Breuken vereenvoudigen (breuk in de eenvoudigste vorm)

Vul de breuk in zoals hij eruitziet (bovenste vak = teller, onderste vak = noemer). Bij een gemengd getal zoals \(2\dfrac{21}{98}\) gebruik je ook het vak voor het gehele getal links van de breuk. Bij een gewone breuk laat je het vak voor het gehele getal leeg.

Zet bij een negatieve breuk het min-teken in het vak voor het gehele getal. Kommagetallen zoals 1,5 mogen ook; de teller en de noemer worden met 10, 100 enzovoort vermenigvuldigd om gehele getallen te krijgen voordat er wordt vereenvoudigd. De noemer mag niet 0 zijn.

Resultaat

Vul links de teller en de noemer in en klik op “Berekenen”. Het resultaat verschijnt hier.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formule
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Vul de teller en de noemer in en de breuk wordt vereenvoudigd tot de eenvoudigste vorm (de vorm die niet verder te vereenvoudigen is)
Gemengde getallen (met een geheel deel) zoals \(2\dfrac{21}{98}\) kun je ook zo vereenvoudigen, en het antwoord staat zowel als onechte breuk (teller minstens zo groot als de noemer) als als gemengd getal
Negatieve breuken en breuken met kommagetallen, zoals \(\dfrac{1{,}5}{2}\), werken ook. De waarde als kommagetal en elke rekenstap worden ook getoond
Een heldere uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python vind je ook op deze pagina

Vereenvoudigen verandert de waarde van een breuk niet. Je deelt de teller en de noemer door hetzelfde getal (hun grootste gemene deler), zodat de breuk er zo eenvoudig mogelijk uitziet.

Waarvoor is deze berekening handig?

Geen punten verliezen aan niet-vereenvoudigde antwoorden bij toetsen (rekenen en wiskunde)

Bij toetsen wiskunde en rekenen wordt een breuk als antwoord meestal in de eenvoudigste vorm verwacht, en vergeten te vereenvoudigen kost vaak punten.
“Controleer als je een antwoord hebt aan het eind of de teller en de noemer geen gemene deler meer hebben.” Deze gewoonte is een basisbeweging, van de breuken op de basisschool tot het eindexamen. Delen door de grootste gemene deler doet het in één stap, dus ook het controleren gaat snel.

De “16:9” van beeldschermen en tv’s komt uit vereenvoudigen

Een Full HD-scherm heeft 1920 × 1080 pixels, maar de verhouding heet 16:9: \(\dfrac{1920}{1080}\) vereenvoudigd met de grootste gemene deler 120 is \(\dfrac{16}{9}\).
Een verhouding in de eenvoudigste vorm schrijven laat je in één oogopslag zien of twee vormen gelijk zijn, dus dit idee wordt elke dag gebruikt bij video, ontwerp en drukwerk.

De overbrengingsverhouding van een fiets of machine lezen

Heeft een fiets 48 tanden op het voorste tandwiel en 18 op het achterste, dan is de overbrengingsverhouding \(\dfrac{48}{18}\), vereenvoudigd \(\dfrac{8}{3}\). Je ziet meteen: “één trap rond met de pedalen draait het achterwiel \(\dfrac{8}{3}\) keer rond (ongeveer 2,67 keer)”.
Bij het ontwerpen van machines met tandwielen is de vereenvoudigde verhouding de basistaal om de specificaties te beschrijven.

Een recept onthouden als verhouding om elke hoeveelheid te kunnen maken

Op een fles limonadesiroop staat vaak hoeveel water je erbij moet doen. Meng je 120 ml siroop met 360 ml water, dan vereenvoudig je \(\dfrac{120}{360}\) tot \(\dfrac{1}{3}\) en onthoud je het als “1 deel siroop op 3 delen water”. Zo maak je dezelfde smaak voor 2 personen of voor 10.
Professionele recepten staan vaak als verhouding, zoals “1:3”, omdat ze tot de eenvoudigste verhouding zijn vereenvoudigd.

Een kans lezen als “één keer op zoveel keer”

De kans dat twee dobbelstenen samen 3 gooien is \(\dfrac{2}{36}\) als je gewoon telt, maar vereenvoudigd tot \(\dfrac{1}{18}\) kun je het lezen als “ongeveer één keer op 18 worpen”.
Kansen komen vaak niet-vereenvoudigd uit een berekening, en van de kans bij een loterij tot verzekeringsberekeningen: vereenvoudigen is onmisbaar als je een kans aan iemand uitlegt.

Formule

Vereenvoudigen (de teller en de noemer delen door de ggd)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(N\) \(=\) \(n\) \(\div\) \(g\)

\(D\) \(=\) \(d\) \(\div\) \(g\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(N\): vereenvoudigde teller \(=\) ① \(n\): oorspronkelijke teller \(\div\) ② \(g\): grootste gemene deler

⑥ \(D\): vereenvoudigde noemer \(=\) ④ \(d\): oorspronkelijke noemer \(\div\) ⑤ \(g\): grootste gemene deler

De formule in woorden

① Deel de \(n\): oorspronkelijke teller

② door de \(g\): grootste gemene deler

③ dan krijg je de \(N\): vereenvoudigde teller

④ Deel de \(d\): oorspronkelijke noemer

⑤ door dezelfde \(g\): grootste gemene deler

⑥ dan krijg je de \(D\): vereenvoudigde noemer

Een eenvoudig voorbeeld

Vereenvoudigen van \(\dfrac{12}{18}\) (de grootste gemene deler van 12 en 18 is 6)

\(N\): vereenvoudigde teller \(=\) oorspronkelijke teller (12) \(\div\) ggd (6)

\(D\): vereenvoudigde noemer \(=\) oorspronkelijke noemer (18) \(\div\) ggd (6)

\(12 \div 6 = 2,\quad 18 \div 6 = 3\)

\(\dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}\)

Het belangrijkste idee

Een breuk behoudt dezelfde waarde als je de teller en de noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigt of door hetzelfde getal deelt. Vereenvoudigen gebruikt deze eigenschap. Deel je door de grootste gemene deler, dan kom je met één deling meteen bij de vorm die niet verder te vereenvoudigen is (de eenvoudigste vorm). Delen door een kleinere gemene deler (bijvoorbeeld 2) is niet fout, maar dan moet je daarna opnieuw vereenvoudigen.

Zo vind je de grootste gemene deler \(g\)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(g\) \(=\) \(\gcd(\) \(n\) \(,\) \(d\) \()\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(g\): grootste gemene deler \(=\) \(\gcd(\) ① \(n\): teller \(,\) ② \(d\): noemer \()\)

De formule in woorden

① Van de getallen die zowel de \(n\): teller

② als de \(d\): noemer zonder rest delen (de gemene delers) is het grootste de

③ \(g\): grootste gemene deler

Een eenvoudig voorbeeld

De grootste gemene deler van 12 en 18 (ontbind elk in priemfactoren en vermenigvuldig de priemfactoren die ze gemeen hebben)

\(g\): grootste gemene deler \(=\) \(\gcd(\) teller (12) \(,\) noemer (18) \()\)

\(12 = 2 \times 2 \times 3,\quad 18 = 2 \times 3 \times 3\)

\(g = 2 \times 3 = 6\)

Het belangrijkste idee

Bij kleine getallen is het genoeg om de delers op te schrijven en het grootste getal te zoeken dat ze gemeen hebben (de delers van 12 zijn 1, 2, 3, 4, 6, 12 en de delers van 18 zijn 1, 2, 3, 6, 9, 18, dus de grootste gemeenschappelijke is 6). Bij grote getallen kun je ontbinden in priemfactoren en de priemfactoren vermenigvuldigen die ze gemeen hebben, of het algoritme van Euclides gebruiken (deel het grotere getal door het kleinere en blijf vervangen door de rest). In Excel vindt de functie GGD het in één stap, en in Python doet math.gcd dat.

Een gemengd getal omzetten in een onechte breuk

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(N\) \(=\) \(w\) \(\times\) \(d\) \(+\) \(n\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

④ \(N\): teller van de onechte breuk \(=\) ① \(w\): geheel deel \(\times\) ② \(d\): noemer \(+\) ③ \(n\): teller

De formule in woorden

① Vermenigvuldig het \(w\): geheel deel

② met de \(d\): noemer

③ en tel de \(n\): teller erbij op

④ dan krijg je de \(N\): teller van de onechte breuk (de noemer blijft hetzelfde)

Een eenvoudig voorbeeld

Het gemengd getal \(2\dfrac{21}{98}\) (twee en eenentwintig achtennegentigsten) omzetten in een onechte breuk

\(N\): teller van de onechte breuk \(=\) geheel deel (2) \(\times\) noemer (98) \(+\) teller (21)

\(2 \times 98 + 21 = 217\)

\(2\dfrac{21}{98} = \dfrac{217}{98}\)

Het belangrijkste idee

Een gemengd getal is zoals het is lastig te vereenvoudigen, dus zet het eerst om in een onechte breuk (een breuk waarvan de teller minstens zo groot is als de noemer). Om te zien waarom de formule werkt, kun je het gehele deel zien als zoveel breuken die gelijk zijn aan 1 met dezelfde noemer (2 is twee keer \(\dfrac{98}{98}\), dat is \(\dfrac{196}{98}\)).

Een onechte breuk omzetten in een gemengd getal

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(N\) \(=\) \(q\) \(\times\) \(D\) \(+\) \(r\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

① \(N\): teller van de onechte breuk \(=\) ③ \(q\): quotiënt (het gehele deel) \(\times\) ② \(D\): noemer \(+\) ④ \(r\): rest (de nieuwe teller)

De formule in woorden

① Deel de \(N\): teller van de onechte breuk

② door de \(D\): noemer

③ Het \(q\): quotiënt wordt het gehele deel van het gemengd getal, en

④ de \(r\): rest wordt de teller van het breukdeel (de noemer blijft \(D\))

Een eenvoudig voorbeeld

De onechte breuk \(\dfrac{31}{14}\) omzetten in een gemengd getal (31 ÷ 14 = 2 rest 3)

teller van de onechte breuk (31) \(=\) quotiënt (2) \(\times\) noemer (14) \(+\) rest (3)

\(31 = 2 \times 14 + 3\)

\(\dfrac{31}{14} = 2\dfrac{3}{14}\)

Het belangrijkste idee

Met het quotiënt en de rest van “teller ÷ noemer” kun je een onechte breuk omzetten in een gemengd getal. Laat bij een negatieve breuk het teken weg, doe dezelfde berekening en zet het teken aan het eind weer voor het hele gemengd getal (bijvoorbeeld \(-\dfrac{31}{14}\) → \(-2\dfrac{3}{14}\)).

Om een breuk te vereenvoudigen deel je de teller en de noemer door hun grootste gemene deler. Zet een gemengd getal eerst om in een onechte breuk voordat je vereenvoudigt, en zet het resultaat zo nodig weer om in een gemengd getal of kommagetal.

Symbolen en begrippen

Symbolen

\(n\)	kleine n	De teller (bovenste getal) van de breuk vóór het vereenvoudigen. (Voorbeeld: de 21 in \(\dfrac{21}{98}\))
\(d\)	kleine d	De noemer (onderste getal) van de breuk vóór het vereenvoudigen. (Voorbeeld: de 98 in \(\dfrac{21}{98}\))
\(g\)	g	De grootste gemene deler van de teller en de noemer. Om te vereenvoudigen deel je beide door dit getal. (Voorbeeld: voor 21 en 98 is het 7)
\(N\)	hoofdletter N	De nieuwe teller na een berekening. Op deze pagina is het de vereenvoudigde teller, of de teller die je krijgt als je een gemengd getal omzet in een onechte breuk.
\(D\)	hoofdletter D	De nieuwe noemer na het vereenvoudigen. (Voorbeeld: de 14 in \(\dfrac{3}{14}\), de vereenvoudigde vorm van \(\dfrac{21}{98}\))
\(w\)	w	Het gehele deel van een gemengd getal, van de eerste letter van het Engelse “whole”. (Voorbeeld: de 2 in \(2\dfrac{3}{14}\))
\(q\)	q	Het quotiënt als je de teller door de noemer deelt, van de eerste letter van “quotiënt”. Het wordt het gehele deel van het gemengd getal.
\(r\)	r	De rest als je de teller door de noemer deelt, van de eerste letter van het Engelse “remainder” (rest). Het wordt de teller van het breukdeel van het gemengd getal.
\(\gcd(n, d)\)	ggd van n en d	De notatie voor “de grootste gemene deler van \(n\) en \(d\)”. gcd staat voor het Engelse “greatest common divisor”, in het Nederlands ggd. Op school schrijf je meestal ggd(n, d).

Begrippen

vereenvoudigen	De teller en de noemer van een breuk delen door een gemene deler om de breuk eenvoudiger te maken. De waarde zelf verandert niet.
eenvoudigste vorm	Een breuk staat in de eenvoudigste vorm als hij niet verder te vereenvoudigen is. De grootste gemene deler van de teller en de noemer is dan 1. Staat er bij een toets “schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk”, dan gebruik je deze vorm.
gemene deler (gemeenschappelijke deler)	Een deler die twee of meer getallen gemeen hebben. (Voorbeeld: de gemene delers van 12 en 18 zijn 1, 2, 3 en 6)
grootste gemene deler (ggd)	De grootste van de gemene delers. In het Engels heet het ook “greatest common divisor” (gcd) of “greatest common factor” (gcf).
onechte breuk	Een breuk zoals \(\dfrac{31}{14}\) waarvan de teller gelijk is aan of groter dan de noemer. De waarde is 1 of meer.
gemengd getal	Een getal zoals \(2\dfrac{3}{14}\), geschreven als een geheel deel gevolgd door een breukdeel. Het heeft dezelfde waarde als een onechte breuk, maar je kunt je de grootte er makkelijker bij voorstellen.
echte breuk	Een breuk zoals \(\dfrac{3}{14}\) waarvan de teller kleiner is dan de noemer. De waarde is minder dan 1. Het breukdeel van een gemengd getal is altijd een echte breuk.
ontbinden in priemfactoren	Een getal schrijven als product van priemgetallen (bijvoorbeeld \(12 = 2 \times 2 \times 3\)). Vermenigvuldig je de priemfactoren die twee getallen gemeen hebben, dan krijg je hun grootste gemene deler.
algoritme van Euclides	Een manier om de grootste gemene deler te vinden door het grotere getal door het kleinere te delen en dan te herhalen met het paar “deler en rest”. Het gaat snel, ook bij grote getallen.

Handig om vooraf te weten

Dit helpt je om de berekening op deze pagina echt te begrijpen, en niet alleen op de knop te drukken.

Wat een breuk is (groep 5-6, 8-10 jaar)	Weten dat een breuk staat voor “een aantal van de gelijke delen waarin 1 is verdeeld” De namen en de rol kennen van de teller (bovenste getal) en de noemer (onderste getal)
Delers, gemene delers en de ggd (klas 1, 12-13 jaar)	Alle delers van een getal kunnen opschrijven (bijvoorbeeld de delers van 12 zijn 1, 2, 3, 4, 6, 12) Weten dat het grootste van de delers die twee getallen gemeen hebben (hun gemene delers) de grootste gemene deler is
Gelijkwaardige breuken, vereenvoudigen, onechte breuken en gemengde getallen (groep 7-8, 10-12 jaar)	Weten dat de waarde van een breuk niet verandert als je de teller en de noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigt of erdoor deelt Kunnen omzetten tussen onechte breuken en gemengde getallen (bijvoorbeeld \(\dfrac{31}{14} = 2\dfrac{3}{14}\))
Delen met rest (groep 5-6, 8-10 jaar)	Kunnen delen met een quotiënt en een rest, zoals “31 ÷ 14 = 2 rest 3”

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel om te vereenvoudigen (de teller en de noemer delen door de ggd)

Oorspronkelijke teller n	21
Oorspronkelijke noemer d	98
Grootste gemene deler g	=GGD(B1;B2)
Vereenvoudigde teller N	=B1/B3
Vereenvoudigde noemer D	=B2/B3

Tabel om de grootste gemene deler te vinden

Eerste getal (teller)	12
Tweede getal (noemer)	18
Grootste gemene deler g	=GGD(B1;B2)

Tabel om de teller te vinden bij het omzetten van een gemengd getal in een onechte breuk

Geheel deel w	2
Teller n	21
Noemer d	98
Teller van de onechte breuk N	=B1*B3+B2

Tabel om een onechte breuk om te zetten in een gemengd getal

Teller van de onechte breuk N	31
Noemer D	14
Geheel deel (quotiënt) q	=QUOTIENT(B1;B2)
Rest (teller van het breukdeel) r	=REST(B1;B2)

Na het plakken zijn de bovenste rijen je invoer en worden de cellen die met “=” beginnen automatisch berekend.
GGD geeft de grootste gemene deler, QUOTIENT het quotiënt (het gehele deel) en REST de rest.
In de eerste tabel toont B3 bijvoorbeeld de grootste gemene deler 7, B4 de vereenvoudigde teller 3 en B5 de vereenvoudigde noemer 14 (\(\dfrac{21}{98}\) → \(\dfrac{3}{14}\)).
Om een negatieve breuk om te zetten in een gemengd getal reken je zonder het teken en zet je het teken aan het eind erbij.

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel om te vereenvoudigen (de teller en de noemer delen door de ggd)

Oorspronkelijke teller n	21
Oorspronkelijke noemer d	98
Grootste gemene deler g	=GGD(B1;B2)
Vereenvoudigde teller N	=B1/B3
Vereenvoudigde noemer D	=B2/B3

Tabel om de grootste gemene deler te vinden

Eerste getal (teller)	12
Tweede getal (noemer)	18
Grootste gemene deler g	=GGD(B1;B2)

Tabel om de teller te vinden bij het omzetten van een gemengd getal in een onechte breuk

Geheel deel w	2
Teller n	21
Noemer d	98
Teller van de onechte breuk N	=B1*B3+B2

Tabel om een onechte breuk om te zetten in een gemengd getal

Teller van de onechte breuk N	31
Noemer D	14
Geheel deel (quotiënt) q	=QUOTIENT(B1;B2)
Rest (teller van het breukdeel) r	=REST(B1;B2)

Dezelfde formules als in Excel werken ook hier (GGD, QUOTIENT en REST bestaan alle drie ook in Google Spreadsheets).
Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de getallen in kolom B door je eigen breuk.

Berekenen met Python

from fractions import Fraction
from math import gcd

whole = 2          # het gehele deel van het gemengd getal (0 bij een gewone breuk)
numerator = 21     # teller
denominator = 98   # noemer

improper_numerator = whole * denominator + numerator    # teller na het omzetten in een onechte breuk
g = gcd(improper_numerator, denominator)                # grootste gemene deler van teller en noemer
simplified = Fraction(improper_numerator, denominator)  # breuk in de eenvoudigste vorm (Fraction vereenvoudigt automatisch)
q, r = divmod(abs(simplified.numerator), simplified.denominator)  # geheel deel en rest voor het gemengd getal

print(f"Als onechte breuk: {improper_numerator}/{denominator}")
print(f"Grootste gemene deler: {g}")
print(f"In de eenvoudigste vorm: {simplified}")
print(f"Als gemengd getal: {q} {r}/{simplified.denominator}")
print(f"Als kommagetal: {float(simplified)}")

Werkt met alleen de standaardbibliotheek. Fraction is een type dat breuken automatisch vereenvoudigt en math.gcd is een functie die de grootste gemene deler vindt. Pas de drie getallen bovenaan aan en voer de code uit.

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

Vereenvoudigen (de teller en de noemer delen door de ggd)

n/d = (n ÷ g)/(d ÷ g)

\dfrac{n}{d} = \dfrac{n \div g}{d \div g}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mfrac><mi>n</mi><mi>d</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>n</mi><mo>&#x00F7;</mo><mi>g</mi></mrow>
      <mrow><mi>d</mi><mo>&#x00F7;</mo><mi>g</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

n/d = (n -: g)/(d -: g)

(n/g)/(d/g)

(n/g)/(d/g);

N = n/g; D = d/g;

n/d = (n/g)/(d/g)

Zo vind je de grootste gemene deler \(g\)

g = gcd(n, d)

g = \gcd(n,\ d)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>g</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>gcd</mi>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mi>n</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>d</mi>
    <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
</math>

g = gcd(n, d)

GCD[n, d]

g := gcd(n, d);

g = gcd(n, d);

g = gcd(n, d)

Een gemengd getal omzetten in een onechte breuk

N = w × d + n

N = w \times d + n

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>N</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>w</mi>
    <mo>&#x00D7;</mo>
    <mi>d</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

N = w xx d + n

w*d + n

N := w*d + n;

N = w*d + n;

N = w × d + n

Een onechte breuk omzetten in een gemengd getal

N = q × D + r

N = q \times D + r

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>N</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>q</mi>
    <mo>&#x00D7;</mo>
    <mi>D</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>r</mi>
  </mrow>
</math>

N = q xx D + r

q*d + r  (* kleine letter d omdat D (de afgeleide-operator) in Mathematica gereserveerd is *)

N := q*d + r;  # kleine letter d omdat D (de afgeleide-operator) in Maple gereserveerd is

N = q*D + r;

N = q × D + r

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een rekenassistent voor breuken. Voer de volgende berekening uit door daadwerkelijk Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef geen antwoord op basis van hoofdrekenen of gokken).

Vereenvoudig het gemengd getal “2 en 21/98” zo ver mogelijk.
Zoek elk van de volgende:
1. Het gemengd getal geschreven als onechte breuk
2. De grootste gemene deler van de teller en de noemer
3. De breuk in de eenvoudigste vorm (zowel als onechte breuk als als gemengd getal)
4. De waarde als kommagetal

Laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule