첫째항 a₁과 점화식 a(n+1) = p·a(n) + q의 계수 p, 상수 q를 입력하세요. 아래 수식은 입력란과 연동되어 있어서 숫자 부분을 직접 고쳐도 계산할 수 있습니다.
수는 숫자로 입력하세요. 소수, 음수, 1/2 같은 분수를 쓸 수 있습니다. ‘구할 항의 번호 n’이 빈칸이면 10으로 처리합니다.
계산 결과·그래프
왼쪽 입력란에 첫째항과 계수를 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과와 그래프가 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- 이웃한 두 항의 점화식 \(a_{n+1} = p a_n + q\)(첫째항 \(a_1\))의 일반항을, 특성방정식으로 등비수열의 꼴로 바꾸는 풀이 과정과 함께 바로 구할 수 있습니다
- 답은 \(\dfrac{381}{64}\)처럼 약분을 마친 분수(정확한 값)로 나옵니다. \(p = 1\)(등차수열형), \(q = 0\)(등비수열형)인 경우도 자동으로 나누어 처리합니다
- 지정한 번호 \(n\)의 항의 값(제\(n\)항)과 제1~10항의 표·그래프도 표시합니다. 수열이 수렴하면 가까워지는 값(극한값 = 특성근)도 알 수 있습니다
- 첫째항과 계수에는 소수, 음수뿐 아니라 1/2 같은 분수도 입력할 수 있습니다
- 계산기에는 손으로 쓸 때와 같은 꼴의 점화식이 표시되고, 숫자 부분을 직접 고쳐서 계산할 수도 있습니다
- 공식의 쉬운 해설과 Excel·Google 스프레드시트·Python에 복사해 쓸 수 있는 수식도 이 페이지에 모아 두었습니다
대상은 이웃한 두 항의 점화식 \(a_{n+1} = p a_n + q\)(\(p\), \(q\)는 상수)입니다. \(a_{n+1} = a_n + n\)처럼 \(n\)이 들어간 꼴이나, \(a_{n+2}\)가 나오는 이웃한 세 항의 점화식에는 대응하지 않습니다.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
대출 잔액이 매달 어떻게 줄어드는지 따라가기(돈·생활 설계)
매달 이자가 붙고 매달 일정액을 갚는 대출의 잔액은 바로 ‘다음 달 잔액 = (1 + 월 이율) × 이번 달 잔액 − 매달 상환액’이라는 이웃한 두 항의 점화식으로 움직입니다.
예를 들어 월 이율 0.4%(연 4.8%), 매달 상환액 150만 원이라면 특성근은 150만 ÷ 0.004 = 3억 7,500만 원입니다. 이것은 ‘이자와 상환액이 꼭 맞아떨어져 잔액이 움직이지 않는 대출 금액’이라는 뜻이고, 잔액이 이보다 적으면 갚을 때마다 확실히 줄어듭니다(이 균형의 생각이 상환 계획의 기본입니다).
매일 먹는 약의 몸속 양이 자리 잡는 값 어림하기(의료·약학)
약은 몸속에서 시간이 지나며 일정한 비율로 분해·배출됩니다. ‘하루가 지나면 50%가 몸에 남고, 매일 200 mg을 먹는다’는 모형에서 몸속의 양은 점화식 \(a_{n+1} = 0.5a_n + 200\)을 따르며, 특성근 200 ÷ (1 − 0.5) = 400 mg에 수렴합니다.
매일 계속 먹어도 한없이 쌓이지 않고 일정한 수준에서 자리 잡는다는 것을 이 식이 보여 줍니다. 실제 약의 설계에서는 이런 계산을 더 정밀하게 한 약물동태학 모형으로 양과 간격을 정합니다.
구독 서비스의 회원 수는 어디서 멈출까(비즈니스)
‘매달 회원의 90%가 남고 신규 가입이 1,000명’인 서비스의 회원 수는 점화식 \(a_{n+1} = 0.9a_n + 1000\)을 따르며, 특성근 1000 ÷ (1 − 0.9) = 10,000명에 수렴합니다.
즉 가입자 수와 해지율이 그대로라면 회원 수는 약 1만 명에서 더 늘지 않습니다. 성장의 상한과 해지율을 낮추면 상한이 얼마나 올라가는지를 어림하는 사업 계획의 기본 모형입니다(유지율과 가입자 수가 일정하다고 가정한 대략적인 기준입니다).
난방을 켠 방의 온도 변화(생활·물리)
차가운 방을 난방하면 실내 온도는 설정 온도와의 차가 매분 일정한 비율로 줄어들듯이 변합니다. 예를 들어 ‘1분마다 실내 온도와 설정 온도 25 °C의 차가 10%씩 줄어든다’면 실내 온도는 점화식 \(a_{n+1} = 0.9a_n + 2.5\)를 따르며, 특성근 2.5 ÷ 0.1 = 25 °C, 즉 설정 온도에 수렴합니다.
‘처음에는 빨리 따뜻해지다가 설정 온도에 가까워질수록 천천히 오른다’는 것이 바로 이 점화식이 수렴하는 모습입니다(물리에서 말하는 뉴턴의 냉각 법칙을 1분 단위로 나타낸 것입니다).
적금 잔액이 늘어나는 모습을 식으로 나타내기(돈·자산 형성)
‘매달 말 잔액에 이자가 붙고, 매달 일정액을 더 넣는’ 적금의 잔액도 ‘다음 달 잔액 = (1 + 월 이율) × 이번 달 잔액 + 납입액’이라는 같은 꼴의 점화식입니다. 다만 이쪽은 곱하는 수가 1보다 크므로 수렴하지 않고 잔액이 계속 늘어납니다(발산하는 쪽의 예입니다).
일반항을 구해 두면 ‘n개월 뒤의 잔액’을 한 번에 계산할 수 있습니다. 금융에서 쓰는 연금의 미래가치(적립 원리금) 공식과 같은 것으로, 모을 수 있는 금액의 어림은 이 점화식의 일반항으로 합니다.
공식과 그래프
이웃한 두 항의 점화식
그래프
수학 표기
(일반적인 수식)
\(a_{n+1}\)
\(=\)
\(p\)
\(\times\)
\(a_n\)
\(+\)
\(q\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
④
다음 항(\(a_{n+1}\))
\(=\)
②
곱하는 수(\(p\))
\(\times\)
①
지금 항(\(a_n\))
\(+\)
③
더하는 수(\(q\))
공식을 말로 읽으면
①
지금 항(\(a_n\))
에
②
곱하는 수(\(p\))
를 곱하고
③
더하는 수(\(q\))
를 더하면
④
다음 항(\(a_{n+1}\))
이 됩니다
간단한 예
첫째항이 \(a_1 = 1\)이고 점화식이 \(a_{n+1} = 2a_n + 3\)(지금 항을 2배 하고 3을 더함)인 수열의 시작은
다음 항
\(=\)
2
\(\times\)
지금 항
\(+\)
3
\(a_2 = 2 \times 1 + 3 = 5\)
\(a_3 = 2 \times 5 + 3 = 13\)
\(a_4 = 2 \times 13 + 3 = 29\)
이해의 핵심
점화식은 ‘지금 항으로 다음 항을 만드는 규칙’입니다. 첫째항 \(a_1\)과 규칙이 있으면 \(a_2\), \(a_3\), … 순서로 수열 전체가 차례로 정해집니다.
다만 이 방법으로 제100항을 알려면 99번 계산해야 합니다. 그래서 \(n\)만 넣으면 제\(n\)항이 바로 나오는 식, 즉 일반항이 필요합니다. 그것을 구하는 도구가 다음에 설명하는 특성방정식입니다.
특성방정식과 특성근
수학 표기
(일반적인 수식)
\(c\)
\(=\)
\(q\)
\(\div\)
\(1 - p\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
특성근(\(c\))
\(=\)
①
더하는 수(\(q\))
\(\div\)
②
1에서 곱하는 수 \(p\)를 뺀 수(\(1 - p\))
공식을 말로 읽으면
①
점화식의 \(a_{n+1}\)과 \(a_n\)을 모두 \(x\)로 바꾼 방정식 \(x = px + q\)(특성방정식)를 풀면,
더하는 수(\(q\))
를
②
1에서 곱하는 수 \(p\)를 뺀 수(\(1 - p\))
로 나눈
③
특성근(\(c\))
이 구해집니다
간단한 예
점화식 \(a_{n+1} = 2a_n + 3\)의 특성방정식은 \(x = 2x + 3\)입니다. 이것을 풀면
특성근(\(c\))
\(=\)
더하는 수(3)
\(\div\)
\(1 - 2\)
\(x = 2x + 3\)
\(x - 2x = 3\)
\(-x = 3\)
\(x = -3\)
\(c = \dfrac{3}{1-2} = -3\)
이해의 핵심
특성방정식 \(x = px + q\)의 해 \(c\)는 ‘만약 어떤 항이 이 값이 되면 다음 항도 똑같은 값이 된다’는 특별한 값입니다(실제로 \(c = pc + q\)이므로 \(c\)가 된 뒤로는 계속 \(c\)에 머뭅니다). 이런 뜻에서 특성근은 수열의 ‘움직이지 않는 점(고정점)’이라고도 합니다.
이항해서 풀어도 되고, 공식 \(c = \dfrac{q}{1-p}\)에 대입해도 됩니다. 분모가 \(1 - p\)이므로 \(p = 1\)일 때만 특성방정식을 쓸 수 없습니다(이 경우는 등차수열이 되며, 아래의 별도 공식 카드에서 다룹니다).
특성근을 이용한 변형(등비수열 만들기)
수학 표기
(일반적인 수식)
\(a_{n+1} - c\)
\(=\)
\(p\)
\(\times\)
\((a_n - c)\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
다음 항과 특성근의 차(\(a_{n+1} - c\))
\(=\)
②
곱하는 수(\(p\))
\(\times\)
①
지금 항과 특성근의 차(\(a_n - c\))
공식을 말로 읽으면
①
지금 항과 특성근의 차(\(a_n - c\))
에
②
곱하는 수(\(p\))
를 곱하면
③
다음 항과 특성근의 차(\(a_{n+1} - c\))
가 됩니다(차만 보면 공비가 \(p\)인 등비수열입니다)
간단한 예
점화식 \(a_{n+1} = 2a_n + 3\)(특성근 \(c = -3\))을 변형하면
다음 항 \(+\,3\)
\(=\)
2
\(\times\)
지금 항 \(+\,3\)
\(a_{n+1} + 3 = 2\left(a_n + 3\right)\)
\(a_1 + 3 = 4,\quad a_2 + 3 = 8,\quad a_3 + 3 = 16\)
이해의 핵심
점화식 \(a_{n+1} = p a_n + q\)에서 특성방정식 \(c = pc + q\)를 변끼리 빼면(좌변끼리, 우변끼리 빼면) 더하는 수 \(q\)가 사라지고 \(a_{n+1} - c = p(a_n - c)\)만 남습니다.
즉 ‘각 항에서 특성근 \(c\)를 뺀 차의 수열 \(\{a_n - c\}\)’는 매번 \(p\)를 곱하기만 하는 등비수열입니다. 덧셈이 섞여 다루기 어려운 점화식을 익숙한 등비수열로 바꾸는 것이 이 변형의 목적입니다.
예에서는 \(c = -3\)이므로 차는 \(a_n - (-3) = a_n + 3\)이고, 실제로 \(4,\ 8,\ 16,\ \dots\)로 매번 2배씩 늘어납니다.
일반항(특성방정식형)
그래프
수학 표기
(일반적인 수식)
\(a_n\)
\(=\)
\((a_1 - c)\)
\(\times\)
\(p^{n-1}\)
\(+\)
\(c\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
④
제\(n\)항(일반항, \(a_n\))
\(=\)
①
첫째항과 특성근의 차(\(a_1 - c\))
\(\times\)
②
곱하는 수 \(p\)를 \(n-1\)번 곱한 수(\(p^{n-1}\))
\(+\)
③
특성근(\(c\))
공식을 말로 읽으면
①
첫째항과 특성근의 차(\(a_1 - c\))
에
②
곱하는 수 \(p\)를 \(n-1\)번 곱한 수(\(p^{n-1}\))
를 곱하고
③
특성근(\(c\))
을 다시 더하면
④
제\(n\)항(일반항, \(a_n\))
이 됩니다
간단한 예
첫째항이 \(a_1 = 1\)이고 점화식이 \(a_{n+1} = 2a_n + 3\)(특성근 \(c = -3\))인 수열의 일반항은
제\(n\)항
\(=\)
차 \(1 - (-3) = 4\)
\(\times\)
\(2^{n-1}\)
\(+\)
특성근 \(-3\)
\(a_n = \left(1 - (-3)\right) \times 2^{n-1} + (-3) = 4 \cdot 2^{n-1} - 3\)
\(a_1 = 4 \times 1 - 3 = 1,\quad a_2 = 4 \times 2 - 3 = 5,\quad a_3 = 4 \times 4 - 3 = 13\)
이해의 핵심
변형으로 얻은 등비수열 \(\{a_n - c\}\)는 첫째항이 \(a_1 - c\), 공비가 \(p\)이므로, 등비수열의 일반항 공식에 의해 \(a_n - c = (a_1 - c)p^{n-1}\)입니다. 마지막으로 뺐던 \(c\)를 다시 더하면(이항하면) 이 일반항의 식이 됩니다.
\(|p| < 1\)(\(p\)가 \(-1\)과 \(1\) 사이)일 때는 \(n\)이 커질수록 \(p^{n-1}\)이 0에 가까워지므로, \(a_n\)은 특성근 \(c\)에 한없이 가까워집니다(수렴). 이 계산기는 수렴하는 경우 \(c\)를 극한값으로 표시합니다.
\(p = 1\)인 경우(등차수열형)
수학 표기
(일반적인 수식)
\(a_n\)
\(=\)
\(a_1\)
\(+\)
\((n-1)q\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
제\(n\)항(일반항, \(a_n\))
\(=\)
①
첫째항(\(a_1\))
\(+\)
②
공차 \(q\)의 \(n-1\)배(\((n-1)q\))
공식을 말로 읽으면
①
\(p = 1\)일 때 점화식은 \(a_{n+1} = a_n + q\)(매번 \(q\)를 더하기만 함)이므로,
첫째항(\(a_1\))
에
②
공차 \(q\)의 \(n-1\)배(\((n-1)q\))
를 더하면
③
제\(n\)항(일반항, \(a_n\))
이 됩니다
간단한 예
첫째항이 \(a_1 = 5\)이고 점화식이 \(a_{n+1} = a_n + 3\)(공차가 3인 등차수열)인 수열의 일반항과 제4항은
제\(n\)항
\(=\)
첫째항(5)
\(+\)
\(3\)의 \(n-1\)배
\(a_n = 5 + (n-1) \times 3 = 3n + 2\)
\(a_4 = 3 \times 4 + 2 = 14\)
이해의 핵심
\(p = 1\)일 때는 특성방정식의 분모 \(1 - p\)가 0이 되므로 특성근을 쓸 수 없습니다. 대신 점화식이 매번 같은 수 \(q\)를 더하기만 하므로, 수열은 그대로 공차가 \(q\)인 등차수열입니다.
제1항부터 제\(n\)항까지 \(q\)를 더하는 횟수는 항 사이의 개수와 같은 \(n-1\)번입니다(제1항부터 제4항까지는 3번. \(n\)번으로 세는 것은 흔한 실수입니다).
\(q = 0\)인 경우(등비수열형)
수학 표기
(일반적인 수식)
\(a_n\)
\(=\)
\(a_1\)
\(\times\)
\(p^{n-1}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
제\(n\)항(일반항, \(a_n\))
\(=\)
①
첫째항(\(a_1\))
\(\times\)
②
공비 \(p\)를 \(n-1\)번 곱한 수(\(p^{n-1}\))
공식을 말로 읽으면
①
\(q = 0\)일 때 점화식은 \(a_{n+1} = p a_n\)(매번 \(p\)를 곱하기만 함)이므로,
첫째항(\(a_1\))
에
②
공비 \(p\)를 \(n-1\)번 곱한 수(\(p^{n-1}\))
를 곱하면
③
제\(n\)항(일반항, \(a_n\))
이 됩니다
간단한 예
첫째항이 \(a_1 = 3\)이고 점화식이 \(a_{n+1} = 2a_n\)(공비가 2인 등비수열)인 수열의 일반항과 제4항은
제\(n\)항
\(=\)
첫째항(3)
\(\times\)
\(2^{n-1}\)
\(a_n = 3 \times 2^{n-1}\)
\(a_4 = 3 \times 2^{3} = 3 \times 8 = 24\)
이해의 핵심
\(q = 0\)일 때는 점화식이 ‘매번 같은 수 \(p\)를 곱하기만 하는’ 꼴이므로, 수열은 그대로 공비가 \(p\)인 등비수열입니다. 등차수열형과 같은 이유로 곱하는 횟수는 \(n-1\)번입니다.
사실 일반항(특성방정식형)의 식에서 \(q = 0\)으로 두면 특성근은 \(c = 0\)이 되고, \(a_n = (a_1 - 0)p^{n-1} + 0 = a_1 p^{n-1}\)입니다. 즉 이 식은 특성방정식형의 특별한 경우입니다.
이웃한 두 항의 점화식 \(a_{n+1} = p a_n + q\)는 특성방정식 \(x = px + q\)의 해(특성근 \(c = \dfrac{q}{1-p}\))를 이용해 \(a_{n+1} - c = p(a_n - c)\)로 변형하면, 차의 수열 \(\{a_n - c\}\)가 공비가 \(p\)인 등비수열이 되어 일반항 \(a_n = (a_1 - c)p^{n-1} + c\)를 구할 수 있습니다. \(p = 1\)이면 등차수열형, \(q = 0\)이면 등비수열형입니다.
용어·기호 해설
기호
| \(a_n\) | 에이 엔 | 수열의 앞에서부터 \(n\)번째 항. 수열을 나타내는 문자로는 \(a\)를 자주 씁니다(알파벳의 첫 글자라서라고 합니다). 오른쪽 아래의 작은 첨자 \(n\)이 ‘몇 번째인지’를 나타냅니다. |
| \(a_{n+1}\) | 에이 엔 플러스 일 | 제\(n\)항의 하나 뒤, 즉 \(n+1\)번째 항. 점화식에서는 ‘지금 항 \(a_n\)의 다음 항’이라는 역할로 나옵니다. |
| \(a_1\) | 에이 일 | 수열의 맨 처음 항(첫째항). 점화식은 ‘지금 항으로 다음 항을 만드는 규칙’이므로 출발점인 첫째항이 정해지지 않으면 수열이 정해지지 않습니다. |
| \(n\) | 엔 | 항의 번호(앞에서 몇 번째인지). number(수)의 첫 글자 \(n\)을 쓰는 것이 관례입니다. 1, 2, 3, …의 자연수 값을 가집니다. |
| \(p\) | 피 | 지금 항 \(a_n\)에 곱하는 상수. 등비수열의 공비에 해당하는 역할이며, 이 값이 \(-1\)과 \(1\) 사이면 수열은 특성근에 수렴합니다. |
| \(q\) | 큐 | 곱한 뒤에 더하는 상수. 등차수열의 공차에 해당하는 역할입니다. \(p\) 다음 알파벳으로 \(q\)를 쓰는 것이 관례입니다. |
| \(c\) | 시 | 특성방정식 \(x = px + q\)의 해(특성근). \(c\)는 constant(상수)의 첫 글자입니다. ‘어떤 항이 이 값이 되면 다음 항도 같은 값에 머문다’는 특별한 값이며, 수렴하는 수열이 다다르는 곳이기도 합니다. |
| \(\{a_n\}\) | 수열 에이 엔 | 항 \(a_n\)을 늘어놓은 수열 전체를 나타내는 표기. 중괄호는 ‘\(a_1, a_2, a_3, \dots\) 전체를 하나로 묶었다’는 뜻입니다. |
| \(p^{n-1}\) | 피의 엔 마이너스 일 제곱 | \(p\)를 \(n-1\)번 곱한 것(거듭제곱). 오른쪽 위의 작은 수(지수)가 곱하는 횟수를 나타냅니다. 제1항부터 제\(n\)항까지 공비를 곱하는 횟수가 \(n-1\)번이므로 일반항에 이 꼴이 나타납니다. |
| \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n\) | 리밋 엔이 무한대로 갈 때 에이 엔 | \(n\)을 한없이 크게 할 때 \(a_n\)이 가까워지는 값(극한값). \(\lim\)은 limit(극한)의 앞 세 글자입니다. 이 계산기에서는 수열이 수렴하는 경우에 극한값을 표시합니다. |
용어
| 수열 | 수를 차례로 늘어놓은 것. 늘어놓은 수 하나하나를 항이라 하고, \(a_1, a_2, a_3, \dots\)처럼 번호를 붙여 나타냅니다. 고등학교 ‘대수’(2015 개정 교육과정에서는 ‘수학 I’)에서 배웁니다. |
| 항 | 수열을 이루는 수 하나하나. 앞에서 \(n\)번째 항을 제\(n\)항이라고 합니다. |
| 첫째항 | 수열의 맨 처음 항 \(a_1\). 점화식으로 수열을 정할 때의 출발점입니다. |
| 점화식 | ‘지금 항으로 다음 항을 만드는 규칙’을 식으로 나타낸 것. 예를 들어 \(a_{n+1} = 2a_n + 3\)은 ‘다음 항은 지금 항을 2배 하고 3을 더한 것’이라는 규칙입니다. 첫째항과 함께 주어지면 수열 전체가 정해집니다. 고등학교 교과서에서는 ‘수열의 귀납적 정의’라는 이름으로 배웁니다. |
| 이웃한 두 항의 점화식 | 이웃한 두 항(\(a_n\)과 \(a_{n+1}\))만으로 쓴 점화식. 이 페이지에서 다루는 \(a_{n+1} = p a_n + q\)가 대표적인 꼴입니다. 세 항 \(a_n,\ a_{n+1},\ a_{n+2}\)가 나오는 것은 이웃한 세 항의 점화식이라 하며 다른 방법으로 풉니다. |
| 일반항 | 제\(n\)항을 \(n\)에 대한 식으로 바로 나타낸 것. 예를 들어 \(a_n = 4 \cdot 2^{n-1} - 3\)을 구해 두면 제100항도 \(n = 100\)을 대입하기만 하면 한 번에 계산할 수 있습니다. |
| 등차수열 | 이웃한 두 항의 차가 항상 같은 수열(매번 같은 수를 더해 나가는 수열). \(5, 8, 11, 14, \dots\)는 공차가 3인 등차수열입니다. 이 점화식에서는 \(p = 1\)인 경우에 해당합니다. |
| 공차 | 등차수열에서 매번 더하는 일정한 수. 이 페이지의 점화식에서는 \(p = 1\)일 때의 \(q\)가 공차의 역할을 합니다. |
| 등비수열 | 이웃한 두 항의 비가 항상 같은 수열(매번 같은 수를 곱해 나가는 수열). \(3, 6, 12, 24, \dots\)는 공비가 2인 등비수열입니다. 이 점화식에서는 \(q = 0\)인 경우에 해당합니다. |
| 공비 | 등비수열에서 매번 곱하는 일정한 수. 이 페이지의 점화식에서는 \(p\)가 공비의 역할을 합니다. |
| 특성방정식 | 점화식의 \(a_{n+1}\)과 \(a_n\)을 같은 문자 \(x\)로 바꾸어 만든 방정식 \(x = px + q\). 이 해(특성근)를 이용하면 점화식을 등비수열의 꼴로 바꿀 수 있습니다. |
| 특성근 | 특성방정식의 해 \(c = \dfrac{q}{1-p}\). ‘어떤 항이 이 값이 되면 다음 항도 같은 값에 머문다’는 수열의 움직이지 않는 점이며, 수렴하는 경우에는 수열이 다다르는 값(극한값)이기도 합니다. |
| 고정점 | 규칙을 적용해도 변하지 않는 값(부동점이라고도 합니다). 점화식에서는 특성근 \(c\)가 이에 해당하며 \(c = pc + q\)가 성립합니다. 대학 이후의 수학에서는 이런 관점으로 점화식이나 함수의 반복을 분석합니다. |
| 수렴 | \(n\)을 크게 해 나갈 때 항의 값이 어떤 일정한 값에 한없이 가까워지는 것. 이 점화식은 \(|p| < 1\)(\(p\)가 \(-1\)과 \(1\) 사이)일 때 특성근 \(c\)에 수렴합니다. |
| 극한값 | 수렴하는 수열이 가까워지는 값. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n\)으로 씁니다. 고등학교 ‘미적분’에서 본격적으로 배우지만, 여기서는 ‘점점 가까워지는 목적지’라는 이미지로 충분합니다. |
| 발산 | 수렴하지 않는 것. 항의 값이 한없이 커지는(또는 작아지는) 경우나, 두 값을 오가며 한 값에 자리 잡지 않는 경우를 말합니다. 이 점화식은 \(|p| > 1\)이면 특성근에서 정확히 시작하지 않는 한 발산합니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘의미를 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
막히면 이 표의 내용으로 돌아가 복습하는 것이 지름길입니다.
| 수열이란(고등학교 대수, 주로 2학년, 16~17세) |
|
| 등차수열·등비수열(고등학교 대수, 주로 2학년, 16~17세) |
|
| 일차방정식과 이항(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 거듭제곱과 지수(중학교 1학년~고등학교 대수, 12~17세) |
|
| 분수의 계산(초등학교 5학년~중학교 1학년, 10~13세) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘일반항(특성방정식형)’으로 제n항을 구하는 표
| 첫째항 a1 | 1 |
| 계수 p | 2 |
| 상수 q | 3 |
| 구할 항의 번호 n | 10 |
| 특성근 c = q/(1−p) | =B3/(1-B2) |
| 첫째항과 특성근의 차 a1−c | =B1-B5 |
| 제n항 (a1−c)×p^(n−1)+c | =B6*B2^(B4-1)+B5 |
‘점화식’을 한 단계씩 계산하는 표(제1~10항)
| 계수 p | 2 |
| 상수 q | 3 |
| 제1항 a1 | 1 |
| 제2항 | =B1*B3+B2 |
| 제3항 | =B1*B4+B2 |
| 제4항 | =B1*B5+B2 |
| 제5항 | =B1*B6+B2 |
| 제6항 | =B1*B7+B2 |
| 제7항 | =B1*B8+B2 |
| 제8항 | =B1*B9+B2 |
| 제9항 | =B1*B10+B2 |
| 제10항 | =B1*B11+B2 |
‘p = 1인 경우(등차수열형)’의 제n항을 구하는 표
| 첫째항 a1 | 5 |
| 공차 q | 3 |
| 구할 항의 번호 n | 4 |
| 제n항 a1+(n−1)q | =B1+(B3-1)*B2 |
‘q = 0인 경우(등비수열형)’의 제n항을 구하는 표
| 첫째항 a1 | 3 |
| 공비 p | 2 |
| 구할 항의 번호 n | 4 |
| 제n항 a1×p^(n−1) | =B1*B2^(B3-1) |
붙여 넣으면 위쪽 행(첫째항·계수)이 입력 칸이 되고, 아래쪽 행에 자동 계산 결과가 나옵니다. ‘^’는 거듭제곱, ‘*’는 곱셈입니다.
첫 번째 표는 첫째항이 1, 점화식이 a(n+1) = 2a(n) + 3인 수열의 제10항을 일반항으로 구합니다. 특성근 c는 −3이고 답은 2045입니다. 이 표의 수식은 p = 1일 때는 쓸 수 없습니다(1−p가 0이 되어 0으로 나누게 됩니다). 그때는 세 번째 표를 쓰세요.
두 번째 표는 같은 수열을 점화식 그대로 한 단계씩 계산하므로, 제10항이 첫 번째 표와 같은 2045임을 확인할 수 있습니다.
세 번째 표는 등차수열형의 예(첫째항 5, 공차 3, 제4항 = 14), 네 번째 표는 등비수열형의 예(첫째항 3, 공비 2, 제4항 = 24)입니다.
첫 번째 표는 첫째항이 1, 점화식이 a(n+1) = 2a(n) + 3인 수열의 제10항을 일반항으로 구합니다. 특성근 c는 −3이고 답은 2045입니다. 이 표의 수식은 p = 1일 때는 쓸 수 없습니다(1−p가 0이 되어 0으로 나누게 됩니다). 그때는 세 번째 표를 쓰세요.
두 번째 표는 같은 수열을 점화식 그대로 한 단계씩 계산하므로, 제10항이 첫 번째 표와 같은 2045임을 확인할 수 있습니다.
세 번째 표는 등차수열형의 예(첫째항 5, 공차 3, 제4항 = 14), 네 번째 표는 등비수열형의 예(첫째항 3, 공비 2, 제4항 = 24)입니다.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘일반항(특성방정식형)’으로 제n항을 구하는 표
| 첫째항 a1 | 1 |
| 계수 p | 2 |
| 상수 q | 3 |
| 구할 항의 번호 n | 10 |
| 특성근 c = q/(1−p) | =B3/(1-B2) |
| 첫째항과 특성근의 차 a1−c | =B1-B5 |
| 제n항 (a1−c)×p^(n−1)+c | =B6*B2^(B4-1)+B5 |
‘점화식’을 한 단계씩 계산하는 표(제1~10항)
| 계수 p | 2 |
| 상수 q | 3 |
| 제1항 a1 | 1 |
| 제2항 | =B1*B3+B2 |
| 제3항 | =B1*B4+B2 |
| 제4항 | =B1*B5+B2 |
| 제5항 | =B1*B6+B2 |
| 제6항 | =B1*B7+B2 |
| 제7항 | =B1*B8+B2 |
| 제8항 | =B1*B9+B2 |
| 제9항 | =B1*B10+B2 |
| 제10항 | =B1*B11+B2 |
‘p = 1인 경우(등차수열형)’의 제n항을 구하는 표
| 첫째항 a1 | 5 |
| 공차 q | 3 |
| 구할 항의 번호 n | 4 |
| 제n항 a1+(n−1)q | =B1+(B3-1)*B2 |
‘q = 0인 경우(등비수열형)’의 제n항을 구하는 표
| 첫째항 a1 | 3 |
| 공비 p | 2 |
| 구할 항의 번호 n | 4 |
| 제n항 a1×p^(n−1) | =B1*B2^(B3-1) |
Excel과 같은 수식을 그대로 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 첫째항과 계수를 원하는 값으로 바꾸세요.
Python으로 계산하는 방법
from fractions import Fraction
first_term = Fraction(1) # 첫째항 a1 (분수도 가능. 예: Fraction(1, 2))
coefficient = Fraction(2) # 계수 p (a_n에 곱하는 수)
constant = Fraction(3) # 상수 q (더하는 수)
term_number = 10 # 구할 항의 번호 n
# 점화식에 따라 제1~10항을 차례로 계산
terms = [first_term]
for _ in range(9):
terms.append(coefficient * terms[-1] + constant)
print("제1~10항:", ", ".join(str(t) for t in terms))
# 제n항 (점화식을 n-1번 적용)
nth_term = first_term
for _ in range(term_number - 1):
nth_term = coefficient * nth_term + constant
print(f"제{term_number}항: {nth_term} (소수로: {float(nth_term)})")
# p가 1이 아니면 특성근 c = q/(1-p)로 일반항도 구할 수 있음
if coefficient != 1:
fixed_point = constant / (1 - coefficient)
start_diff = first_term - fixed_point
print(f"특성근 c: {fixed_point}")
print(f"일반항: a_n = ({start_diff})*({coefficient})^(n-1) + ({fixed_point})")
표준 라이브러리의 fractions 모듈을 쓰면 소수의 반올림 오차 없이 정확한 분수 그대로 계산할 수 있습니다. 이 예는 첫째항이 1, 점화식이 a(n+1) = 2a(n) + 3인 수열입니다. 실행하면 제1~10항(1, 5, 13, …, 2045), 제10항 = 2045, 특성근 −3, 일반항 a_n = (4)*(2)^(n-1) + (-3)(정리하면 4×2^(n−1) − 3)이 표시됩니다. 첫째항과 계수를 바꿔서 실행해 보세요.
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
이웃한 두 항의 점화식
aₙ₊₁ = p·aₙ + q
a_{n+1} = p a_n + q
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<mi>p</mi>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi>
</mrow>
</math>
a_(n+1) = p a_n + q
RSolve[{a[n + 1] == p a[n] + q, a[1] == a1}, a[n], n]
rsolve({a(n+1) = p*a(n) + q, a(1) = a1}, a(n));
a(n+1) = p*a(n) + q
a_(n+1) = p a_n + q
특성방정식과 특성근
c = q/(1 − p)
c = \dfrac{q}{1-p}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>c</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mi>q</mi>
<mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>p</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
c = q/(1-p)
c = q/(1 - p)
c := q/(1 - p);
c = q/(1 - p);
c = q/(1 − p)
특성근을 이용한 변형(등비수열 만들기)
aₙ₊₁ − c = p(aₙ − c)
a_{n+1} - c = p(a_n - c)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>=</mo>
<mi>p</mi>
<mo>(</mo>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
a_(n+1) - c = p(a_n - c)
a[n + 1] - c == p (a[n] - c)
a(n+1) - c = p*(a(n) - c);
a(n+1) - c = p*(a(n) - c)
a_(n+1) − c = p(a_n − c)
일반항(특성방정식형)
aₙ = (a₁ − c)·pⁿ⁻¹ + c
a_n = (a_1 - c)p^{n-1} + c
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>)</mo>
<msup><mi>p</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
</mrow>
</math>
a_n = (a_1 - c)p^(n-1) + c
a[n_] := (a1 - c) p^(n - 1) + c
a := n -> (a1 - c)*p^(n-1) + c;
a_n = (a1 - c)*p^(n-1) + c;
a_n = (a_1 − c)p^(n−1) + c
\(p = 1\)인 경우(등차수열형)
aₙ = a₁ + (n − 1)q
a_n = a_1 + (n-1)q
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mi>q</mi>
</mrow>
</math>
a_n = a_1 + (n-1)q
a[n_] := a1 + (n - 1) q
a := n -> a1 + (n-1)*q;
a_n = a1 + (n-1)*q;
a_n = a_1 + (n − 1)q
\(q = 0\)인 경우(등비수열형)
aₙ = a₁·pⁿ⁻¹
a_n = a_1 p^{n-1}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<msup><mi>p</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
</mrow>
</math>
a_n = a_1 p^(n-1)
a[n_] := a1 p^(n - 1)
a := n -> a1*p^(n-1);
a_n = a1*p^(n-1);
a_n = a_1 p^(n−1)
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 수학(수열·점화식) 계산 도우미입니다. 다음 계산을 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답해 주세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 첫째항 a_1 = 1, 점화식 a_(n+1) = 2·a_n + 3으로 정해지는 수열에 대해 다음을 각각 보여 주세요. 1. 특성방정식 x = 2x + 3의 해(특성근 c) 2. 일반항 a_n(c를 이용해 등비수열의 꼴로 바꾸는 풀이 과정 포함) 3. 제1항부터 제10항까지의 값과 제10항의 값 4. 이 수열은 수렴하는가?(수렴한다면 극한값도) Python에서는 표준 라이브러리의 fractions 모듈로 정확하게 계산하고, 사용한 식과 실행 결과의 수치를 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
간단하고 무료
무료로 횟수 제한 없이 변환
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
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관련 기능
등차수열 계산기(제n항·첫째항부터 제n항까지의 합)
첫째항·공차·항의 개수로 제n항과 첫째항부터 제n항까지의 합을 계산합니다(매번 같은 수를 더해 나가는 수열. 이 점화식에서 p = 1인 경우입니다)
