Vul de zijde van het grondvlak en de hoogte van een vierkante piramide in (een piramide met een vierkant grondvlak). Je krijgt de totale oppervlakte (grondvlak + zijvlakken), plus het apothema, het grondvlak en de zijvlakken die je onderweg nodig hebt.
Vul de zijde van het grondvlak en de hoogte in dezelfde eenheid in, alleen als getal (zonder eenheid. Bijvoorbeeld: bij 6 cm vul je “6” in). De hoogte is de loodrechte afstand van het grondvlak tot de top (dat is iets anders dan het apothema, de hoogte van een driehoekig zijvlak).
Resultaat en figuur
Vul links de zijde van het grondvlak en de hoogte in en klik op “Berekenen”. Het resultaat en een 3D-figuur verschijnen hier.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formules en figuren
-
Totale oppervlakte van een vierkante piramide (tel het grondvlak en de zijvlakken bij elkaar op)
-
Oppervlakte van het grondvlak (oppervlakte van het vierkant)
-
Het apothema (de hoogte van een zijvlak) vinden met de stelling van Pythagoras
-
Oppervlakte van de zijvlakken (4 congruente driehoeken)
-
Alles in één formule (alleen uit de zijde en de hoogte)
-
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Vul alleen de zijde van het grondvlak en de hoogte in en je ziet meteen de totale oppervlakte van een vierkante piramide (grondvlak + zijvlakken)
- De piramide die je invult wordt in 3D getekend (sleep om hem te draaien)
- Ook het apothema (de hoogte van elk driehoekig zijvlak), de oppervlakte van het grondvlak, de oppervlakte van de zijvlakken en de tussenstappen worden getoond, zodat je niet alleen het antwoord ziet maar ook hoe je erop komt
- Een heldere uitleg waarom de stelling van Pythagoras erbij komt en wat het verschil is tussen de hoogte en het apothema, plus formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python vind je ook op deze pagina
Vul de zijde van het grondvlak en de hoogte in dezelfde eenheid in (allebei in cm of allebei in m). De hoogte is de loodrechte afstand van het grondvlak tot de top (dus niet de lengte van een schuine ribbe en ook niet een afstand langs een zijvlak). Deze pagina gaat uit van een regelmatige vierkante piramide, met de top recht boven het midden van het grondvlak (anders dan bij de inhoud verandert de oppervlakte als de top uit het midden ligt). Kegels, balken en andere lichamen hebben hun eigen pagina.
Waarvoor is deze berekening handig?
De oppervlakte schatten van de bekledingsstenen die ooit een piramide bedekten (geschiedenis)
De Grote Piramide van Gizeh (de piramide van Cheops) is bijna een regelmatige vierkante piramide, met een zijde van het grondvlak van ongeveer 230 m en een oorspronkelijke hoogte van ongeveer 147 m. De buitenkant was ooit bedekt met witte kalksteen, de “bekledingsstenen”. Hun oppervlakte (de zijvlakken) is ongeveer \(2 \times 230 \times 187 \approx 86.000\,\mathrm{m^2}\), omdat het apothema \(\sqrt{115^2 + 147^2} \approx 187\,\mathrm{m}\) is. Dat zijn ongeveer 12 voetbalvelden.
Het echte oppervlak bestaat uit getrapt metselwerk en bijna alle bekledingsstenen zijn nu verdwenen, dus dit is een schatting. Toch kun je met één formule voor de zijvlakken de omvang van een oud megaproject in getallen uitdrukken (het grondvlak ligt op de grond, dus bij gebouwen kijk je meestal alleen naar de zijvlakken).
Het doek van een piramidetent schatten (kamperen)
Een tent met één middenpaal (een piramidetent) is bijna een vierkante piramide als de vloer vierkant is. Bij een vloer van 3 m × 3 m en een paal van 2 m is het apothema \(\sqrt{1{,}5^2 + 2^2} = 2{,}5\,\mathrm{m}\) en is het doek voor de zijkanten \(2 \times 3 \times 2{,}5 = 15\,\mathrm{m^2}\). Met de vloer (de grondzeil) erbij is het \(15 + 9 = 24\,\mathrm{m^2}\).
Als je de oppervlakte van het doek weet, kun je schatten hoeveel bussen waterdichtmaker je nodig hebt, hoeveel naadtape je moet klaarleggen en ongeveer hoeveel het doek weegt (veel echte tenten hebben aan de onderkant korte rechte wanden, dus het blijft een schatting).
De hoeveelheid dakbedekking voor een tentdak schatten (bouw)
Een tentdak (piramidedak) op een vierkant gebouw heeft precies de vorm van de 4 zijvlakken van een vierkante piramide. Bij een dak van 6 m × 6 m met een hoogte van 2 m is het apothema \(\sqrt{3^2 + 2^2} \approx 3{,}61\,\mathrm{m}\) en is de dakoppervlakte ongeveer \(2 \times 6 \times 3{,}61 \approx 43\,\mathrm{m^2}\).
De dakoppervlakte is de basis voor de hoeveelheid dakpannen, dakbedekking of onderdak die je nodig hebt en voor offertes voor schilderwerk (een echt dak is groter door de overstek van de dakrand, dus dit is slechts een richtgetal). Een dak heeft altijd meer oppervlakte dan het grondvlak dat je er plat onder meet, en deze formule telt dat extra oppervlak goed mee.
Een klassieke meetkundevraag uit het wiskundeonderwijs oplossen (leren en toetsen)
De totale oppervlakte van een regelmatige vierkante piramide hoort bij de ruimtemeetkunde in de onderbouw van het voortgezet onderwijs, waar je haar uit een uitslag vindt. Vragen met het apothema horen samen met de stelling van Pythagoras (klas 3) bij de meetkunde en toetsen. Een voorbeeldvraag: “Wat is de totale oppervlakte van een regelmatige vierkante piramide met een zijde van 6 cm en een hoogte van 4 cm?” Het apothema is \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\mathrm{cm}\), dus het antwoord is \(36 + 6 \times 5 \div 2 \times 4 = 96\,\mathrm{cm^2}\).
De meestgemaakte fout is om voor de oppervlakte van de driehoek de hoogte van de piramide te gebruiken in plaats van het apothema. Onthoud “de hoogte van een driehoekig zijvlak = het apothema”, dan scoor je die punten op de toets.
Formules en figuren
Totale oppervlakte van een vierkante piramide (tel het grondvlak en de zijvlakken bij elkaar op)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(S\)
\(=\)
\(S_1\)
\(+\)
\(S_2\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(S\): totale oppervlakte van de piramide
\(=\)
①
\(S_1\): oppervlakte van het grondvlak
\(+\)
②
\(S_2\): oppervlakte van de zijvlakken
De formule in woorden
①
Tel de
\(S_1\): oppervlakte van het grondvlak
②
en de
\(S_2\): oppervlakte van de zijvlakken
bij elkaar op om de
③
\(S\): totale oppervlakte van de piramide
te krijgen
Een eenvoudig voorbeeld
De totale oppervlakte van een vierkante piramide met een zijde van 6 cm en een hoogte van 4 cm (oppervlakte van het grondvlak 36 cm², van de zijvlakken 60 cm²; zie formule 2 t/m 4 hieronder voor hoe je die vindt) is
\(S\): totale oppervlakte van de piramide
\(=\)
oppervlakte van het grondvlak (36 cm²)
\(+\)
oppervlakte van de zijvlakken (60 cm²)
\(36 + 60 = 96\,\mathrm{cm^2}\)
Het belangrijkste idee
De totale oppervlakte is de oppervlakte van de hele buitenkant van een lichaam. Dat is het totaal van de oppervlakten van de uitslag (de platte figuur die je krijgt als je het lichaam openknipt en plat legt). De uitslag van een vierkante piramide bestaat uit “1 vierkant (het grondvlak) + 4 congruente gelijkbenige driehoeken (de zijvlakken)”. De totale oppervlakte is dus de oppervlakte van het grondvlak plus de oppervlakte van de zijvlakken (het totaal van de 4 driehoeken).
Wil je alleen de oppervlakte van de 4 driehoeken (de mantel), gebruik dan \(S_2\) voordat je optelt. Die heb je nodig bij dingen zonder bodem, zoals het doek van een tent of de oppervlakte van een dak.
Oppervlakte van het grondvlak (oppervlakte van het vierkant)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(S_1\)
\(=\)
\(a\)
\(2\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(S_1\): oppervlakte van het grondvlak
\(=\)
①
\(a\): zijde van het grondvlak
②
kwadraat (de lengte met zichzelf vermenigvuldigd)
De formule in woorden
①
Neem de
\(a\): zijde van het grondvlak
en
②
bepaal het
kwadraat (de lengte met zichzelf vermenigvuldigd)
om de
③
\(S_1\): oppervlakte van het grondvlak
te krijgen
Een eenvoudig voorbeeld
Bij een vierkante piramide met een zijde van 6 cm is de oppervlakte van het grondvlak
\(S_1\): oppervlakte van het grondvlak
\(=\)
zijde van het grondvlak (6 cm)
kwadraat
\(6 \times 6 = 36\,\mathrm{cm^2}\)
Het belangrijkste idee
Het grondvlak is een vierkant, dus de oppervlakte is “zijde × zijde”. Het is hetzelfde getal met zichzelf vermenigvuldigd, dus je schrijft \(a^2\) (\(a\) kwadraat). Heeft de piramide een rechthoekig grondvlak (lengte en breedte verschillen), gebruik dan niet de formule van deze pagina: bereken de oppervlakte van het grondvlak als “lengte × breedte” en reken met twee soorten driehoeken voor de zijvlakken.
Het apothema (de hoogte van een zijvlak) vinden met de stelling van Pythagoras
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(\left(\dfrac{a}{2}\right)^{\!2}\)
\(+\)
\(h^2\)
\(=\)
\(l^2\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
①
de halve zijde \(\dfrac{a}{2}\), in het kwadraat
\(+\)
②
de hoogte \(h\), in het kwadraat
\(=\)
③
het apothema \(l\), in het kwadraat
De formule in woorden
①
Tel
de halve zijde \(\dfrac{a}{2}\), in het kwadraat
op bij
②
de hoogte \(h\), in het kwadraat
en je krijgt
③
het apothema \(l\), in het kwadraat
(neem aan het einde de wortel om het apothema \(l\) zelf te krijgen)
Een eenvoudig voorbeeld
Bij een vierkante piramide met een zijde van 6 cm en een hoogte van 4 cm is het apothema
de halve zijde (3 cm) in het kwadraat
\(+\)
de hoogte (4 cm) in het kwadraat
\(=\)
het apothema in het kwadraat
\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
\(l = \sqrt{25} = 5\,\mathrm{cm}\)
Het belangrijkste idee
Het apothema \(l\) is de lengte van de lijn die je vanuit de top van een driehoekig zijvlak loodrecht naar de basis van dat zijvlak trekt. Het is dus de hoogte van een driehoekig zijvlak. Het is niet hetzelfde als de hoogte \(h\) van de piramide (de loodrechte afstand van het grondvlak tot de top), dus pas op dat je die niet door elkaar haalt.
In de piramide zit een rechthoekige driehoek verborgen met als zijden de hoogte \(h\), de afstand \(\dfrac{a}{2}\) van het midden van het grondvlak tot het midden van een zijde van het grondvlak, en het apothema \(l\). Het verband tussen de drie zijden van een rechthoekige driehoek is de stelling van Pythagoras, en deze formule past die toe. De formules om te kopiëren hieronder zijn opgelost naar \(l\), met de wortel genomen: \(l = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2}\).
Oppervlakte van de zijvlakken (4 congruente driehoeken)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(S_2\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\(l\)
\(\div\)
\(2\)
\(\times\)
\(4\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
⑤
\(S_2\): oppervlakte van de zijvlakken
\(=\)
①
\(a\): zijde van het grondvlak
\(\times\)
②
\(l\): apothema
\(\div\)
③
\(2\): door twee delen
\(\times\)
④
\(4\): aantal zijvlakken
De formule in woorden
①
Vermenigvuldig de
\(a\): zijde van het grondvlak
②
met het
\(l\): apothema
,
③
deel door
\(2\): door twee delen
voor de oppervlakte van één driehoekig zijvlak,
④
en vermenigvuldig met
\(4\): aantal zijvlakken
om de
⑤
\(S_2\): oppervlakte van de zijvlakken
te krijgen
Een eenvoudig voorbeeld
Bij een zijde van 6 cm en een apothema van 5 cm (de piramide met een hoogte van 4 cm; zie formule 3 voor hoe je het apothema vindt) is de oppervlakte van de zijvlakken
\(S_2\): oppervlakte van de zijvlakken
\(=\)
zijde van het grondvlak (6 cm)
\(\times\)
apothema (5 cm)
\(\div\)
door twee delen (2)
\(\times\)
aantal zijvlakken (4)
\(6 \times 5 \div 2 = 15\,\mathrm{cm^2}\)
\(15 \times 4 = 60\,\mathrm{cm^2}\)
Het belangrijkste idee
De zijvlakken zijn 4 congruente gelijkbenige driehoeken, elk met basis \(a\) en hoogte \(l\) (het apothema). Bereken de oppervlakte van één driehoek met de formule voor de oppervlakte van een driehoek, “basis × hoogte ÷ 2”, en vermenigvuldig die met 4. De grootste valkuil is dat de “hoogte” van de driehoek hier het apothema \(l\) is en niet de hoogte \(h\) van de piramide.
“\(\div 2 \times 4\)” kun je samenvatten tot “\(\times 2\)”, dus in de formules om te kopiëren staat de nettere vorm \(S_2 = 2al\).
Alles in één formule (alleen uit de zijde en de hoogte)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(S\)
\(=\)
\(a^2\)
\(+\)
\(2a\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^{\!2} + h^2}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(S\): totale oppervlakte van de piramide
\(=\)
①
oppervlakte van het grondvlak (zijde \(a\) in het kwadraat)
\(+\)
②
oppervlakte van de zijvlakken \(2al\)
De formule in woorden
①
Tel de
oppervlakte van het grondvlak (zijde \(a\) in het kwadraat)
②
en de
oppervlakte van de zijvlakken \(2al\)
(het apothema \(l\) is vervangen door de wortel uit formule 3, \(\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2}\)) bij elkaar op om de
③
\(S\): totale oppervlakte van de piramide
te krijgen
Een eenvoudig voorbeeld
De totale oppervlakte van een vierkante piramide met een zijde van 6 cm en een hoogte van 4 cm, berekend met één formule, is
\(S\): totale oppervlakte van de piramide
\(=\)
oppervlakte van het grondvlak (6 cm in het kwadraat)
\(+\)
oppervlakte van de zijvlakken (2 × 6 cm × apothema)
\(l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\)
\(S = 6^2 + 2 \times 6 \times 5 = 36 + 60 = 96\,\mathrm{cm^2}\)
Het belangrijkste idee
Deze formule vult formule 2 t/m 4 in formule 1 in en maakt er één formule van. In veel wiskundeboeken staat hij in deze vorm. Hij is handig als je alles in één keer in een rekenmachine of een programma wilt invoeren.
Op papier rekenen is het beter stap voor stap te werken, zoals in formule 2 t/m 4 (grondvlak → apothema → zijvlakken → totaal), want dan kun je je werk onderweg gemakkelijker controleren.
De totale oppervlakte van een vierkante piramide is “oppervlakte van het grondvlak (zijde × zijde) + oppervlakte van de zijvlakken (zijde × apothema ÷ 2 × 4 driehoeken)”. Het apothema (de hoogte van een driehoekig zijvlak) vind je uit de halve zijde en de hoogte met de stelling van Pythagoras. De hoogte van de piramide en het apothema zijn niet hetzelfde: gebruik voor de oppervlakte van de driehoek altijd het apothema. Het antwoord heeft de eenheid van de lengte in het kwadraat (cm² als je cm hebt ingevuld).
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(S\) | es | Een veelgebruikt symbool voor oppervlakte. Op deze pagina staat het voor de totale oppervlakte van de vierkante piramide. |
| \(S_1\) | es een | Op deze pagina het symbool voor de oppervlakte van het grondvlak (de oppervlakte van het vierkante grondvlak). De kleine 1 rechtsonder is een index voor “de eerste \(S\)”. \(S_1 = a^2\). |
| \(S_2\) | es twee | Op deze pagina het symbool voor de oppervlakte van de zijvlakken (de oppervlakte van de 4 driehoekige zijvlakken). \(S_2 = 2al\) (zijde × apothema ÷ 2 × 4 driehoeken). |
| \(a\) | a | De lengte van een zijde van het vierkante grondvlak. De lengte en de breedte van het grondvlak zijn gelijk, dus één symbool is genoeg. |
| \(a^2\) | a kwadraat | Het getal \(a\) met zichzelf vermenigvuldigd (\(a \times a\)). De kleine 2 rechtsboven is een exponent. Op deze pagina is het de oppervlakte van het grondvlak (de oppervlakte van het vierkant). |
| \(h\) | ha | De hoogte van de piramide, van de beginletter van “hoogte”. Je meet haar loodrecht van het grondvlak tot de top. Ze is iets anders dan een schuine ribbe of het apothema. |
| \(l\) | el | Op deze pagina het symbool voor het apothema (de hoogte van een driehoekig zijvlak). Je vindt het met \(l = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2}\). |
| \(\sqrt{\ }\) | wortel (wortelteken) | Het symbool voor een vierkantswortel (het getal dat je in het kwadraat moet nemen om het getal onder het wortelteken te krijgen). Bijvoorbeeld \(\sqrt{25} = 5\), omdat 5 in het kwadraat 25 is. Je gebruikt het in de laatste stap om het apothema te vinden. |
| \(\mathrm{cm^2}\) | vierkante centimeter | Een eenheid van oppervlakte. Een vierkant met zijden van 1 cm heeft een oppervlakte van 1 cm². Verwar het niet met cm³ (kubieke centimeter), de eenheid van inhoud. |
| \(\mathrm{m^2}\) | vierkante meter | Een eenheid van oppervlakte. Een vierkant met zijden van 1 m heeft een oppervlakte van 1 m², en \(1\,\mathrm{m^2} = 10.000\,\mathrm{cm^2}\) (de omrekenfactor 100 van de lengte, in het kwadraat). |
Begrippen
| vierkante piramide | Een lichaam met een vierhoekig grondvlak dat uitloopt in één punt (de top). Deze pagina gaat over de piramide met een vierkant grondvlak (de klassieke piramidevorm). |
| regelmatige vierkante piramide | Een vierkante piramide waarvan de top recht boven het midden van het vierkante grondvlak ligt. De piramides in Egypte hebben deze vorm. De formules voor de oppervlakte op deze pagina gaan uit van een regelmatige vierkante piramide (ligt de top uit het midden, dan zijn de 4 driehoeken niet meer congruent en verandert de oppervlakte). |
| totale oppervlakte | De oppervlakte van de hele buitenkant van een lichaam. Ze is gelijk aan het totaal van de oppervlakten van de uitslag en bij een vierkante piramide is het “oppervlakte van het grondvlak + oppervlakte van de zijvlakken”. Het is een andere grootheid dan de inhoud, die de ruimte binnenin meet. |
| grondvlak | Het vlak waarop een lichaam staat, en ook de oppervlakte daarvan. Bij een vierkante piramide is het de oppervlakte van het vierkante grondvlak (zijde × zijde). |
| mantel | Alle zijvlakken van een lichaam samen (alle vlakken behalve het grondvlak), of de oppervlakte daarvan. Bij een vierkante piramide zijn dat 4 congruente gelijkbenige driehoeken, met als oppervlakte “zijde × apothema ÷ 2 × 4”. |
| apothema | De lengte van de lijn vanuit de top van een driehoekig zijvlak loodrecht naar de basis van dat zijvlak (de hoogte van een driehoekig zijvlak). Het is iets anders dan de hoogte van de piramide en je vindt het met de stelling van Pythagoras \(\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2 = l^2\). |
| uitslag | De platte figuur die je krijgt als je een lichaam langs de ribben openknipt en plat legt. De uitslag van een vierkante piramide bestaat uit “1 vierkant en 4 gelijkbenige driehoeken”, en het totaal van hun oppervlakten is de totale oppervlakte. |
| stelling van Pythagoras | De stelling dat in een rechthoekige driehoek “de som van de kwadraten van de twee rechthoekszijden = het kwadraat van de schuine zijde”. Op deze pagina pas je haar toe op de rechthoekige driehoek van de hoogte, de halve zijde en het apothema, om het apothema te vinden. |
| congruent | Precies dezelfde vorm en grootte. De 4 zijvlakken van een regelmatige vierkante piramide zijn congruente gelijkbenige driehoeken, dus de oppervlakte van één driehoek maal 4 is de oppervlakte van de zijvlakken. |
Handig om vooraf te weten
Dit is handig om te weten, zodat je de berekening op deze pagina echt begrijpt en niet alleen op de knop drukt.
| Vermenigvuldigen en delen (groep 5-6, 8-10 jaar) |
|
| Oppervlakte van een vierkant (groep 6, 9-10 jaar) |
|
| Oppervlakte van een driehoek (klas 1, 12-13 jaar) |
|
| Piramides en uitslagen (klas 2, 13-14 jaar, ruimtemeetkunde) |
|
| De stelling van Pythagoras (klas 3, 14-15 jaar) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel om de totale oppervlakte van een vierkante piramide te berekenen (grondvlak + zijvlakken)
| Oppervlakte grondvlak | 36 |
| Oppervlakte zijvlakken | 60 |
| Totale oppervlakte | =B1+B2 |
Tabel om de oppervlakte van het grondvlak (oppervlakte van het vierkant) te berekenen
| Zijde van het grondvlak | 6 |
| Oppervlakte grondvlak | =B1^2 |
Tabel om het apothema (de hoogte van een zijvlak) te berekenen
| Zijde van het grondvlak | 6 |
| Hoogte | 4 |
| Apothema | =WORTEL((B1/2)^2+B2^2) |
Tabel om de oppervlakte van de zijvlakken (alle 4 driehoeken) te berekenen
| Zijde van het grondvlak | 6 |
| Apothema | 5 |
| Oppervlakte zijvlakken | =B1*B2/2*4 |
Tabel voor de formule in één keer (uit de zijde en de hoogte)
| Zijde van het grondvlak | 6 |
| Hoogte | 4 |
| Totale oppervlakte | =B1^2+2*B1*WORTEL((B1/2)^2+B2^2) |
Na het plakken staan de namen in kolom A en de getallen in kolom B. De bovenste rijen zijn je invoer en de formule in de laatste rij rekent er automatisch mee.
In een formule betekent “B1” of “B2”: gebruik het getal in die cel. “*” is vermenigvuldigen, “/” is delen, “^” is een macht (hoe vaak je vermenigvuldigt) en “WORTEL” is de functie voor een vierkantswortel.
In de eerste tabel toont B3 bijvoorbeeld 36 + 60 = 96 (cm², omdat je cm hebt ingevuld). De derde tabel toont 5 in B3, de vierde 60 in B3 en de vijfde 96 in B3. Vervang de getallen door je eigen afmetingen en je bent klaar.
In een formule betekent “B1” of “B2”: gebruik het getal in die cel. “*” is vermenigvuldigen, “/” is delen, “^” is een macht (hoe vaak je vermenigvuldigt) en “WORTEL” is de functie voor een vierkantswortel.
In de eerste tabel toont B3 bijvoorbeeld 36 + 60 = 96 (cm², omdat je cm hebt ingevuld). De derde tabel toont 5 in B3, de vierde 60 in B3 en de vijfde 96 in B3. Vervang de getallen door je eigen afmetingen en je bent klaar.
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel om de totale oppervlakte van een vierkante piramide te berekenen (grondvlak + zijvlakken)
| Oppervlakte grondvlak | 36 |
| Oppervlakte zijvlakken | 60 |
| Totale oppervlakte | =B1+B2 |
Tabel om de oppervlakte van het grondvlak (oppervlakte van het vierkant) te berekenen
| Zijde van het grondvlak | 6 |
| Oppervlakte grondvlak | =B1^2 |
Tabel om het apothema (de hoogte van een zijvlak) te berekenen
| Zijde van het grondvlak | 6 |
| Hoogte | 4 |
| Apothema | =WORTEL((B1/2)^2+B2^2) |
Tabel om de oppervlakte van de zijvlakken (alle 4 driehoeken) te berekenen
| Zijde van het grondvlak | 6 |
| Apothema | 5 |
| Oppervlakte zijvlakken | =B1*B2/2*4 |
Tabel voor de formule in één keer (uit de zijde en de hoogte)
| Zijde van het grondvlak | 6 |
| Hoogte | 4 |
| Totale oppervlakte | =B1^2+2*B1*WORTEL((B1/2)^2+B2^2) |
Dezelfde formules als in Excel werken ongewijzigd (ook de functie WORTEL heet in Google Spreadsheets in het Nederlands zo). Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de getallen door je eigen afmetingen.
Berekenen met Python
import math
a = 6 # zijde van het grondvlak (in dit voorbeeld in cm)
h = 4 # hoogte (loodrecht van het grondvlak tot de top; zelfde eenheid als a)
base_area = a ** 2 # oppervlakte van het grondvlak (oppervlakte van het vierkant)
slant_height = math.sqrt((a / 2) ** 2 + h ** 2) # apothema (stelling van Pythagoras)
lateral_area = a * slant_height / 2 * 4 # oppervlakte van de zijvlakken (1 driehoek x 4)
total_area = base_area + lateral_area # totale oppervlakte van de piramide
print(f"Oppervlakte grondvlak: {base_area} cm2")
print(f"Apothema: {slant_height} cm")
print(f"Oppervlakte zijvlakken: {lateral_area} cm2")
print(f"Totale oppervlakte: {total_area} cm2")
Werkt met alleen de standaardbibliotheek. “**” is een macht (kwadraat), “math.sqrt” is de vierkantswortel, “*” is vermenigvuldigen en “/” is delen. Pas bovenaan de zijde en de hoogte aan en voer het uit (dit voorbeeld toont een oppervlakte van het grondvlak van 36, een apothema van 5, een oppervlakte van de zijvlakken van 60 en een totale oppervlakte van 96).
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Totale oppervlakte van een vierkante piramide (tel het grondvlak en de zijvlakken bij elkaar op)
S = S₁ + S₂
S = S_{1} + S_{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub>
</mrow>
</math>
S = S_1 + S_2
s1 + s2
S := S1 + S2;
S = S1 + S2;
S = S_1 + S_2
Oppervlakte van het grondvlak (oppervlakte van het vierkant)
S₁ = a²
S_{1} = a^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S_1 = a^2
a^2
S1 := a^2;
S1 = a^2;
S_1 = a^2
Het apothema (de hoogte van een zijvlak) vinden met de stelling van Pythagoras
l = √((a/2)² + h²)
l = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2} + h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>l</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mfrac><mi>a</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
l = sqrt((a/2)^2 + h^2)
Sqrt[(a/2)^2 + h^2]
l := sqrt((a/2)^2 + h^2);
l = sqrt((a/2)^2 + h^2);
l = √((a/2)^2 + h^2)
Oppervlakte van de zijvlakken (4 congruente driehoeken)
S₂ = 2al
S_{2} = 2al
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mi>a</mi>
<mi>l</mi>
</mrow>
</math>
S_2 = 2 a l
2*a*l
S2 := 2*a*l;
S2 = 2*a*l;
S_2 = 2al
Alles in één formule (alleen uit de zijde en de hoogte)
S = a² + 2a√((a/2)² + h²)
S = a^{2} + 2a\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2} + h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
<mi>a</mi>
<msqrt>
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mfrac><mi>a</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
S = a^2 + 2 a sqrt((a/2)^2 + h^2)
a^2 + 2*a*Sqrt[(a/2)^2 + h^2]
S := a^2 + 2*a*sqrt((a/2)^2 + h^2);
S = a^2 + 2*a*sqrt((a/2)^2 + h^2);
S = a^2 + 2a√((a/2)^2 + h^2)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een rekenassistent voor wiskunde. Voer de volgende berekening uit door echt Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef geen antwoord uit het hoofd of op basis van een gok). Een regelmatige vierkante piramide heeft een vierkant grondvlak met zijden van 6 cm en een hoogte van 4 cm. Bereken de volgende waarden: 1. De oppervlakte van het grondvlak van deze piramide in cm² 2. Het apothema van deze piramide (de hoogte van een driehoekig zijvlak) in cm (apothema = √((halve zijde)² + hoogte²)) 3. De oppervlakte van de zijvlakken van deze piramide in cm² (oppervlakte zijvlakken = zijde × apothema ÷ 2 × 4) 4. De totale oppervlakte van deze piramide in cm² (totale oppervlakte = oppervlakte grondvlak + oppervlakte zijvlakken) Laat de gebruikte formules en de getallen uit het resultaat van de uitvoering zien.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Inhoud van een vierkante piramide berekenen (grondvlak × hoogte ÷ 3)
Berekent de inhoud (hoeveel erin past) van dezelfde piramide. Handig om samen met de oppervlakte te gebruiken
Stelling van Pythagoras (schuine zijde en rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek berekenen)
Rekent met het verband tussen de drie zijden van een rechthoekige driehoek, het idee waarmee je het apothema vindt
