Populatie schatten uit een steekproef (vangst-hervangst en aselecte steekproef)

Kies een modus voor wat je wilt vinden en vul de resultaten van je onderzoek in. “Vangst-hervangst” schat het totale aantal, zoals de vissen in een vijver. “Aantal in een populatie” schat hoeveel in het geheel aan een voorwaarde voldoen (zoals het totale aantal defecte stuks).

Wat wil je schatten?

Eerst gemerkt

2e vangst

Gemerkt in 2e vangst

Grootte van de populatie

Steekproefgrootte

Voldoet in de steekproef

Vul aantallen in als gehele getallen. Het antwoord uit een steekproef is een schatting, dus je ziet zowel de exacte uitkomst van de deling (een breuk) als een afgerond getal “ongeveer …”.

Resultaat en grafiek

Vul links de resultaten van je onderzoek in en klik op “Berekenen”. Hier verschijnen de schatting en een staafdiagram.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formule en diagram
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Schat het totale aantal van een groep die je niet een voor een kunt tellen, zoals de vissen in een vijver, met de vangst-hervangstmethode (merk er een aantal, laat ze weer vrij, vang een tweede groep en kijk welk aandeel gemerkt is)
Weet je hoe groot de hele populatie is (bijvoorbeeld 3.000 producten), dan schat je hoeveel ervan aan een voorwaarde voldoen (het totale aantal defecte stuks) uit een aselecte steekproef (bijvoorbeeld 2 defecte stuks op 100)
Toont de stappen met een verhoudingsvergelijking, zoals in het wiskundeboek (het product van de binnenste termen is gelijk aan het product van de buitenste termen, ook wel kruislings vermenigvuldigen). Het antwoord wordt zowel als exacte uitkomst van de deling (een breuk) als als afgerond getal “ongeveer …” getoond
Met een staafdiagram vergelijk je het aandeel in de steekproef met het aandeel in de populatie en zie je dat ze gelijk zijn

Een schatting uit een steekproef gaat ervan uit dat de steekproef zonder vertekening is gekozen, zoals namen uit een hoed trekken (een aselecte steekproef). Het resultaat is maar een schatting en wijkt enigszins af van het werkelijke aantal.

Waarvoor is deze berekening handig?

De aantallen vissen en wilde dieren tellen (ecologisch onderzoek en natuurbehoud)

Om dieren te tellen die je niet allemaal kunt tellen, zoals vissen in een vijver, herten in het bos of invasieve vissen in een meer, gebruiken onderzoekers echt de vangst-hervangstmethode van deze pagina. Bij visserijbeheer en de bestrijding van invasieve soorten zijn schattingen van de populatie de basisgegevens om te bepalen hoeveel er gevangen mag worden en hoe groot de bestrijding moet zijn.
De methode gaat ervan uit dat merken niet loslaten, dat er tijdens het onderzoek weinig dieren bijkomen of weggaan (geboren worden, doodgaan of wegtrekken) en dat de gemerkte dieren zich goed met de rest mengen. Echt onderzoek kiest het moment en de methode zorgvuldig om dicht bij deze voorwaarden te komen.

Steekproefcontroles in een fabriek (kwaliteitsbeheersing)

Tests die het product vernietigen of onverkoopbaar maken, zoals levensduurtests van batterijen of het controleren van de inhoud van blikvoer, kun je niet bij elk stuk doen. In plaats daarvan wordt een aselecte steekproef gecontroleerd en wordt het totale aantal defecte stuks geschat uit het aandeel defecte stuks in de steekproef.
Uit 2 defecte stuks in een steekproef van 100 “ongeveer 60 in totaal” schatten is een van de meest basale hulpmiddelen van kwaliteitsbeheersing.

Peilingen en kijkcijfers (sociaal onderzoek)

Peilingen, zoals die over de tevredenheid met het kabinet, vragen het niet aan elke kiezer in het land. Ze schatten het aandeel voor het geheel uit een aselecte steekproef van duizend tot enkele duizenden mensen. Ook kijkcijfers zijn aandelen voor het hele publiek, geschat uit een steekproef van huishoudens.
De kracht van steekproeven is dat, zolang de steekproef aselect is gekozen, zelfs een kleine steekproef het geheel vrij nauwkeurig kan schatten (hoe groot de fout is, hangt af van de steekproefgrootte). Echte onderzoeken voegen ook stappen toe om vertekening naar regio of leeftijdsgroep te voorkomen, zoals wegen, maar de basis is dit idee van het geheel schatten uit het aandeel in een steekproef.

Verkiezingsavond - exitpolls en prognoses

Op de verkiezingsavond kan al kort na het sluiten van de stembureaus een verwachte zetelverdeling worden getoond, omdat het aandeel van elke partij in de totale stemmen wordt geschat uit steekproeven: een exitpoll (gesprekken met mensen die net hebben gestemd) en later het deel van de stemmen dat al is geteld.
Het aandeel in een steekproef toepassen op het geheel is hetzelfde idee als de verhoudingsvergelijking op deze pagina. Bij een prognose combineren onderzoekers ook gegevens van eerdere verkiezingen en statistische theorie en beslissen ze zorgvuldig.

Formule en diagram

Vangst-hervangst (het totaal schatten)

Staafdiagram

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(x\) \(=\) \(m\) \(\times\) \(n\) \(\div\) \(k\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

④ \(x\): totaal in de vijver \(=\) ① \(m\): aantal gemerkt \(\times\) ② \(n\): aantal in de 2e vangst \(\div\) ③ \(k\): gemerkt in de 2e vangst

De formule in woorden

① Neem het \(m\): aantal dat eerst is gevangen en gemerkt

② vermenigvuldig dat met het \(n\): aantal in de 2e vangst

③ deel door het \(k\): aantal gemerkt in de 2e vangst

④ en je krijgt de schatting van het \(x\): totaal in de vijver

Een eenvoudig voorbeeld

Merk je 50 vissen, zet je ze terug in de vijver en vang je later 30 vissen waarvan er 6 gemerkt zijn, dan is het totale aantal in de vijver

\(x\): totaal in de vijver \(=\) aantal gemerkt (50 vissen) \(\times\) aantal in de 2e vangst (30 vissen) \(\div\) aantal gemerkt daarin (6 vissen)

\(x = \dfrac{50 \times 30}{6} = \dfrac{1500}{6} = 250\)

Het belangrijkste idee

Deze formule werkt omdat “het aandeel gemerkte vissen in de hele vijver” en “het aandeel gemerkte vissen in de tweede vangst” ongeveer gelijk mogen worden verondersteld. Als de gemerkte vissen gelijkmatig door de vijver zijn gemengd, is de verdeling ongeveer hetzelfde waar je ook schept. Noem het totaal in de vijver dus \(x\), stel de verhoudingsvergelijking \(x : m = n : k\) (totaal : gemerkt) op en los die op met “het product van de binnenste termen is gelijk aan het product van de buitenste termen” in de volgende kaart. Zo komt deze formule eruit. Het antwoord is maar een schatting. Alle vissen tellen kan een ander getal geven, maar de waarde van deze methode is dat je een goed idee krijgt van het totaal zonder de vijver leeg te pompen.

Eigenschap van verhoudingsvergelijkingen (product van de binnenste termen = product van de buitenste termen, de kruisproducten)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(a\) \(:\) \(b\) \(=\) \(c\) \(:\) \(d\)

\(b \times c\) \(=\) \(a \times d\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

buitenste term \(a\) \(:\) binnenste term \(b\) \(=\) binnenste term \(c\) \(:\) buitenste term \(d\)

① product van de binnenste termen \(b \times c\) \(=\) ② product van de buitenste termen \(a \times d\)

De formule in woorden

① Klopt een verhoudingsvergelijking, dan is het product van de binnenste termen \(b \times c\) (de twee termen in het midden, \(b\) en \(c\), met elkaar vermenigvuldigd)

② altijd gelijk aan het product van de buitenste termen \(a \times d\) (de twee buitenste termen, \(a\) en \(d\), met elkaar vermenigvuldigd)

Een eenvoudig voorbeeld

Het oplossen van de verhoudingsvergelijking \(x : 50 = 30 : 6\) uit het voorbeeld met de vijver geeft

product van de binnenste termen \(50 \times 30\) \(=\) product van de buitenste termen \(x \times 6\)

\(50 \times 30 = x \times 6\)

\(6x = 1500\)

\(x = \dfrac{1500}{6} = 250\)

Het belangrijkste idee

De verhoudingsvergelijking \(a : b = c : d\) zegt dat “de verhouding van \(a\) tot \(b\) gelijk is aan de verhouding van \(c\) tot \(d\)”. Als breuken geschreven is het hetzelfde als \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\). Vermenigvuldig je beide kanten met \(b \times d\), dan vallen de noemers weg en krijg je \(a \times d = b \times c\): het product van de buitenste termen is gelijk aan het product van de binnenste termen. In de breukvorm is dit het bekende “kruislings vermenigvuldigen” (de kruisproducten zijn gelijk). Heeft een verhoudingsvergelijking maar één onbekend getal \(x\), dan maakt deze eigenschap er een vergelijking in \(x\) van die je kunt oplossen. Schatten uit een steekproef is een toepassing van deze eigenschap.

Het aantal in een populatie dat voldoet schatten

Staafdiagram

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(x\) \(=\) \(N\) \(\times\) \(k\) \(\div\) \(n\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

④ \(x\): aantal in de populatie dat voldoet \(=\) ① \(N\): grootte van de populatie \(\times\) ② \(k\): aantal in de steekproef dat voldoet \(\div\) ③ \(n\): steekproefgrootte

De formule in woorden

① Neem de \(N\): grootte van de populatie

② vermenigvuldig die met het \(k\): aantal in de steekproef dat voldoet

③ deel door de \(n\): grootte van de steekproef die je nam

④ en je krijgt de schatting van het \(x\): aantal in de populatie dat voldoet

Een eenvoudig voorbeeld

Neem je 100 van 3.000 producten aselect, controleer je ze en vind je er 2 defect, dan is het totale aantal defecte stuks

\(x\): totaal aantal defecte stuks \(=\) grootte van de populatie (3.000) \(\times\) defect in de steekproef (2) \(\div\) steekproefgrootte (100)

\(x = \dfrac{3000 \times 2}{100} = \dfrac{6000}{100} = 60\)

Het belangrijkste idee

Het idee is hetzelfde als bij de vangst-hervangstmethode: je gaat ervan uit dat “het aandeel dat voldoet in de populatie” en “het aandeel dat voldoet in de steekproef” ongeveer gelijk zijn. Je kunt het ook lezen als het vermenigvuldigen van de hele populatie \(N\) met \(\dfrac{k}{n}\) (het aandeel in de steekproef). Noem het aantal dat voldoet \(x\), stel de verhoudingsvergelijking \(N : x = n : k\) (totaal : voldoet) op en los die op met “het product van de binnenste termen is gelijk aan het product van de buitenste termen”. Zo komt deze formule eruit. Deze schatting werkt alleen als de steekproef zonder vertekening is gekozen, zoals namen uit een hoed trekken (een aselecte steekproef). Controleert een fabriek bijvoorbeeld alleen “de eerste 100 stuks die zijn gemaakt”, dan komt elke eigenaardigheid van de machine die dag in het resultaat terecht en klopt de schatting niet.

Beide modi berusten op hetzelfde idee: “het aandeel in de populatie en het aandeel in een aselecte steekproef zijn ongeveer gelijk”. Door alleen een verhoudingsvergelijking op te lossen (product van de binnenste termen = product van de buitenste termen) kun je het geheel schatten zonder alles te tellen. Het antwoord is maar een schatting, dus het is gebruikelijk een afgerond getal “ongeveer …” te geven. Het plannen van een onderzoek, dus hoe groot een steekproef moet zijn om de fout binnen een grens te houden, komt aan bod in de rekenmachine voor de steekproefgrootte bij de verwante pagina’s.

Symbolen en begrippen

Symbolen

\(x\)	iks	De letter voor een getal dat je nog niet weet (een onbekende). Op deze pagina heet de schatting die je wilt, zoals “het totaal in de vijver” of “het aantal in de populatie dat voldoet”, \(x\), zodat je de verhoudingsvergelijking kunt opstellen. De gewoonte om \(x\) voor een onbekende te gebruiken gaat terug op wiskundeboeken uit de 17e eeuw.
\(m\)	em	Op deze pagina “het aantal dat eerst is gevangen en gemerkt”. Zie het als m van “gemerkt”. Het wordt ook vaak als aantal gebruikt samen met \(n\).
\(n\)	en	Het aantal in de steekproef (de tweede vangst, of het aantal dat is genomen en gecontroleerd). Het komt van “number” (aantal) en is de standaardletter voor een aantal. In de statistiek wordt de steekproefgrootte gewoonlijk \(n\) geschreven.
\(k\)	ka	Het aantal in de steekproef dat voldeed (de gemerkte exemplaren, de defecte stuks, enzovoort). Samen met \(n\) en \(m\) is het een gangbare letter voor aantallen en plaatsen.
\(N\)	hoofdletter N	De grootte van de hele populatie. In de statistiek is het gebruikelijk de grotere groep met een hoofdletter te schrijven om haar te onderscheiden van de steekproefgrootte \(n\) (kleine letter).
\(a : b\)	a staat tot b	Een manier om een verhouding te schrijven. “:” is het verhoudingsteken en wordt gelezen als “staat tot”. Een vergelijking die twee verhoudingen met een gelijkteken verbindt, zoals \(a : b = c : d\), is een verhoudingsvergelijking.
\(\approx\)	is ongeveer gelijk aan	Het teken voor “bijna gelijk”. Je kunt het ook lezen als “ongeveer”. Een antwoord uit een steekproef is een schatting, dus het wordt met dit teken of het woord “ongeveer” geschreven in plaats van met een gelijkteken.

Begrippen

steekproefonderzoek	Een onderzoek dat maar een deel van de populatie (een steekproef) onderzoekt en daaruit schat hoe het geheel eruitziet. Het wordt gebruikt voor dingen die je niet helemaal kunt tellen of die kapotgaan als je ze test. Leerlingen leren het in klas 2-3 (13-15 jaar) als aselecte steekproef en het trekken van conclusies over een populatie.
volledige telling	Een onderzoek dat elk lid van de populatie controleert, zoals een volkstelling. Alles controleren is nauwkeurig, maar als het te veel tijd of geld kost, of als het testen het product vernietigt, wordt een steekproefonderzoek gebruikt.
populatie	De hele groep die je wilt onderzoeken, zoals alle vissen in een vijver, alle producten die een fabriek heeft gemaakt of alle kiezers in het land.
steekproef	Het deel van de populatie dat je neemt en echt onderzoekt.
steekproefgrootte	Het aantal stuks in de steekproef. Hoe groter de steekproefgrootte, hoe kleiner de fout van de schatting wordt.
aselecte steekproef	Een steekproef nemen zodat elk lid dezelfde kans heeft om te worden gekozen, zoals namen uit een hoed trekken. Niemand kiest met opzet. Het is de basisvoorwaarde om met schattingen uit een steekproef te kunnen werken.
vangst-hervangstmethode	Een methode waarbij je gevangen dieren merkt, ze vrijlaat, na enige tijd een tweede groep vangt en uit het aandeel dat gemerkt is het totaal schat. Ze wordt echt gebruikt om vissen en wilde dieren te tellen.
verhoudingsvergelijking	Een vergelijking die zegt dat twee verhoudingen gelijk zijn, zoals \(a : b = c : d\). Het product van de binnenste termen is gelijk aan het product van de buitenste termen, en met deze eigenschap vind je een onbekend getal.
binnenste term	In de verhoudingsvergelijking \(a : b = c : d\) de termen in het midden, \(b\) en \(c\). Het product van de binnenste termen is gelijk aan het product van de buitenste termen (kruislings vermenigvuldigen).
buitenste term	In de verhoudingsvergelijking \(a : b = c : d\) de buitenste termen, \(a\) en \(d\). Het product van de binnenste termen is gelijk aan het product van de buitenste termen.
aandeel	Hoeveel van het geheel een deel inneemt, te vinden door het deel door het geheel te delen. Steekproefonderzoeken berusten op het idee dat het aandeel in de populatie en in de steekproef gelijk is.
afgeronde waarde	Een benaderend getal, op een handige plaats afgekapt door af te ronden. Een antwoord uit een steekproef is een schatting, dus het is gebruikelijk een afgerond getal te geven, zoals “ongeveer 250”.
afronden	Om op een plaats af te ronden kijk je naar het cijfer direct rechts ervan. Is dat 4 of minder, dan rond je naar beneden af; is het 5 of meer, dan rond je naar boven af.
schatting	Beoordelen hoe het geheel eruitziet aan de hand van het deel van de informatie dat je hebt. Een antwoord dat je uit een steekproef vindt, heet in deze zin een schatting.
fout	Het verschil tussen de schatting en de werkelijke waarde. Uitkomsten uit een steekproef hebben altijd enige fout, en hoe groter de steekproefgrootte, hoe kleiner de fout wordt.

Handig om vooraf te weten

Dit is wat je helpt om de berekening op deze pagina echt te begrijpen, en niet alleen op de knop te drukken.
Loop je vast, dan is het de snelste weg vooruit om de onderwerpen in deze tabel te herhalen.

Procenten en delen (groep 7-8, 10-12 jaar)	Weten dat een aandeel aangeeft hoeveel van het geheel een deel inneemt, te vinden door het deel door het geheel te delen “20%” kunnen schrijven als een decimaal getal zoals 0,2
Verhoudingen en verhoudingsvergelijkingen (groep 6-8 en klas 1, 9-13 jaar)	De verhouding \(a : b\) begrijpen en weten dat vermenigvuldigen (of delen) van beide delen met hetzelfde getal de verhouding niet verandert In een verhoudingsvergelijking zoals \(x : 4 = 6 : 8\) de \(x\) kunnen vinden met de eigenschap van verhoudingsvergelijkingen (product van de binnenste termen = product van de buitenste termen, kruislings vermenigvuldigen)
Formules en vergelijkingen met één stap (klas 1-2, 12-14 jaar)	Een onbekend getal \(x\) kunnen noemen en uit een tekstopgave een vergelijking kunnen opstellen Een vergelijking zoals \(6x = 1200\) kunnen oplossen door beide kanten door hetzelfde getal te delen
Afronden (groep 5-6, 8-10 jaar)	Kunnen afronden op een gegeven plaats (voorbeeld: 166,6 afgerond op tientallen is 170) Een antwoord van een deling die niet opgaat kunnen schrijven als een breuk of een afgerond getal

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel voor vangst-hervangst (het totaal schatten)

Eerst gemerkt m	50
2e vangst n	30
Gemerkt in 2e vangst k	6
Geschat totaal x = m×n÷k	=B1*B2/B3
Afgerond op een geheel getal	=AFRONDEN(B4;0)

Tabel om de eigenschap van verhoudingsvergelijkingen te controleren (product van de binnenste termen = product van de buitenste termen)

Buitenste term a (totaal; het antwoord van het voorbeeld met de vijver)	250
Binnenste term b (aantal gemerkt)	50
Binnenste term c (2e vangst)	30
Buitenste term d (gemerkt in 2e vangst)	6
Product van de binnenste termen b×c	=B2*B3
Product van de buitenste termen a×d	=B1*B4

Tabel om het aantal in een populatie dat voldoet te schatten

Grootte van de populatie N	3000
Steekproefgrootte n	100
Voldoet in de steekproef k	2
Geschat aantal x = N×k÷n	=B1*B3/B2
Afgerond op een geheel getal	=AFRONDEN(B4;0)

Na het plakken zijn de bovenste rijen (de resultaten van je onderzoek) de invoer en worden de onderste rijen automatisch berekend.
De eerste tabel is het voorbeeld met de vijver (50 gemerkt, 6 gemerkt van de 30 in de tweede vangst), en het antwoord is 250. Gaat de deling niet op, dan toont B4 een decimaal getal, dus lees B5, dat via de functie AFRONDEN loopt, als het antwoord “ongeveer …”.
De tweede tabel vult het antwoord 250 in voor x in de verhoudingsvergelijking x : 50 = 30 : 6 en controleert dat het product van de binnenste termen (B5) en het product van de buitenste termen (B6) allebei 1500 zijn, dus gelijk.
De derde tabel is het voorbeeld met 3.000 producten waarvan er 2 defect zijn in een steekproef van 100, en het antwoord is 60.

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel voor vangst-hervangst (het totaal schatten)

Eerst gemerkt m	50
2e vangst n	30
Gemerkt in 2e vangst k	6
Geschat totaal x = m×n÷k	=B1*B2/B3
Afgerond op een geheel getal	=AFRONDEN(B4;0)

Tabel om de eigenschap van verhoudingsvergelijkingen te controleren (product van de binnenste termen = product van de buitenste termen)

Buitenste term a (totaal; het antwoord van het voorbeeld met de vijver)	250
Binnenste term b (aantal gemerkt)	50
Binnenste term c (2e vangst)	30
Buitenste term d (gemerkt in 2e vangst)	6
Product van de binnenste termen b×c	=B2*B3
Product van de buitenste termen a×d	=B1*B4

Tabel om het aantal in een populatie dat voldoet te schatten

Grootte van de populatie N	3000
Steekproefgrootte n	100
Voldoet in de steekproef k	2
Geschat aantal x = N×k÷n	=B1*B3/B2
Afgerond op een geheel getal	=AFRONDEN(B4;0)

Dezelfde formules als in Excel werken ongewijzigd. Kopieer de hele tabel, plak ze in cel A1 en vervang de resultaten van het onderzoek door je eigen getallen.

Berekenen met Python

from fractions import Fraction

# Vangst-hervangst: het totale aantal in de vijver schatten
marked_first = 50       # aantal dat eerst is gevangen en gemerkt, m
caught_second = 30      # aantal in de tweede vangst, n
marked_in_second = 6    # aantal gemerkt in de tweede vangst, k

estimated_total = Fraction(marked_first * caught_second, marked_in_second)
# Fraction(1, 2) erbij optellen en het breukdeel weglaten rondt 0,5 altijd naar boven af
approx_total = int(estimated_total + Fraction(1, 2))
print(f"Geschat totaal (breuk): {estimated_total}")
print(f"Geschat totaal (afgerond): ongeveer {approx_total}")

# Het aantal in een populatie dat voldoet schatten
population = 3000       # grootte van de populatie, N
sample_size = 100       # grootte van de genomen steekproef, n
sample_hits = 2         # aantal in de steekproef dat voldoet, k

estimated_count = Fraction(population * sample_hits, sample_size)
approx_count = int(estimated_count + Fraction(1, 2))
print(f"Geschat aantal (breuk): {estimated_count}")
print(f"Geschat aantal (afgerond): ongeveer {approx_count}")

Met de module fractions uit de standaardbibliotheek kun je met exacte breuken rekenen, zonder afrondingsfout, ook als de deling niet opgaat. De eerste helft is het voorbeeld met de vijver (50 gemerkt, 6 gemerkt van de 30 in de tweede vangst) en toont 250. De tweede helft is het voorbeeld met 3.000 producten waarvan er 2 defect zijn op 100, en toont 60. Vervang de resultaten van het onderzoek en voer het uit.

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

Vangst-hervangst (het totaal schatten)

x = m × n ÷ k

x = \dfrac{m \times n}{k}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>m</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>n</mi></mrow>
      <mi>k</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (m*n)/k

(m*n)/k

x := m*n/k;

x = m*n/k;

x = (m×n)/k

Eigenschap van verhoudingsvergelijkingen (product van de binnenste termen = product van de buitenste termen, de kruisproducten)

a : b = c : d ⇔ a × d = b × c

a : b = c : d \iff ad = bc

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi><mo>:</mo><mi>b</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>c</mi><mo>:</mo><mi>d</mi>
    <mo>&#x21D4;</mo>
    <mi>a</mi><mi>d</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>b</mi><mi>c</mi>
  </mrow>
</math>

a : b = c : d <=> a*d = b*c

a*d == b*c

a*d = b*c;

a*d == b*c

a : b = c : d ⇔ a×d = b×c

Het aantal in een populatie dat voldoet schatten

x = N × k ÷ n

x = \dfrac{N \times k}{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>N</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>k</mi></mrow>
      <mi>n</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (N*k)/n

(N*k)/n

x := N*k/n;

x = N*k/n;

x = (N×k)/n

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een rekenassistent (wiskunde, steekproeven). Voer de volgende berekening uit door echt Python-code uit te voeren, en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het uitvoerresultaat (geen hoofdrekenen of gokken).

Schat het totale aantal vissen in een vijver met de vangst-hervangstmethode.
Eerst zijn 50 vissen gevangen, gemerkt en teruggezet in de vijver. Later zijn 30 vissen gevangen, en 6 daarvan waren gemerkt.
Laat elk van de volgende zien:
1. De verhoudingsvergelijking met x als het totaal (x : aantal gemerkt = aantal in de 2e vangst : aantal gemerkt daarin)
2. De stappen om die op te lossen met “het product van de binnenste termen is gelijk aan het product van de buitenste termen”
3. Het geschatte totaal in de vijver (als de deling niet opgaat, geef dan zowel de breuk in de eenvoudigste vorm als het getal afgerond op een geheel getal)

Reken in Python exact met de module fractions uit de standaardbibliotheek en laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het uitvoerresultaat.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule