Richtingscoëfficiënt berekenen (helling van een lijn, afstand en hoek)

Je kunt het op twee manieren gebruiken. [Uit twee punten] Vul de coördinaten van punt 1 en punt 2 in om de richtingscoëfficiënt, de afstand, de hoek en de vergelijking van de lijn te krijgen. [Uit één punt en een afstand] Laat punt 2 leeg en vul de afstand d en de richtingscoëfficiënt m (of de hoek θ) in om de coördinaten te krijgen van het punt dat je vanuit punt 1 bereikt.

x-coördinaat van punt 1, X1

y-coördinaat van punt 1, Y1

x-coördinaat van punt 2, X2

y-coördinaat van punt 2, Y2

Afstand d (bij uitgaan van één punt)

Richtingscoëfficiënt m

Hoek θ (graden)

Coördinaten, afstand en richtingscoëfficiënt mogen decimale getallen of negatieve getallen zijn. Is punt 2 (X2 en Y2) ingevuld, dan worden de velden afstand d, richtingscoëfficiënt m en hoek θ niet gebruikt. Vul je zowel de richtingscoëfficiënt m als de hoek θ in, dan wordt de richtingscoëfficiënt m gebruikt.

Resultaat en grafiek

Vul links de coördinaten van twee punten in en klik op “Berekenen”. Het resultaat verschijnt hier.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formules en grafieken
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Vul de coördinaten van twee punten in en je krijgt meteen de richtingscoëfficiënt \(m\) van de lijn (de veranderingssnelheid van een lineaire functie)
Naast de richtingscoëfficiënt vindt het ook de afstand tussen de twee punten, de hellingshoek \(\theta\), de vergelijking van de lijn \(y = mx + b\), het snijpunt met de y-as en het snijpunt met de x-as
Het werkt ook andersom: uit één punt, een af te leggen afstand en een richtingscoëfficiënt (of een hoek) vindt het de coördinaten van het punt dat je bereikt
Een heldere uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python vind je ook op deze pagina

De richtingscoëfficiënt kun je alleen berekenen als de twee punten een verschillende x-coördinaat hebben. Een lijn door twee punten met dezelfde x-coördinaat (een verticale lijn) heeft een niet-gedefinieerde richtingscoëfficiënt, dus je ziet “Niet gedefinieerd”. De hoek θ wordt tegen de klok in gemeten vanaf de positieve x-as en getoond van 0° tot (maar niet tot en met) 360°.

Waarvoor is deze berekening handig?

Controleren of een hellingbaan niet te steil is (bouwen en toegankelijkheid)

Een hellingbaan naar een voordeur die 30 cm hoger ligt dan de straat en horizontaal 3,6 m lang is (360 cm), heeft een richtingscoëfficiënt van \(30 \div 360 = \dfrac{1}{12} \approx 0{,}083\), dat is ongeveer 8,3% en als hoek ongeveer 4,8°. Voor rolstoelgebruikers is zo’n flauwe helling prettiger dan een steile. Welke hellingen precies zijn toegestaan, staat in de bouwregelgeving (het Bbl) en in normen als NEN 1814 en hangt af van de situatie, dus controleer dat altijd bij je gemeente of bouwkundige.
Bij het verbouwen van een huis of het ontwerpen van een gebouw kun je met getallen nagaan of een hellingbaan veilig te gebruiken is.

De betekenis van een verkeersbord met “10%” lezen (rijden en fietsen)

Een “10%” op een bord voor een steile helling zegt: “de weg stijgt 10 m per 100 m horizontaal”, een richtingscoëfficiënt van 0,1. Als hoek is dat \(\arctan 0{,}1 \approx 5{,}7°\). Verrassend weinig mensen weten dat 10% niet 10° is.
Als je dit kunt lezen, kun je vooraf inschatten hoe steil een heuvel is, bijvoorbeeld bij het kiezen van een versnelling in een auto of bij het plannen van een fiets- of hardlooproute.

De hoek van een dak bepalen uit de afmetingen (bouwen en klussen)

Een zadeldak is 8 m breed en de nok ligt 2,4 m boven de goot. Vanaf de goot tot onder de nok is de horizontale afstand 4 m, dus de richtingscoëfficiënt is \(2{,}4 \div 4 = 0{,}6\). Als hoek is dat \(\arctan 0{,}6 \approx 31{,}0°\).
Elk dakbedekkingsmateriaal kan maar binnen een bepaald bereik van dakhellingen worden gebruikt, dus dakdekkers en ontwerpers gebruiken deze omrekening elke dag. Het helpt ook als je zelf een schuurdak maakt.

Inschatten hoe steil een wandelpad is en hoeveel je echt loopt (wandelen en kaarten)

Stijgt een pad over een horizontale afstand van 1.000 m op de kaart 300 m, dan is de gemiddelde richtingscoëfficiënt \(300 \div 1000 = 0{,}3\) (een hoek van ongeveer 16,7°) en de afstand die je echt over de helling loopt is volgens de stelling van Pythagoras \(\sqrt{1000^2 + 300^2} \approx 1044\) m.
Als je met getallen weet dat “de echte afstand langer is dan op de kaart en de helling bepaalt hoe vermoeiend het is”, worden je wandelplannen veiliger.

Aflezen hoe snel gegevens veranderen uit de richtingscoëfficiënt (werk en grafieken lezen)

Groeide de maandomzet van € 40.000 in april naar € 58.000 in juli, dan is de richtingscoëfficiënt \((58.000 - 40.000) \div (7 - 4) = 6.000\) euro per maand, wat je leest als “gemiddeld € 6.000 per maand erbij”.
De richtingscoëfficiënt van een lijngrafiek is het tempo van de verandering zelf. Uitrekenen hoe snel iets verandert uit de waarden op twee momenten, of het nu omzet, lichaamsgewicht of temperatuur is, is dezelfde berekening als de formule voor de richtingscoëfficiënt op deze pagina.

Formules en grafieken

De richtingscoëfficiënt van een lijn \(m\) (veranderingssnelheid)

Grafiek

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(m\) \(=\) \(y_2 - y_1\) \(\div\) \(x_2 - x_1\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ richtingscoëfficiënt van de lijn \(m\) \(=\) ① verandering van y (stijging) \(\Delta y = y_2 - y_1\) \(\div\) ② verandering van x (horizontale afstand) \(\Delta x = x_2 - x_1\)

De formule in woorden

① Neem de verandering van y, \(\Delta y\) (hoeveel de lijn stijgt of daalt)

② deel die door de verandering van x, \(\Delta x\) (hoeveel de lijn naar rechts gaat)

③ en je krijgt de richtingscoëfficiënt van de lijn \(m\)

Een eenvoudig voorbeeld

De richtingscoëfficiënt van de lijn door de punten (3; 4) en (6; 8) is

richtingscoëfficiënt \(m\) \(=\) verandering van y (8 − 4 = 4) \(\div\) verandering van x (6 − 3 = 3)

\(m = \frac{8 - 4}{6 - 3} = \frac{4}{3} \approx 1{,}333\)

Het belangrijkste idee

De richtingscoëfficiënt (rc) vertelt je “hoeveel de lijn stijgt of daalt bij elke 1 naar rechts”. Je zegt ook wel “stijging gedeeld door horizontale afstand”, en het is hetzelfde als de veranderingssnelheid van een lineaire functie (lineair verband) uit de onderbouw. Een positieve richtingscoëfficiënt stijgt van links naar rechts, een negatieve daalt van links naar rechts en een rc van 0 is een horizontale lijn. In Nederlandse schoolboeken schrijf je een lijn meestal als \(y = ax + b\) met rc \(= a\); op deze pagina heet de richtingscoëfficiënt \(m\). Trek in dezelfde volgorde af bij teller en noemer (trek je punt 1 van punt 2 af, doe dat dan bij beide). Als je de volgorde mengt, komt het teken omgekeerd uit. Is de verandering van x gelijk aan 0 (een verticale lijn), dan zou je door 0 delen, dus de richtingscoëfficiënt is niet gedefinieerd.

Afstand tussen twee punten \(d\)

Grafiek

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(d\) \(=\) \(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

② afstand tussen de punten \(d\) \(=\) ① wortel uit de som van de gekwadrateerde veranderingen \(\Delta x^2 + \Delta y^2\)

De formule in woorden

① Neem de wortel uit de som van de gekwadrateerde veranderingen, \(\Delta x^2 + \Delta y^2\) (kwadrateer de verandering naar rechts en de verandering omhoog, tel ze op en neem de wortel)

② en je krijgt de afstand tussen de punten \(d\)

Een eenvoudig voorbeeld

De afstand tussen de punten (1; 1) en (4; 5) (Δx = 3, Δy = 4) is

afstand \(d\) \(=\) wortel uit de som van de kwadraten (3² + 4² = 25)

\(d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

Het belangrijkste idee

Dit is gewoon de stelling van Pythagoras. Stel je een rechthoekige driehoek voor met als rechthoekszijden de verandering naar rechts, \(\Delta x\), en de verandering omhoog, \(\Delta y\). Het lijnstuk tussen de twee punten is de schuine zijde. Ook als een verandering negatief is, maakt kwadrateren die positief, dus de formule werkt waar de punten ook liggen.

Hellingshoek \(\theta\) (de hoek van de lijn)

Graph

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(\theta\) \(=\) \(\arctan m\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

② hellingshoek \(\theta\) \(=\) ① arctangens van de richtingscoëfficiënt \(m\) (de hoek teruggevonden uit tan)

De formule in woorden

① Neem de arctangens van de richtingscoëfficiënt \(m\) (zoek de hoek waarvan de tan gelijk is aan m)

② en je krijgt de hellingshoek \(\theta\)

Een eenvoudig voorbeeld

De hoek tussen de x-as en een lijn met richtingscoëfficiënt 1 (de lijn stijgt 1 bij elke 1 naar rechts) is

hellingshoek \(\theta\) \(=\) arctangens van de richtingscoëfficiënt (1)

\(\theta = \arctan 1 = 45^{\circ}\)

Het belangrijkste idee

De richtingscoëfficiënt en de hoek hangen samen via \(m = \tan\theta\). De arctangens (\(\arctan\), op een wetenschappelijke rekenmachine \(\tan^{-1}\) of “atan”) doet het omgekeerde en zoekt de hoek bij de richtingscoëfficiënt. \(\arctan\) geeft hoeken van −90° tot 90°, dus bij een negatieve richtingscoëfficiënt (de lijn daalt van links naar rechts) is het resultaat een negatieve hoek. Deze rekenmachine telt 360° bij negatieve hoeken op, zodat ze van 0° tot 360° worden getoond (voorbeeld: −63,4° → 296,6°). De hoek van een verticale lijn is 90°. Als je vanuit twee punten werkt, wordt de hoek gemeten in de richting “van punt 1 naar punt 2”. Vul je dezelfde twee punten in omgekeerde volgorde in, dan wijst de hoek de andere kant op (het verschil is 180°).

Vergelijking van een lijn \(y = mx + b\) (met de richtingscoëfficiënt en het snijpunt met de y-as)

Grafiek

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(y\) \(=\) \(m\) \(\times\) \(x\) \(+\) \(b\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

④ y-coördinaat van een punt op de lijn \(y\) \(=\) ② richtingscoëfficiënt \(m\) \(\times\) ① x-coördinaat \(x\) \(+\) ③ snijpunt met de y-as \(b\)

De formule in woorden

① Neem de x-coördinaat \(x\)

② vermenigvuldig die met de richtingscoëfficiënt \(m\)

③ tel er het snijpunt met de y-as \(b\) bij op

④ en je krijgt de y-coördinaat van het punt op de lijn \(y\)

Een eenvoudig voorbeeld

De vergelijking van de lijn met richtingscoëfficiënt −2 door het punt (1; 5) (het snijpunt met de y-as is b = 5 − (−2) × 1 = 7) is

y-coördinaat \(y\) \(=\) richtingscoëfficiënt (−2) \(\times\) x-coördinaat \(x\) \(+\) snijpunt met de y-as (7)

\(b = y_1 - m x_1 = 5 - (-2) \times 1 = 7\)

\(y = -2x + 7\)

Het belangrijkste idee

Als je de richtingscoëfficiënt \(m\) en één punt \((x_1;\ y_1)\) op de lijn kent, is er precies één lijn. Het snijpunt met de y-as \(b\) vind je door “de vergelijking in dat punt”, \(y_1 = m x_1 + b\), op te lossen naar \(b\): \(b = y_1 - m x_1\). Het snijpunt met de y-as is de hoogte waarop de grafiek de y-as snijdt (\(y\) als \(x = 0\)), en het snijpunt met de x-as is waar de grafiek de x-as snijdt (\(x\) als \(y = 0\)). Het snijpunt met de x-as is \(-b \div m\) (een horizontale lijn, \(m = 0\), heeft geen snijpunt met de x-as, tenzij het de x-as zelf is).

Het punt op afstand \(d\) van één punt (bij gegeven richtingscoëfficiënt \(m\))

Grafiek

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(\Delta x\) \(=\) \(d\) \(\div\) \(\sqrt{1 + m^2}\)

\(\Delta y\) \(=\) \(m\) \(\times\) \(\Delta x\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ verandering van x \(\Delta x\) \(=\) ① af te leggen afstand \(d\) \(\div\) ② wortel uit \(1 + m^2\)

⑥ verandering van y \(\Delta y\) \(=\) ④ richtingscoëfficiënt \(m\) \(\times\) ⑤ verandering van x \(\Delta x\)

De formule in woorden

① Neem de af te leggen afstand \(d\)

② deel die door de wortel uit \(1 + m^2\)

③ en je krijgt de verandering van x \(\Delta x\)

④ Vermenigvuldig daarna de richtingscoëfficiënt \(m\)

⑤ met de verandering van x \(\Delta x\)

⑥ en je krijgt de verandering van y \(\Delta y\) (het punt dat je bereikt is dus \((x_1 + \Delta x;\ y_1 + \Delta y)\))

Een eenvoudig voorbeeld

Begin je in het punt (1; 1) en ga je 5 naar rechts langs een lijn met richtingscoëfficiënt 0,75, dan kom je uit in

verandering van x \(\Delta x\) \(=\) af te leggen afstand (5) \(\div\) \(\sqrt{1 + 0{,}75^2}\) (= 1,25)

\(\Delta x = 5 \div \sqrt{1 + 0{,}75^2} = 5 \div 1{,}25 = 4\)

\(\Delta y = 0{,}75 \times 4 = 3\)

\((x_2;\ y_2) = (1 + 4;\ 1 + 3) = (5;\ 4)\)

Het belangrijkste idee

Waarom delen door \(\sqrt{1 + m^2}\)? Langs een lijn met richtingscoëfficiënt \(m\) kom je bij elke 1 naar rechts \(m\) omhoog, dus volgens de stelling van Pythagoras is de lengte die je echt aflegt \(\sqrt{1 + m^2}\). Anders gezegd: “bij elke 1 naar rechts leg je \(\sqrt{1 + m^2}\) af langs de lijn”, dus de afstand \(d\) delen door \(\sqrt{1 + m^2}\) geeft de verandering naar rechts. Je kunt in twee richtingen gaan, “naar rechts” (\(\Delta x\) positief) en “naar links” (negatief), dus deze rekenmachine toont beide oplossingen. Geef je een hoek \(\theta\) in plaats van een richtingscoëfficiënt, dan ligt met de hoek ook de richting vast, dus er is maar één oplossing: \(\Delta x = d\cos\theta\), \(\Delta y = d\sin\theta\).

De richtingscoëfficiënt van een lijn is “verandering van y ÷ verandering van x” (stijging gedeeld door horizontale afstand), de afstand tussen twee punten volgt uit de stelling van Pythagoras en de hoek uit de arctangens. Met deze drie hulpmiddelen reken je alles over een lijn uit met de coördinaten van twee punten. Je kunt ook de andere kant op en het punt vinden dat je bereikt vanuit één punt, een afstand en een richtingscoëfficiënt.

Symbolen en begrippen

Symbolen

\(m\)	m	De richtingscoëfficiënt van de lijn: hoeveel die stijgt of daalt bij elke 1 naar rechts. Een positieve richtingscoëfficiënt stijgt van links naar rechts; een negatieve daalt. In Nederlandse schoolboeken heet de richtingscoëfficiënt meestal \(a\) (in \(y = ax + b\)); op deze pagina gebruiken we \(m\).
\((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\)	x één, y één	De coördinaten van de twee punten. \(x\) is de horizontale positie en \(y\) de verticale positie; het kleine getal rechtsonder (de index) maakt onderscheid tussen “het eerste punt” en “het tweede punt”.
\(\Delta x\), \(\Delta y\)	delta x, delta y	De verandering (hoeveel een waarde is veranderd). \(\Delta\) (delta) is de Griekse letter voor “verandering”: \(\Delta x = x_2 - x_1\) (de horizontale afstand) en \(\Delta y = y_2 - y_1\) (de stijging).
\(d\)	d	De afstand tussen de twee punten. De letter d komt van “distance”.
\(\theta\)	theta	Een Griekse letter die vaak voor hoeken wordt gebruikt. Op deze pagina is het de hoek tussen de lijn en de x-as (de hellingshoek).
\(b\)	b	Het snijpunt met de y-as: de hoogte waarop de lijn de y-as snijdt (de waarde van \(y\) als \(x = 0\)).
\(\tan\)	tangens	Een goniometrische verhouding: “overstaande ÷ aanliggende”, oftewel “omhoog ÷ naar rechts”, bij een hoek. De richtingscoëfficiënt van een lijn hangt met de hoek samen via \(m = \tan\theta\).
\(\arctan\)	arctangens	De inverse van de tangens: die zoekt “de hoek waarvan de tan dat getal is”. Op een wetenschappelijke rekenmachine staat die als tan⁻¹.

Begrippen

richtingscoëfficiënt (helling)	Een getal dat aangeeft hoe steil een lijn is: hoeveel \(y\) toeneemt als \(x\) met 1 toeneemt (“stijging gedeeld door horizontale afstand”). Hoe groter het getal, hoe steiler de lijn. Het hellingspercentage van een weg en de helling van een dak gebruiken hetzelfde idee. Vaak afgekort tot rc.
veranderingssnelheid	(verandering van y) ÷ (verandering van x). Je leert het bij lineaire functies in de onderbouw, en bij een lineaire functie is het precies hetzelfde als de richtingscoëfficiënt van de lijn.
lineaire functie (lineair verband)	Een functie van de vorm \(y = mx + b\). De grafiek is een rechte lijn, met richtingscoëfficiënt \(m\) en snijpunt met de y-as \(b\) (in Nederlandse schoolboeken schrijf je meestal \(y = ax + b\)).
snijpunt met de as	De plek waar een grafiek een as snijdt. De hoogte waarop die de y-as snijdt, is het snijpunt met de y-as (\(y\) als \(x = 0\)), en waar die de x-as snijdt, is het snijpunt met de x-as (\(x\) als \(y = 0\)).
hellingshoek	De hoek die een lijn maakt met de x-as (de horizontaal). Die hangt met de richtingscoëfficiënt samen via \(m = \tan\theta\).
hellingspercentage (dakhelling)	Alledaagse namen voor de steilheid van een weg, hellingbaan of dak. Een verkeersbord met “10%” zegt “de weg stijgt 10 m per 100 m horizontaal”, dat is een richtingscoëfficiënt van 0,1. Een dakhelling geef je meestal in graden aan, zoals 45°.
coördinaten	Een paar getallen (horizontale positie; verticale positie) dat de plaats van een punt geeft. Het punt (3; 4) is “3 naar rechts en 4 omhoog vanaf de oorsprong”. Dit leer je op de basisschool (groep 7-8, 10-12 jaar).
verticale lijn	Een lijn loodrecht op de x-as (recht omhoog). De verandering van x is 0, dus de formule voor de richtingscoëfficiënt zou door 0 delen en de richtingscoëfficiënt is niet gedefinieerd. De vergelijking is niet van de vorm \(y = mx + b\) maar \(x = \text{constante}\).

Handig om vooraf te weten

Dit helpt je om de berekening op deze pagina echt te begrijpen, en niet alleen op de knop te drukken.
Als je vastloopt, is het herhalen van deze onderwerpen de snelste weg vooruit.

Het assenstelsel (groep 7-8, 10-12 jaar)	Coördinaten zoals het punt (3; 4) kunnen lezen als “een paar van een horizontale en een verticale positie” Weten dat negatieve x- en y-coördinaten posities links en onder aanduiden
Rekenen met positieve en negatieve getallen (klas 1, 12-13 jaar)	Kunnen aftrekken met negatieve getallen, zoals \(-1 - 5 = -6\) en \(5 - (-2) = 7\)
Lineaire functies en veranderingssnelheid (klas 2, 13-14 jaar)	Weten dat de grafiek van \(y = mx + b\) een rechte lijn is, met richtingscoëfficiënt \(m\) en snijpunt met de y-as \(b\) (in Nederlandse boeken meestal \(y = ax + b\)) Weten dat de veranderingssnelheid “verandering van y ÷ verandering van x” is
De stelling van Pythagoras (klas 2, 13-14 jaar)	Weten dat de schuine zijde van een rechthoekige driehoek \(\sqrt{a^2 + b^2}\) is (dit is de basis van de afstandsformule)
De tangens (klas 3, 14-15 jaar)	Weten dat \(\tan\theta\) de verhouding “omhoog ÷ naar rechts” is bij een hoek (alleen nodig voor de hoek; niet nodig voor de richtingscoëfficiënt of de afstand)

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel voor het berekenen van de richtingscoëfficiënt m

x-coördinaat punt 1, x₁	3
y-coördinaat punt 1, y₁	4
x-coördinaat punt 2, x₂	6
y-coördinaat punt 2, y₂	8
Richtingscoëfficiënt m	=(B4-B2)/(B3-B1)

Tabel voor het berekenen van de afstand d tussen twee punten

x-coördinaat punt 1, x₁	3
y-coördinaat punt 1, y₁	4
x-coördinaat punt 2, x₂	6
y-coördinaat punt 2, y₂	8
Afstand tussen de punten d	=WORTEL((B3-B1)^2+(B4-B2)^2)

Tabel voor het berekenen van de hellingshoek θ

x-coördinaat punt 1, x₁	3
y-coördinaat punt 1, y₁	4
x-coördinaat punt 2, x₂	6
y-coördinaat punt 2, y₂	8
Hellingshoek θ (graden)	=GRADEN(BOOGTAN2(B3-B1;B4-B2))

Tabel voor het berekenen van het snijpunt met de y-as en het snijpunt met de x-as

x-coördinaat van een punt op de lijn, x₁	1
y-coördinaat van een punt op de lijn, y₁	5
Richtingscoëfficiënt m	-2
Snijpunt met de y-as, b	=B2-B3*B1
Snijpunt met de x-as	=-B4/B3

Tabel voor het berekenen van het punt op afstand d van één punt

x-coördinaat punt 1, x₁	1
y-coördinaat punt 1, y₁	1
Af te leggen afstand d	5
Richtingscoëfficiënt m	0,75
Verandering van x, Δx	=B3/WORTEL(1+B4^2)
Verandering van y, Δy	=B4*B5
Bereikte x-coördinaat, x₂	=B1+B5
Bereikte y-coördinaat, y₂	=B2+B6

Na het plakken zijn de bovenste rijen je invoer en worden de formules in de onderste rijen automatisch berekend.
“WORTEL(…)” is de wortel, “^2” kwadrateert een getal, “GRADEN(…)” zet radialen om naar graden en “BOOGTAN2(verandering naar rechts; verandering omhoog)” zoekt de hoek uit de veranderingen in de twee richtingen.
De eerste tabel geeft een richtingscoëfficiënt van ongeveer 1,333, de tweede een afstand van 5 en de derde een hoek van ongeveer 53,13°. BOOGTAN2 in de derde tabel geeft negatieve hoeken terug (van −180° tot 180°); bij een lijn die van links naar rechts daalt, tel je er 360 bij op als je de hoek van 0 tot 360° wilt.
De vijfde tabel vindt de oplossing die naar rechts gaat (het punt (5; 4) in het voorbeeld). Voor de oplossing die naar links gaat, zet je een minteken voor de formule van Δx (=-B3/WORTEL(1+B4^2)).

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel voor het berekenen van de richtingscoëfficiënt m

x-coördinaat punt 1, x₁	3
y-coördinaat punt 1, y₁	4
x-coördinaat punt 2, x₂	6
y-coördinaat punt 2, y₂	8
Richtingscoëfficiënt m	=(B4-B2)/(B3-B1)

Tabel voor het berekenen van de afstand d tussen twee punten

x-coördinaat punt 1, x₁	3
y-coördinaat punt 1, y₁	4
x-coördinaat punt 2, x₂	6
y-coördinaat punt 2, y₂	8
Afstand tussen de punten d	=WORTEL((B3-B1)^2+(B4-B2)^2)

Tabel voor het berekenen van de hellingshoek θ

x-coördinaat punt 1, x₁	3
y-coördinaat punt 1, y₁	4
x-coördinaat punt 2, x₂	6
y-coördinaat punt 2, y₂	8
Hellingshoek θ (graden)	=GRADEN(BOOGTAN2(B3-B1;B4-B2))

Tabel voor het berekenen van het snijpunt met de y-as en het snijpunt met de x-as

x-coördinaat van een punt op de lijn, x₁	1
y-coördinaat van een punt op de lijn, y₁	5
Richtingscoëfficiënt m	-2
Snijpunt met de y-as, b	=B2-B3*B1
Snijpunt met de x-as	=-B4/B3

Tabel voor het berekenen van het punt op afstand d van één punt

x-coördinaat punt 1, x₁	1
y-coördinaat punt 1, y₁	1
Af te leggen afstand d	5
Richtingscoëfficiënt m	0,75
Verandering van x, Δx	=B3/WORTEL(1+B4^2)
Verandering van y, Δy	=B4*B5
Bereikte x-coördinaat, x₂	=B1+B5
Bereikte y-coördinaat, y₂	=B2+B6

Dezelfde formules als in Excel (WORTEL, GRADEN, BOOGTAN2 en ^2) werken ongewijzigd in Google Spreadsheets. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de invoergetallen door je eigen coördinaten.

Berekenen met Python

import math

x1, y1 = 3.0, 4.0   # coördinaten van punt 1
x2, y2 = 6.0, 8.0   # coördinaten van punt 2

delta_x = x2 - x1                       # verandering van x (horizontale afstand)
delta_y = y2 - y1                       # verandering van y (stijging)
slope = delta_y / delta_x               # richtingscoëfficiënt m (is delta_x 0, dan is de lijn verticaal en lukt dit niet)
distance = math.hypot(delta_x, delta_y) # afstand tussen de punten (gelijk aan √(Δx²+Δy²))
angle = math.degrees(math.atan2(delta_y, delta_x)) % 360   # hoek (0 tot 360°)
y_intercept = y1 - slope * x1           # snijpunt met de y-as b

print(f"Richtingscoëfficiënt m: {slope}")
print(f"Afstand d: {distance}")
print(f"Hoek θ: {angle}")
print(f"Vergelijking van de lijn: y = {slope}x + {y_intercept}")

# Andersom: het punt dat je bereikt als je afstand d aflegt vanaf punt (x1, y1) langs de helling
d = 5.0
dx = d / math.sqrt(1 + slope ** 2)      # oplossing naar rechts (naar links is -dx)
dy = slope * dx
print(f"Bereikt punt: ({x1 + dx}, {y1 + dy})")

Werkt met alleen de standaardbibliotheek. math.hypot is de wortel uit de som van de kwadraten en math.atan2 is de arctangens (een functie die de hoek zoekt uit de veranderingen naar rechts en omhoog). Pas de coördinaten bovenaan aan en voer het uit.

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

De richtingscoëfficiënt van een lijn \(m\) (veranderingssnelheid)

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>m</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
      <mrow><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)

(y2 - y1)/(x2 - x1)

m := (y2 - y1)/(x2 - x1);

m = (y2 - y1)/(x2 - x1);

m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)

Afstand tussen twee punten \(d\)

d = √(Δx² + Δy²)

d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mrow><mi mathvariant="normal">&#x394;</mi><mi>x</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mrow><mi mathvariant="normal">&#x394;</mi><mi>y</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

d = sqrt((Delta x)^2 + (Delta y)^2)

Sqrt[dx^2 + dy^2]

d := sqrt(dx^2 + dy^2);

d = sqrt(dx^2 + dy^2);

d = √(Δx^2 + Δy^2)

Hellingshoek \(\theta\) (de hoek van de lijn)

θ = arctan(m)

\theta = \arctan m

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>arctan</mi>
    <mo>&#x2061;</mo>
    <mi>m</mi>
  </mrow>
</math>

theta = arctan(m)

ArcTan[m]

theta := arctan(m);

theta = atan(m);

θ = arctan(m)

Vergelijking van een lijn \(y = mx + b\) (met de richtingscoëfficiënt en het snijpunt met de y-as)

y = mx + b (b = y₁ − m·x₁)

y = mx + b, \quad b = y_1 - m x_1

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>y</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>m</mi><mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>b</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>b</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>m</mi><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
  </mrow>
</math>

y = m x + b, b = y_1 - m x_1

b = y1 - m*x1; y = m*x + b

b := y1 - m*x1; y := m*x + b;

b = y1 - m*x1; y = m*x + b;

y = mx + b, b = y_1 - mx_1

Het punt op afstand \(d\) van één punt (bij gegeven richtingscoëfficiënt \(m\))

Δx = ±d ÷ √(1 + m²),  Δy = m·Δx

\Delta x = \pm\frac{d}{\sqrt{1 + m^2}}, \quad \Delta y = m\,\Delta x

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mrow><mi mathvariant="normal">&#x394;</mi><mi>x</mi></mrow>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#xB1;</mo>
    <mfrac>
      <mi>d</mi>
      <msqrt><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt>
    </mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mrow><mi mathvariant="normal">&#x394;</mi><mi>y</mi></mrow>
    <mo>=</mo>
    <mi>m</mi>
    <mrow><mi mathvariant="normal">&#x394;</mi><mi>x</mi></mrow>
  </mrow>
</math>

Delta x = +-d/sqrt(1 + m^2), Delta y = m Delta x

dx = d/Sqrt[1 + m^2]; dy = m*dx

dx := d/sqrt(1 + m^2); dy := m*dx;

dx = d/sqrt(1 + m^2); dy = m*dx;

Δx = ±d/√(1 + m^2), Δy = mΔx

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een rekenassistent voor wiskunde. Voer de volgende berekening uit door daadwerkelijk Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef dus geen antwoord uit je hoofd of op gevoel).

Bereken voor de twee punten (3; 4) en (6; 8) in het assenstelsel het volgende:
1. De richtingscoëfficiënt m van de lijn door de twee punten
2. De afstand d tussen de twee punten
3. De hoek θ (in graden) tussen de lijn en de x-as
4. De vergelijking van de lijn y = mx + b (laat ook de waarde van het snijpunt met de y-as, b, zien)

Laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule