Vul de halve lange as (de grootste afstand van het midden tot de rand) en de halve korte as (de kleinste afstand) van de ellips in. Je krijgt de oppervlakte (π × halve lange as × halve korte as) en de exacte vorm met π.
Gebruik voor beide dezelfde eenheid en vul alleen getallen groter dan 0 in (zonder eenheid; bij 30 cm vul je “30” in). Ken je alleen de volle lengtes van uiteinde tot uiteinde (de lange en de korte as), vul dan de helft van elk in.
Resultaat en figuur
Vul links de halve lange as en de halve korte as in en klik op “Berekenen”. Het resultaat verschijnt hier.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formules en figuren
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Vul de halve lange as (de langste “straal”) en de halve korte as (de kortste “straal”) in en je ziet meteen de oppervlakte van de ellips (oppervlakte = pi \(\pi\) × halve lange as × halve korte as)
- Naast het antwoord in decimalen zie je ook de exacte vorm met \(\pi\) (bij een halve lange as van 30 en een halve korte as van 20 is de oppervlakte \(= 600\pi\))
- Vul voor beide dezelfde waarde in en je kunt hem ook gebruiken om de oppervlakte van een cirkel te berekenen
- Op deze pagina vind je ook een uitleg van de formules in gewone taal en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python
Je vult de halve lange as en de halve korte as in, de lengtes van het midden tot de rand (zoals de straal van een cirkel). Ken je alleen de volle lengtes van het ene uiteinde tot het andere (de lange en de korte as), deel die dan eerst door 2. Gebruik voor beide dezelfde eenheid (cm met cm, m met m).
Waarvoor is deze berekening handig?
Een tafelkleed of glasplaat bij een ovale tafel kiezen (wonen en interieur)
Ovale eettafels worden verkocht met de maten van uiteinde tot uiteinde, zoals “180 cm × 100 cm”. De halve lange as is dan 90 cm en de halve korte as 50 cm, dus de oppervlakte van het tafelblad is \(\pi \times 90 \times 50 = 4500\pi \approx 14\,137\,\mathrm{cm^2}\) (ongeveer 1,41 m²).
Glasplaten en beschermmatten voor tafelbladen worden vaak naar oppervlakte geprijsd, dus als je de oppervlakte vóór het bestellen uitrekent, kun je de offerte beter controleren.
Grond en materiaal voor een ovaal bloembed of een vijver uitrekenen (tuinieren en tuinaanleg)
Een ovaal bloembed van 3 m lang en 2 m breed heeft een halve lange as van 1,5 m en een halve korte as van 1 m, dus een oppervlakte van \(\pi \times 1{,}5 \times 1 = 1{,}5\pi \approx 4{,}71\,\mathrm{m^2}\).
Op zakken potgrond, mest, bodembedekkers en rollen gras of worteldoek staat per m² hoeveel je nodig hebt, dus als je de oppervlakte weet, kun je vóór de winkel uitrekenen hoeveel je moet kopen.
Het gras op een ovaal sportveld onderhouden (sport en terreinbeheer)
Sommige velden, zoals het grasveld binnen een atletiekbaan, lijken op een ellips. Neem je een veld als ellips met een halve lange as van 90 m en een halve korte as van 60 m, dan is de oppervlakte bij benadering \(\pi \times 90 \times 60 = 5400\pi \approx 16\,965\,\mathrm{m^2}\) (ongeveer 1,7 hectare).
Het vervangen van gras, bemesting en beregening worden allemaal per oppervlakte gepland, dus de formule voor de oppervlakte van een ellips is het startpunt voor een begroting (echte velden zijn niet altijd een precieze ellips, dus dit is slechts een schatting).
De baan van planeten en satellieten berekenen (sterrenkunde en ruimtevaart)
De banen van planeten en kometen zijn ellipsen met de zon in één brandpunt (de eerste wet van Kepler). De oppervlakte die een baan in één omloop omsluit is precies \(\pi a b\). In combinatie met de tweede wet van Kepler, “de lijn van de zon naar een planeet bestrijkt in gelijke tijden gelijke oppervlakten”, leidt dit tot de tijd voor één hele omloop (de omlooptijd).
Deze formule wordt nog steeds gebruikt in leerboeken sterrenkunde en bij het ontwerpen van satellietbanen.
De doorsnede van een orgaan of afwijking meten bij een echo (geneeskunde)
Echoapparaten hebben een functie waarmee je de oppervlakte van een orgaan of afwijking op het scherm meet door een ellips om de doorsnede te tekenen. Het apparaat rekent daarbij met deze formule (\(\pi a b\)). Doorsneden zijn niet altijd perfecte ellipsen, dus het is een benadering, maar artsen en echografisten gebruiken het dagelijks om de grootte in de loop van de tijd in getallen te vergelijken.
Formules en figuren
Oppervlakte van een ellips
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(S\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(a\)
\(\times\)
\(b\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
④
\(S\): oppervlakte van de ellips
\(=\)
①
\(\pi\): pi (ongeveer 3,14)
\(\times\)
②
\(a\): halve lange as
\(\times\)
③
\(b\): halve korte as
De formule in woorden
①
Neem
\(\pi\): pi (ongeveer 3,14)
②
en vermenigvuldig dat met de
\(a\): halve lange as (de langste “straal”)
③
en met de
\(b\): halve korte as (de kortste “straal”)
④
en je krijgt de
\(S\): oppervlakte van de ellips
Een eenvoudig voorbeeld
De oppervlakte van een ellips met een halve lange as van 5 cm en een halve korte as van 3 cm is
\(S\): oppervlakte van de ellips
\(=\)
\(\pi\): pi
\(\times\)
halve lange as (5 cm)
\(\times\)
halve korte as (3 cm)
\(\pi \times 5 \times 3 = 15\pi \approx 47{,}12\,\mathrm{cm^2}\)
Het belangrijkste idee
De formule voor de oppervlakte van een ellips is de formule voor de oppervlakte van een cirkel, \(S = \pi \times r \times r\), waarin de “twee \(r\)’s” vervangen zijn door de halve lange as \(a\) en de halve korte as \(b\). Een ellips is een cirkel die in één richting is uitgerekt (of ingedrukt). Zijn “straal” heeft dus twee lengtes, afhankelijk van de richting: een langere (\(a\)) en een kortere (\(b\)), en die twee vermenigvuldig je.
De meest gemaakte fout is de volle lengtes van uiteinde tot uiteinde (de lange en de korte as) invullen. De formule gebruikt de “halve” assen, van het midden tot de rand. Ken je alleen de volle lengtes, deel ze dan eerst door 2.
Het verband met de oppervlakte van een cirkel (een cirkel is een bijzondere ellips)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(S\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
④
\(S\): oppervlakte van de cirkel
\(=\)
③
\(\pi\): pi (ongeveer 3,14)
\(\times\)
①
\(r\): straal
②
kwadraat (straal × straal)
De formule in woorden
①
Neem de
\(r\): straal
②
en
kwadrateer die (straal × straal)
③
vermenigvuldig dan met
\(\pi\): pi (ongeveer 3,14)
④
en je krijgt de
\(S\): oppervlakte van de cirkel
Een eenvoudig voorbeeld
De oppervlakte van een ellips waarvan de halve lange en de halve korte as allebei 4 cm zijn (een cirkel met een straal van 4 cm) is
\(S\): oppervlakte van de cirkel
\(=\)
\(\pi\): pi
\(\times\)
straal (4 cm)
kwadraat
\(\pi \times 4 \times 4 = 16\pi \approx 50{,}27\,\mathrm{cm^2}\)
Het belangrijkste idee
Een ellips waarvan de halve lange en de halve korte as gelijk zijn (\(a = b\)) is gewoon een cirkel. In de formule \(S = \pi a b\) worden \(a\) en \(b\) dan allebei de straal \(r\), en je krijgt precies de formule voor de oppervlakte van een cirkel, \(S = \pi r^2\). De formule voor de oppervlakte van een cirkel is dus een bijzonder geval van die voor een ellips.
Ook op deze rekenmachine krijg je de oppervlakte van een cirkel als je voor beide assen dezelfde waarde invult.
De oppervlakte van een ellips is “pi π × halve lange as × halve korte as”. De formule gebruikt de halve lange en de halve korte as, van het midden tot de rand (de helft van de lange en de korte as), en het antwoord is in de eenheid van je invoer in het kwadraat (bij cm dus cm²). Zijn de twee halve assen gelijk, dan komt de formule overeen met die voor de oppervlakte van een cirkel, πr².
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(S\) | S | Een letter die vaak voor oppervlakte wordt gebruikt. Op deze pagina is het de oppervlakte van de ellips. In Nederlandse schoolboeken zie je ook vaak \(A\) of \(O\); de betekenis is hetzelfde. |
| \(\pi\) | pi | Pi is het getal dat aangeeft hoeveel keer de omtrek van een cirkel langer is dan de middellijn, ongeveer 3,14159. Het “3,14” dat je op school gebruikt is een afgeronde waarde ervan. |
| \(a\) | a | De halve lange as, de grootste afstand van het midden van de ellips tot de rand (de helft van de lange as). |
| \(b\) | b | De halve korte as, de kleinste afstand van het midden van de ellips tot de rand (de helft van de korte as). |
| \(r\) | r | De straal van een cirkel (van het Latijnse “radius”). Bij een ellips waarvan de twee halve assen gelijk zijn (een cirkel) is \(a = b = r\). |
| \(r^2\) | r kwadraat | Het getal \(r\) met zichzelf vermenigvuldigd (\(r \times r\)). Het kleine verhoogde cijfer 2 is een exponent en zegt: “gebruik het getal twee keer als factor”. |
| \(\mathrm{cm^2}\) | vierkante centimeter | Een eenheid van oppervlakte. Een vierkant met zijden van 1 cm heeft een oppervlakte van 1 cm². Vul je de halve assen in cm in, dan is de oppervlakte in cm² (bij m in m²). |
Begrippen
| ellips | Een gesloten kromme die eruitziet als een cirkel die in één richting is uitgerekt (of ingedrukt), in het dagelijks leven vaak een ovaal genoemd. Precies gezegd is het de verzameling punten waarvan de afstanden tot twee brandpunten samen steeds hetzelfde zijn. Veel dingen om ons heen lijken op een ellips, zoals de doorsnede van een ei of een sportveld (sommige vormen lijken op een ellips maar zijn het niet precies, zoals de bochten van een atletiekbaan). |
| lange as | De grootste afstand van het ene uiteinde tot het andere, gemeten door het midden van een ellips. Het is de “breedte” van de ellips (de langste doorsnede) en twee keer de halve lange as. |
| korte as | De kleinste afstand van het ene uiteinde tot het andere, gemeten door het midden van een ellips. Ze staat loodrecht op de lange as en is twee keer de halve korte as. |
| halve lange as | De helft van de lange as, dus de grootste afstand van het midden van de ellips tot de rand. Ze speelt de rol van de straal van een cirkel en heet in de formule voor de oppervlakte \(a\). |
| halve korte as | De helft van de korte as, dus de kleinste afstand van het midden van de ellips tot de rand. In de formule voor de oppervlakte heet ze \(b\). |
| brandpunt | Een van de twee bijzondere punten binnen een ellips (meervoud brandpunten). Vanuit elk punt op de rand van de ellips zijn de afstanden tot de twee brandpunten samen steeds hetzelfde. Vallen de twee brandpunten samen in één punt, dan wordt de ellips een cirkel. |
| oppervlakte | Hoeveel vlak een figuur bedekt, uitgedrukt in een getal. Je meet het met het aantal eenheidsvierkantjes (zoals 1 cm²) dat erin past. |
| pi | Het getal dat aangeeft hoeveel keer de omtrek van een cirkel langer is dan de middellijn. Het is ongeveer 3,14159 en wordt geschreven met het symbool \(\pi\) (pi). Het komt voor in de formule voor de oppervlakte van een ellips, net als in die voor de oppervlakte van een cirkel. |
Handig om vooraf te weten
Dit helpt je om de berekening op deze pagina echt te begrijpen, en niet alleen op de knop te drukken.
| Vermenigvuldigen en rekenen met decimale getallen (groep 5-7, 8-11 jaar) |
|
| Pi en de oppervlakte van een cirkel (groep 7-8, 10-12 jaar) |
|
| Formules met letters en het symbool π (klas 1, 12-13 jaar) |
|
| De ellips als figuur (kegelsneden, havo/vwo bovenbouw, 15-18 jaar) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel om de oppervlakte van een ellips te berekenen
| Halve lange as | 30 |
| Halve korte as | 20 |
| Oppervlakte van de ellips | =PI()*B1*B2 |
Tabel om de oppervlakte van een cirkel te berekenen (als de twee halve assen gelijk zijn)
| Straal | 4 |
| Oppervlakte van de cirkel | =PI()*B1^2 |
Na het plakken staan in kolom A de namen en in kolom B de getallen. De bovenste rijen zijn je invoer; de formule in de laatste rij rekent automatisch met die invoer.
“B1” en “B2” in een formule betekenen “gebruik het getal in die cel”. “*” is vermenigvuldigen en “^” is machtsverheffen (hoe vaak je vermenigvuldigt). “PI()” is een Excel-functie die pi (3,14159…) geeft.
In de eerste tabel staat in B3 bijvoorbeeld π × 30 × 20 ≈ 1884,96 (cm² als je cm invulde). De tweede tabel geeft ongeveer 50,27 in B2. Vervang de getallen in de invoer door je eigen lengtes.
“B1” en “B2” in een formule betekenen “gebruik het getal in die cel”. “*” is vermenigvuldigen en “^” is machtsverheffen (hoe vaak je vermenigvuldigt). “PI()” is een Excel-functie die pi (3,14159…) geeft.
In de eerste tabel staat in B3 bijvoorbeeld π × 30 × 20 ≈ 1884,96 (cm² als je cm invulde). De tweede tabel geeft ongeveer 50,27 in B2. Vervang de getallen in de invoer door je eigen lengtes.
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel om de oppervlakte van een ellips te berekenen
| Halve lange as | 30 |
| Halve korte as | 20 |
| Oppervlakte van de ellips | =PI()*B1*B2 |
Tabel om de oppervlakte van een cirkel te berekenen (als de twee halve assen gelijk zijn)
| Straal | 4 |
| Oppervlakte van de cirkel | =PI()*B1^2 |
Dezelfde formules als in Excel (ook de functie PI()) werken ook hier. Kopieer de hele tabel, plak hem in cel A1 en vervang de getallen in de invoer door je eigen lengtes.
Berekenen met Python
import math
semi_major = 30 # halve lange as (de langste “straal”; in dit voorbeeld in cm)
semi_minor = 20 # halve korte as (in dezelfde eenheid als semi_major)
area = math.pi * semi_major * semi_minor # oppervlakte van de ellips (invoereenheid in het kwadraat; hier cm2)
print(f"Oppervlakte van de ellips: {area} cm2")
De code gebruikt pi uit de module math van de standaardbibliotheek (math.pi = 3,14159…). “*” is vermenigvuldigen. Pas bovenaan de halve lange en de halve korte as aan en voer de code uit (het antwoord voor dit voorbeeld is ongeveer 1884,96 cm²).
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Oppervlakte van een ellips
S = π × a × b
S = \pi a b
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>a</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>b</mi>
</mrow>
</math>
S = pi a b
Pi*a*b
S := Pi*a*b;
S = pi*a*b;
S = πab
Het verband met de oppervlakte van een cirkel (een cirkel is een bijzondere ellips)
S = πr²
S = \pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S = pi r^2
Pi*r^2
S := Pi*r^2;
S = pi*r^2;
S = πr^2
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een assistent voor reken- en wiskundeberekeningen. Voer de volgende berekening uit door daadwerkelijk Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef geen antwoord uit het hoofd of op basis van een schatting). Een ellips heeft een halve lange as van 30 cm en een halve korte as van 20 cm. Bereken de oppervlakte van deze ellips in cm² (gebruik math.pi voor pi). Laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Cirkel berekenen (straal, diameter, omtrek en oppervlakte)
Vul één van straal, middellijn, omtrek of oppervlakte in en je krijgt de rest. Een cirkel is een bijzondere ellips waarvan de twee halve assen gelijk zijn
Oppervlakte van een rechthoek berekenen (lengte × breedte)
Bereken de oppervlakte van een rechthoek uit de lengte en de breedte, met omrekening tussen cm² en m²
