Poolcoördinaten omzetten naar rechthoekige coördinaten en terug (r en θ, kwadrantcorrectie met stappen en een grafiek)

Kies de richting van de omzetting en vul de getallen in. Bij “rechthoekig → pool” vul je de x- en de y-coördinaat in. Bij “pool → rechthoekig” vul je de straal r en de hoek θ in (en kies de eenheid ervan).

Omzetting

x-coördinaat

y-coördinaat

Straal r

Hoek θ

Eenheid van de hoek

Vul alleen getallen in. Kommagetallen, negatieve getallen en breuken zoals 3/4 mogen. Een lege x of y telt als 0.

Resultaat en figuur

Vul links de getallen in en klik op “Berekenen”. Hier verschijnen het resultaat en een figuur van het assenstelsel.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formules en figuren
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Zet rechthoekige coördinaten \(P(x;\ y)\) direct om naar poolcoördinaten \(P(r;\ \theta)\). De straal wordt gegeven als exacte waarde met een vereenvoudigde wortel, zoals \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), en bij bijzondere hoeken wordt de hoek exact als breuk van π gegeven
De hoek \(\theta\) wordt vooral gegeven in het bereik \(0 \le \theta < 2\pi\), met ook de waarde voor \(-\pi < \theta \le \pi\), zodat je je antwoord kunt controleren, welk bereik je schoolboek ook gebruikt
Je kunt ook de andere kant op omzetten (pool → rechthoekig). Vul de straal \(r\) en de hoek \(\theta\) in (in graden, als breuk van π, of in radialen als kommagetal), en je krijgt \(x = r\cos\theta\) en \(y = r\sin\theta\) als exacte waarden zoals \(\left(-2;\ 2\sqrt{3}\right)\)
De stappen laten één voor één zien hoe de hoek wordt bepaald uit \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\) en het kwadrant waarin het punt ligt (de kwadrantcorrectie)
Je kunt het resultaat controleren op een figuur van het assenstelsel. Lichte concentrische cirkels (een schaal voor de straal) en stralen vanuit de pool (een schaal voor de hoek) laten in één oogopslag zien waar de straal \(r\) en de hoek \(\theta\) zijn

Deze pagina gaat over poolcoördinaten in het vlak, zoals je die in de bovenbouw van het voortgezet onderwijs leert. Voor rechthoekige \(x\) en \(y\) kun je breuken en kommagetallen (rationale getallen) invullen, maar geen irrationale getallen zoals √3. Met zulke invoer komt de hoek alleen als exacte breuk van π uit als het punt op een as ligt of onder een hoek uit de 45°-familie. (Bij hoeken van 30° en 60° is tanθ irrationaal, zoals 1/√3, dus die kunnen niet uit rationale \(x\) en \(y\) komen.) In de andere richting, pool → rechthoekig, worden alle bijzondere hoeken die een veelvoud van 30° of 45° zijn exact berekend.

Waarvoor is deze berekening handig?

Luchtverkeersleiding en scheepsradar (de plaats bepalen met afstand en peiling)

Radar op luchthavens en scheepsradar meten “de afstand vanaf hier” met de tijd die een radiopuls nodig heeft om terug te kaatsen, en “de peiling” met de richting waarin de antenne wijst. Wat ze meten zijn dus vanaf het begin poolcoördinaten \(\left(r;\ \theta\right)\).
Maar het scherm van de verkeersleider en zeekaarten zijn gebouwd op horizontale en verticale coördinaten, dus binnen de apparatuur worden de gemeten afstand en peiling met \(x = r\cos\theta\) en \(y = r\sin\theta\) omgezet naar rechthoekige coördinaten. De omzetting op deze pagina verbindt een apparaat dat met afstand en richting meet met een scherm dat met horizontaal en verticaal tekent.

Afstandssensoren in zelfrijdende auto’s en robotstofzuigers

De laserafstandssensoren (lidar) op zelfrijdende auto’s en robotstofzuigers draaien rond en doen een enorm aantal metingen van de vorm “iets kaatste de straal terug op deze afstand in deze richting”. Elke meting is een paar van richting (hoek) en afstand, en dat zijn poolcoördinaten.
Om uit de verzamelde punten een kaart te maken, wordt elk punt omgezet naar rechthoekige coördinaten en daarna gecombineerd. De omgeving in kaart brengen en dan een route plannen is de basisstroom van zelfrijdend rijden, en deze omzetting van coördinaten is waar het begint.

Weerradar en kaarten met de baan van een storm

Ook weerradar draait zijn antenne rond terwijl hij radiogolven uitzendt, en ontvangt de weerkaatsing van regen en sneeuw als “richting en afstand”. De regenbeelden in weerberichten op tv zijn deze pooldata omgezet naar de horizontale en verticale coördinaten van een kaart.
De positie van een storm opgeven als “300 km ten westen van Ierland” is ook de pooldenkwijze, en de omzetting naar rechthoekige coördinaten gebeurt als het punt op een kaart wordt getekend.

Machines en attracties ontwerpen die ronddraaien

Bij dingen die om een middelpunt draaien, zoals de gondels van een reuzenrad, de tanden van een tandwiel of de bladen van een ventilator, wordt het ontwerp eenvoudiger als je denkt “de afstand tot het middelpunt ligt vast en alleen de richting verandert”. In poolcoördinaten leg je gewoon de afstand \(r\) vast en verander je de hoek \(\theta\), waardoor het plaatsen van de onderdelen heel eenvoudig is.
Maar tekeningen en cnc-machines werken met horizontale en verticale coördinaten, dus uiteindelijk wordt elke positie omgezet naar rechthoekige coördinaten voordat hij wordt doorgegeven.

Cirkelvormige opstellingen en bewegingen in computergraphics en games

Vijanden gelijkmatig rond de held plaatsen, kogels in alle richtingen afschieten, een camera rond een doel laten draaien: dit denk je het meest natuurlijk in termen van “afstand tot het midden” en “hoek”, en de hoek gelijkmatig verdelen bepaalt de opstelling.
Het scherm wordt getekend met horizontale en verticale coördinaten, dus bij elk beeld worden de posities omgezet met \(x = r\cos\theta\) en \(y = r\sin\theta\). Door deze omzetting is cirkelvormige beweging gemakkelijk te programmeren.

Formules en figuren

Van pool naar rechthoekig (twee manieren om de plaats van een punt te geven)

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(x\) \(=\) \(r\) \(\cos\theta\)

\(y\) \(=\) \(r\) \(\sin\theta\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(x\)-coördinaat \(=\) ① \(r\): straal ② cosinus van de hoek \(\theta\)

④ \(y\)-coördinaat \(=\) \(r\): straal sinus van de hoek \(\theta\)

De formule in woorden

① Neem de afstand tot de pool (de oorsprong), de straal \(r\)

② vermenigvuldig die met de cosinus van de hoek \(\theta\), \(\cos\theta\)

③ en je krijgt de \(x\)-coördinaat

④ Vermenigvuldig dezelfde straal met de sinus \(\sin\theta\) en je krijgt de \(y\)-coördinaat

Een eenvoudig voorbeeld

Als je de poolcoördinaten \(P\left(2;\ \dfrac{\pi}{3}\right)\) (afstand 2 tot de pool, richting 60° vanaf de poolas) omzet naar rechthoekige coördinaten, krijg je

\(x\)-coördinaat \(=\) straal \(2\) \(\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}\)

\(y\)-coördinaat \(=\) straal \(2\) \(\sin 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(x = 2\cos\dfrac{\pi}{3} = 2 \times \dfrac{1}{2} = 1\)

\(y = 2\sin\dfrac{\pi}{3} = 2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\)

\(P\left(2;\ \dfrac{\pi}{3}\right) \rightarrow P\left(1;\ \sqrt{3}\right)\)

Het belangrijkste idee

Dit zijn twee manieren om de plaats van hetzelfde punt te beschrijven. “Ga \(x\) naar rechts en \(y\) omhoog” zijn rechthoekige coördinaten \((x;\ y)\). “Ga de afstand \(r\) vanaf een vast punt, in de richting die \(\theta\) gedraaid is ten opzichte van een vaste richting” zijn poolcoördinaten \((r;\ \theta)\). Als je met een vriend afspreekt, is het het verschil tussen “300 meter oost en 400 meter noord van het station” en “500 meter van het station, ongeveer in noordoostelijke richting”. Het vaste punt van poolcoördinaten heet de pool en de vaste richting (de halfrechte lijn van de pool naar rechts) heet de poolas. Als je poolcoördinaten over het assenstelsel legt, komt de pool op de oorsprong en de poolas op de positieve \(x\)-as. Om te begrijpen waarom \(x = r\cos\theta\) en \(y = r\sin\theta\), denk aan de cirkel met straal 1 (de eenheidscirkel). Op de eenheidscirkel heeft het punt in de richting van de hoek \(\theta\) de horizontale plaats \(\cos\theta\) en de verticale plaats \(\sin\theta\). Is de straal \(r\), dan wordt het hele plaatje \(r\) keer vergroot, dus beide plaatsen worden met \(r\) vermenigvuldigd.

Straal \(r\) (afstand tot de pool)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

\(r\) \(=\) \(\sqrt{x^{2} + y^{2}}\)

② \(r\): straal \(=\) ① wortel uit de som van de kwadraten van \(x\) en \(y\)

De formule in woorden

① De wortel uit \(x\) in het kwadraat plus \(y\) in het kwadraat, \(\sqrt{x^2 + y^2}\),

② is de straal \(r\)

Een eenvoudig voorbeeld

De straal van het punt \(P\left(3;\ 4\right)\) is

straal \(r\) \(=\) \(\sqrt{3^2 + 4^2}\)

\(r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

Het belangrijkste idee

Dit is precies de stelling van Pythagoras uit klas 2 (13-14 jaar). Verbind de oorsprong, het punt \((x;\ 0)\) en \(P\), en je krijgt een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden \(x\) en \(y\). De afstand van de oorsprong tot \(P\) (de schuine zijde) is \(\sqrt{x^2 + y^2}\). De wortel in het antwoord schrijf je meestal vereenvoudigd, met kwadraten buiten het wortelteken, zoals \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). Deze rekenmachine toont ook de vereenvoudigde vorm. Bij poolcoördinaten neem je de straal \(r\) gelijk aan 0 of groter. Een afstand is nooit negatief, dus de \(r\) die je uit de omzetting krijgt, is nooit negatief.

Hoek \(\theta\) (uit tanθ en het kwadrant)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

\(\tan\theta\) \(=\) \(\dfrac{y}{x}\)

② tangens van de hoek \(\theta\) \(=\) ① \(y\) gedeeld door \(x\)

De formule in woorden

① De \(y\)-coördinaat gedeeld door de \(x\)-coördinaat

② is de tangens van de hoek \(\theta\), \(\tan\theta\) (dit alleen legt \(\theta\) nog niet vast, dus je beperkt het met het kwadrant waarin \(P\) ligt)

Een eenvoudig voorbeeld

De hoek van het punt \(P\left(-1;\ 1\right)\) (\(x\) is negatief en \(y\) is positief, dus het punt ligt in kwadrant II) is

tangens \(\tan\theta\) \(=\) \(\dfrac{1}{-1} = -1\)

\(\tan\theta = \dfrac{1}{-1} = -1\)

\(\theta = \dfrac{3}{4}\pi \quad \left(x < 0,\ y > 0\right)\)

Het belangrijkste idee

In het bereik \(0 \le \theta < 2\pi\) zijn er twee hoeken met \(\tan\theta = -1\): \(\dfrac{3}{4}\pi\) (135°) en \(\dfrac{7}{4}\pi\) (315°). Welke de goede is, hangt af van het kwadrant van het punt \(P\). \(P(-1;\ 1)\) heeft een negatieve \(x\) en een positieve \(y\), dus het ligt in kwadrant II (linksboven) en we kiezen \(\theta = \dfrac{3}{4}\pi\). Dit is de kwadrantcorrectie. De \(\arctan\) (inverse tangens, op veel rekenmachines tan⁻¹) op een rekenmachine of in een spreadsheet geeft alleen hoeken tussen \(-\dfrac{\pi}{2}\) en \(\dfrac{\pi}{2}\), dus voor punten in kwadrant II en III geeft hij de hoek niet direct. Je moet de hoek uit \(\arctan\) corrigeren, bijvoorbeeld door afhankelijk van het kwadrant \(\pi\) op te tellen. (Deze rekenmachine laat die correctie in de stappen zien.) Bij een punt met \(x = 0\) (op de \(y\)-as) kun je \(\dfrac{y}{x}\) niet berekenen. Bepaal dan aan de figuur dat \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\) of \(\dfrac{3}{2}\pi\). Wil je een methode die voor elk punt werkt, kies dan de \(\theta\) die zowel aan \(\cos\theta = \dfrac{x}{r}\) als aan \(\sin\theta = \dfrac{y}{r}\) voldoet. Dan hoef je niet in kwadrantgevallen te splitsen.

Eenzelfde punt heeft meer dan één stel poolcoördinaten

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(P\left(r;\ \theta\right)\) \(=\) \(P\left(r;\ \theta + 2n\pi\right)\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

① punt \(P\) met poolcoördinaten \(\left(r;\ \theta\right)\) \(=\) ② punt met \(n\) hele omwentelingen \(2\pi\) bij de hoek opgeteld

De formule in woorden

① Het punt \(P\) met poolcoördinaten \(\left(r;\ \theta\right)\)

② en het punt met \(n\) hele omwentelingen \(2\pi\) bij de hoek opgeteld zijn hetzelfde punt (\(n\) is een geheel getal)

Een eenvoudig voorbeeld

Andere poolcoördinaten voor hetzelfde punt als \(P\left(2;\ \dfrac{\pi}{3}\right)\) zijn

\(P\left(2;\ \dfrac{\pi}{3}\right)\) \(=\) \(P\left(2;\ \dfrac{7}{3}\pi\right)\) \(=\) \(P\left(2;\ -\dfrac{5}{3}\pi\right)\)

\(\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{6}{3}\pi = \dfrac{7}{3}\pi\)

\(\dfrac{\pi}{3} - 2\pi = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{6}{3}\pi = -\dfrac{5}{3}\pi\)

Het belangrijkste idee

Bij rechthoekige coördinaten heeft elk punt precies één paar \((x;\ y)\), maar bij poolcoördinaten is dat anders. Na één hele omwenteling (\(2\pi\) = 360°) kijk je weer dezelfde kant op, dus als je \(2\pi\) een willekeurig aantal keren bij de hoek optelt of ervan aftrekt, krijg je hetzelfde punt. Omdat het antwoord zo niet vastligt, spreek je bij een antwoord een bereik af. De twee gangbare zijn \(0 \le \theta < 2\pi\) (0° of meer en minder dan 360°) en \(-\pi < \theta \le \pi\) (meer dan −180° en ten hoogste 180°), en schoolboeken verschillen in welk bereik ze gebruiken. Deze rekenmachine toont beide antwoorden. De pool (de oorsprong) is speciaal. De afstand is 0, dus \(r = 0\), maar er is geen richting, dus de hoek ligt niet vast. De poolcoördinaten van de pool schrijf je als \(\left(0;\ \theta\right)\) (\(\theta\) is een willekeurige waarde), meestal \(\left(0;\ 0\right)\).

Een punt in het vlak kun je schrijven in rechthoekige coördinaten \(\left(x;\ y\right)\) (horizontale en verticale plaats) of in poolcoördinaten \(\left(r;\ \theta\right)\) (afstand tot de pool en richting vanaf de poolas). Van pool naar rechthoekig gebruik je \(x = r\cos\theta\) en \(y = r\sin\theta\). Andersom gebruik je \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) en \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\), plus de kwadrantcorrectie die de hoek kiest op grond van het kwadrant van het punt. Een hoek die met hele omwentelingen is verschoven geeft hetzelfde punt, dus antwoorden worden gegeven in een vast bereik zoals \(0 \le \theta < 2\pi\).

Symbolen en begrippen

Symbolen

\(P\)	pee	Een letter die vaak voor een punt in het vlak wordt gebruikt, van de eerste letter van “punt”. De coördinaten van het punt staan tussen haakjes erachter, zoals in \(P\left(1;\ 2\right)\).
\(O\)	oo	De letter voor de oorsprong (de pool), van de eerste letter van “oorsprong”. Bij poolcoördinaten worden afstanden vanaf dit punt gemeten.
\(x,\ y\)	iks, ypsilon	De horizontale (in de richting van de \(x\)-as) en verticale (in de richting van de \(y\)-as) plaats in rechthoekige coördinaten. Beide kunnen negatief zijn.
\(r\)	er	De letter voor de straal (de afstand van de pool tot het punt), van het woord “radius”. Bij poolcoördinaten is het een reëel getal van 0 of groter.
\(\theta\)	theta	De Griekse letter die voor de hoek wordt gebruikt. In de wiskunde is het de gebruikelijke letter voor een hoek.
\(\left(r,\ \theta\right)\)	er, theta	Zo schrijf je poolcoördinaten: eerst de afstand (straal), dan de richting (hoek). Het ziet er precies zo uit als rechthoekig \(\left(x;\ y\right)\), dus zeg altijd welke coördinaten je gebruikt.
\(\cos\theta,\ \sin\theta\)	cosinus theta, sinus theta	Goniometrische verhoudingen (goniometrische functies). Op de cirkel met straal 1 (de eenheidscirkel) heeft het punt in de richting van de hoek \(\theta\) de horizontale plaats \(\cos\theta\) en de verticale plaats \(\sin\theta\). Ze zijn de sleutel om pool om te zetten naar rechthoekig.
\(\tan\theta\)	tangens theta	Een van de goniometrische verhoudingen, gedefinieerd als \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\). In het assenstelsel is \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\) (de helling van de lijn door de oorsprong en het punt), en dat is de aanwijzing om de hoek te vinden.
\(\arctan\)	arctangens	De inverse van de tangens (ook geschreven als \(\tan^{-1}\)). Hij geeft de hoek \(\theta\) met \(\tan\theta = k\). De hoeken die hij geeft zijn beperkt tot tussen \(-\dfrac{\pi}{2}\) en \(\dfrac{\pi}{2}\), dus voor hoeken in kwadrant II en III is een kwadrantcorrectie nodig.
\(\pi\)	pi	De verhouding tussen de omtrek van een cirkel en zijn middellijn (ongeveer 3,14159). In radialen is een halve draai, \(180^{\circ}\), precies \(\pi\).
\(n\)	en	Een letter die vaak voor een geheel getal wordt gebruikt. Op deze pagina is het hoeveel hele omwentelingen de hoek is verschoven, inclusief negatieve gehele getallen (de andere kant op draaien) en 0 (niet draaien).

Begrippen

rechthoekige coördinaten	Een manier om de plaats van een punt te geven als paar \(\left(x;\ y\right)\): hoever naar opzij en hoever omhoog. Dit zijn de gewone coördinaten die je al vanaf klas 1 gebruikt; ze heten ook cartesische coördinaten.
poolcoördinaten	Een manier om de plaats van een punt te geven als paar \(\left(r;\ \theta\right)\): de afstand \(r\) vanaf een vast punt en de hoek \(\theta\) ten opzichte van een vaste richting. Je leert ze in de bovenbouw van het voortgezet onderwijs.
pool	Het vaste punt waarvandaan je bij poolcoördinaten afstanden meet. In het assenstelsel ligt het op de oorsprong \(O\).
poolas	De vaste halfrechte lijn waarvandaan je bij poolcoördinaten hoeken meet. Hij begint in de pool en ligt in het assenstelsel langs de positieve \(x\)-as.
straal	De afstand \(r\) van de pool tot het punt \(P\) (ook wel de radiale coördinaat). Strikt genomen wordt ook het lijnstuk (of de halfrechte lijn) tussen de pool en \(P\) bedoeld, met lengte \(r\). Hij is 0 of groter.
hoek θ	De hoek \(\theta\) van de richting van de pool naar het punt \(P\), tegen de klok in gemeten vanaf de poolas (ook wel het argument). Een hele omwenteling (\(2\pi\)) erbij geeft dezelfde richting, dus antwoorden worden meestal gegeven in een bereik zoals \(0 \le \theta < 2\pi\) of \(-\pi < \theta \le \pi\).
kwadrant	Een van de vier gebieden waarin de twee assen het vlak verdelen. Rechtsboven is kwadrant I en daarna, tegen de klok in geteld, volgen kwadrant II, III en IV. Weten in welk kwadrant een punt ligt, is de aanwijzing om de hoek vast te leggen.
kwadrantcorrectie	Binnen één hele omwenteling zijn er twee hoeken die voldoen aan \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\), dus je kiest degene die past bij het kwadrant van het punt (bijvoorbeeld door \(\pi\) op te tellen bij de scherpe hoek uit \(\arctan\)). Die aanpassing is de kwadrantcorrectie.
eenheidscirkel	De cirkel met straal 1 en het middelpunt in de oorsprong. Het punt erop in de richting van de hoek \(\theta\) is \(\left(\cos\theta;\ \sin\theta\right)\), en dat is de basis van de omrekenformules voor poolcoördinaten.
radiaal	Een hoek meten met de lengte van de boog op een cirkel met straal 1. \(180^{\circ} = \pi\) radialen. Vanaf de goniometrische functies in de bovenbouw zijn radialen de standaardeenheid in plaats van graden.
bijzondere hoeken	\(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\), \(60^{\circ}\) en de hoeken die daarmee samenhangen (deze plus veelvouden van \(90^{\circ}\)). Hun goniometrische verhoudingen kun je exact schrijven, zoals \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) en \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), en de meeste opgaven in schoolboeken en toetsen gebruiken ze.
poolvergelijking	Een vergelijking van een kromme geschreven als verband tussen \(r\) en \(\theta\). Bijvoorbeeld \(r = 2\) is de cirkel met straal 2 en het middelpunt in de oorsprong, en \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\) is de halfrechte lijn vanuit de oorsprong met helling 1. Figuren die door de afstand tot een middelpunt worden bepaald, zoals cirkels en spiralen, hebben veel eenvoudiger vergelijkingen dan in rechthoekige coördinaten.

Handig om vooraf te weten

Dit helpt je om de berekening op deze pagina echt te begrijpen, en niet alleen op de knop te drukken.
Als je vastloopt, is het herhalen van deze onderwerpen de snelste weg vooruit.

Het assenstelsel (klas 1-2, 12-14 jaar)	Kunnen aangeven waar een punt ligt met een paar \(\left(x;\ y\right)\) Weten waar kwadrant I tot en met IV liggen en wat het teken van \(x\) en \(y\) in elk kwadrant is
Wortels en rekenen met wortels (klas 2-3, 13-15 jaar)	Weten dat \(\sqrt{2}\) het positieve getal is waarvan het kwadraat 2 is Een wortel kunnen vereenvoudigen door kwadraten buiten het wortelteken te halen, zoals in \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
De stelling van Pythagoras (klas 2, 13-14 jaar)	Weten dat de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden \(a\) en \(b\) gelijk is aan \(\sqrt{a^2 + b^2}\) Weten dat je de afstand van de oorsprong tot een punt in het assenstelsel kunt vinden met de stelling van Pythagoras
Goniometrische verhoudingen en de eenheidscirkel (klas 3-4, 14-16 jaar)	Weten dat \(\sin\), \(\cos\) en \(\tan\) de verticale plaats, de horizontale plaats en de helling van een punt op de eenheidscirkel zijn De goniometrische waarden van \(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\) en \(60^{\circ}\) kennen (\(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)) Goniometrische verhoudingen van hoeken boven \(90^{\circ}\) kunnen vinden met de eenheidscirkel (bijvoorbeeld \(\cos 135^{\circ} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\))
Radialen (bovenbouw havo en vwo, 15-18 jaar)	Kunnen omrekenen tussen graden en radialen met \(180^{\circ} = \pi\) radialen (bijvoorbeeld \(60^{\circ} = \dfrac{\pi}{3}\))
Poolcoördinaten (bovenbouw vwo, 16-18 jaar)	Weten wat de pool, de poolas, de straal en de hoek betekenen Weten dat hetzelfde punt meer dan één stel poolcoördinaten heeft (de hoek met \(2\pi\) verschuiven geeft hetzelfde punt)

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel voor rechthoekig → pool

x-coördinaat	3
y-coördinaat	4
Straal r	=WORTEL(B1^2+B2^2)
Hoek θ (radialen, 0 ≤ θ < 2π)	=REST(BOOGTAN2(B1;B2);2*PI())
Hoek θ (graden)	=GRADEN(REST(BOOGTAN2(B1;B2);2*PI()))

Tabel voor pool → rechthoekig

Straal r	2
Hoek θ (graden)	60
x-coördinaat = r cosθ	=B1*COS(RADIALEN(B2))
y-coördinaat = r sinθ	=B1*SIN(RADIALEN(B2))

Tabel voor een andere hoek van hetzelfde punt

Hoek θ (graden)	60
Aantal omwentelingen n (geheel getal, mag negatief zijn)	1
Verschoven hoek (graden)	=B1+360*B2

Na het plakken zijn de bovenste rijen je invoer en worden de onderste rijen automatisch berekend.
In de eerste tabel geeft BOOGTAN2(x-coördinaat; y-coördinaat) de hoek met de kwadrantcorrectie al gedaan (meer dan −π en ten hoogste π). Met REST en 2π maak je er een hoek van die loopt van 0 tot (maar niet tot en met) 2π. Voor het voorbeeldpunt (3; 4) is r = 5 en θ ≈ 0,9273 (ongeveer 53,13 graden).
In de tweede tabel zet RADIALEN graden om in radialen. Voor het voorbeeld r = 2 en θ = 60 graden is x = 1 en y ≈ 1,7320508 (= √3). Excel geeft kommagetallen, dus gebruik de rekenmachine op deze pagina als je exacte waarden zoals √3 of breuken van π wilt.
De derde tabel maakt andere poolcoördinaten voor hetzelfde punt. Tel je één hele omwenteling, 360 graden, bij de 60 graden uit het voorbeeld op, dan krijg je 420 graden. Met n = −1 krijg je −300 graden, en dit zijn allemaal hetzelfde punt.

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel voor rechthoekig → pool

x-coördinaat	3
y-coördinaat	4
Straal r	=WORTEL(B1^2+B2^2)
Hoek θ (radialen, 0 ≤ θ < 2π)	=REST(BOOGTAN2(B1;B2);2*PI())
Hoek θ (graden)	=GRADEN(REST(BOOGTAN2(B1;B2);2*PI()))

Tabel voor pool → rechthoekig

Straal r	2
Hoek θ (graden)	60
x-coördinaat = r cosθ	=B1*COS(RADIALEN(B2))
y-coördinaat = r sinθ	=B1*SIN(RADIALEN(B2))

Tabel voor een andere hoek van hetzelfde punt

Hoek θ (graden)	60
Aantal omwentelingen n (geheel getal, mag negatief zijn)	1
Verschoven hoek (graden)	=B1+360*B2

Dezelfde formules als in Excel werken zonder aanpassing (BOOGTAN2 heeft de argumenten in dezelfde volgorde, “x-coördinaat; y-coördinaat”). Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de getallen door je eigen getallen.

Berekenen met Python

import math

# Rechthoekig → pool
x_coordinate = 3
y_coordinate = 4
radius = math.sqrt(x_coordinate ** 2 + y_coordinate ** 2)
argument = math.atan2(y_coordinate, x_coordinate)   # inclusief de kwadrantcorrectie (−π < θ ≤ π)
if argument < 0:
    argument += 2 * math.pi                         # naar het bereik 0 ≤ θ < 2π brengen
print(f"Straal r = {radius}")
print(f"Hoek θ = {argument} rad ({math.degrees(argument)} graden)")

# Pool → rechthoekig
r = 2
theta_degree = 60
theta = math.radians(theta_degree)
print(f"x-coördinaat = {r * math.cos(theta)}")
print(f"y-coördinaat = {r * math.sin(theta)}")

math.atan2(y, x) geeft de hoek terug met de kwadrantcorrectie al gedaan, dus anders dan arctan geeft het ook voor punten in kwadrant II en III de goede richting. De argumenten staan in de volgorde “y, x”, het omgekeerde van hoe je coördinaten schrijft, en dat is een makkelijke plek om te verslappen. De eerste helft van dit voorbeeld zet het punt (3; 4) om; als je het uitvoert, zie je r = 5 en θ ≈ 0,9273 rad (ongeveer 53,13 graden). De tweede helft is de omgekeerde omzetting met r = 2 en θ = 60°, met als uitkomst x ≈ 1,0000000000000002 en y ≈ 1,7320508075688772 (= √3). x is niet precies 1 door afrondingsfouten bij kommagetallen (floating-point); voor exacte waarden moet je met symbolen rekenen, zoals de rekenmachine op deze pagina doet. Let op dat Python het decimaalteken als punt schrijft. Met de module cmath uit de standaardbibliotheek geeft cmath.polar(complex(3, 4)) ook de straal en de hoek (−π < θ ≤ π) in één stap.

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

Van pool naar rechthoekig (twee manieren om de plaats van een punt te geven)

x = r cosθ, y = r sinθ

x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mtable columnalign="left">
    <mtr><mtd>
      <mi>x</mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mi>cos</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    </mtd></mtr>
    <mtr><mtd>
      <mi>y</mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mi>sin</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    </mtd></mtr>
  </mtable>
</math>

x = r cos theta, y = r sin theta

{x, y} = {r Cos[theta], r Sin[theta]}

x := r*cos(theta); y := r*sin(theta);

[x, y] = pol2cart(theta, r);

x = r cos θ, y = r sin θ

Straal \(r\) (afstand tot de pool)

r = √(x² + y²)

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

r = sqrt(x^2 + y^2)

r = Sqrt[x^2 + y^2]

r := sqrt(x^2 + y^2);

r = hypot(x, y);

r = √(x^2 + y^2)

Hoek \(\theta\) (uit tanθ en het kwadrant)

tanθ = y/x

\tan\theta = \dfrac{y}{x}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>tan</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>y</mi><mi>x</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

tan theta = y/x

theta = ArcTan[x, y]

theta := arctan(y, x);

theta = atan2(y, x);

tan θ = y/x

Eenzelfde punt heeft meer dan één stel poolcoördinaten

(r, θ) = (r, θ + 2nπ)

\left(r,\ \theta\right) = \left(r,\ \theta + 2n\pi\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>(</mo><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>&#x3B8;</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo><mi>r</mi><mo>,</mo>
    <mi>&#x3B8;</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>n</mi><mi>&#x3C0;</mi>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

(r, theta) = (r, theta + 2 n pi)

theta + 2 n Pi

theta + 2*n*Pi;

theta2 = theta + 2*n*pi;

(r, θ) = (r, θ + 2nπ)

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een rekenassistent voor poolcoördinaten in het vlak. Voer de volgende berekening uit door echt Python-code te draaien en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef geen antwoord door hoofdrekenen of gokken).

1. Zet het punt (3; 4) in rechthoekige coördinaten om naar poolcoördinaten (r; θ). Laat de straal r en de hoek θ zien (in het bereik 0 ≤ θ < 2π, zowel in radialen als in graden).
2. Zet het punt (2; 60°) in poolcoördinaten om naar rechthoekige coördinaten (x; y). Laat x en y zien als kommagetallen en, als het kan, als exacte waarden met √.

Gebruik in Python math.atan2 en math.sqrt, en laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule