TVM-rekenmachine (tijdwaarde van geld en financiële rekenmachine)

Laat van de vijf velden (aantal periodes N, jaarlijkse rente I/Y, contante waarde PV, bedrag per periode PMT en eindwaarde FV) alleen het veld leeg dat je wilt berekenen en vul de andere vier in. Het lege veld wordt berekend.

Aantal periodes N (aantal betalingen)

Jaarlijkse rente I/Y (%)

Contante waarde PV (€)

Bedrag per periode PMT (€)

Eindwaarde FV (€)

Betaalmoment

P/Y (betalingen per jaar)

C/Y (rentebijschrijvingen per jaar)

Tekenafspraak (zoals op een financiële rekenmachine): geld dat je uitgeeft is negatief en geld dat je ontvangt is positief. Bijvoorbeeld “€ 20.000 lenen en elk jaar € 2.000 aflossen” is PV = 20000 (ontvangen) en PMT = -2000 (uitgegeven). Vul 0 in bij een veld dat je niet gebruikt (een leeg veld betekent: dit veld wordt berekend). Dit is een rekenmodel met een vaste rente, zonder kosten, belastingen of rentewijzigingen van echte producten.

Resultaat en grafiek

Laat links van de vijf velden alleen het veld leeg dat je wilt berekenen en klik op “Berekenen”. Het resultaat en een grafiek verschijnen hier.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formules en grafieken
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Vul vier van de vijf waarden in: het aantal periodes \(N\), de jaarlijkse rente \(I/Y\), de contante waarde \(PV\), het bedrag per periode \(PMT\) en de eindwaarde \(FV\). Dan wordt de vijfde berekend (dezelfde TVM-opzet met vijf toetsen als op een financiële rekenmachine zoals de BA II Plus en de HP 12C)
De tekenafspraak is ook dezelfde als op een financiële rekenmachine: geld dat je uitgeeft (storten, sparen, aflossen) is negatief en geld dat je ontvangt (een lening die je krijgt, uitkeringen) is positief. Voorbeeld: om elk jaar € 2.000 te sparen vul je PMT = -2000 in
Je kunt het betaalmoment instellen (einde van de periode, zoals bij de meeste leningen en spaarplannen, of begin van de periode), en P/Y (betalingen per jaar) en C/Y (rentebijschrijvingen per jaar)
Naast de berekende waarde zie je ook het totaal van alle betalingen en de totale rente. Is het aantal periodes een geheel getal tot en met 20, dan krijg je ook een tabel met de rente en het saldo per periode
Met een grafiek van het saldo. Een heldere uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel (de functies TW, HW, BET, RENTE en NPER), Google Spreadsheets en Python staan ook op deze pagina

Deze pagina is een rekenmodel (de tijdwaarde van geld, TVM) waarbij de rente de hele looptijd gelijk blijft. Echte leningen, spaarrekeningen en beleggingen hebben kosten, belastingen en wisselende rentes, dus controleer de precieze bedragen bij je bank of geldverstrekker. Deze pagina raadt geen financieel product aan. Gebruik hem om financiële rekenkunde te oefenen (bedrijfseconomie, financiële wiskunde, CFA) en om te begrijpen hoe leningen en annuïteiten werken.

Waarvoor is deze berekening handig?

Financiële rekenkunde leren (de standaardfactoren)

De standaardfactoren die je in studieboeken voor bedrijfseconomie en financiële wiskunde tegenkomt (eindwaardefactor, contante-waardefactor, de factoren voor annuïteiten en hun omgekeerden) zijn allemaal omschrijvingen van deze ene TVM-vergelijking. De eindwaardefactor is bijvoorbeeld gewoon \((1+i)^N\) en de eindwaardefactor van een annuïteit is \(\dfrac{(1+i)^N-1}{i}\).
Door ze op deze pagina met verschillende getallen na te rekenen, begrijp je de factoren als “één vergelijking op verschillende manieren gelezen” in plaats van losse dingen om uit je hoofd te leren, wat ook bij moeilijkere opgaven helpt.

De maandlast van een hypotheek begrijpen

“Een annuïteitenhypotheek van € 300.000 met een rente van 4% en een looptijd van 30 jaar” is PV = +300.000, N = 360 (30 jaar × 12), maandelijkse betalingen (P/Y = C/Y = 12) en FV = 0, en je berekent PMT. Het antwoord is ongeveer € 1.432,25 per maand. In totaal betaal je ongeveer € 515.609, dus de totale rente is ongeveer € 215.609. (De rente van 4% is een voorbeeld, geen actuele marktrente.)
Als je ziet hoe het bedrag is opgebouwd, kun je zelf nagaan hoeveel het geleende bedrag, de rente en de looptijd elk uitmaken. Dit is alleen rente en aflossing; bij een echte hypotheek komen er kosten bij en is een deel van de rente onder voorwaarden aftrekbaar van je inkomen (hypotheekrenteaftrek). Kijk voor de voorwaarden op belastingdienst.nl en vraag je geldverstrekker om het precieze bedrag.

Een inkomen uit je spaarpot plannen (hoeveel heb je nodig om te beginnen)

“Ik wil 25 jaar lang elk jaar € 20.000 opnemen. Als mijn spaargeld 3% per jaar oplevert, hoeveel heb ik dan aan het begin nodig?” is PMT = +20.000, N = 25 en FV = 0, en je berekent PV. Het antwoord is ongeveer € 348.263 (PV = −348.263, het geld dat je aan het begin inlegt).
Je ontvangt in totaal € 500.000, dus de groei van je vermogen dekt het verschil van ongeveer € 151.737. In cijfers zien hoeveel het benodigde bedrag verandert als de rente verandert, helpt enorm bij het plannen (bij echt beleggen ligt het rendement niet vast en kun je geld verliezen).

Schatten hoe lang het duurt om een spaardoel te halen

“Als ik elke maand € 500 spaar tegen 3% (maandelijks bijgeschreven), wanneer heb ik dan € 50.000?” is PMT = −500, FV = +50.000 en P/Y = C/Y = 12, en je berekent N. Het antwoord is ongeveer 89,4 maanden (ongeveer 7,4 jaar).
Bij 0% duurt het 100 maanden, dus de rente brengt je ruim 10 maanden eerder bij je doel. Dat je in cijfers ziet hoeveel de rente helpt, maakt het berekenen van N interessant.

De rente in een autolening of afbetaling ontdekken

Voor een autolening van € 30.000 met een rente van 4% en een looptijd van 60 maanden vul je PV = +30.000, N = 60, P/Y = C/Y = 12 en FV = 0 in en bereken je PMT. De betaling is ongeveer € 552,50 per maand en het totaal is ongeveer € 33.150, dus ongeveer € 3.150 is rente.
Andersom: als je alleen het maandbedrag en het totaal kent, laat het berekenen van I/Y de werkelijke jaarrente zien. Zo vergelijk je autoleningen, leasevormen, achteraf-betalen-regelingen en telefoonabonnementen met een toestel op afbetaling. Bij kredieten moet in Nederland het jaarlijks kostenpercentage (JKP) worden getoond, waarin ook de kosten zijn verwerkt; de rente op deze pagina is de nominale rente zonder kosten.

Formules en grafieken

De TVM-vergelijking (de basisformule voor de tijdwaarde van geld, betalingen aan het einde van de periode)

Grafiek

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(PV\) \(\times\) \((1+i)\) \(N\) \(+\) \(PMT\) \(\times\) \(\dfrac{(1+i)^{N}-1}{i}\) \(+\) \(FV\) \(=\) \(0\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

① \(PV\): contante waarde \(\times\) ② groeifactor voor één periode ③ \(N\): aantal periodes \(+\) ④ bedrag per periode \(\times\) ⑤ eindwaardefactor van een annuïteit \(+\) ⑥ \(FV\): eindwaarde \(=\) \(0\)

De formule in woorden

① Neem het geld van nu, de \(PV\): contante waarde

② en vermenigvuldig dat met de groeifactor voor één periode \((1+i)\)

③ zo vaak als het aantal \(N\): aantal periodes

④ Tel daarbij \(PMT\): bedrag per periode

⑤ keer de eindwaardefactor van een annuïteit (hoeveel een betaling van 1 per periode met rente groeit tot)

⑥ en de \(FV\): eindwaarde . Deze drie delen zijn samen 0: het geld dat erin en eruit gaat is precies in evenwicht, inclusief rente

Een eenvoudig voorbeeld

Leen je € 1.000 tegen 6% per jaar (PV = +1000, geld dat je ontvangt) en los je alles in één keer af na 5 jaar zonder tussentijdse betalingen (PMT = 0), dan is het bedrag dat je terugbetaalt (FV)

contante waarde (+1000) \(\times\) groeifactor (1,06) periodes (5) \(+\) \(FV\): eindwaarde \(=\) \(0\)

\(1000 \times 1{,}06^{5} + FV = 0\)

\(FV = -1000 \times 1{,}06^{5} \approx -1338{,}23\)

Het belangrijkste idee

De sleutel van deze vergelijking is de tekenafspraak. Geld dat je uitgeeft is negatief en geld dat je ontvangt is positief. In het voorbeeld betekent het minteken in “FV = −1.338,23”: je betaalt na 5 jaar € 1.338,23. Op dezelfde manier is elk jaar € 2.000 sparen geld dat je uitgeeft, dus vul je PMT = −2000 in. Deze afspraak delen financiële rekenmachines zoals de BA II Plus en de HP 12C, en ook de functies TW, HW en BET van Excel. Hierin is \(i\) de rente per periode (bij jaarlijkse betalingen is dat de jaarrente zelf; bij 6% is \(i = 0{,}06\)). In de algemene vorm met \(g\) wordt bij betalingen aan het begin van de periode de \(PMT\)-term nog één keer met \((1+i)\) vermenigvuldigd, omdat geld dat eerder wordt betaald één periode meer rente oplevert.

De eindwaarde FV berekenen (betalingen aan het einde van de periode)

Grafiek

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(FV\) \(=\) \(-\) \((\) \(PV\) \(\times\) \((1+i)\) \(N\) \(+\) \(PMT\) \(\times\) \(\dfrac{(1+i)^{N}-1}{i}\) \()\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

⑥ \(FV\): eindwaarde \(=\) \(-\) \((\) ① \(PV\): contante waarde \(\times\) ② groeifactor voor één periode ③ \(N\): aantal periodes \(+\) ④ bedrag per periode \(\times\) ⑤ eindwaardefactor van een annuïteit \()\)

De formule in woorden

① Neem de \(PV\): contante waarde

② en vermenigvuldig dat met de groeifactor voor één periode \((1+i)\)

③ zo vaak als het aantal \(N\): aantal periodes

④ Tel daarbij \(PMT\): bedrag per periode

⑤ keer de eindwaardefactor van een annuïteit en draai het teken van het totaal om

⑥ en je krijgt \(FV\): eindwaarde

Een eenvoudig voorbeeld

Spaar je 5 jaar lang elk jaar € 2.000 tegen 3% (PV = 0, PMT = −2000, einde van de periode), dan is het bedrag dat je na 5 jaar ontvangt (FV)

\(FV\): eindwaarde \(=\) \(-\) \((\) bedrag per periode (−2000) \(\times\) eindwaardefactor (ongeveer 5,31) \()\)

\(\dfrac{1{,}03^{5}-1}{0{,}03} \approx 5{,}3091\)

\(FV = -\left( 0 + (-2000) \times 5{,}3091 \right) \approx 10618{,}27\)

Het belangrijkste idee

Het geld dat je uitgeeft, ingevuld als negatief getal (elk jaar € 2.000 gespaard), komt terug als geld dat je ontvangt, een positief getal (ongeveer € 10.618). Dat omslaan van het teken is de sleutel om TVM-antwoorden te lezen. Je legt 5 jaar × € 2.000 = € 10.000 in, dus het verschil van ongeveer € 618 is rente. Bij betalingen aan het begin van elk jaar wordt de \(PMT\)-term nog één keer met \((1+i)\) vermenigvuldigd, dus \(FV \approx 10618{,}27 \times 1{,}03 \approx 10936{,}82\) euro.

Het aantal periodes N berekenen (logaritmen, als PMT = 0)

Grafiek

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(N\) \(=\) \(\ln\!\left(-\dfrac{FV}{PV}\right)\) \(\div\) \(\ln(1+i)\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(N\): aantal periodes \(=\) ① logaritme van de totale groei \(\div\) ② logaritme van één periode

De formule in woorden

① Bereken hoeveel keer het geld groeit (de groeifactor \(-FV \div PV\)) en neem daarvan de logaritme van de totale groei \(\ln(-FV \div PV)\)

② deel die door de logaritme van de groeifactor voor één periode \(\ln(1+i)\)

③ en je krijgt \(N\): aantal periodes

Een eenvoudig voorbeeld

Hoeveel periodes duurt het als je € 1.000 wegzet tegen 8% per jaar (PV = −1000) tot het is gegroeid naar € 2.000 (FV = +2000, twee keer zo veel)? Dat zijn er

\(N\): aantal periodes \(=\) logaritme van de totale groei (2) \(\div\) logaritme van één periode (1,08)

\(-FV \div PV = -2000 \div (-1000) = 2\)

\(N = \ln 2 \div \ln 1{,}08 \approx 0{,}6931 \div 0{,}07696 \approx 9{,}006\)

Het belangrijkste idee

Omdat \(N\) in de exponent staat, los je het op met logaritmen (\(\ln\)), het hulpmiddel dat een exponent naar beneden haalt. Neem de logaritme van beide kanten van \((1+i)^N = -FV \div PV\) en je krijgt \(N \ln(1+i) = \ln(-FV \div PV)\), waaruit de formule hierboven volgt. Zijn er ook betalingen (\(PMT \neq 0\)), stel dan \(K = PMT(1+i \cdot g) \div i\). Dan wordt de vergelijking \((PV + K)(1+i)^N = K - FV\), die je ook met logaritmen oplost (de rekenmachine op deze pagina gebruikt deze algemene vorm). Komt de groeifactor uit op 0 of minder (bijvoorbeeld omdat je bij een storting beide bedragen hetzelfde teken gaf), dan is er geen oplossing.

De speciale formule bij 0% rente (als i = 0)

Grafiek

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(PV\) \(+\) \(PMT\) \(\times\) \(N\) \(+\) \(FV\) \(=\) \(0\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

① \(PV\): contante waarde \(+\) ② bedrag per periode \(\times\) ③ \(N\): aantal periodes \(+\) ④ \(FV\): eindwaarde \(=\) \(0\)

De formule in woorden

① Tel de \(PV\): contante waarde

② tel daarbij het \(PMT\): bedrag per periode

③ zo vaak als het aantal \(N\): aantal periodes

④ en de \(FV\): eindwaarde . Het totaal is 0 (zonder rente is het gewoon optellen en aftrekken)

Een eenvoudig voorbeeld

Bij 0% rente, als je eerst € 1.000 stort (PV = −1000) en 12 jaar lang elk jaar € 100 spaart (PMT = −100), is het bedrag dat je na 12 jaar ontvangt (FV)

contante waarde (−1000) \(+\) bedrag per periode (−100) \(\times\) periodes (12) \(+\) \(FV\): eindwaarde \(=\) \(0\)

\(-1000 + (-100) \times 12 + FV = 0\)

\(FV = 1000 + 1200 = 2200\)

Het belangrijkste idee

De TVM-vergelijking deelt door \(i\), dus bij 0% rente (\(i = 0\)) kun je hem niet zo gebruiken. Maar zonder rente is het eenvoudig: al het geld dat je erin stopt komt terug, dus het is gewoon optellen. De rekenmachine op deze pagina schakelt automatisch over op deze formule als \(i = 0\).

TVM (de tijdwaarde van geld) is één vergelijking die zegt dat geld nu, geld per periode en geld in de toekomst met elkaar in evenwicht zijn, inclusief rente. Zolang je de tekenafspraak volgt (geld uit is negatief, geld in is positief), kun je elk van de vijf waarden (N, I/Y, PV, PMT, FV) uit de andere vier berekenen. Alleen de jaarlijkse rente I/Y is niet los te maken door de formule om te schrijven, dus die wordt numeriek gezocht (met bisectie).

Symbolen en begrippen

Symbolen

\(PV\)	P V	Contante waarde (present value). Het geld dat nu beweegt. Positief als je het leent of ontvangt, negatief als je het stort of belegt.
\(FV\)	F V	Eindwaarde (future value). Het geld dat aan het einde van de looptijd beweegt. Positief als je het aan het einde ontvangt, negatief als je het betaalt.
\(PMT\)	P M T	Het bedrag per periode. Het geld dat elke periode beweegt. Geld dat je uitgeeft, zoals sparen of aflossen, is negatief; geld dat binnenkomt, zoals huur die je ontvangt, is positief.
\(N\)	N	Het aantal periodes (aantal betalingen). Het aantal periodes waarover rente wordt berekend. Bij jaarlijkse betalingen is dat gelijk aan het aantal jaren, maar bij maandelijkse betalingen (P/Y = 12) tel je maanden (10 jaar is \(N = 120\)).
\(I/Y\)	I per Y	Interest per year (rente per jaar). De jaarlijkse rente in %. De naam komt rechtstreeks van de toets op een financiële rekenmachine.
\(P/Y\)	P per Y	Betalingen per jaar (payments per year). Hoeveel betalingen \(PMT\) er in één jaar zijn: 1 bij jaarlijkse betalingen, 12 bij maandelijkse betalingen.
\(C/Y\)	C per Y	Rentebijschrijvingen per jaar (compounding periods per year). Hoe vaak per jaar rente bij het saldo wordt opgeteld. Meestal gelijk aan \(P/Y\); verschilt het, dan wordt de rentebijschrijving omgerekend naar de betaalperiode.
\(i\)	kleine i	De rente per periode als decimaal getal. Bij jaarlijkse betalingen is dat de jaarrente zelf (bij 6% is \(i = 0{,}06\)); bij maandelijkse betalingen is het de rente per maand.
\(g\)	g	Een schakelaar voor het betaalmoment: \(g = 1\) voor het begin van de periode en \(g = 0\) voor het einde. Bij betalingen aan het begin van de periode wordt de \(PMT\)-term nog één keer met \((1+i)\) vermenigvuldigd.
\(\ln\)	natuurlijke logaritme	De natuurlijke logaritme. Een hulpmiddel waarmee je vindt hoe vaak je moet vermenigvuldigen om een bepaalde factor te bereiken. Het wordt gebruikt om het aantal periodes \(N\) te berekenen.

Begrippen

tijdwaarde van geld (TVM)	Het idee dat € 10.000 nu meer waard is dan € 10.000 in de toekomst, omdat geld dat je nu hebt rente kan opleveren. Het is de basis van de financiële rekenkunde en de vergelijking op deze pagina giet dat idee in één formule.
contante waarde	Wat toekomstig geld waard is in geld van nu. Bij 2% per jaar is € 10.200 over een jaar bijvoorbeeld evenveel waard als € 10.000 nu.
eindwaarde	Hoeveel geld dat je nu hebt, of regelmatig gespaard geld, in de toekomst waard is, inclusief rente.
disconteren	Toekomstig geld omrekenen naar zijn contante waarde. Je deelt het toekomstige bedrag door \((1+i)^N\), dus de waarde wordt lager. Het is precies het omgekeerde van rente bijschrijven (rente op rente).
eindwaardefactor van een annuïteit	De factor \(\dfrac{(1+i)^N - 1}{i}\): hoeveel een betaling van € 1 per periode met rente groeit tot. Je vermenigvuldigt hem met het bedrag per periode. (Bij een annuïteit is het bedrag elke periode gelijk.)
contante-waardefactor van een annuïteit	De factor \(\dfrac{1-(1+i)^{-N}}{i}\): wat het recht om € 1 per periode te ontvangen nu waard is. Het is de versie met contante waarde van de eindwaardefactor van een annuïteit, gebruikt voor annuïteiten en hypotheken (het verband tussen het geleende bedrag en elke betaling).
kasstroom	De stroom van geld dat binnenkomt en uitgaat. TVM kijkt alleen naar wanneer, hoeveel en in welke richting geld beweegt en geeft de richting aan met een teken (plus of min).
tekenafspraak	De afspraak dat geld dat je uitgeeft (storten, sparen, aflossen) negatief is en geld dat je ontvangt (een lening die je krijgt, uitkeringen) positief. Financiële rekenmachines en de financiële functies van Excel delen deze afspraak, waardoor leningen, sparen en annuïteiten allemaal dezelfde vergelijking gebruiken.
postnumerando	Betalingen (PMT) aan het einde van elke periode. De meeste aflossingen en spaarplannen werken zo, en het is de standaardinstelling op deze pagina.
prenumerando	Betalingen (PMT) aan het begin van elke periode. Dezelfde betaling gaat een periode eerder rente opleveren, dus de \(PMT\)-term wordt nog één keer met \((1+i)\) vermenigvuldigd. Huur die je vooruit betaalt werkt zo.
financiële rekenmachine	Een rekenmachine met speciale TVM-toetsen (N, I/Y, PV, PMT, FV). De Texas Instruments BA II Plus en de HP 12C zijn bekend en worden gebruikt bij examens zoals CFA en CFP en in het werk. Deze pagina is een webversie van dezelfde opzet met vijf toetsen.
bisectiemethode	Een numerieke methode die een benaderd antwoord vindt door het interval waarin het antwoord ligt steeds te halveren, gebruikt als het antwoord niet los te maken is door de formule om te schrijven. Het berekenen van de jaarlijkse rente I/Y vraagt om het oplossen van een vergelijking van graad N, waarvoor geen algemene formule bestaat, dus deze pagina gebruikt bisectie.

Handig om vooraf te weten

Dit helpt je om de berekening op deze pagina echt te begrijpen, en niet alleen op de knop te drukken.

Positieve en negatieve getallen (klas 1, 12-13 jaar)	Een negatief getal lezen als een hoeveelheid in de tegenovergestelde richting (op deze pagina is geld dat je uitgeeft negatief) Negatieve getallen kunnen vermenigvuldigen, zoals in \((-2000) \times 5 = -10000\)
Percentages (groep 7-8, 10-12 jaar)	Kunnen omrekenen van “6%” naar het decimale getal 0,06 Weten dat “6% erbij” hetzelfde betekent als “× 1,06”
Machten (klas 2, 13-14 jaar)	Weten dat \(1{,}06^{5}\) betekent: 1,06 vijf keer met zichzelf vermenigvuldigd
De basis van samengestelde rente (“Samengestelde rente berekenen” op deze site)	Begrijpen wat samengestelde rente is, waarbij de rente die je krijgt ook weer rente oplevert
Logaritmen (havo 5 en vwo 5-6, 16-18 jaar, voor gevorderden)	Met een logaritme kunnen vinden hoe vaak je moet vermenigvuldigen om een bepaalde factor te bereiken (dit gebruik je bij het berekenen van N; lukt dat niet, dan rekent de rekenmachine het voor je uit)

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel voor de eindwaarde FV (functie TW)

Rente per periode (6% = 0,06)	0,06
Aantal periodes N	10
Bedrag per periode PMT	-2000
Contante waarde PV	20000
Eindwaarde FV	=TW(B1;B2;B3;B4;0)

Tabel voor het bedrag per periode PMT (functie BET)

Rente per periode (6% = 0,06)	0,06
Aantal periodes N	10
Contante waarde PV	20000
Eindwaarde FV	0
Bedrag per periode PMT	=BET(B1;B2;B3;B4;0)

Tabel voor de rente (functie RENTE)

Aantal periodes N	5
Bedrag per periode PMT	0
Contante waarde PV	-1000
Eindwaarde FV	1500
Rente per periode	=RENTE(B1;B2;B3;B4)

Tabel voor het aantal periodes N (functie NPER)

Rente per periode (8% = 0,08)	0,08
Bedrag per periode PMT	0
Contante waarde PV	-1000
Eindwaarde FV	2000
Aantal periodes N	=NPER(B1;B2;B3;B4)

Tabel voor de contante waarde PV (functie HW, begin van de periode)

Rente per periode (5% = 0,05)	0,05
Aantal periodes N	20
Bedrag per periode PMT	-100
Eindwaarde FV	0
Contante waarde PV	=HW(B1;B2;B3;B4;1)

Excel heeft ingebouwde TVM-functies (TW, BET, RENTE, NPER en HW) en die gebruiken dezelfde tekenafspraak als deze pagina (geld uit is negatief, geld in is positief).
De eerste tabel geeft in B5 -9.455,36, de tweede -2.717,36, de derde ongeveer 0,0845 (een jaarrente van 8,447%; geef de cel de notatie percentage om het makkelijk te lezen), de vierde ongeveer 9,006 en de vijfde 1.308,53.
Het laatste argument van TW, BET en HW is het betaalmoment: 0 of weggelaten = einde van de periode, 1 = begin van de periode. Bij maandelijkse betalingen vul je de rente per maand (jaarrente ÷ 12) en N in maanden in. In Nederlandse Excel schrijf je decimalen met een komma (0,06) en scheid je de argumenten met een puntkomma.

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel voor de eindwaarde FV (functie TW)

Rente per periode (6% = 0,06)	0,06
Aantal periodes N	10
Bedrag per periode PMT	-2000
Contante waarde PV	20000
Eindwaarde FV	=TW(B1;B2;B3;B4;0)

Tabel voor het bedrag per periode PMT (functie BET)

Rente per periode (6% = 0,06)	0,06
Aantal periodes N	10
Contante waarde PV	20000
Eindwaarde FV	0
Bedrag per periode PMT	=BET(B1;B2;B3;B4;0)

Tabel voor de rente (functie RENTE)

Aantal periodes N	5
Bedrag per periode PMT	0
Contante waarde PV	-1000
Eindwaarde FV	1500
Rente per periode	=RENTE(B1;B2;B3;B4)

Tabel voor het aantal periodes N (functie NPER)

Rente per periode (8% = 0,08)	0,08
Bedrag per periode PMT	0
Contante waarde PV	-1000
Eindwaarde FV	2000
Aantal periodes N	=NPER(B1;B2;B3;B4)

Tabel voor de contante waarde PV (functie HW, begin van de periode)

Rente per periode (5% = 0,05)	0,05
Aantal periodes N	20
Bedrag per periode PMT	-100
Eindwaarde FV	0
Contante waarde PV	=HW(B1;B2;B3;B4;1)

Google Spreadsheets gebruikt dezelfde functies (TW, BET, RENTE, NPER, HW) en dezelfde tekenafspraak als Excel. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de invoer in kolom B door je eigen getallen.

Berekenen met Python

import math

# Zet de waarde die je wilt berekenen op None (dit voorbeeld berekent fv)
n = 10            # aantal periodes N (aantal betalingen)
annual_rate = 6   # jaarlijkse rente I/Y (%)
pv = 20000        # contante waarde PV (geld in = positief, geld uit = negatief)
pmt = -2000       # bedrag per periode PMT
fv = None         # eindwaarde FV
is_beginning = False  # True = begin van de periode, False = einde van de periode

g = 1 if is_beginning else 0
# Rente per periode (jaarlijkse betalingen; bij maandelijkse betalingen deel je door 12 en tel je n in maanden). Laat op None staan als je de rente berekent
i = annual_rate / 100 if annual_rate is not None else None

def tvm_left_side(i_, n_, pv_, pmt_, fv_):
    """Linkerkant van de TVM-vergelijking (het antwoord maakt hem 0)"""
    if abs(i_) < 1e-12:
        return pv_ + pmt_ * n_ + fv_
    growth = (1 + i_) ** n_
    return pv_ * growth + pmt_ * (1 + i_ * g) * (growth - 1) / i_ + fv_

if fv is None:
    fv = -(pv + pmt * n) if abs(i) < 1e-12 else -(pv * (1 + i) ** n + pmt * (1 + i * g) * ((1 + i) ** n - 1) / i)
    print(f"Eindwaarde FV = {fv:,.2f}")
elif pv is None:
    pv = -(fv + pmt * n) if abs(i) < 1e-12 else -(fv + pmt * (1 + i * g) * ((1 + i) ** n - 1) / i) / (1 + i) ** n
    print(f"Contante waarde PV = {pv:,.2f}")
elif pmt is None:
    pmt = -(pv + fv) / n if abs(i) < 1e-12 else -(pv * (1 + i) ** n + fv) / ((1 + i * g) * ((1 + i) ** n - 1) / i)
    print(f"Bedrag per periode PMT = {pmt:,.2f}")
elif n is None:
    if abs(i) < 1e-12:
        n = -(pv + fv) / pmt
    else:
        k = pmt * (1 + i * g) / i
        n = math.log((k - fv) / (pv + k)) / math.log(1 + i)
    print(f"Aantal periodes N = {n:.3f}")
else:
    # De jaarlijkse rente is niet los te maken door de formule om te schrijven, dus zoek met bisectie (bij sommige invoer is er geen oplossing)
    low, high = -0.9999, 10.0
    if tvm_left_side(low, n, pv, pmt, fv) * tvm_left_side(high, n, pv, pmt, fv) > 0:
        raise SystemExit("Geen oplossing in dit bereik. Controleer de richting (het teken) van het geld")
    for _ in range(200):
        mid = (low + high) / 2
        if tvm_left_side(low, n, pv, pmt, fv) * tvm_left_side(mid, n, pv, pmt, fv) <= 0:
            high = mid
        else:
            low = mid
    i = (low + high) / 2
    print(f"Jaarlijkse rente I/Y = {i * 100:.3f}%")

total_interest = abs(pv + pmt * n + fv)
print(f"Totale rente = {total_interest:,.2f}")

Werkt met alleen de standaardbibliotheek. Zet de waarde die je wilt berekenen op None, vul bij de andere vier getallen in en voer het uit. De tekenafspraak (geld uit is negatief, geld in is positief) is dezelfde als bij de rekenmachine op deze pagina. Alleen de jaarlijkse rente heeft geen formule, dus die wordt gevonden met bisectie (het interval waarin het antwoord ligt steeds halveren). Python toont getallen in Engelse notatie (komma bij duizendtallen, punt bij decimalen).

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

De TVM-vergelijking (de basisformule voor de tijdwaarde van geld, betalingen aan het einde van de periode)

PV(1 + i)ᴺ + PMT × ((1 + i)ᴺ − 1)/i + FV = 0

PV(1+i)^{N} + PMT \cdot \dfrac{(1+i)^{N}-1}{i} + FV = 0

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>PV</mi>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mi>N</mi>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mi>PMT</mi>
    <mo>&#x22C5;</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <msup>
          <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow>
          <mi>N</mi>
        </msup>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <mn>1</mn>
      </mrow>
      <mi>i</mi>
    </mfrac>
    <mo>+</mo>
    <mi>FV</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
  </mrow>
</math>

PV(1+i)^N + PMT((1+i)^N-1)/i + FV = 0

pv (1 + i)^n + pmt ((1 + i)^n - 1)/i + fv == 0

pv*(1 + i)^n + pmt*((1 + i)^n - 1)/i + fv = 0;

pv*(1 + i)^n + pmt*((1 + i)^n - 1)/i + fv == 0

PV(1+i)^N + PMT((1+i)^N-1)/i + FV = 0

De eindwaarde FV berekenen (betalingen aan het einde van de periode)

FV = −(PV(1 + i)ᴺ + PMT × ((1 + i)ᴺ − 1)/i)

FV = -\left( PV(1+i)^{N} + PMT \cdot \dfrac{(1+i)^{N}-1}{i} \right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>FV</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mi>PV</mi>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>N</mi>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mi>PMT</mi>
      <mo>&#x22C5;</mo>
      <mfrac>
        <mrow>
          <msup>
            <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow>
            <mi>N</mi>
          </msup>
          <mo>&#x2212;</mo>
          <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mi>i</mi>
      </mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
  </mrow>
</math>

FV = -(PV(1+i)^N + PMT((1+i)^N-1)/i)

fv = -(pv (1 + i)^n + pmt ((1 + i)^n - 1)/i)

fv := -(pv*(1 + i)^n + pmt*((1 + i)^n - 1)/i);

fv = -(pv*(1 + i)^n + pmt*((1 + i)^n - 1)/i);

FV = -(PV(1+i)^N + PMT((1+i)^N-1)/i)

Het aantal periodes N berekenen (logaritmen, als PMT = 0)

N = ln(−FV/PV) / ln(1 + i)

N = \dfrac{\ln\left(-\dfrac{FV}{PV}\right)}{\ln(1+i)}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>N</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mi>ln</mi>
        <mrow>
          <mo>(</mo>
          <mo>&#x2212;</mo>
          <mfrac><mi>FV</mi><mi>PV</mi></mfrac>
          <mo>)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mrow>
        <mi>ln</mi>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

N = ln(-FV/PV) / ln(1+i)

n = Log[-fv/pv]/Log[1 + i]

n := ln(-fv/pv)/ln(1 + i);

n = log(-fv/pv)/log(1 + i);

N = ln(-FV/PV)/ln(1+i)

De speciale formule bij 0% rente (als i = 0)

PV + PMT × N + FV = 0

PV + PMT \cdot N + FV = 0

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>PV</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>PMT</mi>
    <mo>&#x22C5;</mo>
    <mi>N</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>FV</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
  </mrow>
</math>

PV + PMT * N + FV = 0

pv + pmt n + fv == 0

pv + pmt*n + fv = 0;

pv + pmt*n + fv == 0

PV + PMT N + FV = 0

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een assistent voor financiële berekeningen (tijdwaarde van geld, TVM). Voer de volgende berekening uit door echt Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geen hoofdrekenen of gokken).

Gebruik de standaard TVM-vergelijking PV(1+i)^N + PMT(1+i*g)*((1+i)^N - 1)/i + FV = 0 (g=1 voor betalingen aan het begin van elke periode, g=0 voor het einde).
De tekenafspraak is dezelfde als op een financiële rekenmachine: geld dat je uitgeeft is negatief en geld dat je ontvangt is positief.

Je leent € 20.000 tegen 6% per jaar (PV = +20000) en lost het af met gelijke betalingen aan het einde van elk jaar gedurende 10 jaar (FV = 0).
Bereken het volgende:
1. De jaarlijkse betaling PMT
2. Het totaal van alle betalingen (PMT × 10)
3. De totale rente (|PV + PMT×N + FV|)

Laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule