Kies het formaat van de matrix (2×2 tot 4×4) en vul de elementen in het rooster in. Een inverse bestaat alleen voor een vierkante matrix (aantal rijen = aantal kolommen) en alleen als de determinant niet 0 is (is hij 0, dan meldt de rekenmachine dat).
Vul de elementen in als getallen (decimale en negatieve getallen mogen).
Resultaat
Kies links het formaat van de matrix, vul de elementen in en klik op “Berekenen”. Hier verschijnen de inverse matrix en de stappen.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formule
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Bereken ter plekke de inverse \(A^{-1}\) van een vierkante matrix van 2×2, 3×3 of 4×4
- Je ziet ook de determinant \(\det(A)\) en of de inverse bestaat (of de matrix inverteerbaar is)
- De stappen gebruiken de formule “\(A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)” voor 2×2 en de methode met de geadjugeerde matrix voor 3×3 en 4×4
- Een heldere uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets (INVERSEMAT) en Python vind je ook op deze pagina
Alleen een vierkante matrix (aantal rijen = aantal kolommen) waarvan de determinant niet 0 is, heeft een inverse. Optellen, vermenigvuldigen en transponeren vind je op de zusterpagina “Matrixrekenmachine” en uitgebreide stappen voor de determinant op “Determinant berekenen”.
Waarvoor is deze berekening handig?
Een stelsel lineaire vergelijkingen in één keer oplossen
Een stelsel lineaire vergelijkingen met evenveel vergelijkingen als onbekenden kun je met de matrix van coëfficiënten \(A\) schrijven als \(A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\). Vermenigvuldig beide kanten links met \(A^{-1}\) en je krijgt \(\boldsymbol{x} = A^{-1}\boldsymbol{b}\). Heb je de inverse eenmaal, dan geeft één vermenigvuldiging de oplossing.
Dit is vooral krachtig als je het stelsel steeds opnieuw oplost met alleen een ander rechterlid \(\boldsymbol{b}\) (zoals bij constructieberekeningen of schakelingen). Bestaat de inverse niet (de determinant is 0), dan is dat een teken dat het stelsel niet precies één oplossing heeft.
Coördinatentransformaties in graphics en robotica ongedaan maken
In 3D-graphics, games en robotbesturing reken je transformaties zoals draaien, schalen en verplaatsen uit met matrixvermenigvuldiging. Terug van de coördinaten na een transformatie naar de coördinaten ervoor gaat met de inverse matrix.
Het wisselen tussen coördinaten gezien vanuit de camera en coördinaten van de hele wereld (de viewmatrix), of uitrekenen waar een punt waarop je op het scherm klikt in de 3D-ruimte ligt, gebruikt bijna bij elk beeld inverse matrices.
Een versleuteling met een matrix als sleutel ontsleutelen (Hill-cijfer)
Zet letters om in getallen en vermenigvuldig met een matrix, en een bericht wordt een versleuteld bericht (het Hill-cijfer). De ontvanger krijgt het oorspronkelijke bericht terug door te vermenigvuldigen met de inverse van de sleutelmatrix.
Het paar “wat een matrix doet, maakt de inverse ongedaan” is precies het paar versleutelen en ontsleutelen, en is daarmee het meest directe voorbeeld van het idee van een inverse. (In de praktijk reken je met de rest na deling door 26, dus de sleutel moet een matrix zijn die in dat getalsysteem een inverse heeft.)
Doorwerkingseffecten in de economie berekenen (input-outputanalyse)
Doorwerkingseffecten tussen bedrijfstakken, zoals “als de autoproductie groeit, hoeveel meer staal en elektriciteit moet er dan worden geproduceerd”, reken je uit door de handel tussen bedrijfstakken in een matrix \(A\) te zetten en te vermenigvuldigen met \((I - A)^{-1}\) (de Leontief-inverse).
Het is een standaardmethode wanneer overheden de economische gevolgen van openbare werken of evenementen zoals festivals bekendmaken, en een belangrijk voorbeeld van inverse matrices die publieke beslissingen ondersteunen.
De best passende lijn door gegevens vinden (regressie, een basis van AI)
Regressieanalyse (kleinste kwadraten), die “de lijn die het best past” trekt door gegevens zoals reclame-uitgaven en omzet, schrijft haar oplossing op met een inverse matrix: \(\hat{\boldsymbol{\beta}} = (X^{\mathsf{T}}X)^{-1}X^{\mathsf{T}}\boldsymbol{y}\) (de oplossing van de normaalvergelijkingen).
Deze formule staat in elk leerboek over statistiek en machine learning, en de inverse matrix staat aan het begin van hoe AI trends uit gegevens leert.
Formule
Definitie van de inverse (de matrix die de eenheidsmatrix oplevert)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(A\)
\(A^{-1}\)
\(=\)
\(I\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
①
\(A\): oorspronkelijke matrix
②
\(A^{-1}\): inverse matrix
\(=\)
③
\(I\): eenheidsmatrix
De formule in woorden
①
Vermenigvuldig de
\(A\): oorspronkelijke matrix
met de
②
\(A^{-1}\): inverse matrix
, dan krijg je de
③
\(I\): eenheidsmatrix (enen op de diagonaal van linksboven naar rechtsonder, overal elders nullen)
Een eenvoudig voorbeeld
De inverse van \(A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}\) is \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 0{,}6 & -0{,}7 \\ -0{,}2 & 0{,}4 \end{pmatrix}\) (de volgende formule laat zien hoe je die vindt). Controleer het door te vermenigvuldigen:
\(A\): oorspronkelijke matrix
\(A^{-1}\): inverse matrix
\(=\)
\(I\): eenheidsmatrix
\(\begin{pmatrix} 4 \times 0{,}6 + 7 \times (-0{,}2) & 4 \times (-0{,}7) + 7 \times 0{,}4 \\ 2 \times 0{,}6 + 6 \times (-0{,}2) & 2 \times (-0{,}7) + 6 \times 0{,}4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Het belangrijkste idee
De inverse matrix is “de matrixversie van een omgekeerd getal”. Net zoals \(a \times \dfrac{1}{a} = 1\) bij getallen (vermenigvuldig 3 met \(\dfrac{1}{3}\) en je bent terug bij 1), geldt bij matrices \(A A^{-1} = I\). De eenheidsmatrix \(I\) is “de matrix die niets verandert als je ermee vermenigvuldigt” en speelt de rol van het getal 1.
De volgorde van vermenigvuldigen maakt hier niet uit: \(A A^{-1} = A^{-1} A = I\). En zoals het getal 0 geen omgekeerde heeft, hebben sommige matrices geen inverse. Of een matrix er een heeft, zie je aan de vraag of de determinant \(\det(A)\) gelijk is aan 0. (Sommige boeken schrijven de eenheidsmatrix als \(E\) in plaats van \(I\).)
Formule voor de inverse van een 2×2-matrix
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(A^{-1}\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{ad - bc}\)
\(\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(A^{-1}\): inverse matrix
\(=\)
②
\(\dfrac{1}{ad - bc}\): 1 gedeeld door de determinant
①
matrix met de elementen omgewisseld
De formule in woorden
①
Neem bij \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) de
matrix met de elementen omgewisseld (wissel \(a\) en \(d\) om en verander de tekens van \(b\) en \(c\))
, vermenigvuldig elk element met
②
\(\dfrac{1}{ad - bc}\): 1 gedeeld door de determinant
, en je krijgt de
③
\(A^{-1}\): inverse matrix
Een eenvoudig voorbeeld
De inverse van \(A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}\) is
\(ad - bc = 4 \times 6 - 7 \times 2 = 24 - 14 = 10\)
\(A^{-1} = \dfrac{1}{10} \begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}6 & -0{,}7 \\ -0{,}2 & 0{,}4 \end{pmatrix}\)
Het belangrijkste idee
Onthoud het als drie stappen: “wissel linksboven en rechtsonder (\(a\) en \(d\)) om, verander de tekens van rechtsboven en linksonder (\(b\) en \(c\)) en deel door de determinant \(ad - bc\)”.
Als \(ad - bc = 0\), zou je door 0 delen, dus kun je de formule niet gebruiken. Een matrix met determinant 0 heeft dus geen inverse (deze rekenmachine meldt dan dat de inverse niet bestaat).
De geadjugeerde matrix gebruiken (de algemene formule, ook voor 3×3 en groter)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(A^{-1}\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{\det(A)}\)
\(\operatorname{adj}(A)\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(A^{-1}\): inverse matrix
\(=\)
②
\(\dfrac{1}{\det(A)}\): 1 gedeeld door de determinant
①
\(\operatorname{adj}(A)\): geadjugeerde matrix
De formule in woorden
①
Neem de
\(\operatorname{adj}(A)\): geadjugeerde matrix (de cofactoren van alle elementen, in een matrix gezet en daarna met rijen en kolommen verwisseld)
, vermenigvuldig elk element met
②
\(\dfrac{1}{\det(A)}\): 1 gedeeld door de determinant
, en je krijgt de
③
\(A^{-1}\): inverse matrix
Een eenvoudig voorbeeld
Voor \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}\) geeft ontwikkelen naar cofactoren de determinant, en daarna de inverse:
\(\det(A) = 1 \times (1 \times 0 - 4 \times 6) - 2 \times (0 \times 0 - 4 \times 5) + 3 \times (0 \times 6 - 1 \times 5)\)
\(= -24 + 40 - 15 = 1\)
\(A^{-1} = \dfrac{1}{1} \operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}\)
Het belangrijkste idee
De geadjugeerde matrix \(\operatorname{adj}(A)\) maak je zo: bereken voor elke plaats “de minor die overblijft als je rij \(i\) en kolom \(j\) weglaat, met het teken \((-1)^{i+j}\)” (de cofactor), zet die in een matrix en verwissel ten slotte rijen en kolommen (transponeren). Ze heet ook wel adjunctmatrix. De “omgewisselde matrix” in de 2×2-formule is in feite precies deze geadjugeerde matrix.
Met de hand is Gauss-Jordan-eliminatie een andere vaste methode: je zet de eenheidsmatrix naast de matrix en vervormt de rijen. Beide methoden geven hetzelfde antwoord. Deze rekenmachine laat de tussenwaarden van de methode met de geadjugeerde matrix zien.
De inverse \(A^{-1}\) is “de partner die de eenheidsmatrix \(I\) oplevert als je ermee vermenigvuldigt”, de matrixversie van een omgekeerd getal. Hij bestaat alleen voor vierkante matrices met \(\det(A) \neq 0\). Voor 2×2 gebruik je de formule “omwisselen, tekens veranderen, delen door de determinant”; voor 3×3 en groter gebruik je de geadjugeerde matrix (of Gauss-Jordan-eliminatie). Inverses worden veel gebruikt om stelsels lineaire vergelijkingen op te lossen.
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(A\) | A | De naam van een matrix. Matrices noem je gewoonlijk met hoofdletters. |
| \(A^{-1}\) | A inverse | De inverse van matrix \(A\). De \(-1\) rechtsboven schrijf je als “tot de macht −1”, hetzelfde idee als het omgekeerde van een getal, \(a^{-1} = \dfrac{1}{a}\) (maar een matrix schrijf je nooit als breuk \(\dfrac{1}{A}\)). |
| \(I\) | I (eenheidsmatrix) | De eenheidsmatrix: een vierkante matrix met enen op de diagonaal van linksboven naar rechtsonder en nullen overal elders. Vermenigvuldig je een matrix ermee, dan verandert er niets, dus ze speelt de rol van het getal 1. Soms schrijf je \(I_n\) om het formaat aan te geven, en sommige boeken schrijven \(E\). |
| \(\det(A),\ |A|\) | determinant van A | De determinant van matrix \(A\). Is die niet 0, dan bestaat de inverse; is hij 0, dan niet. De schrijfwijze met verticale streepjes \(|A|\) is ook gebruikelijk. |
| \(\operatorname{adj}(A)\) | geadjugeerde van A | De geadjugeerde matrix van \(A\): de cofactoren van alle elementen, in een matrix gezet en getransponeerd. Ze wordt geschreven als adj, van de eerste drie letters van “adjugate” (de Engelse naam). |
| \(a_{ij}\) | a i j | Het element van matrix \(A\) in rij \(i\), kolom \(j\) (het getal in de \(i\)e rij van boven en de \(j\)e kolom van links). De kleine letters rechtsonder (de indices) geven de plaats aan. |
Begrippen
| inverse matrix | De matrix die de eenheidsmatrix oplevert als je ermee vermenigvuldigt. Het is de matrixversie van een omgekeerd getal en wordt geschreven als \(A^{-1}\). Hij bestaat alleen voor vierkante matrices waarvan de determinant niet 0 is, en wordt gebruikt om stelsels lineaire vergelijkingen op te lossen en transformaties ongedaan te maken. |
| eenheidsmatrix | Een vierkante matrix met enen op de diagonaal (van linksboven naar rechtsonder) en nullen overal elders. Vermenigvuldig je een matrix ermee, dan verandert er niets, dus ze komt overeen met het getal 1. |
| vierkante matrix | Een matrix met evenveel rijen als kolommen (de vorm van een vierkant). Inverse matrices en determinanten bestaan alleen voor vierkante matrices. |
| determinant | Eén getal dat bij een vierkante matrix hoort. Het zegt je dat er een inverse bestaat als \(\det(A) \neq 0\). Hoe je hem vindt, wordt uitgebreid uitgelegd op de zusterpagina “Determinant berekenen”. |
| inverteerbare matrix | Een vierkante matrix waarvan de determinant niet 0 is. Zo’n matrix heet ook regulier en heeft een inverse. Een matrix met determinant 0 heet singulier en heeft geen inverse. |
| cofactor | De determinant van de kleinere matrix die overblijft als je rij \(i\) en kolom \(j\) weglaat (de minor), vermenigvuldigd met het teken \((-1)^{i+j}\). Cofactoren zijn de bouwstenen van de geadjugeerde matrix. |
| geadjugeerde matrix | De matrix van de cofactoren van alle plaatsen, met rijen en kolommen verwisseld (getransponeerd). Ze wordt geschreven als \(\operatorname{adj}(A)\) en als je haar deelt door de determinant, krijg je de inverse. Ze heet ook adjunctmatrix. Pas op: de “geadjungeerde matrix” (met een n) is vaak een andere matrix, de toegevoegde getransponeerde (de getransponeerde met complex geconjugeerde elementen). |
| Gauss-Jordan-eliminatie | Een methode waarbij je matrix \(A\) en de eenheidsmatrix \(I\) naast elkaar zet en rijbewerkingen herhaalt tot de linkerhelft \(I\) is; de rechterhelft is dan \(A^{-1}\). Voor grote matrices is dit de belangrijkste methode. |
| lineaire algebra | Het deel van de wiskunde over matrices en vectoren. Het is vaak een verplicht vak in het eerste studiejaar aan hbo of universiteit en vormt de basis van computergraphics, statistiek, AI en meer. |
Handig om vooraf te weten
Dit helpt je om de berekening op deze pagina te gebruiken met echt begrip, en niet alleen door op de knop te drukken.
| Rekenen met negatieve getallen (klas 1, 12-13 jaar) |
|
| Omgekeerde getallen (klas 1, 12-13 jaar) |
|
| Basis van matrices en vermenigvuldigen (lineaire algebra) |
|
| Determinanten (lineaire algebra) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel om de inverse van een 2×2-matrix te vinden
| Rij 1 van matrix A | 4 | 7 |
| Rij 2 van matrix A | 2 | 6 |
| Inverse A⁻¹ | =INVERSEMAT(B1:C2) |
Tabel om de inverse van een 3×3-matrix te vinden
| Rij 1 van matrix A | 1 | 2 | 3 |
| Rij 2 van matrix A | 0 | 1 | 4 |
| Rij 3 van matrix A | 5 | 6 | 0 |
| Inverse A⁻¹ | =INVERSEMAT(B1:D3) |
De functie INVERSEMAT vindt de inverse in je eentje. Geef het bereik van de vierkante matrix op (B1:C2 in de eerste tabel) en het antwoord verschijnt als matrix van hetzelfde formaat, die zich automatisch naar rechts en omlaag uitbreidt vanaf de cel met de formule (het overloopgedrag van dynamische matrices; selecteer in oudere Excel-versies eerst een bereik ter grootte van het antwoord en voer de formule in met Ctrl+Shift+Enter).
In de eerste tabel is rij 1 gelijk aan 0,6 en -0,7 en rij 2 aan -0,2 en 0,4. In de tweede tabel is rij 1 gelijk aan -24; 18; 5, rij 2 aan 20; -15; -4 en rij 3 aan -5; 4; 1.
Geef je INVERSEMAT een matrix waarvan de determinant 0 is (een matrix zonder inverse), dan krijg je de foutmelding #GETAL!. De determinant zelf kun je controleren met de functie DETERMINANTMAT.
In de eerste tabel is rij 1 gelijk aan 0,6 en -0,7 en rij 2 aan -0,2 en 0,4. In de tweede tabel is rij 1 gelijk aan -24; 18; 5, rij 2 aan 20; -15; -4 en rij 3 aan -5; 4; 1.
Geef je INVERSEMAT een matrix waarvan de determinant 0 is (een matrix zonder inverse), dan krijg je de foutmelding #GETAL!. De determinant zelf kun je controleren met de functie DETERMINANTMAT.
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel om de inverse van een 2×2-matrix te vinden
| Rij 1 van matrix A | 4 | 7 |
| Rij 2 van matrix A | 2 | 6 |
| Inverse A⁻¹ | =INVERSEMAT(B1:C2) |
Tabel om de inverse van een 3×3-matrix te vinden
| Rij 1 van matrix A | 1 | 2 | 3 |
| Rij 2 van matrix A | 0 | 1 | 4 |
| Rij 3 van matrix A | 5 | 6 | 0 |
| Inverse A⁻¹ | =INVERSEMAT(B1:D3) |
Dezelfde functie INVERSEMAT als in Excel werkt zoals hij is. Kopieer de hele tabel en plak die in cel A1. Het antwoord breidt zich automatisch uit naar rechts en omlaag vanaf de cel met de formule.
In de eerste tabel is rij 1 gelijk aan 0,6 en -0,7 en rij 2 aan -0,2 en 0,4; in de tweede tabel is rij 1 gelijk aan -24; 18; 5, rij 2 aan 20; -15; -4 en rij 3 aan -5; 4; 1.
In de eerste tabel is rij 1 gelijk aan 0,6 en -0,7 en rij 2 aan -0,2 en 0,4; in de tweede tabel is rij 1 gelijk aan -24; 18; 5, rij 2 aan 20; -15; -4 en rij 3 aan -5; 4; 1.
Berekenen met Python
from fractions import Fraction
A = [[4, 7], [2, 6]]
def determinant(matrix): # determinant (ontwikkeling naar cofactoren langs rij 1, recursief berekend)
n = len(matrix)
if n == 1:
return matrix[0][0]
total = 0
for j in range(n):
minor = [row[:j] + row[j + 1:] for row in matrix[1:]] # deelmatrix zonder rij 1 en kolom j
total += (-1) ** j * matrix[0][j] * determinant(minor)
return total
def inverse(matrix): # inverse (geadjugeerde matrix gedeeld door de determinant)
n = len(matrix)
det = Fraction(determinant(matrix))
if det == 0:
return None # als de determinant 0 is, bestaat er geen inverse
inverse_rows = []
for i in range(n):
row = []
for j in range(n):
# element (i, j) = minor zonder rij j en kolom i x teken / determinant (inclusief het transponeren)
# entry (i, j) = minor without row j and column i x sign / determinant (includes the transpose)
minor = [r[:i] + r[i + 1:] for k, r in enumerate(matrix) if k != j]
row.append((-1) ** (i + j) * determinant(minor) / det)
inverse_rows.append(row)
return inverse_rows
inverse_matrix = inverse(A)
if inverse_matrix is None:
print("De inverse bestaat niet (det(A) = 0)")
else:
for row in inverse_matrix:
print([float(x) for x in row])
Werkt met alleen de standaardbibliotheek. Het gebruikt fractions, dat getallen als exacte breuken bewaart, dus ook bij delen ontstaat er geen afrondingsfout. Vervang bovenaan A door je eigen matrix (elke vierkante matrix, ook 4×4 of groter) en voer de code uit. Dit voorbeeld toont in rij 1 de getallen 0,6 en -0,7 en in rij 2 de getallen -0,2 en 0,4 (Python schrijft daarbij een punt in plaats van een komma). Voor serieus numeriek werk gebruik je meestal NumPy, een bibliotheek die voor matrices is gemaakt (numpy.linalg.inv(A)).
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Definitie van de inverse (de matrix die de eenheidsmatrix oplevert)
AA⁻¹ = A⁻¹A = I
A A^{-1} = A^{-1} A = I
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>A</mi>
<msup><mi>A</mi><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>A</mi><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mi>A</mi>
<mo>=</mo>
<mi>I</mi>
</mrow>
</math>
A A^-1 = A^-1 A = I
A . Inverse[A]
A . LinearAlgebra:-MatrixInverse(A);
I = A * inv(A);
AA^(-1) = A^(-1)A = I
Formule voor de inverse van een 2×2-matrix
A⁻¹ = 1 ÷ (ad − bc) × [d, −b; −c, a]
A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>A</mi><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow><mi>a</mi><mi>d</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow>
</mfrac>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mtable>
<mtr><mtd><mi>d</mi></mtd><mtd><mrow><mo>-</mo><mi>b</mi></mrow></mtd></mtr>
<mtr><mtd><mrow><mo>-</mo><mi>c</mi></mrow></mtd><mtd><mi>a</mi></mtd></mtr>
</mtable>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</math>
A^-1 = 1/(ad - bc) [[d, -b], [-c, a]]
Inverse[{{a, b}, {c, d}}]
LinearAlgebra:-MatrixInverse(Matrix([[a, b], [c, d]]));
B = inv(A);
A^(-1) = 1/(ad − bc) (■(d&−b@−c&a))
De geadjugeerde matrix gebruiken (de algemene formule, ook voor 3×3 en groter)
A⁻¹ = adj(A) ÷ det(A)
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>A</mi><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow><mi>det</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow></mrow>
</mfrac>
<mi>adj</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
</mrow>
</math>
A^-1 = 1/(det(A)) "adj"(A)
Inverse[A]
LinearAlgebra:-MatrixInverse(A);
B = inv(A);
A^(-1) = adj(A)/det(A)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een rekenassistent voor matrices. Voer de volgende berekening uit door Python-code daadwerkelijk uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geen hoofdrekenen of gokken). Bereken de inverse van elk van de volgende twee vierkante matrices. 1. A = [[4, 7], [2, 6]] 2. B = [[1, 2], [2, 4]] Laat voor elke matrix eerst de waarde van de determinant zien en of de inverse bestaat. Laat, als hij bestaat, de elementen van de inverse zien. Controleer ten slotte ook dat het product van de oorspronkelijke matrix en haar inverse de eenheidsmatrix is.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Matrix berekenen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, transponeren, machten)
Rekenen met matrices zelf. Ook de basis van matrices, zoals rijen, kolommen en elementen, wordt daar uitgelegd
Determinant berekenen (2×2, 3×3, 4×4)
De determinant det(A) bepaalt of er een inverse bestaat. Uitgebreide stappen voor de regel van Sarrus en de ontwikkeling naar cofactoren vind je daar
