Gemengde getallen rekenmachine (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen)

Vul twee getallen in zoals ze eruitzien (vak voor het gehele getal plus vakken voor teller en noemer) en kies in het menu in het midden de bewerking (+ − × ÷). Gemengde getallen, breuken en gehele getallen werken allemaal. Het antwoord staat als vereenvoudigde breuk, als gemengd getal en als kommagetal, met de stappen erbij.

Vul in elk vak een geheel getal in. Laat ongebruikte vakken leeg (de teller en noemer bij alleen een geheel getal, het vak voor het gehele getal bij alleen een breuk). Bij een negatief gemengd getal zet je het min-teken in het vak voor het gehele getal (het geldt voor het hele getal).

Resultaat

Vul links twee getallen in, kies in het midden de bewerking (+ − × ÷) en klik op “Berekenen”. Het resultaat verschijnt hier.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formule
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Tel gemengde getallen zoals \(2\,\dfrac{1}{3} \times 1\,\dfrac{1}{2}\) op, trek ze af, vermenigvuldig ze of deel ze, meteen. Vul gewoon het gehele getal, de teller en de noemer in zoals ze eruitzien
Het antwoord staat op drie manieren: als breuk in de eenvoudigste vorm, als gemengd getal en als kommagetal. Je ziet ook de tussenstappen, zoals omzetten in onechte breuken, gelijknamig maken en vereenvoudigen
Naast gemengde getallen kun je ook gehele getallen en breuken (echte en onechte) door elkaar gebruiken, en met negatieve getallen rekenen
Een heldere uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python vind je ook op deze pagina

Vul een gemengd getal in zoals het eruitziet, in het vak voor het gehele getal en de vakken voor de teller en noemer (voor alleen een geheel getal of alleen een breuk laat je de ongebruikte vakken leeg). Bij een negatief gemengd getal zet je het min-teken in het vak voor het gehele getal. Het geldt voor het hele getal (bijvoorbeeld geheel getal -2, teller 3, noemer 4 betekent \(-2\,\dfrac{3}{4} = -(2 + \dfrac{3}{4}) = -\dfrac{11}{4}\)).

Waarvoor is deze berekening handig?

Een recept groter of kleiner maken

Wil je een recept met \(\dfrac{3}{4}\) liter melk 1,5 keer (\(1\,\dfrac{1}{2}\) keer) maken, dan heb je \(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{8} = 1\,\dfrac{1}{8}\) liter nodig.
In recepten staan gemengde getallen als “\(1\,\dfrac{1}{2}\) liter” en “\(2\,\dfrac{3}{4}\) dl”, dus deze berekening komt elke keer voor als je een recept voor meer of minder mensen aanpast.

Maten in duimen (inches) optellen bij klussen

Maten van waterleidingen, tuinslangaansluitingen, bouten en moeren worden in Nederland vaak nog in duimen (inches) opgegeven, als gemengd getal, zoals “\(1\,\dfrac{1}{4}\) inch”. Twee stukken van \(1\,\dfrac{1}{2}\) inch achter elkaar zijn bijvoorbeeld \(1\,\dfrac{1}{2} + 1\,\dfrac{1}{2} = 3\) inch.
Als je maten bij elkaar optelt of uitrekent hoeveel stukken je uit een lengte kunt halen, moet je eigenlijk gemengde getallen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.

Uitrekenen hoeveel stof of lint je nodig hebt voor naaien en knutselen

Gebruikt het ene project \(1\,\dfrac{3}{4}\) meter en het andere \(2\,\dfrac{1}{2}\) meter, dan heb je samen \(1\,\dfrac{3}{4} + 2\,\dfrac{1}{2} = 4\,\dfrac{1}{4}\) meter nodig.
Met een gemengd getal reken je de hoeveelheid precies uit (\(4\,\dfrac{1}{4}\) meter is 4,25 meter als kommagetal), zodat je niet te veel of te weinig koopt.

Tijd plannen voor studie of werk

Studeer je \(1\,\dfrac{1}{2}\) uur (1 uur en 30 minuten) per dag, 6 dagen per week, dan is dat samen \(1\,\dfrac{1}{2} \times 6 = 9\) uur per week.
Tijd past goed bij breuken (30 minuten = \(\dfrac{1}{2}\) uur, 15 minuten = \(\dfrac{1}{4}\) uur), dus als je gemengde getallen kunt vermenigvuldigen, kun je snel de totale tijd van een planning schatten.

Het rekenhuiswerk van een kind nakijken (een kernonderwerp van de basisschool en de onderbouw)

Omzetten tussen gemengde getallen en onechte breuken, breuken met ongelijke noemers optellen en aftrekken, breuken vermenigvuldigen en breuken door breuken delen komen aan bod in de bovenbouw van de basisschool en de onderbouw van het voortgezet onderwijs (ongeveer 10-14 jaar). Het is een kernonderdeel van de rekenstof.
Kan een volwassene de gedachtegang in woorden uitleggen (omzetten in onechte breuken → een gemeenschappelijke noemer zoeken → rekenen → vereenvoudigen), dan is huiswerk nakijken meer dan antwoorden goed of fout rekenen. De stappen op deze pagina volgen dezelfde volgorde.

Formule

Een gemengd getal omzetten in een onechte breuk

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(a\,\dfrac{b}{c}\) \(=\) \(\dfrac{a \times c + b}{c}\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

① gemengd getal (geheel deel \(a\), breukdeel \(\dfrac{b}{c}\)) \(=\) ② \(\dfrac{\text{geheel deel × noemer + teller}}{\text{zelfde noemer}}\)

De formule in woorden

① Vermenigvuldig bij een gemengd getal (geheel deel \(a\), breukdeel \(\dfrac{b}{c}\)) het gehele deel \(a\) met de noemer \(c\) en tel de teller \(b\) erbij op. Neem dat als nieuwe teller en je krijgt de onechte breuk

② \(\dfrac{\text{geheel deel × noemer + teller}}{\text{zelfde noemer}}\)

Een eenvoudig voorbeeld

Het gemengd getal \(2\,\dfrac{1}{3}\) (twee en een derde) omzetten in een onechte breuk geeft

gemengd getal \(2\,\dfrac{1}{3}\) \(=\) onechte breuk \(\dfrac{2 \times 3 + 1}{3} = \dfrac{7}{3}\)

\(2\,\dfrac{1}{3} = \dfrac{2 \times 3 + 1}{3} = \dfrac{7}{3}\)

Het belangrijkste idee

Het gemengd getal \(2\,\dfrac{1}{3}\) betekent \(2 + \dfrac{1}{3}\), dus je schrijft het gehele deel 2 als \(\dfrac{6}{3}\) en voegt het samen met het breukdeel. Daar komt “geheel deel × noemer + teller” vandaan. Bij een negatief gemengd getal geldt het min-teken voor het hele getal (\(-2\,\dfrac{3}{4} = -(2 + \dfrac{3}{4}) = -\dfrac{11}{4}\)). Om gemengde getallen op te tellen, af te trekken, te vermenigvuldigen en te delen is de zekerste methode altijd om ze eerst om te zetten in onechte breuken.

Gemengde getallen optellen (omzetten in onechte breuken, de noemers gelijk maken, de tellers optellen)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(a\,\dfrac{b}{c}\) \(+\) \(d\,\dfrac{e}{f}\) \(=\) \(\dfrac{a \times c + b}{c}\) \(+\) \(\dfrac{d \times f + e}{f}\) \(=\) \(\dfrac{(a \times c + b) \times f + (d \times f + e) \times c}{c \times f}\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

① linker gemengd getal \(a\,\dfrac{b}{c}\) \(+\) ② rechter gemengd getal \(d\,\dfrac{e}{f}\) \(=\) ③ \(\dfrac{\text{links: geheel deel × noemer + teller}}{\text{linker noemer}}\) \(+\) ④ \(\dfrac{\text{rechts: geheel deel × noemer + teller}}{\text{rechter noemer}}\) \(=\) ⑤ \(\dfrac{\text{som van de tellers na gelijknamig maken}}{\text{gemeenschappelijke noemer (product van de noemers)}}\)

De formule in woorden

① Neem het linker gemengd getal \(a\,\dfrac{b}{c}\)

② en het rechter gemengd getal \(d\,\dfrac{e}{f}\) en gebruik bij elk “geheel deel × noemer + teller” als nieuwe teller. Zo worden het

③ linker getal als onechte breuk \(\dfrac{a \times c + b}{c}\)

④ en het rechter getal als onechte breuk \(\dfrac{d \times f + e}{f}\) Maak de noemers gelijk en tel de tellers op, en je krijgt

⑤ \(\dfrac{\text{som van de tellers na gelijknamig maken}}{\text{gemeenschappelijke noemer (product van de noemers)}}\)

Een eenvoudig voorbeeld

Zet bij \(1\,\dfrac{1}{2} + 2\,\dfrac{1}{3}\) eerst om in de onechte breuken \(\dfrac{3}{2}\) en \(\dfrac{7}{3}\) en maak de noemers gelijk met het kleinste gemeen veelvoud 6

linker gemengd getal \(1\,\dfrac{1}{2}\) \(+\) rechter gemengd getal \(2\,\dfrac{1}{3}\) \(=\) som van de twee gemengde getallen \(3\,\dfrac{5}{6}\)

\(1\,\dfrac{1}{2} + 2\,\dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{7}{3} = \dfrac{9}{6} + \dfrac{14}{6} = \dfrac{23}{6}\)

\(\dfrac{23}{6} = 3\,\dfrac{5}{6}\ \ (\approx 3{,}833)\)

Het belangrijkste idee

Het gaat vaak mis als je de breukdelen met verschillende noemers wilt optellen terwijl het nog gemengde getallen zijn. Zet ze eerst om in onechte breuken, dan is de rest gewoon optellen van breuken: een gemeenschappelijke noemer zoeken en de tellers optellen. De twee noemers met elkaar vermenigvuldigen, \(c \times f\), geeft altijd een gemeenschappelijke noemer, maar met het kleinste gemeen veelvoud van de noemers blijven de getallen klein en is vereenvoudigen later makkelijker (bij de noemers 4 en 6 neem je bijvoorbeeld 12 in plaats van 24). Je kunt ook de gehele delen en de breukdelen apart optellen (\(1 + 2 = 3\), \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}\), dus \(3\,\dfrac{5}{6}\)), en het antwoord is hetzelfde. Maar als de breukdelen samen meer dan 1 zijn (bijvoorbeeld \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{6}\)), moet je 1 naar het gehele deel overbrengen, dus als je twijfelt, is de methode met onechte breuken de veilige keuze.

Gemengde getallen aftrekken (omzetten in onechte breuken, de noemers gelijk maken, de tellers aftrekken)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(a\,\dfrac{b}{c}\) \(-\) \(d\,\dfrac{e}{f}\) \(=\) \(\dfrac{a \times c + b}{c}\) \(-\) \(\dfrac{d \times f + e}{f}\) \(=\) \(\dfrac{(a \times c + b) \times f - (d \times f + e) \times c}{c \times f}\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

① linker gemengd getal \(a\,\dfrac{b}{c}\) \(-\) ② rechter gemengd getal \(d\,\dfrac{e}{f}\) \(=\) ③ \(\dfrac{\text{links: geheel deel × noemer + teller}}{\text{linker noemer}}\) \(-\) ④ \(\dfrac{\text{rechts: geheel deel × noemer + teller}}{\text{rechter noemer}}\) \(=\) ⑤ \(\dfrac{\text{verschil van de tellers na gelijknamig maken}}{\text{gemeenschappelijke noemer (product van de noemers)}}\)

De formule in woorden

① Neem het linker gemengd getal \(a\,\dfrac{b}{c}\)

② en het rechter gemengd getal \(d\,\dfrac{e}{f}\) en gebruik bij elk “geheel deel × noemer + teller” als nieuwe teller. Zo worden het

③ linker getal als onechte breuk \(\dfrac{a \times c + b}{c}\)

④ en het rechter getal als onechte breuk \(\dfrac{d \times f + e}{f}\) Maak de noemers gelijk en trek de rechter teller van de linker af, en je krijgt

⑤ \(\dfrac{\text{verschil van de tellers na gelijknamig maken}}{\text{gemeenschappelijke noemer (product van de noemers)}}\)

Een eenvoudig voorbeeld

Zet bij \(1\,\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4}\) het gemengd getal om in de onechte breuk \(\dfrac{3}{2}\) en maak de noemers gelijk met het kleinste gemeen veelvoud 4

linker gemengd getal \(1\,\dfrac{1}{2}\) \(-\) rechter breuk \(\dfrac{3}{4}\) \(=\) links min rechts \(\dfrac{3}{4}\)

\(1\,\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{4} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4}\)

Het belangrijkste idee

Het idee is precies hetzelfde als bij optellen: zet om in onechte breuken, maak de noemers gelijk en trek dan de tellers af. De gehele delen en de breukdelen apart aftrekken vraagt om lenen (1 lenen van het gehele deel) als het breukdeel niet af te trekken is (bijvoorbeeld de breukdelen van \(2\,\dfrac{1}{4} - 1\,\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2}\)). Dat gaat makkelijk fout, dus de methode met onechte breuken is de veilige keuze. Trek je een groter getal af van een kleiner getal, dan is het antwoord een negatieve breuk (bijvoorbeeld \(\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{4} = -\dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{2}\)). Deze rekenmachine toont negatieve antwoorden gewoon zoals ze zijn.

Gemengde getallen vermenigvuldigen (omzetten in onechte breuken, tellers en noemers met elkaar vermenigvuldigen)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(a\,\dfrac{b}{c}\) \(\times\) \(d\,\dfrac{e}{f}\) \(=\) \(\dfrac{a \times c + b}{c}\) \(\times\) \(\dfrac{d \times f + e}{f}\) \(=\) \(\dfrac{(a \times c + b) \times (d \times f + e)}{c \times f}\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

① linker gemengd getal \(a\,\dfrac{b}{c}\) \(\times\) ② rechter gemengd getal \(d\,\dfrac{e}{f}\) \(=\) ③ \(\dfrac{\text{links: geheel deel × noemer + teller}}{\text{linker noemer}}\) \(\times\) ④ \(\dfrac{\text{rechts: geheel deel × noemer + teller}}{\text{rechter noemer}}\) \(=\) ⑤ \(\dfrac{\text{product van de tellers van de onechte breuken}}{\text{product van de noemers}}\)

De formule in woorden

① Zet het linker gemengd getal \(a\,\dfrac{b}{c}\)

② en het rechter gemengd getal \(d\,\dfrac{e}{f}\) om in onechte breuken, het

③ linker getal als onechte breuk \(\dfrac{a \times c + b}{c}\)

④ en het rechter getal als onechte breuk \(\dfrac{d \times f + e}{f}\) Vermenigvuldig de tellers met elkaar en de noemers met elkaar, en je krijgt

⑤ \(\dfrac{\text{product van de tellers van de onechte breuken}}{\text{product van de noemers}}\)

Een eenvoudig voorbeeld

Zet bij \(2\,\dfrac{1}{3} \times 1\,\dfrac{1}{2}\) eerst om in de onechte breuken \(\dfrac{7}{3}\) en \(\dfrac{3}{2}\) en vermenigvuldig dan

linker gemengd getal \(2\,\dfrac{1}{3}\) \(\times\) rechter gemengd getal \(1\,\dfrac{1}{2}\) \(=\) product van de twee gemengde getallen \(3\,\dfrac{1}{2}\)

\(2\,\dfrac{1}{3} \times 1\,\dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{3} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{7 \times 3}{3 \times 2} = \dfrac{21}{6} = \dfrac{7}{2} = 3\,\dfrac{1}{2}\)

Het belangrijkste idee

Anders dan bij optellen en aftrekken heb je bij vermenigvuldigen en delen geen gemeenschappelijke noemer nodig. Wel kun je niet rekenen met de gemengde getallen zoals ze zijn. De gehele delen met elkaar vermenigvuldigen en de breukdelen met elkaar is een veelgemaakte fout. Het juiste antwoord op \(1\,\dfrac{1}{2} \times 1\,\dfrac{1}{2}\) is bijvoorbeeld \(\dfrac{3}{2} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{4} = 2\,\dfrac{1}{4}\), maar de gehele delen (\(1 \times 1 = 1\)) naast de breukdelen (\(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\)) zetten geeft \(1\,\dfrac{1}{4}\), en dat is fout. Zet altijd eerst om in onechte breuken voordat je vermenigvuldigt.

Gemengde getallen delen (omzetten in onechte breuken, vermenigvuldigen met het omgekeerde)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(a\,\dfrac{b}{c}\) \(\div\) \(d\,\dfrac{e}{f}\) \(=\) \(\dfrac{a \times c + b}{c}\) \(\times\) \(\dfrac{f}{d \times f + e}\) \(=\) \(\dfrac{(a \times c + b) \times f}{c \times (d \times f + e)}\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

① gemengd getal dat wordt gedeeld \(a\,\dfrac{b}{c}\) \(\div\) ② gemengd getal waardoor je deelt \(d\,\dfrac{e}{f}\) \(=\) ③ \(\dfrac{\text{links: geheel deel × noemer + teller}}{\text{linker noemer}}\) \(\times\) ④ \(\dfrac{\text{noemer van de deler}}{\text{deler: geheel deel × noemer + teller}}\) \(=\) ⑤ \(\dfrac{\text{product van de tellers (links × omgekeerde)}}{\text{product van de noemers (links × omgekeerde)}}\)

De formule in woorden

① Zet het gemengd getal dat wordt gedeeld \(a\,\dfrac{b}{c}\)

② en het gemengd getal waardoor je deelt \(d\,\dfrac{e}{f}\) om in onechte breuken. Vermenigvuldig het

③ getal dat wordt gedeeld als onechte breuk \(\dfrac{a \times c + b}{c}\) met het

④ omgekeerde van de deler \(\dfrac{f}{d \times f + e}\) (de deler met teller en noemer verwisseld), en je krijgt

⑤ \(\dfrac{\text{product van de tellers (links × omgekeerde)}}{\text{product van de noemers (links × omgekeerde)}}\)

Een eenvoudig voorbeeld

Het gehele getal 4 delen door het gemengd getal \(1\,\dfrac{1}{3}\) (als onechte breuk \(\dfrac{4}{3}\)) betekent vermenigvuldigen met het omgekeerde \(\dfrac{3}{4}\)

getal dat wordt gedeeld, 4 \(\div\) gemengd getal waardoor je deelt \(1\,\dfrac{1}{3}\) \(=\) 4 gedeeld door \(1\,\dfrac{1}{3}\), 3

\(4 \div 1\,\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{1} \div \dfrac{4}{3} = \dfrac{4}{1} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\)

Het belangrijkste idee

Delen door \(\dfrac{1}{2}\) is hetzelfde als verdubbelen. Zo is delen door een breuk hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde (de breuk op zijn kop gezet). Zie “delen door X” als “tellen hoe vaak X past”. Er passen twee halven in 1, dus delen door \(\dfrac{1}{2}\) verdubbelt het antwoord. Deel je door een geheel getal, dan kun je dezelfde formule gebruiken door het te zien als een breuk zoals \(\dfrac{4}{1}\). Maar door 0 delen kan niet.

Vereenvoudigen en terugzetten naar een gemengd getal

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(\dfrac{p}{q}\) \(=\) \(\dfrac{p \div g}{q \div g}\)

\(\dfrac{p}{q}\) \(=\) \(w\,\dfrac{r}{q}\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

① breuk vóór het vereenvoudigen \(\dfrac{p}{q}\) \(=\) ② \(\dfrac{\text{teller gedeeld door de ggd}}{\text{noemer gedeeld door de ggd}}\)

③ antwoord dat een onechte breuk is (teller ≥ noemer) \(=\) ④ gemengd getal (geheel deel = quotiënt \(w\) van teller ÷ noemer, teller = rest \(r\))

De formule in woorden

① Deel de teller en de noemer van de breuk vóór het vereenvoudigen \(\dfrac{p}{q}\) door het grootste getal dat beide deelt (de grootste gemene deler \(g\)), en je krijgt

② \(\dfrac{\text{teller gedeeld door de ggd}}{\text{noemer gedeeld door de ggd}}\) (een breuk die niet verder te vereenvoudigen is)

③ Een antwoord dat een onechte breuk is (teller ≥ noemer) kun je terugzetten: neem het quotiënt \(w\) van teller ÷ noemer als gehele deel en de rest \(r\) als nieuwe teller, en je krijgt het

④ gemengd getal (geheel deel = quotiënt \(w\) van teller ÷ noemer, teller = rest \(r\))

Een eenvoudig voorbeeld

Het vereenvoudigen van \(\dfrac{21}{6}\) uit het voorbeeld van het vermenigvuldigen (de ggd van 21 en 6 is 3) geeft

breuk vóór het vereenvoudigen \(\dfrac{21}{6}\) \(=\) teller en noemer gedeeld door 3, \(\dfrac{7}{2}\) (als gemengd getal, \(3\,\dfrac{1}{2}\))

\(\dfrac{21}{6} = \dfrac{21 \div 3}{6 \div 3} = \dfrac{7}{2} = 3\,\dfrac{1}{2}\)

Het belangrijkste idee

De regel is om een breuk als antwoord aan het eind te vereenvoudigen, zodat hij niet verder te vereenvoudigen is (de eenvoudigste vorm). Is het vereenvoudigde resultaat een onechte breuk (teller ≥ noemer), dan kun je het omzetten in een gemengd getal. Deel de teller door de noemer: het quotiënt is het gehele deel en de rest is de nieuwe teller (bij \(\dfrac{7}{2}\) is bijvoorbeeld \(7 \div 2 = 3\) rest \(1\), dus \(3\,\dfrac{1}{2}\)). Deze rekenmachine toont het antwoord zowel als onechte breuk als als gemengd getal.

Rekenen met gemengde getallen begint altijd met omzetten in onechte breuken. Bij optellen en aftrekken zoek je een gemeenschappelijke noemer en reken je met de tellers. Bij vermenigvuldigen vermenigvuldig je de tellers met elkaar en de noemers met elkaar. Bij delen vermenigvuldig je met het omgekeerde. Tot slot vereenvoudig je met de grootste gemene deler, en is het antwoord een onechte breuk, dan zet je het terug in een gemengd getal.

Symbolen en begrippen

Symbolen

\(\dfrac{a}{b}\)	a over b	Een breuk. Het bovenste getal \(a\) is de teller en het onderste getal \(b\) is de noemer. De waarde is gelijk aan \(a \div b\). De noemer \(b\) mag niet 0 zijn.
\(a\,\dfrac{b}{c}\)	a en b over c (gemengd getal)	Het linker gemengd getal. Het is het gehele deel \(a\) naast de echte breuk \(\dfrac{b}{c}\) geschreven en het betekent \(a + \dfrac{b}{c}\). In deze rekenmachine vul je het in met aparte vakken voor het gehele getal, de teller en de noemer.
\(d\,\dfrac{e}{f}\)	d en e over f (gemengd getal)	Het rechter gemengd getal. In de formules gebruik je andere letters om het van het linker te onderscheiden. Het betekent op dezelfde manier \(d + \dfrac{e}{f}\).
\(g\)	g	De grootste gemene deler in de formule voor vereenvoudigen. Het is het grootste getal dat zowel de teller als de noemer deelt (bijvoorbeeld 3 voor 21 en 6).
\(\div\)	gedeeld door	Het deelteken. Bij het delen van breuken vervang je het door vermenigvuldigen met het omgekeerde van de deler.

Begrippen

gemengd getal	Een getal dat is geschreven als een geheel getal gevolgd door een echte breuk, zoals \(3\,\dfrac{1}{2}\) (“drie en een half”). Het betekent “geheel getal + breuk”, en het voordeel is dat je de grootte in één oogopslag ziet. Het past bij hoeveelheden uit het dagelijks leven, zoals “drieënhalve liter”.
onechte breuk	Een breuk waarvan de teller gelijk is aan of groter dan de noemer, zoals \(\dfrac{7}{2}\). Om mee te rekenen, vooral bij vermenigvuldigen en delen, is hij handiger dan een gemengd getal. Met het quotiënt en de rest van teller ÷ noemer maak je er een gemengd getal van.
echte breuk	Een breuk waarvan de teller kleiner is dan de noemer, zoals \(\dfrac{1}{2}\) of \(\dfrac{3}{4}\). De waarde is altijd minder dan 1. Het breukdeel van een gemengd getal is een echte breuk.
teller	Het bovenste getal van een breuk. De noemer geeft aan in hoeveel gelijke delen 1 is verdeeld, en de teller geeft aan hoeveel van die delen er zijn.
noemer	Het onderste getal van een breuk. Het geeft aan in hoeveel gelijke delen 1 is verdeeld. Het mag niet 0 zijn (dat zou delen door 0 betekenen).
gemeenschappelijke noemer (gelijknamig maken)	Een noemer die twee of meer breuken gemeen hebben. Breuken met verschillende noemers zo herschrijven dat ze dezelfde noemer hebben, heet gelijknamig maken en gebruikt meestal het kleinste gemeen veelvoud van de noemers (de kleinste gemeenschappelijke noemer). Het is nodig vóór het optellen of aftrekken, maar niet bij vermenigvuldigen of delen.
vereenvoudigen	De teller en noemer van een breuk delen door een gemeenschappelijke deler om hem eenvoudiger te maken. Delen door de grootste gemene deler doet het in één keer (bijvoorbeeld \(\dfrac{21}{6} = \dfrac{7}{2}\)).
kleinste gemeen veelvoud (kgv)	Het kleinste veelvoud dat twee getallen gemeen hebben. Voorbeeld, het kleinste gemeen veelvoud van 4 en 7 is 28. Je gebruikt het als gemeenschappelijke noemer.
grootste gemene deler (ggd)	Het grootste getal dat twee getallen allebei deelt. Voorbeeld, de grootste gemene deler van 21 en 6 is 3. Je gebruikt het om te vereenvoudigen. In het Engels heet het GCD (greatest common divisor) of GCF (greatest common factor).
omgekeerde	Een breuk waarvan de teller en noemer zijn verwisseld (bijvoorbeeld het omgekeerde van \(\dfrac{4}{3}\) is \(\dfrac{3}{4}\)). Een getal maal zijn omgekeerde is 1. Delen door een breuk kun je vervangen door vermenigvuldigen met het omgekeerde.

Handig om vooraf te weten

Dit helpt je om de berekening op deze pagina echt te begrijpen, en niet alleen op de knop te drukken.
Kom je er niet uit, dan is terugkeren naar deze onderwerpen de snelste weg vooruit.

Wat een breuk betekent (groep 5-6, 8-10 jaar)	Weten dat \(\dfrac{1}{2}\) betekent: één van de 2 gelijke delen van 1 De namen en de rol kennen van de teller (boven) en de noemer (onder)
Gemengde getallen en onechte breuken (groep 7-8, 10-12 jaar)	Weten dat een gemengd getal (\(2\,\dfrac{1}{3}\)) “geheel getal + echte breuk” betekent Kunnen omzetten tussen gemengde getallen en onechte breuken (met het quotiënt en de rest van teller ÷ noemer)
Vereenvoudigen, gelijknamig maken, veelvouden en delers (klas 1, 12-13 jaar)	Het kleinste gemeen veelvoud en de grootste gemene deler van twee getallen kunnen bepalen Breuken met verschillende noemers kunnen herschrijven met het kleinste gemeen veelvoud als gemeenschappelijke noemer (gelijknamig maken)
Breuken optellen en aftrekken (groep 7-8, 10-12 jaar)	Een gemeenschappelijke noemer kunnen zoeken en dan de tellers optellen of aftrekken
Breuken vermenigvuldigen en delen (groep 8 tot klas 2, 11-14 jaar)	Weten dat je bij vermenigvuldigen de tellers met elkaar en de noemers met elkaar vermenigvuldigt Weten dat delen kan worden vervangen door vermenigvuldigen met het omgekeerde
Positieve en negatieve getallen (klas 1, 12-13 jaar)	De tekenregels voor negatieve getallen kennen, zoals dat een negatief getal maal (of gedeeld door) een negatief getal positief is

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel om een gemengd getal om te zetten in een onechte breuk

Geheel deel van het gemengd getal a	2
Teller van het gemengd getal b	1
Noemer van het gemengd getal c	3
Teller van de onechte breuk (a×c+b)	=B1*B3+B2
Noemer van de onechte breuk (c)	=B3

Tabel om breuken op te tellen

Linker teller a	3
Linker noemer b	2
Rechter teller c	1
Rechter noemer d	3
Teller van het antwoord (a×d+c×b)	=B1B4+B3B2
Noemer van het antwoord (b×d)	=B2*B4
Als kommagetal	=B5/B6

Tabel om breuken af te trekken

Linker teller a	3
Linker noemer b	2
Rechter teller c	3
Rechter noemer d	4
Teller van het antwoord (a×d−c×b)	=B1B4-B3B2
Noemer van het antwoord (b×d)	=B2*B4
Als kommagetal	=B5/B6

Tabel om breuken te vermenigvuldigen

Linker teller a	7
Linker noemer b	3
Rechter teller c	3
Rechter noemer d	2
Teller van het antwoord (a×c)	=B1*B3
Noemer van het antwoord (b×d)	=B2*B4
Als kommagetal	=B5/B6

Tabel om breuken te delen

Teller van de breuk die wordt gedeeld a	4
Noemer van de breuk die wordt gedeeld b	1
Teller van de deler c	4
Noemer van de deler d	3
Teller van het antwoord (a×d)	=B1*B4
Noemer van het antwoord (b×c)	=B2*B3
Als kommagetal	=B5/B6

Tabel om te vereenvoudigen en terug te zetten naar een gemengd getal

Teller vóór het vereenvoudigen p	21
Noemer vóór het vereenvoudigen q	6
Vereenvoudigde teller (p÷ggd)	=B1/GGD(B1;B2)
Vereenvoudigde noemer (q÷ggd)	=B2/GGD(B1;B2)
Geheel deel van het gemengd getal (quotiënt)	=QUOTIENT(B3;B4)
Teller van het gemengd getal (rest)	=REST(B3;B4)

In een Excel-cel kun je geen gemengd getal zomaar invullen, dus vul het gehele deel, de teller en de noemer apart in. In elke tabel zijn de bovenste rijen je invoer en de formules in vet groen worden automatisch berekend.
Wil je met gemengde getallen rekenen, zet ze dan eerst met de eerste tabel om in onechte breuken, vul die tellers en noemers in bij tabel 2 tot en met 5 en vereenvoudig dan de teller en noemer van het antwoord met de zesde tabel.
De vierde tabel, voor vermenigvuldigen (\(\dfrac{7}{3} \times \dfrac{3}{2}\)), geeft bijvoorbeeld als teller van het antwoord 21 en als noemer 6. Vereenvoudigen met de zesde tabel geeft \(\dfrac{7}{2}\), en als gemengd getal geheel deel 3 en teller 1 (= \(3\,\dfrac{1}{2}\)).
GGD geeft de grootste gemene deler, QUOTIENT het gehele deel van een deling en REST de rest.

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel om een gemengd getal om te zetten in een onechte breuk

Geheel deel van het gemengd getal a	2
Teller van het gemengd getal b	1
Noemer van het gemengd getal c	3
Teller van de onechte breuk (a×c+b)	=B1*B3+B2
Noemer van de onechte breuk (c)	=B3

Tabel om breuken op te tellen

Linker teller a	3
Linker noemer b	2
Rechter teller c	1
Rechter noemer d	3
Teller van het antwoord (a×d+c×b)	=B1B4+B3B2
Noemer van het antwoord (b×d)	=B2*B4
Als kommagetal	=B5/B6

Tabel om breuken af te trekken

Linker teller a	3
Linker noemer b	2
Rechter teller c	3
Rechter noemer d	4
Teller van het antwoord (a×d−c×b)	=B1B4-B3B2
Noemer van het antwoord (b×d)	=B2*B4
Als kommagetal	=B5/B6

Tabel om breuken te vermenigvuldigen

Linker teller a	7
Linker noemer b	3
Rechter teller c	3
Rechter noemer d	2
Teller van het antwoord (a×c)	=B1*B3
Noemer van het antwoord (b×d)	=B2*B4
Als kommagetal	=B5/B6

Tabel om breuken te delen

Teller van de breuk die wordt gedeeld a	4
Noemer van de breuk die wordt gedeeld b	1
Teller van de deler c	4
Noemer van de deler d	3
Teller van het antwoord (a×d)	=B1*B4
Noemer van het antwoord (b×c)	=B2*B3
Als kommagetal	=B5/B6

Tabel om te vereenvoudigen en terug te zetten naar een gemengd getal

Teller vóór het vereenvoudigen p	21
Noemer vóór het vereenvoudigen q	6
Vereenvoudigde teller (p÷ggd)	=B1/GGD(B1;B2)
Vereenvoudigde noemer (q÷ggd)	=B2/GGD(B1;B2)
Geheel deel van het gemengd getal (quotiënt)	=QUOTIENT(B3;B4)
Teller van het gemengd getal (rest)	=REST(B3;B4)

Dezelfde formules als in Excel werken ook hier (Google Spreadsheets heeft ook GGD, QUOTIENT en REST). Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de ingevulde getallen door je eigen breuken.

Berekenen met Python

from fractions import Fraction

# Schrijf een gemengd getal als "geheel deel + breukdeel"
# (bij een negatief gemengd getal -2 3/4 komt het min-teken voor het geheel: -(Fraction(2) + Fraction(3, 4)))
left = Fraction(2) + Fraction(1, 3)    # gemengd getal 2 1/3 → onechte breuk 7/3
right = Fraction(1) + Fraction(1, 2)   # gemengd getal 1 1/2 → onechte breuk 3/2

answer = left * right    # verander in + om op te tellen, - om af te trekken, / om te delen

print(f"Vereenvoudigde breuk: {answer}")    # 7/2 (automatisch vereenvoudigd)
print(f"Kommagetal: {float(answer)}")         # 3.5

# Zet de onechte breuk om in een gemengd getal (bijvoorbeeld 7/2 → 3 1/2)
whole = abs(answer.numerator) // answer.denominator    # geheel deel (quotiënt van teller ÷ noemer)
part = abs(answer.numerator) % answer.denominator      # nieuwe teller (rest)
sign = "-" if answer < 0 else ""
print(f"Gemengd getal: {sign}{whole} {part}/{answer.denominator}")

Werkt met alleen de module fractions uit de standaardbibliotheek. Fraction rekent exact met breuken en doet het gelijknamig maken en vereenvoudigen voor je. Pas bovenaan left en right aan naar je eigen getallen en voer de code uit.

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

Een gemengd getal omzetten in een onechte breuk

a b/c = (a×c + b)/c

a\dfrac{b}{c} = \dfrac{a \times c + b}{c}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi>
    <mfrac><mi>b</mi><mi>c</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow>
      <mi>c</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

a b/c = (a xx c + b)/c

a + b/c

improper := (a*c + b)/c;

improper = (a*c + b)/c;

a b/c = (a×c + b)/c

Gemengde getallen optellen (omzetten in onechte breuken, de noemers gelijk maken, de tellers optellen)

a b/c + d e/f = (a×c + b)/c + (d×f + e)/f

a\dfrac{b}{c} + d\dfrac{e}{f} = \dfrac{a \times c + b}{c} + \dfrac{d \times f + e}{f}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi><mfrac><mi>b</mi><mi>c</mi></mfrac>
    <mo>+</mo>
    <mi>d</mi><mfrac><mi>e</mi><mi>f</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow>
      <mi>c</mi>
    </mfrac>
    <mo>+</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>d</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>f</mi><mo>+</mo><mi>e</mi></mrow>
      <mi>f</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

a b/c + d e/f = (a xx c + b)/c + (d xx f + e)/f

(a + b/c) + (d + e/f) // Together

answer := normal((a + b/c) + (d + e/f));

answer = simplifyFraction((a + b/c) + (d + e/f));

a b/c + d e/f = (a×c + b)/c + (d×f + e)/f

Gemengde getallen aftrekken (omzetten in onechte breuken, de noemers gelijk maken, de tellers aftrekken)

a b/c − d e/f = (a×c + b)/c − (d×f + e)/f

a\dfrac{b}{c} - d\dfrac{e}{f} = \dfrac{a \times c + b}{c} - \dfrac{d \times f + e}{f}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi><mfrac><mi>b</mi><mi>c</mi></mfrac>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>d</mi><mfrac><mi>e</mi><mi>f</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow>
      <mi>c</mi>
    </mfrac>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>d</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>f</mi><mo>+</mo><mi>e</mi></mrow>
      <mi>f</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

a b/c - d e/f = (a xx c + b)/c - (d xx f + e)/f

(a + b/c) - (d + e/f) // Together

answer := normal((a + b/c) - (d + e/f));

answer = simplifyFraction((a + b/c) - (d + e/f));

a b/c - d e/f = (a×c + b)/c - (d×f + e)/f

Gemengde getallen vermenigvuldigen (omzetten in onechte breuken, tellers en noemers met elkaar vermenigvuldigen)

a b/c × d e/f = ((a×c + b) × (d×f + e))/(c×f)

a\dfrac{b}{c} \times d\dfrac{e}{f} = \dfrac{(a \times c + b) \times (d \times f + e)}{c \times f}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi><mfrac><mi>b</mi><mi>c</mi></mfrac>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mi>d</mi><mfrac><mi>e</mi><mi>f</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo><mo>&#xD7;</mo><mo>(</mo><mi>d</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>f</mi><mo>+</mo><mi>e</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>c</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>f</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

a b/c xx d e/f = ((a xx c + b) xx (d xx f + e))/(c xx f)

(a + b/c)*(d + e/f) // Together

answer := normal((a + b/c)*(d + e/f));

answer = simplifyFraction((a + b/c)*(d + e/f));

a b/c × d e/f = ((a×c + b) × (d×f + e))/(c×f)

Gemengde getallen delen (omzetten in onechte breuken, vermenigvuldigen met het omgekeerde)

a b/c ÷ d e/f = (a×c + b)/c × f/(d×f + e)

a\dfrac{b}{c} \div d\dfrac{e}{f} = \dfrac{a \times c + b}{c} \times \dfrac{f}{d \times f + e}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi><mfrac><mi>b</mi><mi>c</mi></mfrac>
    <mo>&#xF7;</mo>
    <mi>d</mi><mfrac><mi>e</mi><mi>f</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow>
      <mi>c</mi>
    </mfrac>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mfrac>
      <mi>f</mi>
      <mrow><mi>d</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>f</mi><mo>+</mo><mi>e</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

a b/c -: d e/f = (a xx c + b)/c xx f/(d xx f + e)

(a + b/c)/(d + e/f) // Together

answer := normal((a + b/c)/(d + e/f));

answer = simplifyFraction((a + b/c)/(d + e/f));

a b/c ÷ d e/f = (a×c + b)/c × f/(d×f + e)

Vereenvoudigen en terugzetten naar een gemengd getal

p/q = (p ÷ g)/(q ÷ g)

\dfrac{p}{q} = \dfrac{p \div g}{q \div g}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mfrac><mi>p</mi><mi>q</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>p</mi><mo>&#xF7;</mo><mi>g</mi></mrow>
      <mrow><mi>q</mi><mo>&#xF7;</mo><mi>g</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

p/q = (p -: g)/(q -: g)

Simplify[p/q]

answer := simplify(p/q);

answer = simplifyFraction(sym(p)/sym(q));

p/q = (p÷g)/(q÷g)

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een rekenassistent voor breuken. Voer de volgende berekening uit door daadwerkelijk Python-code uit te voeren (de module fractions wordt aanbevolen) en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef geen antwoord op basis van hoofdrekenen of gokken).

Bereken voor de gemengde getallen 2 1/3 (twee en een derde) en 1 1/2 (een en een half) de volgende vier:
1. Optellen (2 1/3 + 1 1/2)
2. Aftrekken (2 1/3 − 1 1/2)
3. Vermenigvuldigen (2 1/3 × 1 1/2)
4. Delen (2 1/3 ÷ 1 1/2)

Geef elk antwoord op drie manieren: als breuk in de eenvoudigste vorm, als gemengd getal en als kommagetal.
Laat de formules die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering in een tabel zien.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule