Kies het soort kromme en vul de noemers in (ellips of hyperbool) of de coëfficiënt van de lineaire term (parabool). De rekenmachine bepaalt de brandpunten, toppen en excentriciteit, plus de asymptoten van een hyperbool of de richtlijn van een parabool.
Vul alleen getallen in. Kommagetallen en breuken zoals 3/4 mogen. Voor de noemers a² en b² vul je het getal in dat onder x² of y² staat, niet de waarde van a of b (bij x²/9 vul je 9 in). Een lege invoer telt als 1 (een noemer of coëfficiënt die niet geschreven staat is 1).
Resultaat en grafiek
Kies links het soort kromme, vul de getallen in en klik op “Berekenen”. Hier verschijnen de brandpunten, de excentriciteit en andere resultaten met een grafiek.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formules en figuren
-
Brandpunten van een ellips (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\), \(a > b > 0\))
-
Brandpunten en asymptoten van een hyperbool (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\))
-
Brandpunt en richtlijn van een parabool (\(y^{2} = 4px\))
-
Excentriciteit \(e\) (een getal dat de vorm van de kromme beschrijft)
-
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Vul de noemers of de coëfficiënt in en je krijgt direct de brandpunten, toppen en excentriciteit van de ellips \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\), de hyperbool \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = \pm 1\) of de parabool \(y^{2} = 4px\) (en \(x^{2} = 4py\))
- De antwoorden staan zowel als exacte waarden met \(\sqrt{\ }\), zoals \(\left(\pm\sqrt{5};\ 0\right)\), als in kommagetallen. Je ziet ook de stappen waarmee je de brandpunten vindt uit \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\)
- Bij een hyperbool krijg je ook de asymptoten en bij een parabool de richtlijn. De kromme, de brandpunten, asymptoten, richtlijn en toppen worden in een grafiek getekend
- Je kunt de definities uit het schoolboek op de grafiek controleren: “de som (of het verschil) van de afstanden tot de twee brandpunten is constant” en “even ver van het brandpunt als van de richtlijn”
- Op deze pagina staan ook een uitleg van de formules in gewone taal en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python
Deze pagina werkt met de standaardvorm met het middelpunt in de oorsprong (bij een parabool met de top in de oorsprong). Verschoven vergelijkingen zoals \(\dfrac{(x-1)^{2}}{9} + \dfrac{y^{2}}{4} = 1\) worden niet ondersteund. Ellipsen die breed of hoog zijn, hyperbolen die naar links en rechts of naar boven en beneden openen, en parabolen die naar rechts, links, boven of beneden openen worden allemaal ondersteund.
Waarvoor is deze berekening handig?
De banen van planeten en kometen voorspellen (sterrenkunde en ruimtevaart)
De planeten bewegen in ellipsbanen met de zon in een van de brandpunten (de eerste wet van Kepler). De baan van de aarde heeft een excentriciteit van ongeveer 0,017, heel dicht bij een cirkel, terwijl de komeet van Halley een lange, dunne ellips volgt met een excentriciteit van ongeveer 0,97 en ongeveer elke 76 jaar terugkomt bij de zon.
Dezelfde wiskunde is de basis voor het ontwerpen van de banen van satellieten en ruimtesondes, en de vorm van een baan (ellips, parabool of hyperbool) wordt bepaald door de excentriciteit. Als een ruimtesonde aan de zwaartekracht van een planeet ontsnapt en wegvliegt, is zijn baan een hyperbool.
Schotelantennes en koplampen ontwerpen (radio en optica)
Een oppervlak dat ontstaat door een parabool om zijn as te draaien (een paraboloïde) heeft deze eigenschap: radiogolven of licht die evenwijdig aan de as binnenkomen, kaatsen allemaal naar het brandpunt. Een satelliet-tv-schotel bundelt zwakke signalen van ver weg in de ontvanger die in het brandpunt staat.
Autokoplampen en zoeklichten gebruiken het andersom: licht van een bron in het brandpunt kaatst terug als een rechte bundel evenwijdig aan de as. De plaats van het brandpunt (de \(p\) die deze pagina berekent) is de sleutel tot het ontwerp.
Nierstenen verbrijzelen met schokgolven (geneeskunde)
Een ellips heeft deze eigenschap: een golf die in het ene brandpunt begint, kaatst tegen de ellips en komt samen in het andere brandpunt. Bij extracorporale schokgolflithotripsie (ESWL, niersteenvergruizing) wordt in het ene brandpunt van een ellipsvormige reflector een schokgolf opgewekt, terwijl het andere brandpunt op de niersteen in het lichaam wordt gericht, zodat de steen zonder operatie wordt gebroken.
Hoe precies de plaats van de brandpunten bekend is, bepaalt direct hoe nauwkeurig de behandeling is.
Secundaire spiegels in telescopen en antennes (optisch ontwerp)
Een Cassegrain-spiegeltelescoop combineert een paraboloïde hoofdspiegel met een hyperboloïde secundaire spiegel. Hij gebruikt een eigenschap van de hyperboloïde: “licht dat naar het ene brandpunt gaat, kaatst en komt samen in het andere brandpunt”, om het licht naar het oculair achter in de buis te leiden.
Grote radiotelescopen en satellietcommunicatieantennes gebruiken meestal hetzelfde ontwerp, dus de brandpunteigenschappen van ellipsen, hyperbolen en parabolen werken samen in één apparaat.
De plaats bepalen uit verschillen in aankomsttijd van signalen (navigatie)
Sommige plaatsbepalingssystemen gebruiken de definitie van een hyperbool zelf: “de punten waarvan de afstanden tot twee vaste punten een constant verschil hebben”. Bij hyperbolische navigatie zoals LORAN mat een schip of vliegtuig het verschil in aankomsttijd van signalen van twee zenders om te bepalen op welke hyperbool het lag, en vond dan zijn positie waar die hyperbool een andere hyperbool van een ander paar zenders kruiste.
Gps heeft het vervangen, maar het idee om een positie te bepalen uit tijdverschillen leeft voort, bijvoorbeeld bij het schatten van de locatie van een mobiele telefoon tijdens een noodoproep.
Gebogen constructies in de bouw en civiele techniek (koeltorens en kabels)
Veel van de enorme koeltorens van energiecentrales hebben de vorm van een hyperboloïde, die ontstaat door een hyperbool te draaien. Dit gebogen oppervlak kan worden gebouwd met alleen rechte stalen elementen die schuin staan, en toch is het sterk en bespaart het materiaal.
De hoofdkabel van een hangbrug is een parabool als het gewicht van het brugdek gelijkmatig over de horizontale afstand is verdeeld. (Een kabel die alleen onder zijn eigen gewicht hangt, vormt een andere kromme die er hetzelfde uitziet, een kettinglijn.) In ontwerptekeningen leggen standaardvormvergelijkingen zoals die op deze pagina deze vormen vast.
Formules en figuren
Brandpunten van een ellips (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\), \(a > b > 0\))
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(c^{2}\)
\(=\)
\(a^{2}\)
\(-\)
\(b^{2}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(c^{2}\): kwadraat van de afstand van het middelpunt tot een brandpunt
\(=\)
①
\(a^{2}\): noemer van \(x^{2}\) (de helft van de lange as, in het kwadraat)
\(-\)
②
\(b^{2}\): noemer van \(y^{2}\) (de helft van de korte as, in het kwadraat)
De formule in woorden
①
Neem de
noemer \(a^{2}\) van \(x^{2}\)
②
trek daar de
noemer \(b^{2}\) van \(y^{2}\)
③
van af en je krijgt het
kwadraat van de afstand \(c\) van het middelpunt tot een brandpunt
(de brandpunten zijn de twee punten \((\pm c;\ 0)\) op de \(x\)-as)
Een eenvoudig voorbeeld
De brandpunten van \(\dfrac{x^{2}}{25} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1\) (\(a^{2} = 25;\ b^{2} = 9\)) zijn
afstand tot een brandpunt \(c\), in het kwadraat
\(=\)
noemer van \(x^{2}\) (25)
\(-\)
noemer van \(y^{2}\) (9)
\(c^{2} = 25 - 9 = 16\)
\(c = \sqrt{16} = 4\)
\(F(4;\ 0),\quad F'(-4;\ 0)\)
Het belangrijkste idee
Een ellips is de verzameling van alle punten waarvan de afstanden tot de twee brandpunten altijd dezelfde som hebben (\(= 2a\)). Steek twee punaises in een plank, leg er een lus touw omheen, houd het touw strak met een potlood en beweeg het rond: je tekent een ellips. Dit is precies de definitie.
Is de noemer van \(x^{2}\) groter, dan is de ellips breed en liggen de brandpunten in \((\pm c;\ 0)\) op de \(x\)-as. Is de noemer van \(y^{2}\) groter, dan is de ellips hoog, geldt \(c^{2} = b^{2} - a^{2}\) en liggen de brandpunten in \((0;\ \pm c)\) op de \(y\)-as. Onthoud “grootste noemer min kleinste noemer”, dan maak je geen fout met de richting.
Is \(a^{2} = b^{2}\), dan is \(c = 0\) en vallen de twee brandpunten samen in het middelpunt: de ellips is een cirkel. Een cirkel is een bijzonder geval van een ellips.
Brandpunten en asymptoten van een hyperbool (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\))
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(c^{2}\)
\(=\)
\(a^{2}\)
\(+\)
\(b^{2}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(c^{2}\): kwadraat van de afstand van het middelpunt tot een brandpunt
\(=\)
①
\(a^{2}\): noemer van \(x^{2}\) (afstand tot een top, in het kwadraat)
\(+\)
②
\(b^{2}\): noemer van \(y^{2}\)
De formule in woorden
①
Neem de
noemer \(a^{2}\) van \(x^{2}\)
②
tel daar de
noemer \(b^{2}\) van \(y^{2}\)
③
bij op en je krijgt het
kwadraat van de afstand \(c\) van het middelpunt tot een brandpunt
(de brandpunten zijn de twee punten \((\pm c;\ 0)\) op de \(x\)-as)
Een eenvoudig voorbeeld
De brandpunten van \(\dfrac{x^{2}}{9} - \dfrac{y^{2}}{16} = 1\) (\(a^{2} = 9;\ b^{2} = 16\)) zijn
afstand tot een brandpunt \(c\), in het kwadraat
\(=\)
noemer van \(x^{2}\) (9)
\(+\)
noemer van \(y^{2}\) (16)
\(c^{2} = 9 + 16 = 25\)
\(c = \sqrt{25} = 5\)
\(F(5;\ 0),\quad F'(-5;\ 0)\)
Het belangrijkste idee
Een hyperbool is de verzameling van alle punten waarvan de afstanden tot de twee brandpunten altijd evenveel verschillen (\(= 2a\)). Bij een ellips geldt \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\) (aftrekken) en bij een hyperbool \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\) (optellen): maar één teken is anders. De reden is dat bij een ellips de brandpunten binnen de toppen liggen (\(c < a\)), terwijl bij een hyperbool de brandpunten buiten de toppen liggen (\(c > a\)), zodat \(c^{2}\) groter is dan \(a^{2}\).
Een hyperbool heeft twee lijnen waar de kromme steeds dichter naartoe gaat, de asymptoten: \(y = \pm\dfrac{b}{a}x\) (bij de voorbeeldhyperbool \(y = \pm\dfrac{4}{3}x\)). Bij het tekenen teken je meestal eerst de asymptoten en schets je daarna de kromme langs die lijnen.
Is het rechterlid \(-1\) (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = -1\)), dan opent de hyperbool naar boven en beneden. De brandpunten liggen dan in \((0;\ \pm c)\) op de \(y\)-as, de toppen in \((0;\ \pm b)\) en het verschil van de afstanden wordt \(2b\). De manier om \(c\) te vinden (optellen) en de asymptoten blijven hetzelfde.
Brandpunt en richtlijn van een parabool (\(y^{2} = 4px\))
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(PF\)
\(=\)
\(PH\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
②
\(PF\): afstand tot het brandpunt \(F\)
\(=\)
①
\(PH\): afstand tot de richtlijn
De formule in woorden
①
Een parabool is de verzameling van punten \(P\) waarvoor de
afstand tot de richtlijn \(PH\)
②
en de
afstand tot het brandpunt \(F\), \(PF\),
altijd gelijk zijn
Een eenvoudig voorbeeld
Vergelijk \(y^{2} = 8x\) met de standaardvorm \(y^{2} = 4px\): dan is \(4p = 8\), dus
afstand tot het brandpunt \((2;\ 0)\)
\(=\)
afstand tot de richtlijn \(x = -2\)
\(4p = 8\)
\(p = \dfrac{8}{4} = 2\)
Het belangrijkste idee
Het brandpunt van \(y^{2} = 4px\) is \((p;\ 0)\) op de \(x\)-as en de richtlijn is de verticale lijn \(x = -p\). Is \(p > 0\), dan opent de parabool naar rechts; is \(p < 0\), dan opent hij naar links.
Verwissel je \(x\) en \(y\), dan krijg je \(x^{2} = 4py\), een parabool die omhoog of omlaag opent, met brandpunt \((0;\ p)\) en de horizontale richtlijn \(y = -p\). De bekende grafiek van \(y = ax^{2}\) hoort bij dezelfde familie: schrijf hem als \(x^{2} = \dfrac{1}{a}y\) en hij heeft het brandpunt \(\left(0;\ \dfrac{1}{4a}\right)\) en een richtlijn.
De coëfficiënt wordt geschreven als \(4p\) omdat het brandpunt en de richtlijn dan in de nette vormen \((p;\ 0)\) en \(x = -p\) uitkomen. Krijg je iets als \(y^{2} = 8x\), dan is de eerste stap om \(p\) te vinden uit \(4p = 8\).
Excentriciteit \(e\) (een getal dat de vorm van de kromme beschrijft)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(e\)
\(=\)
\(c\)
\(\div\)
\(a\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(e\): excentriciteit
\(=\)
①
\(c\): afstand van het middelpunt tot een brandpunt
\(\div\)
②
\(a\): afstand van het middelpunt tot een top
De formule in woorden
①
Neem de
afstand \(c\) van het middelpunt tot een brandpunt
②
deel die door de
afstand \(a\) van het middelpunt tot een top (het uiteinde van de langere as)
③
en je krijgt de
excentriciteit \(e\)
Een eenvoudig voorbeeld
De excentriciteit van \(\dfrac{x^{2}}{25} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1\) (\(a = 5;\ c = 4\)) is
excentriciteit \(e\)
\(=\)
afstand tot een brandpunt (4)
\(\div\)
afstand tot een top (5)
\(e = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\)
Het belangrijkste idee
Excentriciteit is een getal dat aangeeft hoe ver een kromme van een cirkel afwijkt. Een cirkel heeft \(e = 0\), een ellips heeft \(0 < e < 1\) (dichter bij 0 is ronder, dichter bij 1 is langer en dunner), een parabool heeft precies \(e = 1\) en een hyperbool heeft \(e > 1\).
Ellipsen, hyperbolen en parabolen lijken op het eerste gezicht niets met elkaar te maken te hebben, maar dit ene getal zet ze in een vloeiende reeks: cirkel → ellips → parabool → hyperbool. Dat is een van de redenen dat de drie samen worden gegroepeerd als kegelsneden.
Bij een hoge ellips of een hyperbool die naar boven en beneden opent, is de langere as de \(y\)-as, dus deel je door \(b\) (de afstand van het middelpunt tot een top). Onthoud “afstand tot een brandpunt ÷ afstand tot een top”, dan heb je het in elke richting goed.
De afstand \(c\) van het middelpunt tot een brandpunt vind je met \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\) bij een ellips en met \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\) bij een hyperbool. De parabool \(y^{2} = 4px\) heeft het brandpunt \((p;\ 0)\) en de richtlijn \(x = -p\). De drie krommen vormen een familie (de kegelsneden) die wordt gedefinieerd met afstanden tot een brandpunt, en hun vormen worden geordend door de excentriciteit \(e\): ellips \(e < 1\), parabool \(e = 1\), hyperbool \(e > 1\).
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(a,\ b\) | a, b | Positieve getallen in de noemers van de standaardvorm van de ellips en de hyperbool (als \(a^{2}\) en \(b^{2}\)). Bij een ellips is \(a\) de straal in de \(x\)-richting en \(b\) de straal in de \(y\)-richting (elk de helft van de lange as of de korte as). Bij een hyperbool is \(a\) de afstand van het middelpunt tot een top. Let op: in sommige schoolboeken is \(a\) altijd de langere halve as en schrijf je een hoge ellips als \(\dfrac{x^{2}}{b^{2}} + \dfrac{y^{2}}{a^{2}} = 1\); op deze pagina is \(a^{2}\) altijd de noemer van \(x^{2}\). |
| \(c\) | ce | De afstand van het middelpunt tot een brandpunt. De brandpunten liggen in \((\pm c;\ 0)\) of \((0;\ \pm c)\). Het is de letter na \(a\) en \(b\). Bij een ellips geldt \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\); bij een hyperbool geldt \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\). |
| \(F,\ F'\) | F, F accent | Namen van de brandpunten, van de eerste letter van “focus” (het Latijnse woord voor haard, dat in veel talen voor brandpunt wordt gebruikt). Een ellips of een hyperbool heeft twee brandpunten en het tweede wordt geschreven als \(F'\) (F accent). |
| \(P\) | pee | De naam van een punt op de kromme. Je gebruikt hem om definities te formuleren, zoals “voor elk punt \(P\) is de som van de afstanden constant”. |
| \(PF\) | P F | De lengte van het lijnstuk tussen het punt \(P\) en het brandpunt \(F\) (de afstand van \(P\) tot \(F\)). Twee puntnamen naast elkaar schrijven voor de lengte van een lijnstuk is de gebruikelijke notatie in de meetkunde. |
| \(H\) | H | De naam van het voetpunt van de loodlijn uit het punt \(P\) op de parabool op de richtlijn (waar die de richtlijn snijdt). \(H\) is een veelgebruikte letter voor het voetpunt van een loodlijn. De afstand van \(P\) tot de richtlijn schrijf je als \(PH\). |
| \(p\) | pee | Bij de parabool \(y^{2} = 4px\) het getal dat de afstand van de top tot het brandpunt geeft (een negatieve waarde geeft de andere richting). Het brandpunt is \((p;\ 0)\) en de richtlijn is \(x = -p\). |
| \(e\) | e | De excentriciteit. Een cirkel heeft \(e = 0\), een ellips \(0 < e < 1\), een parabool \(e = 1\) en een hyperbool \(e > 1\). (Het is niet het getal e ≈ 2,718.) |
| \(\pm\) | plus of min | Een teken dat zowel het +-geval als het −-geval tegelijk dekt. De brandpunten \((\pm 4;\ 0)\) zijn de twee punten \((4;\ 0)\) en \((-4;\ 0)\) samen opgeschreven. |
| \(\sqrt{\ }\) | wortel | Het teken voor de vierkantswortel (het positieve getal waarvan het kwadraat het getal eronder is). Je gebruikt het om uit \(c^{2} = 5\) de waarde \(c = \sqrt{5}\) te halen. \(\sqrt{5}\) is ongeveer 2,236. |
Begrippen
| kegelsnede | Een kromme die ontstaat als je een kegel (zoals een ijshoorntje) met een vlak doorsnijdt. Afhankelijk van de hoek van de snede is de rand een cirkel, een ellips, een parabool of een hyperbool. Je leert hierover in de bovenbouw van het voortgezet onderwijs. |
| tweedegraadskromme | Een andere manier om de kegelsneden te beschrijven: krommen gegeven door een vergelijking van de tweede graad in \(x\) en \(y\). Ellipsen, hyperbolen, parabolen (en cirkels) zijn precies deze krommen. |
| ellips | De verzameling punten waarvan de afstanden tot twee brandpunten bij elkaar opgeteld constant zijn. Het lijkt op een cirkel die in één richting is platgedrukt, en de standaardvorm is \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\). |
| hyperbool | De verzameling punten waarvan de afstanden tot twee brandpunten een constant verschil hebben. Het is een paar krommen dat naar links en rechts (of naar boven en beneden) opent, en de standaardvorm is \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = \pm 1\). |
| parabool | De verzameling punten die even ver van een brandpunt als van een richtlijn liggen. Het is de vorm van de baan van een weggegooide bal. De standaardvorm is \(y^{2} = 4px\) (of \(x^{2} = 4py\)). |
| brandpunt | Een bijzonder punt dat de vorm van een kegelsnede bepaalt (meervoud: brandpunten). Een ellips of een hyperbool heeft er twee en een parabool één. Brandpunten bundelen licht en radiogolven, en de naam herinnert eraan dat zonnestralen er samenkomen en iets kunnen doen branden. |
| richtlijn | De lijn die wordt gebruikt om een parabool te definiëren. Elk punt van de parabool ligt even ver van het brandpunt als van de richtlijn. De richtlijn van \(y^{2} = 4px\) is \(x = -p\). |
| asymptoot | Een lijn waar een kromme steeds dichter naartoe gaat, maar die hij nooit bereikt. De hyperbool \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = \pm 1\) heeft twee asymptoten, \(y = \pm\dfrac{b}{a}x\). |
| excentriciteit | Eén getal \(e\) dat aangeeft hoe ver een kromme van een cirkel afwijkt (“excentrisch” betekent “uit het midden”). Met cirkel \(e = 0\), ellips \(0 < e < 1\), parabool \(e = 1\) en hyperbool \(e > 1\) rangschikt dit ene getal alle kegelsneden. |
| lange as | Het langste lijnstuk dwars door een ellips door het middelpunt. Bij een brede ellips is de lengte \(2a\) en liggen de brandpunten op de lange as. |
| korte as | Het kortste lijnstuk dwars door een ellips door het middelpunt. Bij een brede ellips is de lengte \(2b\) en snijdt het de lange as loodrecht. |
| top | Een punt waar de kromme een symmetrieas snijdt (meervoud: toppen). Een ellips heeft er vier (de uiteinden van de lange en de korte as; sommige schoolboeken noemen alleen de uiteinden van de lange as toppen), een hyperbool heeft er twee en een parabool één (de oorsprong). |
| standaardvorm | De eenvoudigste vorm van de vergelijking, met het middelpunt (bij een parabool de top) in de oorsprong, zoals \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\). Zo kun je de brandpunten en toppen gemakkelijk aflezen. |
| vierkantswortel | Een getal waarvan het kwadraat het gegeven getal is. Uit \(c^{2} = 16\) de waarde \(c = 4\) halen heet “de wortel nemen”. Is de wortel geen geheel getal, dan schrijf je hem exact met het wortelteken, zoals \(\sqrt{5}\). |
Handig om vooraf te weten
Dit helpt je om de berekening op deze pagina echt te begrijpen, en niet alleen op de knop te drukken.
Als je vastloopt, is het herhalen van deze onderwerpen de snelste weg vooruit.
| Wortels (klas 2-3, 13-15 jaar) |
|
| Het assenstelsel en de afstand tussen twee punten (klas 1-3, 12-15 jaar) |
|
| Grafieken van kwadratische functies (klas 3-4, 14-16 jaar) |
|
| Vergelijkingen van cirkels (bovenbouw havo en vwo, 15-18 jaar) |
|
| Breuken en verhoudingen (groep 6-8 en klas 1, 9-13 jaar) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel om de brandpunten en excentriciteit van een ellips te vinden (breed, a² > b²)
| Noemer a² van x² | 25 |
| Noemer b² van y² | 9 |
| c² = a² − b² | =B1-B2 |
| Afstand tot een brandpunt c = √(c²) | =WORTEL(B3) |
| Lengte van de lange as 2a | =2*WORTEL(B1) |
| Lengte van de korte as 2b | =2*WORTEL(B2) |
| Excentriciteit e = c/a | =B4/WORTEL(B1) |
Tabel om de brandpunten en asymptoten van een hyperbool te vinden
| Noemer a² van x² | 9 |
| Noemer b² van y² | 16 |
| c² = a² + b² | =B1+B2 |
| Afstand tot een brandpunt c = √(c²) | =WORTEL(B3) |
| Helling van de asymptoten b/a | =WORTEL(B2/B1) |
| Excentriciteit e = c/a | =B4/WORTEL(B1) |
Tabel om het brandpunt en de richtlijn van een parabool te vinden (y² = cx)
| Coëfficiënt c van x | 8 |
| p = c ÷ 4 | =B1/4 |
| x-coördinaat van het brandpunt (het brandpunt is (p; 0)) | =B2 |
| Richtlijn x = −p | =-B2 |
Na het plakken zijn de bovenste rijen (noemers of coëfficiënt) je invoer en worden de onderste rijen automatisch berekend. WORTEL geeft de vierkantswortel.
De eerste tabel is de ellips x²/25 + y²/9 = 1: c² = 16, c = 4, lange as 10, korte as 6 en excentriciteit 0,8. Voor een hoge ellips (a² < b²) verander je de formule voor c² in “=B2-B1” en die voor de excentriciteit in “=B4/WORTEL(B2)”.
De tweede tabel is de hyperbool x²/9 − y²/16 = 1: c² = 25, c = 5, helling van de asymptoten 1,333… (= 4/3) en excentriciteit 1,666… (= 5/3).
De derde tabel is de parabool y² = 8x: p = 2, brandpunt (2; 0) en richtlijn x = −2. Voor x² = cy (opent omhoog of omlaag) lees je het brandpunt als (0; p) en de richtlijn als y = −p.
Excel geeft kommagetallen, dus gebruik de rekenmachine op deze pagina als je exacte waarden zoals √5 nodig hebt.
De eerste tabel is de ellips x²/25 + y²/9 = 1: c² = 16, c = 4, lange as 10, korte as 6 en excentriciteit 0,8. Voor een hoge ellips (a² < b²) verander je de formule voor c² in “=B2-B1” en die voor de excentriciteit in “=B4/WORTEL(B2)”.
De tweede tabel is de hyperbool x²/9 − y²/16 = 1: c² = 25, c = 5, helling van de asymptoten 1,333… (= 4/3) en excentriciteit 1,666… (= 5/3).
De derde tabel is de parabool y² = 8x: p = 2, brandpunt (2; 0) en richtlijn x = −2. Voor x² = cy (opent omhoog of omlaag) lees je het brandpunt als (0; p) en de richtlijn als y = −p.
Excel geeft kommagetallen, dus gebruik de rekenmachine op deze pagina als je exacte waarden zoals √5 nodig hebt.
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel om de brandpunten en excentriciteit van een ellips te vinden (breed, a² > b²)
| Noemer a² van x² | 25 |
| Noemer b² van y² | 9 |
| c² = a² − b² | =B1-B2 |
| Afstand tot een brandpunt c = √(c²) | =WORTEL(B3) |
| Lengte van de lange as 2a | =2*WORTEL(B1) |
| Lengte van de korte as 2b | =2*WORTEL(B2) |
| Excentriciteit e = c/a | =B4/WORTEL(B1) |
Tabel om de brandpunten en asymptoten van een hyperbool te vinden
| Noemer a² van x² | 9 |
| Noemer b² van y² | 16 |
| c² = a² + b² | =B1+B2 |
| Afstand tot een brandpunt c = √(c²) | =WORTEL(B3) |
| Helling van de asymptoten b/a | =WORTEL(B2/B1) |
| Excentriciteit e = c/a | =B4/WORTEL(B1) |
Tabel om het brandpunt en de richtlijn van een parabool te vinden (y² = cx)
| Coëfficiënt c van x | 8 |
| p = c ÷ 4 | =B1/4 |
| x-coördinaat van het brandpunt (het brandpunt is (p; 0)) | =B2 |
| Richtlijn x = −p | =-B2 |
Dezelfde formules als in Excel werken zonder aanpassing. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de noemers of de coëfficiënt door je eigen getallen.
Berekenen met Python
from fractions import Fraction
import math
# Noemers van de ellips x²/a² + y²/b² = 1 (een breuk zoals 3/4 schrijf je als Fraction(3, 4))
x_denominator = Fraction(25) # a²
y_denominator = Fraction(9) # b²
# Ellips: c² = grootste noemer − kleinste noemer (bij een hyperbool tel je ze juist op)
c_squared = abs(x_denominator - y_denominator)
c = math.sqrt(c_squared)
semi_major = math.sqrt(max(x_denominator, y_denominator))
print(f"c² = {c_squared}")
print(f"c = √{c_squared} = {c}")
if x_denominator >= y_denominator:
print(f"Brandpunten: (±{c}; 0)") # breed → brandpunten op de x-as
else:
print(f"Brandpunten: (0; ±{c})") # hoog → brandpunten op de y-as
print(f"Excentriciteit e = c ÷ {semi_major} = {c / semi_major}")
Werkt met alleen de standaardbibliotheek. De module fractions houdt de noemers als breuken, dus alles tot en met c² is exact, zonder afrondingsfouten (alleen de vierkantswortel, math.sqrt, geeft een kommagetal). Dit voorbeeld is de ellips x²/25 + y²/9 = 1. Als je het uitvoert, krijg je vier regels met c², c, de brandpunten en de excentriciteit. Voor de hyperbool x²/a² − y²/b² = 1 verander je de regel met c_squared in “x_denominator + y_denominator”. Voor de parabool y² = cx heb je alleen p = c/4 nodig, dat je direct kunt uitrekenen, zoals in Fraction(8) / 4.
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Brandpunten van een ellips (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\), \(a > b > 0\))
c² = a² − b²
c^{2} = a^{2} - b^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
c^2 = a^2 - b^2
c = Sqrt[a^2 - b^2]
c := sqrt(a^2 - b^2);
c = sqrt(a^2 - b^2);
c^2 = a^2 - b^2
Brandpunten en asymptoten van een hyperbool (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\))
c² = a² + b²
c^{2} = a^{2} + b^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
c^2 = a^2 + b^2
c = Sqrt[a^2 + b^2]
c := sqrt(a^2 + b^2);
c = sqrt(a^2 + b^2);
c^2 = a^2 + b^2
Brandpunt en richtlijn van een parabool (\(y^{2} = 4px\))
y² = 4px
y^{2} = 4px
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<mn>4</mn><mi>p</mi><mi>x</mi>
</mrow>
</math>
y^2 = 4px
y^2 == 4 p x
y^2 = 4*p*x;
y^2 == 4*p*x
y^2 = 4px
Excentriciteit \(e\) (een getal dat de vorm van de kromme beschrijft)
e = c/a
e = \dfrac{c}{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>e</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
e = c/a
e = c/a
e := c/a;
e = c/a;
e = c/a
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een rekenassistent voor kegelsneden. Voer de volgende berekening uit door echt Python-code te draaien en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef geen antwoord door hoofdrekenen of gokken). Laat voor de ellips x²/9 + y²/4 = 1 elk van de volgende onderdelen zien: 1. De waarde van c² = a² − b² 2. De afstand c van het middelpunt tot een brandpunt (zowel als exacte waarde met √ als in kommagetallen) 3. De coördinaten van de brandpunten 4. De lengte van de lange as 2a en de lengte van de korte as 2b 5. De excentriciteit e = c/a (zowel als exacte waarde als in kommagetallen) Gebruik in Python sympy (of fractions en math als sympy niet beschikbaar is), en haal exacte waarden zoals √5 met sympy.sqrt. Laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Vergelijking van een cirkel (algemene vorm, middelpuntsvorm, middelpunt, straal en cirkel met lijn)
Zet de vergelijking van een cirkel om tussen algemene vorm en middelpuntsvorm met stappen voor het kwadraat afsplitsen, en bepaal het middelpunt, de straal en hoe een lijn de cirkel snijdt
Oppervlakte van een ellips berekenen (π × halve lange as × halve korte as)
Vul de halve lange as en de halve korte as in voor de oppervlakte van een ellips, ook in exacte vorm met π (zoals 600π)
