Logaritme berekenen (logaritme rekenmachine)

Vul van de drie waarden in “y = log_a(x)” (grondtal a, argument x en logaritme y) de twee in die je weet en klik op “Berekenen”. De waarde die je leeg laat, wordt berekend. De formule hieronder is gekoppeld aan de velden, dus je kunt het grondtal, het argument of de logaritme ook rechtstreeks in de formule typen.

Argument x (het getal in de log)

Grondtal a

Logaritme y

Laat de waarde die je wilt vinden leeg (vul er precies twee in). Behalve getallen mag het grondtal ook “e” zijn voor de natuurlijke logaritme (gebruik 10 voor de 10-logaritme). Het argument moet groter zijn dan 0 en het grondtal groter dan 0 en ongelijk aan 1.

Resultaat

Vul links twee waarden in en klik op “Berekenen”. Het resultaat verschijnt hier.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formule
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Vul bij de logaritme \(y = \log_a x\) de twee in die je weet van het grondtal \(a\), het argument \(x\) en de waarde \(y\) van de logaritme, en de derde staat er meteen
Je kunt elk grondtal gebruiken. Vul “10” in als grondtal voor de 10-logaritme, of “e” voor de natuurlijke logaritme (\(\ln\))
Behalve waarden van logaritmen zoals \(\log_2 8 = 3\) beantwoordt het ook “wat is 2 tot de macht 10?” (het argument terugrekenen, \(2^{10} = 1024\)) en “welk getal in de vierde macht is 81?” (het grondtal terugrekenen)
Een heldere uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python vind je ook op deze pagina

Voor een logaritme gelden twee regels. Het argument moet groter zijn dan 0 (het domein) en het grondtal moet groter zijn dan 0 en ongelijk aan 1 (de voorwaarden voor het grondtal). Invoer die zich daar niet aan houdt, geeft een foutmelding.

Waarvoor is deze berekening handig?

Wat decibel (dB) echt is (audio en geluidsoverlast)

De decibel, de eenheid van geluidssterkte, is gedefinieerd met de 10-logaritme van een verhouding van geluidsenergieën. Ook als de energie 100 keer zo groot wordt, stijgt het niveau maar met \(10 \times \log_{10} 100 = 20\) dB.
Onze oren ervaren geluid als “hoeveel keer harder”, dus een logaritmische eenheid past er perfect bij. Veilige volumes voor oordopjes en de geluidsnormen op het werk (in Nederland is de bovenste actiewaarde in het Arbobesluit 85 dB(A) gemiddeld over een werkdag van 8 uur, en de grenswaarde 87 dB(A)) zijn allemaal op deze logaritmeformule gebouwd.

Aardbevingsmagnitudes goed lezen (veiligheid)

De magnitude is gebaseerd op de logaritme van de energie van een aardbeving, en dat geldt ook voor de aardbevingen in Groningen die het KNMI meet. Elke stap hoger in magnitude zet ongeveer 32 keer (\(10^{1{,}5}\) keer) zoveel energie vrij, dus een aardbeving met magnitude 7 heeft ongeveer 1000 keer de energie van magnitude 5.
Als je logaritmen kent, lees je dit als “3 cijfers meer energie” en niet als “maar 2 meer”, en dat bepaalt direct hoe je je op rampen voorbereidt.

pH (zuur of basisch) is een logaritmische schaal (scheikunde en dagelijks leven)

De pH, die aangeeft hoe zuur een oplossing is, is gedefinieerd met de 10-logaritme van de concentratie waterstofionen (\(\mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H}^+]\)). Tussen citroensap met pH 2 en water met pH 7 verschilt de concentratie niet met “5” maar met een factor \(10^5\) (100.000).
Hoeveelheden die over veel tientallige machten lopen, omzetten in handige getallen van ongeveer 0 tot 14 is waar logaritmen het best in zijn. De pH-waarden op schoonmaakmiddelen, zwembadtesten en bij het testen van tuingrond berusten allemaal hierop.

Hoeveel jaar het duurt voor je geld verdubbelt (samengestelde rente en beleggen)

Bij 3% samengestelde rente per jaar verdubbelt je geld als \(1{,}03^y = 2\), dus \(y = \log_{1{,}03} 2 \approx 23{,}4\) jaar (als je elk jaar hetzelfde rendement veronderstelt).
De bekende “regel van 72” (72 ÷ rentepercentage = aantal jaar tot verdubbeling) is eigenlijk een benadering van deze logaritme. Het is een stevige basis voor langetermijnplannen voor je geld, zoals sparen voor studie en pensioen, met getallen in plaats van gevoel.

Bits van data worden bepaald door logaritmen (IT)

Het aantal bits dat je nodig hebt om \(n\) verschillende dingen uit elkaar te houden, is \(\log_2 n\). Zo passen 256 verschillende waarden in \(\log_2 256 = 8\) bits (1 byte).
Ook de sterkte van een wachtwoord (ongeveer hoeveel pogingen een aanval met brute kracht nodig heeft) wordt gemeten als “hoeveel bits”, een logaritme. Deze berekening ondersteunt de hele digitale wereld.

Muzikale intervallen zijn logaritmen van de frequentie (muziek)

Naast elkaar liggende pianotoetsen (een halve toon) hebben allemaal dezelfde frequentieverhouding, \(2^{1/12} \approx 1{,}0595\) (gelijkzwevende stemming). Is de frequentieverhouding van twee tonen \(r\), dan is het aantal halve tonen ertussen \(12 \times \log_2 r\).
Voor de A van 440 Hz en de A van 880 Hz is dat \(12 \times \log_2 2 = 12\) halve tonen, precies één octaaf. Het stemmen van instrumenten en het verschuiven van de toonhoogte in muzieksoftware draaien op deze logaritme.

Formule

Definitie van een logaritme (wat \(y = \log_a x\) betekent)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(x\) \(=\) \(a\) \(y\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(x\): argument \(=\) ① \(a\): grondtal ② \(y\): de logaritme

De formule in woorden

① Verhef het \(a\): grondtal

② tot de macht \(y\): de logaritme

③ en je krijgt het \(x\): argument . Dit getal \(y\) dat aangeeft “tot welke macht” schrijf je als \(y = \log_a x\)

Een eenvoudig voorbeeld

Schrijf je “2 tot de derde macht is 8” (2 × 2 × 2 = 8) als logaritme, dan krijg je

argument 8 \(=\) grondtal 2 logaritme 3

\(2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8\)

\(\log_{2} 8 = 3\)

Het belangrijkste idee

Een logaritme maakt een macht (een exponent) ongedaan. Is het antwoord op “wat is \(2^3\)?” gelijk aan 8, dan is het antwoord op “2 tot welke macht is 8?” gelijk aan \(\log_2 8 = 3\). In Nederlandse schoolboeken schrijf je dat als \({}^{2}\log 8 = 3\) (“2log 8”). Dezelfde vergelijking vindt ook het argument: ken je het grondtal en de logaritme, dan is het argument \(x = a^y\). Elke macht van een positief getal \(a\) is altijd positief, dus het argument \(x\) moet groter zijn dan 0 (het domein van een logaritme). Elke macht van 1 is bovendien nog steeds 1, dus 1 kan geen grondtal zijn, en 0 of een negatief getal ook niet (het grondtal moet groter zijn dan 0 en ongelijk aan 1).

De waarde van de logaritme vinden (grondtal veranderen)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(\log_{a} x\) \(=\) \(\ln x\) \(\div\) \(\ln a\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(\log_a x\): de logaritme die je zoekt \(=\) ① \(\ln x\): natuurlijke logaritme van het argument \(\div\) ② \(\ln a\): natuurlijke logaritme van het grondtal

De formule in woorden

① Neem de \(\ln x\): natuurlijke logaritme van het argument

② deel die door de \(\ln a\): natuurlijke logaritme van het grondtal

③ en je krijgt \(\log_a x\): de logaritme die je zoekt

Een eenvoudig voorbeeld

De logaritme van 8 met grondtal 2 (2 tot welke macht is 8) is

de logaritme \(\log_2 8\) \(=\) natuurlijke logaritme van 8 \(\ln 8\) \(\div\) natuurlijke logaritme van 2 \(\ln 2\)

\(\log_{2} 8 = \ln 8 \div \ln 2 = 2{,}0794\cdots \div 0{,}6931\cdots = 3\)

Het belangrijkste idee

Rekenmachines en programmeertalen hebben meestal alleen de natuurlijke logaritme \(\ln\) (grondtal \(e\)) en de 10-logaritme \(\log_{10}\) (grondtal 10). Een logaritme met elk ander grondtal vind je als “de log van het argument ÷ de log van het grondtal”. Dit is de formule voor het veranderen van grondtal, en deze rekenmachine gebruikt hem intern. Gebruik je de 10-logaritme in plaats van de natuurlijke logaritme, dan krijg je hetzelfde antwoord (\(\log_a x = \log_{10} x \div \log_{10} a\)). De enige regel is dat je boven en onder dezelfde soort logaritme gebruikt.

Het grondtal vinden (uit het argument en de logaritme)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(a\) \(=\) \(x\) \(1/y\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(a\): grondtal \(=\) ① \(x\): argument ② \(1/y\): 1 gedeeld door de logaritme

De formule in woorden

① Verhef het \(x\): argument

② tot de macht \(1/y\): 1 gedeeld door de logaritme (dus neem de \(y\)-demachtswortel)

③ en je krijgt het \(a\): grondtal

Een eenvoudig voorbeeld

“Het getal waarvan de vierde macht 81 is” (het grondtal als het argument 81 is en de logaritme 4) is

\(a\): grondtal \(=\) argument 81 een vierde

\(a = 81^{1/4} = \sqrt[4]{81} = 3\)

\(3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81\)

Het belangrijkste idee

“Tot de macht \(\frac{1}{y}\) verheffen” is hetzelfde als “de \(y\)-demachtswortel nemen” (het getal zoeken waarvan de \(y\)-de macht dat getal is). Deze formule werkt niet als de logaritme \(y = 0\) is (elk getal tot de macht 0 is 1, dus als het argument 1 is, klopt elk grondtal en is het grondtal niet uniek, en als het argument niet 1 is, bestaat er geen grondtal), of als het argument \(x = 1\) is (het grondtal zou dan 1 moeten zijn, en dat mag niet). Deze rekenmachine geeft in die gevallen een foutmelding.

Productregel (de logaritme van een product is een som)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(\log_{a} MN\) \(=\) \(\log_{a} M\) \(+\) \(\log_{a} N\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(\log_a MN\): de logaritme van het product \(MN\) \(=\) ① \(\log_a M\): de logaritme van \(M\) \(+\) ② \(\log_a N\): de logaritme van \(N\)

De formule in woorden

① Tel \(\log_a M\): de logaritme van \(M\)

② en \(\log_a N\): de logaritme van \(N\)

③ bij elkaar op en je krijgt \(\log_a MN\): de logaritme van het product \(MN\)

Een eenvoudig voorbeeld

Met grondtal 10 is de logaritme van het product van 4 en 25 (4 × 25 = 100)

de logaritme van het product 4 × 25 \(=\) de logaritme van 4 (ongeveer 0,6021) \(+\) de logaritme van 25 (ongeveer 1,3979)

\(\log_{10}(4 \times 25) = \log_{10} 4 + \log_{10} 25 \approx 0{,}6021 + 1{,}3979 = 2\)

\(\log_{10} 100 = 2\)

Het belangrijkste idee

Neem je logaritmen, dan wordt vermenigvuldigen optellen. Dit is de belangrijkste eigenschap van logaritmen. Voordat er rekenmachines waren, gebruikten sterrenkundigen tabellen met logaritmen om het vermenigvuldigen van enorme getallen om te zetten in optellen. De rekenliniaal werkt volgens hetzelfde principe.

Quotiëntregel (de logaritme van een quotiënt is een verschil)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(\log_{a} \dfrac{M}{N}\) \(=\) \(\log_{a} M\) \(-\) \(\log_{a} N\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(\log_a \frac{M}{N}\): de logaritme van het quotiënt \(\frac{M}{N}\) \(=\) ① \(\log_a M\): de logaritme van \(M\) \(-\) ② \(\log_a N\): de logaritme van \(N\)

De formule in woorden

① Trek van \(\log_a M\): de logaritme van \(M\)

② af \(\log_a N\): de logaritme van \(N\) en je krijgt

③ \(\log_a \frac{M}{N}\): de logaritme van het quotiënt \(\frac{M}{N}\)

Een eenvoudig voorbeeld

Met grondtal 10 is de logaritme van het quotiënt van 1000 gedeeld door 10 (1000 ÷ 10 = 100)

de logaritme van het quotiënt 1000 ÷ 10 \(=\) de logaritme van 1000 (3) \(-\) de logaritme van 10 (1)

\(\log_{10}\dfrac{1000}{10} = \log_{10} 1000 - \log_{10} 10 = 3 - 1 = 2\)

\(\log_{10} 100 = 2\)

Het belangrijkste idee

Dit is de “deelversie” van de productregel. Om dezelfde reden als waarom vermenigvuldigen optellen wordt, wordt delen aftrekken. Je onthoudt het makkelijk als de regel \(a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}\) voor exponenten, opnieuw gezegd in de taal van logaritmen.

Machtsregel (de exponent gaat naar voren)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(\log_{a} M^{k}\) \(=\) \(k\) \(\times\) \(\log_{a} M\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(\log_a M^k\): de logaritme van de macht \(M^k\) \(=\) ① \(k\): exponent \(\times\) ② \(\log_a M\): de logaritme van \(M\)

De formule in woorden

① Vermenigvuldig de \(k\): exponent

② met \(\log_a M\): de logaritme van \(M\)

③ en je krijgt \(\log_a M^k\): de logaritme van de macht \(M^k\)

Een eenvoudig voorbeeld

Met grondtal 10 is de logaritme van 2 tot de macht 10 (\(2^{10} = 1024\))

de logaritme van \(2^{10}\) \(=\) exponent 10 \(\times\) de logaritme van 2 (ongeveer 0,3010)

\(\log_{10} 2^{10} = 10 \times \log_{10} 2 \approx 10 \times 0{,}3010 = 3{,}010\)

\(\log_{10} 1024 \approx 3{,}010\)

Het belangrijkste idee

De logaritme van een macht (\(k\) keer vermenigvuldigen) wordt één enkele vermenigvuldiging: \(k\) keer de logaritme. In dit voorbeeld zegt \(\log_{10} 2^{10} \approx 3{,}010\) dat “\(2^{10}\) ongeveer zo groot is als \(10^{3{,}010}\)”, en dat past precies bij \(2^{10} = 1024\), een getal van 4 cijfers (het gehele deel van de 10-logaritme plus 1 is het aantal cijfers). Vragen als “hoeveel cijfers heeft \(2^{100}\)?” los je met deze regel op.

De logaritme \(y = \log_a x\) is het getal dat aangeeft “tot welke macht je het grondtal \(a\) moet verheffen om het argument \(x\) te krijgen”. Het is precies het omgekeerde van een macht. Met de formule voor het veranderen van grondtal kun je een logaritme met elk grondtal berekenen uit de natuurlijke logaritme \(\ln\) of de 10-logaritme \(\log_{10}\).

Symbolen en begrippen

Symbolen

\(\log_a x\)	log x met grondtal a (a-log x)	“De logaritme van \(x\) met grondtal \(a\)”. Het getal dat aangeeft tot welke macht je het grondtal \(a\) moet verheffen om het argument \(x\) te krijgen. (Voorbeeld - \(\log_2 8 = 3\)) In Nederlandse schoolboeken schrijf je dit als \({}^{a}\log x\).
\(a\)	a (het grondtal)	Het getal waarop de logaritme is gebouwd, klein onder de regel geschreven in \(\log_a x\). Het moet groter zijn dan 0 en ongelijk aan 1.
\(x\)	x (het argument)	Het getal in de log. Het moet groter zijn dan 0 (het domein).
\(y\)	y (de logaritme)	De uitkomst van de logaritme. Het is de exponent zelf: “het grondtal tot de macht \(y\) geeft het argument”.
\(\log_{10} x\)	log x met grondtal 10 (10-logaritme)	De logaritme met grondtal 10. Hij hangt direct samen met het aantal cijfers (\(\log_{10} 1000 = 3\)) en wordt veel gebruikt in natuurwetenschap en techniek. Vaak laat je het grondtal weg en schrijf je \(\log x\).
\(\ln x\)	natuurlijke logaritme van x	De logaritme met grondtal \(e\) (het getal van Euler). Hij past het best bij differentiëren en integreren en is standaard in wiskunde, natuurkunde en financiën.
\(e\)	e (het getal van Euler)	Een bijzonder getal, ongeveer 2,71828…, waarvan de decimalen eindeloos doorgaan. Het is het grondtal van de natuurlijke logaritme. In deze rekenmachine vul je “e” in bij het grondtal om het te gebruiken.
\(M,\ N\)	M, N	Argumenten die je gebruikt om de rekenregels voor logaritmen uit te leggen (product, quotiënt en macht). Beide zijn groter dan 0.
\(\sqrt[n]{x}\)	n-demachtswortel uit x	Het getal waarvan de \(n\)-de macht \(x\) is. Het is hetzelfde als \(x^{1/n}\) (de macht 1 gedeeld door \(n\)). (Voorbeeld - \(\sqrt[4]{81} = 3\))

Begrippen

logaritme	Het getal dat aangeeft tot welke macht je het grondtal moet verheffen om het argument te krijgen. Het is het omgekeerde van een macht en je leert het in de bovenbouw van havo en vwo (wiskunde). Het symbool log is de afkorting van “logaritme”.
grondtal	Het getal waarop de logaritme is gebouwd. In \(\log_2 8\) is het grondtal 2. Alleen getallen groter dan 0 en ongelijk aan 1 kunnen een grondtal zijn.
argument	Het getal in de log, het getal waarvan je de logaritme neemt. In \(\log_2 8\) is het argument 8. Alleen getallen groter dan 0 kunnen een argument zijn.
domein	De verzameling getallen die een logaritme accepteert. Het argument moet groter zijn dan 0, want elke macht van een positief getal is altijd positief, dus er is geen log van 0 of van een negatief getal. Het is het eerste wat je controleert als je vergelijkingen of ongelijkheden met logaritmen oplost.
voorwaarden voor het grondtal	De regel dat het grondtal groter moet zijn dan 0 en ongelijk aan 1. Elke macht van 1 is nog steeds 1, dus de logaritme zou niet gedefinieerd zijn, en machten van 0 of van een negatief getal zijn niet voor elke exponent gedefinieerd.
10-logaritme	De logaritme met grondtal 10. Hij hangt direct samen met het aantal cijfers van een getal, en de meeste logaritmen in het dagelijks leven, zoals pH, decibel en de magnitude van aardbevingen, zijn 10-logaritmen.
natuurlijke logaritme	De logaritme met grondtal \(e\) (ongeveer 2,718). Het symbool is \(\ln\). Het is de handigste logaritme bij differentiëren en integreren en wordt gebruikt bij rentesommen en bij het onderzoeken van natuurlijke processen.
getal van Euler	Het getal \(e = 2{,}71828\ldots\), waarvan de decimalen eindeloos doorgaan. Het komt vanzelf voor overal waar continue groei is. Net als \(\pi\) is het een beroemd irrationaal getal.
macht	Hetzelfde getal meerdere keren met zichzelf vermenigvuldigen. Zoals in \(2^3 = 2 \times 2 \times 2\) geeft het kleine getal rechtsboven (de exponent) aan hoe vaak. Een logaritme is het omgekeerde van een macht.
exponent	Het kleine getal rechtsboven bij een macht dat aangeeft tot welke macht je verheft. In \(2^3\) is de exponent 3. De waarde van een logaritme is de exponent die je zoekt.
grondtal veranderen	De formule die een logaritme met elk grondtal herschrijft als “log van het argument ÷ log van het grondtal”. Ook als een rekenmachine of programma alleen \(\ln\) en \(\log_{10}\) heeft, kun je met deze formule een logaritme met elk grondtal uitrekenen.
wortel	Het getal waarvan de \(n\)-de macht het gegeven getal is. Zoals in “het getal waarvan de vierde macht 81 is, is 3” is het terugrekenen van het grondtal het vinden van deze wortel.

Handig om vooraf te weten

Dit helpt je om de berekening op deze pagina echt te begrijpen, en niet alleen op de knop te drukken.
Kom je er niet uit, dan is het herhalen van deze onderwerpen de snelste weg vooruit.

Machten en exponenten (klas 1-2, 12-14 jaar)	Je weet dat het kleine getal rechtsboven (de exponent) “hoe vaak je vermenigvuldigt” is, zoals in \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\)
Uitbreiding van exponenten (havo/vwo wiskunde, bovenbouw)	Je weet dat exponenten kunnen worden uitgebreid naar 0 en negatieve getallen, zoals in \(a^0 = 1\) en \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) Je weet dat \(a^{1/n}\) (de macht 1 gedeeld door \(n\)) hetzelfde is als de \(n\)-demachtswortel nemen
Vierkantswortels en wortels (klas 2-3, 13-15 jaar, tot en met de bovenbouw)	Je kunt een machtsvraag omkeren, zoals “het positieve getal waarvan het kwadraat 9 is, is 3”
Het idee van omgekeerde bewerkingen (basisschool en onderbouw)	Je ziet in dat een logaritme een macht ongedaan maakt, net zoals delen vermenigvuldigen ongedaan maakt

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel om de waarde y van de logaritme te vinden

Argument x	100
Grondtal a	10
Logaritme y	=LOG(B1;B2)

Tabel om het argument x te vinden

Grondtal a	2
Logaritme y	10
Argument x	=B1^B2

Tabel om het grondtal a te vinden

Argument x	81
Logaritme y	4
Grondtal a	=B1^(1/B2)

Tabel om de productregel te controleren

Argument M	4
Argument N	25
log M + log N (grondtal 10)	=LOG(B1;10)+LOG(B2;10)
log van het product M×N (grondtal 10)	=LOG(B1*B2;10)

Tabel om de quotiëntregel te controleren

Argument M	1000
Argument N	10
log M − log N (grondtal 10)	=LOG(B1;10)-LOG(B2;10)
log van het quotiënt M÷N (grondtal 10)	=LOG(B1/B2;10)

Tabel om de machtsregel te controleren

Argument M	2
Exponent k	10
k × (log M) (grondtal 10)	=B2*LOG(B1;10)
log van de macht M^k (grondtal 10)	=LOG(B1^B2;10)

Na het plakken zijn de bovenste rijen je invoer en tonen de laatste rijen (de groene formules) de automatisch berekende resultaten.
De Excel-functie LOG schrijf je als “=LOG(getal; grondtal)” (laat je het grondtal weg, dan gebruikt hij de 10-logaritme, grondtal 10). De natuurlijke logaritme (grondtal e) is “=LN(getal)”.
In de eerste tabel staat bijvoorbeeld 2 in B3 (omdat 10 tot de macht 2 gelijk is aan 100). Wil je een natuurlijke logaritme berekenen, verander dan B3 in de eerste tabel in “=LN(B1)”.
De vierde tot en met de zesde tabel controleren de rekenregels voor logaritmen. De twee formules onderaan geven altijd dezelfde waarde.

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel om de waarde y van de logaritme te vinden

Argument x	100
Grondtal a	10
Logaritme y	=LOG(B1;B2)

Tabel om het argument x te vinden

Grondtal a	2
Logaritme y	10
Argument x	=B1^B2

Tabel om het grondtal a te vinden

Argument x	81
Logaritme y	4
Grondtal a	=B1^(1/B2)

Tabel om de productregel te controleren

Argument M	4
Argument N	25
log M + log N (grondtal 10)	=LOG(B1;10)+LOG(B2;10)
log van het product M×N (grondtal 10)	=LOG(B1*B2;10)

Tabel om de quotiëntregel te controleren

Argument M	1000
Argument N	10
log M − log N (grondtal 10)	=LOG(B1;10)-LOG(B2;10)
log van het quotiënt M÷N (grondtal 10)	=LOG(B1/B2;10)

Tabel om de machtsregel te controleren

Argument M	2
Exponent k	10
k × (log M) (grondtal 10)	=B2*LOG(B1;10)
log van de macht M^k (grondtal 10)	=LOG(B1^B2;10)

Google Spreadsheets heeft dezelfde functies LOG en LN als Excel, dus precies dezelfde formules werken.
Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de invoergetallen door je eigen getallen.

Berekenen met Python

import math

x = 100   # argument (een getal groter dan 0)
a = 10    # grondtal (groter dan 0 en ongelijk aan 1; gebruik math.e voor de natuurlijke logaritme)

y = math.log(x, a)   # logaritme y = log_a(x)
print(f"Logaritme van {x} met grondtal {a}: {y}")

# Ook de 10-logaritme (grondtal 10) en de natuurlijke logaritme (grondtal e) hebben een eigen functie
print(f"10-logaritme log10({x}) = {math.log10(x)}")
print(f"Natuurlijke logaritme ln({x}) = {math.log(x)}")

# Je kunt ook terugrekenen
true_number = a ** y        # het argument vinden (verhef het grondtal tot de macht y)
base_number = x ** (1 / y)  # het grondtal vinden (verhef het argument tot de macht 1/y)
print(f"Argument: {true_number}, grondtal: {base_number}")

Werkt met alleen de module math uit de standaardbibliotheek. math.log(argument, grondtal) geeft de logaritme (laat je het grondtal weg, dan krijg je de natuurlijke logaritme). Pas x en a bovenaan aan met je eigen getallen en voer het uit.

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

Definitie van een logaritme (wat \(y = \log_a x\) betekent)

y = logₐ x ⇔ x = aʸ

y = \log_{a} x \iff x = a^{y}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>y</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>x</mi>
    <mo>&#x21D4;</mo>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>a</mi><mi>y</mi></msup>
  </mrow>
</math>

y = log_a x iff x = a^y

Log[a, x]

y := log[a](x);

y = log(x)/log(a);

y = log_a(x)

De waarde van de logaritme vinden (grondtal veranderen)

logₐ x = ln x ÷ ln a

\log_{a} x = \dfrac{\ln x}{\ln a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>ln</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>x</mi></mrow>
      <mrow><mi>ln</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>a</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

log_a x = (ln x)/(ln a)

Log[x]/Log[a]

y := ln(x)/ln(a);

y = log(x)/log(a);

log_a(x) = ln(x)/ln(a)

Het grondtal vinden (uit het argument en de logaritme)

a = x^{1/y}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup>
      <mi>x</mi>
      <mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mi>y</mi></mrow>
    </msup>
  </mrow>
</math>

a = x^(1/y)

x^(1/y)

a := x^(1/y);

a = x^(1/y);

a = x^(1/y)

Productregel (de logaritme van een product is een som)

logₐ(MN) = logₐ M + logₐ N

\log_{a} MN = \log_{a} M + \log_{a} N

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mrow><mi>M</mi><mi>N</mi></mrow>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>M</mi>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>N</mi>
  </mrow>
</math>

log_a (MN) = log_a M + log_a N

Log[a, M*n] == Log[a, M] + Log[a, n]  (* N (numerieke evaluatie) is een gereserveerd woord in Mathematica, daarom wordt n gebruikt *)

log[a](M*N) = log[a](M) + log[a](N);

log(M*N)/log(a) == log(M)/log(a) + log(N)/log(a)

log_a(MN) = log_a(M) + log_a(N)

Quotiëntregel (de logaritme van een quotiënt is een verschil)

logₐ(M ÷ N) = logₐ M − logₐ N

\log_{a} \dfrac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mfrac><mi>M</mi><mi>N</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>M</mi>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>N</mi>
  </mrow>
</math>

log_a (M/N) = log_a M - log_a N

Log[a, M/n] == Log[a, M] - Log[a, n]  (* N (numerieke evaluatie) is een gereserveerd woord in Mathematica, daarom wordt n gebruikt *)

log[a](M/N) = log[a](M) - log[a](N);

log(M/N)/log(a) == log(M)/log(a) - log(N)/log(a)

log_a(M/N) = log_a(M) - log_a(N)

Machtsregel (de exponent gaat naar voren)

logₐ(Mᵏ) = k logₐ M

\log_{a} M^{k} = k \log_{a} M

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <msup><mi>M</mi><mi>k</mi></msup>
    <mo>=</mo>
    <mi>k</mi>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>M</mi>
  </mrow>
</math>

log_a (M^k) = k log_a M

Log[a, M^k] == k*Log[a, M]

log[a](M^k) = k*log[a](M);

log(M^k)/log(a) == k*log(M)/log(a)

log_a(M^k) = k log_a(M)

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een rekenassistent voor logaritmen. Voer de volgende berekeningen uit door daadwerkelijk Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geen hoofdrekenen of gokken).

Bereken elk van de volgende waarden:
1. De logaritme van 100 met grondtal 10 (log10(100))
2. De natuurlijke logaritme van 7 (ln 7)
3. Het argument als het grondtal 2 is en de logaritme 10 (2 tot de macht 10)
4. Het getal waarvan de vierde macht 81 is (het grondtal als het argument 81 is en de logaritme 4)

Laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule