이항분포 계산기(정확히 k번 일어날 확률·누적확률·기댓값과 분산)

시행 횟수 n, 한 번에 성공할 확률 p, 성공하는 횟수 k를 입력해 주세요. 정확히 k번일 확률, k번 이하·k번 이상의 누적확률, 기댓값·분산·표준편차와 분포 전체의 막대그래프를 한꺼번에 보여 줍니다.

시행 횟수 n

한 번에 성공할 확률 p

성공하는 횟수 k

확률 p는 0~1의 소수(예를 들어 25%는 0.25)나 1/4 같은 분수, n은 1~50의 정수, k는 0~n의 정수로 입력합니다.

계산 결과·그래프

왼쪽 입력란에 횟수와 확률을 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과와 분포의 막대그래프가 표시됩니다.

이 페이지에서 할 수 있는 것
이 계산은 어디에 쓰일까요?
사용법
공식과 그래프
용어·기호 해설
- 기호
- 용어
먼저 알아 두면 좋은 내용
Excel로 계산하는 방법
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
Python으로 계산하는 방법
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
ChatGPT에게 물어서 계산하는 방법
DataChef의 특징
관련 기능
NumberChef 계산기 목록

이 페이지에서 할 수 있는 것

‘확률이 \(p\)인 일을 \(n\)번 반복할 때 정확히 \(k\)번 일어날 확률’ \(P(X = k) = {}_{n}\mathrm{C}_{k}\, p^{k} (1-p)^{n-k}\)를 숫자 3개만 넣으면 바로 계산할 수 있습니다
답은 \(\dfrac{3}{8}\) 같은 기약분수(정확한 값)와 소수·퍼센트로 함께 보여 줍니다. 조합의 수 \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)의 풀이 과정도 볼 수 있습니다
‘\(k\)번 이하일 확률 \(P(X \le k)\)’, ‘\(k\)번 이상일 확률 \(P(X \ge k)\)’의 누적확률도 동시에 계산합니다
기댓값 \(E(X) = np\), 분산 \(V(X) = np(1-p)\), 표준편차 \(\sigma\)와 정규분포로 근사할 수 있는지에 대한 기준 판정도 보여 줍니다
일어나는 횟수가 0번부터 \(n\)번까지인 분포 전체를 막대그래프로 그리므로 ‘몇 번쯤이 일어나기 쉬운지’를 한눈에 알 수 있습니다

‘매번 같은 확률이고, 매번의 결과가 서로 영향을 주지 않는(독립인)’ 반복에만 쓸 수 있습니다. 뽑은 제비를 되돌려 놓지 않고 계속 뽑는 경우처럼 할 때마다 확률이 바뀌는 것에는 쓸 수 없습니다.

이 계산은 어디에 쓰일까요?

가챠·제비뽑기에서 ‘n번 중 k번 당첨’ 어림하기(게임·오락)

확률 1%인 가챠를 100번 뽑을 때 당첨 횟수는 이항분포 \(B(100,\ 0.01)\)을 따릅니다(매번 확률이 같고 독립이라고 공개된 경우). 한 번도 당첨되지 않을 확률이 \(0.99^{100} \fallingdotseq 36.6\%\)나 되므로, ‘100번 뽑으면 1%라도 거의 확실하다’는 직관이 위험하다는 것을 분포에서 읽을 수 있습니다.
과금 예산을 생각할 때 ‘기댓값 \(np\)번 + 흩어진 정도’로 어림하는 것이 바로 이 페이지의 계산입니다.

샘플링 검사의 합격 기준 설계하기(제조·품질 관리)

공장에서는 전수 검사 대신 ‘로트에서 \(n\)개를 뽑아 불량이 \(c\)개 이하면 합격’이라는 샘플링 검사(발췌 검사)를 씁니다. 불량률이 \(p\)인 로트가 합격할 확률은 이항분포의 누적확률 \(P(X \le c)\) 그 자체이며, 예를 들어 불량률 1%인 로트에서 20개를 뽑아 불량 0개면 합격으로 하면 합격할 확률은 \(0.99^{20} \fallingdotseq 81.8\%\)입니다.
‘불량률이 어느 정도까지면 높은 확률로 합격시키고, 나쁜 로트는 떨어뜨릴 수 있을까’라는 검사 기준 설계에 이 계산이 쓰입니다.

객관식 시험의 ‘찍어서 맞히기’ 어림하기(교육·자격시험)

5지선다 20문제를 모두 찍어서 답하면 정답 수는 이항분포 \(B(20,\ 0.2)\)를 따르고, 기댓값은 \(20 \times 0.2 = 4\)문제입니다. 운으로 8문제 이상 맞힐 확률은 약 3.2%밖에 되지 않아, ‘감만으로는 합격선에 닿기 어렵다’는 것을 확률로 뒷받침할 수 있습니다.
시험을 만드는 쪽도 운으로 합격선을 넘기 어렵도록 이 분포를 의식해서 문제 수나 기준을 정합니다.

스포츠의 성공 횟수 흩어짐 읽기(농구 등)

자유투 성공률 70%인 선수가 10개를 던질 때 정확히 7개를 넣을 확률은 \({}_{10}\mathrm{C}_{7} \times 0.7^{7} \times 0.3^{3} \fallingdotseq 26.7\%\)밖에 되지 않습니다(매번 독립이고 성공률이 일정하다고 볼 때). ‘7할 선수가 10개 중 7개를 넣는’ 것은 생각만큼 당연하지 않고, 6개나 8개가 되는 일도 흔히 일어납니다.
잘 풀리거나 안 풀리는 것처럼 보이는 결과 중 어디까지가 ‘확률적으로 보통인 흩어짐’인지를 가려내는 데 이항분포가 쓰입니다.

여론조사·시청률 조사의 오차 근거(통계 조사)

‘지지율’이나 ‘시청률’ 조사에서는 조사 대상 \(n\)명 중 해당하는 사람 수가 이항분포를 따른다고 봅니다. 오차의 기준으로 쓰이는 ‘±몇 %p’는 표준편차 \(\sqrt{np(1-p)}\)와 정규분포에 의한 근사로 계산한 것입니다.
‘몇 명에게 물으면 오차를 어디까지 줄일 수 있을까’라는 표본 크기 설계는 이항분포의 성질 자체가 근거가 됩니다.

공식과 그래프

이항분포의 확률(정확히 \(k\)번 일어날 확률)

그래프

수학 표기 (일반적인 수식)

\(P(X = k)\) \(=\) \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) \(\times\) \(p\) \(k\) \(\times\) \((1 - p)\) \(n - k\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

⑥ 정확히 \(k\)번 일어날 확률 \(P(X = k)\) \(=\) ⑤ 몇 번째에 성공하는지를 고르는 방법의 수 \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) \(\times\) ① 성공할 확률 \(p\) ② 성공하는 횟수 \(k\) \(\times\) ③ 실패할 확률 \(1 - p\) ④ 실패하는 횟수 \(n - k\)

공식을 말로 읽으면

① 성공할 확률 \(p\) 를

② 성공하는 횟수 \(k\) 만큼 거듭 곱하고

③ 실패할 확률 \(1 - p\) 를

④ 실패하는 횟수 \(n - k\) 만큼 거듭 곱한 다음

⑤ 몇 번째에 성공하는지를 고르는 방법의 수 \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) 를 곱하면

⑥ 정확히 \(k\)번 일어날 확률 \(P(X = k)\) 가 됩니다

간단한 예

동전(앞면이 나올 확률 \(\dfrac{1}{2}\))을 4번 던져 앞면이 정확히 2번 나올 확률은

정확히 2번 나올 확률 \(P(X = 2)\) \(=\) 고르는 방법의 수 \({}_{4}\mathrm{C}_{2}\) \(\times\) 앞면의 확률 \(\dfrac{1}{2}\)을 2번 \(\times\) 뒷면의 확률 \(\dfrac{1}{2}\)을 2번

\({}_{4}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\)

\(P(X = 2) = 6 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} = \dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8}\ \ (37.5\%)\)

이해의 핵심

‘성공이 \(k\)번, 실패가 \(n-k\)번’인 한 가지 순서의 확률은 \(p^{k} (1-p)^{n-k}\)입니다. 이런 순서(몇 번째에 성공하는지를 고르는 방법)가 \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)가지 있으므로, 그것을 곱한 것이 답이 됩니다. 고등학교 ‘확률과 통계’에서 배우는 ‘독립시행의 확률’과 같은 식입니다. 일어나는 횟수 \(X\)가 갖는 값(0번, 1번, …, \(n\)번) 각각의 확률을 하나로 묶은 분포를 이항분포라고 하며, \(B(n,\ p)\)로 씁니다. 이 페이지의 계산기는 그 분포 전체를 막대그래프로 그립니다.

누적확률(\(k\)번 이하·\(k\)번 이상일 확률)

수학 표기 (일반적인 수식)

\(P(X \le k)\) \(=\) \(P(X=0) + P(X=1) + \cdots + P(X=k)\)

\(P(X \ge k)\) \(=\) \(1\) \(-\) \(P(X \le k - 1)\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

② \(k\)번 이하일 확률 \(P(X \le k)\) \(=\) ① 정확히 0번~정확히 \(k\)번일 확률의 합

⑤ \(k\)번 이상일 확률 \(P(X \ge k)\) \(=\) ③ 전체 확률 \(1\) \(-\) ④ \(k-1\)번 이하일 확률

공식을 말로 읽으면

① 정확히 0번, 정확히 1번, …, 정확히 \(k\)번일 확률 을 모두 더하면

② \(k\)번 이하일 확률 \(P(X \le k)\) 가 됩니다

③ ‘\(k\)번 이상’은 여사건을 쓰면 계산이 짧아집니다. 전체 확률 \(1\) 에서

④ \(k-1\)번 이하일 확률 \(P(X \le k-1)\) 을 빼면

⑤ \(k\)번 이상일 확률 \(P(X \ge k)\) 가 됩니다

간단한 예

동전을 4번 던질 때 앞면이 2번 이하일 확률과 2번 이상일 확률은

2번 이하일 확률 \(P(X \le 2)\) \(=\) 0번·1번·2번일 확률의 합

\(P(X \le 2) = \dfrac{1}{16} + \dfrac{4}{16} + \dfrac{6}{16} = \dfrac{11}{16}\ \ (68.75\%)\)

\(P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) = 1 - \dfrac{5}{16} = \dfrac{11}{16}\ \ (68.75\%)\)

이해의 핵심

‘이하’, ‘이상’은 그 횟수 자신을 포함합니다(2번 이하 = 0번·1번·2번). ‘\(k\)번 이하’는 정확한 확률을 더하기만 하면 되고, ‘\(k\)번 이상’은 전체 1에서 ‘\(k-1\)번 이하’를 빼는(여사건) 것이 정석입니다. ‘적어도 한 번 일어날 확률’은 \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)\)을 말하며, 여사건이 가장 자주 쓰이는 경우입니다.

이항분포의 기댓값·분산·표준편차

수학 표기 (일반적인 수식)

\(E(X)\) \(=\) \(n\) \(\times\) \(p\)

\(V(X)\) \(=\) \(n\) \(\times\) \(p\) \(\times\) \((1 - p)\)

\(\sigma\) \(=\) \(\sqrt{V(X)}\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

③ 기댓값(평균적으로 일어나는 횟수) \(E(X)\) \(=\) ① 시행 횟수 \(n\) \(\times\) ② 성공할 확률 \(p\)

⑤ 분산(흩어진 정도) \(V(X)\) \(=\) 시행 횟수 \(n\) \(\times\) 성공할 확률 \(p\) \(\times\) ④ 실패할 확률 \(1 - p\)

⑦ 표준편차(흩어진 정도의 기준) \(\sigma\) \(=\) ⑥ 분산 \(V(X)\)에 루트를 씌운 것

공식을 말로 읽으면

① 시행 횟수 \(n\) 에

② 성공할 확률 \(p\) 를 곱하면

③ 기댓값(평균적으로 일어나는 횟수) \(E(X)\) 가 되고

④ 여기에 실패할 확률 \(1 - p\) 를 더 곱하면

⑤ 분산(흩어진 정도) \(V(X)\) 가 됩니다

⑥ 분산 \(V(X)\)에 루트(제곱근)를 씌운 것 이

⑦ 표준편차(흩어진 정도의 기준) \(\sigma\) 가 됩니다

간단한 예

주사위를 30번 던져 1의 눈이 나오는 횟수(\(n = 30\), \(p = \dfrac{1}{6}\))에서는

기댓값 \(E(X)\) \(=\) 시행 횟수 \(30\) \(\times\) 1의 눈이 나올 확률 \(\dfrac{1}{6}\)

\(E(X) = 30 \times \dfrac{1}{6} = 5\)

\(V(X) = 30 \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{25}{6}\)

\(\sigma = \sqrt{\dfrac{25}{6}} = \dfrac{5}{\sqrt{6}} = \dfrac{5\sqrt{6}}{6} \fallingdotseq 2.04\)

이해의 핵심

기댓값 \(np\)는 ‘확률이 \(\dfrac{1}{6}\)인 일을 30번 하면 평균적으로 \(30 \times \dfrac{1}{6} = 5\)번쯤 일어난다’는 직관 그대로의 식입니다. 분산·표준편차는 ‘실제 횟수가 기댓값에서 얼마나 벗어나기 쉬운가’의 기준입니다. 표준편차가 약 2라면 ‘딱 5번’이 아니라 ‘대체로 3~7번 사이에 들어가는 경우가 많다’고 읽을 수 있습니다. 같은 \(n\)이라면 분산 \(np(1-p)\)는 \(p = \dfrac{1}{2}\)일 때 가장 커집니다(성공과 실패가 반반일 때 결과를 가장 예상하기 어렵다는 뜻입니다).

정규분포에 의한 근사(\(np \ge 5\) 그리고 \(n(1-p) \ge 5\)가 기준)

그래프

수학 표기 (일반적인 수식)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

\(B(n,\ p)\) \(\fallingdotseq\) \(N(np,\ np(1 - p))\)

① 이항분포 \(B(n,\ p)\) \(\fallingdotseq\) ② 평균 \(np\), 분산 \(np(1-p)\)인 정규분포

공식을 말로 읽으면

① 이항분포 \(B(n,\ p)\) 는 \(np \ge 5\) 그리고 \(n(1-p) \ge 5\)를 기준으로 할 때

② 평균 \(np\), 분산 \(np(1-p)\)인 정규분포 \(N(np,\ np(1-p))\) 로 대략 바꿔 놓을 수 있습니다

간단한 예

동전을 20번 던져 앞면이 나오는 횟수(\(n = 20\), \(p = \dfrac{1}{2}\))는

이항분포 \(B(20,\ \dfrac{1}{2})\) \(\fallingdotseq\) 정규분포 \(N(10,\ 5)\)

\(np = 20 \times \dfrac{1}{2} = 10 \ge 5,\quad n(1 - p) = 20 \times \dfrac{1}{2} = 10 \ge 5\)

\(B\left(20,\ \dfrac{1}{2}\right) \fallingdotseq N(10,\ 5)\)

이해의 핵심

\(n\)을 크게 해 나가면 이항분포의 막대그래프는 좌우 대칭인 종 모양에 가까워져 정규분포와 거의 같은 모양이 됩니다. 그래서 \(n\)이 클 때는 이항분포의 번거로운 덧셈을 정규분포표(나 z점수)로 바꿔 계산할 수 있습니다. 이것이 정규근사이며, \(np \ge 5\) 그리고 \(n(1-p) \ge 5\)는 이를 위한 대표적인 기준입니다. \(N(np,\ np(1-p))\)의 괄호 안은 ‘평균, 분산’의 순서입니다. 근사한 뒤 ‘몇 번 이상일 확률’ 등의 계산은 이 사이트의 ‘정규분포 확률 계산기’ 페이지에서 할 수 있습니다.

이항분포는 ‘확률이 \(p\)인 일을 \(n\)번 반복할 때 일어나는 횟수’의 분포로, 정확히 \(k\)번일 확률은 \(P(X = k) = {}_{n}\mathrm{C}_{k}\, p^{k} (1-p)^{n-k}\), 기댓값은 \(np\), 분산은 \(np(1-p)\)입니다. \(n\)이 클 때는 정규분포 \(N(np,\ np(1-p))\)로 근사할 수 있습니다.

용어·기호 해설

기호

\(X\)	대문자 엑스	‘일어나는 횟수’를 나타내는 확률변수입니다. 결과가 확률로 정해지는 수에는 알파벳 끝쪽의 대문자 \(X,\ Y,\ Z\)를 쓰는 관례가 있습니다.
\(P(X = k)\)	피 엑스 이퀄 케이	일어나는 횟수 \(X\)가 정확히 \(k\)번이 될 확률입니다. \(P\)는 확률을 뜻하는 영어 probability의 머리글자입니다.
\({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)	엔 씨 케이(콤비네이션)	\(n\)개에서 \(k\)개를 고르는 조합의 수입니다. \(C\)는 조합을 뜻하는 영어 combination의 머리글자입니다. 외국이나 대학 교재에서는 \(\dbinom{n}{k}\)로 쓰기도 합니다.
\(n\)	엔	시행 횟수(반복하는 횟수)입니다. 횟수나 개수에는 number(수)의 머리글자 \(n\)을 자주 씁니다.
\(p\)	피	한 번의 시행에서 성공할 확률입니다. probability(확률)의 머리글자로, 소문자는 ‘한 번의 확률’에 자주 씁니다.
\(1 - p\)	일 빼기 피	한 번의 시행에서 실패할 확률(성공하지 않을 확률)입니다. 성공과 실패 중 하나는 반드시 일어나므로 전체 \(1\)에서 \(p\)를 뺀 나머지입니다. \(q\)로 쓰기도 합니다.
\(k\)	케이	성공하는 횟수입니다. \(0\)부터 \(n\)까지의 정수입니다. ‘몇 번 일어나는지’를 정하는 문자로 \(k\)를 자주 씁니다.
\(P(X \le k)\)	피 엑스 작거나 같다 케이	일어나는 횟수가 \(k\)번 이하(0번~\(k\)번 중 하나)일 확률입니다. ‘정확한 확률’을 \(k\)번까지 더한 누적확률입니다.
\(P(X \ge k)\)	피 엑스 크거나 같다 케이	일어나는 횟수가 \(k\)번 이상(\(k\)번~\(n\)번 중 하나)일 확률입니다. 전체 \(1\)에서 \(P(X \le k-1)\)을 빼면(여사건) 덧셈을 줄여서 구할 수 있습니다.
\(E(X)\)	이 엑스	기댓값(평균적으로 일어나는 횟수)입니다. \(E\)는 기댓값을 뜻하는 영어 expectation의 머리글자입니다. 이항분포에서는 \(E(X) = np\)가 됩니다.
\(V(X)\)	브이 엑스	분산(흩어진 정도)입니다. \(V\)는 분산을 뜻하는 영어 variance의 머리글자입니다. 이항분포에서는 \(V(X) = np(1-p)\)가 됩니다.
\(\sigma\)	시그마	표준편차입니다. 그리스 문자 시그마의 소문자로, standard deviation의 s에 해당하는 문자입니다. 분산의 제곱근 \(\sigma = \sqrt{V(X)}\)로, 기댓값에서 벗어나는 정도의 기준을 나타냅니다.
\(B(n,\ p)\)	비 엔 피	시행 횟수 \(n\), 성공 확률 \(p\)인 이항분포입니다. \(B\)는 binomial(이항의)의 머리글자입니다. ‘\(X\)는 이항분포를 따른다’를 \(X \sim B(n,\ p)\)로 씁니다.
\(N(m,\ \sigma^2)\)	엔 엠 시그마 제곱	평균 \(m\), 분산 \(\sigma^2\)인 정규분포입니다. \(N\)은 정규분포를 뜻하는 영어 normal distribution의 머리글자입니다. 괄호 안은 ‘평균, 분산’의 순서로 쓰는 것이 관례입니다(평균을 \(\mu\)로 쓰는 책도 있습니다).
\(\fallingdotseq\)	근사적으로 같다	대략 같다는 것을 나타내는 기호입니다. 이 페이지에서는 ‘이항분포를 정규분포로 대략 바꿔 놓을 수 있다’는 것을 나타내는 데 쓰고 있습니다.

용어

이항분포	‘확률이 \(p\)인 일을 \(n\)번 반복할 때 몇 번 일어나는가’의 확률분포입니다. 이름은 식에 나오는 \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)가 이항계수(이항정리의 계수)와 같다는 데서 왔습니다. 고등학교 ‘확률과 통계’의 통계 단원에서 배웁니다.
확률변수	값이 확률로 정해지는 변수를 말합니다. 이 페이지에서는 ‘일어나는 횟수’가 확률변수이며, 0번부터 최대 n번까지의 값을 각각 정해진 확률로 갖습니다.
시행	동전을 던지거나 제비를 한 번 뽑는 것처럼, 결과가 우연히 정해지는 실험이나 관찰의 한 번을 말합니다.
독립시행	같은 시행을 매번 같은 확률로, 서로의 결과에 영향을 주지 않도록(독립으로) 반복하는 것을 말합니다. 이항분포는 독립시행에서 ‘성공 횟수’의 분포입니다.
독립	어떤 시행의 결과가 다른 시행의 결과에 영향을 주지 않는 것을 말합니다. 주사위의 첫 번째와 두 번째는 독립이지만, 뽑은 제비를 되돌려 놓지 않고 계속 뽑는 경우는 독립이 아닙니다(앞의 결과에 따라 남은 당첨 제비 수가 바뀌기 때문입니다).
조합	\(n\)개에서 \(k\)개를 ‘순서를 구별하지 않고’ 고르는 방법입니다. 그 총수가 \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)입니다. 이항분포에서는 ‘\(n\)번 중 몇 번째에 성공하는가’를 고르는 방법의 수로 나옵니다.
누적확률	‘정확히 \(k\)번’의 확률을 어떤 횟수까지 더한 확률입니다. ‘\(k\)번 이하일 확률’ \(P(X \le k)\)가 대표적입니다.
여사건	어떤 일이 ‘일어나지 않는’ 쪽의 사건입니다. 확률의 합은 반드시 1이므로 ‘\(k\)번 이상’ 같은 확률은 1에서 반대쪽(\(k-1\)번 이하)의 확률을 빼면 간단히 구할 수 있습니다.
기댓값	그 시행을 여러 번 했을 때의 평균값입니다. 이항분포에서는 ‘평균적으로 몇 번 일어나는가’이며, \(np\)라는 간단한 식이 됩니다.
분산	실제 값이 기댓값에서 얼마나 벗어나기 쉬운지(흩어진 정도)를 나타내는 양입니다. 벗어난 정도의 제곱의 평균으로 정의됩니다.
표준편차	분산의 제곱근입니다. 분산은 ‘제곱’의 단위가 되어 버리므로, 제곱근을 구해 원래 단위(이 페이지에서는 횟수)로 되돌린 흩어진 정도의 기준입니다.
정규분포	평균 근처가 가장 일어나기 쉽고 평균에서 멀어질수록 일어나기 어려워지는, 좌우 대칭인 종 모양의 분포입니다. 키나 측정 오차 등 세상의 많은 양이 이 모양에 가깝고, 이항분포도 \(n\)이 크면 정규분포에 가까워집니다.
정규근사	\(n\)이 클 때 이항분포를 정규분포 \(N(np,\ np(1-p))\)로 바꿔 놓고 계산하는 것을 말합니다. \(np \ge 5\) 그리고 \(n(1-p) \ge 5\)가 대표적인 기준입니다.

먼저 알아 두면 좋은 내용

이 페이지의 계산을 ‘뜻을 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
막히는 부분이 있으면 이 표의 내용으로 돌아가 복습하는 것이 가장 빠른 길입니다.

확률의 기본(중학교 2학년, 13~14세)	확률은 ‘일어나기 쉬운 정도’를 0부터 1까지의 수로 나타낸 것임을 아는 것(0.25 = 25%처럼 바꿔 읽기를 포함) 일어날 수 있는 모든 경우의 확률을 더하면 반드시 1이 된다는 것을 아는 것
분수의 계산(초등학교 5학년~중학교 1학년, 10~13세)	분수의 곱셈(\(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\))과 약분·통분을 할 수 있는 것 답을 분수 그대로 다루는 데 익숙한 것(\(\dfrac{3}{8}\)을 0.375로 바꿀 수 있는 것)
거듭제곱과 지수(중학교 1학년~고등학교)	\(p^{3} = p \times p \times p\)처럼 오른쪽 위의 작은 수(지수)가 ‘곱하는 횟수’를 나타낸다는 것을 아는 것 \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4} = \dfrac{1}{16}\) 같은 분수의 거듭제곱을 계산할 수 있는 것
경우의 수와 조합(고등학교)	\({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)가 ‘\(n\)개에서 \(k\)개를 순서를 구별하지 않고 고르는 방법의 수’라는 것을 아는 것 \({}_{4}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\)처럼 계산할 수 있는 것
독립시행의 확률과 여사건(고등학교 ‘확률과 통계’)	‘매번 같은 확률로 독립적으로 반복한다’는 독립시행의 설정을 아는 것 ‘적어도 한 번’을 \(1 - P(X = 0)\)으로 구하는 여사건의 생각을 쓸 수 있는 것
확률변수와 기댓값·분산(고등학교 ‘확률과 통계’)	확률변수(값이 확률로 정해지는 변수)와 확률분포라는 말의 뜻을 아는 것 기댓값이 ‘평균값’, 분산·표준편차가 ‘흩어진 정도’를 나타낸다는 것을 아는 것
정규분포(고등학교 ‘확률과 통계’)	정규분포가 ‘평균 근처가 일어나기 쉬운 좌우 대칭인 종 모양의 분포’라는 것을 아는 것(정규근사 카드를 읽는 데 필요합니다) \(N(m,\ \sigma^2)\)의 괄호 안이 ‘평균, 분산’의 순서라는 것을 아는 것

Excel로 계산하는 방법

아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.

‘정확히 k번 일어날 확률’을 구하는 표

시행 횟수 n	4
한 번에 성공할 확률 p	0.5
성공하는 횟수 k	2
정확히 k번 일어날 확률 P(X=k)	=BINOM.DIST(B3,B1,B2,FALSE)

‘누적확률(k번 이하·k번 이상)’을 구하는 표

시행 횟수 n	4
한 번에 성공할 확률 p	0.5
성공하는 횟수 k	2
k번 이하일 확률 P(X≤k)	=BINOM.DIST(B3,B1,B2,TRUE)
k번 이상일 확률 P(X≥k)	=1-BINOM.DIST(B3-1,B1,B2,TRUE)

‘기댓값·분산·표준편차’를 구하는 표

시행 횟수 n	30
한 번에 성공할 확률 p	=1/6
기댓값 E(X) = np	=B1*B2
분산 V(X) = np(1-p)	=B1B2(1-B2)
표준편차 σ	=SQRT(B4)

‘정규분포에 의한 근사의 기준’을 확인하는 표

시행 횟수 n	20
한 번에 성공할 확률 p	0.5
np	=B1*B2
n(1-p)	=B1*(1-B2)
기준 판정	=IF(AND(B3>=5,B4>=5),"기준 만족","기준 불만족")

붙여 넣으면 위쪽 행(n, p, k)이 입력란이 되고, 아래쪽 행이 자동 계산 결과가 됩니다.
BINOM.DIST는 이항분포의 함수로, 인수는 ‘성공 횟수, 시행 횟수, 성공 확률, 누적 여부’의 순서입니다. 마지막을 FALSE로 하면 ‘정확한 확률’, TRUE로 하면 ‘그 횟수 이하의 누적확률’이 됩니다.
첫 번째 표는 동전을 4번 던져 앞면이 정확히 2번 나오는 예로, 답은 0.375(= 3/8)입니다.
두 번째 표의 답은 둘 다 0.6875입니다. ‘k번 이상’은 ‘k−1번 이하’를 1에서 빼서 구합니다(k에 0을 넣으면 이 식은 오류가 나지만, 0번 이상일 확률은 반드시 1입니다).
세 번째 표는 주사위를 30번 던져 1의 눈이 나오는 횟수의 예로, 기댓값 5, 분산 4.1667, 표준편차 2.0412가 됩니다.
네 번째 표는 np와 n(1−p)가 둘 다 5 이상인지로 정규분포에 의한 근사의 기준을 판정합니다.

Google 스프레드시트로 계산하는 방법

아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.

‘정확히 k번 일어날 확률’을 구하는 표

시행 횟수 n	4
한 번에 성공할 확률 p	0.5
성공하는 횟수 k	2
정확히 k번 일어날 확률 P(X=k)	=BINOMDIST(B3,B1,B2,FALSE)

‘누적확률(k번 이하·k번 이상)’을 구하는 표

시행 횟수 n	4
한 번에 성공할 확률 p	0.5
성공하는 횟수 k	2
k번 이하일 확률 P(X≤k)	=BINOMDIST(B3,B1,B2,TRUE)
k번 이상일 확률 P(X≥k)	=1-BINOMDIST(B3-1,B1,B2,TRUE)

‘기댓값·분산·표준편차’를 구하는 표

시행 횟수 n	30
한 번에 성공할 확률 p	=1/6
기댓값 E(X) = np	=B1*B2
분산 V(X) = np(1-p)	=B1B2(1-B2)
표준편차 σ	=SQRT(B4)

‘정규분포에 의한 근사의 기준’을 확인하는 표

시행 횟수 n	20
한 번에 성공할 확률 p	0.5
np	=B1*B2
n(1-p)	=B1*(1-B2)
기준 판정	=IF(AND(B3>=5,B4>=5),"기준 만족","기준 불만족")

Google 스프레드시트에서는 함수 이름이 BINOMDIST가 됩니다(인수의 순서는 Excel의 BINOM.DIST와 같은 ‘성공 횟수, 시행 횟수, 성공 확률, 누적 여부’입니다). 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, n, p, k를 자신의 숫자로 바꿔 주세요.
‘k번 이상’의 식은 k에 0을 넣으면 오류가 나는 점도 Excel과 같습니다(0번 이상일 확률은 반드시 1입니다).

Python으로 계산하는 방법

from fractions import Fraction
from math import comb, sqrt

trial_count = 4                  # 시행 횟수 n
success_prob = Fraction(1, 2)    # 한 번에 성공할 확률 p(0.3 같은 소수도 가능)
success_count = 2                # 성공하는 횟수 k

failure_prob = 1 - success_prob

# 정확히 k번 일어날 확률 P(X=k) = nCk × p^k × (1−p)^(n−k)
exact_prob = (comb(trial_count, success_count)
              * success_prob ** success_count
              * failure_prob ** (trial_count - success_count))
print(f"정확히 {success_count}번일 확률: {exact_prob} = {float(exact_prob)}")

# 누적확률(k번 이하·k번 이상)
prob_le = sum(comb(trial_count, i) * success_prob ** i * failure_prob ** (trial_count - i)
              for i in range(success_count + 1))
prob_ge = 1 - prob_le + exact_prob
print(f"{success_count}번 이하일 확률: {prob_le} = {float(prob_le)}")
print(f"{success_count}번 이상일 확률: {prob_ge} = {float(prob_ge)}")

# 기댓값·분산·표준편차
mean = trial_count * success_prob
variance = mean * failure_prob
print(f"기댓값: {mean}  분산: {variance}  표준편차: {sqrt(variance)}")

표준 라이브러리만으로 실행됩니다. fractions 모듈을 쓰면 소수의 반올림 오차 없이 정확한 분수 그대로 계산할 수 있습니다(comb는 조합의 수 nCk). 이 예는 동전을 4번 던져 앞면이 정확히 2번 나오는 경우로, 실행하면 확률 3/8 = 0.375, 2번 이하와 2번 이상은 둘 다 11/16 = 0.6875, 기댓값 2, 분산 1, 표준편차 1.0이 표시됩니다. n, p, k의 세 숫자를 바꿔서 실행해 보세요.

LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)

이항분포의 확률(정확히 \(k\)번 일어날 확률)

P(X = k) = nCk pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mfrac linethickness="0"><mi>n</mi><mi>k</mi></mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
    <msup><mi>p</mi><mi>k</mi></msup>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>k</mi></mrow>
    </msup>
  </mrow>
</math>

P(X = k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)

PDF[BinomialDistribution[n, p], k]

binomial(n, k)*p^k*(1-p)^(n-k);

binopdf(k, n, p)

P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)

누적확률(\(k\)번 이하·\(k\)번 이상일 확률)

P(X ≤ k) = Σ[i=0→k] nCi pⁱ (1 − p)ⁿ⁻ⁱ

P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^{i} (1 - p)^{n - i}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>&#x2264;</mo><mi>k</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
      <mi>k</mi>
    </munderover>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mfrac linethickness="0"><mi>n</mi><mi>i</mi></mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
    <msup><mi>p</mi><mi>i</mi></msup>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>i</mi></mrow>
    </msup>
  </mrow>
</math>

P(X <= k) = sum_(i=0)^k C(n,i) p^i (1-p)^(n-i)

CDF[BinomialDistribution[n, p], k]

add(binomial(n, i)*p^i*(1-p)^(n-i), i = 0..k);

binocdf(k, n, p)

P(X≤k) = Σ_(i=0)^k C(n,i) p^i (1-p)^(n-i)

이항분포의 기댓값·분산·표준편차

E(X) = np,  V(X) = np(1 − p),  σ = √(np(1 − p))

E(X) = np, \quad V(X) = np(1 - p), \quad \sigma = \sqrt{np(1 - p)}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>E</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>n</mi><mi>p</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>V</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>=</mo>
    <mi>n</mi><mi>p</mi>
    <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
    <mo>,</mo>
    <mi>&#x3C3;</mi><mo>=</mo>
    <msqrt><mi>n</mi><mi>p</mi><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow></msqrt>
  </mrow>
</math>

E(X) = np, V(X) = np(1-p), sigma = sqrt(np(1-p))

{Mean[BinomialDistribution[n, p]], Variance[BinomialDistribution[n, p]], StandardDeviation[BinomialDistribution[n, p]]}

n*p; n*p*(1-p); sqrt(n*p*(1-p));

[m, v] = binostat(n, p); s = sqrt(v);

E(X) = np, V(X) = np(1-p), σ = √(np(1-p))

정규분포에 의한 근사(\(np \ge 5\) 그리고 \(n(1-p) \ge 5\)가 기준)

B(n, p) ≒ N(np, np(1 − p))

B(n,\ p) \approx N(np,\ np(1 - p))

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>B</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>p</mi><mo>)</mo>
    <mo>&#x2252;</mo>
    <mi>N</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mi>p</mi><mo>,</mo>
    <mi>n</mi><mi>p</mi>
    <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

B(n, p) ~~ N(np, np(1-p))

NormalDistribution[n p, Sqrt[n p (1 - p)]]

Normal(n*p, sqrt(n*p*(1-p)));

pd = makedist('Normal', 'mu', n*p, 'sigma', sqrt(n*p*(1-p)));

B(n, p) ≈ N(np, np(1-p))

ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법

당신은 수학(확률·통계) 계산 도우미입니다. 다음 계산은 반드시 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 숫자만을 근거로 답해 주세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요).

당첨 확률이 1/6인 제비를 10번 뽑을 때, 당첨 횟수의 이항분포에 대해 다음을 구해 주세요.
1. 정확히 2번 당첨될 확률 P(X=2)(기약분수와 소수로 모두)
2. 2번 이하일 확률 P(X≤2)와 2번 이상일 확률 P(X≥2)
3. 기댓값 E(X), 분산 V(X), 표준편차 σ
4. np ≥ 5 그리고 n(1−p) ≥ 5라는 정규분포에 의한 근사의 기준을 만족하는지 여부

Python에서는 표준 라이브러리의 fractions와 math.comb로 정확하게 계산하고, 사용한 공식과 실행 결과의 숫자를 보여 주세요.

사용법

1

숫자 입력

계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
2

계산

‘계산’ 버튼을 누릅니다
3

결과 확인

계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다

DataChef의 특징

간단하고 무료

무료로 횟수 제한 없이 변환
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용

회원가입 불필요

접속 즉시 바로 사용 가능
개인정보를 등록하지 않고도 이용할 수 있습니다

안전하고 안심

통신을 강력하게 암호화
"다운로드"를 누르면 파일이 자동으로 삭제됩니다

빠른 속도

기다림 없는 쾌적한 표시 속도와 변환 속도

워터마크 없음

워터마크 없음
출처 표기 불필요

상업적 이용 가능

무료로 상업적 이용 가능
상업적 이용 허가 연락도 필요 없습니다

이항분포 계산기(정확히 k번 일어날 확률·누적확률·기댓값과 분산)

목차

이 페이지에서 할 수 있는 것

이 계산은 어디에 쓰일까요?

공식과 그래프

용어·기호 해설

기호

용어

먼저 알아 두면 좋은 내용

Excel로 계산하는 방법

Google 스프레드시트로 계산하는 방법

Python으로 계산하는 방법

LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)

ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법

사용법

DataChef의 특징

관련 기능

반복 시행의 확률 계산기(n번 연속·적어도 한 번)

n번 연속으로 일어날 확률, 적어도 한 번은 일어날 확률, 한 번도 일어나지 않을 확률을 계산합니다

기댓값 계산기(확률변수의 평균·분산·표준편차)

확률분포표로 기댓값 E(X), 분산 V(X), 표준편차를 계산합니다. 이항분포에 한정되지 않는 일반적인 분포용입니다

순열·조합 계산기(nPr, nCr)

이항분포 공식에 나오는 조합의 수 nCr(nCk)를 풀이 과정과 함께 따로 계산할 수 있습니다

정규분포 확률 계산기

평균과 표준편차로 지정한 범위에 들어갈 확률을 계산합니다. 이항분포를 정규분포로 근사한 뒤의 계산은 여기에서

추천

확률과 무작위

평균과 통계

비율과 백분율

속력

밀도와 농도

물리와 전기

단위 변환

정수와 양수·음수

분수·소수와 어림하기

방정식과 부등식

다항식과 전개

제곱근과 거듭제곱근

지수와 로그

복소수

함수와 그래프

수열

벡터

행렬

평면도형

입체도형

날짜와 시간

금융과 경제

웹 마케팅·광고 지표

건강과 피트니스

스포츠

날씨

컴퓨터

가계와 공과금

자동차

태양광 발전과 에너지 저장

집과 DIY