Vul de coëfficiënten en de rechterleden van vergelijking (1) en (2) in. Het stelsel hieronder is gekoppeld aan de invoervelden, dus je kunt de getallen ook er direct in aanpassen.
Je kunt kommagetallen, negatieve getallen en breuken zoals 3/4 gebruiken. Een leeg veld bij de coëfficiënt van x of y telt als 1 (x betekent 1x) en een leeg rechterlid telt als 0. Vul 0 in voor een term die je niet gebruikt.
Resultaat en grafiek
Vul links de coëfficiënten van de twee vergelijkingen in en klik op “Berekenen”. De stappen en een grafiek verschijnen hier.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formules en grafieken
-
Een stelsel van twee lineaire vergelijkingen en de oplossing
-
Eliminatiemethode (maak de coëfficiënten gelijk en trek de vergelijkingen van elkaar af)
-
Substitutiemethode (schrijf als \(y = \) en substitueer)
-
Een formule voor de oplossing in één keer, en hoe je geen of oneindig veel oplossingen herkent
-
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Los een stelsel van twee lineaire vergelijkingen, \(ax + by = c;\ dx + ey = f\), meteen op door alleen de coëfficiënten en de rechterleden in te vullen. De rekenmachine toont het stelsel zoals je het met de hand opschrijft en je kunt de getallen er direct in aanpassen
- Kies de eliminatiemethode (maak de coëfficiënten gelijk en tel de vergelijkingen op of trek ze af) of de substitutiemethode (schrijf een vergelijking als \(y = \) en substitueer). De stappen volgen dezelfde lijn als in een schoolboek
- Coëfficiënten mogen kommagetallen, negatieve getallen of breuken zoals 3/4 zijn (bij breuken en kommagetallen beginnen de stappen met het vermenigvuldigen van beide leden om de coëfficiënten geheel te maken)
- Naast één oplossing herkent de pagina ook geen oplossing (evenwijdige lijnen) en oneindig veel oplossingen (dezelfde lijn), en legt uit waarom. Antwoorden staan als vereenvoudigde breuk (de exacte waarde), met erbij het kommagetal als het een breuk is. Je ziet ook een grafiek van de twee lijnen (het snijpunt is de oplossing) en een controle waarbij je de oplossing in beide vergelijkingen invult
- Een heldere uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python vind je ook op deze pagina
Deze pagina lost een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen (x en y) op. Stelsels met drie of meer variabelen of met kwadraten worden niet ondersteund.
Waarvoor is deze berekening handig?
De prijzen van twee producten berekenen (winkelen en boekhouden)
Stel dat je twee bonnetjes hebt waarop alleen totalen staan: “1 koffie en 1 broodje voor € 5,50” en “2 koffie en 1 broodje voor € 9,00”. Noem een koffie \(x\) euro en een broodje \(y\) euro. Het stelsel \(x + y = 5{,}5;\ 2x + y = 9\) geeft een koffie van € 3,50 en een broodje van € 2,00.
“De losse prijzen staan er niet bij, maar de totalen van combinaties wel” is het klassieke gebruik van een stelsel van vergelijkingen, en het komt ook voor bij het uitsplitsen van rekeningen en offertes in de boekhouding.
Uitrekenen waar twee tariefplannen elkaar kruisen (telefoon, stroom, abonnementen)
Abonnement A kost € 15 per maand plus € 5 per GB en abonnement B kost € 30 per maand plus € 2 per GB. Met de maandrekening \(y\) euro en de data \(x\) GB zijn het \(y = 5x + 15\) en \(y = 2x + 30\). Het stelsel oplossen geeft \(x = 5\) GB, waarbij beide rekeningen gelijk zijn, € 40.
Dus “gebruik je meer dan 5 GB, dan is abonnement B goedkoper”. Het snijpunt van twee lijnen, het kruispunt, werkt op dezelfde manier bij het vergelijken van stroomcontracten of abonnementen (ervan uitgaande dat de prijs meegroeit met het gebruik).
Uitrekenen hoe ver je liep en hoe ver je rende (naar school of werk)
Van huis naar het station is het 1.500 meter. Je loopt met 60 meter per minuut, rent het laatste stuk met 150 meter per minuut en bent in 15 minuten bij het station. Met \(x\) meter gelopen en \(y\) meter gerend is de afstandsvergelijking \(x + y = 1.500\) en de tijdvergelijking \(\dfrac{x}{60} + \dfrac{y}{150} = 15\). Oplossen geeft 500 meter lopen en 1.000 meter rennen.
Heb je een totaal en een tweede hoeveelheid die afhangt van hoe je het totaal verdeelt (tijd, kosten enzovoort), dan krijg je een stelsel van vergelijkingen. Dit patroon is bruikbaar voor veel meer dan snelheidsproblemen.
Oplossingen met een verschillende sterkte mengen (koken, productie, landbouw)
Om 300 ml van een oplossing van 8% te maken door een oplossing van 5% en een oplossing van 10% te mengen, laat je \(x\) ml de oplossing van 5% zijn en \(y\) ml die van 10%. De totale hoeveelheid geeft \(x + y = 300\) en de hoeveelheid opgeloste stof geeft \(0{,}05x + 0{,}1y = 24\) (8% van 300 ml is 24 ml). Oplossen geeft 120 ml van de oplossing van 5% en 180 ml van de oplossing van 10%.
Schoonmaakmiddel verdunnen, meststof mengen, metaallegeringen maken: deze berekening wordt overal gebruikt waar je twee ingrediënten mengt om een gewenste sterkte te krijgen.
Het break-evenpunt berekenen (winkels en ondernemen)
Een product verkoop je voor € 8, de materialen kosten € 5 per stuk en de vaste kosten, zoals huur, zijn € 900 per maand. Bij \(x\) verkochte stuks per maand en \(y\) euro is de omzetvergelijking \(y = 8x\) en de kostenvergelijking \(y = 5x + 900\). Hun snijpunt is \(x = 300\) stuks en \(y = 2.400\) euro, dus 300 stuks per maand is de grens tussen winst en verlies (het break-evenpunt).
Het is een van de eerste getallen die je controleert in een bedrijfsplan of bij het bepalen van een prijs, en in de kern is het een stelsel van vergelijkingen (ervan uitgaande dat de verkoopprijs en de kostprijs per stuk niet veranderen met de hoeveelheid).
Formules en grafieken
Een stelsel van twee lineaire vergelijkingen en de oplossing
Grafiek
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(ax + by\)
\(=\)
\(c\)
\(dx + ey\)
\(=\)
\(f\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
①
\(ax + by\): linkerlid van (1) (de term met \(x\) plus de term met \(y\))
\(=\)
②
\(c\): rechterlid van (1)
③
\(dx + ey\): linkerlid van (2) (de term met \(x\) plus de term met \(y\))
\(=\)
④
\(f\): rechterlid van (2)
De formule in woorden
①
De vergelijking waarin
\(ax + by\): linkerlid van (1) (de term met \(x\) plus de term met \(y\))
②
gelijk is aan
\(c\): rechterlid van (1)
en de vergelijking waarin
③
\(dx + ey\): linkerlid van (2) (de term met \(x\) plus de term met \(y\))
④
gelijk is aan
\(f\): rechterlid van (2)
moeten allebei tegelijk kloppen. Een paar \(x;\ y\) waarvoor beide kloppen heet de “oplossing”
Een eenvoudig voorbeeld
Bij (1) \(x + y = 5\) en (2) \(2x - y = 1\) is het enige paar waarvoor beide kloppen \(x = 2;\ y = 3\)
linkerlid van (1), \(x + y\)
\(=\)
rechterlid van (1), \(5\)
linkerlid van (2), \(2x - y\)
\(=\)
rechterlid van (2), \(1\)
\(x = 2;\ y = 3\)
\(2 + 3 = 5\)
\(2 \times 2 - 3 = 1\)
Het belangrijkste idee
Met alleen de vergelijking \(x + y = 5\) zijn er oneindig veel paren die kloppen: \((1;\ 4)\), \((2;\ 3)\), \((0{,}5;\ 4{,}5)\) enzovoort. Door de voorwaarde toe te voegen dat een tweede vergelijking ook moet kloppen, blijft er één paar over.
In een grafiek vormen de punten die aan één vergelijking voldoen een lijn, en de oplossing van het stelsel is het punt waar de twee lijnen elkaar snijden (het snijpunt). Zijn de twee lijnen dus evenwijdig, dan is er geen oplossing, en liggen ze precies op elkaar, dan zijn er oneindig veel oplossingen.
Eliminatiemethode (maak de coëfficiënten gelijk en trek de vergelijkingen van elkaar af)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\((ax + by)\)
\(-\)
\((ax + ey)\)
\(=\)
\(c - f\)
\((b - e)y\)
\(=\)
\(c - f\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
①
\((ax + by)\): linkerlid van (1)
\(-\)
②
\((ax + ey)\): linkerlid van (2) (\(x\)-coëfficiënt gelijk gemaakt aan (1))
\(=\)
③
\(c - f\): verschil van de rechterleden
④
\((b - e)y\): \(x\) is weg en alleen \(y\) blijft over
\(=\)
\(c - f\): verschil van de rechterleden
De formule in woorden
①
Maak eerst de \(x\)-coëfficiënten van de twee vergelijkingen gelijk. Trek van
\((ax + by)\): linkerlid van (1)
②
\((ax + ey)\): linkerlid van (2) met de \(x\)-coëfficiënt gelijk gemaakt aan (1)
af (trek de rechterleden op dezelfde manier van elkaar af)
③
Het rechterlid wordt
\(c - f\): verschil van de rechterleden
④
en in het linkerlid vallen de termen met \(ax\) weg, zodat
\((b - e)y\): \(x\) is weg en alleen \(y\) blijft over
overblijft (deel daarna beide leden door de coëfficiënt van \(y\) om \(y\) te vinden)
Een eenvoudig voorbeeld
Elimineer \(y\) uit (1) \(x + y = 5\) en (2) \(2x - y = 1\). De coëfficiënten van \(y\) zijn \(+1\) en \(-1\) (dezelfde absolute waarde, tegengestelde tekens), dus je kunt de vergelijkingen zo optellen
linkerlid van (1), \(x + y\)
\(+\)
linkerlid van (2), \(2x - y\)
\(=\)
som van de rechterleden, \(5 + 1\)
\((x + y) + (2x - y) = 5 + 1\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\)
\(y = 5 - 2 = 3\)
Het belangrijkste idee
Of je optelt of aftrekt hangt af van de tekens van de gelijkgemaakte coëfficiënten. Hebben ze hetzelfde teken (zoals \(+2\) en \(+2\)), trek de vergelijkingen dan van elkaar af. Hebben ze tegengestelde tekens (zoals \(+2\) en \(-2\)), tel ze dan op. In beide gevallen verdwijnt die variabele.
Zijn de coëfficiënten nog niet gelijk, vermenigvuldig dan beide leden van de vergelijkingen om ze gelijk te maken. Zijn de \(x\)-coëfficiënten bijvoorbeeld 2 en 3, maak ze dan gelijk aan het kleinste gemeen veelvoud, 6, door (1) × 3 en (2) × 2 te doen. “Beide leden met hetzelfde getal vermenigvuldigen” en “de vergelijkingen optellen of aftrekken (linkerlid bij linkerlid en rechterlid bij rechterlid)” berusten allebei op de balansmethode (als je links en rechts hetzelfde doet, blijven ze gelijk), dus het antwoord verandert niet.
Je mag \(x\) of \(y\) elimineren. Een goede tip is om de variabele te elimineren waarvan de coëfficiënten het makkelijkst gelijk te maken zijn.
Substitutiemethode (schrijf als \(y = \) en substitueer)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(y\)
\(=\)
\(px + q\)
\(dx + e(px + q)\)
\(=\)
\(f\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
①
\(y\): uit het herschrijven van (1)
\(=\)
②
\(px + q\): een uitdrukking met alleen \(x\)
③
\(dx + e(px + q)\): linkerlid van (2) met \(px + q\) voor \(y\) ingevuld, nu met alleen \(x\)
\(=\)
④
\(f\): rechterlid van (2)
De formule in woorden
①
Herschrijf (1) door termen te verplaatsen en te delen, zodat
\(y\): uit het herschrijven van (1)
wordt geschreven als
②
\(px + q\): een uitdrukking met alleen \(x\)
③
Zet dit in (2) in plaats van \(y\) (substitueer het) en het linkerlid van (2) wordt
\(dx + e(px + q)\): linkerlid van (2) met alleen \(x\)
④
Stel dit gelijk aan
\(f\): rechterlid van (2)
en los deze lineaire vergelijking met één variabele op om \(x\) te vinden. Vul daarna \(x\) in bij \(px + q\) om \(y\) te vinden
Een eenvoudig voorbeeld
Bij (1) \(x + y = 5\) en (2) \(2x - y = 1\) geeft het oplossen van (1) naar \(y\) de uitkomst \(y = 5 - x\). Vul dit in voor \(y\) in (2)
linkerlid van (2) met \(5 - x\) voor \(y\), \(2x - (5 - x)\)
\(=\)
rechterlid van (2), \(1\)
\(2x - (5 - x) = 1\)
\(3x - 5 = 1\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\)
\(y = 5 - 2 = 3\)
Het belangrijkste idee
Je mag zelf kiezen welke vergelijking je oplost en naar welke variabele. Kies je een variabele met coëfficiënt 1 of \(-1\), dan krijg je geen breuken en reken je makkelijker (deze rekenmachine kiest op dezelfde manier).
Zet bij het substitueren de hele uitdrukking tussen haakjes. Tekenfouten bij het wegwerken van de haakjes in \(2x - (5 - x)\) zijn de meest gemaakte fout bij de substitutiemethode.
Eliminatie en substitutie zijn twee wegen met hetzelfde plan: “werk één variabele weg zodat je een vergelijking met één variabele krijgt”. Ze geven dus altijd hetzelfde antwoord. Staat een vergelijking al in de vorm \(y = \), zoals \(y = 2x + 1\), dan is substitutie de betere keuze.
Een formule voor de oplossing in één keer, en hoe je geen of oneindig veel oplossingen herkent
Grafiek
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(x\)
\(=\)
\(\dfrac{ce - bf}{ae - bd}\)
\(y\)
\(=\)
\(\dfrac{af - cd}{ae - bd}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
②
\(x\): oplossing voor \(x\)
\(=\)
①
\(\dfrac{ce - bf}{ae - bd}\): breuk gemaakt van de coëfficiënten
④
\(y\): oplossing voor \(y\)
\(=\)
③
\(\dfrac{af - cd}{ae - bd}\): breuk gemaakt van de coëfficiënten
De formule in woorden
①
Voor de noemer vermenigvuldig je \(a\) kruislings met \(e\) en \(b\) met \(d\) en trek je af. Voor de teller doe je hetzelfde met \(c\) en \(e\), \(b\) en \(f\). Uitwerken van
\(\dfrac{ce - bf}{ae - bd}\): breuk gemaakt van de coëfficiënten
geeft
②
\(x\): oplossing voor \(x\)
③
Houd dezelfde noemer en verander alleen de teller in \(af - cd\). Uitwerken van
\(\dfrac{af - cd}{ae - bd}\): breuk gemaakt van de coëfficiënten
geeft
④
\(y\): oplossing voor \(y\)
Een eenvoudig voorbeeld
Bij (1) \(x + y = 5\) en (2) \(2x - y = 1\) (\(a = 1;\ b = 1;\ c = 5;\ d = 2;\ e = -1;\ f = 1\))
\(x\): oplossing voor \(x\)
\(=\)
breuk gemaakt van de coëfficiënten \(\dfrac{5 \times (-1) - 1 \times 1}{1 \times (-1) - 1 \times 2}\)
\(ae - bd = 1 \times (-1) - 1 \times 2 = -3\)
\(x = \dfrac{ce - bf}{ae - bd} = \dfrac{5 \times (-1) - 1 \times 1}{-3} = \dfrac{-6}{-3} = 2\)
\(y = \dfrac{af - cd}{ae - bd} = \dfrac{1 \times 1 - 5 \times 2}{-3} = \dfrac{-9}{-3} = 3\)
Het belangrijkste idee
Is de noemer \(ae - bd\) niet 0, dan is er precies één oplossing. Deze formule heet de regel van Cramer. Het is het resultaat van eliminatie, geschreven met de letters van de coëfficiënten in plaats van getallen.
Is de noemer \(ae - bd = 0\), dan kun je niet delen en is er geen enkele oplossing. Dat gebeurt als de linkerleden van de twee vergelijkingen evenredig zijn (de twee lijnen hebben dezelfde richtingscoëfficiënt). Zijn de rechterleden ook in dezelfde verhouding, dan zijn de lijnen gelijk (oneindig veel oplossingen). Klopt alleen de verhouding van de rechterleden niet, dan zijn de lijnen evenwijdig (geen oplossing). In formules: zijn de tellers \(ce - bf\) en \(af - cd\) allebei ook 0, dan zijn er oneindig veel oplossingen, anders is er geen oplossing.
De formule is handig om antwoorden te controleren en om in een spreadsheet veel stelsels tegelijk op te lossen. Bij een toets op school wordt meestal verwacht dat je de stappen van eliminatie of substitutie opschrijft.
Het basisplan voor het oplossen van een stelsel van vergelijkingen is: “werk één variabele weg zodat je een vergelijking met één variabele krijgt”. Bij de eliminatiemethode maak je de coëfficiënten gelijk en tel je de vergelijkingen op of trek je ze af. Bij de substitutiemethode schrijf je een vergelijking als \(y = \) en substitueer je die. Beide geven hetzelfde antwoord. Is er niet één oplossing, dan zijn de twee lijnen óf evenwijdig (geen oplossing) óf dezelfde lijn (oneindig veel oplossingen).
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(x,\ y\) | x, y | De letters voor de twee getallen die je wilt vinden (de onbekenden). Gewoonlijk gebruik je letters aan het eind van het alfabet, \(x,\ y,\ z\), voor getallen die we nog niet weten. |
| \(a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f\) | a, b, c, d, e, f | Letters die in het algemeen staan voor de coëfficiënten en de constanten rechts (de bekende getallen). Gewoonlijk gebruik je letters aan het begin van het alfabet voor vaste getallen. Op deze pagina is (1) \(ax + by = c\) en (2) \(dx + ey = f\). |
| (1), (2) | vergelijking één, vergelijking twee | Nummers die je aan de vergelijkingen geeft. Je gebruikt ze om kort op te schrijven welke bewerking je met welke vergelijking hebt gedaan, zoals “(1) × 2” of “(1) + (2)”. Schoolboeken en uitwerkingen gebruiken ze ook. |
| \(\{\) | accolade | De grote accolade links van een stelsel van vergelijkingen. Ze betekent “deze twee vergelijkingen moeten tegelijk kloppen” en laat zien dat ze bij elkaar horen als één stel. |
| \(ae - bd\) | a e min b d | De waarde in de noemer van de formule voor de oplossing in één keer, gevonden door de coëfficiënten kruislings te vermenigvuldigen en af te trekken. Of het 0 is bepaalt of er precies één oplossing is. In de taal van matrices is het de determinant van de matrix van coëfficiënten. |
| \((x;\ y)\) | het paar x en y | Een manier om twee waarden als stel op te schrijven. De oplossing van een stelsel is een paar van \(x\) en \(y\), dus je schrijft het als geordend paar, zoals \((2;\ 3)\), op dezelfde manier als de coördinaten van een punt in een grafiek. |
Begrippen
| stelsel van vergelijkingen | Twee of meer vergelijkingen als één stel, waarbij je de waarden van de variabelen zoekt waarvoor alle vergelijkingen tegelijk kloppen. Je leert het in klas 2 (13-14 jaar). |
| lineaire vergelijking met twee variabelen | Een vergelijking met twee variabelen waarin elke term van de eerste graad is (geen kwadraten en geen variabelen die met elkaar vermenigvuldigd worden). \(x + y = 5\) is een lineaire vergelijking met twee variabelen. De grafiek is een rechte lijn. |
| oplossing | De waarden van de variabelen waarvoor de vergelijkingen kloppen. Bij een stelsel is de oplossing een paar waarden van \(x\) en \(y\), en in een grafiek zijn dat de coördinaten van het snijpunt van de twee lijnen. |
| eliminatiemethode | Een manier om op te lossen door de coëfficiënten van de twee vergelijkingen gelijk te maken en ze dan op te tellen of af te trekken (linkerlid bij linkerlid, rechterlid bij rechterlid) om één variabele te elimineren. Ze heet ook de optel- en aftrekmethode. |
| vergelijkingen optellen of aftrekken | De linkerleden bij elkaar optellen en de rechterleden bij elkaar optellen, en de twee sommen met “=” verbinden tot een nieuwe vergelijking. Aftrekken werkt op dezelfde manier. |
| substitutiemethode | Een manier om op te lossen door een vergelijking te herschrijven in de vorm “\(y = \) (een uitdrukking met \(x\))” en die in te vullen voor \(y\) in de andere vergelijking, om één variabele te elimineren. |
| substitueren | Een waarde of uitdrukking invullen op de plaats van een letter. Als je \(y = 5 - x\) invult in \(2x - y = 1\), krijg je \(2x - (5 - x) = 1\). |
| elimineren | Een van de twee variabelen uit de vergelijkingen laten verdwijnen, zodat je een vergelijking met maar één variabele overhoudt. De eliminatiemethode en de substitutiemethode zijn allebei manieren om dat te doen. |
| termen verplaatsen | Een term van een vergelijking naar de andere kant brengen en het teken veranderen. Verplaats je de \(3\) in \(x + 3 = 7\), dan krijg je \(x = 7 - 3\). Het is een afkorting van “trek van beide leden hetzelfde getal af”. |
| coëfficiënt | Het getal voor een letter. In \(2x\) is de coëfficiënt 2. Staat er geen getal, zoals bij \(x\), dan is de coëfficiënt 1, en de coëfficiënt van \(-y\) is \(-1\). |
| balansmethode | Een vergelijking blijft kloppen als je links en rechts hetzelfde getal optelt, aftrekt of ermee vermenigvuldigt, of als je beide leden deelt door hetzelfde getal ongelijk aan 0. Het is te vergelijken met een balans die in evenwicht blijft als je aan beide kanten hetzelfde gewicht legt. Elke omwerking bij eliminatie en substitutie is hierop gebaseerd. |
| kleinste gemeen veelvoud (kgv) | Het kleinste getal dat een veelvoud is van allebei de getallen. Bij de eliminatiemethode is het het doel als je coëfficiënten gelijk maakt (bij de coëfficiënten 2 en 3 maak je ze gelijk aan 6). |
| evenwijdig | Twee lijnen die elkaar nooit snijden, hoe ver je ook gaat. Zijn bij een stelsel van vergelijkingen de twee grafieken evenwijdig, dan is er geen snijpunt en dus “geen oplossing”. |
| oneindig veel oplossingen | Als er niet één oplossing is maar oneindig veel. Dat gebeurt als de twee vergelijkingen dezelfde lijn beschrijven, zodat elk punt op de lijn een oplossing is. Zo’n stelsel heet afhankelijk. |
| snijpunt | Het punt waar twee grafieken elkaar snijden. De oplossing van een stelsel van vergelijkingen zijn de coördinaten van het punt waar de grafieken van de twee vergelijkingen (twee lijnen) elkaar snijden. |
| controle | De oplossing invullen in beide oorspronkelijke vergelijkingen om te controleren of linkerlid en rechterlid echt gelijk zijn. Een stelsel controleer je door alleen in te vullen, dus als je dat een gewoonte maakt, merk je zelf rekenfouten op. |
| regel van Cramer | Een formule die de oplossing direct uitrekent uit de coëfficiënten: \(x = \dfrac{ce - bf}{ae - bd};\ y = \dfrac{af - cd}{ae - bd}\). Ze is genoemd naar de Zwitserse wiskundige Gabriel Cramer. Ze komt meestal met matrices aan bod in de bovenbouw of in de lineaire algebra op de universiteit, maar bij twee variabelen kun je haar controleren met gewone algebra. |
Handig om vooraf te weten
Dit helpt je om de berekening op deze pagina écht te begrijpen en niet alleen op de knop te drukken.
Kom je er niet uit, dan is het herhalen van deze onderwerpen de snelste weg vooruit.
| Letterexpressies (klas 1, 12-13 jaar) |
|
| Rekenen met negatieve getallen (klas 1, 12-13 jaar) |
|
| Balansmethode en lineaire vergelijkingen (klas 1–2, 12-14 jaar) |
|
| Coördinaten en grafieken (klas 1–2, 12-14 jaar) |
|
| Rekenen met breuken (groep 6–8 tot klas 1, 9-13 jaar) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel om het stelsel op te lossen
| (1) coëfficiënt van x, a | 1 |
| (1) coëfficiënt van y, b | 1 |
| (1) rechterlid c | 5 |
| (2) coëfficiënt van x, d | 2 |
| (2) coëfficiënt van y, e | -1 |
| (2) rechterlid f | 1 |
| Noemer ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| Oplossing x ((ce−bf)÷(ae−bd)) | =(B3*B5-B2*B6)/B7 |
| Oplossing y ((af−cd)÷(ae−bd)) | =(B1*B6-B3*B4)/B7 |
Tabel om te bepalen of er geen oplossing of oneindig veel oplossingen zijn
| (1) coëfficiënt van x, a | 1 |
| (1) coëfficiënt van y, b | 1 |
| (1) rechterlid c | 3 |
| (2) coëfficiënt van x, d | 2 |
| (2) coëfficiënt van y, e | 2 |
| (2) rechterlid f | 6 |
| Noemer ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| Teller ce−bf | =B3*B5-B2*B6 |
| Teller af−cd | =B1*B6-B3*B4 |
| Uitkomst | =ALS(B7<>0;"Eén oplossing";ALS(EN(B8=0;B9=0);"Oneindig veel oplossingen";"Geen oplossing (evenwijdig)")) |
Tabel om de oplossing te controleren (invullen in beide vergelijkingen)
| (1) coëfficiënt van x, a | 1 |
| (1) coëfficiënt van y, b | 1 |
| (1) rechterlid c | 5 |
| (2) coëfficiënt van x, d | 2 |
| (2) coëfficiënt van y, e | -1 |
| (2) rechterlid f | 1 |
| Oplossing x | 2 |
| Oplossing y | 3 |
| Linkerlid van (1) ax+by (klopt als het gelijk is aan c) | =B1*B7+B2*B8 |
| Linkerlid van (2) dx+ey (klopt als het gelijk is aan f) | =B4*B7+B5*B8 |
Na het plakken zijn de bovenste rijen (de coëfficiënten en de rechterleden) je invoer en worden de onderste rijen automatisch berekend.
De eerste tabel lost x + y = 5, 2x − y = 1 op. De noemer ae−bd is −3 en de oplossing is x = 2, y = 3. Is de noemer 0, dan geeft de deling een foutmelding (delen door 0). Dat is het teken dat er niet één oplossing is.
De tweede tabel hoort bij x + y = 3, 2x + 2y = 6 en de uitkomst is “Oneindig veel oplossingen”. Verander het rechterlid f van (2) in 10 en het wordt “Geen oplossing (evenwijdig)”.
De derde tabel controleert de oplossing door die in beide vergelijkingen in te vullen. Het linkerlid van (1) is 5 en het linkerlid van (2) is 1, en dat komt overeen met hun rechterleden.
De eerste tabel lost x + y = 5, 2x − y = 1 op. De noemer ae−bd is −3 en de oplossing is x = 2, y = 3. Is de noemer 0, dan geeft de deling een foutmelding (delen door 0). Dat is het teken dat er niet één oplossing is.
De tweede tabel hoort bij x + y = 3, 2x + 2y = 6 en de uitkomst is “Oneindig veel oplossingen”. Verander het rechterlid f van (2) in 10 en het wordt “Geen oplossing (evenwijdig)”.
De derde tabel controleert de oplossing door die in beide vergelijkingen in te vullen. Het linkerlid van (1) is 5 en het linkerlid van (2) is 1, en dat komt overeen met hun rechterleden.
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel om het stelsel op te lossen
| (1) coëfficiënt van x, a | 1 |
| (1) coëfficiënt van y, b | 1 |
| (1) rechterlid c | 5 |
| (2) coëfficiënt van x, d | 2 |
| (2) coëfficiënt van y, e | -1 |
| (2) rechterlid f | 1 |
| Noemer ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| Oplossing x ((ce−bf)÷(ae−bd)) | =(B3*B5-B2*B6)/B7 |
| Oplossing y ((af−cd)÷(ae−bd)) | =(B1*B6-B3*B4)/B7 |
Tabel om te bepalen of er geen oplossing of oneindig veel oplossingen zijn
| (1) coëfficiënt van x, a | 1 |
| (1) coëfficiënt van y, b | 1 |
| (1) rechterlid c | 3 |
| (2) coëfficiënt van x, d | 2 |
| (2) coëfficiënt van y, e | 2 |
| (2) rechterlid f | 6 |
| Noemer ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| Teller ce−bf | =B3*B5-B2*B6 |
| Teller af−cd | =B1*B6-B3*B4 |
| Uitkomst | =ALS(B7<>0;"Eén oplossing";ALS(EN(B8=0;B9=0);"Oneindig veel oplossingen";"Geen oplossing (evenwijdig)")) |
Tabel om de oplossing te controleren (invullen in beide vergelijkingen)
| (1) coëfficiënt van x, a | 1 |
| (1) coëfficiënt van y, b | 1 |
| (1) rechterlid c | 5 |
| (2) coëfficiënt van x, d | 2 |
| (2) coëfficiënt van y, e | -1 |
| (2) rechterlid f | 1 |
| Oplossing x | 2 |
| Oplossing y | 3 |
| Linkerlid van (1) ax+by (klopt als het gelijk is aan c) | =B1*B7+B2*B8 |
| Linkerlid van (2) dx+ey (klopt als het gelijk is aan f) | =B4*B7+B5*B8 |
Dezelfde formules als in Excel werken ook hier. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de coëfficiënten en rechterleden door je eigen getallen.
Berekenen met Python
from fractions import Fraction
# (1): a1*x + b1*y = c1
# (2): a2*x + b2*y = c2 (een breuk zoals 3/4 schrijf je als Fraction(3, 4))
a1, b1, c1 = Fraction(1), Fraction(1), Fraction(5)
a2, b2, c2 = Fraction(2), Fraction(-1), Fraction(1)
denominator = a1 * b2 - a2 * b1 # de noemer van de formule, ae − bd
if denominator != 0:
x = (c1 * b2 - c2 * b1) / denominator
y = (a1 * c2 - a2 * c1) / denominator
print(f"Oplossing: x = {x}, y = {y}")
print(f"Als kommagetallen: x = {float(x)}, y = {float(y)}")
elif c1 * b2 - c2 * b1 == 0 and a1 * c2 - a2 * c1 == 0:
print("Oneindig veel oplossingen (beide vergelijkingen beschrijven dezelfde lijn)")
else:
print("Geen oplossing (de twee lijnen zijn evenwijdig en snijden elkaar nooit)")
Met de module fractions uit de standaardbibliotheek reken je met exacte breuken, zonder afrondingsfouten van kommagetallen. Dit voorbeeld lost x + y = 5, 2x − y = 1 op en als je het uitvoert, verschijnt “Oplossing: x = 2, y = 3”. Pas de coëfficiënten en rechterleden aan en voer het uit.
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Een stelsel van twee lineaire vergelijkingen en de oplossing
ax + by = c, dx + ey = f
\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>{</mo>
<mtable columnalign="left">
<mtr><mtd>
<mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>c</mi>
</mtd></mtr>
<mtr><mtd>
<mi>d</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi>
</mtd></mtr>
</mtable>
</mrow>
</math>
{(ax + by = c),(dx + ey = f):}
Solve[{a*x + b*y == c, d*x + e*y == f}, {x, y}]
solve({a*x + b*y = c, d*x + e*y = f}, {x, y});
S = solve(a*x + b*y == c, d*x + e*y == f, [x, y])
ax + by = c, dx + ey = f
Eliminatiemethode (maak de coëfficiënten gelijk en trek de vergelijkingen van elkaar af)
(ax + by) − (ax + ey) = c − f
(ax + by) - (ax + ey) = c - f
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>y</mi><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi><mi>y</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>c</mi><mo>−</mo><mi>f</mi>
</mrow>
</math>
(ax + by) - (ax + ey) = c - f
Simplify[(a*x + b*y) - (a*x + e*y) == c - f]
(a*x + b*y) - (a*x + e*y) = c - f;
simplify((a*x + b*y) - (a*x + e*y) == c - f)
(ax + by) − (ax + ey) = c − f
Substitutiemethode (schrijf als \(y = \) en substitueer)
y = px + q, dx + e(px + q) = f
y = px + q,\quad dx + e(px + q) = f
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi><mo>=</mo><mi>p</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>q</mi>
<mo>,</mo>
<mi>d</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi>
<mo>(</mo><mi>p</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>q</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo><mi>f</mi>
</mrow>
</math>
y = px + q, dx + e(px + q) = f
Solve[{y == p*x + q, d*x + e*y == f}, {x, y}]
subs(y = p*x + q, d*x + e*y = f);
subs(d*x + e*y == f, y, p*x + q)
y = px + q, dx + e(px + q) = f
Een formule voor de oplossing in één keer, en hoe je geen of oneindig veel oplossingen herkent
x = (ce − bf)/(ae − bd), y = (af − cd)/(ae − bd)
x = \frac{ce - bf}{ae - bd},\quad y = \frac{af - cd}{ae - bd}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>x</mi><mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>c</mi><mi>e</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>f</mi></mrow>
<mrow><mi>a</mi><mi>e</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>d</mi></mrow>
</mfrac>
<mo>,</mo>
<mi>y</mi><mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mi>f</mi><mo>−</mo><mi>c</mi><mi>d</mi></mrow>
<mrow><mi>a</mi><mi>e</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>d</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
x = (ce - bf)/(ae - bd), y = (af - cd)/(ae - bd)
{x, y} = {(c*e - b*f)/(a*e - b*d), (a*f - c*d)/(a*e - b*d)}
x := (c*e - b*f)/(a*e - b*d); y := (a*f - c*d)/(a*e - b*d);
x = (c*e - b*f)/(a*e - b*d); y = (a*f - c*d)/(a*e - b*d);
x = (ce − bf)/(ae − bd), y = (af − cd)/(ae − bd)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een rekenassistent voor wiskunde (stelsels van vergelijkingen). Voer de volgende berekening uit door echt Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef geen antwoord uit hoofdrekenen of gokken). Los het stelsel van vergelijkingen x + y = 5, 2x − y = 1 op. Laat elk van de volgende onderdelen zien: 1. De oplossing x, y (zijn het breuken, geef dan zowel vereenvoudigde breuken als kommagetallen) 2. De stappen met de eliminatiemethode (maak de coëfficiënten van één variabele gelijk en tel de vergelijkingen op of trek ze af) 3. Een controle waarbij je de oplossing in beide vergelijkingen invult Reken in Python exact met de module fractions uit de standaardbibliotheek en laat de formules die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering zien. Is er geen oplossing of zijn er oneindig veel, leg dan ook uit waarom.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Diofantische vergelijking ax + by = c oplossen met stappen
Dezelfde vorm ax+by=c, maar nu zoek je alleen gehele oplossingen. Hier vind je ze met het algoritme van Euclides
Abc-formule (kwadratische vergelijking oplossen met de discriminant)
Los kwadratische vergelijkingen op met de abc-formule, met de discriminant en stappen
