Binomium van Newton (uitwerken, coëfficiënt van een term, driehoek van Pascal)

Vul A, B en n in van de uitdrukking (Ax+B)ⁿ die je wilt uitwerken. De formule hieronder is gekoppeld aan de invoervelden, dus je kunt ook de formule zelf aanpassen. Bij “Gevraagd” kies je of je alle termen uitwerkt of alleen één term berekent.

Gevraagd

Coëfficiënt van x, A

Constante term B

Exponent n (0–12)

Macht van x

Term nummer (vanaf het begin)

Je kunt kommagetallen, negatieve getallen en breuken zoals 3/4 gebruiken. De exponent n is een geheel getal van 0 tot en met 12.

Resultaat en figuur

Vul links de coëfficiënten en de exponent in en klik op “Berekenen”. Hier verschijnen de uitgewerkte formule en de driehoek van Pascal.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formules en figuren
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Werk $(Ax+B)^{n}$ ($n$ van 0 tot 12) uit met het binomium van Newton en zie het resultaat meteen, geschreven met dalende machten van $x$
Wil je alleen de coëfficiënt van $x^{3}$ weten? Geef dan de macht van $x$ (of het nummer van de term) op en bereken alleen die ene term
Bereken je één term, dan zie je ook de waarde van de binomiaalcoëfficiënt ${}_n\mathrm{C}_k$ en de stappen met $\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$
De driehoek van Pascal wordt getekend tot en met rij $n$, met de rij die je gebruikt in kleur
Voor $A$ en $B$ kun je kommagetallen, negatieve getallen en breuken zoals 3/4 invullen. De coëfficiënten worden exact berekend, als vereenvoudigde breuken
Een heldere uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python vind je ook op deze pagina

Deze pagina werkt met de vorm $(Ax+B)^{n}$ ($n$ is een geheel getal van 0 tot en met 12). Gebroken of negatieve exponenten (het algemeen binomium van Newton) en uitdrukkingen met drie of meer termen (de multinomiaalstelling) kunnen niet.

Waarvoor is deze berekening handig?

De kans op k keer succes bij n pogingen (kwaliteitscontrole, peilingen, klinische studies)

Herhaal een kansexperiment $n$ keer, waarbij de kans $p$ elke keer gelijk is en de ene uitkomst de andere niet beïnvloedt. De kans dat iets precies $k$ keer gebeurt, is ${}_n\mathrm{C}_k p^{k}(1-p)^{n-k}$. Dat is precies één term van $(p + (1-p))^n$ uitgewerkt met het binomium van Newton, en zo’n kansverdeling heet de binomiale verdeling.
Heeft een productielijn bijvoorbeeld steeds 3% afkeur en trek je een steekproef van 10 stuks, dan is de kans op helemaal geen afkeur de term met $k = 0$, $0{,}97^{10} \approx 0{,}737$, dus ongeveer 74%. Andersom: bij een controle van 10 stuks vind je in ongeveer 26% van de gevallen een afgekeurd exemplaar. Dezelfde gedachte ligt achter de vraag hoeveel stuks je moet controleren, het inschatten van de foutmarge van een peiling en het beoordelen of een nieuw medicijn werkt.

Verwachte eigenschappen bij nakomelingen voorspellen (biologie en landbouw)

Hebben beide ouders het genenpaar $\mathrm{Aa}$, dan komen de genotypen van hun kinderen voor in de verhouding $\mathrm{AA} : \mathrm{Aa} : \mathrm{aa} = 1 : 2 : 1$. Die 1, 2, 1 komt doordat elke ouder $\mathrm{A}$ of $\mathrm{a}$ doorgeeft met kans $\dfrac{1}{2}$: $\left(\dfrac{1}{2}\mathrm{A} + \dfrac{1}{2}\mathrm{a}\right)^{2} = \dfrac{1}{4}\left(\mathrm{AA} + 2\,\mathrm{Aa} + \mathrm{aa}\right)$. Dit zijn de binomiaalcoëfficiënten, dezelfde getallen als in rij $n = 2$ van de driehoek van Pascal.
Met meer eigenschappen, of als je het uitsplitst naar het aantal kinderen, wordt het met de hand te onoverzichtelijk. Het binomium van Newton beantwoordt vragen als “de kans dat precies 2 van de 4 broers en zussen een eigenschap hebben” in één keer. Plantenkwekers, fokkers en genetisch adviseurs schatten zo de verwachte verhoudingen in.

Rente op rente en groei snel schatten (geld en economie)

Geld dat $n$ jaar groeit met een jaarlijkse rente $r$, wordt vermenigvuldigd met $(1+r)^{n}$. Werk je dat uit met het binomium van Newton, dan krijg je $1 + nr + {}_n\mathrm{C}_2 r^{2} + \cdots$. Het eerste deel, $1 + nr$, is enkelvoudige rente en de rest is “rente op rente”.
Bij 1% per jaar gedurende 10 jaar is bijvoorbeeld $1{,}01^{10} = 1{,}10462\cdots$, maar al de eerste drie termen, $1 + 0{,}1 + 0{,}0045$, geven 1,1045, bijna dezelfde waarde. De latere termen worden steeds kleiner, dus dit is handig voor een snelle schatting uit je hoofd. Rentepercentages, inflatie en bevolkingsgroei, alles wat elk jaar met hetzelfde percentage groeit, heeft deze vorm.

Het effect van kleine veranderingen schatten (techniek, natuurkunde, metingen)

Bij ontwerp en metingen wil je vaak snel weten hoeveel een uitkomst verandert als iets een klein beetje verandert. Werk uit met het binomium van Newton en laat de kleine termen met kwadraten en hogere machten weg, dan krijg je de benadering $(1+x)^{n} \approx 1 + nx$.
Wordt bijvoorbeeld elke ribbe van een kubus 1% langer, dan wordt de inhoud $(1+0{,}01)^{3} = 1{,}030301$ keer zo groot, een toename van ongeveer 3%. De benadering geeft $1 + 3 \times 0{,}01 = 1{,}03$, bijna hetzelfde antwoord. De vuistregel “1% fout in de lengte betekent ongeveer 3% fout in de inhoud” gebruik je rechtstreeks bij het vaststellen van toleranties van onderdelen en het schatten van meetfouten.

Alle mogelijke keuzes tellen (combinaties en telproblemen)

Als je bij elk van $n$ opties vrij kiest tussen “ja” en “nee”, is het totale aantal combinaties gelijk aan $2^{n}$. Dit is het binomium van Newton met $a = b = 1$, $\sum_{k=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_k = 2^{n}$, en het is ook de som van elke rij van de driehoek van Pascal.
Een pizza met 5 mogelijke toppings kun je bijvoorbeeld op $2^{5} = 32$ manieren bestellen, inclusief de pizza margherita zonder extra toppings. De rij geeft ook de verdeling: precies 2 toppings kun je op ${}_5\mathrm{C}_2 = 10$ manieren bestellen. Dit idee gebruik je overal waar je keuzes telt, zoals menucombinaties, antwoordpatronen in een enquête en testgevallen voor software.

Formules en figuren

Het binomium van Newton

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

$(a+b)^{n}$ $=$ $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}$ ${}_{n}\mathrm{C}_{k}$ $a^{n-k}$ $b^{k}$

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

⑤ $(a+b)^n$: $n$ keer $(a+b)$ met elkaar vermenigvuldigd $=$ ④ alles bij elkaar opgeteld, met $k$, het aantal gekozen $b$’s, van 0 tot $n$ ① ${}_n\mathrm{C}_k$: het aantal manieren om $k$ uit $n$ te kiezen ② $a^{n-k}$: $(n-k)$ keer $a$ vermenigvuldigd ③ $b^{k}$: $k$ keer $b$ vermenigvuldigd

De formule in woorden

① Neem ${}_n\mathrm{C}_k$: het aantal manieren om $k$ uit $n$ te kiezen

② vermenigvuldig dat met $a^{n-k}$: $(n-k)$ keer $a$ vermenigvuldigd

③ en met $b^{k}$: $k$ keer $b$ vermenigvuldigd

④ en tel dat alles op, dus alles bij elkaar opgeteld, met $k$, het aantal gekozen $b$’s, van 0 tot $n$

⑤ Dan krijg je $(a+b)^n$: $n$ keer $(a+b)$ met elkaar vermenigvuldigd

Een eenvoudig voorbeeld

Het uitwerken van $(a+b)^{3}$ (de coëfficiënten 1; 3; 3; 1 zijn de waarden van ${}_3\mathrm{C}_0$ tot en met ${}_3\mathrm{C}_3$) geeft

3 keer $(a+b)$ met elkaar vermenigvuldigd $=$ alles bij elkaar opgeteld, met het aantal $b$’s $k$ van 0 tot 3 het aantal manieren om $k$ uit 3 te kiezen $(3-k)$ keer $a$ vermenigvuldigd $k$ keer $b$ vermenigvuldigd

$(a+b)^{3} = {}_{3}\mathrm{C}_{0}a^{3} + {}_{3}\mathrm{C}_{1}a^{2}b + {}_{3}\mathrm{C}_{2}ab^{2} + {}_{3}\mathrm{C}_{3}b^{3}$

$= a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$

Het belangrijkste idee

$(a+b)^n$ betekent: schrijf het haakjespaar $(a+b)$ $n$ keer op en vermenigvuldig die met elkaar. Om uit te werken kies je uit elk haakjespaar óf $a$ óf $b$, vermenigvuldig je je keuzes met elkaar en tel je de uitkomsten van alle mogelijke keuzes bij elkaar op. Het aantal manieren om te kiezen uit welke $k$ van de $n$ haakjespaar je een $b$ neemt, is ${}_n\mathrm{C}_k$. Dezelfde soort term $a^{n-k}b^{k}$ komt dus ${}_n\mathrm{C}_k$ keer voor, en als je ze samenvoegt, is de coëfficiënt gelijk aan ${}_n\mathrm{C}_k$. Dat is alles wat het binomium van Newton zegt. (In Nederlandse schoolboeken schrijf je ${}_n\mathrm{C}_k$ meestal als $\binom{n}{k}$ en lees je “n boven k”. Op een rekenmachine heet de toets nCr.) De figuur hierboven laat $(a+b)^2$ zien als de oppervlakte van een vierkant. Er zijn twee rechthoeken $ab$, samen $2ab$, dus je ziet de coëfficiënten 1; 2; 1 met je eigen ogen.

De algemene term (term $k+1$)

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

$T_{k+1}$ $=$ ${}_{n}\mathrm{C}_{k}$ $a^{n-k}$ $b^{k}$

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

④ $T_{k+1}$: term $k+1$ van de uitwerking $=$ ① ${}_n\mathrm{C}_k$: het aantal manieren om $k$ uit $n$ te kiezen ② $a^{n-k}$: $(n-k)$ keer $a$ vermenigvuldigd ③ $b^{k}$: $k$ keer $b$ vermenigvuldigd

De formule in woorden

① Neem ${}_n\mathrm{C}_k$: het aantal manieren om $k$ uit $n$ te kiezen

② vermenigvuldig dat met $a^{n-k}$: $(n-k)$ keer $a$ vermenigvuldigd

③ en met $b^{k}$: $k$ keer $b$ vermenigvuldigd

④ Dan krijg je $T_{k+1}$: term $k+1$ van de uitwerking

Een eenvoudig voorbeeld

De 3e term ($k = 2$) van $(2x+3)^{5}$, met $a = 2x$ en $b = 3$, is

3e term $T_{3}$ $=$ het aantal manieren om 2 uit 5 te kiezen 3 keer $2x$ vermenigvuldigd 2 keer 3 vermenigvuldigd

$T_{3} = {}_{5}\mathrm{C}_{2}(2x)^{3}\cdot 3^{2} = 10 \times 8x^{3} \times 9 = 720x^{3}$

Het belangrijkste idee

De meest gemaakte fout bij het binomium van Newton is dat het nummer van de term en $k$ één verschillen. De term met $k = 0$ is de 1e term, dus bij term $k+1$ is $k$ “het nummer van de term min 1”. Voor de 3e term is $k = 2$. Vraagt een opgave naar “de coëfficiënt van $x^{3}$”, bepaal dan $k$ uit de macht van $x$ en niet uit het nummer van de term. In $(Ax+B)^n$ is de macht van $x$ gelijk aan $n-k$, dus los $n-k = 3$ op om $k = n-3$ te krijgen. Is $a$ of $b$ een geheel zoals $2x$, neem dan het hele geheel tot de macht, zoals $(2x)^{3} = 8x^{3}$. Zet er altijd haakjes omheen voordat je rekent, dan schrijf je niet per ongeluk $2x^{3}$.

Een binomiaalcoëfficiënt (het aantal combinaties) berekenen

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

${}_{n}\mathrm{C}_{k}$ $=$ $\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

② ${}_n\mathrm{C}_k$: het aantal manieren om $k$ uit $n$ te kiezen $=$ ① $\dfrac{\text{manieren om alle }n\text{ dingen op een rij te zetten }n!}{\text{volgordes van de }k\text{ gekozen dingen }k!\ \times\ \text{volgordes van de }(n-k)\text{ overgebleven dingen }(n-k)!}$

De formule in woorden

① De $\dfrac{\text{manieren om alle }n\text{ dingen op een rij te zetten }n!}{\text{volgordes van de }k\text{ gekozen dingen }k!\ \times\ \text{volgordes van de }(n-k)\text{ overgebleven dingen }(n-k)!}$

② is gelijk aan ${}_n\mathrm{C}_k$: het aantal manieren om $k$ uit $n$ te kiezen

Een eenvoudig voorbeeld

Het aantal manieren om 2 uit 5 te kiezen, ${}_5\mathrm{C}_2$, is

het aantal manieren om 2 uit 5 te kiezen $=$ $\dfrac{\text{manieren om alle 5 dingen op een rij te zetten }5!}{\text{volgordes van de 2 gekozen dingen }2!\ \times\ \text{volgordes van de 3 overgebleven dingen }3!}$

${}_{5}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{5!}{2!\,(5-2)!} = \dfrac{120}{2 \times 6} = 10$

${}_{5}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

Het belangrijkste idee

Een faculteit is het product van alle gehele getallen van 1 tot en met dat getal ($5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$). Per definitie is $0! = 1$, dus ${}_n\mathrm{C}_0 = {}_n\mathrm{C}_n = 1$. Waarom delen? Denk aan een rij. Zet alle $n$ dingen op een rij en spreek af dat de eerste $k$ “gekozen” zijn en de andere $(n-k)$ “niet gekozen”. Elk van de $n!$ volgordes geeft dan een keuze. Maar als je de $k$ gekozen dingen onderling van volgorde verandert ($k!$ manieren) of de $(n-k)$ overgebleven dingen ($(n-k)!$ manieren), verandert er niets aan wie er gekozen is. Elke keuze wordt dus $k!\,(n-k)!$ keer geteld, en door daarover te delen houd je het aantal keuzes over. Met de hand gaat de tweede schrijfwijze hierboven sneller: de teller telt $k$ getallen af vanaf $n$, en de noemer is $k!$. Voor ${}_5\mathrm{C}_2$ is dat $\dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$. Binomiaalcoëfficiënten zijn symmetrisch: ${}_n\mathrm{C}_k = {}_n\mathrm{C}_{n-k}$ ($k$ dingen kiezen is hetzelfde als de $(n-k)$ dingen kiezen die je laat liggen). Zo reken je ${}_7\mathrm{C}_5$ sneller uit als ${}_7\mathrm{C}_2 = 21$. Daarom lees je de coëfficiënten van een uitwerking van links naar rechts hetzelfde als van rechts naar links.

De driehoek van Pascal (de som van twee buren)

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

${}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}$ $+$ ${}_{n-1}\mathrm{C}_{k}$ $=$ ${}_{n}\mathrm{C}_{k}$

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

① ${}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}$: het getal linksboven, in de rij erboven $+$ ② ${}_{n-1}\mathrm{C}_{k}$: het getal rechtsboven, in de rij erboven $=$ ③ ${}_n\mathrm{C}_k$: het getal er direct onder

De formule in woorden

① Tel ${}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}$: het getal linksboven, in de rij erboven

② en ${}_{n-1}\mathrm{C}_{k}$: het getal rechtsboven, in de rij erboven

③ bij elkaar op en je krijgt ${}_n\mathrm{C}_k$: het getal er direct onder

Een eenvoudig voorbeeld

Tel je in rij $n = 3$ de 3 en de 3 bij elkaar op, dan krijg je de 6 in rij $n = 4$

linksboven ${}_3\mathrm{C}_1 = 3$ $+$ rechtsboven ${}_3\mathrm{C}_2 = 3$ $=$ direct eronder ${}_4\mathrm{C}_2 = 6$

${}_{3}\mathrm{C}_{1} + {}_{3}\mathrm{C}_{2} = 3 + 3 = 6 = {}_{4}\mathrm{C}_{2}$

Het belangrijkste idee

De driehoek van Pascal is een driehoek van binomiaalcoëfficiënten, rij voor rij van boven naar beneden. Elke rij begint en eindigt met een 1, en elk getal daartussen is de som van de twee getallen er direct boven (linksboven en rechtsboven). Zo bouw je de coëfficiënten op met alleen optellen, zonder faculteiten. Het kiezen verklaart ook waarom dit optellen klopt. Wil je $k$ van de $n$ dingen kiezen, kijk dan naar één bepaald ding. Of je kiest het wel (dan kies je nog $(k-1)$ uit de andere $(n-1)$), of je kiest het niet (dan kies je alle $k$ uit de andere $(n-1)$). Die twee gevallen zijn precies de twee getallen erboven. De getallen in elke rij tellen op tot $2^n$ (rij $n = 4$: $1+4+6+4+1 = 16 = 2^4$). Dat is het binomium van Newton met $a = b = 1$.

Het binomium van Newton zegt $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_k a^{n-k} b^{k}$: in de uitwerking is de coëfficiënt van $a^{n-k}b^{k}$ gelijk aan ${}_n\mathrm{C}_k$. Wil je maar één term weten, gebruik dan de algemene term ${}_n\mathrm{C}_k a^{n-k} b^{k}$ en bepaal $k$ uit de macht van $x$. De coëfficiënten komen overeen met rij $n$ van de driehoek van Pascal.

Symbolen en begrippen

Symbolen

${}_n\mathrm{C}_k$	n C k, of n boven k	Het aantal manieren om $k$ dingen uit $n$ te kiezen (het aantal combinaties). In het binomium van Newton wordt het een coëfficiënt van de uitwerking, daarom heet het ook een binomiaalcoëfficiënt. $\mathrm{C}$ is de eerste letter van “combinatie”. Je ziet ook $\binom{n}{k}$ (de gebruikelijke schrijfwijze in schoolboeken), nCr of C(n; k).
$n!$	n faculteit	Het product van alle gehele getallen van 1 tot en met $n$ ($4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$). Het lijkt op een uitroepteken, maar het is het wiskundige symbool voor “faculteit”. Per definitie is $0! = 1$.
$a,\ b$	a, b	De twee termen tussen de haakjes in het binomium van Newton. “Binomium” betekent “tweeterm”, en dit zijn die twee. Letters vooraan in het alfabet, $a,\ b,\ c$, staan volgens afspraak voor vaste waarden.
$n$	n	Hoe vaak hetzelfde haakjespaar met zichzelf wordt vermenigvuldigd (de exponent). De letter $n$, van “nummer” of “aantal”, gebruik je vaak voor een aantal. Op deze pagina is het een geheel getal van 0 tot en met 12.
$k$	k	Een teller voor “hoeveel $b$’s zijn er gekozen”. Hij loopt van 0 tot $n$. De term met $k = 0$ is de 1e term, daarom spreek je van “term $k+1$”. De letter $k$ is een gebruikelijke keuze voor een geheeltallige teller.
$\displaystyle\sum$	sigma	Het symbool voor “tel alles op”. Het is de Griekse hoofdletter sigma, die overeenkomt met de S van “som”. $\sum_{k=0}^{n}$ betekent: tel de uitdrukking erachter op, waarbij $k$ van 0 tot $n$ loopt.
$T_{k+1}$	T k plus 1	De term op plaats $k+1$ vanaf het begin, als je de uitwerking met dalende machten opschrijft. $T$ is de eerste letter van “term”. Dit heet de algemene term.
$A,\ B$	hoofdletter A, hoofdletter B	De letters in de invoervelden van deze rekenmachine. In $(Ax+B)^n$ is $A$ de coëfficiënt van $x$ en $B$ de constante term zonder $x$. In het binomium van Newton is $a = Ax$ en $b = B$.
$x$	x	Een letter waarvan de waarde niet vastligt (een variabele). Deze rekenmachine werkt uitdrukkingen van de vorm $(Ax+B)^n$ uit, dus het antwoord is een polynoom in $x$.

Begrippen

binomium van Newton	De stelling dat de coëfficiënten in de uitwerking van $(a+b)^n$ gelijk zijn aan het aantal combinaties ${}_n\mathrm{C}_k$. In Nederland behandel je het meestal in de bovenbouw van havo en vwo (wiskunde B, bij combinatoriek en kansrekening).
binomiaalcoëfficiënt	De coëfficiënt ${}_n\mathrm{C}_k$ die in het binomium van Newton voorkomt. Het is hetzelfde als het aantal combinaties, maar je gebruikt deze naam als je het ziet als coëfficiënt van een uitwerking. Je zegt “n boven k”.
combinatie	Een manier om uit een groep een aantal dingen te kiezen zonder op de volgorde te letten. Het aantal manieren om $k$ uit $n$ te kiezen schrijf je ${}_n\mathrm{C}_k$. Anders dan bij een permutatie, waar de volgorde telt, tellen dezelfde gekozen dingen als één manier.
faculteit	Het product van alle gehele getallen van 1 tot en met dat getal. $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$. Je gebruikt het bij het berekenen van het aantal combinaties.
algemene term	Eén formule die elke term van een uitwerking beschrijft aan de hand van de plaats. In het binomium van Newton is term $k+1$, ${}_n\mathrm{C}_k a^{n-k} b^{k}$, de algemene term. Wil je één term weten, vul dan waarden in.
uitwerking	Een uitdrukking met haakjes uitrekenen, zodat je een som van termen zonder haakjes overhoudt (“haakjes uitwerken”). Het is precies het omgekeerde van ontbinden in factoren.
dalende machten	De termen van een uitdrukking opschrijven van de hoogste macht van de variabele naar beneden, zoals in $x^3 + 2x^2 - x + 5$. Antwoorden schrijf je meestal in deze volgorde.
driehoek van Pascal	De binomiaalcoëfficiënten, rij voor rij in een driehoek gezet. Aan beide kanten staat een 1, en elk getal daartussen is de som van de twee getallen erboven. De driehoek is genoemd naar de Franse wiskundige Blaise Pascal, maar was eeuwen eerder al bekend in Perzië, India en China, waar hij de driehoek van Yang Hui heet.
polynoom	Een uitdrukking die termen optelt die bestaan uit een coëfficiënt keer een macht van $x$, zoals $2x^3 - x + 5$. Ook het resultaat van een uitwerking met het binomium van Newton is een polynoom (je zegt ook wel veelterm).
term	Elk stukje van een uitdrukking dat door plus- en mintekens wordt gescheiden. $x^3 - 2x + 3$ heeft drie termen: $x^3$, $-2x$ en $3$.
coëfficiënt	Het getal voor een variabele. In $3x^2$ is de coëfficiënt 3. Staat er geen getal, zoals in $x^2$, dan is de coëfficiënt 1.
exponent	De kleine 3 rechtsboven bij $x^3$. Het geeft aan hoe vaak je hetzelfde met elkaar vermenigvuldigt ($x^3 = x \times x \times x$). Je zegt ook “macht”.
constante term	Een term zonder $x$, alleen een getal, zoals de 5 in $x^2 + 3x + 5$. In deze rekenmachine zijn $B$ tussen de haakjes en de laatste term van de uitwerking constante termen.
binomiale verdeling	De kansverdeling van het aantal successen $k$ als je hetzelfde kansexperiment $n$ keer herhaalt. De kansen ${}_n\mathrm{C}_k p^{k}(1-p)^{n-k}$ zijn precies de termen van $(p + (1-p))^n$ uitgewerkt met het binomium van Newton, en daar komt de naam “binomiaal” vandaan.
algemeen binomium van Newton	Het binomium van Newton, uitgebreid naar gebroken en negatieve exponenten. Het resultaat is een uitdrukking met oneindig veel termen (een oneindige reeks). Deze rekenmachine werkt alleen met gehele exponenten van 0 of hoger.

Handig om vooraf te weten

Dit helpt je om de berekening op deze pagina echt te begrijpen, en niet alleen op de knop te drukken.
Kom je er niet uit, dan is het herhalen van deze onderwerpen de snelste weg vooruit.

Haakjes uitwerken (klas 2-3, 13-15 jaar)	Je kunt $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$ uitwerken met de distributieve eigenschap (vermenigvuldig elke term uit het ene haakjespaar met elke term uit het andere) Je weet dat gelijksoortige termen (zoals $3x^2$ en $5x^2$) samen te voegen zijn door hun coëfficiënten op te tellen Je kent het merkwaardig product $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$. Het binomium van Newton breidt dit uit naar de $n$e macht
Machten en rekenregels voor exponenten (klas 1-3, 12-15 jaar)	Je weet dat het kleine getal rechtsboven (de exponent) aangeeft hoe vaak je vermenigvuldigt, zoals in $x^{3} = x \times x \times x$ Je weet dat een macht van een heel haakjespaar betekent dat elk deel erin tot die macht wordt genomen, zoals in $(2x)^{3} = 2^{3}x^{3} = 8x^{3}$ Je weet dat $a^{0} = 1$ (elk getal anders dan 0 tot de macht 0 is 1)
Rekenen met negatieve getallen (klas 1, 12-13 jaar)	Je weet dat een negatief getal een even aantal keer vermenigvuldigen een positieve uitkomst geeft en een oneven aantal keer een negatieve, zoals in $(-2)^{2} = 4$ en $(-2)^{3} = -8$ Je kunt een aftrekking zoals $(2x-1)^{4}$ behandelen als $b = -1$
Combinaties en faculteiten (havo/vwo wiskunde A of B, bovenbouw)	Je weet dat ${}_n\mathrm{C}_k$ het aantal manieren is om $k$ uit $n$ dingen te kiezen zonder op de volgorde te letten Je kunt ${}_n\mathrm{C}_k = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ uitrekenen ($n!$ is het product van alle gehele getallen van 1 tot en met $n$) Je kent ${}_n\mathrm{C}_0 = 1$, ${}_n\mathrm{C}_n = 1$ en ${}_n\mathrm{C}_k = {}_n\mathrm{C}_{n-k}$
Sigmanotatie (vwo wiskunde B, bovenbouw)	Je weet dat $\sum_{k=0}^{n}$ betekent: tel alles op, waarbij $k$ van 0 tot $n$ loopt Heb je het symbool nog niet geleerd, dan is het genoeg als je het kunt lezen als hetzelfde als ${}_n\mathrm{C}_0 a^{n} + {}_n\mathrm{C}_1 a^{n-1}b + \cdots + {}_n\mathrm{C}_n b^{n}$
Rekenen met breuken (groep 7 tot en met klas 1, 10-13 jaar)	Je kunt breuken vermenigvuldigen, zoals $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$, en ze vereenvoudigen Je vindt het gewoon om antwoorden als breuk te laten staan (en je kunt $\dfrac{3}{2}$ omzetten in 1,5)

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel om elke coëfficiënt van de uitwerking met het binomium van Newton te vinden

Coëfficiënt van x, A	2
Constante term B	3
Exponent n	5
Coëfficiënt bij k=0 (x tot de macht n−0)	=ALS.FOUT(COMBINATIES($B$3;0)$B$1^($B$3-0)$B$2^0;0)
Coëfficiënt bij k=1 (x tot de macht n−1)	=ALS.FOUT(COMBINATIES($B$3;1)$B$1^($B$3-1)$B$2^1;0)
Coëfficiënt bij k=2 (x tot de macht n−2)	=ALS.FOUT(COMBINATIES($B$3;2)$B$1^($B$3-2)$B$2^2;0)
Coëfficiënt bij k=3 (x tot de macht n−3)	=ALS.FOUT(COMBINATIES($B$3;3)$B$1^($B$3-3)$B$2^3;0)
Coëfficiënt bij k=4 (x tot de macht n−4)	=ALS.FOUT(COMBINATIES($B$3;4)$B$1^($B$3-4)$B$2^4;0)
Coëfficiënt bij k=5 (x tot de macht n−5)	=ALS.FOUT(COMBINATIES($B$3;5)$B$1^($B$3-5)$B$2^5;0)
Coëfficiënt bij k=6 (x tot de macht n−6)	=ALS.FOUT(COMBINATIES($B$3;6)$B$1^($B$3-6)$B$2^6;0)

Tabel om de coëfficiënt van de algemene term (term k+1) te vinden

Coëfficiënt van x, A	2
Constante term B	3
Exponent n	5
Term nummer (vanaf het begin)	3
k (nummer van de term min 1)	=B4-1
Macht van x (n−k)	=B3-B5
Binomiaalcoëfficiënt nCk	=COMBINATIES(B3;B5)
Coëfficiënt van de term	=B7B1^B6B2^B5

Tabel om een binomiaalcoëfficiënt (aantal combinaties) te vinden

n	5
k	2
Binomiaalcoëfficiënt nCk	=COMBINATIES(B1;B2)
Controle met faculteiten	=FACULTEIT(B1)/(FACULTEIT(B2)*FACULTEIT(B1-B2))

Tabel om de driehoek van Pascal te maken

Rij n = 0	1
Rij n = 1	1	1
Rij n = 2	1	=B2+C2	1
Rij n = 3	1	=B3+C3	=C3+D3	1
Rij n = 4	1	=B4+C4	=C4+D4	=D4+E4	1
Rij n = 5	1	=B5+C5	=C5+D5	=D5+E5	=E5+F5	1

Na het plakken zijn de bovenste rijen (A, B, n enzovoort) je invoer en worden de onderste rijen automatisch berekend.
COMBINATIES(n; k) is de binomiaalcoëfficiënt nCk, FACULTEIT(n) is n faculteit en “^” is het tekentje voor een macht.
De eerste tabel werkt (2x+3)⁵ uit. Vanaf k=0 zie je 32; 240; 720; 1.080; 810; 243 (de rij voor k is de coëfficiënt van x tot de macht n−k). Verander A, B en n en je krijgt de coëfficiënten van je eigen uitdrukking. Is n kleiner dan 6, dan tonen de rijen voor termen die niet bestaan een 0 (ALS.FOUT maakt er een 0 van). Is n 7 of groter, kopieer dan de laatste rij naar beneden en verander de 6 in de formule in 7, 8 enzovoort.
De tweede tabel zoekt alleen de 3e term: k is 2, de macht van x is 3, de binomiaalcoëfficiënt is 10 en de coëfficiënt van de term is 720.
De derde tabel geeft het aantal manieren om 2 uit 5 te kiezen, en beide formules geven 10.
In de vierde tabel typ je alleen de enen aan beide kanten in. Elk getal daartussen is een formule die de twee cellen erboven optelt. Rij n = 5 toont 1; 5; 10; 10; 5; 1.

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel om elke coëfficiënt van de uitwerking met het binomium van Newton te vinden

Coëfficiënt van x, A	2
Constante term B	3
Exponent n	5
Coëfficiënt bij k=0 (x tot de macht n−0)	=ALS.FOUT(COMBINATIES($B$3;0)$B$1^($B$3-0)$B$2^0;0)
Coëfficiënt bij k=1 (x tot de macht n−1)	=ALS.FOUT(COMBINATIES($B$3;1)$B$1^($B$3-1)$B$2^1;0)
Coëfficiënt bij k=2 (x tot de macht n−2)	=ALS.FOUT(COMBINATIES($B$3;2)$B$1^($B$3-2)$B$2^2;0)
Coëfficiënt bij k=3 (x tot de macht n−3)	=ALS.FOUT(COMBINATIES($B$3;3)$B$1^($B$3-3)$B$2^3;0)
Coëfficiënt bij k=4 (x tot de macht n−4)	=ALS.FOUT(COMBINATIES($B$3;4)$B$1^($B$3-4)$B$2^4;0)
Coëfficiënt bij k=5 (x tot de macht n−5)	=ALS.FOUT(COMBINATIES($B$3;5)$B$1^($B$3-5)$B$2^5;0)
Coëfficiënt bij k=6 (x tot de macht n−6)	=ALS.FOUT(COMBINATIES($B$3;6)$B$1^($B$3-6)$B$2^6;0)

Tabel om de coëfficiënt van de algemene term (term k+1) te vinden

Coëfficiënt van x, A	2
Constante term B	3
Exponent n	5
Term nummer (vanaf het begin)	3
k (nummer van de term min 1)	=B4-1
Macht van x (n−k)	=B3-B5
Binomiaalcoëfficiënt nCk	=COMBINATIES(B3;B5)
Coëfficiënt van de term	=B7B1^B6B2^B5

Tabel om een binomiaalcoëfficiënt (aantal combinaties) te vinden

n	5
k	2
Binomiaalcoëfficiënt nCk	=COMBINATIES(B1;B2)
Controle met faculteiten	=FACULTEIT(B1)/(FACULTEIT(B2)*FACULTEIT(B1-B2))

Tabel om de driehoek van Pascal te maken

Rij n = 0	1
Rij n = 1	1	1
Rij n = 2	1	=B2+C2	1
Rij n = 3	1	=B3+C3	=C3+D3	1
Rij n = 4	1	=B4+C4	=C4+D4	=D4+E4	1
Rij n = 5	1	=B5+C5	=C5+D5	=D5+E5	=E5+F5	1

Dezelfde formules als in Excel werken gewoon (ook Google Spreadsheets heeft COMBINATIES en FACULTEIT onder dezelfde namen). Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang A, B en n door je eigen getallen.

Berekenen met Python

from fractions import Fraction
from math import comb

# Werk (Ax + B) tot de macht n uit (een breuk zoals 3/4 schrijf je als Fraction(3, 4))
coef_x = Fraction(2)   # coëfficiënt van x, A
const = Fraction(3)    # constante term B
power = 5              # exponent n

# k loopt van 0 tot n. De macht van x is n - k en de coëfficiënt is nCk × A^(n-k) × B^k
for k in range(power + 1):
    exponent = power - k
    coefficient = comb(power, k) * coef_x ** exponent * const ** k
    print(f"Coëfficiënt van x^{exponent}: {coefficient}")

# Bereken alleen de coëfficiënt van x^3 (k = n - 3)
target = 3
k = power - target
coefficient = comb(power, k) * coef_x ** target * const ** k
print(f"Binomiaalcoëfficiënt: {comb(power, k)}")
print(f"Coëfficiënt van x^{target}: {coefficient}")

In de standaardbibliotheek geeft math.comb de binomiaalcoëfficiënt nCk en houdt fractions.Fraction breuken exact (math.comb heeft Python 3.8 of nieuwer nodig). Dit voorbeeld werkt (2x+3)⁵ uit. Als je het uitvoert, verschijnen de coëfficiënten in de volgorde 32; 240; 720; 1.080; 810; 243 en ten slotte de coëfficiënt van x³, 720. Verander A, B en n en voer het uit.

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

Het binomium van Newton

(a+b)ⁿ = ₙC₀aⁿ + ₙC₁aⁿ⁻¹b + ⋯ + ₙCₙbⁿ

(a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} {}_{n}\mathrm{C}_{k}\, a^{n-k} b^{k}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mi>n</mi>
    </msup>
    <mo>=</mo>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
      <mi>n</mi>
    </munderover>
    <mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts>
    <msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>k</mi></mrow></msup>
    <msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup>
  </mrow>
</math>

(a+b)^n = sum_(k=0)^n C(n,k) a^(n-k) b^k

Sum[Binomial[n, k] a^(n - k) b^k, {k, 0, n}]

sum(binomial(n, k)*a^(n-k)*b^k, k = 0 .. n);

symsum(nchoosek(n, k)*a^(n-k)*b^k, k, 0, n)

(a+b)^n = ∑_(k=0)^n C(n,k) a^(n-k) b^k

De algemene term (term $k+1$)

Tₖ₊₁ = ₙCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏ

T_{k+1} = {}_{n}\mathrm{C}_{k}\, a^{n-k} b^{k}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>T</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
    <mo>=</mo>
    <mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts>
    <msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>k</mi></mrow></msup>
    <msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup>
  </mrow>
</math>

T_(k+1) = C(n,k) a^(n-k) b^k

Binomial[n, k] a^(n - k) b^k

T := binomial(n, k)*a^(n-k)*b^k;

T = nchoosek(n, k)*a^(n-k)*b^k;

T_(k+1) = C(n,k) a^(n-k) b^k

Een binomiaalcoëfficiënt (het aantal combinaties) berekenen

ₙCₖ = n! ÷ (k!(n−k)!)

{}_{n}\mathrm{C}_{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
      <mrow><mi>k</mi><mo>!</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

C(n,k) = (n!)/(k!(n-k)!)

Binomial[n, k]

binomial(n, k);

nchoosek(n, k)

C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)

De driehoek van Pascal (de som van twee buren)

ₙ₋₁Cₖ₋₁ + ₙ₋₁Cₖ = ₙCₖ

{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} + {}_{n-1}\mathrm{C}_{k} = {}_{n}\mathrm{C}_{k}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow><none/><mprescripts/><mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow><none/></mmultiscripts>
    <mo>+</mo>
    <mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow><none/></mmultiscripts>
    <mo>=</mo>
    <mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts>
  </mrow>
</math>

C(n-1,k-1) + C(n-1,k) = C(n,k)

Binomial[n - 1, k - 1] + Binomial[n - 1, k] == Binomial[n, k]

binomial(n-1, k-1) + binomial(n-1, k) = binomial(n, k);

nchoosek(n-1, k-1) + nchoosek(n-1, k)

C(n-1,k-1) + C(n-1,k) = C(n,k)

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een rekenassistent voor algebra. Voer de volgende berekening uit door daadwerkelijk Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geen hoofdrekenen of gokken).

Werk (2x+3)^5 uit met het binomium van Newton.
Laat het volgende zien:
1. De algemene term (term k+1)
2. De binomiaalcoëfficiënten 5Ck voor k = 0 tot en met 5
3. De uitgewerkte uitdrukking (met dalende machten van x, elke coëfficiënt als vereenvoudigde breuk of geheel getal)
4. De coëfficiënt van x^3 en hoe je die hebt gevonden (hoe je k hebt gekozen)

Reken in Python exact met math.comb en fractions.Fraction uit de standaardbibliotheek en laat de gebruikte formules en de getallen uit het resultaat van de uitvoering zien.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule

Kenmerken van DataChef

Eenvoudig en gratis

Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening

Geen registratie nodig

Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven

Veilig en betrouwbaar

Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt

Snel

Snelle laadtijden en snelle conversie

Zonder watermerk

Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist

Commercieel gebruik toegestaan

Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig

\({}_n\mathrm{C}_k\)	n C k, of n boven k	Het aantal manieren om \(k\) dingen uit \(n\) te kiezen (het aantal combinaties). In het binomium van Newton wordt het een coëfficiënt van de uitwerking, daarom heet het ook een binomiaalcoëfficiënt. \(\mathrm{C}\) is de eerste letter van “combinatie”. Je ziet ook \(\binom{n}{k}\) (de gebruikelijke schrijfwijze in schoolboeken), nCr of C(n; k).
\(n!\)	n faculteit	Het product van alle gehele getallen van 1 tot en met \(n\) (\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)). Het lijkt op een uitroepteken, maar het is het wiskundige symbool voor “faculteit”. Per definitie is \(0! = 1\).
\(a,\ b\)	a, b	De twee termen tussen de haakjes in het binomium van Newton. “Binomium” betekent “tweeterm”, en dit zijn die twee. Letters vooraan in het alfabet, \(a,\ b,\ c\), staan volgens afspraak voor vaste waarden.
\(n\)	n	Hoe vaak hetzelfde haakjespaar met zichzelf wordt vermenigvuldigd (de exponent). De letter \(n\), van “nummer” of “aantal”, gebruik je vaak voor een aantal. Op deze pagina is het een geheel getal van 0 tot en met 12.
\(k\)	k	Een teller voor “hoeveel \(b\)’s zijn er gekozen”. Hij loopt van 0 tot \(n\). De term met \(k = 0\) is de 1e term, daarom spreek je van “term \(k+1\)”. De letter \(k\) is een gebruikelijke keuze voor een geheeltallige teller.
\(\displaystyle\sum\)	sigma	Het symbool voor “tel alles op”. Het is de Griekse hoofdletter sigma, die overeenkomt met de S van “som”. \(\sum_{k=0}^{n}\) betekent: tel de uitdrukking erachter op, waarbij \(k\) van 0 tot \(n\) loopt.
\(T_{k+1}\)	T k plus 1	De term op plaats \(k+1\) vanaf het begin, als je de uitwerking met dalende machten opschrijft. \(T\) is de eerste letter van “term”. Dit heet de algemene term.
\(A,\ B\)	hoofdletter A, hoofdletter B	De letters in de invoervelden van deze rekenmachine. In \((Ax+B)^n\) is \(A\) de coëfficiënt van \(x\) en \(B\) de constante term zonder \(x\). In het binomium van Newton is \(a = Ax\) en \(b = B\).
\(x\)	x	Een letter waarvan de waarde niet vastligt (een variabele). Deze rekenmachine werkt uitdrukkingen van de vorm \((Ax+B)^n\) uit, dus het antwoord is een polynoom in \(x\).

Haakjes uitwerken (klas 2-3, 13-15 jaar)	Je kunt \((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\) uitwerken met de distributieve eigenschap (vermenigvuldig elke term uit het ene haakjespaar met elke term uit het andere) Je weet dat gelijksoortige termen (zoals \(3x^2\) en \(5x^2\)) samen te voegen zijn door hun coëfficiënten op te tellen Je kent het merkwaardig product \((a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}\). Het binomium van Newton breidt dit uit naar de \(n\)e macht
Machten en rekenregels voor exponenten (klas 1-3, 12-15 jaar)	Je weet dat het kleine getal rechtsboven (de exponent) aangeeft hoe vaak je vermenigvuldigt, zoals in \(x^{3} = x \times x \times x\) Je weet dat een macht van een heel haakjespaar betekent dat elk deel erin tot die macht wordt genomen, zoals in \((2x)^{3} = 2^{3}x^{3} = 8x^{3}\) Je weet dat \(a^{0} = 1\) (elk getal anders dan 0 tot de macht 0 is 1)
Rekenen met negatieve getallen (klas 1, 12-13 jaar)	Je weet dat een negatief getal een even aantal keer vermenigvuldigen een positieve uitkomst geeft en een oneven aantal keer een negatieve, zoals in \((-2)^{2} = 4\) en \((-2)^{3} = -8\) Je kunt een aftrekking zoals \((2x-1)^{4}\) behandelen als \(b = -1\)
Combinaties en faculteiten (havo/vwo wiskunde A of B, bovenbouw)	Je weet dat \({}_n\mathrm{C}_k\) het aantal manieren is om \(k\) uit \(n\) dingen te kiezen zonder op de volgorde te letten Je kunt \({}_n\mathrm{C}_k = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\) uitrekenen (\(n!\) is het product van alle gehele getallen van 1 tot en met \(n\)) Je kent \({}_n\mathrm{C}_0 = 1\), \({}_n\mathrm{C}_n = 1\) en \({}_n\mathrm{C}_k = {}_n\mathrm{C}_{n-k}\)
Sigmanotatie (vwo wiskunde B, bovenbouw)	Je weet dat \(\sum_{k=0}^{n}\) betekent: tel alles op, waarbij \(k\) van 0 tot \(n\) loopt Heb je het symbool nog niet geleerd, dan is het genoeg als je het kunt lezen als hetzelfde als \({}_n\mathrm{C}_0 a^{n} + {}_n\mathrm{C}_1 a^{n-1}b + \cdots + {}_n\mathrm{C}_n b^{n}\)
Rekenen met breuken (groep 7 tot en met klas 1, 10-13 jaar)	Je kunt breuken vermenigvuldigen, zoals \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\), en ze vereenvoudigen Je vindt het gewoon om antwoorden als breuk te laten staan (en je kunt \(\dfrac{3}{2}\) omzetten in 1,5)

Binomium van Newton (uitwerken, coëfficiënt van een term, driehoek van Pascal)

Inhoudsopgave

Wat je op deze pagina kunt doen

Waarvoor is deze berekening handig?

Formules en figuren

Symbolen en begrippen

Symbolen

Begrippen

Handig om vooraf te weten

Berekenen met Excel

Berekenen met Google Spreadsheets

Berekenen met Python

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Zo werkt het

Kenmerken van DataChef

Gerelateerde functies

Permutaties en combinaties berekenen (nPr, nCr)

Bereken op hoeveel manieren je dingen kunt rangschikken (permutaties) en kiezen (combinaties)

Machten berekenen (a tot de macht n, exponent en grondtal)

Bereken een macht uit het grondtal en de exponent. Handig om te zien hoe groot getallen zoals 2 tot de macht 10 worden

Aanbevolen

Kansrekening en willekeurige getallen

Gemiddelden en statistiek

Procenten en verhoudingen

Snelheid

Dichtheid en concentratie

Natuurkunde en elektriciteit

Eenheden omrekenen

Gehele getallen

Breuken, decimalen en afronden

Vergelijkingen en ongelijkheden

Veeltermen

Wortels

Machten en logaritmen

Complexe getallen

Functies en grafieken

Rijen

Vectoren

Matrices

Vlakke meetkunde

Ruimtemeetkunde

Datum en tijd

Financiën en economie

Online marketing en advertentiecijfers

Gezondheid en fitness

Sport

Weer

Informatica

Energie in huis en budget

Auto

Zonne-energie en batterijen

Wonen en klussen

Advertenties verwijderen