Kies in het menu wat je wilt weten, vul het grondtal a en de exponent k in en klik op “Berekenen”. Het antwoord wordt op twee manieren getoond, met de hand met een gegeven benadering (zoals log₁₀ 2 ≈ 0,3010) en exact uit de hele waarde.
In de standen voor het aantal cijfers en het eerste cijfer is a een geheel getal van 2 tot en met 1.000.000. In de stand voor de decimaal is a een kommagetal groter dan 0 en kleiner dan 1 (met ten hoogste 6 decimalen). De exponent k is een geheel getal van 1 tot en met 10.000.
Resultaat en grafiek
Vul links het grondtal en de exponent in en klik op “Berekenen”. Het resultaat en een getallenlijn van machten van 10 verschijnen hier.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formules en figuren
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Vul het grondtal \(a\) en de exponent \(k\) in en zie meteen hoeveel cijfers een enorme macht \(a^k\) zoals \(2^{100}\) heeft
- Je krijgt twee antwoorden: een met de hand, met een gegeven benadering zoals \(\log_{10} 2 \approx 0{,}3010\) (de methode uit de schoolboeken voor havo en vwo), en het exacte aantal cijfers door de hele waarde uit te rekenen. De stappen volgen dezelfde volgorde als een uitgewerkt antwoord
- Een andere stand zoekt het eerste cijfer (het meest linkse cijfer) uit het decimale deel van de 10-logaritme
- Bij een macht van een kommagetal kleiner dan 1, zoals \(0{,}5^{100}\), vindt het ook op welke decimaal het eerste cijfer dat niet 0 is, staat
- Een heldere uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python vind je ook op deze pagina
Deze pagina werkt met machten van gehele getallen (aantal cijfers en eerste cijfer) en machten van eindige kommagetallen kleiner dan 1 (de decimaal van het eerste cijfer dat niet 0 is).
Waarvoor is deze berekening handig?
De grootte van een encryptiesleutel in cijfers schatten (IT en beveiliging)
RSA-encryptie, die communicatie op het internet beveiligt, gebruikt sleutels die “2048 bits” heten. Een getal van 2048 bits is ongeveer \(2^{2048}\) groot, en uit \(2048 \times \log_{10} 2 \approx 616{,}5\) volgt dat het 617 decimale cijfers heeft.
De omrekening “aantal bits × 0,3010 ≈ aantal decimale cijfers” is precies de berekening op deze pagina. Met deze schatting zie je hoe onrealistisch het is om zo’n sleutel te kraken door alle mogelijkheden te proberen.
Groei van bacteriën en voedselvergiftiging voorkomen (hygiëne en voedsel)
Sommige bacteriën delen zich onder gunstige omstandigheden ongeveer elke 20 minuten. Als dat tempo 24 uur zou duren, zijn dat 72 delingen, en 1 bacterie wordt \(2^{72}\). Uit \(72 \times 0{,}3010 \approx 21{,}7\) volgt een getal van 22 cijfers (ongeveer \(4{,}7 \times 10^{21}\), 4,7 triljard).
In werkelijkheid houden gebrek aan voedsel en ruimte de groei op een gegeven moment tegen. Toch laat één vermenigvuldiging met de 10-logaritme zien dat bacteriën die je met rust laat, met vele tientallige machten toenemen. Daarom is het een vuistregel om voedsel snel in de koelkast te zetten.
Kom je met papier vouwen tot de maan? (gevoel voor exponentiële groei)
Elke keer dat je een vel papier van 0,1 mm dik vouwt, wordt de dikte twee keer zo groot. Als je het 42 keer kon vouwen, zou het \(0{,}1 \times 2^{42}\) mm \(\approx\) 440.000 km dik zijn, verder dan de afstand tot de maan (gemiddeld ongeveer 384.400 km).
In werkelijkheid kun je papier maar zo’n 7 of 8 keer vouwen, dus dit is een gedachte-experiment. Toch kun je met de eenvoudige formule \(k \times \log_{10} 2\) precies voorspellen hoe snel het aantal cijfers groeit als je blijft verdubbelen, en je kunt je intuïtie met getallen controleren.
Fraude opsporen in boekhoudgegevens (de wet van Benford)
In vanzelf verzamelde geldbedragen is het eerste cijfer ongeveer 30,1% van de tijd een 1 (gelijk aan \(\log_{10} 2\)), ongeveer 17,6% van de tijd een 2, enzovoort. Dit scheve patroon heet de wet van Benford.
Verzonnen getallen wijken vaak van dit patroon af, dus accountants en fraudeonderzoekers gebruiken het als controle. Het idee van deze pagina, “het eerste cijfer wordt bepaald door het decimale deel van de 10-logaritme”, is de basis van de wet.
De taal van machten van tien in de wetenschap (natuurkunde en sterrenkunde)
In de wetenschap schrijf je getallen die te groot of te klein zijn als machten van 10 (wetenschappelijke notatie), zoals de afstand tot de zon, ongeveer 1,496×10⁸ km, of de grootte van een waterstofatoom, ongeveer 1×10⁻¹⁰ m.
De exponent van 10 is precies het gehele deel van de 10-logaritme, een directe maat voor het aantal cijfers. Sterrenkunde en scheikunde (het getal van Avogadro is ongeveer 6×10²³) zijn geweldige plekken om te oefenen met denken in machten van tien.
Formules en figuren
10-logaritme van een macht (de exponent gaat naar voren)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(\log_{10} a^{k}\)
\(=\)
\(k\)
\(\times\)
\(\log_{10} a\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(\log_{10} a^k\): 10-logaritme van de macht
\(=\)
①
\(k\): exponent
\(\times\)
②
\(\log_{10} a\): 10-logaritme van het grondtal
De formule in woorden
①
Vermenigvuldig de
\(k\): exponent
②
met de
\(\log_{10} a\): 10-logaritme van het grondtal \(a\)
③
en je krijgt de
\(\log_{10} a^k\): 10-logaritme van de macht \(a^k\)
Een eenvoudig voorbeeld
Met \(\log_{10} 2 \approx 0{,}3010\) is de 10-logaritme van \(2^{100}\)
10-logaritme van \(2^{100}\)
\(=\)
exponent 100
\(\times\)
10-logaritme van 2 (ongeveer 0,3010)
\(\log_{10} 2^{100} = 100 \times \log_{10} 2 \approx 100 \times 0{,}3010 = 30{,}10\)
Het belangrijkste idee
Om \(2^{100}\) echt uit te rekenen heb je 99 vermenigvuldigingen nodig. Met de 10-logaritme (de logaritme met grondtal 10) weet je met één enkele vermenigvuldiging, “exponent × \(\log_{10} 2\)”, ongeveer hoe groot het getal is (ongeveer 10 tot welke macht). Logaritmen doen het herhaalde vermenigvuldigen voor je. Daar zijn ze het best in.
\(\log_{10} 2 = 0{,}30102\ldots\) gaat eindeloos door, dus met de hand gebruik je een benadering op 4 decimalen, zoals 0,3010. In schoolopgaven wordt die meestal gegeven, zoals in “gebruik \(\log_{10} 2 \approx 0{,}3010\)”.
Aantal cijfers (\(10^{n-1} \le N < 10^n\) ⇔ \(n\) cijfers)
Figuur (getallenlijn van machten van 10)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(10^{n-1}\)
\(\le\)
\(N\)
\(<\)
\(10^{n}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
②
\(10^{n-1}\): het kleinste getal van \(n\) cijfers
\(\le\)
①
\(N\): onderzocht getal
\(<\)
③
\(10^{n}\): het kleinste getal van \((n+1)\) cijfers
De formule in woorden
①
Als het gehele getal
\(N\): onderzocht getal
minstens gelijk is aan
②
\(10^{n-1}\): het kleinste getal van \(n\) cijfers (een 1 gevolgd door \(n-1\) nullen)
en kleiner is dan
③
\(10^{n}\): het kleinste getal van \((n+1)\) cijfers
, heeft \(N\) precies \(n\) cijfers
Een eenvoudig voorbeeld
Uit \(\log_{10} 2^{100} \approx 30{,}10\) volgt \(2^{100} \approx 10^{30{,}10}\), dus
het kleinste getal van 31 cijfers \(10^{30}\)
\(\le\)
onderzocht getal \(2^{100}\)
\(<\)
het kleinste getal van 32 cijfers \(10^{31}\)
\(30 \le 30{,}10 < 31\)
\(10^{30} \le 2^{100} < 10^{31}\)
Het belangrijkste idee
Getallen van 1 cijfer zijn 1 tot en met 9 (\(10^0 \le N < 10^1\)), getallen van 2 cijfers zijn 10 tot en met 99 (\(10^1 \le N < 10^2\)), enzovoort. Bij elk extra cijfer gaat de exponent van 10 met 1 omhoog. Ligt \(N\) dus tussen \(10^{n-1}\) en \(10^n\), dan heeft het \(n\) cijfers.
In de taal van 10-logaritmen: “het aantal cijfers \(n\) is het gehele deel van \(\log_{10} N\) plus 1”. Het gehele deel van \(\log_{10} 2^{100} \approx 30{,}10\) is 30, dus \(2^{100}\) heeft 31 cijfers.
Eerste cijfer (uit het decimale deel van de 10-logaritme)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(\log_{10} d\)
\(\le\)
\(f\)
\(<\)
\(\log_{10} (d+1)\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
②
\(\log_{10} d\): 10-logaritme van het eerste cijfer
\(\le\)
①
\(f\): decimale deel van \(\log_{10} a^k\)
\(<\)
③
\(\log_{10} (d+1)\): 10-logaritme van het volgende cijfer
De formule in woorden
①
Als het
\(f\): decimale deel van de 10-logaritme
minstens gelijk is aan de
②
\(\log_{10} d\): 10-logaritme van het eerste cijfer \(d\)
en kleiner is dan de
③
\(\log_{10} (d+1)\): 10-logaritme van het volgende cijfer \(d+1\)
, dan is het eerste cijfer \(d\)
Een eenvoudig voorbeeld
Het decimale deel van \(\log_{10} 2^{100} \approx 30{,}10\) is \(0{,}10\). Dat ligt tussen \(\log_{10} 1 = 0\) en \(\log_{10} 2 \approx 0{,}3010\), dus
10-logaritme van 1 (0)
\(\le\)
decimale deel 0,10
\(<\)
10-logaritme van 2 (ongeveer 0,3010)
\(0 \le 0{,}10 < 0{,}3010\)
\(1 \le 10^{0{,}10} < 2\)
Het belangrijkste idee
Splits het als \(2^{100} \approx 10^{30{,}10} = 10^{30} \times 10^{0{,}10}\). Het gehele deel, \(10^{30}\), bepaalt alleen hoeveel nullen erachter komen (waar de cijfers staan). Het verandert de cijfers zelf niet. Het eerste cijfer wordt bepaald door het decimale deel, \(10^{0{,}10}\).
Omdat \(1 \le 10^{0{,}10} < 2\), heeft \(2^{100}\) de vorm \(1{,}\ldots \times 10^{30}\), dus het eerste cijfer is 1. Om dat te bepalen vergelijk je het decimale deel met de “schaal van 10-logaritmen van 1 tot en met 9”: \(\log_{10} 1 = 0\), \(\log_{10} 2 \approx 0{,}3010\), \(\log_{10} 3 \approx 0{,}4771\), enzovoort.
Kommagetallen kleiner dan 1 (\(10^{-m} \le N < 10^{-m+1}\) ⇔ \(m\)e decimaal)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(10^{-m}\)
\(\le\)
\(N\)
\(<\)
\(10^{-m+1}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
②
\(10^{-m}\): eerste 1 op de \(m\)e decimaal
\(\le\)
①
\(N\): onderzocht getal
\(<\)
③
\(10^{-m+1}\): 10 keer dat getal
De formule in woorden
①
Als een getal kleiner dan 1, het
\(N\): onderzocht getal
, minstens gelijk is aan het
②
\(10^{-m}\): getal waarvan de eerste 1 op de \(m\)e decimaal staat (van de vorm 0,00…01)
en kleiner is dan
③
\(10^{-m+1}\): 10 keer dat getal
, dan staat het eerste cijfer van \(N\) dat niet 0 is op de \(m\)e decimaal
Een eenvoudig voorbeeld
Omdat \(\log_{10} 0{,}5^{100} \approx 100 \times (-0{,}3010) = -30{,}10\),
eerste 1 op de 31e decimaal \(10^{-31}\)
\(\le\)
onderzocht getal \(0{,}5^{100}\)
\(<\)
10 keer dat getal \(10^{-30}\)
\(-31 \le -30{,}10 < -30\)
\(10^{-31} \le 0{,}5^{100} < 10^{-30}\)
Het belangrijkste idee
Bij getallen kleiner dan 1 is de 10-logaritme negatief (\(\log_{10} 0{,}1 = -1\), \(\log_{10} 0{,}01 = -2\), enzovoort). Het idee is hetzelfde als bij het aantal cijfers: zet \(N\) tussen twee machten van 10.
Pas op met “het gehele deel van een negatief getal”. Hier is het gehele deel de entier, het dichtstbijzijnde gehele getal links op de getallenlijn, dus het gehele deel van \(-30{,}10\) is \(-31\) en niet \(-30\). Doe je dat fout, dan zit je antwoord er 1 naast. In dit voorbeeld is \(-31 \le -30{,}10 < -30\), dus het eerste cijfer van \(0{,}5^{100}\) dat niet 0 is, staat op de 31e decimaal.
Een geheel getal \(N\) heeft \(n\) cijfers als \(10^{n-1} \le N < 10^n\). Het aantal cijfers van \(a^k\) is dus gewoon het gehele deel van de 10-logaritme \(\log_{10} a^k = k \log_{10} a\) plus 1. Het decimale deel geeft het eerste cijfer, en bij een getal kleiner dan 1 vertelt hetzelfde idee op welke decimaal het eerste cijfer dat niet 0 is, staat.
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(\log_{10} N\) | 10-logaritme van N | De 10-logaritme van \(N\) (de logaritme met grondtal 10). Het getal dat aangeeft “10 tot welke macht geeft \(N\)”. log is de afkorting van “logaritme”. |
| \(N\) | N | Het getal dat je onderzoekt, bijvoorbeeld op het aantal cijfers. Het is de eerste letter van “number”. Op deze pagina is het de macht \(a^k\). |
| \(a\) | a | Het grondtal (het getal dat je vermenigvuldigt). Volgens afspraak gebruik je letters vooraan in het alfabet voor vaste getallen. |
| \(k\) | k | De exponent (hoe vaak je vermenigvuldigt). In \(2^{100}\) is dat 100. |
| \(n\) | n (kleine letter) | Het aantal cijfers. De letter n, van “aantal”, gebruik je vaak voor een aantal. |
| \(10^n\) | 10 tot de macht n | 10 \(n\) keer vermenigvuldigd: een 1 gevolgd door \(n\) nullen (\(10^3 = 1000\)). Het is het kleinste getal van \((n+1)\) cijfers. |
| \(f\) | f | Het decimale deel van de 10-logaritme, van de f van “fractie”. Het eerste cijfer hangt alleen af van deze \(f\). |
| \(d\) | d | Het eerste cijfer (het meest linkse cijfer), van de d van “digit” (cijfer). |
| \(m\) | m | De decimaal waarop het eerste cijfer dat niet 0 is, staat. Het laat zien “hoe klein” een getal kleiner dan 1 is. |
| \(\lfloor x \rfloor\) | entier van x | De entier: het grootste gehele getal dat niet groter is dan \(x\) (het gehele deel). Pas op bij negatieve getallen: \(\lfloor -30{,}10 \rfloor = -31\). |
Begrippen
| 10-logaritme | De logaritme met grondtal 10, \(\log_{10} x\). Hij geeft aan “10 tot welke macht geeft \(x\)” en hangt direct samen met het aantal cijfers in het tientallig stelsel. Je leert hem in de bovenbouw van havo en vwo (wiskunde). |
| logaritme | Het getal dat aangeeft tot welke macht je het grondtal moet verheffen om het argument te krijgen. Het is precies het omgekeerde van een macht. |
| argument | Het getal in een logaritme, de \(N\) in \(\log_{10} N\). Alleen getallen groter dan 0 kunnen. |
| grondtal | Het getal \(a\) waarop een macht \(a^k\) of een logaritme \(\log_{a} x\) is gebouwd. Op deze pagina is het het veld “Grondtal a”. De 10-logaritme heeft grondtal 10. |
| aantal cijfers | Hoeveel cijfers er staan als je een geheel getal opschrijft. 1024 heeft 4 cijfers. In wiskundetaal: “een geheel getal dat minstens \(10^{n-1}\) en kleiner dan \(10^n\) is, heeft \(n\) cijfers”. |
| eerste cijfer | Het meest linkse cijfer van een getal. Het eerste cijfer van 1024 is 1. Je kunt het vinden uit het decimale deel van de 10-logaritme. |
| macht | Hetzelfde getal meerdere keren met zichzelf vermenigvuldigen. Zoals in \(2^{3} = 2 \times 2 \times 2\) geeft de kleine exponent rechtsboven aan hoe vaak. |
| exponent | Het kleine getal rechtsboven bij een macht dat aangeeft tot welke macht je verheft. In \(2^{100}\) is de exponent 100. |
| gehele deel | Als je een getal splitst in “het grootste gehele getal dat niet groter is” (de entier) en “de rest”, is dit het gehele getal. Bij 30,10 is het 30. Let op: bij \(-30{,}10\) is het \(-31\), omdat het decimale deel altijd minstens 0 en kleiner dan 1 wordt genomen. |
| decimale deel | Als je een getal splitst in “het grootste gehele getal dat niet groter is” en “de rest”, is dit de rest. Bij 30,10 is het 0,10. Het decimale deel is altijd minstens 0 en kleiner dan 1, dus bij \(-30{,}10\) is het \(0{,}90\). |
| benadering | Een afgeronde waarde dicht bij de echte waarde die handiger is om mee te werken, zoals 0,3010 gebruiken voor \(\log_{10} 2 = 0{,}30102\ldots\). Afronden geeft een fout, en vermenigvuldigen maakt die fout groter. |
| significante cijfers | De cijfers van een meting of benadering die je kunt vertrouwen. 0,3010 is maar op 4 decimalen nauwkeurig, dus de fijne details van 10.000 keer dat getal kun je niet vertrouwen. Zo verklaar je waarom het antwoord met de hand op deze pagina kan afwijken van het exacte antwoord. |
| entier | Het grootste gehele getal dat niet groter is dan \(x\), geschreven \(\lfloor x \rfloor\) (naar beneden afronden). Bij negatieve getallen rond je dus verder van 0 af: \(\lfloor -30{,}10 \rfloor = -31\). |
Handig om vooraf te weten
Dit helpt je om de berekening op deze pagina echt te begrijpen, en niet alleen op de knop te drukken.
Kom je er niet uit, dan is het herhalen van deze onderwerpen de snelste weg vooruit.
| Machten en exponenten (groep 8 tot en met klas 2, 11-14 jaar) |
|
| Uitbreiding van exponenten (havo/vwo wiskunde, bovenbouw) |
|
| Definitie van een logaritme (havo/vwo wiskunde, bovenbouw) |
|
| Rekenregels voor logaritmen (havo/vwo wiskunde, bovenbouw) |
|
| Ongelijkheden lezen en schrijven (klas 1-3, 12-15 jaar) |
|
| Plaatswaarde en cijfers (groep 5 en hoger, 8 jaar en ouder) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel om het aantal cijfers van a^k te vinden
| Grondtal a | 2 |
| Exponent k | 100 |
| 10-logaritme k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Aantal cijfers (gehele deel + 1) | =INTEGER(B3)+1 |
Tabel om het eerste cijfer te vinden
| Grondtal a | 2 |
| Exponent k | 100 |
| 10-logaritme k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Decimale deel van de 10-logaritme | =B3-INTEGER(B3) |
| Eerste cijfer | =INTEGER(10^B4) |
Tabel om de eerste decimaal ≠ 0 van a^k te vinden (a < 1)
| Grondtal a (een kommagetal kleiner dan 1) | 0,5 |
| Exponent k | 100 |
| 10-logaritme k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Decimaal van het eerste cijfer dat niet 0 is | =-INTEGER(B3) |
Na het plakken zijn de bovenste rijen (grondtal en exponent) je invoer en tonen de onderste rijen de automatisch berekende resultaten.
LOG10 is de 10-logaritme en INTEGER geeft het grootste gehele getal dat niet groter is dan het getal (het gehele deel, de entier). INTEGER rondt ook bij negatieve getallen naar beneden af (INTEGER(-30,1) is -31), dus “=-INTEGER(B3)” in de derde tabel geeft de decimaal direct.
Met de voorbeeldgetallen toont de eerste tabel 31 (cijfers), de tweede 1 (het eerste cijfer) en de derde 31 (de 31e decimaal).
Excel rekent met ongeveer 15 cijfers nauwkeurigheid, dus bij een heel grote exponent kan het antwoord er in de buurt van een macht van 10 1 naast zitten.
LOG10 is de 10-logaritme en INTEGER geeft het grootste gehele getal dat niet groter is dan het getal (het gehele deel, de entier). INTEGER rondt ook bij negatieve getallen naar beneden af (INTEGER(-30,1) is -31), dus “=-INTEGER(B3)” in de derde tabel geeft de decimaal direct.
Met de voorbeeldgetallen toont de eerste tabel 31 (cijfers), de tweede 1 (het eerste cijfer) en de derde 31 (de 31e decimaal).
Excel rekent met ongeveer 15 cijfers nauwkeurigheid, dus bij een heel grote exponent kan het antwoord er in de buurt van een macht van 10 1 naast zitten.
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel om het aantal cijfers van a^k te vinden
| Grondtal a | 2 |
| Exponent k | 100 |
| 10-logaritme k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Aantal cijfers (gehele deel + 1) | =INTEGER(B3)+1 |
Tabel om het eerste cijfer te vinden
| Grondtal a | 2 |
| Exponent k | 100 |
| 10-logaritme k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Decimale deel van de 10-logaritme | =B3-INTEGER(B3) |
| Eerste cijfer | =INTEGER(10^B4) |
Tabel om de eerste decimaal ≠ 0 van a^k te vinden (a < 1)
| Grondtal a (een kommagetal kleiner dan 1) | 0,5 |
| Exponent k | 100 |
| 10-logaritme k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Decimaal van het eerste cijfer dat niet 0 is | =-INTEGER(B3) |
Google Spreadsheets heeft dezelfde functies LOG10 en INTEGER als Excel (met een Nederlandse taalinstelling), dus precies dezelfde formules werken.
Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang het grondtal en de exponent door je eigen getallen.
Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang het grondtal en de exponent door je eigen getallen.
Berekenen met Python
import math
a = 2 # grondtal (een geheel getal van 2 of meer)
k = 100 # exponent (de macht)
# Met de 10-logaritme (hetzelfde idee als de methode met de hand)
log_value = k * math.log10(a)
digit_count = math.floor(log_value) + 1 # gehele deel + 1 = aantal cijfers
fractional = log_value - math.floor(log_value)
leading_digit = math.floor(10 ** fractional) # eerste cijfer uit het decimale deel
print(f"10-logaritme: {log_value}")
print(f"Aantal cijfers: {digit_count}, eerste cijfer: {leading_digit}")
# Exact rekenen (gehele getallen in Python hebben geen cijferlimiet, dus je kunt de hele waarde uitrekenen)
actual = a ** k
print(f"Werkelijk aantal cijfers: {len(str(actual))}, werkelijk eerste cijfer: {str(actual)[0]}")
# Bij een kommagetal kleiner dan 1 (welke decimaal bij 0,5 tot de macht 100) is de 10-logaritme negatief
position = -math.floor(100 * math.log10(0.5))
print(f"Het eerste cijfer dat niet 0 is van 0,5 tot de macht 100 staat op de {position}e decimaal")
Werkt met alleen de module math uit de standaardbibliotheek. Het belangrijkste is dat je voor het gehele deel math.floor() gebruikt en niet int() (int() rondt af richting 0, dus bij een negatieve logaritme zit je antwoord er 1 naast). Pas a en k bovenaan aan met je eigen getallen en voer het uit.
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
10-logaritme van een macht (de exponent gaat naar voren)
log₁₀(aᵏ) = k log₁₀ a
\log_{10} a^{k} = k \log_{10} a
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>log</mi><mn>10</mn></msub>
<msup><mi>a</mi><mi>k</mi></msup>
<mo>=</mo>
<mi>k</mi>
<msub><mi>log</mi><mn>10</mn></msub>
<mi>a</mi>
</mrow>
</math>
log_10 (a^k) = k log_10 a
Log10[a^k] == k*Log10[a]
log10(a^k) = k*log10(a);
log10(a^k) == k*log10(a)
log_10(a^k) = k log_10(a)
Aantal cijfers (\(10^{n-1} \le N < 10^n\) ⇔ \(n\) cijfers)
10ⁿ⁻¹ ≤ N < 10ⁿ
10^{n-1} \le N < 10^{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mn>10</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mo>≤</mo>
<mi>N</mi>
<mo><</mo>
<msup><mn>10</mn><mi>n</mi></msup>
</mrow>
</math>
10^(n-1) <= N < 10^n
IntegerLength[a^k]
length(a^k);
floor(log10(a^k)) + 1
10^(n-1) ≤ N < 10^n
Eerste cijfer (uit het decimale deel van de 10-logaritme)
log₁₀ d ≤ f < log₁₀(d+1)
\log_{10} d \le f < \log_{10} (d+1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>log</mi><mn>10</mn></msub>
<mi>d</mi>
<mo>≤</mo>
<mi>f</mi>
<mo><</mo>
<msub><mi>log</mi><mn>10</mn></msub>
<mo>(</mo><mi>d</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
log_10 d <= f < log_10 (d+1)
First[IntegerDigits[a^k]]
trunc(10^frac(k*log10(a)));
floor(10^(mod(k*log10(a), 1)))
log_10(d) ≤ f < log_10(d+1)
Kommagetallen kleiner dan 1 (\(10^{-m} \le N < 10^{-m+1}\) ⇔ \(m\)e decimaal)
10⁻ᵐ ≤ N < 10⁻ᵐ⁺¹
10^{-m} \le N < 10^{-m+1}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mn>10</mn><mrow><mo>−</mo><mi>m</mi></mrow></msup>
<mo>≤</mo>
<mi>N</mi>
<mo><</mo>
<msup><mn>10</mn><mrow><mo>−</mo><mi>m</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
</mrow>
</math>
10^(-m) <= N < 10^(-m+1)
-Floor[Log10[a^k]]
-floor(log10(a^k));
-floor(log10(a^k))
10^(-m) ≤ N < 10^(-m+1)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een rekenassistent voor 10-logaritmen en het aantal cijfers. Voer de volgende berekeningen uit door daadwerkelijk Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geen hoofdrekenen of gokken). 1. Hoeveel cijfers heeft 2 tot de macht 100? Zoek het zowel door 1 op te tellen bij het gehele deel van k × log10(a) als door direct te tellen met len(str(2**100)), en controleer of ze overeenkomen. 2. Zoek het eerste cijfer (het meest linkse cijfer) van 2 tot de macht 100 uit het decimale deel van de 10-logaritme, en vergelijk het met de werkelijke waarde. 3. Op welke decimaal staat het eerste cijfer dat niet 0 is van 0,5 tot de macht 100? Zoek het met -floor(k × log10(a)) voor a = 0,5 en k = 100. Laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Logaritme berekenen (logaritme rekenmachine)
Berekent het grondtal, het argument of de logaritme uit de andere twee, met een heldere uitleg van de definitie en de rekenregels
Machten berekenen (a tot de macht n, exponent en grondtal)
Berekent de waarde van een macht zoals 2 tot de macht 100, met een heldere uitleg van de regels voor machten
