확률분포표 그대로 가질 수 있는 값 x와 그 확률 p를 한 행씩 입력해 주세요. 흐리게 보이는 예는 ‘제비 1장으로 받는 상금’(0원이 70%, 1,000원이 20%, 5,000원이 9%, 100,000원이 1%)입니다.
숫자로 입력해 주세요. 확률은 0.2, 20%, 1/5 중 어떤 형태로도 입력할 수 있고, 모든 행의 확률을 더하면 1이 되어야 합니다. 값에는 음수(손실)도 쓸 수 있습니다. 쓰지 않는 행은 ‘값’과 ‘확률’을 모두 비워 두세요.
계산 결과·그래프
왼쪽 입력란에 값과 확률의 쌍을 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과와 그래프가 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- 확률분포표(가질 수 있는 값 \(x\)와 그 확률 \(p\)의 쌍. 2~10행)만 넣으면 기댓값 \(E(X)\), 분산 \(V(X)\), 표준편차 \(\sigma(X)\)를 바로 계산할 수 있습니다
- 답은 \(\dfrac{7}{2}\) 같은 기약분수(정확한 값)와 소수로 함께 보여 줍니다. \(E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots\)에 숫자를 넣은 풀이 과정도 볼 수 있습니다
- 확률의 합이 정확히 1인지 자동으로 확인합니다. 1이 아니면 지금 합이 얼마인지 알려 줍니다
- 확률은 0.2, 20%, 1/5 중 어떤 형태로도 입력할 수 있습니다. 값에는 음수(손실)도 쓸 수 있습니다
- 계산 결과에는 확률분포의 막대그래프를 보여 주며, 기댓값 \(E(X)\)의 위치를 세로 점선으로 볼 수 있습니다
이 페이지에서 다루는 것은 가질 수 있는 값이 유한 개인 확률변수(이산확률변수)입니다. 키처럼 연속적인 값을 갖는 확률변수의 기댓값은 다루지 않습니다.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
복권·가챠의 ‘한 번당 돌려받는 금액’을 숫자로 알기
‘상금 × 당첨 확률’을 모두 더한 기댓값은 복권 한 장당 평균적으로 돌려받는 금액 그 자체입니다. 한국의 로또6/45는 판매액의 50%만 당첨금으로 나가므로, 기댓값으로 보면 한 장 가격의 절반 정도입니다(한국 기준. 동행복권 안내).
모바일 게임의 가챠(확률형 아이템)도 같은 계산을 할 수 있어, 공개된 확률로 ‘원하는 아이템이 나올 때까지 드는 금액의 기준’을 생각할 때 바탕이 됩니다.
보험료 설정(보험 회사 가격 책정의 바탕)
생명보험이나 자동차보험의 보험료는 ‘보험금 × 그 사고나 질병이 일어날 확률’을 모두 더한, 지급액의 기댓값에서 출발하고 여기에 운영비 등을 더해 정합니다. 이런 계산을 전문으로 하는 보험계리사라는 직업도 있습니다.
가입자 쪽에서 보면 보험은 기댓값으로는 낸 돈보다 적게 돌려받는 거래입니다. 드물지만 큰 손실에 대비한 ‘안심’을 사는 것입니다.
투자의 수익과 위험을 같은 잣대로 비교하기
투자에서는 수익률의 기댓값을 ‘기대할 수 있는 이익’, 표준편차를 ‘위험(흔들림의 크기)’으로 보는 것이 일반적입니다. 기대 수익이 같다면 표준편차가 작은 쪽이 오르내림이 완만합니다.
‘기댓값이 얼마나 높은가’와 ‘흩어진 정도가 얼마나 큰가’를 두 개의 수로 나누어 보는 이 페이지의 생각이 실제 금융에 그대로 이어집니다.
게임 밸런스 조정(보상·대미지 설계)
보드게임이나 비디오게임 개발자는 ‘주사위 2개의 합’, ‘공격 1회당 대미지’, ‘보물 상자에서 나오는 아이템의 가치’ 같은 기댓값을 계산해 강함과 보상의 균형을 맞춥니다.
예를 들어 ‘50% 확률로 100 대미지’와 ‘항상 50 대미지’는 기댓값이 둘 다 50이지만 분산이 달라서 플레이할 때의 느낌이 다릅니다. 개발자는 기댓값과 흩어진 정도를 함께 조절해 원하는 경험을 만듭니다.
공식과 그래프
기댓값(확률변수의 평균)
그래프
수학 표기
(일반적인 수식)
\(E(X)\)
\(=\)
\(x_1\)
\(\times\)
\(p_1\)
\(+\)
\(\cdots\)
\(+\)
\(x_n\)
\(\times\)
\(p_n\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
기댓값 \(E(X)\)
\(=\)
①
첫 번째 값 \(x_1\)
\(\times\)
②
그 확률 \(p_1\)
\(+\)
\(\cdots\)
\(+\)
마지막 값 \(x_n\)
\(\times\)
그 확률 \(p_n\)
공식을 말로 읽으면
①
가질 수 있는 값 \(x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n\) 각각
에
②
그 값이 나올 확률 \(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_n\)
을 곱해 모두 더하면
③
기댓값 \(E(X)\)
가 됩니다
간단한 예
주사위를 한 번 던져 나오는 눈 \(X\)의 기댓값은(어느 눈이 나올 확률도 \(\dfrac{1}{6}\))
나오는 눈의 기댓값 \(E(X)\)
\(=\)
나오는 눈 1
\(\times\)
확률 \(\frac{1}{6}\)
\(+\)
\(\cdots\)
\(+\)
나오는 눈 6
\(\times\)
확률 \(\frac{1}{6}\)
\(E(X) = 1 \times \dfrac{1}{6} + 2 \times \dfrac{1}{6} + 3 \times \dfrac{1}{6} + 4 \times \dfrac{1}{6} + 5 \times \dfrac{1}{6} + 6 \times \dfrac{1}{6}\)
\(E(X) = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \dfrac{21}{6} = \dfrac{7}{2} = 3.5\)
이해의 핵심
기댓값은 ‘한 번에 평균적으로 어느 정도의 값이 되는가’를 나타내는 수로, 확률로 가중치를 준 평균(각 값 × 그 값이 나올 확률의 합)입니다. 주사위를 수천 번, 수만 번 던져 나온 눈의 평균을 내면 이 3.5에 점점 가까워집니다(큰수의 법칙).
실제로 3.5라는 눈이 나오는 일은 없습니다. 기댓값은 ‘다음 한 번의 예상’이 아니라 ‘여러 번 반복했을 때 한 번당 평균’으로 생각하는 것이 핵심입니다.
위 그래프처럼 확률분포를 직선 위에 놓인 추라고 생각하면, 기댓값은 그 균형이 잡히는 지점(무게중심)이 됩니다.
분산(흩어진 정도)
수학 표기
(일반적인 수식)
\(V(X)\)
\(=\)
\(E(X^{2})\)
\(-\)
\(\{E(X)\}^{2}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
분산 \(V(X)\)
\(=\)
①
제곱의 평균 \(E(X^2)\)
\(-\)
②
기댓값의 제곱 \(\{E(X)\}^2\)
공식을 말로 읽으면
①
값을 제곱한 다음 평균한 \(E(X^2)\)
에서
②
평균한 다음 제곱한 \(\{E(X)\}^2\)
을 빼면
③
분산 \(V(X)\)
가 됩니다
간단한 예
주사위의 나오는 눈 \(X\)(기댓값 \(E(X) = \dfrac{7}{2}\))의 분산은
나오는 눈의 분산 \(V(X)\)
\(=\)
눈의 제곱의 평균 \(E(X^2)\)
\(-\)
기댓값의 제곱 \(\left(\frac{7}{2}\right)^2\)
\(E(X^{2}) = 1^{2} \times \dfrac{1}{6} + 2^{2} \times \dfrac{1}{6} + 3^{2} \times \dfrac{1}{6} + 4^{2} \times \dfrac{1}{6} + 5^{2} \times \dfrac{1}{6} + 6^{2} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{91}{6}\)
\(V(X) = \dfrac{91}{6} - \left(\dfrac{7}{2}\right)^{2} = \dfrac{182}{12} - \dfrac{147}{12} = \dfrac{35}{12}\)
이해의 핵심
분산은 ‘값이 기댓값 주위에 얼마나 흩어져 있는가’를 나타내는 수입니다. 본래의 정의는 기댓값 \(m = E(X)\)로부터의 떨어진 정도(편차)를 제곱해 평균한 \(V(X) = (x_1 - m)^2 p_1 + (x_2 - m)^2 p_2 + \cdots + (x_n - m)^2 p_n\)이며, 이 식에서 ‘편차의 제곱의 평균’이라는 뜻을 그대로 읽을 수 있습니다.
다만 정의대로 계산하면 행마다 \(m\)을 빼야 해서 번거롭습니다. 그래서 식을 정리한 위의 \(V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2\)(‘제곱의 평균 − 평균의 제곱’)를 실제 계산에 주로 쓰며, 교과서에서도 이 식을 많이 쓰고 이 계산기도 이 식으로 풀이 과정을 보여 줍니다.
기댓값이 같아도 분산이 클수록 ‘대박과 꽝의 차이가 큰’ 분포입니다. 예를 들어 ‘반드시 10,000원을 받는 제비’와 ‘같은 확률로 0원 또는 20,000원을 받는 제비’는 둘 다 기댓값이 10,000원이지만, 뒤쪽이 분산이 큽니다.
표준편차
수학 표기
(일반적인 수식)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
\(\sigma(X)\)
\(=\)
\(\sqrt{V(X)}\)
②
표준편차 \(\sigma(X)\)
\(=\)
①
분산 \(V(X)\)의 양의 제곱근
공식을 말로 읽으면
①
분산 \(V(X)\)
의 양의 제곱근을 구하면
②
표준편차 \(\sigma(X)\)
가 됩니다
간단한 예
주사위의 나오는 눈 \(X\)(분산 \(V(X) = \dfrac{35}{12}\))의 표준편차는
나오는 눈의 표준편차 \(\sigma(X)\)
\(=\)
분산 \(\frac{35}{12}\)의 양의 제곱근
\(\sigma(X) = \sqrt{\dfrac{35}{12}} \fallingdotseq 1.71\)
이해의 핵심
분산은 ‘떨어진 정도의 제곱’의 평균이므로 단위까지 제곱되어 있습니다(상금이 원이라면 분산의 단위는 원 × 원). 그래서 흩어진 정도의 크기를 감으로 잡기 어렵기 때문에, 제곱근을 구해 원래 단위로 되돌린 것이 표준편차입니다.
‘기댓값 1,650원, 표준편차 약 9,986원인 제비’처럼 기댓값과 함께 보면 ‘평균 주위로 얼마나 크게 흔들리는가’를 같은 단위로 비교할 수 있습니다.
기댓값 \(E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n\)은 ‘각 값 × 그 확률’을 모두 더한, 확률로 가중치를 준 평균입니다. 흩어진 정도는 분산 \(V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2\)과 그 제곱근인 표준편차 \(\sigma(X)\)로 잽니다.
용어·기호 해설
기호
| \(X\) | 대문자 엑스 | 확률변수입니다. 주사위의 눈처럼 ‘시행의 결과에 따라 값이 정해지는 변수’를 나타냅니다. 아직 값이 정해지지 않은 ‘결과를 담는 그릇’이므로, 보통의 변수와 구별하려고 대문자로 씁니다. |
| \(x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n\) | 엑스 일, 엑스 이, …, 엑스 엔 | 확률변수 \(X\)가 가질 수 있는 값 하나하나입니다. 오른쪽 아래의 작은 숫자(첨자)는 ‘몇 번째 값인가’를 나타내는 번호일 뿐 값 자체와는 관계없습니다. |
| \(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_n\) | 피 일, 피 이, …, 피 엔 | 각 값이 나올 확률입니다. \(p\)는 확률을 뜻하는 영어 probability의 머리글자입니다. 모두 더하면 반드시 1이 됩니다. |
| \(n\) | 엔 | 가질 수 있는 값의 개수(확률분포표의 행 수)입니다. 개수를 나타내는 문자로는 number(수)의 머리글자 \(n\)을 자주 씁니다. |
| \(E(X)\) | 이 엑스 | 확률변수 \(X\)의 기댓값입니다. \(E\)는 기댓값을 뜻하는 영어 expectation(expected value)의 머리글자입니다. ‘\(X\)의 기댓값’이라는 하나의 수를 나타내는 표기이며, \(E\)와 \(X\)의 곱이 아닙니다. |
| \(m\) | 엠 | 기댓값(평균)을 나타낼 때 자주 쓰는 문자로, 평균을 뜻하는 영어 mean의 머리글자입니다. 교과서에서는 분산의 정의식에서 \(m = E(X)\)로 놓고 식을 짧게 씁니다. |
| \(V(X)\) | 브이 엑스 | 확률변수 \(X\)의 분산입니다. \(V\)는 분산을 뜻하는 영어 variance의 머리글자입니다. 기댓값으로부터 떨어진 정도(편차)의 제곱의 평균으로, 흩어진 정도를 나타냅니다. |
| \(\sigma(X)\) | 시그마 엑스 | 확률변수 \(X\)의 표준편차입니다. \(\sigma\)는 그리스 문자 시그마의 소문자로, 표준편차를 뜻하는 영어 standard deviation의 s에 해당하는 문자입니다. 분산의 양의 제곱근입니다. |
| \(X^2\) | 엑스 제곱 | 확률변수 \(X\)의 값을 제곱한 새로운 확률변수입니다. \(E(X^2)\)은 ‘가질 수 있는 값을 각각 제곱한 다음, 확률로 가중치를 주어 평균한 것’입니다. |
| \(\sqrt{\phantom{0}}\) | 루트(근호) | 제곱하면 그 수가 되는 0 이상의 수(양의 제곱근)를 나타내는 기호입니다. 예를 들어 \(\sqrt{9} = 3\)입니다. 표준편차는 분산에 이 기호를 붙여 구합니다. |
용어
| 확률변수 | 주사위의 눈, 제비의 상금처럼 시행(결과가 우연히 정해지는 실험이나 관찰)의 결과에 따라 값이 정해지는 변수를 말합니다. 대문자 \(X\)로 나타내는 것이 관례입니다. |
| 확률분포 | 확률변수가 가질 수 있는 값 각각에 그 값이 나올 확률을 짝지은 것입니다. 표로 나타낸 것이 확률분포표이며, 이 페이지의 입력란은 그 표를 그대로 넣는 형태입니다. |
| 시행 | 주사위를 던지거나 제비를 뽑는 것처럼, 같은 조건에서 반복할 수 있고 결과가 우연히 정해지는 실험이나 관찰을 말합니다. |
| 기댓값 | 확률변수의 평균입니다. 각 값에 그 확률을 곱해 모두 더한 값으로, 시행을 여러 번 반복했을 때의 ‘한 번당 평균’에 가까워집니다. 기호는 \(E(X)\) 또는 \(m\)입니다. |
| 가중평균 | 단순히 더해서 개수로 나누는 것이 아니라, 각 값에 ‘가중치’를 곱한 다음 더하는 평균입니다. 기댓값은 확률을 가중치로 한 가중평균입니다. |
| 분산 | 흩어진 정도를 나타내는 양입니다. 기댓값으로부터 떨어진 정도(편차)를 제곱해 확률로 가중치를 주어 평균한 것입니다. 기호는 \(V(X)\)입니다. |
| 표준편차 | 분산의 양의 제곱근입니다. 분산과 달리 원래 값과 같은 단위가 되므로 흩어진 정도를 직관적으로 비교하기 쉬운 양입니다. 기호는 \(\sigma(X)\)입니다. |
| 편차 | 값과 기댓값의 차이 \(x - m\)을 말합니다. 양수와 음수가 섞여 있어 그대로 평균하면 반드시 0이 되므로, 분산에서는 제곱한 다음 평균합니다. |
| 큰수의 법칙 | 시행 횟수를 늘려 가면 실제 결과의 평균이 기댓값에 점점 가까워진다는 법칙입니다. 기댓값을 ‘길게 보았을 때 한 번당 평균’으로 읽을 수 있는 근거입니다. |
| 이산확률변수 | 주사위의 눈(1~6)처럼 가질 수 있는 값이 띄엄띄엄 떨어진(유한 개나 정숫값) 확률변수입니다. 이 페이지에서 다루는 것은 이 유형입니다. 키처럼 연속적인 값을 갖는 것은 연속확률변수라고 부르며, 기댓값은 적분으로 구합니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘뜻을 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
막히는 부분이 있으면 이 표의 내용으로 돌아가 복습하는 것이 가장 빠른 길입니다.
| 확률의 기초(중학교 2학년~고등학교) |
|
| 분수·소수의 계산(초등학교 5학년~중학교 1학년, 10~13세) |
|
| 평균(초등학교 5학년~중학교, 10~15세) |
|
| 제곱과 제곱근(중학교 3학년, 14~15세) |
|
| 자료의 산포도(중학교 3학년, 14~15세) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘기댓값 E(X)’를 구하는 표(제비의 예)
| 값 x₁(꽝 0원) | 0 |
| 확률 p₁ | 0.7 |
| 값 x₂(상금 1,000원) | 1000 |
| 확률 p₂ | 0.2 |
| 값 x₃(상금 5,000원) | 5000 |
| 확률 p₃ | 0.09 |
| 값 x₄(상금 100,000원) | 100000 |
| 확률 p₄ | 0.01 |
| 확률의 합(1인지 확인) | =B2+B4+B6+B8 |
| 기댓값 E(X) | =B1*B2+B3*B4+B5*B6+B7*B8 |
‘분산 V(X)’를 구하는 표(제비의 예)
| 값 x₁ | 0 |
| 확률 p₁ | 0.7 |
| 값 x₂ | 1000 |
| 확률 p₂ | 0.2 |
| 값 x₃ | 5000 |
| 확률 p₃ | 0.09 |
| 값 x₄ | 100000 |
| 확률 p₄ | 0.01 |
| 기댓값 E(X) | =B1*B2+B3*B4+B5*B6+B7*B8 |
| 제곱의 평균 E(X²) | =B1^2*B2+B3^2*B4+B5^2*B6+B7^2*B8 |
| 분산 V(X) = E(X²) − {E(X)}² | =B10-B9^2 |
‘표준편차 σ(X)’를 구하는 표
| 분산 V(X) | 99727500 |
| 표준편차 σ(X) = √V(X) | =SQRT(B1) |
붙여 넣으면 위쪽 행(값과 확률)이 입력란이 되고, 아래쪽 행이 자동 계산 결과가 됩니다. ‘*’는 곱셈, ‘^2’는 제곱, SQRT는 제곱근을 계산하는 함수입니다.
첫 번째 표는 제비의 예(0원이 70%, 1,000원이 20%, 5,000원이 9%, 100,000원이 1%)입니다. 확률의 합은 1이고, 기댓값은 1,650(원)입니다.
두 번째 표는 같은 제비의 분산으로, 제곱의 평균 102,450,000에서 기댓값의 제곱 2,722,500을 뺀 99,727,500입니다.
세 번째 표는 그 분산으로 표준편차 약 9,986(원)을 구합니다. 행을 늘릴 때는 값과 확률의 쌍을 추가하고, 수식의 ‘B1*B2+…’ 부분을 같은 규칙으로 늘려 주세요.
첫 번째 표는 제비의 예(0원이 70%, 1,000원이 20%, 5,000원이 9%, 100,000원이 1%)입니다. 확률의 합은 1이고, 기댓값은 1,650(원)입니다.
두 번째 표는 같은 제비의 분산으로, 제곱의 평균 102,450,000에서 기댓값의 제곱 2,722,500을 뺀 99,727,500입니다.
세 번째 표는 그 분산으로 표준편차 약 9,986(원)을 구합니다. 행을 늘릴 때는 값과 확률의 쌍을 추가하고, 수식의 ‘B1*B2+…’ 부분을 같은 규칙으로 늘려 주세요.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘기댓값 E(X)’를 구하는 표(제비의 예)
| 값 x₁(꽝 0원) | 0 |
| 확률 p₁ | 0.7 |
| 값 x₂(상금 1,000원) | 1000 |
| 확률 p₂ | 0.2 |
| 값 x₃(상금 5,000원) | 5000 |
| 확률 p₃ | 0.09 |
| 값 x₄(상금 100,000원) | 100000 |
| 확률 p₄ | 0.01 |
| 확률의 합(1인지 확인) | =B2+B4+B6+B8 |
| 기댓값 E(X) | =B1*B2+B3*B4+B5*B6+B7*B8 |
‘분산 V(X)’를 구하는 표(제비의 예)
| 값 x₁ | 0 |
| 확률 p₁ | 0.7 |
| 값 x₂ | 1000 |
| 확률 p₂ | 0.2 |
| 값 x₃ | 5000 |
| 확률 p₃ | 0.09 |
| 값 x₄ | 100000 |
| 확률 p₄ | 0.01 |
| 기댓값 E(X) | =B1*B2+B3*B4+B5*B6+B7*B8 |
| 제곱의 평균 E(X²) | =B1^2*B2+B3^2*B4+B5^2*B6+B7^2*B8 |
| 분산 V(X) = E(X²) − {E(X)}² | =B10-B9^2 |
‘표준편차 σ(X)’를 구하는 표
| 분산 V(X) | 99727500 |
| 표준편차 σ(X) = √V(X) | =SQRT(B1) |
Excel과 같은 수식을 그대로 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 값과 확률을 자신의 숫자로 바꿔 주세요.
Python으로 계산하는 방법
from fractions import Fraction
# 확률분포표(값과 확률의 쌍). 제비의 예: 상금과 당첨될 확률
# 분수인 확률은 Fraction(1, 6)처럼 쓸 수 있다
values = [Fraction(0), Fraction(1000), Fraction(5000), Fraction(100000)]
probabilities = [Fraction("0.7"), Fraction("0.2"), Fraction("0.09"), Fraction("0.01")]
# 확률의 합이 1인지 확인
total = sum(probabilities)
if total != 1:
raise ValueError(f"확률의 합이 1이 아닙니다(합계: {total})")
# 기댓값 E(X) = Σ x_i p_i
mean = sum(x * p for x, p in zip(values, probabilities))
# 제곱의 평균 E(X²)와 분산 V(X) = E(X²) − {E(X)}²
mean_of_squares = sum(x * x * p for x, p in zip(values, probabilities))
variance = mean_of_squares - mean * mean
# 표준편차 σ(X) = √V(X)
std_dev = float(variance) ** 0.5
print(f"기댓값 E(X): {mean} = {float(mean)}")
print(f"분산 V(X): {variance} = {float(variance)}")
print(f"표준편차 σ(X): {std_dev}")
표준 라이브러리의 fractions 모듈을 쓰면 소수의 반올림 오차 없이 정확한 분수 그대로 계산할 수 있습니다. 이 예는 제비(0원이 70%, 1,000원이 20%, 5,000원이 9%, 100,000원이 1%)의 계산으로, 실행하면 기댓값 1650, 분산 99727500, 표준편차 약 9986.37이 표시됩니다. 값과 확률을 바꿔서 실행해 보세요.
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
기댓값(확률변수의 평균)
E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ
E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>E</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>p</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>p</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>+</mo><mo>⋯</mo><mo>+</mo>
<msub><mi>x</mi><mi>n</mi></msub><msub><mi>p</mi><mi>n</mi></msub>
</mrow>
</math>
E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + cdots + x_n p_n
Total[x*p]
EX := add(x[i]*p[i], i = 1..n);
EX = sum(x .* p);
E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + … + x_n p_n
분산(흩어진 정도)
V(X) = E(X²) − {E(X)}²
V(X) = E(X^{2}) - \{E(X)\}^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>E</mi><mo>(</mo><msup><mi>X</mi><mn>2</mn></msup><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<msup><mrow><mo>{</mo><mi>E</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>}</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
V(X) = E(X^2) - {E(X)}^2
Total[x^2*p] - Total[x*p]^2
VX := add(x[i]^2*p[i], i = 1..n) - EX^2;
VX = sum(x.^2 .* p) - EX^2;
V(X) = E(X^2) - {E(X)}^2
표준편차
σ(X) = √V(X)
\sigma(X) = \sqrt{V(X)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>σ</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<msqrt><mi>V</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo></msqrt>
</mrow>
</math>
sigma(X) = sqrt(V(X))
Sqrt[Total[x^2*p] - Total[x*p]^2]
sigmaX := sqrt(VX);
sigmaX = sqrt(VX);
σ(X) = √(V(X))
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 수학(확률·통계) 계산 도우미입니다. 다음 계산은 반드시 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 숫자만을 근거로 답해 주세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요).
확률변수 X의 확률분포가 다음 표와 같습니다.
값 x: 0, 1000, 5000, 100000
확률 p: 0.7, 0.2, 0.09, 0.01
다음을 각각 보여 주세요.
1. 확률의 합이 1인지 확인
2. 기댓값 E(X)(기약분수 또는 정수와 소수로 모두)
3. 분산 V(X)(E(X²) − {E(X)}²의 식을 쓰고, E(X²)의 값도 보여 주세요)
4. 표준편차 σ(X)(소수로)
Python에서는 표준 라이브러리의 fractions 모듈로 정확하게 계산하고, 사용한 공식과 실행 결과의 숫자를 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
간단하고 무료
무료로 횟수 제한 없이 변환
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
회원가입 불필요
접속 즉시 바로 사용 가능
개인정보를 등록하지 않고도 이용할 수 있습니다
개인정보를 등록하지 않고도 이용할 수 있습니다
안전하고 안심
통신을 강력하게 암호화
"다운로드"를 누르면 파일이 자동으로 삭제됩니다
"다운로드"를 누르면 파일이 자동으로 삭제됩니다
빠른 속도
기다림 없는 쾌적한 표시 속도와 변환 속도
워터마크 없음
워터마크 없음
출처 표기 불필요
출처 표기 불필요
상업적 이용 가능
무료로 상업적 이용 가능
상업적 이용 허가 연락도 필요 없습니다
상업적 이용 허가 연락도 필요 없습니다
관련 기능
조건부확률·베이즈 정리 계산기
‘A가 일어났다는 것을 알 때 B가 일어날 확률’ P(B|A)와, 결과에서 원인을 거슬러 올라가는 베이즈 정리를 넓이 그림·수형도와 함께 계산합니다
반복 시행의 확률 계산기(n번 연속·적어도 한 번)
확률이 p인 일을 n번 반복할 때 ‘매번 일어날’ 확률과 ‘적어도 한 번 일어날’ 확률을 계산합니다
평균·중앙값·최빈값·범위 계산기(대푯값)
자료를 넣기만 하면 평균·중앙값·최빈값·범위를 한꺼번에 계산합니다. 평균은 기댓값의 ‘자료 버전’에 해당하는 대푯값입니다
