。下緣半徑 2 m、高 2.5 m 的話，側面布料約 \(20\,\mathrm{m^2}\)，地布是 \(\pi \times 2^2 \approx 12.6\,\mathrm{m^2}\)，合計約 \(33\,\mathrm{m^2}\)。
實物會因縫份、出入口的形狀等增減，所以只是概算，但可以用來估計「布料大約多重」「一罐防水噴霧夠不夠」。
估算零件電鍍、塗裝的費用（製造業）
金屬零件的電鍍或塗裝，藥劑、塗料的用量幾乎由表面積決定，所以加工費的估價從表面積的計算開始。半徑 2 cm、高 5 cm 的圓錐形零件，表面積是 \(\pi \times 2 \times (2 + \sqrt{2^2 + 5^2}) \approx 46\,\mathrm{cm^2}\)。
由圓柱和圓錐組合而成的零件，會依部位用這類公式算出表面積再加總，計算處理費用和塗料用量。
冰淇淋甜筒的餅皮、包裝紙大小（食品）
冰淇淋甜筒是圓錐形的代表。杯口半徑 3 cm、深 10 cm 的甜筒，母線是 \(\sqrt{3^2 + 10^2} \approx 10.4\,\mathrm{cm}\)，側面積是 \(\pi \times 3 \times 10.4 \approx 98\,\mathrm{cm^2}\)。
烤甜筒的餅皮面積、包在甜筒外的包裝紙大小，都可以用這個側面積當參考。如果也知道展開後是扇形，還能實際做出紙型。
公式與圖示
圓錐的表面積（底面積＋側面積）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(S\)
\(=\)
\(\pi r^{2}\)
\(+\)
\(\pi r l\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
圓錐的表面積 \(S\)
\(=\)
①
底面積 \(\pi r^2\)
\(+\)
②
側面積 \(\pi r l\)
用文字讀公式
①
底面積 \(\pi r^2\)
（底面圓的面積）加上
②
側面積 \(\pi r l\)
（旁邊斜面的面積），就得到
③
圓錐的表面積 \(S\)
簡單範例
底面半徑 3 cm、高 4 cm 的圓錐（母線長 5 cm，求法見下一個公式），表面積是
圓錐的表面積 \(S\)
\(=\)
底面積（9π cm²）
\(+\)
側面積（15π cm²）
\(\pi \times 3^{2} + \pi \times 3 \times 5 = 9\pi + 15\pi = 24\pi\)
\(24\pi \approx 24 \times 3.14 = 75.36\,\mathrm{cm^2}\)
思考重點
表面積是立體外側所有面的面積。用剪刀把圓錐剪開、攤平（展開），會分成底面的圓和側面的扇形這 2 片。這 2 片面積的總和就是表面積。
式子裡的 \(l\) 是母線，也就是從頂點沿著斜面筆直量到底面邊緣的長度，和垂直量的高 \(h\) 不一樣。另外，答案的單位是面積，所以是 cm²（平方公分），請注意不要和體積的 cm³ 混淆。
母線長（用畢氏定理求）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(l\)
\(=\)
\(\sqrt{r^{2} + h^{2}}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
②
母線 \(l\)
\(=\)
①
平方根 \(\sqrt{r^2 + h^2}\)
用文字讀公式
①
計算
平方根 \(\sqrt{r^2 + h^2}\)
（把半徑和高各自平方後相加，再開平方根），就得到
②
母線 \(l\)
簡單範例
底面半徑 3 cm、高 4 cm 的圓錐，母線長是
母線 \(l\)
\(=\)
平方根 \(\sqrt{3^2 + 4^2}\)
\(l = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\,\mathrm{cm}\)
思考重點
母線是從頂點沿著斜面筆直連到底面邊緣的線段。把圓錐從正中間縱向切成兩半，「高 \(h\)（垂直）」「底面半徑 \(r\)（水平）」「母線 \(l\)（斜的）」剛好是直角三角形的三邊，所以斜邊的母線可以用畢氏定理求出。
本計算機是輸入半徑和高的方式，所以內部會先用這個公式求出母線。如果題目一開始就給了母線長（國中題目常見的形式），就不需要這一步，可以直接進入下一個側面積的公式。
側面積（展開後是扇形）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(\pi r l\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{2}\)
\(\times\)
\(2\pi r\)
\(\times\)
\(l\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
側面積 \(\pi r l\)
\(=\)
③
二分之一 \(\dfrac{1}{2}\)
\(\times\)
①
弧長 \(2\pi r\)
\(\times\)
②
扇形的半徑＝母線 \(l\)
用文字讀公式
①
弧長 \(2\pi r\)
（＝底面圓周長）乘以
②
扇形的半徑＝母線 \(l\)
，再
③
乘以
二分之一 \(\dfrac{1}{2}\)
（除以 2），就得到
④
側面積 \(\pi r l\)
簡單範例
底面半徑 3 cm、母線 5 cm 的圓錐，側面積是
側面積
\(=\)
二分之一 \(\dfrac{1}{2}\)
\(\times\)
弧長（2π × 3 ＝ 6π cm）
\(\times\)
母線（5 cm）
\(\dfrac{1}{2} \times 2\pi \times 3 \times 5 = \dfrac{1}{2} \times 30\pi = 15\pi\)
\(15\pi \approx 15 \times 3.14 = 47.1\,\mathrm{cm^2}\)
思考重點
把圓錐的側面剪開，會變成「半徑是母線 \(l\) 的扇形」。而扇形的弧（曲線部分）長度，和底面圓周長 \(2\pi r\) 剛好相同，因為剪開之前，側面的下緣正好繞底面邊緣一圈貼在一起。
扇形面積可以用「\(\dfrac{1}{2}\) × 弧長 × 半徑」求出，所以是 \(\dfrac{1}{2} \times 2\pi r \times l = \pi r l\)。不用求圓心角就能算出側面積，非常方便。記成「側面積 ＝ π × 半徑 × 母線」吧。
由半徑和高一次求出的公式（本計算機使用的公式）
數學寫法
（一般的數學式）
\(S\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(\times\)
\((\)
\(r\)
\(+\)
\(\sqrt{r^{2} + h^{2}}\)
\()\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑤
圓錐的表面積 \(S\)
\(=\)
①
圓周率 \(\pi\)（約 3.14）
\(\times\)
②
底面半徑 \(r\)
\(\times\)
\((\)
③
底面半徑 \(r\)
\(+\)
④
母線 \(l = \sqrt{r^2 + h^2}\)
\()\)
用文字讀公式
①
圓周率 \(\pi\)（約 3.14）
乘以
②
底面半徑 \(r\)
，再乘以
③
底面半徑 \(r\)
和
④
母線 \(l = \sqrt{r^2 + h^2}\)
的和，就得到
⑤
圓錐的表面積 \(S\)
簡單範例
用這個公式一次求出底面半徑 3 cm、高 4 cm 的圓錐表面積，是
圓錐的表面積 \(S\)
\(=\)
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
半徑（3 cm）
\(\times\)
\((\)
半徑（3 cm）
\(+\)
母線（√(3² + 4²) ＝ 5 cm）
\()\)
\(S = \pi \times 3 \times \left( 3 + \sqrt{3^{2} + 4^{2}} \right)\)
\(= \pi \times 3 \times (3 + 5) = 24\pi\)
\(24\pi \approx 24 \times 3.14 = 75.36\,\mathrm{cm^2}\)
思考重點
把第 1 個公式（底面積 ＋ 側面積）的 \(\pi r^2 + \pi r l\) 提出共同的 \(\pi r\)，就是這個形式（\(\pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)\)）。母線 \(l\) 的位置直接放入第 2 個公式的 \(\sqrt{r^2 + h^2}\)，所以不必先求母線，只用半徑和高兩個值就能一次算出表面積。本計算機也是用這個公式計算。
圓錐的表面積用「底面積 \(\pi r^2\) ＋ 側面積 \(\pi r l\)」求出。不知道母線 \(l\) 時，可以用畢氏定理求出 \(l = \sqrt{r^2 + h^2}\)。整合起來就是 \(S = \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2})\)，只用半徑和高兩個值就能計算。答案的單位是長度的平方（用 cm 輸入就是 cm²）。
符號與用語解說
符號
| \(S\) | S | 常用來表示面積的符號，源自英文 surface（表面）或 square（平方、面積）。本頁用來表示圓錐的表面積。 |
| \(r\) | r | 底面圓的半徑，取自英文 radius（半徑）的字首。是圓心到邊緣的長度，等於直徑的一半。 |
| \(h\) | h | 圓錐的高，取自英文 height（高度）的字首。是從底面到頂點垂直量出的長度，要和沿著斜面的長度（母線）區分。 |
| \(l\) | l | 圓錐的母線長。常用來表示斜線（line）的字母。是從頂點沿著斜面量到底面邊緣的長度，用 \(l = \sqrt{r^2 + h^2}\) 求出。 |
| \(r^2\) | r 的平方 | 同一個數 \(r\) 乘 2 次的值（\(r \times r\)）。右上角的小 2 是指數，意思是「乘 2 次」。 |
| \(\pi\) | pi | 圓周率。表示圓周長是直徑幾倍的數，是 \(3.14159\ldots\) 無限延續下去的小數。國小用 3.14 計算，國中開始用字母 \(\pi\) 直接留在式子裡。 |
| \(\sqrt{\phantom{x}}\) | 根號 | 表示平方根的符號。\(\sqrt{25}\) 是「平方後等於 25 的正數」，也就是 5。也可能像 \(\sqrt{2}\) 這樣是除不盡的數（約 1.414）。 |
| \(\mathrm{cm^2}\) | 平方公分 | 面積的單位。邊長 1 cm 的正方形面積是 1 cm²，讀作「平方公分」，要和體積的 cm³（立方公分）區分。 |
| \(\mathrm{m^2}\) | 平方公尺 | 面積的單位。邊長 1 m 的正方形面積是 1 m²，且 \(1\,\mathrm{m^2} = 100 \times 100 = 10000\,\mathrm{cm^2}\)（請注意不是 100 倍）。 |
用語
| 圓錐 | 底面是圓，從底面朝一個頂點平滑地變細的立體。冰淇淋甜筒、尖帽子、交通錐（三角錐）等都是圓錐的形狀。 |
| 直圓錐 | 頂點在底面圓心正上方的圓錐。國中課本裡的圓錐通常就是指它，本計算機也是處理直圓錐。頂點不在圓心正上方的圓錐叫做「斜圓錐」。 |
| 表面積 | 立體外側所有面的面積。圓錐的表面積是底面（圓）和側面（扇形）的面積總和。考慮油漆用量、包裝紙大小等「蓋住表面需要多少」時會用到。 |
| 底面積 | 立體底部的面的面積。圓錐的底面是圓，所以底面積用圓面積公式算出，是 \(\pi r^2\)。 |
| 側面積 | 立體旁邊的面（側面）的面積。圓錐的側面展開後是扇形，面積用 \(\pi r l\)（π × 半徑 × 母線）求出。 |
| 母線 | 從頂點沿著斜面筆直連到底面圓周的線段。長度可以用畢氏定理求出：\(\sqrt{r^2 + h^2}\)。很容易和高混淆，請注意。 |
| 展開圖 | 把立體用剪刀剪開、攤在平面上的圖。圓錐的展開圖是「底面的圓」和「側面的扇形」這 2 片。表面積和展開圖的面積總和相同。 |
| 扇形 | 用 2 條半徑從圓切下來、像扇子一樣的形狀。圓錐的側面展開後，是半徑為母線 \(l\) 的扇形。 |
| 弧 | 扇形的曲線部分（圓周的一部分）。圓錐側面展開成的扇形，弧長和底面圓周長 \(2\pi r\) 剛好相等。 |
| 畢氏定理 | 直角三角形中「斜邊的平方 ＝ 兩股的平方和」成立的定理（也叫勾股定理）。圓錐的半徑、高、母線組成直角三角形，所以母線長可以用 \(\sqrt{r^2 + h^2}\) 求出。 |
| 圓周率 | 表示圓周長是直徑幾倍的數（約 3.14）。圓、圓錐、圓柱這些和「圓」有關的圖形計算，一定會用到它。 |
建議先了解的基礎知識
為了讓您「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了事先了解會更好懂的基礎知識。
| 圓周長與圓面積（國小高年級，10～12 歲） |
|
| 立體圖形與展開圖（國中九年級，14～15 歲） |
|
| 文字符號與圓周率 π（國中，12～15 歲） |
|
| 平方根與畢氏定理（國中八年級，13～14 歲） |
|
| 小數的乘法（國小五年級，10～11 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「圓錐的表面積（底面積＋側面積）」的表格
| 底面半徑 | 3 |
| 高 | 4 |
| 底面積 | =PI()*B1^2 |
| 側面積 | =PI()*B1*SQRT(B1^2+B2^2) |
| 圓錐的表面積（底面積＋側面積） | =B3+B4 |
求「母線長」的表格
| 底面半徑 | 3 |
| 高 | 4 |
| 母線長 | =SQRT(B1^2+B2^2) |
求「側面積」的表格（已知半徑和母線時）
| 底面半徑 | 3 |
| 母線長 | 5 |
| 側面積 | =PI()*B1*B2 |
「由半徑和高一次求出表面積」的表格
| 底面半徑 | 3 |
| 高 | 4 |
| 圓錐的表面積 | =PI()*B1*(B1+SQRT(B1^2+B2^2)) |
貼上後，A 欄是項目名稱，B 欄是數值。上方的列是輸入欄，下方列的公式會用輸入欄的值自動計算。
公式裡的「B1」「B2」意思是「使用該儲存格裡的數值」，「PI()」是圓周率（3.14159…），「SQRT()」是平方根，「^」是乘方（乘幾次），「*」是乘號。
例如第一個表格的 B3 會顯示約 28.27（底面積），B4 約 47.12（側面積），B5 約 75.40（表面積）（因為用 cm 輸入，所以是 cm²）。第二個表格的 B3 是 5，第三個表格的 B3 約 47.12，第四個表格的 B3 約 75.40。只要把輸入欄的數值改成您自己的圓錐尺寸即可使用。
公式裡的「B1」「B2」意思是「使用該儲存格裡的數值」，「PI()」是圓周率（3.14159…），「SQRT()」是平方根，「^」是乘方（乘幾次），「*」是乘號。
例如第一個表格的 B3 會顯示約 28.27（底面積），B4 約 47.12（側面積），B5 約 75.40（表面積）（因為用 cm 輸入，所以是 cm²）。第二個表格的 B3 是 5，第三個表格的 B3 約 47.12，第四個表格的 B3 約 75.40。只要把輸入欄的數值改成您自己的圓錐尺寸即可使用。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「圓錐的表面積（底面積＋側面積）」的表格
| 底面半徑 | 3 |
| 高 | 4 |
| 底面積 | =PI()*B1^2 |
| 側面積 | =PI()*B1*SQRT(B1^2+B2^2) |
| 圓錐的表面積（底面積＋側面積） | =B3+B4 |
求「母線長」的表格
| 底面半徑 | 3 |
| 高 | 4 |
| 母線長 | =SQRT(B1^2+B2^2) |
求「側面積」的表格（已知半徑和母線時）
| 底面半徑 | 3 |
| 母線長 | 5 |
| 側面積 | =PI()*B1*B2 |
「由半徑和高一次求出表面積」的表格
| 底面半徑 | 3 |
| 高 | 4 |
| 圓錐的表面積 | =PI()*B1*(B1+SQRT(B1^2+B2^2)) |
和 Excel 相同的公式（包含 PI() 函數和 SQRT() 函數）可以直接使用。把表格整個複製貼到 A1 儲存格，再把輸入欄的數值改成您自己的圓錐尺寸即可。
用 Python 計算的方法
import math
radius = 3 # 底面半徑（這個例子是 cm）
height = 4 # 高（和半徑用相同的單位）
slant = math.sqrt(radius ** 2 + height ** 2) # 母線長（畢氏定理）
base_area = math.pi * radius ** 2 # 底面積（底面圓的面積）
lateral_area = math.pi * radius * slant # 側面積（π × 半徑 × 母線）
total_area = base_area + lateral_area # 表面積（底面積 ＋ 側面積）
print(f"母線長：{slant} cm")
print(f"底面積：{base_area} cm2")
print(f"側面積：{lateral_area} cm2")
print(f"圓錐的表面積：{total_area} cm2")
只用標準函式庫就能執行。「math.sqrt()」是平方根，「math.pi」是圓周率（3.14159…），「**」是乘方（radius ** 2 就是半徑的平方），「*」是乘號。請改寫開頭的半徑和高後執行（用 cm 輸入答案是 cm²，用 m 輸入就是 m²）。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
圓錐的表面積（底面積＋側面積）
S = πr² + πrl
S = \pi r^{2} + \pi r l
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<mi>π</mi>
<mi>r</mi>
<mi>l</mi>
</mrow>
</math>
S = pi r^2 + pi r l
Pi*r^2 + Pi*r*l
S := Pi*r^2 + Pi*r*l;
S = pi*r^2 + pi*r*l;
S = πr^2 + πrl
母線長（用畢氏定理求）
l = √(r² + h²)
l = \sqrt{r^{2} + h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>l</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
l = sqrt(r^2 + h^2)
Sqrt[r^2 + h^2]
l := sqrt(r^2 + h^2);
l = sqrt(r^2 + h^2);
l = √(r^2 + h^2)
側面積（展開後是扇形）
πrl = 1/2 × 2πr × l
\pi r l = \frac{1}{2} \times 2\pi r \times l
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>π</mi><mi>r</mi><mi>l</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
<mo>×</mo>
<mn>2</mn><mi>π</mi><mi>r</mi>
<mo>×</mo>
<mi>l</mi>
</mrow>
</math>
pi r l = 1/2 xx 2 pi r xx l
Pi*r*l == (1/2)*(2*Pi*r)*l
Pi*r*l = (1/2)*(2*Pi*r)*l;
pi*r*l == (1/2)*(2*pi*r)*l
πrl = (1/2)(2πr)l
由半徑和高一次求出的公式（本計算機使用的公式）
S = πr(r + √(r² + h²))
S = \pi r \left( r + \sqrt{r^{2} + h^{2}} \right)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<mi>r</mi>
<mo>(</mo>
<mi>r</mi>
<mo>+</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
S = pi r (r + sqrt(r^2 + h^2))
Pi*r*(r + Sqrt[r^2 + h^2])
S := Pi*r*(r + sqrt(r^2 + h^2));
S = pi*r*(r + sqrt(r^2 + h^2));
S = πr(r + √(r^2 + h^2))
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並且只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。 有一個底面半徑 3 cm、高 4 cm 的圓錐（頂點在底面圓心正上方的直圓錐）。 請分別求出： 1. 母線長（l = √(半徑² ＋ 高²)） 2. 底面積（πr²） 3. 側面積（π × 半徑 × 母線） 4. 圓錐的表面積（底面積 ＋ 側面積） 請列出使用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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相關功能
圓錐體積計算機（由半徑和高計算）
計算同一個圓錐「內部的量」＝體積（1/3 × π × 半徑² × 高）
扇形面積計算機（由半徑和圓心角計算）
圓錐的側面展開後是扇形。可以計算扇形的面積、弧長、圓心角
