Afstand van een punt tot een lijn berekenen (voetpunt van de loodlijn en evenwijdige lijnen)

Kies hoe de lijn is opgeschreven (algemene vorm of expliciete vorm) en vul dan de coëfficiënten en de coördinaten van het punt in. De vergelijking hieronder is gekoppeld aan de invoervelden, dus je kunt de getallen ook direct in de vergelijking aanpassen.

Gezocht

Vorm van de lijn

Coëfficiënt a van x

Coëfficiënt b van y

Constante c

Constante c₂ van de 2e lijn

Richtingscoëfficiënt m

Snijpunt met de y-as k

Snijpunt k₂ van de 2e lijn met de y-as

x-coördinaat van P, x₀

y-coördinaat van P, y₀

Vul alleen getallen in. Decimale getallen, negatieve getallen en breuken als 3/4 mogen. Een leeg veld bij de coëfficiënt van x of y telt als 1 (x is hetzelfde als 1x) en een leeg veld bij een constante of coördinaat telt als 0.

Resultaat en figuur

Vul links de coëfficiënten van de lijn en de coördinaten van het punt in en klik op “Berekenen”. Het resultaat en een figuur verschijnen hier.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formules en figuren
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Vul de coëfficiënten en de coördinaten in en je ziet meteen de afstand van een punt \(\mathrm{P}(x_0;\ y_0)\) tot een lijn \(ax + by + c = 0\) (de lengte van de loodlijn van het punt naar de lijn, en dat is de kortste afstand)
Het antwoord staat zowel als exacte waarde met een rationale noemer, zoals \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\), als als decimaal getal (12 significante cijfers)
Naast de afstand krijg je ook de coördinaten van het voetpunt \(\mathrm{H}\) van de loodlijn (het punt op de lijn dat het dichtst bij \(\mathrm{P}\) ligt) en de vergelijking van de loodlijn zelf
Je kunt de lijn invullen in de algemene vorm \(ax + by + c = 0\) of in de expliciete vorm \(y = mx + k\) (bij de expliciete vorm laten de stappen ook zien hoe je hem omschrijft naar de algemene vorm)
De afstand tussen twee evenwijdige lijnen \(ax + by + c_1 = 0\) en \(ax + by + c_2 = 0\) bereken je op hetzelfde scherm
Je kunt het resultaat controleren in een figuur van het assenstelsel. Op deze pagina vind je ook een uitleg van de formules in gewone taal en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python

Coëfficiënten en coördinaten mogen decimale getallen, negatieve getallen of breuken als 3/4 zijn. Deze pagina gaat over lijnen in het vlak (2D).

Waarvoor is deze berekening handig?

Hoe navigatie en kaart-apps weten op welke weg je rijdt

De locatie die je telefoon of auto-navigatie via gps ontvangt, kan enkele meters tot meer dan dertig meter afwijken. Zou de app dat punt gewoon tekenen, dan kon je in een gebouw of midden in een weiland terechtkomen. Daarom berekenen kaart-apps de afstand van het gemeten punt tot elke weg in de buurt (op de kaart een verzameling lijnstukken) en verplaatsen ze het punt naar de dichtstbijzijnde weg. Dit heet map matching en de afstand van een punt tot een lijn vormt de kern ervan.
Bepaalt de app ook het voetpunt van de loodlijn, dan weet hij precies waar op die weg je bent en kan hij vertellen hoe ver het nog is tot de volgende afslag.

De afstand tot een hartlijn bepalen bij bouwen en landmeten

Bouwtekeningen hebben rasterlijnen (hartlijnen) en ontwerpen voor wegen en spoorlijnen hebben een hartlijn. De posities van kolommen, muren, banden en piketpalen worden gegeven als “hoever van de hartlijn”. Die afstand is precies de afstand van een punt tot een lijn. Op de bouwplaats berekenen landmeters hem uit coördinaten die met een totaalstation zijn gemeten en vergelijken ze hem met de ontwerpwaarde.
Een band op de halve wegbreedte van de hartlijn plaatsen is dezelfde berekening, steeds herhaald langs de weg.

Hoe machine learning een lijn kiest die twee groepen scheidt

Een classificatiemethode die de support vector machine heet, trekt een lijn (in hogere dimensies een vlak) tussen twee groepen gegevens. Ze kiest de lijn die zo ver mogelijk van de gegevenspunten van beide groepen ligt, en dat “hoe ver” is de afstand van een punt tot een lijn. Men gelooft dat de lijn met de grootste tussenruimte (marge) minder fouten maakt bij gegevens die het model nog niet heeft gezien.
Het is al een standaardmethode voor spamfilters en beeldclassificatie sinds vóór deep learning gangbaar werd, en nog steeds een sterke keuze als er weinig trainingsgegevens zijn.

Lijnen vinden in beelden en puntenwolken (beeldverwerking en zelfrijdende auto’s)

Het herkennen van rijstroken bij zelfrijdende auto’s en het rechtzetten van een gescand document hebben allebei de lijn nodig die het best past bij een verzameling gedetecteerde punten. Hoe goed een lijn past, meet je door de kwadraten van de afstanden van elk punt tot de lijn op te tellen, en je kiest de lijn met de kleinste som.
RANSAC, een methode die een lijn bepaalt en uitschieters negeert, gebruikt ook de afstand van een punt tot een lijn: punten binnen een bepaalde afstand van de lijn tellen als passend.

Paden vereenvoudigen in kaarten en graphics

Zoom je in een kaart-app uit, dan worden kleine bochten in kustlijnen en wegen automatisch weggelaten. Daarvoor wordt het algoritme van Ramer–Douglas–Peucker gebruikt. Het zoekt het punt dat het verst ligt van de rechte lijn tussen de twee uiteinden van een pad. Is die afstand kleiner dan een ingestelde grens, dan worden alle punten ertussen weggelaten; zo niet, dan wordt het pad bij dat punt gesplitst en wordt de controle herhaald.
De vorm blijft er met veel minder gegevens goed uitzien, omdat het algoritme met een echte afstand meet “hoeveel een punt van de lijn afwijkt”.

Formules en figuren

Afstand van een punt tot een lijn

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(d\) \(=\) \(\left|a x_0 + b y_0 + c\right|\) \(\div\) \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(d\): afstand van \(\mathrm{P}\) tot de lijn \(=\) ① absolute waarde van \(ax + by + c\) bij het punt \(\div\) ② \(\sqrt{a^2 + b^2}\): lengte van de normaalvector

De formule in woorden

① Neem de absolute waarde van \(ax + by + c\) met het punt \((x_0;\ y_0)\) ingevuld

② deel die door de lengte \(\sqrt{a^2 + b^2}\) van de normaalvector \((a;\ b)\)

③ en je krijgt de afstand \(d\) van \(\mathrm{P}\) tot de lijn

Een eenvoudig voorbeeld

De afstand van het punt \(\mathrm{P}(4;\ 3)\) tot de lijn \(x + 2y - 3 = 0\) is

afstand \(d\) \(=\) absolute waarde bij het punt (\(|4 + 6 - 3| = 7\)) \(\div\) lengte van de normaalvector (\(\sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\))

\(d = \dfrac{\left|1 \times 4 + 2 \times 3 + (-3)\right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \dfrac{7}{\sqrt{5}} = \dfrac{7\sqrt{5}}{5} \approx 3{,}13\)

Het belangrijkste idee

De afstand van een punt tot een lijn is de lengte van de loodlijn uit het punt op de lijn. Een lijn heeft oneindig veel punten, maar alleen het voetpunt van de loodlijn ligt het dichtst bij \(\mathrm{P}\). Elk ander punt van de lijn ligt verder weg, want in een rechthoekige driehoek is de schuine zijde langer dan elke rechthoekszijde. Daarom is “afstand = kortste afstand = lengte van de loodlijn” een duidelijke definitie. \(\dfrac{7}{\sqrt{5}}\) schrijven als \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\) heet de noemer rationaal maken. Met een wortel in de noemer zie je moeilijk hoe groot de waarde is en kun je er niet makkelijk mee optellen, dus antwoorden schrijf je meestal met een rationale noemer. Zijn \(a\) en \(b\) allebei 0, dan is \(ax + by + c = 0\) geen lijn en kun je de formule niet gebruiken.

Waarom deze formule de afstand geeft (met de normaalvector)

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(d\) \(=\) \(\left|\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\) \(\div\) \(\left|\vec{n}\right|\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(d\): afstand van \(\mathrm{P}\) tot de lijn \(=\) ① absolute waarde van het inproduct van de normaalvector en \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) \(\div\) ② \(|\vec{n}|\): lengte van de normaalvector \(\vec{n}\)

De formule in woorden

① Noem \(\mathrm{A}\) een willekeurig punt van de lijn en \(\vec{n} = (a;\ b)\) de vector loodrecht op de lijn (de normaalvector). Neem de absolute waarde van het inproduct van \(\vec{n}\) en \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\)

② deel die door de lengte \(|\vec{n}|\) van de normaalvector \(\vec{n}\)

③ en je krijgt de afstand \(d\) van \(\mathrm{P}\) tot de lijn

Een eenvoudig voorbeeld

Probeer het met het punt \(\mathrm{A}(3;\ 0)\) op de lijn \(x + 2y - 3 = 0\) en het punt \(\mathrm{P}(4;\ 3)\) (\(\vec{n} = (1;\ 2)\), \(\overrightarrow{\mathrm{AP}} = (1;\ 3)\))

afstand \(d\) \(=\) absolute waarde van het inproduct (\(|1 \times 1 + 2 \times 3| = 7\)) \(\div\) lengte van de normaalvector (\(\sqrt{5}\))

\(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}} = 1 \times 1 + 2 \times 3 = 7\)

\(d = \dfrac{\left|7\right|}{\sqrt{5}} = \dfrac{7\sqrt{5}}{5} \approx 3{,}13\)

Het belangrijkste idee

Zet de coëfficiënt van \(x\) en de coëfficiënt van \(y\) van de lijn \(ax + by + c = 0\) gewoon naast elkaar en je krijgt de vector \(\vec{n} = (a;\ b)\). Deze vector staat loodrecht op de lijn en heet de normaalvector. Om te zien waarom, neem je twee punten \((x_1;\ y_1)\) en \((x_2;\ y_2)\) op de lijn. Beide voldoen aan de vergelijking, dus aftrekken geeft \(a(x_2 - x_1) + b(y_2 - y_1) = 0\). Het inproduct van \(\vec{n}\) en een vector langs de lijn is 0, dus ze staan loodrecht op elkaar. Omdat \(\mathrm{A}\) op de lijn ligt, is \(ax_1 + by_1 + c = 0\). Uitwerken van \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}} = a(x_0 - x_1) + b(y_0 - y_1)\) geeft daarom precies \(ax_0 + by_0 + c\). Daarom is de teller van de afstandsformule “de coördinaten van het punt ingevuld in de vergelijking”. Het inproduct \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) is gelijk aan de lengte van de schaduw van \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) die recht op de richting van \(\vec{n}\) valt, keer \(|\vec{n}|\). (Valt de schaduw in de richting tegengesteld aan \(\vec{n}\), dan is het teken negatief, dus nemen we de absolute waarde om een lengte te krijgen.) Waarom is die schaduw de afstand die we zoeken? Noem \(\mathrm{H}\) het voetpunt van de loodlijn. Dan is \(\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \overrightarrow{\mathrm{AH}} + \overrightarrow{\mathrm{HP}}\). \(\overrightarrow{\mathrm{AH}}\) loopt langs de lijn, dus staat loodrecht op \(\vec{n}\) en werpt in die richting geen schaduw. Het overblijvende deel \(\overrightarrow{\mathrm{HP}}\) is evenwijdig aan \(\vec{n}\), dus zijn schaduw is zijn volle lengte, en dat is de afstand \(d\) van \(\mathrm{P}\) tot de lijn. Het antwoord hangt er niet van af waar je \(\mathrm{A}\) op de lijn neemt: verschuif je \(\mathrm{A}\), dan verandert alleen \(\overrightarrow{\mathrm{AH}}\), en dat heeft nooit invloed op de schaduw. Het inproduct delen door \(|\vec{n}|\) geeft dus de afstand terug. De \(\sqrt{a^2 + b^2}\) in de noemer is deze \(|\vec{n}|\).

Afstand als de lijn in de expliciete vorm \(y = mx + k\) staat

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(d\) \(=\) \(\left|m x_0 - y_0 + k\right|\) \(\div\) \(\sqrt{m^{2} + 1}\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(d\): afstand van \(\mathrm{P}\) tot de lijn \(=\) ① absolute waarde van \(mx - y + k\) bij het punt \(\div\) ② \(\sqrt{m^2 + 1}\): lengte van de normaalvector \((m;\ -1)\)

De formule in woorden

① Schrijf de lijn \(y = mx + k\) om als \(mx - y + k = 0\). Neem dan de absolute waarde van \(mx - y + k\) met het punt ingevuld

② deel die door de lengte \(\sqrt{m^2 + 1}\) van de normaalvector \((m;\ -1)\)

③ en je krijgt de afstand \(d\) van \(\mathrm{P}\) tot de lijn

Een eenvoudig voorbeeld

De afstand van het punt \(\mathrm{P}(4;\ 3)\) tot de lijn \(y = 2x + 1\) (in de algemene vorm \(2x - y + 1 = 0\)) is

afstand \(d\) \(=\) absolute waarde bij het punt (\(|8 - 3 + 1| = 6\)) \(\div\) lengte van de normaalvector (\(\sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\))

\(y = 2x + 1 \;\Longrightarrow\; 2x - y + 1 = 0\)

\(d = \dfrac{\left|2 \times 4 - 3 + 1\right|}{\sqrt{2^{2} + 1}} = \dfrac{6}{\sqrt{5}} = \dfrac{6\sqrt{5}}{5} \approx 2{,}68\)

Het belangrijkste idee

Is de lijn gegeven als \(y = mx + k\), breng dan alles naar de linkerkant om \(mx - y + k = 0\) te krijgen. Vergelijk je dit met de algemene vorm \(ax + by + c = 0\), dan is \(a = m\), \(b = -1\) en \(c = k\), zodat de noemer \(\sqrt{m^2 + (-1)^2} = \sqrt{m^2 + 1}\) wordt. In Nederlandse schoolboeken staat de lijn vaak als \(y = ax + b\) of \(ax + by = c\); op deze pagina heet de richtingscoëfficiënt \(m\) en het snijpunt met de y-as \(k\), zodat ze niet verward worden met de \(a\), \(b\) en \(c\) van de algemene vorm. Je hoeft dus geen nieuwe formule te onthouden. Schrijf de lijn gewoon om naar de algemene vorm en gebruik dezelfde formule. Kies je in deze rekenmachine de “expliciete vorm”, dan schrijft hij de lijn eerst om naar de algemene vorm en laat hij in de stappen zien hoe. Een verticale lijn (evenwijdig aan de \(y\)-as, zoals \(x = 3\)) heeft geen richtingscoëfficiënt \(m\), dus kun je hem niet schrijven als \(y = mx + k\). Gebruik voor zo’n lijn de algemene vorm en vul \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = -3\) in.

Coördinaten van het voetpunt van de loodlijn \(\mathrm{H}\)

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(\mathrm{H}\) \(=\) \(\left(x_0;\ y_0\right)\) \(-\) \(t\,(a;\ b)\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(\mathrm{H}\): voetpunt van de loodlijn \(=\) ① \((x_0;\ y_0)\): coördinaten van \(\mathrm{P}\) \(-\) ② normaalvector \((a;\ b)\) keer \(t\)

De formule in woorden

① Kies de vermenigvuldigingsfactor \(t = \dfrac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}\). Begin bij de coördinaten \((x_0;\ y_0)\) van \(\mathrm{P}\)

② trek daar de normaalvector \((a;\ b)\) keer \(t\) van af

③ en je krijgt de coördinaten van het voetpunt van de loodlijn \(\mathrm{H}\)

Een eenvoudig voorbeeld

Het voetpunt van de loodlijn uit \(\mathrm{P}(4;\ 3)\) op de lijn \(x + 2y - 3 = 0\) (\(t = \dfrac{7}{5}\)) is

voetpunt van de loodlijn \(\mathrm{H}\) \(=\) coördinaten van \(\mathrm{P}\) (\((4;\ 3)\)) \(-\) normaalvector keer \(\dfrac{7}{5}\) (\(\left(\dfrac{7}{5};\ \dfrac{14}{5}\right)\))

\(t = \dfrac{1 \times 4 + 2 \times 3 + (-3)}{1^{2} + 2^{2}} = \dfrac{7}{5}\)

\(\mathrm{H} = \left(4 - \dfrac{7}{5} \times 1;\ \ 3 - \dfrac{7}{5} \times 2\right) = \left(\dfrac{13}{5};\ \dfrac{1}{5}\right)\)

Het belangrijkste idee

Beweeg je vanuit \(\mathrm{P}\) in een rechte lijn evenwijdig aan de normaalvector \(\vec{n} = (a;\ b)\), dan raak je de lijn altijd. De plaats waar je hem raakt, is het voetpunt van de loodlijn \(\mathrm{H}\). Zoals de aftrekking in \(\mathrm{H} = (x_0;\ y_0) - t\,(a;\ b)\) laat zien, zegt de vermenigvuldigingsfactor \(t\) hoeveel keer \(\vec{n}\) je terug moet om de lijn te bereiken. Is \(t\) positief, dan beweeg je tegengesteld aan \(\vec{n}\); is \(t\) negatief, dan beweeg je in dezelfde richting als \(\vec{n}\). De teller van \(t\) is gelijk aan de teller van de afstandsformule (voordat je de absolute waarde neemt) en de noemer is \(a^2 + b^2\), dat is \(|\vec{n}|^2\). De afstandsformule deelt maar één keer door \(|\vec{n}|\), maar hier delen we twee keer, en daar is een reden voor. Je moet de afstand \(d\) afleggen en één keer \(\vec{n}\) heeft lengte \(|\vec{n}|\), dus de vermenigvuldigingsfactor is \(d \div |\vec{n}|\). Vul je \(d = \dfrac{\left|ax_0 + by_0 + c\right|}{|\vec{n}|}\) daarin in, dan deel je twee keer door \(|\vec{n}|\). Ken je het voetpunt van de loodlijn, dan is het spiegelbeeld van \(\mathrm{P}\) in de lijn gewoon \(2\mathrm{H} - \mathrm{P}\). Bij meetkundeopgaven is dit spiegelbeeld vaak de sleutel tot de oplossing.

Afstand tussen twee evenwijdige lijnen

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(d\) \(=\) \(\left|c_1 - c_2\right|\) \(\div\) \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(d\): afstand tussen de lijnen \(=\) ① \(|c_1 - c_2|\): absoluut verschil van de constanten \(\div\) ② \(\sqrt{a^2 + b^2}\): lengte van de normaalvector

De formule in woorden

① Neem bij twee lijnen \(ax + by + c_1 = 0\) en \(ax + by + c_2 = 0\) met dezelfde coëfficiënten van \(x\) en \(y\) het absolute verschil van de constanten \(|c_1 - c_2|\)

② deel dat door de lengte van de normaalvector \(\sqrt{a^2 + b^2}\)

③ en je krijgt de afstand \(d\) tussen de lijnen

Een eenvoudig voorbeeld

De afstand tussen de lijnen \(x + 2y - 3 = 0\) en \(x + 2y + 7 = 0\) is

afstand tussen de lijnen \(d\) \(=\) absoluut verschil van de constanten (\(|-3 - 7| = 10\)) \(\div\) lengte van de normaalvector (\(\sqrt{5}\))

\(d = \dfrac{\left|(-3) - 7\right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \dfrac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47\)

Het belangrijkste idee

Of twee lijnen evenwijdig zijn, hangt af van de verhouding van hun coëfficiënten van \(x\) en \(y\). Voor \(a_1x + b_1y + c_1 = 0\) en \(a_2x + b_2y + c_2 = 0\) zijn ze evenwijdig als \(a_1b_2 - a_2b_1 = 0\). (Dit is gewoon “de verhoudingen zijn gelijk” opgeschreven als vermenigvuldiging, en het werkt ook als een coëfficiënt 0 is.) Bijvoorbeeld \(2x + 4y - 6 = 0\) en \(x + 2y + 7 = 0\) voldoen aan deze voorwaarde, dus ze zijn evenwijdig. Maar de teller van deze formule werkt alleen als de coëfficiënten precies gelijk zijn, dus vermenigvuldig eerst één vergelijking met een getal zodat de coëfficiënten van \(x\) en \(y\) gelijk worden. Deze rekenmachine neemt maar één paar coëfficiënten van \(x\) en \(y\) en twee constanten, dus je kunt deze stap niet vergeten. De afstand tussen twee evenwijdige lijnen is hetzelfde, welk punt je ook op een van de twee kiest. Kies dus een willekeurig punt op de ene lijn, bereken zijn afstand tot de andere lijn met de formule voor punt tot lijn en deze formule volgt meteen. Een punt op \(ax + by + c_1 = 0\) voldoet aan \(ax_0 + by_0 = -c_1\), dus \(|ax_0 + by_0 + c_2| = |c_2 - c_1|\). Zijn \(c_1\) en \(c_2\) gelijk, dan beschrijven de twee vergelijkingen dezelfde lijn en is de afstand 0. Twee lijnen die niet evenwijdig zijn, snijden elkaar altijd in één punt, dus er is geen tussenruimte en hun afstand is 0. Daarom is deze formule alleen voor evenwijdige lijnen.

De afstand van een punt \(\mathrm{P}(x_0;\ y_0)\) tot een lijn \(ax + by + c = 0\) vind je door de coördinaten van het punt in de vergelijking in te vullen, de absolute waarde \(|ax_0 + by_0 + c|\) te nemen en die te delen door de lengte \(\sqrt{a^2 + b^2}\) van de normaalvector \((a;\ b)\). Deze afstand is de lengte van de loodlijn van het punt naar de lijn, en het voetpunt van de loodlijn is \(\mathrm{H} = (x_0 - ta;\ y_0 - tb)\), waarbij \(t = \dfrac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}\).

Symbolen en begrippen

Symbolen

\(d\)	dee	Een letter die vaak voor afstand wordt gebruikt. Op deze pagina is het de afstand van het punt tot de lijn (de lengte van de loodlijn).
\(a,\ b,\ c\)	a, b, c	De coëfficiënten van de lijn \(ax + by + c = 0\). \(a\) is het getal voor \(x\), \(b\) het getal voor \(y\) en \(c\) de term met alleen een getal (de constante). Letters uit het begin van het alfabet gebruik je meestal voor vaste getallen.
\(x_0,\ y_0\)	iks nul, ypsilon nul	De coördinaten van het punt \(\mathrm{P}\) waarvandaan je meet. De kleine 0 rechtsonder is een index. Hij laat zien dat het de coördinaat van één vast punt is en niet de variabele \(x\).
\(\mathrm{P},\ \mathrm{H},\ \mathrm{A}\)	P, H, A	Namen van punten. \(\mathrm{P}\) staat voor “punt”. \(\mathrm{H}\) is een gebruikelijke letter voor het voetpunt van de loodlijn (denk aan het voetpunt van een hoogtelijn). \(\mathrm{A}\) is een hulppunt dat je op de lijn neemt.
\(\left\|\ \right\|\)	absolute waarde	Het teken voor de absolute waarde. Een positief getal blijft zoals het is; een negatief getal verliest zijn minteken (\(\|-7\| = 7\)). Een afstand is nooit negatief, dus de formule neemt de absolute waarde van de ingevulde waarde.
\(\sqrt{\ }\)	wortel	Het teken voor de vierkantswortel: het getal (0 of groter) dat in het kwadraat het getal eronder geeft. \(\sqrt{5}\) is het getal waarvan het kwadraat 5 is. Het teken komt naar men zegt van een uitgerekte letter r, van “radix” (wortel).
\(\vec{n}\)	vector n	De normaalvector: een vector die loodrecht op de lijn staat. De letter n komt van “normaal” (loodrecht). Voor de lijn \(ax + by + c = 0\) is \(\vec{n} = (a;\ b)\).
\(\left\|\vec{n}\right\|\)	lengte van vector n	De lengte van een vector (de lengte van de pijl). Voor \(\vec{n} = (a;\ b)\) is \(\|\vec{n}\| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Dit is de noemer van de afstandsformule.
\(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\)	n inproduct AP	Het inproduct van twee vectoren: vermenigvuldig de bijbehorende componenten en tel op (voor \((a;\ b)\) en \((p;\ q)\) is het \(ap + bq\)). Het laat zien hoezeer de twee richtingen met elkaar overeenkomen. De verhoogde punt is een andere bewerking dan gewoon vermenigvuldigen.
\(t\)	tee	De vermenigvuldigingsfactor die zegt hoeveel keer de normaalvector je vanuit \(\mathrm{P}\) moet afleggen om de lijn te bereiken. De letter \(t\) (van “tijd”) wordt vaak gebruikt voor een getal dat zo kan variëren.
\(m,\ k\)	em, ka	De richtingscoëfficiënt en het snijpunt met de y-as in de expliciete vorm \(y = mx + k\). \(m\) is internationaal de gebruikelijke letter voor de richtingscoëfficiënt. Nederlandse schoolboeken schrijven \(y = ax + b\), maar op deze pagina staan \(m\) en \(k\), zodat ze niet verward worden met de \(a\) en \(b\) van de algemene vorm.
\(c_1,\ c_2\)	c een, c twee	De constanten van de twee evenwijdige lijnen. De kleine getallen rechtsonder zijn indexen die de eerste lijn van de tweede onderscheiden.
\(\ell_1,\ \ell_2\)	el een, el twee	Namen van lijnen. Voor lijnen gebruik je vaak de schuine letter \(\ell\), van het eerste teken van “lijn”.

Begrippen

afstand van een punt tot een lijn	De lengte van de loodlijn van het punt naar de lijn. Ze is korter dan de afstand tot elk ander punt van de lijn, dus het is ook de kortste afstand tussen het punt en de lijn. In Nederland komt dit aan bod in de bovenbouw van havo en vwo (wiskunde B).
loodlijn	Een lijn of lijnstuk dat een andere lijn onder een rechte hoek snijdt. Laat je vanuit een punt een loodlijn op een lijn neer, dan is de lengte ervan de afstand van het punt tot de lijn.
voetpunt	Het punt waar de loodlijn vanuit een punt de oorspronkelijke lijn snijdt. Het is de plek op de lijn die het dichtst bij dat punt ligt.
algemene vorm	De vergelijking van een lijn opschrijven als \(ax + by + c = 0\). Ook verticale lijnen (zoals \(x = 3\)) kun je zo schrijven, dus elke lijn past in dezelfde vorm. (In Nederlandse schoolboeken staat de lijn vaak als \(ax + by = c\); dat is dezelfde lijn met de constante naar de rechterkant gebracht.)
expliciete vorm	De vergelijking van een lijn opschrijven als \(y = mx + k\) (in Nederlandse schoolboeken \(y = ax + b\)). Je ziet in één oogopslag de richtingscoëfficiënt en waar de lijn de \(y\)-as snijdt, maar verticale lijnen kun je zo niet schrijven.
normaalvector	Een vector die loodrecht op een lijn (of een vlak) staat. De normaalvector van de lijn \(ax + by + c = 0\) is \((a;\ b)\). De formule voor de afstand van een punt tot een lijn bepaalt de lengte gemeten in de richting van deze normaalvector.
inproduct	Een bewerking die uit twee vectoren één getal maakt: vermenigvuldig de bijbehorende componenten en tel op (\((a;\ b)\cdot(p;\ q) = ap + bq\)). Het is ook gelijk aan \(\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta\). Is het 0, dan staan de twee vectoren loodrecht op elkaar.
projectie	De schaduw van een vector die recht op de richting van een andere vector valt (ook wel de orthogonale projectie). De afstand van een punt tot een lijn is de lengte van de schaduw van \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) in de richting van de normaalvector.
absolute waarde	De grootte van een getal zonder zijn teken. Het is de afstand tot 0 op de getallenlijn (\(\|-7\| = 7\), \(\|7\| = 7\)). Een afstand is nooit negatief, dus de formule gebruikt de absolute waarde.
de noemer rationaal maken	Een wortel uit de noemer halen door de teller en de noemer met hetzelfde getal te vermenigvuldigen. Vermenigvuldig bijvoorbeeld teller en noemer van \(\dfrac{7}{\sqrt{5}}\) met \(\sqrt{5}\) om \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\) te krijgen. Je leert dit in de onderbouw van het voortgezet onderwijs (vanaf klas 3, 14-15 jaar) en eindantwoorden schrijf je meestal zo.
evenwijdig	Twee lijnen die elkaar nooit snijden, hoever je ze ook verlengt. Voor \(a_1x + b_1y + c_1 = 0\) en \(a_2x + b_2y + c_2 = 0\) zijn de lijnen evenwijdig of gelijk als de verhoudingen van de coëfficiënten van \(x\) en \(y\) gelijk zijn (als vergelijking: \(a_1b_2 - a_2b_1 = 0\)). Hebben de constanten dezelfde verhouding, dan liggen de twee lijnen op elkaar.
spiegelbeeld	Het punt dat je krijgt door een punt in een lijn te spiegelen, als een beeld in een spiegel. Ken je het voetpunt van de loodlijn \(\mathrm{H}\), dan is het spiegelbeeld van \(\mathrm{P}\) gelijk aan \(2\mathrm{H} - \mathrm{P}\).
assenstelsel	Een vlak met een \(x\)-as en een \(y\)-as, waarin elk punt als een paar \((x;\ y)\) wordt geschreven. Daardoor kun je meetkundeproblemen omzetten in berekeningen.

Handig om vooraf te weten

Dit helpt je de berekening op deze pagina echt te begrijpen en niet alleen op de knop te drukken.
Kom je er niet uit, dan is het het snelst om deze onderwerpen eerst te herhalen.

Het assenstelsel en de coördinaten van punten (groep 8 en klas 1, 11-13 jaar)	Weten dat een punt in het vlak wordt geschreven als een paar getallen \((x;\ y)\) (het punt \((4;\ 3)\) ligt bijvoorbeeld 4 naar rechts en 3 omhoog vanaf de oorsprong) Weten wat de \(x\)-as, de \(y\)-as en de oorsprong zijn
Vergelijkingen van lijnen (klas 2-4, 13-16 jaar)	Weten dat \(y = mx + k\) een lijn is, waarbij \(m\) de richtingscoëfficiënt is (hoeveel \(y\) verandert als je 1 naar rechts gaat) en \(k\) de hoogte waar hij de \(y\)-as snijdt Weten dat dezelfde lijn ook te schrijven is als \(ax + by + c = 0\) (algemene vorm) en \(y = 2x + 1\) kunnen omschrijven naar \(2x - y + 1 = 0\) Weten dat “het punt ligt op de lijn” hetzelfde betekent als “de coördinaten van het punt laten de vergelijking kloppen”
Wortels en de noemer rationaal maken (klas 3-4, 14-16 jaar)	Weten dat \(\sqrt{5}\) het getal is waarvan het kwadraat 5 is, en kwadraatfactoren uit een wortel kunnen halen, zoals \(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) De noemer rationaal kunnen maken door teller en noemer van \(\dfrac{7}{\sqrt{5}}\) met \(\sqrt{5}\) te vermenigvuldigen, zodat je \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\) krijgt
Absolute waarde (klas 1-2, 12-14 jaar)	Weten dat de absolute waarde de grootte van een getal zonder zijn teken is, zoals bij \(\|-7\| = 7\) Begrijpen dat de absolute waarde de afstand tot 0 op de getallenlijn is en dus nooit negatief is
De stelling van Pythagoras en de afstand tussen twee punten (klas 2-4, 13-16 jaar)	Weten dat in een rechthoekige driehoek \(a^2 + b^2 = c^2\) geldt Weten dat de afstand tussen \((x_1;\ y_1)\) en \((x_2;\ y_2)\) gelijk is aan \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) Weten dat de schuine zijde de langste zijde van een rechthoekige driehoek is (daarom is de loodlijn de kortste afstand)
Vectoren en het inproduct (bovenbouw havo/vwo, wiskunde B)	Weten dat een vector een richting en een lengte heeft en in het vlak met componenten kan worden geschreven als \((a;\ b)\) Weten dat de lengte van een vector gelijk is aan \(\sqrt{a^2 + b^2}\) Het inproduct \((a;\ b)\cdot(p;\ q) = ap + bq\) kunnen uitrekenen en weten dat de vectoren loodrecht op elkaar staan als het 0 is (de afstandsformule kun je ook gebruiken als je dit nog niet hebt gehad)

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel om de afstand van een punt tot een lijn te vinden

Coëfficiënt a van x	1
Coëfficiënt b van y	2
Constante c	-3
x-coördinaat van P	4
y-coördinaat van P	3
Teller \|ax0+by0+c\|	=ABS(B1B4+B2B5+B3)
Noemer √(a^2+b^2)	=WORTEL(B1^2+B2^2)
Afstand d	=B6/B7

Tabel om de uitleg met de normaalvector te controleren

Coëfficiënt a van x	1
Coëfficiënt b van y	2
x-coördinaat van punt A op de lijn	3
y-coördinaat van punt A op de lijn	0
x-coördinaat van P	4
y-coördinaat van P	3
Inproduct n·AP	=B1(B5-B3)+B2(B6-B4)
Lengte van de normaalvector \|n\|	=WORTEL(B1^2+B2^2)
Afstand d	=ABS(B7)/B8

Tabel om de afstand te vinden bij de expliciete vorm

Richtingscoëfficiënt m	2
Snijpunt met de y-as k	1
x-coördinaat van P	4
y-coördinaat van P	3
Afstand d	=ABS(B1*B3-B4+B2)/WORTEL(B1^2+1)

Tabel om het voetpunt van de loodlijn H te vinden

Coëfficiënt a van x	1
Coëfficiënt b van y	2
Constante c	-3
x-coördinaat van P	4
y-coördinaat van P	3
Vermenigvuldigingsfactor t	=(B1B4+B2B5+B3)/(B1^2+B2^2)
x-coördinaat van H	=B4-B1*B6
y-coördinaat van H	=B5-B2*B6

Tabel om de afstand tussen evenwijdige lijnen te vinden

Coëfficiënt a van x	1
Coëfficiënt b van y	2
Constante c1 van de 1e lijn	-3
Constante c2 van de 2e lijn	7
Afstand d	=ABS(B3-B4)/WORTEL(B1^2+B2^2)

Na het plakken zijn de bovenste rijen (coëfficiënten en coördinaten) je invoer en worden de onderste rijen automatisch berekend.
“^” is een macht, ABS geeft de absolute waarde en WORTEL de vierkantswortel.
De eerste tabel is het voorbeeld met het punt (4; 3) en de lijn x + 2y - 3 = 0. De teller is 7, de noemer is ongeveer 2,2360679775 en de afstand is ongeveer 3,1304951685.
De tweede tabel controleert dat dezelfde afstand uitkomt als “inproduct van de normaalvector en AP ÷ lengte van de normaalvector”. Het inproduct is 7 en de afstand is ongeveer 3,1304951685, hetzelfde als in de eerste tabel.
De derde tabel is het voorbeeld met het punt (4; 3) en de lijn y = 2x + 1. De afstand is ongeveer 2,683281573.
De vierde tabel geeft 1,4, 2,6 en 0,2, dus het voetpunt van de loodlijn is (2,6; 0,2) = (13/5; 1/5).
De vijfde tabel is de afstand tussen x + 2y - 3 = 0 en x + 2y + 7 = 0. Het antwoord is ongeveer 4,472135955.

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel om de afstand van een punt tot een lijn te vinden

Coëfficiënt a van x	1
Coëfficiënt b van y	2
Constante c	-3
x-coördinaat van P	4
y-coördinaat van P	3
Teller \|ax0+by0+c\|	=ABS(B1B4+B2B5+B3)
Noemer √(a^2+b^2)	=WORTEL(B1^2+B2^2)
Afstand d	=B6/B7

Tabel om de uitleg met de normaalvector te controleren

Coëfficiënt a van x	1
Coëfficiënt b van y	2
x-coördinaat van punt A op de lijn	3
y-coördinaat van punt A op de lijn	0
x-coördinaat van P	4
y-coördinaat van P	3
Inproduct n·AP	=B1(B5-B3)+B2(B6-B4)
Lengte van de normaalvector \|n\|	=WORTEL(B1^2+B2^2)
Afstand d	=ABS(B7)/B8

Tabel om de afstand te vinden bij de expliciete vorm

Richtingscoëfficiënt m	2
Snijpunt met de y-as k	1
x-coördinaat van P	4
y-coördinaat van P	3
Afstand d	=ABS(B1*B3-B4+B2)/WORTEL(B1^2+1)

Tabel om het voetpunt van de loodlijn H te vinden

Coëfficiënt a van x	1
Coëfficiënt b van y	2
Constante c	-3
x-coördinaat van P	4
y-coördinaat van P	3
Vermenigvuldigingsfactor t	=(B1B4+B2B5+B3)/(B1^2+B2^2)
x-coördinaat van H	=B4-B1*B6
y-coördinaat van H	=B5-B2*B6

Tabel om de afstand tussen evenwijdige lijnen te vinden

Coëfficiënt a van x	1
Coëfficiënt b van y	2
Constante c1 van de 1e lijn	-3
Constante c2 van de 2e lijn	7
Afstand d	=ABS(B3-B4)/WORTEL(B1^2+B2^2)

Dezelfde formules als in Excel werken hier ook. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de coëfficiënten en coördinaten door je eigen getallen.

Berekenen met Python

from fractions import Fraction

# Lijn ax + by + c = 0 (een breuk als 3/4 schrijf je als Fraction(3, 4))
a = Fraction(1)
b = Fraction(2)
c = Fraction(-3)

# Coördinaten van punt P
x0 = Fraction(4)
y0 = Fraction(3)

# Het punt ingevuld in de vergelijking (met teken) en het kwadraat van de lengte van de normaalvector
substituted = a * x0 + b * y0 + c
square = a * a + b * b

distance = abs(float(substituted)) / float(square) ** 0.5
print(f"Teller |a*x0+b*y0+c| = {abs(substituted)}")
print(f"Noemer √(a^2+b^2) = √{square}")
print(f"Afstand d = {distance}")

# Voetpunt H van de loodlijn (ga t keer de normaalvector terug)
t = substituted / square
foot_x = x0 - a * t
foot_y = y0 - b * t
print(f"Vermenigvuldigingsfactor t = {t}")
print(f"Voetpunt H van de loodlijn = ({foot_x}, {foot_y})")

Met de module fractions uit de standaardbibliotheek reken je de teller, de noemer en het voetpunt van de loodlijn als exacte breuken uit, zonder afrondingsfouten. Dit voorbeeld bepaalt de afstand van het punt (4; 3) tot de lijn x + 2y - 3 = 0. Als je het uitvoert, zie je de teller 7, de noemer √5, de afstand ongeveer 3,1304951685, de factor t = 7/5 en het voetpunt (13/5, 1/5). Pas de coëfficiënten en coördinaten aan en voer het opnieuw uit.

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

Afstand van een punt tot een lijn

d = |a·x₀ + b·y₀ + c| ÷ √(a² + b²)

d = \frac{\left|a x_0 + b y_0 + c\right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mo>|</mo>
        <mi>a</mi><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub>
        <mo>+</mo>
        <mi>b</mi><msub><mi>y</mi><mn>0</mn></msub>
        <mo>+</mo>
        <mi>c</mi>
        <mo>|</mo>
      </mrow>
      <msqrt>
        <mrow>
          <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
          <mo>+</mo>
          <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
        </mrow>
      </msqrt>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

d = abs(a*x_0 + b*y_0 + c)/sqrt(a^2 + b^2)

d = Abs[a x0 + b y0 + c]/Sqrt[a^2 + b^2]

d := abs(a*x0 + b*y0 + c)/sqrt(a^2 + b^2);

d = abs(a*x0 + b*y0 + c)/sqrt(a^2 + b^2);

d = |a x_0+b y_0+c|/√(a^2+b^2)

Waarom deze formule de afstand geeft (met de normaalvector)

d = |n·AP| ÷ |n|

d = \frac{\left|\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|}{\left|\vec{n}\right|}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mo>|</mo>
        <mover><mi>n</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>&#x22C5;</mo>
        <mover><mrow><mi>A</mi><mi>P</mi></mrow><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>|</mo>
      </mrow>
      <mrow>
        <mo>|</mo>
        <mover><mi>n</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>|</mo>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

d = abs(vec n * vec(AP))/abs(vec n)

d = Abs[n . ap]/Norm[n]

d := abs(DotProduct(n, ap))/Norm(n, 2);

d = abs(dot(n, ap))/norm(n);

d = |n\vec ∙AP\vec |/|n\vec |

Afstand als de lijn in de expliciete vorm \(y = mx + k\) staat

d = |m·x₀ − y₀ + k| ÷ √(m² + 1)

d = \frac{\left|m x_0 - y_0 + k\right|}{\sqrt{m^{2} + 1}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mo>|</mo>
        <mi>m</mi><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <msub><mi>y</mi><mn>0</mn></msub>
        <mo>+</mo>
        <mi>k</mi>
        <mo>|</mo>
      </mrow>
      <msqrt>
        <mrow>
          <msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup>
          <mo>+</mo>
          <mn>1</mn>
        </mrow>
      </msqrt>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

d = abs(m*x_0 - y_0 + k)/sqrt(m^2 + 1)

d = Abs[m x0 - y0 + k]/Sqrt[m^2 + 1]

d := abs(m*x0 - y0 + k)/sqrt(m^2 + 1);

d = abs(m*x0 - y0 + k)/sqrt(m^2 + 1);

d = |m x_0-y_0+k|/√(m^2+1)

Coördinaten van het voetpunt van de loodlijn \(\mathrm{H}\)

H = (x₀ − t·a, y₀ − t·b)　t = (a·x₀ + b·y₀ + c) ÷ (a² + b²)

\mathrm{H} = \left(x_0 - t a,\ y_0 - t b\right),\quad t = \frac{a x_0 + b y_0 + c}{a^{2} + b^{2}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi mathvariant="normal">H</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo>
    <mrow><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><mi>t</mi><mi>a</mi></mrow>
    <mo>,</mo>
    <mrow><msub><mi>y</mi><mn>0</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><mi>t</mi><mi>b</mi></mrow>
    <mo>)</mo>
    <mo>,</mo>
    <mi>t</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mi>a</mi><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub>
        <mo>+</mo>
        <mi>b</mi><msub><mi>y</mi><mn>0</mn></msub>
        <mo>+</mo>
        <mi>c</mi>
      </mrow>
      <mrow>
        <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

H = (x_0 - t*a, y_0 - t*b), t = (a*x_0 + b*y_0 + c)/(a^2 + b^2)

t = (a x0 + b y0 + c)/(a^2 + b^2); h = {x0 - t a, y0 - t b}

t := (a*x0 + b*y0 + c)/(a^2 + b^2); H := [x0 - t*a, y0 - t*b];

t = (a*x0 + b*y0 + c)/(a^2 + b^2); H = [x0 - t*a, y0 - t*b];

H = (x_0-t a, y_0-t b), t = (a x_0+b y_0+c)/(a^2+b^2)

Afstand tussen twee evenwijdige lijnen

d = |c₁ − c₂| ÷ √(a² + b²)

d = \frac{\left|c_1 - c_2\right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mo>|</mo>
        <msub><mi>c</mi><mn>1</mn></msub>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <msub><mi>c</mi><mn>2</mn></msub>
        <mo>|</mo>
      </mrow>
      <msqrt>
        <mrow>
          <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
          <mo>+</mo>
          <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
        </mrow>
      </msqrt>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

d = abs(c_1 - c_2)/sqrt(a^2 + b^2)

d = Abs[c1 - c2]/Sqrt[a^2 + b^2]

d := abs(c1 - c2)/sqrt(a^2 + b^2);

d = abs(c1 - c2)/sqrt(a^2 + b^2);

d = |c_1-c_2|/√(a^2+b^2)

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een wiskundeassistent voor coördinatenmeetkunde. Voer de volgende berekening uit door echt Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit de uitvoer (antwoord niet uit het hoofd en niet op basis van een schatting).

Bepaal voor het punt (4; 3) en de lijn x + 2y - 3 = 0:
1. De afstand van het punt tot de lijn (als exacte waarde met een rationale noemer en als decimaal getal)
2. De coördinaten van het voetpunt van de loodlijn uit het punt op de lijn (als vereenvoudigde breuken)
3. De vergelijking van die loodlijn (de lijn door het punt, loodrecht op de gegeven lijn)

Gebruik in Python de module fractions uit de standaardbibliotheek en sympy om exact te rekenen. Laat de gebruikte formules en de getallen uit de uitvoer zien.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule