타원체의 세 방향의 반축 \(a\), \(b\), \(c\)(중심에서 겉면까지의 길이)를 입력하세요. 부피 \(V = \dfrac{4}{3}\pi abc\)와 cm로 입력했을 때의 리터 환산도 보여 줍니다.
세 반축은 같은 단위로 맞춰 0 이상의 수만 입력하세요(단위 없이 수만. 예: 10 cm라면 ‘10’).
계산 결과·도형
왼쪽 입력란에 세 방향의 반축의 길이를 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과와 3D 그림이 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- 세 방향의 반축 \(a\), \(b\), \(c\)(중심에서 겉면까지의 길이)만 넣으면 타원체의 부피(\(V = \dfrac{4}{3}\pi abc\))를 바로 알 수 있습니다
- 계산 결과는 마우스로 돌려 볼 수 있는 3D 그림으로도 표시되어, 어느 길이가 어느 방향인지 한눈에 확인할 수 있습니다
- 세 칸에 같은 길이를 넣으면 구의 부피(\(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\)) 계산에도 그대로 쓸 수 있습니다
- cm로 입력했을 때 리터(L)로 바꾼 값도 함께 보여 줍니다
- 공식의 쉬운 해설과 Excel·Google 스프레드시트·Python용 복사해서 쓰는 수식도 이 페이지에 정리되어 있습니다
세 반축은 같은 단위로 맞춰 입력하세요(cm라면 모두 cm, m라면 모두 m). 입력하는 것은 ‘중심에서 겉면까지의 길이’(반축)이며, 끝에서 끝까지의 길이(축)의 절반입니다.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
럭비공이나 미식축구공의 부피 어림하기(스포츠)
럭비공은 길쭉한 회전타원체에 가까운 모양입니다. 길이 약 30 cm, 폭 약 19 cm인 공이라면 반축은 \(15 \times 9.5 \times 9.5\,\mathrm{cm}\)이고, 부피는 \(\dfrac{4}{3}\pi \times 15 \times 9.5 \times 9.5 \fallingdotseq 5671\,\mathrm{cm^3}\)(약 5.7 L)로 어림할 수 있습니다.
공의 공기량이나 부력, 수납 공간 계산 등 ‘구가 아닌 둥근 물건’의 부피를 알고 싶을 때 쓸 수 있는 공식입니다(실물은 솔기나 부푼 정도에 따라 조금 달라지므로 어디까지나 어림값입니다).
초음파 검사로 장기나 종양의 부피 추정하기(의료)
병원의 초음파 검사에서는 장기나 낭종·종양을 타원체로 보고 부피를 추정하는 방법이 널리 쓰입니다. 서로 직각인 세 방향의 지름(끝에서 끝까지)을 재고, 각각 2로 나눈 반축을 이 공식에 넣습니다.
예를 들어 지름이 \(4 \times 3 \times 3\,\mathrm{cm}\)라면 반축은 \(2 \times 1.5 \times 1.5\,\mathrm{cm}\)이고, 부피는 \(\dfrac{4}{3}\pi \times 2 \times 1.5 \times 1.5 \fallingdotseq 18.8\,\mathrm{mL}\)(1 cm³ = 1 mL)입니다. 전립선이나 방광의 부피 측정 등 매일의 진료를 뒷받침하는 계산입니다(장기는 완전한 타원체가 아니므로 추정값으로 쓰입니다).
수박이나 멜론의 부피로 무게 어림하기(농업·식품)
수박이나 멜론은 타원체에 가까운 모양이므로, 수확물의 크기로 부피·무게를 어림할 때 이 공식을 쓸 수 있습니다. 반축이 \(12 \times 10 \times 10\,\mathrm{cm}\)인 수박이라면 부피는 \(\dfrac{4}{3}\pi \times 12 \times 10 \times 10 \fallingdotseq 5027\,\mathrm{cm^3}\)(약 5 L)입니다.
수박의 밀도는 물(1 cm³에 1 g)에 가까우므로 무게는 약 5 kg으로 어림할 수 있습니다. 상자 크기 설계나 출하 규격의 기준을 만들 때도 도움이 되는 생각입니다.
지구의 부피 계산하기(지구과학·우주)
지구는 자전의 원심력 때문에 아주 조금 납작해진 회전타원체입니다. 적도 반지름 약 6378 km, 극 반지름 약 6357 km를 이 공식에 넣으면 부피는 \(\dfrac{4}{3}\pi \times 6378 \times 6378 \times 6357 \fallingdotseq 1.083 \times 10^{12}\,\mathrm{km^3}\)(약 1조 832억 km³)입니다.
이것은 과학 자료에 실려 있는 지구의 부피와 거의 일치합니다. 자전으로 납작해진 행성처럼 ‘완전한 구가 아닌 천체’의 부피 계산에 천문학에서 실제로 쓰는 공식입니다.
달걀 등 타원체에 가까운 식품의 부피 어림하기(요리·식품)
달걀은 타원체에 가까운 모양입니다. 길이 약 6 cm, 굵기 약 4.5 cm인 달걀이라면 반축은 \(3 \times 2.25 \times 2.25\,\mathrm{cm}\)이고, 부피는 \(\dfrac{4}{3}\pi \times 3 \times 2.25 \times 2.25 \fallingdotseq 64\,\mathrm{cm^3}\)로 어림할 수 있습니다(실제 달걀은 조금 비대칭이므로 실측은 이보다 약간 작습니다).
빵이나 주먹밥, 과일처럼 ‘대체로 타원체’인 음식의 부피·용기 크기·중탕에 쓸 물의 양 등을 저울 없이 어림할 수 있습니다.
공식과 그림
타원체의 부피
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(V\)
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(a\)
\(\times\)
\(b\)
\(\times\)
\(c\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
⑥
타원체의 부피 \(V\)
\(=\)
⑤
상수 \(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
④
원주율 \(\pi\)
\(\times\)
①
반축 \(a\)
\(\times\)
②
반축 \(b\)
\(\times\)
③
반축 \(c\)
공식을 말로 읽으면
①
반축 a(\(a\))
와
②
반축 b(\(b\))
와
③
반축 c(\(c\))
를 서로 곱하고
④
원주율(\(\pi\), 약 3.14)
을 곱한 뒤
⑤
상수(\(\dfrac{4}{3}\))
배 하면
⑥
타원체의 부피(\(V\))
가 됩니다
간단한 예
반축이 3 cm, 2 cm, 1 cm인 타원체의 부피는
타원체의 부피 \(V\)
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
원주율 \(\pi\)
\(\times\)
반축(3 cm)
\(\times\)
반축(2 cm)
\(\times\)
반축(1 cm)
\(V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3 \times 2 \times 1 = 8\pi\)
\(8\pi = 8 \times 3.14159\ldots \fallingdotseq 25.13\,\mathrm{cm^3}\)
이해의 핵심
타원체는 ‘구를 세 방향으로 각각 다른 배율로 늘이거나 줄인 입체도형’입니다. 반지름이 1인 구(부피 \(\dfrac{4}{3}\pi\))를 가로로 \(a\)배, 깊이로 \(b\)배, 높이로 \(c\)배 늘이면 부피도 \(a \times b \times c\)배가 되므로 \(V = \dfrac{4}{3}\pi abc\)가 됩니다. ‘반지름 × 반지름 × 반지름’을 ‘세 방향 각각의 반축의 곱’으로 바꾼, 구의 부피 공식의 친척입니다.
입력하는 것은 모두 ‘중심에서 겉면까지의 길이’(반축)입니다. 끝에서 끝까지(축)의 길이를 쟀을 때는 2로 나눈 다음 입력하세요.
구의 부피(타원체의 특별한 경우)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(V\)
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(3\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
⑤
구의 부피 \(V\)
\(=\)
④
상수 \(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
③
원주율 \(\pi\)
\(\times\)
①
반지름 \(r\)
②
세제곱(같은 길이를 3번 곱하기)
공식을 말로 읽으면
①
반지름(\(r\))
을
②
세제곱(같은 길이를 3번 곱하기)
하고
③
원주율(\(\pi\), 약 3.14)
을 곱한 뒤
④
상수(\(\dfrac{4}{3}\))
배 하면
⑤
구의 부피(\(V\))
가 됩니다
간단한 예
반지름이 3 cm인 구의 부피는
구의 부피 \(V\)
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
원주율 \(\pi\)
\(\times\)
반지름(3 cm)
세제곱
\(V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = 36\pi\)
\(36\pi = 36 \times 3.14159\ldots \fallingdotseq 113.10\,\mathrm{cm^3}\)
이해의 핵심
구는 ‘세 반축이 모두 같은 특별한 타원체’입니다. 타원체의 공식 \(V = \dfrac{4}{3}\pi abc\)에서 \(a = b = c = r\)로 놓은 것이 중학교에서 배우는 구의 부피 공식 \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\)입니다. 이 계산기에서도 세 칸에 같은 수를 넣으면 구의 부피를 구할 수 있습니다.
부피의 단위 환산(cm³ → L)
수학 표기
(일반적인 수식)
\(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
\(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
\(1000\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
L로 나타낸 부피 \(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
①
cm³로 나타낸 부피 \(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
②
1 L에 들어 있는 cm³의 수 \(1000\)
공식을 말로 읽으면
①
cm³로 나타낸 부피(\(V_{\mathrm{cm^3}}\))
를
②
1 L에 들어 있는 cm³의 수(\(1000\))
로 나누면
③
L로 나타낸 부피(\(V_{\mathrm{L}}\))
가 됩니다
간단한 예
부피가 2000 cm³인 타원체 모양 수조에 들어가는 물을 L로 바꾸면
L로 나타낸 부피
\(=\)
cm³로 나타낸 부피(2000)
\(\div\)
1 L에 들어 있는 cm³의 수(1000)
\(2000 \div 1000 = 2\,\mathrm{L}\)
이해의 핵심
\(1\,\mathrm{L}\)는 한 모서리가 10 cm인 정육면체의 부피로, \(10 \times 10 \times 10 = 1000\,\mathrm{cm^3}\)입니다. 1 L 우유 팩 하나가 딱 1000 cm³입니다.
더 큰 단위인 m³는 \(1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm}\)이므로 \(1\,\mathrm{m^3} = 100 \times 100 \times 100 = 1000000\,\mathrm{cm^3}\)(= 1000 L)입니다. 부피의 환산 비율이 길이의 환산 비율의 세제곱이 된다는 점이 틀리기 쉬운 부분입니다.
타원체의 부피는 ‘4/3 × 원주율 π × 세 방향의 반축 a·b·c의 곱’으로 구합니다. 세 반축이 모두 같은 타원체가 구(V = 4/3 πr³)입니다. 반축은 같은 단위로 맞추고, 답은 그 단위의 세제곱(cm라면 cm³)입니다. cm³를 L로 바꿀 때는 1000으로 나누기만 하면 됩니다.
용어·기호 해설
기호
| \(V\) | 브이 | 부피를 나타낼 때 자주 쓰는 기호입니다. 영어 volume(부피)의 첫 글자로, 이 페이지에서는 타원체(구)의 부피를 나타냅니다. |
| \(a,\ b,\ c\) | 에이·비·시 | 타원체의 세 방향의 반축의 길이입니다. 모두 ‘중심에서 겉면까지의 길이’로, 구의 반지름에 해당하며 끝에서 끝까지의 길이(축)의 절반입니다. |
| \(\pi\) | 파이 | 원주율입니다. 원주가 지름의 몇 배인지를 나타내는 수로, \(3.14159265\ldots\)처럼 끝없이 이어지며 되풀이되지 않는 소수(무리수)입니다. 초등학교 수학에서 쓰는 ‘3.14’는 그 어림값입니다. |
| \(r\) | 알 | 구의 반지름입니다. 영어 radius(반지름)의 첫 글자입니다. 구는 세 반축이 모두 \(r\)인 타원체입니다. |
| \(r^3\) | 알의 세제곱 | 같은 수 \(r\)을 3번 곱한 값(\(r \times r \times r\))입니다. 오른쪽 위의 작은 3은 ‘3번 곱한다’는 뜻의 지수입니다. |
| \(\mathrm{cm^3}\) | 세제곱센티미터 | 부피의 단위입니다. 한 모서리가 1 cm인 정육면체의 부피가 1 cm³입니다. 넓이의 단위 cm²(제곱센티미터)와 구별하세요. |
| \(\mathrm{L}\) | 리터 | 부피의 단위입니다. \(1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm^3}\)이며, 한 모서리가 10 cm인 정육면체에 들어가는 양입니다. |
용어
| 타원체 | 타원을 3차원으로 만든 매끄러운 달걀 모양의 입체도형입니다. 어디를 잘라도 단면이 타원(또는 원)이 됩니다. 럭비공이나 수박에 가까운 모양입니다. |
| 반축 | 타원체의 중심에서 겉면까지의 길이 가운데 세 대칭 방향(서로 직각인 방향)으로 잰 것입니다. 타원체의 크기와 모양은 이 세 길이로 정해지며, 끝에서 끝까지의 길이(축)의 절반입니다. |
| 타원 | 원을 한 방향으로 늘이거나 눌러 찌그러뜨린 모양입니다. 둥글고 길쭉한 곡선입니다. |
| 구 | 세 반축이 모두 같은 특별한 타원체입니다. 어느 방향에서 보아도 같은 크기의 원으로 보이는 입체도형이며, 부피는 \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\)입니다. |
| 회전타원체 | 타원을 그 축을 중심으로 한 바퀴 돌려 만든 입체도형으로, 세 반축 가운데 두 개가 같은 타원체입니다. 럭비공(길쭉한 모양)이나 귤(납작한 모양)이 이 종류이며, 지구도 아주 조금 납작한 회전타원체입니다. |
| 부피 | 입체도형이 차지하는 공간의 크기를 수로 나타낸 것입니다. ‘한 모서리가 1 cm인 정육면체(1 cm³)가 몇 개 들어가는가’로 잽니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘뜻을 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
| 곱셈과 소수의 곱셈(초등학교 3~5학년, 8~11세) |
|
| 부피의 뜻과 단위(초등학교 6학년, 11~12세) |
|
| 원주율(초등학교 6학년~중학교 1학년, 11~13세) |
|
| 분수의 곱셈(초등학교 5학년, 10~11세) |
|
| 구의 부피(중학교 1학년, 12~13세) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘타원체의 부피’를 구하는 표
| 반축 a의 길이 | 10 |
| 반축 b의 길이 | 5 |
| 반축 c의 길이 | 8 |
| 타원체의 부피 | =4/3*PI()*B1*B2*B3 |
‘구의 부피’를 구하는 표
| 반지름 | 3 |
| 구의 부피 | =4/3*PI()*B1^3 |
‘cm³를 L로 바꾸는 단위 환산’ 표
| cm³로 나타낸 부피 | 2000 |
| L로 나타낸 부피 | =B1/1000 |
붙여 넣으면 A열에 항목 이름, B열에 수가 들어갑니다. 위쪽 행이 입력 칸이고, 마지막 행의 수식이 입력 칸의 값으로 자동 계산합니다.
수식 안의 ‘B1’, ‘B2’는 ‘그 셀에 들어 있는 수를 쓴다’는 뜻이며, ‘*’는 곱셈, ‘/’는 나눗셈, ‘^’는 거듭제곱(몇 번 곱하는지), ‘PI()’는 원주율 π를 돌려주는 함수입니다.
예를 들어 첫 번째 표라면 B4에 4/3 × π × 10 × 5 × 8 = 약 1675.52가 표시됩니다(cm로 입력했으므로 cm³). 두 번째 표는 B2에 약 113.10, 세 번째 표는 B2에 2가 나옵니다. 입력 칸의 수를 자신의 길이로 바꾸기만 하면 됩니다.
수식 안의 ‘B1’, ‘B2’는 ‘그 셀에 들어 있는 수를 쓴다’는 뜻이며, ‘*’는 곱셈, ‘/’는 나눗셈, ‘^’는 거듭제곱(몇 번 곱하는지), ‘PI()’는 원주율 π를 돌려주는 함수입니다.
예를 들어 첫 번째 표라면 B4에 4/3 × π × 10 × 5 × 8 = 약 1675.52가 표시됩니다(cm로 입력했으므로 cm³). 두 번째 표는 B2에 약 113.10, 세 번째 표는 B2에 2가 나옵니다. 입력 칸의 수를 자신의 길이로 바꾸기만 하면 됩니다.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘타원체의 부피’를 구하는 표
| 반축 a의 길이 | 10 |
| 반축 b의 길이 | 5 |
| 반축 c의 길이 | 8 |
| 타원체의 부피 | =4/3*PI()*B1*B2*B3 |
‘구의 부피’를 구하는 표
| 반지름 | 3 |
| 구의 부피 | =4/3*PI()*B1^3 |
‘cm³를 L로 바꾸는 단위 환산’ 표
| cm³로 나타낸 부피 | 2000 |
| L로 나타낸 부피 | =B1/1000 |
Excel과 같은 수식(PI() 함수 포함)을 그대로 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 입력 칸의 수를 자신의 길이로 바꾸세요.
Python으로 계산하는 방법
import math
a = 10 # 반축 a의 길이(이 예에서는 cm. 중심에서 겉면까지의 길이)
b = 5 # 반축 b의 길이(a와 같은 단위로)
c = 8 # 반축 c의 길이(a·b와 같은 단위로)
volume = 4 / 3 * math.pi * a * b * c # 타원체의 부피(입력 단위의 세제곱. 이 예에서는 cm3)
volume_l = volume / 1000 # cm로 입력한 경우 L로 바꾼 부피
print(f"타원체의 부피: {volume} cm3")
print(f"L로 바꾸면: {volume_l} L")
표준 라이브러리만으로 동작합니다. ‘math.pi’가 원주율 π, ‘*’가 곱셈, ‘/’가 나눗셈 기호입니다. 맨 위의 세 반축 값을 바꿔 실행하세요. 셋 다 같은 값으로 하면 구의 부피가 됩니다(L 환산은 cm로 입력한 경우의 예입니다).
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
타원체의 부피
V = (4/3)πabc
V = \dfrac{4}{3}\pi abc
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<mi>a</mi>
<mi>b</mi>
<mi>c</mi>
</mrow>
</math>
V = 4/3 pi a b c
(4/3) Pi a b c
V := (4/3)*Pi*a*b*c;
V = 4/3*pi*a*b*c;
V = (4/3)πabc
구의 부피(타원체의 특별한 경우)
V = (4/3)πr³
V = \dfrac{4}{3}\pi r^{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>3</mn></msup>
</mrow>
</math>
V = 4/3 pi r^3
(4/3) Pi r^3
V := (4/3)*Pi*r^3;
V = 4/3*pi*r^3;
V = (4/3)πr^3
부피의 단위 환산(cm³ → L)
V[L] = V[cm³] ÷ 1000
V_{\mathrm{L}} = V_{\mathrm{cm^3}} \div 1000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">L</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>3</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>1000</mn>
</mrow>
</math>
V_L = V_(cm^3) -: 1000
vCm3/1000
vL := vCm3/1000;
v_l = v_cm3/1000;
V(L) = V(cm³)/1000
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 산수·수학 계산 도우미입니다. 다음 계산을 반드시 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답하세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 반축의 길이가 a = 10 cm, b = 5 cm, c = 8 cm인 타원체가 있습니다(반축은 중심에서 겉면까지의 길이입니다). 다음 값을 각각 구하세요. 1. 이 타원체의 부피는 몇 cm³인가(V = 4/3 × π × a × b × c) 2. 그 부피를 리터(L)로 바꾸면 얼마인가 계산에 사용한 식과 실행 결과의 수치를 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
간단하고 무료
무료로 횟수 제한 없이 변환
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
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관련 기능
원 계산기(반지름·지름·원주·넓이 한 번에 계산)
타원체의 단면에 나타나는 ‘원’의 넓이·원주를 반지름 등 값 하나로 계산합니다
