이차함수 y = ax² + bx + c의 계수 a, b, c를 입력하세요. 아래 수식은 입력란과 연결되어 있어서 계수 부분을 직접 고쳐도 계산할 수 있습니다.
소수, 음수, 3/4 같은 분수를 쓸 수 있습니다. a가 빈칸이면 1(x²은 1x²이라는 뜻), b와 c가 빈칸이면 0으로 계산합니다.
계산 결과·그래프
왼쪽 입력란에 계수 a, b, c를 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 완전제곱식으로 고치는 풀이 과정과 꼭짓점의 좌표, 그래프가 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- 이차함수 \(y = ax^{2} + bx + c\)를 계수만 넣으면 완전제곱식을 이용해 \(y = a(x - p)^{2} + q\) 꼴(표준형)로 바꿀 수 있습니다
- ‘계수로 묶기 → \(x\)의 계수의 절반의 제곱을 더하고 빼기 → 제곱 꼴로 정리하기’라는 교과서와 같은 순서의 풀이 과정을 한 줄씩 보여 줍니다
- 꼭짓점의 좌표 \((p,\ q)\), 축의 방정식 \(x = p\), 그래프의 모양(아래로 볼록·위로 볼록), 최댓값/최솟값도 한꺼번에 구하고, 포물선 그래프도 보여 줍니다
- 답은 \(-\dfrac{5}{4}\)와 같은 기약분수(정확한 값)와 소수로 모두 표시합니다. 계수에는 소수, 음수뿐 아니라 3/4 같은 분수도 입력할 수 있습니다
- 계산기에는 손으로 쓸 때와 같은 모양의 식이 표시되고, 계수 부분을 직접 고쳐서 계산할 수도 있습니다
- 공식의 쉬운 해설과 Excel·Google 스프레드시트·Python에 복사해 쓸 수 있는 수식도 이 페이지에 정리되어 있습니다
이차함수(x²의 계수 a가 0이 아닌 경우)를 다룹니다. ax²+bx+c = 0 꼴의 방정식을 풀고 싶을 때는 관련 기능의 ‘이차방정식 근의 공식 계산기’를 이용하세요.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
공이나 분수의 가장 높은 점 구하기(물리·스포츠)
위로 던진 공이나 분수의 물의 높이는 시간에 대한 이차함수로 잘 근사됩니다. 예를 들어 높이가 \(y = -5t^{2} + 20t\)(m, \(t\)는 초. 공기 저항을 무시한 근사식)로 나타날 때, 완전제곱식으로 고치면 \(y = -5(t - 2)^{2} + 20\)이 되어 ‘2초 후에 최고점 20 m에 이른다’는 것을 읽어 낼 수 있습니다.
꼭짓점, 즉 ‘가장 높은 점과 그 시각’을 식에서 바로 꺼낼 수 있다는 것이 이 변형의 강점이며, 물리의 포물선 운동 문제는 이 계산의 대표적인 쓰임새입니다.
이익이 가장 커지는 가격 찾기(비즈니스·경제)
‘가격을 올리면 1개당 이익은 늘지만 팔리는 개수는 줄어드는’ 상황에서는 이익을 가격에 대한 이차함수(위로 볼록)로 근사할 수 있는 경우가 있습니다. 이때 이익이 가장 커지는 가격이 바로 포물선의 꼭짓점입니다. 예를 들어 이익을 \(y = -x^{2} + 60x - 500\)(\(x\)는 가격)으로 나타낼 수 있다면, 꼭짓점의 \(x = 30\)이 이익을 가장 크게 하는 가격입니다.
실제 시장은 훨씬 복잡하지만, ‘가장 좋은 값을 꼭짓점에서 찾는다’는 생각은 가격을 정하거나 광고비를 나눌 때 출발점으로 쓰입니다.
정해진 길이의 울타리로 가장 넓은 화단 만들기(설계·DIY)
둘레의 길이가 정해진 직사각형의 넓이는 변의 길이에 대한 이차함수가 됩니다. 예를 들어 울타리의 전체 길이가 20 m이면 가로를 \(x\) m라고 할 때 세로는 \(10 - x\) m이고, 넓이는 \(y = x(10 - x) = -x^{2} + 10x\)가 됩니다. 완전제곱식으로 고치면 \(y = -(x - 5)^{2} + 25\)가 되어, \(x = 5\)(정사각형)일 때 가장 넓은 25 m²라는 것을 알 수 있습니다.
‘한정된 재료나 예산으로 효과를 가장 크게 하는’ 최적화 문제의 가장 기본적인 꼴입니다.
안테나와 조명의 반사면 설계(공학)
파라볼라 안테나나 자동차 전조등, 손전등의 반사면은 포물선을 축을 중심으로 회전시킨 모양(회전포물면)입니다. 축에 평행하게 들어온 전파나 빛이 반사되면 모두 축 위의 한 점(초점)에 모이는 포물선의 성질을 이용한 것이며, 거꾸로 초점에서 나온 빛은 축에 평행하게 곧장 나아갑니다.
설계에서는 포물선을 ‘꼭짓점이 어디이고, 어느 방향으로 얼마나 열려 있는가’로 다루기 때문에, 꼭짓점을 기준으로 한 표준형 \(y = a(x - p)^{2} + q\)의 생각이 그대로 바탕이 됩니다.
공식과 그래프
완전제곱식으로 고치기(표준형으로 변형)
그래프
수학 표기
(일반적인 수식)
\(y\)
\(=\)
\(a\)
\(\left(x - p\right)^{2}\)
\(+\)
\(q\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
④
이차함수의 값(\(y\))
\(=\)
①
\(x^{2}\)의 계수(\(a\))
②
\(x\)에서 꼭짓점의 x좌표(\(p\))를 뺀 값의 제곱
\(+\)
③
꼭짓점의 y좌표(\(q\))
공식을 말로 읽으면
①
\(x^{2}\)의 계수(\(a\))
에
②
\(x\)에서 꼭짓점의 x좌표(\(p\))를 뺀 값의 제곱
을 곱하고
③
꼭짓점의 y좌표(\(q\))
를 더하면
④
이차함수의 값(\(y\))
이 됩니다(이 꼴이면 꼭짓점 \((p,\ q)\)와 축 \(x = p\)를 한눈에 알 수 있습니다)
간단한 예
\(y = 2x^{2} - 8x + 3\)을 완전제곱식으로 고치면 \(y = 2(x - 2)^{2} - 5\)입니다(꼭짓점은 \((2,\ -5)\))
이차함수의 값(\(y\))
\(=\)
\(x^{2}\)의 계수(2)
\(x\)에서 2를 뺀 값의 제곱
\(+\)
꼭짓점의 y좌표(−5)
\(y = 2x^{2} - 8x + 3 = 2\left(x^{2} - 4x\right) + 3\)
\(y = 2\left(x^{2} - 4x + 4 - 4\right) + 3 = 2\left\{\left(x - 2\right)^{2} - 4\right\} + 3\)
\(y = 2\left(x - 2\right)^{2} - 8 + 3 = 2\left(x - 2\right)^{2} - 5\)
이해의 핵심
완전제곱식으로 고친다는 것은 이차함수의 식을 ‘제곱 덩어리 + 상수’의 꼴로 바꾸는 변형입니다. \((x - p)^{2}\)은 제곱이므로 항상 0 이상이고, \(x = p\)일 때만 0이 됩니다. 그래서 \(a > 0\)이면 \(x = p\)일 때 \(y\)가 가장 작고(최솟값 \(q\)), \(a < 0\)이면 가장 큽니다(최댓값 \(q\)). ‘식의 꼴’만 보고 꼭짓점과 최댓값·최솟값을 읽어 낼 수 있다는 것이 이 변형의 가치입니다.
\(y = ax^{2} + bx + c\) 꼴을 일반형, \(y = a(x - p)^{2} + q\) 꼴을 표준형(꼭짓점이 한눈에 보이는 꼴)이라고 합니다. 그래프를 그릴 때나 최댓값·최솟값을 구할 때는 먼저 표준형으로 고치는 것이 기본입니다.
꼭짓점의 x좌표(축의 위치)
수학 표기
(일반적인 수식)
\(p\)
\(=\)
\(-b\)
\(\div\)
\((\)
\(2a\)
\()\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
꼭짓점의 x좌표(\(p\))
\(=\)
①
부호를 바꾼 \(x\)의 계수(\(-b\))
\(\div\)
\((\)
②
\(x^{2}\)의 계수의 2배(\(2a\))
\()\)
공식을 말로 읽으면
①
부호를 바꾼 \(x\)의 계수(\(-b\))
를
②
\(x^{2}\)의 계수의 2배(\(2a\))
로 나누면
③
꼭짓점의 x좌표(\(p\))
가 됩니다(축은 직선 \(x = p\)입니다)
간단한 예
\(y = 2x^{2} - 8x + 3\)(\(a = 2,\ b = -8\))의 꼭짓점의 x좌표는
꼭짓점의 x좌표(\(p\))
\(=\)
부호를 바꾼 \(b\)(8)
\(\div\)
\((\)
\(a\)의 2배(4)
\()\)
\(p = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-8}{2 \times 2} = \dfrac{8}{4} = 2\)
이해의 핵심
이 식은 문자 그대로 완전제곱식으로 끝까지 고쳐 보면 나오는 ‘꼭짓점의 위치 공식’입니다. 매번 식을 변형하지 않아도 계수 \(a\)와 \(b\)만으로 꼭짓점의 x좌표를 한 번에 구할 수 있습니다(이 계산기도 내부에서 이 식으로 \(p\)를 구합니다).
포물선은 축(직선 \(x = p\))에 대하여 좌우 대칭이므로, \(p\)는 ‘그래프가 접히는 위치’이기도 합니다. 이차방정식의 근의 공식 \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\)에서 ‘± 앞’ 부분인 \(-\dfrac{b}{2a}\)와 같은 꼴로, 두 근의 정확히 한가운데에 축이 있다는 것을 나타냅니다.
꼭짓점의 y좌표(최댓값·최솟값)
그래프
수학 표기
(일반적인 수식)
\(q\)
\(=\)
\(c\)
\(-\)
\(b^{2}\)
\(\div\)
\((\)
\(4a\)
\()\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
④
꼭짓점의 y좌표(\(q\))
\(=\)
①
상수항(\(c\))
\(-\)
②
\(x\)의 계수(\(b\))의 제곱
\(\div\)
\((\)
③
\(x^{2}\)의 계수의 4배(\(4a\))
\()\)
공식을 말로 읽으면
①
상수항(\(c\))
에서
②
\(x\)의 계수(\(b\))의 제곱
을
③
\(x^{2}\)의 계수의 4배(\(4a\))
로 나눈 값을 빼면
④
꼭짓점의 y좌표(\(q\))
가 됩니다(\(a > 0\)이면 최솟값, \(a < 0\)이면 최댓값)
간단한 예
\(y = 2x^{2} - 8x + 3\)(\(a = 2,\ b = -8,\ c = 3\))의 꼭짓점의 y좌표는
꼭짓점의 y좌표(\(q\))
\(=\)
상수항(3)
\(-\)
\(b\)의 제곱(64)
\(\div\)
\((\)
\(a\)의 4배(8)
\()\)
\(q = c - \dfrac{b^{2}}{4a} = 3 - \dfrac{(-8)^{2}}{4 \times 2} = 3 - \dfrac{64}{8} = 3 - 8 = -5\)
이해의 핵심
\(q\)는 ‘\(x = p\)일 때의 \(y\)의 값’이므로, 처음 식에 \(x = p\)를 대입해도 같은 답이 나옵니다(검산할 때 편리합니다).
아래로 볼록(\(a > 0\))한 포물선은 꼭짓점이 가장 낮은 점이므로 \(q\)가 최솟값이고, 위로 볼록(\(a < 0\))하면 꼭짓점이 가장 높은 점이므로 \(q\)가 최댓값입니다. 다만 정의역(\(x\)가 움직일 수 있는 범위)이 제한된 문제에서는 꼭짓점이 범위 밖에 있을 수 있으므로, 범위의 양 끝에서의 값과 비교해서 판단해야 합니다.
이차함수 \(y = ax^{2} + bx + c\)는 완전제곱식을 이용해 \(y = a(x - p)^{2} + q\)의 표준형으로 고칠 수 있습니다(\(p = -\dfrac{b}{2a}\), \(q = c - \dfrac{b^{2}}{4a}\)). 꼭짓점은 \((p,\ q)\), 축은 직선 \(x = p\)이고, \(a > 0\)이면 \(x = p\)일 때 최솟값 \(q\), \(a < 0\)이면 최댓값 \(q\)를 가집니다.
용어·기호 해설
기호
| \(a,\ b,\ c\) | 에이, 비, 씨 | 이차함수 \(y = ax^{2} + bx + c\)의 계수입니다. \(a\)는 \(x^{2}\)의 계수(0이 아님), \(b\)는 \(x\)의 계수, \(c\)는 상수항입니다. ‘정해진 수’를 나타낼 때는 알파벳 앞쪽의 문자 \(a,\ b,\ c\)를 쓰는 관례가 있습니다. |
| \(x,\ y\) | 엑스, 와이 | 변수입니다. \(x\)가 입력, \(y\)가 출력입니다. ‘여러 가지 값을 가지는 수’에는 알파벳 끝쪽의 문자 \(x,\ y,\ z\)를 쓰는 관례가 있습니다. |
| \(p\) | 피 | 꼭짓점의 x좌표입니다. 축(직선 \(x = p\))의 위치이기도 합니다. 교과서에서는 꼭짓점의 좌표를 나타내는 문자로 \(q\)와 함께 관례적으로 씁니다. |
| \(q\) | 큐 | 꼭짓점의 y좌표입니다. \(a > 0\)이면 최솟값, \(a < 0\)이면 최댓값이 됩니다. 알파벳에서 \(p\) 다음 문자라서 \(p\)와 함께 자주 씁니다. |
| \((x - p)^{2}\) | 엑스 빼기 피의 제곱 | 완전제곱식으로 고쳐서 만드는 ‘제곱 덩어리’입니다. 제곱이므로 항상 0 이상이고, \(x = p\)일 때만 0이 됩니다. 이 성질이 바로 ‘꼭짓점에서 최대·최소가 되는’ 이유입니다. |
| \(x^{2}\) | 엑스 제곱 | \(x\)를 두 번 곱한 것입니다(\(x^{2} = x \times x\)). 오른쪽 위의 작은 수(지수)가 곱하는 횟수를 나타냅니다. |
용어
| 이차함수 | \(y = ax^{2} + bx + c\)(\(a \neq 0\)) 꼴로 나타내는 함수입니다. 그래프는 포물선이 됩니다. 중학교 3학년에서 그래프를 배우고, 고등학교 1학년 수학에서 최댓값·최솟값을 배웁니다. |
| 포물선 | 이차함수의 그래프로 나타나는 좌우 대칭인 곡선입니다. 물체를 비스듬히 던졌을 때 날아가는 길과 같은 모양이라서 이런 이름이 붙었습니다. |
| 꼭짓점 | 포물선이 꺾여 돌아가는 점입니다. 아래로 볼록하면 가장 낮은 점, 위로 볼록하면 가장 높은 점이고, 좌표는 \((p,\ q)\)입니다. |
| 축 | 포물선의 대칭축이 되는 세로 직선 \(x = p\)를 말합니다. 포물선은 이 직선에 대하여 좌우 대칭이고, 축 위에 꼭짓점이 있습니다. |
| 완전제곱식 | \((x - 2)^{2}\)처럼 어떤 식의 제곱으로 나타낸 식입니다. \(y = ax^{2} + bx + c\)를 이 식을 이용해 \(y = a(x - p)^{2} + q\) 꼴로 고치는 것을 ‘완전제곱식으로 고친다’고 합니다(‘평방완성’이라고 부르기도 합니다). 꼭짓점, 축, 최댓값/최솟값을 구하는 기본 방법이며, 이차방정식의 근의 공식도 이 변형으로 이끌어 냅니다. |
| 제곱 | 같은 수를 두 번 곱하는 것입니다. \(3\)의 제곱은 \(3^{2} = 9\)입니다. |
| 일반형 | \(y = ax^{2} + bx + c\) 꼴입니다. 전개한 보통의 꼴로, \(y\)축과 만나는 점(\(x = 0\)일 때 \(y = c\))을 읽기 쉽습니다. |
| 표준형 | \(y = a(x - p)^{2} + q\) 꼴입니다. 꼭짓점 \((p,\ q)\)가 한눈에 보이는 꼴입니다. 완전제곱식으로 고치는 것은 일반형을 표준형으로 바꾸는 변형입니다. |
| 아래로 볼록 | 그래프가 골짜기 모양으로 열려 있는 것입니다. \(a > 0\)일 때이며, 꼭짓점이 가장 낮은 점이 됩니다. |
| 위로 볼록 | 그래프가 산 모양으로 열려 있는 것입니다. \(a < 0\)일 때이며, 꼭짓점이 가장 높은 점이 됩니다. |
| 최댓값 | 함숫값 \(y\)가 가질 수 있는 가장 큰 값입니다. 이차함수에서는 위로 볼록할 때 꼭짓점의 y좌표 \(q\)가 최댓값이 됩니다. |
| 최솟값 | 함숫값 \(y\)가 가질 수 있는 가장 작은 값입니다. 이차함수에서는 아래로 볼록할 때 꼭짓점의 y좌표 \(q\)가 최솟값이 됩니다. |
| 계수 | 문자 앞에 붙어 있는 수입니다. \(2x^{2}\)의 2가 계수입니다. \(x^{2}\)처럼 수가 쓰여 있지 않은 항의 계수는 1로 봅니다. |
| 상수항 | \(2x^{2} - 8x + 3\)의 3처럼 \(x\)가 들어 있지 않은 ‘숫자만 있는 항’입니다. \(x\)가 어떤 값이든 변하지 않는(일정한 = 상수) 항이라서 이렇게 부릅니다. |
| 대칭 | 접으면 꼭 맞게 겹치는 성질입니다. 포물선은 축을 따라 접으면 좌우가 꼭 맞게 겹칩니다(선대칭). |
| 정의역 | \(x\)가 움직일 수 있는 범위입니다. 정의역이 제한된 문제(예: \(0 \le x \le 3\))에서는 최댓값·최솟값이 꼭짓점이 아니라 범위의 끝에서 정해지기도 합니다. |
| 평행이동 | 도형을 모양을 바꾸지 않고 옮기는 것입니다. \(y = a(x - p)^{2} + q\)의 그래프는 \(y = ax^{2}\)의 그래프를 \(x\)축의 방향으로 \(p\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(q\)만큼 평행이동한 것입니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘의미를 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
막히면 이 표의 내용으로 돌아가 복습하는 것이 지름길입니다.
| 함수와 그래프(중학교 1~3학년, 12~15세) |
|
| 곱셈 공식과 인수분해(중학교 3학년, 14~15세) |
|
| 정수와 유리수, 문자와 식(중학교 1~2학년, 12~14세) |
|
| 분수의 계산(초등학교 5학년~중학교 1학년, 10~13세) |
|
| 이차함수의 그래프(중학교 3학년~고등학교 1학년, 14~16세) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘완전제곱식으로 고치기(꼭짓점의 좌표 p, q)’를 구하는 표
| x²의 계수 a | 2 |
| x의 계수 b | -8 |
| 상수항 c | 3 |
| 꼭짓점의 x좌표 p | =-B2/(2*B1) |
| 꼭짓점의 y좌표 q | =B3-B2^2/(4*B1) |
‘꼭짓점의 x좌표(축의 위치)’를 구하는 표
| x²의 계수 a | 1 |
| x의 계수 b | -6 |
| 꼭짓점의 x좌표 p = −b/(2a) | =-B2/(2*B1) |
‘꼭짓점의 y좌표(최댓값·최솟값)’를 구하는 표
| x²의 계수 a | 1 |
| x의 계수 b | -6 |
| 상수항 c | 5 |
| 꼭짓점의 y좌표 q = c − b²/(4a) | =B3-B2^2/(4*B1) |
‘완전제곱식으로 고친 식이 처음 식과 같은지’ 확인하는 표
| x²의 계수 a | 2 |
| x의 계수 b | -8 |
| 상수항 c | 3 |
| 확인할 x의 값 | 1 |
| 꼭짓점의 x좌표 p | =-B2/(2*B1) |
| 꼭짓점의 y좌표 q | =B3-B2^2/(4*B1) |
| 처음 식 ax²+bx+c의 값 | =B1*B4^2+B2*B4+B3 |
| 표준형 a(x−p)²+q의 값 | =B1*(B4-B5)^2+B6 |
붙여 넣으면 위쪽 행(계수)이 입력란이 되고, 아래쪽 행이 자동 계산 결과가 됩니다.
‘^’는 거듭제곱, ‘*’는 곱셈, ‘/’는 나눗셈 기호입니다.
첫 번째 표는 y = 2x² − 8x + 3의 예로, p는 2, q는 −5가 됩니다(즉 y = 2(x − 2)² − 5).
두 번째와 세 번째 표는 y = x² − 6x + 5의 예로, p는 3, q는 −4가 됩니다.
네 번째 표는 검산용입니다. 같은 x(예에서는 1)를 넣었을 때 ‘처음 식의 값’과 ‘표준형의 값’이 모두 −3으로 같다는 것을 확인할 수 있습니다.
‘^’는 거듭제곱, ‘*’는 곱셈, ‘/’는 나눗셈 기호입니다.
첫 번째 표는 y = 2x² − 8x + 3의 예로, p는 2, q는 −5가 됩니다(즉 y = 2(x − 2)² − 5).
두 번째와 세 번째 표는 y = x² − 6x + 5의 예로, p는 3, q는 −4가 됩니다.
네 번째 표는 검산용입니다. 같은 x(예에서는 1)를 넣었을 때 ‘처음 식의 값’과 ‘표준형의 값’이 모두 −3으로 같다는 것을 확인할 수 있습니다.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘완전제곱식으로 고치기(꼭짓점의 좌표 p, q)’를 구하는 표
| x²의 계수 a | 2 |
| x의 계수 b | -8 |
| 상수항 c | 3 |
| 꼭짓점의 x좌표 p | =-B2/(2*B1) |
| 꼭짓점의 y좌표 q | =B3-B2^2/(4*B1) |
‘꼭짓점의 x좌표(축의 위치)’를 구하는 표
| x²의 계수 a | 1 |
| x의 계수 b | -6 |
| 꼭짓점의 x좌표 p = −b/(2a) | =-B2/(2*B1) |
‘꼭짓점의 y좌표(최댓값·최솟값)’를 구하는 표
| x²의 계수 a | 1 |
| x의 계수 b | -6 |
| 상수항 c | 5 |
| 꼭짓점의 y좌표 q = c − b²/(4a) | =B3-B2^2/(4*B1) |
‘완전제곱식으로 고친 식이 처음 식과 같은지’ 확인하는 표
| x²의 계수 a | 2 |
| x의 계수 b | -8 |
| 상수항 c | 3 |
| 확인할 x의 값 | 1 |
| 꼭짓점의 x좌표 p | =-B2/(2*B1) |
| 꼭짓점의 y좌표 q | =B3-B2^2/(4*B1) |
| 처음 식 ax²+bx+c의 값 | =B1*B4^2+B2*B4+B3 |
| 표준형 a(x−p)²+q의 값 | =B1*(B4-B5)^2+B6 |
Excel과 같은 수식을 그대로 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 계수를 원하는 숫자로 바꾸세요.
Python으로 계산하는 방법
from fractions import Fraction
# 이차함수 y = ax² + bx + c의 계수(3/4 같은 분수는 Fraction(3, 4)로 쓸 수 있음)
coef_a = Fraction(2) # x²의 계수(0이 아닌 수)
coef_b = Fraction(-8) # x의 계수
coef_c = Fraction(3) # 상수항
vertex_x = -coef_b / (2 * coef_a) # 꼭짓점의 x좌표 p = −b/(2a)
vertex_y = coef_c - coef_b ** 2 / (4 * coef_a) # 꼭짓점의 y좌표 q = c − b²/(4a)
print(f"꼭짓점의 x좌표 p: {vertex_x}")
print(f"꼭짓점의 y좌표 q: {vertex_y}")
print(f"표준형: y = {coef_a} * (x - ({vertex_x}))**2 + ({vertex_y})")
if coef_a > 0:
print(f"아래로 볼록이므로 x = {vertex_x}일 때 최솟값 {vertex_y}")
else:
print(f"위로 볼록이므로 x = {vertex_x}일 때 최댓값 {vertex_y}")
표준 라이브러리의 fractions 모듈을 쓰면 소수의 반올림 오차 없이 정확한 분수 그대로 계산할 수 있습니다. 이 예는 y = 2x² − 8x + 3을 완전제곱식으로 고치는 것으로, 실행하면 p = 2, q = −5(즉 y = 2(x − 2)² − 5, 최솟값 −5)가 표시됩니다. 계수를 바꿔서 실행해 보세요.
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
완전제곱식으로 고치기(표준형으로 변형)
y = a(x − p)² + q
y = a(x - p)^{2} + q
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi>
</mrow>
</math>
y = a(x - p)^2 + q
a*(x - p)^2 + q
y := a*(x - p)^2 + q;
y = a*(x - p)^2 + q;
y = a(x - p)^2 + q
꼭짓점의 x좌표(축의 위치)
p = −b/(2a)
p = -\frac{b}{2a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>p</mi>
<mo>=</mo>
<mo>−</mo>
<mfrac>
<mi>b</mi>
<mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
p = -b/(2a)
-b/(2*a)
p := -b/(2*a);
p = -b/(2*a);
p = −b/(2a)
꼭짓점의 y좌표(최댓값·최솟값)
q = c − b²/(4a)
q = c - \frac{b^{2}}{4a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>q</mi>
<mo>=</mo>
<mi>c</mi>
<mo>−</mo>
<mfrac>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
<mrow><mn>4</mn><mi>a</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
q = c - b^2/(4a)
c - b^2/(4*a)
q := c - b^2/(4*a);
q = c - b^2/(4*a);
q = c − b^2/(4a)
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 수학(이차함수) 계산 도우미입니다. 다음 계산을 반드시 Python을 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답하세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 이차함수 y = 2x² − 8x + 3을 완전제곱식을 이용해 표준형으로 고치세요. 다음 내용을 각각 보여 주세요. 1. 완전제곱식으로 고치는 풀이 과정(x²의 계수로 묶기 → x의 계수의 절반의 제곱을 더하고 빼기 → 제곱 꼴로 정리하기) 2. 표준형 y = a(x − p)² + q와 꼭짓점의 좌표 (p, q), 축의 방정식(기약분수로) 3. 그래프의 모양(아래로 볼록인지 위로 볼록인지)과 최댓값 또는 최솟값 Python에서는 표준 라이브러리의 fractions 모듈을 써서 정확하게 계산하고, 계산에 쓴 식과 실행 결과의 수치를 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
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