IRR berekenen (interne rentabiliteit uit kasstromen)

Vul de initiële investering in en de kasstroom voor elk jaar vanaf jaar 1 (het geld dat je in dat jaar ontvangt). De rekenmachine bepaalt de disconteringsvoet waarbij de netto contante waarde (NCW) precies 0 is, en dat is de IRR (interne rentabiliteit).

Initiële investering (€)

Vul bedragen in euro’s in als gewone getallen. Vul de initiële investering in als positief bedrag (die wordt intern als uitgave, dus negatief, behandeld). Heb je in een later jaar meer geïnvesteerd, vul dan voor dat jaar een negatief bedrag in (bijvoorbeeld -50.000); laat jaren waarin geen geld beweegt leeg of op 0. Met “Rij toevoegen” voeg je rijen toe tot 20 jaar (20 jaar is genoeg voor de meeste investeringsbeslissingen).

Resultaat en grafiek

Vul links de initiële investering en de kasstroom per jaar in en klik op “Berekenen”. Het resultaat en een grafiek verschijnen hier.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formules en grafieken
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Vul de initiële investering en de kasstroom per jaar in (het geld dat je in dat jaar ontvangt) en je krijgt de IRR (interne rentabiliteit, per jaar)
De looptijd van de investering, het totaalresultaat (winst of verlies over de hele periode) en het totaal rendement worden tegelijk getoond
De bedragen per jaar mogen allemaal verschillen en extra investeringen in latere jaren (negatieve kasstromen) worden ondersteund
Een grafiek van de netto contante waarde (NCW) laat in één oogopslag zien waar de NCW 0 wordt, en dat is de IRR
Een heldere uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python staan ook op deze pagina

Deze pagina gaat uit van één kasstroom per jaar. Voor de rente van een investering met elke periode dezelfde betaling is “TVM-rekenmachine” bij de gerelateerde pagina’s handig (daar bereken je I/Y). De IRR is hier een rekensom zonder kosten of belastingen, en deze pagina raadt geen enkele investering aan.

Waarvoor is deze berekening handig?

Beslissen over een investering in apparatuur (kapitaalbegroting en het minimaal vereist rendement)

“Als we een machine van € 400.000 installeren, verwachten we in 3 jaar kostenbesparingen van € 100.000, € 200.000 en € 300.000.” Met deze schatting is de IRR ongeveer 19,4% per jaar. Bij investeringsbeslissingen van bedrijven is het gangbaar om deze IRR te vergelijken met het minimaal vereiste rendement (het minimaal vereist rendement, zoals de rente op een lening of de kapitaalkosten) en het project aan te nemen als de IRR hoger is. Elk studieboek bedrijfsfinanciering behandelt het.
Toekomstige kasstromen zijn echter slechts schattingen, dus het is verstandig om ook met een voorzichtige schatting te rekenen.

Een huurwoning beoordelen (jaarlijkse huur plus de verkoop aan het einde)

Het geld bij een investering in vastgoed stroomt zo: je koopt eerst de woning, elk jaar komt er huur binnen en aan het einde komt de verkoopopbrengst binnen, dus de bedragen per jaar verschillen allemaal. De kracht van de IRR is dat hij zulke ongelijke kasstromen omrekent naar één jaarpercentage, en vastgoedbeleggers gebruiken hem veel om woningen te vergelijken.
Anders dan het bruto huurrendement (huur ÷ prijs) neemt hij ook de winst of het verlies bij de verkoop mee en jaren waarin leegstand de huur verlaagt.

Nagaan of zonnepanelen of energiebesparende maatregelen zich terugverdienen

Zonnepanelen op een woning hebben een kasstroom die bij de IRR past: je betaalt eerst de installatie en daarna bespaar je elk jaar op je energierekening en krijg je een vergoeding voor de stroom die je terugleverde. In Nederland geldt sinds 1 januari 2023 een btw-tarief van 0% voor de levering en installatie van zonnepanelen op of bij een woning (Belastingdienst). De salderingsregeling stopt op 1 januari 2027; daarna krijg je van je leverancier een terugleververgoeding (Rijksoverheid), waarvan de hoogte per leverancier verschilt. Kost de installatie bijvoorbeeld € 8.000 (een voorbeeldbedrag), noteer dan de besparing per jaar en bereken de IRR, dan kun je het systeem op dezelfde schaal vergelijken met een spaarrekening of een indexfonds: “deze installatie is als een investering die X% per jaar oplevert”.
Het resultaat verandert als de aannames veranderen, zoals de stroomprijs, de terugleververgoeding en de levensduur van de apparatuur, dus het is verstandig om een paar scenario’s door te rekenen. Kijk voor de actuele regels op rijksoverheid.nl.

De prestaties van fondsen en overnames meten (werken in de financiële wereld)

Bij beleggingsfondsen zoals venture capital en private equity is de IRR de standaardmaatstaf voor de prestaties van een fonds. Wanneer geld bij beleggers wordt opgehaald en wanneer het wordt terugbetaald, verschilt per fonds, dus alleen de IRR, die rekening houdt met de tijd, geeft een eerlijke vergelijking.
Investeringsbanken en bedrijven die een fusie of overname (M&A) overwegen, berekenen ook de IRR uit de koopprijs en het toekomstige winstplan om te besluiten of ze doorgaan. Het is een van de eerste berekeningen die je leert als je een carrière in de financiële wereld nastreeft.

In cijfers zien dat geld dat sneller terugkomt meer waard is

Stel dat investeringen A en B allebei € 100.000 kosten en allebei in 5 jaar in totaal € 150.000 terugbetalen (een totaalresultaat van € 50.000 en een totaal rendement van 50%). A betaalt vroeg meer terug (€ 5.000, € 20.000, € 25.000, € 40.000, € 60.000), terwijl B vooral aan het einde betaalt (€ 0, € 10.000, € 30.000, € 30.000, € 80.000).
De totalen zijn gelijk, maar de IRR van A is 11,290% per jaar en die van B 10,259%, dus A, dat het geld eerder terugbetaalt, komt er beter uit. Geld dat terugkomt kun je opnieuw beleggen. De IRR laat je deze tijdswaarde van geld in cijfers zien.

Formules en grafieken

Geld over \(t\) jaar terugrekenen naar de waarde van nu (contante waarde)

Grafiek

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(PV\) \(=\) \(CF_t\) \(\div\) \((1+r)\) \(t\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

④ \(PV\): contante waarde \(=\) ① \(CF_t\): kasstroom in jaar \(t\) \(\div\) ② disconteringsfactor voor één jaar \((1+r)\) ③ \(t\): jaren

De formule in woorden

① Neem de \(CF_t\): kasstroom in jaar \(t\)

② en deel die door de disconteringsfactor voor één jaar \((1+r)\) (\(r\) is de disconteringsvoet)

③ die zo vaak met zichzelf is vermenigvuldigd als het aantal \(t\): jaren

④ en je krijgt de \(PV\): contante waarde

Een eenvoudig voorbeeld

Bij een disconteringsvoet van 10% is de contante waarde van € 1.210.000 die je over 2 jaar ontvangt (in eenheden van € 10.000)

\(PV\): contante waarde \(=\) geld over 2 jaar (€ 1.210.000) \(\div\) disconteringsfactor (1,1) jaren (2)

\(1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21\)

\(121 \div 1{,}21 = 100\)

Het belangrijkste idee

Kan geld 10% per jaar opleveren, dan zijn “€ 1.000.000 nu” en “€ 1.210.000 over 2 jaar” evenveel waard. Toekomstig geld terugrekenen naar wat het nu waard is heet disconteren, en de jaarlijkse rente \(r\) die je daarvoor gebruikt heet de disconteringsvoet. Geld heeft een tijdswaarde: dit is het idee waarop de IRR is gebouwd.

Formule voor de netto contante waarde (NCW)

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(\mathrm{NPV}\) \(=\) \(CF_0\) \(+\) \(\displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{CF_t}{(1+r)^{t}}\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ NCW: netto contante waarde \(=\) ① \(CF_0\): initiële investering (een negatieve waarde) \(+\) ② som van de contante waarden van de kasstromen van jaar 1 tot en met jaar \(n\)

De formule in woorden

① Neem de \(CF_0\): initiële investering (geld dat je betaalt, dus negatief)

② en tel daarbij de som van de contante waarden van de kasstroom van elk jaar (de kasstroom van elk jaar teruggerekend naar nu met formule 1 en dan alles opgeteld)

③ en je krijgt de NCW: netto contante waarde

Een eenvoudig voorbeeld

Bij een disconteringsvoet van 10% is de NCW van een investering van € 1.000.000 die in jaar € 1 550.000 en in jaar € 2 605.000 oplevert (in eenheden van € 10.000)

NCW: netto contante waarde \(=\) initiële investering (−€ 1.000.000) \(+\) som van de contante waarden van € 550.000 en € 605.000

\(55 \div 1{,}1 = 50\)

\(60{,}5 \div 1{,}21 = 50\)

\(-100 + 50 + 50 = 0\)

Het belangrijkste idee

De NCW is wat je krijgt als je al het geld dat bij een investering binnenkomt en uitgaat terugrekent naar de waarde van nu en optelt. Is het positief, dan doet de investering het beter dan een rente gelijk aan de disconteringsvoet \(r\); is het negatief, dan slechter; is het precies 0, dan precies hetzelfde als een rente van \(r\). De NCW in het voorbeeld is precies 0 omdat deze investering precies 10% per jaar oplevert.

Definitie van de IRR (interne rentabiliteit)

Grafiek

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(\mathrm{NPV}(\mathrm{IRR})\) \(=\) \(0\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

① NCW berekend met \(\mathrm{IRR}\) als disconteringsvoet \(=\) ② precies \(0\)

De formule in woorden

① De NCW berekend met \(\mathrm{IRR}\) als disconteringsvoet

② is precies \(0\) . De disconteringsvoet waarvoor dit klopt is de interne rentabiliteit, de IRR, en die geeft het rendement per jaar van de investering

Een eenvoudig voorbeeld

Voor de investering van € 1.000.000 die in jaar € 1 550.000 en in jaar € 2 605.000 oplevert, is de NCW precies 0 bij een disconteringsvoet van 10%, zoals in het voorbeeld van formule 2, dus

NCW (bij een disconteringsvoet van 10%) \(=\) precies 0

\(\mathrm{IRR} = 0{,}10\ \ (10\%)\)

Het belangrijkste idee

Deze vergelijking is niet om te schrijven naar de vorm \(\mathrm{IRR}=\cdots\) (het wordt een vergelijking van de \(n\)-de graad). In plaats daarvan verandert een computer de disconteringsvoet \(r\) stapje voor stapje, berekent de NCW en zoekt waar die 0 wordt (een numerieke methode). De rekenmachine op deze pagina lost het op dezelfde manier op. Een waarschuwing: verandert het teken (plus en min) van de kasstromen twee keer of vaker, bijvoorbeeld “investeren → ontvangen → opnieuw een groot bedrag investeren”, dan kan meer dan één disconteringsvoet de NCW gelijk aan 0 maken (het probleem van meerdere IRR’s). In dat geval toont de rekenmachine een melding. Bij investeringen met meerdere IRR’s is het gebruikelijk om te beslissen op basis van de NCW en niet van de IRR.

Totaalresultaat en totaal rendement

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(TR\) \(=\) \(S\) \(-\) \(C_0\)

\(G\) \(=\) \(TR\) \(\div\) \(C_0\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(TR\): totaalresultaat \(=\) ① \(S\): totaal ontvangen geld \(-\) ② \(C_0\): initiële investering

⑤ \(G\): totaal rendement \(=\) \(TR\): totaalresultaat \(\div\) ④ \(C_0\): initiële investering

De formule in woorden

① Neem het \(S\): totaal ontvangen geld

② trek er de \(C_0\): initiële investering van af

③ om het \(TR\): totaalresultaat (de winst of het verlies over de hele periode) te krijgen. Deel dat dan nog eens door de

④ \(C_0\): initial investment

⑤ en je krijgt het \(G\): totaal rendement (vermenigvuldig met 100 om het als % te schrijven)

Een eenvoudig voorbeeld

Investeer je € 4.000.000 en ontvang je € 1.000.000 in jaar 1, € 2.000.000 in jaar 2 en € 3.000.000 in jaar 3 (in eenheden van € 10.000)

\(TR\): totaalresultaat \(=\) totaal ontvangen (€ 6.000.000) \(-\) initiële investering (€ 4.000.000)

\(100 + 200 + 300 = 600\)

\(600 - 400 = 200\)

\(200 \div 400 = 0{,}5\ \ (50\%)\)

Het belangrijkste idee

Het totaal rendement is het % dat je over de hele periode hebt gewonnen ten opzichte van de investering, en het negeert de tijd. Een winst van 50% in 3 jaar en een winst van 50% in 10 jaar zijn heel verschillend. De IRR houdt rekening met de tijdswaarde en rekent het resultaat om naar een rendement per jaar, en is de hoofdwaarde op deze pagina. In dit voorbeeld is het totaal rendement 50%, maar de IRR is 19,438% per jaar.

De IRR (interne rentabiliteit) is de disconteringsvoet waarbij de NCW (netto contante waarde) precies 0 is, en dat is het rendement per jaar van de investering. Je kunt hem niet oplossen door de formule om te schrijven, dus hij wordt numeriek gezocht door de disconteringsvoet stapje voor stapje te veranderen. Ook bij hetzelfde totaalresultaat geldt: hoe eerder het geld terugkomt, hoe hoger de IRR.

Symbolen en begrippen

Symbolen

IRR	I R R	Interne rentabiliteit. De disconteringsvoet waarbij de NCW precies 0 is; ze geeft het rendement per jaar van de investering. (Voorbeeld: investeer je € 4.000.000 en ontvang je in 3 jaar € 1.000.000, € 2.000.000 en € 3.000.000, dan is de IRR 19,438% per jaar.)
NPV	N C W	Netto contante waarde. Al het geld dat bij een investering binnenkomt en uitgaat, teruggerekend naar de waarde van nu en opgeteld. Is het positief, dan doet de investering het beter dan de disconteringsvoet.
\(CF_t\)	C F index t	De kasstroom in jaar \(t\). Het geld dat je in dat jaar ontvangt (negatief als het geld was dat je betaalde).
\(CF_0\)	C F index nul	De kasstroom in jaar 0 (nu). De initiële investering is geld dat je betaalt, dus die is negatief. Op deze rekenmachine vul je haar als positief bedrag in en wordt ze als negatief behandeld.
\(r\)	r	De disconteringsvoet. De jaarlijkse rente waarmee je toekomstig geld terugrekent naar de waarde van nu. De IRR is de bijzondere \(r\) waarvoor de NCW 0 is.
\(t\)	t	Het jaarnummer. Het telt in welk jaar het geld valt, met het moment van investeren als jaar 0.
\(n\)	n	De looptijd van de investering in jaren. Het jaar van de laatste kasstroom.
\(PV\)	P V	Contante waarde. Toekomstig geld teruggerekend naar de waarde van nu.
\(S\)	S	Het totaal ontvangen geld. Alle kasstromen van jaar 1 tot en met jaar \(n\) opgeteld (extra investeringen tel je als negatieve bedragen mee).
\(TR\)	T R	Het totaalresultaat. Het totaal ontvangen geld min de initiële investering, de winst of het verlies over de hele periode.
\(G\)	G	Het totaal rendement. Het totaalresultaat als % van de initiële investering, een % over de hele periode dat de tijd negeert. Let op dat “bruto rendement” in de fondsenwereld meestal iets anders betekent, namelijk het rendement vóór kosten.

Begrippen

kasstroom	Geld dat binnenkomt of uitgaat. Ontvangen geld is een positief getal en betaald geld een negatief getal. Voor de IRR telt zowel wanneer als hoeveel het geld beweegt.
disconteringsvoet	De jaarlijkse rente die je gebruikt om toekomstig geld terug te rekenen naar de waarde van nu (te disconteren). € 110.000 over een jaar is bijvoorbeeld, gedisconteerd tegen 10% per jaar, € 100.000 nu waard.
contante waarde	Wat toekomstig geld nu waard is. Omdat geld een tijdswaarde heeft, is de contante waarde van hetzelfde bedrag van € 1.000.000 kleiner naarmate je het later ontvangt.
netto contante waarde (NCW)	De som van de contante waarden van alle kasstromen van een investering. Een positieve NCW zegt dat de investering meer oplevert dan de disconteringsvoet. Het is de meest basale maatstaf voor investeringsbeslissingen.
IRR (interne rentabiliteit)	De disconteringsvoet waarbij de NCW precies 0 is. In één getal zie je met welk rendement per jaar de investering overeenkomt, dus ze wordt veel gebruikt om bedrijfsprojecten en vastgoed te beoordelen.
minimaal vereist rendement (hurdle rate)	Het minimale rendement dat je van een investering eist (zoals de kapitaalkosten). In de praktijk wordt een project aangenomen als de IRR boven het minimaal vereiste rendement ligt.
meerdere-IRR-probleem	Een wiskundige eigenschap: verandert het teken van de kasstromen twee keer of vaker, dan kunnen twee of meer disconteringsvoeten de NCW gelijk aan 0 maken. De IRR alleen kan dan niet beslissen, dus je beslist op de NCW.
numerieke methode	Een manier om een vergelijking op te lossen die je niet kunt oplossen door de formule om te schrijven, waarbij een computer stapje voor stapje waarden probeert en het antwoord benadert. De IRR wordt zo gevonden (bisectie, de methode van Newton en andere).

Handig om vooraf te weten

Dit helpt je om de berekening op deze pagina echt te begrijpen, en niet alleen op de knop te drukken.

Percentages (groep 7-8, 10-12 jaar)	Weten dat je een percentage berekent als “deel ÷ geheel” Kunnen wisselen tussen decimalen en procenten, zoals 0,5 en 50%
Positieve en negatieve getallen (klas 1, 12-13 jaar)	Een betaling (geld dat uitgaat) kunnen schrijven als een negatief getal Positieve en negatieve getallen bij elkaar kunnen optellen
Machten (klas 2, 13-14 jaar)	Weten dat een macht herhaald vermenigvuldigen van hetzelfde getal is, zoals in \(1{,}1^2 = 1{,}1 \times 1{,}1\) Een gevoel hebben dat steeds opnieuw vermenigvuldigen met een getal groter dan 1 het antwoord steeds groter maakt
Het idee van een vergelijking (klas 1-2, 12-14 jaar)	Een vergelijking begrijpen als het zoeken naar de waarde van een letter waarvoor beide kanten gelijk zijn Weten dat sommige vergelijkingen niet op te lossen zijn door de formule om te schrijven, en dat je het antwoord dan kunt benaderen door waarden te proberen (een numerieke methode)
Samengestelde rente en de tijdswaarde van geld (bovenbouw havo/vwo, wiskunde en economie)	Weten dat geld dat \(r\) per jaar oplevert elk jaar \((1+r)\) keer zo groot wordt Weten dat je omgekeerd toekomstig geld door \((1+r)\) deelt om het om te rekenen naar de waarde van nu (disconteren en contante waarde)

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel voor de contante waarde van geld over t jaar

Geld dat je over t jaar ontvangt (€)	110000
Disconteringsvoet (%)	10
Jaren t	1
Contante waarde (€)	=B1/(1+B2/100)^B3

Tabel voor de netto contante waarde (NCW)

Initiële investering (negatief invullen)	-1000000
Kasstroom in jaar 1	550000
Kasstroom in jaar 2	605000
Disconteringsvoet (%)	10
NCW (€)	=NHW(B4/100;B2:B3)+B1

Tabel voor de IRR (interne rentabiliteit)

Initiële investering (negatief invullen)	-4000000
Kasstroom in jaar 1	1000000
Kasstroom in jaar 2	2000000
Kasstroom in jaar 3	3000000
IRR (%)	=IR(B1:B4)*100

Tabel voor het totaalresultaat en het totaal rendement

Initiële investering	4000000
Totaal ontvangen geld	6000000
Totaalresultaat (€)	=B2-B1
Totaal rendement (%)	=(B2-B1)/B1*100

Excel heeft een functie speciaal voor de IRR. Zoals in de derde tabel geef je de lijst met kasstromen, met de initiële investering negatief ingevuld, aan “=IR(B1:B4)”, en je krijgt in het voorbeeld ongeveer 19,438 (%).
De functie NHW in de tweede tabel heeft een bekende valkuil. De NHW-functie van Excel hoort alleen het geld vanaf jaar 1 in haar bereik te hebben; de initiële investering (jaar 0) tel je buiten de functie erbij (het voorbeeld geeft precies 0).
De eerste tabel geeft precies 100.000 en de vierde geeft een totaalresultaat van 2.000.000 en een totaal rendement van 50%. Vervang gewoon kolom B door je eigen getallen. In Nederlandse Excel scheid je de argumenten met een puntkomma.

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel voor de contante waarde van geld over t jaar

Geld dat je over t jaar ontvangt (€)	110000
Disconteringsvoet (%)	10
Jaren t	1
Contante waarde (€)	=B1/(1+B2/100)^B3

Tabel voor de netto contante waarde (NCW)

Initiële investering (negatief invullen)	-1000000
Kasstroom in jaar 1	550000
Kasstroom in jaar 2	605000
Disconteringsvoet (%)	10
NCW (€)	=NHW(B4/100;B2:B3)+B1

Tabel voor de IRR (interne rentabiliteit)

Initiële investering (negatief invullen)	-4000000
Kasstroom in jaar 1	1000000
Kasstroom in jaar 2	2000000
Kasstroom in jaar 3	3000000
IRR (%)	=IR(B1:B4)*100

Tabel voor het totaalresultaat en het totaal rendement

Initiële investering	4000000
Totaal ontvangen geld	6000000
Totaalresultaat (€)	=B2-B1
Totaal rendement (%)	=(B2-B1)/B1*100

Dezelfde formules en dezelfde functies IR en NHW als in Excel werken hier ook. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang kolom B door je eigen getallen.

Berekenen met Python

initial_investment = 4000000                     # initiële investering (€)
cash_flows = [1000000, 2000000, 3000000]         # kasstroom per jaar vanaf jaar 1 (€)

# NCW (netto contante waarde): reken elke kasstroom terug naar de waarde van nu en tel ze op
def npv(rate, cfs):
    return sum(cf / (1 + rate) ** t for t, cf in enumerate(cfs))

cfs = [-initial_investment] + cash_flows

# Zoek met bisectie de disconteringsvoet waarbij de NCW 0 is (de IRR)
# (een eenvoudige versie voor gewone investeringen waarvan het teken maar één keer verandert)
low, high = -0.9999, 10.0
for _ in range(200):
    mid = (low + high) / 2
    if npv(low, cfs) * npv(mid, cfs) <= 0:
        high = mid
    else:
        low = mid
irr = (low + high) / 2

total_return = sum(cash_flows) - initial_investment
gross_return = total_return / initial_investment * 100

print(f"IRR: {irr * 100:.3f}%")
print(f"Totaalresultaat: € {total_return}")
print(f"Totaal rendement: {gross_return:.3f}%")

Werkt met alleen de standaardbibliotheek. De IRR is niet op te lossen door de formule om te schrijven, dus hij wordt gevonden met bisectie (een numerieke methode die het bereik steeds halveert om het antwoord te benaderen). Pas bovenaan de initiële investering en de lijst met kasstromen aan en voer het uit (het voorbeeld geeft 19,438%). Python toont getallen in Engelse notatie (punt bij decimalen).

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

Geld over \(t\) jaar terugrekenen naar de waarde van nu (contante waarde)

PV = CFₜ ÷ (1 + r)ᵗ

PV = \dfrac{CF_t}{(1+r)^{t}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>PV</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <msub><mi>CF</mi><mi>t</mi></msub>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>t</mi>
      </msup>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

PV = (CF_t) / ((1 + r)^t)

cf/(1 + r)^t

PV := cf/(1 + r)^t;

PV = cf/(1 + r)^t;

PV = CF_t/(1 + r)^t

Formule voor de netto contante waarde (NCW)

NPV = CF₀ + CF₁/(1 + r)¹ + … + CFₙ/(1 + r)ⁿ

\mathrm{NPV} = \sum_{t=0}^{n} \dfrac{CF_t}{(1+r)^{t}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>NPV</mi>
    <mo>=</mo>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
      <mi>n</mi>
    </munderover>
    <mfrac>
      <msub><mi>CF</mi><mi>t</mi></msub>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>t</mi>
      </msup>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

NPV = sum_(t=0)^n (CF_t) / ((1 + r)^t)

Sum[cf[t]/(1 + r)^t, {t, 0, n}]

NPV := sum(cf(t)/(1 + r)^t, t = 0 .. n);

NPV = sum(cf ./ (1 + r).^(0:n));

NPV = ∑_(t=0)^n CF_t/(1 + r)^t

Definitie van de IRR (interne rentabiliteit)

CF₀ + CF₁/(1 + IRR)¹ + … + CFₙ/(1 + IRR)ⁿ = 0

\sum_{t=0}^{n} \dfrac{CF_t}{(1+\mathrm{IRR})^{t}} = 0

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
      <mi>n</mi>
    </munderover>
    <mfrac>
      <msub><mi>CF</mi><mi>t</mi></msub>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>IRR</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>t</mi>
      </msup>
    </mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
  </mrow>
</math>

sum_(t=0)^n (CF_t) / ((1 + IRR)^t) = 0

Solve[Sum[cf[t]/(1 + x)^t, {t, 0, n}] == 0, x]

solve(sum(cf(t)/(1 + x)^t, t = 0 .. n) = 0, x);

solve(sum(cf ./ (1 + x).^(0:n)) == 0, x)

∑_(t=0)^n CF_t/(1 + IRR)^t = 0

Totaalresultaat en totaal rendement

G = (S − C₀) ÷ C₀

G = \dfrac{S - C_0}{C_0}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>G</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>S</mi><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>C</mi><mn>0</mn></msub></mrow>
      <msub><mi>C</mi><mn>0</mn></msub>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

G = (S - C_0) / C_0

(s - c0)/c0

G := (s - c0)/c0;

G = (s - c0)/c0;

G = (S − C_0)/C_0

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een assistent voor beleggingsberekeningen. Voer de volgende berekening uit door echt Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geen hoofdrekenen of gokken).

Ik heb € 4.000.000 geïnvesteerd en ontving € 1.000.000 in jaar 1, € 2.000.000 in jaar 2 en € 3.000.000 in jaar 3.
Bereken het volgende:
1. De IRR (interne rentabiliteit, in %, op 3 decimalen) = de r waarvoor NCW(r) = -4000000 + 1000000/(1+r) + 2000000/(1+r)^2 + 3000000/(1+r)^3 gelijk is aan 0
2. Het totaalresultaat (in euro’s)
3. Het totaal rendement (in %, op 3 decimalen)

Laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule