常態分布機率計算機（常態分配、範圍機率、z 分數）

請輸入平均數、標準差，以及想知道的範圍的下限與上限。會算出落在範圍內的機率，以及信賴區間一覽表。

平均數 μ

標準差 σ

範圍的下限

範圍的上限

不指定下限時請輸入「-inf」，不指定上限時請輸入「inf」（代表負無限大與正無限大）。

計算結果與圖表

在左側輸入欄輸入平均數、標準差與範圍，按下「計算」，結果就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式與圖表
- 落在範圍內的機率（使用累積分布函數 \(\Phi\)）
- 常態分布曲線的式子（機率密度函數）
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
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這個頁面可以做什麼

只要輸入「平均數 \(\mu\)」與「分散程度（標準差 \(\sigma\)）」，馬上就能知道值落在指定範圍內的機率
也會一起算出某個值以上（或以下）的機率，例如「80 分以上是前百分之幾？」
同時顯示統計上常用的信賴區間（全體的 95% 所在的範圍等）一覽表
這個頁面還整理了常態分布的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 使用的公式

適用於資料的分散情形接近常態分布（以平均數為中心、左右對稱的鐘形分布）的情況。考試分數、身高、產品重量的變異等，生活中許多資料都接近這個形狀。

這個計算有什麼用？

正確理解標準分數與百分等級（考試、測驗）

心理測驗或教育評量常用的 T 分數，是把分數換算成「平均數為 50、1 個標準差為 10」。在常態分布中，平均數 \(+1\sigma\) 以上（T 分數 60 以上）約占全體的 16%，\(+2\sigma\) 以上（T 分數 70 以上）只有約 2.3%。
了解這個對應之後，考試成績單上的百分等級（PR 值，表示贏過百分之多少的人）是怎麼來的，就能用數字而不是憑感覺來解讀。

冷靜解讀健康檢查的「參考值範圍」（醫療）

抽血檢查等的「參考值範圍」，常是依健康的人測量值的分布，取中間 95% 所在的範圍（大約是平均數 \(\pm 2\sigma\)）來訂定。
也就是說，不論哪個檢驗項目，健康的人中約有 5%（20 人中有 1 人）會超出參考值範圍。檢查項目很多時，健康的人有一兩項被標示出來其實很常見。了解這一點，就能明白「稍微超出範圍」不一定代表「身體有問題」，也能冷靜聽醫師的說明。特別適合容易為檢查結果擔心的人。

工廠的品質規格：估計會有多少產品不合規格

產品重量或尺寸的變異接近常態分布。例如「內容量平均 102 g、標準差 1 g，規格下限 100 g」，低於規格的就是 \(-2\sigma\) 以外的部分，估計約 2.3%。
工廠會用這個計算預測不良率，並決定平均數要設在哪裡（也就是要多裝多少），在客訴與成本之間取得平衡。

網站與 App 的 A/B 測試判斷（行銷）

比較設計 A 和設計 B 哪一個點擊率比較高時，會用常態分布（信賴區間）判斷「這個差異是偶然的範圍，還是真正的差異」。
結果中信賴區間一覽表的「0.95」那一列，正是實務上最常用的「95% 信賴區間」。在廣告預算這種動用大筆金錢的決策背後，每天都在使用這個計算。

保險制度的數學基礎（保險精算）

稱為精算師的專業人員，會用機率估計理賠的風險，據此訂定保費。
單一的事故雖然無法預測，但許多保戶的總和會接近常態分布（中央極限定理），所以整體的理賠金額可以預測得出奇準確。我們能用合理的保費得到很大的保障，就是多虧了這個數學。

公式與圖表

落在範圍內的機率（使用累積分布函數 \(\Phi\)）

圖表

數學寫法（一般的數學式）

\(P(a \le X \le b)\) \(=\) \(\Phi\!\left(\dfrac{b-\mu}{\sigma}\right)\) \(-\) \(\Phi\!\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma}\right)\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ 落在 \(a\)～\(b\) 範圍內的機率 \(=\) ① 上限 \(b\) 以下的比例 \(-\) ② 下限 \(a\) 以下的比例

用文字讀公式

① 用累積分布函數 \(\Phi\)（phi）求出上限 \(b\) 以下的比例（\(\Phi\) 括號裡的是 \(z\) 分數，也就是「離平均數 \(\mu\) 的差距除以標準差 \(\sigma\)」），

② 同樣求出下限 \(a\) 以下的比例，兩者相減，

③ 就得到落在 \(a\)～\(b\) 範圍內的機率。

簡單範例

平均 62 分、標準差 14 分的考試，分數在 50 分到 80 分之間的比例是

落在 50～80 分的機率 \(=\) 80 分以下的比例 \(\Phi((80-62)/14)\) \(-\) 50 分以下的比例 \(\Phi((50-62)/14)\)

\(\Phi(1.29) - \Phi(-0.86) \approx 0.90 - 0.20 = 0.70\ \ (70\%)\)

思考重點

把「離平均數 \(\mu\) 的差距除以標準差 \(\sigma\)」稱為標準化（換算成 \(z\) 分數）。不論常態分布的平均數和標準差是多少，只要改寫成 \(z = (x - \mu) \div \sigma\)，就能用平均數 0、標準差 1 的標準常態分布（共同的量尺）求出機率。本計算機內部也是先做這個換算再計算。心理測驗、教育評量常用的 T 分數也是同樣的概念：\(T = 50 + 10 \times z\)。

常態分布曲線的式子（機率密度函數）

圖表

數學寫法（一般的數學式）

\(f(x)\) \(=\) \(\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\) \(\times\) \(e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ 曲線在 \(x\) 的高度 \(f(x)\) \(=\) ② 調整高度的係數（讓面積總和為 1） \(\times\) ① 離平均數越遠就越小的部分

用文字讀公式

① 離平均數越遠就越小的部分，在 \(x\) 離平均數 \(\mu\) 越遠時急速變小，形成鐘形；

② 調整高度的係數（讓面積總和為 1）把曲線下方的面積調整成剛好 1，

③ 兩者合起來就決定了曲線在 \(x\) 的高度 \(f(x)\) （曲線與橫軸所圍成的面積代表機率）。

簡單範例

這個式子幾乎不會直接用手算，一般會像第 1 個公式那樣換算成 \(z\) 分數來求，或使用本頁的計算機或 Excel。

思考重點

在常態分布中，平均數 \(\pm 1\sigma\)（1 個標準差）內約有 68.3% 的資料，\(\pm 2\sigma\) 內約有 95.4%，\(\pm 3\sigma\) 內約有 99.7%（68–95–99.7 規則，也稱為經驗法則）。例如平均 62 分、標準差 14 分，約有 68% 的人落在 48～76 分之間。記住這個參考標準，就能直覺地掌握曲線形狀與機率的對應。

常態分布機率計算的訣竅是：不論資料的平均數和標準差是多少，只要換算成「離平均數有幾個標準差」（\(z\) 分數），就能用共同的量尺求出機率。

符號與用語解說

符號

\(\mu\)	mu	平均數，也就是分布高峰中心的位置。是希臘字母，相當於英文的 m。
\(\sigma\)	sigma	標準差，代表資料分散程度的大小，決定高峰的寬度。數值越大，高峰越低越寬。是希臘字母，相當於英文的 s。
\(X\)	X（隨機變數）	表示考試分數、身高這類「每次測量時值都可能不同的量」的文字。
\(\Phi\)	大寫 phi	標準常態分布（平均數 0、標準差 1）的累積分布函數，傳回「小於或等於該值的機率」。
\(z\)	z（z 分數）	表示某個值離平均數有幾個標準差的數，用 \(z = (x - \mu) \div \sigma\) 求出。
\(e\)	e（自然對數的底數）	約 2.71828…的常數，是指數函數的基礎、很特別的數。
\(\pi\)	pi（圓周率）	約 3.14159…的常數。在常態分布的式子中，是為了讓曲線下方的面積總和剛好等於 1 而出現。

用語

常態分布	以平均數為中心、左右對稱呈鐘形分散的分布，也常稱為常態分配。資料中「接近平均的值最常出現，離平均越遠越少見」的情形，例如身高、考試分數、產品重量的變異，都用它當作模型。
標準差	用一個數表示資料分散程度的大小。即使平均數相同，資料也可能分散得大或小；標準差越大，分布的高峰越低越寬。
標準化	把值換算成「離平均數有幾個標準差」（z 分數）。任何常態分布經過標準化後，都能用平均數 0、標準差 1 的標準常態分布來處理。T 分數也是同樣的概念：\(T = 50 + 10 \times z\)。
累積分布函數	傳回「小於或等於該值的機率」的函數。標準常態分布的累積分布函數用符號 \(\Phi\)（phi）表示，落在範圍內的機率是用「上限的 \(\Phi\)」減去「下限的 \(\Phi\)」求出。
機率密度函數	表示分布曲線本身的式子。曲線的高度不是機率，而是「機率密度」；曲線與橫軸在某範圍所圍成的面積，代表的就是機率。常態分布的機率密度函數是鐘形曲線。
信賴區間	結果中顯示的一覽表，是以平均數為中心、分布全體的 ○% 所在的範圍（\(\mu \pm z \times \sigma\)）與倍數 \(z\) 的對照表。嚴格來說，統計學上的「95% 信賴區間」是由樣本資料推估真正的值（例如母體平均數）所在的範圍；但假設為常態分布時，使用的是相同的 \(z\)（95% 時為 1.96），所以這張表的 \(z\) 值可以直接使用。常用於計算民調或檢驗結果的「誤差範圍」。
68–95–99.7 規則	記住會很方便的參考標準（也稱為經驗法則）：在常態分布中，平均數 \(\pm 1\sigma\) 內約有 68.3%、\(\pm 2\sigma\) 內約有 95.4%、\(\pm 3\sigma\) 內約有 99.7% 的資料。
中央極限定理	由許多小小的偶然累積而成的量（總和或平均），不論原本的分布是什麼，都會接近常態分布的數學性質。這就是生活中許多資料都接近常態分布的背後原因。

建議先了解的基礎知識

為了讓您「真正理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議事先理解的基礎知識。

平均數（國小高年級、國中七年級）	知道把資料全部加起來再除以個數，就能求出平均數知道平均數是代表「分布中心附近」的值
數據分析與標準差（高一「一維數據分析」，15～16 歲）	知道即使平均數相同，也有「分散大的資料」和「分散小的資料」知道標準差是用一個數表示分散程度大小的指標
比例與面積的看法（國小五年級～國中）	能把圖形的面積大小看成「占全體的比例」能從直方圖（柱狀的統計圖）讀出分布的形狀
標準化與 z 分數（高中選修數學，17～18 歲）	知道用「離平均數有幾個標準差」，就能比較單位不同的資料知道 T 分數就是用這個概念算出來的（\(T = 50 + 10 \times z\)）

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

求「落在範圍內的機率」的表格

平均數 μ	62
標準差 σ	14
範圍的下限	50
範圍的上限	80
介於下限與上限之間的機率	=NORM.DIST(B4,B1,B2,TRUE)-NORM.DIST(B3,B1,B2,TRUE)

求「某個值以上的機率（前百分之幾）」的表格

平均數 μ	62
標準差 σ	14
想知道這個值以上的比例	80
該值以上的機率	=1-NORM.DIST(B3,B1,B2,TRUE)

求「某個位置的曲線高度（機率密度）」的表格

平均數 μ	62
標準差 σ	14
想知道高度的位置 x	80
該位置的曲線高度	=NORM.DIST(B3,B1,B2,FALSE)

NORM.DIST 是常態分布的函數，NORM.DIST（x，平均數，標準差，TRUE）會傳回「小於或等於 x 的機率」。
「落在範圍內的機率」是用「上限以下的機率」減去「下限以下的機率」求出。
把最後一個引數改成 FALSE，傳回的就不是機率，而是該位置的曲線高度（機率密度函數的值）。
貼上後，B 欄是輸入欄，最後一列的公式會自動計算。第 1 個表格會顯示約 0.70（約 70%），第 2 個表格會顯示約 0.10（約 10%，也就是前 10% 左右）。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

求「落在範圍內的機率」的表格

平均數 μ	62
標準差 σ	14
範圍的下限	50
範圍的上限	80
介於下限與上限之間的機率	=NORMDIST(B4,B1,B2,TRUE)-NORMDIST(B3,B1,B2,TRUE)

求「某個值以上的機率（前百分之幾）」的表格

平均數 μ	62
標準差 σ	14
想知道這個值以上的比例	80
該值以上的機率	=1-NORMDIST(B3,B1,B2,TRUE)

求「某個位置的曲線高度（機率密度）」的表格

平均數 μ	62
標準差 σ	14
想知道高度的位置 x	80
該位置的曲線高度	=NORMDIST(B3,B1,B2,FALSE)

在 Google 試算表中使用 NORMDIST 函數（作用和 Excel 的 NORM.DIST 相同）。
NORMDIST（x，平均數，標準差，TRUE）會傳回「小於或等於 x 的機率」，所以用上限的值減去下限的值，就是落在範圍內的機率。
把最後一個引數改成 FALSE，傳回的就不是機率，而是該位置的曲線高度（機率密度）。

用 Python 計算的方法

from statistics import NormalDist

mean = 62               # 平均數
standard_deviation = 14 # 標準差
lower_bound = 50        # 範圍的下限
upper_bound = 80        # 範圍的上限

distribution = NormalDist(mean, standard_deviation)
p_between = distribution.cdf(upper_bound) - distribution.cdf(lower_bound)

print(f"介於 {lower_bound} 與 {upper_bound} 之間的機率：{p_between}")

Python 3.8 以後，只用標準函式庫的 statistics 就能計算（不必另外安裝）。cdf(x) 會傳回「小於或等於 x 的機率」，所以用上限的值減去下限的值。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

落在範圍內的機率（使用累積分布函數 \(\Phi\)）

P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b − μ)/σ) − Φ((a − μ)/σ)

P(a \le X \le b) = \Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>&#x2264;</mo><mi>X</mi><mo>&#x2264;</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mi>&#x3A6;</mi>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mfrac><mrow><mi>b</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x3BC;</mi></mrow><mi>&#x3C3;</mi></mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>&#x3A6;</mi>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x3BC;</mi></mrow><mi>&#x3C3;</mi></mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
  </mrow>
</math>

P(a <= X <= b) = Phi((b - mu)/sigma) - Phi((a - mu)/sigma)

CDF[NormalDistribution[mu, sigma], b] - CDF[NormalDistribution[mu, sigma], a]

with(Statistics): CDF(RandomVariable(Normal(mu, sigma)), b) - CDF(RandomVariable(Normal(mu, sigma)), a);

p = normcdf(b, mu, sigma) - normcdf(a, mu, sigma);

P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b-μ)/σ) - Φ((a-μ)/σ)

常態分布曲線的式子（機率密度函數）

f(x) = 1/(σ√(2π)) · e^(−(x − μ)²/(2σ²))

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mn>1</mn>
      <mrow><mi>&#x3C3;</mi><msqrt><mrow><mn>2</mn><mi>&#x3C0;</mi></mrow></msqrt></mrow>
    </mfrac>
    <msup>
      <mi>e</mi>
      <mrow>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <mfrac>
          <msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x3BC;</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
          <mrow><mn>2</mn><msup><mi>&#x3C3;</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
        </mfrac>
      </mrow>
    </msup>
  </mrow>
</math>

f(x) = 1/(sigma sqrt(2 pi)) e^(-(x - mu)^2 / (2 sigma^2))

PDF[NormalDistribution[mu, sigma], x]

with(Statistics): PDF(RandomVariable(Normal(mu, sigma)), x);

y = normpdf(x, mu, sigma);

f(x) = 1/(σ√(2π)) e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是機率計算的助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下列計算，並只以執行結果的數值作為回答的依據（請不要用心算或猜測回答）。

某次考試的分數呈常態分布，平均 62 分、標準差 14 分。
請分別求出：
1. 分數在 50 分到 80 分之間的機率
2. 分數在 80 分以上的機率（前百分之幾）
3. 分數在 50 分以下的機率

請使用 Python 的 statistics.NormalDist，並列出使用的程式碼與執行結果的數值。