Stelling van Pythagoras (schuine zijde en rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek berekenen)

Vul van de drie zijden a, b en c van een rechthoekige driehoek (c is de schuine zijde) alleen de twee in die je kent. De stelling van Pythagoras geeft de ontbrekende zijde en ook de twee scherpe hoeken, de oppervlakte, de omtrek en de hoogte op de schuine zijde worden getoond.

Rechthoekszijde a

Rechthoekszijde b

Schuine zijde c

Vul maar twee zijden in (laat de ontbrekende leeg). Lengtes zijn getallen groter dan 0 (decimalen mogen), allemaal in dezelfde eenheid (bijvoorbeeld allemaal in cm).

Resultaat en figuur

Vul links de lengtes van de twee zijden in die je kent en klik op “Berekenen”. Het resultaat verschijnt hier.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formules en figuren
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Vul twee van de drie zijden van een rechthoekige driehoek in en de stelling van Pythagoras \(a^2 + b^2 = c^2\) geeft meteen de derde zijde
Vragen als “ik weet alleen dat het 3 m de ene kant op is en 4 m de andere kant. Hoe lang is de diagonaal?” beantwoord je in één stap
Naast de ontbrekende zijde berekent het ook de twee scherpe hoeken, de oppervlakte, de omtrek en de hoogte op de schuine zijde, met de uitwerking erbij
Een heldere uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python staan ook op deze pagina

Dit werkt alleen voor rechthoekige driehoeken (driehoeken met een hoek van precies 90°). De schuine zijde c is de langste zijde, tegenover de rechte hoek. Voor de zijden van een driehoek zonder rechte hoek kun je het niet gebruiken.

Waarvoor is deze berekening handig?

Inschatten hoe hoog een ladder reikt (klussen en bouw)

Zet je een ladder van 5 meter met de voet 1,5 meter van de muur tegen de muur, dan reikt hij \(\sqrt{5^2 - 1{,}5^2} = \sqrt{22{,}75} \approx 4{,}77\) meter hoog (ongeveer 4,8 m).
Een ladder zet je met de voet van de muur af, zodat hij niet omvalt (een gebruikelijke veiligheidsregel is “1 op 4”: 1 meter van de muur per 4 meter hoogte), dus hij reikt nooit zo hoog als zijn volle lengte. Het reikvermogen zo inschatten voor je aan de slag gaat, is een basisgewoonte in de bouw en bij elektrotechnisch werk.

Een hoek haaks uitzetten met 3-4-5 (timmerwerk en fundering)

Meet 3 meter langs de ene kant en 4 meter langs de andere kant. Is de afstand tussen die twee punten precies 5 meter, dan is de hoek haaks (omdat \(3^2 + 4^2 = 5^2\), zegt de omgekeerde van de stelling van Pythagoras dat het een rechte hoek is). Bij grotere afmetingen gebruiken timmerlieden 6-8-10 of 9-12-15.
Deze “3-4-5-methode” wordt al duizenden jaren gebruikt, van de touwspanners in het oude Egypte tot de funderingen en vloeren van nu. Het is de meest praktische dagelijkse toepassing van de stelling van Pythagoras.

De afstand hemelsbreed op een kaart (en in programmeren)

Een plek die 300 meter ten oosten en 400 meter ten noorden van je ligt, is \(\sqrt{300^2 + 400^2} = 500\) meter hemelsbreed bij je vandaan.
De afstand tussen twee punten vinden uit het verschil oost-west en het verschil noord-zuid (de afstandsformule) is de stelling van Pythagoras zelf. Ze draait in bijna elk programma dat met locaties werkt, zoals gps-navigatie, kaartapps en games.

De schuine lengte van trappen en hellingbanen bepalen (ontwerp en verbouwing)

Een trap die 3,6 meter horizontaal loopt en 2,7 meter stijgt, heeft een schuine lengte van \(\sqrt{3{,}6^2 + 2{,}7^2} = \sqrt{20{,}25} = 4{,}5\) meter.
De lengte van elk schuin onderdeel, zoals een trapleuning of een plank voor een hellingbaan, vind je uit de horizontale en verticale maten op de tekening met de stelling van Pythagoras. Je kunt het meteen gebruiken om materiaal in te schatten voordat je naar de bouwmarkt gaat.

Formules en figuren

De stelling van Pythagoras (hoe de drie zijden samenhangen)

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(a^2\) \(+\) \(b^2\) \(=\) \(c^2\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

① \(a^2\): rechthoekszijde \(a\) in het kwadraat \(+\) ② \(b^2\): rechthoekszijde \(b\) in het kwadraat \(=\) ③ \(c^2\): schuine zijde \(c\) in het kwadraat

De formule in woorden

① Tel \(a^2\): rechthoekszijde \(a\) in het kwadraat

② en \(b^2\): rechthoekszijde \(b\) in het kwadraat bij elkaar op

③ en de som is precies gelijk aan \(c^2\): schuine zijde \(c\) in het kwadraat

Een eenvoudig voorbeeld

Gecontroleerd met een rechthoekige driehoek met zijden 3, 4 en 5

rechthoekszijde a in het kwadraat (3² = 9) \(+\) rechthoekszijde b in het kwadraat (4² = 16) \(=\) schuine zijde c in het kwadraat (5² = 25)

\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\)

Het belangrijkste idee

De schuine zijde \(c\) ligt tegenover de rechte hoek en is de langste zijde van een rechthoekige driehoek. Dit verband geldt alleen voor rechthoekige driehoeken. Het werkt ook andersom: elke driehoek waarvan de drie zijden aan deze vergelijking voldoen, is altijd een rechthoekige driehoek (de omgekeerde van de stelling van Pythagoras). Dit gebruiken bouwers om te controleren of een hoek haaks is.

Formule voor de schuine zijde \(c\)

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(c\) \(=\) \(\sqrt{a^2 + b^2}\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

② \(c\): schuine zijde \(=\) ① wortel uit de som van de kwadraten \(a^2 + b^2\)

De formule in woorden

① Bereken de wortel uit de som van de kwadraten \(a^2 + b^2\) (kwadrateer elke rechthoekszijde, tel ze op en neem dan de wortel)

② en je krijgt de \(c\): schuine zijde

Een eenvoudig voorbeeld

Als de twee rechthoekszijden 3 en 4 zijn, is de schuine zijde

\(c\): schuine zijde \(=\) wortel uit de som van de kwadraten (3² + 4² = 25)

\(c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

Het belangrijkste idee

Dit is \(a^2 + b^2 = c^2\), opgelost naar \(c\). Een veelgemaakte fout is \(\sqrt{a^2} + \sqrt{b^2}\) schrijven (dat is gewoon \(a + b\)). Reken eerst alles onder het wortelteken uit en neem pas aan het eind één keer de wortel. Het juiste antwoord is \(\sqrt{9 + 16} = 5\), niet \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7\).

Formule voor een ontbrekende rechthoekszijde

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(b\) \(=\) \(\sqrt{c^2 - a^2}\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

② \(b\): ontbrekende rechthoekszijde \(=\) ① wortel uit het verschil van de kwadraten \(c^2 - a^2\)

De formule in woorden

① Bereken de wortel uit het verschil van de kwadraten \(c^2 - a^2\) (trek het kwadraat van de bekende rechthoekszijde af van het kwadraat van de schuine zijde en neem dan de wortel)

② en je krijgt de \(b\): ontbrekende rechthoekszijde

Een eenvoudig voorbeeld

Als de schuine zijde 13 is en de ene rechthoekszijde 5, is de andere rechthoekszijde

\(b\): ontbrekende rechthoekszijde \(=\) wortel uit het verschil van de kwadraten (13² − 5² = 144)

\(b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\)

Het belangrijkste idee

Let op de volgorde van de aftrekking. Trek altijd het kwadraat van de bekende rechthoekszijde af van het kwadraat van de schuine zijde, de langste zijde. Zoek je rechthoekszijde \(a\), gebruik dan dezelfde vorm: \(a = \sqrt{c^2 - b^2}\). Is de uitkomst van de aftrekking 0 of kleiner, dan is de zijde die je de schuine zijde noemde dat niet (de schuine zijde is altijd langer dan elke rechthoekszijde).

Hoogte op de schuine zijde

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(h\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(b\) \(\div\) \(c\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

④ \(h\): hoogte op de schuine zijde \(=\) ① \(a\): rechthoekszijde \(\times\) ② \(b\): rechthoekszijde \(\div\) ③ \(c\): schuine zijde

De formule in woorden

① Vermenigvuldig \(a\): rechthoekszijde

② met \(b\): rechthoekszijde

③ deel door de \(c\): schuine zijde

④ en je krijgt de \(h\): hoogte op de schuine zijde

Een eenvoudig voorbeeld

In een rechthoekige driehoek met zijden 3, 4 en 5 is de hoogte, gemeten met de schuine zijde (de zijde van lengte 5) als basis,

hoogte \(h\) \(=\) rechthoekszijde a (3) \(\times\) rechthoekszijde b (4) \(\div\) schuine zijde c (5)

\(h = 3 \times 4 \div 5 = 12 \div 5 = 2{,}4\)

Het belangrijkste idee

Deze formule komt voort uit het op twee manieren opschrijven van de oppervlakte. Met de twee rechthoekszijden is de oppervlakte van een rechthoekige driehoek \(a \times b \div 2\). Met de schuine zijde als basis is die \(c \times h \div 2\). De oppervlakte is hetzelfde, dus \(a \times b = c \times h\). Los dit op naar \(h\) en je krijgt \(h = a \times b \div c\).

De stelling van Pythagoras zegt dat de som van de kwadraten van de twee rechthoekszijden gelijk is aan het kwadraat van de schuine zijde, en dat geldt alleen voor rechthoekige driehoeken. Ken je twee zijden, dan vind je de derde in twee stappen - kwadrateren en optellen (voor de schuine zijde) of kwadrateren en aftrekken (voor een rechthoekszijde), en dan de wortel nemen.

Symbolen en begrippen

Symbolen

\(a\), \(b\)	a, b	De lengtes van de twee rechthoekszijden, de zijden die de rechte hoek vormen. Het maakt niet uit welke je a noemt; de uitkomst is hetzelfde.
\(c\)	c	De lengte van de schuine zijde, de langste zijde van een rechthoekige driehoek, tegenover de rechte hoek.
\(a^2\)	a in het kwadraat	Een getal met zichzelf vermenigvuldigd (\(a^2 = a \times a\)). Het kleine 2 rechtsboven is een exponent die zegt: “neem het twee keer als factor”. (Voorbeeld: \(3^2 = 3 \times 3 = 9\))
\(\sqrt{\phantom{x}}\)	wortel (wortelteken)	Het teken voor een wortel. \(\sqrt{25}\) is het positieve getal waarvan het kwadraat 25 is, en dat is 5. Het kan ook een getal zijn dat als decimaal getal nooit ophoudt, zoals \(\sqrt{2}\) (ongeveer 1,414).
\(\alpha\), \(\beta\)	alfa, bèta	Griekse letters die vaak voor hoeken worden gebruikt. Op deze pagina is \(\alpha\) de hoek tegenover rechthoekszijde a en \(\beta\) de hoek tegenover rechthoekszijde b, en \(\alpha + \beta = 90°\).
\(\arcsin\)	arcsinus	De inverse van de sinus \(\sin\) (overstaande zijde ÷ schuine zijde). Het rekent terug van de verhouding naar de hoek. Deze rekenmachine vindt de hoeken ermee. Op een wetenschappelijke rekenmachine is het de toets sin⁻¹.
\(h\)	h	De hoogte op de schuine zijde - de hoogte van het hoekpunt van de rechte hoek tot de schuine zijde, met de schuine zijde als basis. De letter is de eerste letter van het Engelse “height” (hoogte).

Begrippen

stelling van Pythagoras	De stelling dat de drie zijden van een rechthoekige driehoek voldoen aan \(a^2 + b^2 = c^2\) (c is de schuine zijde). Ze is genoemd naar de oud-Griekse wiskundige Pythagoras (rond de 6e eeuw voor Christus). Je leert haar in de onderbouw van de middelbare school.
rechthoekszijde	Een van de twee zijden van een rechthoekige driehoek die de rechte hoek vormen. De twee rechthoekszijden heten meestal a en b en zijn altijd korter dan de schuine zijde.
rechthoekige driehoek	Een driehoek waarvan een van de drie hoeken precies 90° is (een rechte hoek). De stelling van Pythagoras werkt alleen voor deze vorm.
schuine zijde	De zijde van een rechthoekige driehoek tegenover de rechte hoek. Het is de langste van de drie zijden en in de stelling van Pythagoras staat het kwadraat ervan altijd alleen aan een kant van de vergelijking.
wortel	Een getal dat in het kwadraat het oorspronkelijke getal geeft (de vierkantswortel). De positieve wortel van 25 is 5 en de wortel van 2 is \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\). Wortels leer je in de onderbouw van de middelbare school.
pythagorees drietal	Een drietal hele getallen dat voldoet aan de stelling van Pythagoras. (3, 4, 5), (5, 12, 13) en (8, 15, 17) zijn bekend. Ze komen vaak voor in oefenopgaven en als bouwers haakse hoeken uitzetten.
omgekeerde van de stelling van Pythagoras	De stelling dat een driehoek waarvan de drie zijden voldoen aan \(a^2 + b^2 = c^2\) een rechthoekige driehoek is. Door alleen de zijden te meten kun je nagaan of een hoek recht is, dus ze wordt echt gebruikt op bouwplaatsen.

Handig om vooraf te weten

Dit helpt je om de berekening op deze pagina te gebruiken met begrip van wat je doet, en niet alleen door op de knop te drukken.

Kwadraten en machten (klas 1, 12-13 jaar)	Weten dat een getal kwadrateren betekent dat je het met zichzelf vermenigvuldigt, zoals in \(3^2 = 3 \times 3 = 9\) Ook een decimaal getal kunnen kwadrateren (bijvoorbeeld \(1{,}5^2 = 2{,}25\))
Wortels (klas 3, 14-15 jaar)	“Het positieve getal waarvan het kwadraat 25 is” kunnen herschrijven als \(\sqrt{25} = 5\) Weten dat een wortel een getal kan zijn dat als decimaal getal nooit ophoudt, zoals \(\sqrt{2}\)
Basis over driehoeken (groep 6 tot en met klas 1, 9-13 jaar)	De rechte hoek (90°) in een figuur kunnen aanwijzen Weten dat de oppervlakte van een driehoek “basis × hoogte ÷ 2” is
De stelling van Pythagoras (klas 2, 13-14 jaar)	Kunnen aanwijzen welke zijde van een rechthoekige driehoek de schuine zijde is (tegenover de rechte hoek, de langste zijde) Onthouden dat \(c\) in \(a^2 + b^2 = c^2\) altijd de schuine zijde is

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel om te controleren of het een rechthoekige driehoek is

Rechthoekszijde a	3
Rechthoekszijde b	4
Schuine zijde c	5
Waarde van a²+b²	=B1^2+B2^2
Waarde van c²	=B3^2

Tabel voor het berekenen van de schuine zijde c

Rechthoekszijde a	3
Rechthoekszijde b	4
Schuine zijde c	=WORTEL(B1^2+B2^2)

Tabel voor het berekenen van de ontbrekende rechthoekszijde b

Schuine zijde c	13
Bekende rechthoekszijde a	5
Ontbrekende rechthoekszijde b	=WORTEL(B1^2-B2^2)

Tabel voor het berekenen van de hoogte h op de schuine zijde

Rechthoekszijde a	3
Rechthoekszijde b	4
Schuine zijde c	5
Hoogte h	=B1*B2/B3

Na het plakken zijn de bovenste rijen je invoer en wordt de formule in de laatste rij automatisch berekend.
“^2” kwadrateert een getal en “WORTEL(…)” is de functie van Excel voor de wortel.
In de eerste tabel is de driehoek een rechthoekige driehoek als de waarde van a²+b² (B4) en de waarde van c² (B5) gelijk zijn (bij het voorbeeld 3, 4, 5 zijn ze allebei 25).
In de tweede tabel toont B3 de schuine zijde, 5. Vervang gewoon de getallen van de invoer door de lengtes van je eigen zijden.

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel om te controleren of het een rechthoekige driehoek is

Rechthoekszijde a	3
Rechthoekszijde b	4
Schuine zijde c	5
Waarde van a²+b²	=B1^2+B2^2
Waarde van c²	=B3^2

Tabel voor het berekenen van de schuine zijde c

Rechthoekszijde a	3
Rechthoekszijde b	4
Schuine zijde c	=WORTEL(B1^2+B2^2)

Tabel voor het berekenen van de ontbrekende rechthoekszijde b

Schuine zijde c	13
Bekende rechthoekszijde a	5
Ontbrekende rechthoekszijde b	=WORTEL(B1^2-B2^2)

Tabel voor het berekenen van de hoogte h op de schuine zijde

Rechthoekszijde a	3
Rechthoekszijde b	4
Schuine zijde c	5
Hoogte h	=B1*B2/B3

Dezelfde formules als in Excel (de functie WORTEL en ^2) werken ook hier. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de getallen van de invoer door de lengtes van je eigen zijden.

Berekenen met Python

import math

side_a = 3.0   # rechthoekszijde a
side_b = 4.0   # rechthoekszijde b

hypotenuse = math.sqrt(side_a ** 2 + side_b ** 2)   # schuine zijde c (math.hypot(side_a, side_b) geeft hetzelfde)
area = side_a * side_b / 2                          # oppervlakte
perimeter = side_a + side_b + hypotenuse            # omtrek
height = side_a * side_b / hypotenuse               # hoogte op de schuine zijde
angle_alpha = math.degrees(math.asin(side_a / hypotenuse))   # hoek tegenover rechthoekszijde a (graden)

print(f"Schuine zijde c: {hypotenuse}")
print(f"Oppervlakte: {area}")
print(f"Omtrek: {perimeter}")
print(f"Hoogte op de schuine zijde: {height}")
print(f"Hoek alfa: {angle_alpha}")

# Ken je de schuine zijde c en rechthoekszijde a, dan vind je de ontbrekende rechthoekszijde b met
# side_b = math.sqrt(hypotenuse ** 2 - side_a ** 2)

Werkt met alleen de standaardbibliotheek math. “**” is het teken voor een macht (hier het kwadraat) en “math.sqrt” is de wortel. Pas de twee lengtes van de zijden bovenaan aan en voer het uit.

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

De stelling van Pythagoras (hoe de drie zijden samenhangen)

a² + b² = c²

a^2 + b^2 = c^2

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
  </mrow>
</math>

a^2 + b^2 = c^2

a^2 + b^2 == c^2

a^2 + b^2 = c^2;

a^2 + b^2 == c^2

a^2 + b^2 = c^2

Formule voor de schuine zijde \(c\)

c = √(a² + b²)

c = \sqrt{a^2 + b^2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>c</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

c = sqrt(a^2 + b^2)

Sqrt[a^2 + b^2]

c := sqrt(a^2 + b^2);

c = sqrt(a^2 + b^2);

c = √(a^2 + b^2)

Formule voor een ontbrekende rechthoekszijde

b = √(c² − a²)

b = \sqrt{c^2 - a^2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>b</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

b = sqrt(c^2 - a^2)

Sqrt[c^2 - a^2]

b := sqrt(c^2 - a^2);

b = sqrt(c^2 - a^2);

b = √(c^2 - a^2)

Hoogte op de schuine zijde

h = a × b ÷ c

h = \frac{ab}{c}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>h</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow>
      <mi>c</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

h = (a b)/c

a*b/c

h := a*b/c;

h = a*b/c;

h = ab/c

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een rekenassistent voor meetkunde. Voer de volgende berekening uit door echt Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geen hoofdrekenen of gokken).

In een rechthoekige driehoek zijn de twee rechthoekszijden a = 3 en b = 4.
Bereken elk van de volgende onderdelen:
1. De lengte van de schuine zijde c (stelling van Pythagoras c = √(a² + b²))
2. De hoek α (tegenover rechthoekszijde a) en de hoek β (tegenover rechthoekszijde b) in graden
3. De oppervlakte en de omtrek
4. De hoogte op de schuine zijde h = ab ÷ c

Laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule