원의 방정식 계산기(일반형⇔표준형·중심과 반지름·원과 직선의 위치 관계)

변환 방향을 고르고 원의 방정식의 계수를 입력하세요. 아래 수식은 입력란과 연결되어 있어서 계수 부분을 직접 고쳐도 계산할 수 있습니다. 원과 직선의 위치 관계를 알아보려면 맨 아래 선택란에서 ‘직선 px + qy + s = 0과의 위치 관계도 알아보기’를 고르세요.

변환 방향

x의 계수 l

y의 계수 m

상수항 n

중심의 x좌표 a

중심의 y좌표 b

우변의 값(반지름의 제곱 r²)

원과 직선의 위치 관계

직선의 x의 계수 p

직선의 y의 계수 q

직선의 상수항 s

소수, 음수, 3/4 같은 분수를 쓸 수 있습니다. x나 y가 붙은 항의 계수가 빈칸이면 1(x는 1x라는 뜻), 상수항과 중심의 좌표가 빈칸이면 0으로 계산합니다. 쓰지 않는 항에는 0을 입력하세요.

계산 결과·그래프

왼쪽 입력란에 계수를 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과와 원의 그림이 표시됩니다.

이 페이지에서 할 수 있는 것
이 계산은 어디에 쓰일까요?
사용법
공식과 그림
용어·기호 해설
- 기호
- 용어
먼저 알아 두면 좋은 내용
Excel로 계산하는 방법
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
Python으로 계산하는 방법
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
ChatGPT에게 물어서 계산하는 방법
DataChef의 특징
관련 기능
NumberChef 계산기 목록

이 페이지에서 할 수 있는 것

원의 방정식의 일반형 \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\)을 완전제곱식으로 고쳐 표준형 \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\)으로 바꾸고, 중심과 반지름을 분수와 \(\sqrt{\ }\)를 쓴 정확한 값으로 구할 수 있습니다(풀이 과정 포함)
반대로 중심과 우변(반지름의 제곱)으로부터 전개해서 일반형으로 바꿀 수도 있습니다
우변의 \(r^{2}\)이 0 이하가 되어 ‘원이 되지 않는’ 경우(한 점만 나타내는 경우·도형이 없는 경우)도 이유와 함께 판정합니다
직선 \(px + qy + s = 0\)과의 위치 관계(서로 다른 두 점에서 만남·접함·교점 없음)를 중심과 직선 사이의 거리 \(d\)와 반지름 \(r\)의 비교로 판정하고, 교점의 좌표도 정확한 값으로 구할 수 있습니다
계산기에는 손으로 쓸 때와 같은 모양의 원의 방정식이 표시되고, 계수 부분을 직접 고쳐서 계산할 수도 있습니다. 계산 결과는 원과 직선의 그림으로도 확인할 수 있습니다

좌표와 계수에는 소수, 음수뿐 아니라 3/4 같은 분수도 입력할 수 있습니다.

이 계산은 어디에 쓰일까요?

게임의 충돌 판정(원 모양의 충돌 판정 영역)

2D 게임에서는 캐릭터나 총알의 ‘충돌 판정’을 원으로 근사하는 것이 대표적인 방법입니다. 총알의 궤도(직선)가 적의 원에 맞았는지는 바로 이 페이지의 ‘중심과 직선 사이의 거리 \(d\)와 반지름 \(r\)의 비교’로 판정합니다. 두 원이 겹쳤는지도 중심끼리의 거리를 반지름의 합과 비교하는, 같은 발상의 거리 비교로 판정합니다.
원을 쓰는 이유는 방향이 바뀌어도 모양이 변하지 않고, 거리 계산 한 번으로 판정이 끝나기 때문입니다. 게임 프로그래밍을 배우면 원의 방정식이 매 프레임마다 움직이는 현장을 만날 수 있습니다.

전파가 닿는 범위의 모델(휴대전화 기지국·Wi-Fi)

휴대전화 기지국이나 Wi-Fi 공유기의 전파가 닿는 범위는 장애물이 없는 이상적인 조건에서 ‘안테나를 중심으로 하는 원(반지름 = 닿는 거리)’으로 모델링합니다. ‘이 장소가 서비스 지역 안인가’는 중심으로부터의 거리와 반지름의 비교, 즉 원의 안쪽인지 바깥쪽인지의 판정입니다.
실제 전파는 지형이나 건물의 영향을 받기 때문에 이대로 되지는 않지만, 기지국을 어디에 두어야 빈 곳이 없어지는지 생각하는 출발점으로 원을 이용한 모델이 쓰입니다.

위치 측정의 원리(GPS·스마트폰의 현재 위치)

GPS의 위치 측정은 ‘위성으로부터의 거리를 알면 내가 있는 장소의 후보가 구면(평면으로 생각하면 원)으로 좁혀진다’는 생각에 바탕을 두고 있습니다. 여러 위성으로부터의 거리로 만든 원(구)을 연립해서 교점을 구하면 현재 위치가 계산됩니다.
실제로는 3차원이고 시계 오차의 보정 등도 더해진 훨씬 복잡한 계산이지만, ‘거리가 일정한 점들의 모임 = 원’이라는 원의 방정식의 생각이 바탕이 됩니다.

설계·제도·CAD(원호와 구멍 위치의 관리)

기계 부품이나 건축 도면에는 볼트 구멍, 원호 모양의 가장자리, 배관의 단면 등 원이 가득합니다. CAD 소프트웨어는 원을 ‘중심의 좌표와 반지름’의 데이터, 즉 표준형의 정보로 관리하며, 도형을 조작할 때마다 원과 직선의 교점이나 접선 계산이 실행됩니다.
‘이 위치에 구멍을 뚫으면 가장자리까지의 거리가 충분한가’ 같은 확인도 중심으로부터의 거리 계산으로 귀결됩니다.

도로와 철도의 곡선 설계(원곡선)

도로와 철도의 곡선 구간의 기본형은 ‘원곡선’이라고 부르는 원호이며, 설계도에서는 중심과 반지름으로 관리합니다. 반지름이 작을수록 급커브가 되므로, 한국의 ‘도로의 구조·시설 기준에 관한 규칙’은 설계속도마다 쓸 수 있는 최소 곡선 반지름을 정하고 있습니다.
직선 구간과 곡선을 매끄럽게 이을 때는 ‘직선과 원이 접한다’는 조건이 그대로 쓰이며, 접선의 생각이 실제 도로의 모양을 정합니다.

공식과 그림

원의 방정식(표준형)

그림

수학 표기 (일반적인 수식)

\((x - a)^{2}\) \(+\) \((y - b)^{2}\) \(=\) \(r^{2}\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

① x좌표와 중심의 x좌표(\(a\))의 차의 제곱 \(+\) ② y좌표와 중심의 y좌표(\(b\))의 차의 제곱 \(=\) ③ 반지름(\(r\))의 제곱

공식을 말로 읽으면

① 원 위의 어떤 점 \((x,\ y)\)를 잡아도 중심과의 x 방향의 차(\(x - a\))의 제곱 과

② 중심과의 y 방향의 차(\(y - b\))의 제곱 의 합은

③ 반지름(\(r\))의 제곱 과 같습니다

간단한 예

중심이 (1, 2), 반지름이 3인 원의 방정식은

\((x - 1)^{2}\) \(+\) \((y - 2)^{2}\) \(=\) \(3^{2} = 9\)

\((x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9\)

이해의 핵심

원은 ‘중심으로부터의 거리가 일정한(= 반지름 \(r\)) 점들의 모임’입니다. 원 위의 점 \((x,\ y)\)와 중심 \((a,\ b)\) 사이의 거리를 피타고라스 정리로 쓰면 \(\sqrt{(x-a)^{2} + (y-b)^{2}} = r\)이 되고, 양변을 제곱한 것이 표준형입니다. 즉 표준형은 ‘중심으로부터의 거리가 \(r\)’이라는 원의 정의를 그대로 식으로 나타낸 것입니다. 우변이 \(r^{2}\)(반지름의 제곱)이라는 점에 주의하세요. \((x-1)^{2} + (y-2)^{2} = 9\)의 반지름은 9가 아니라 \(\sqrt{9} = 3\)입니다.

일반형 → 표준형(완전제곱식으로 고쳐 중심과 반지름 구하기)

수학 표기 (일반적인 수식)

\(\mathrm{C}\) \(=\) \(\left(-\dfrac{l}{2},\ -\dfrac{m}{2}\right)\)

\(r^{2}\) \(=\) \(\dfrac{l^{2}}{4} + \dfrac{m^{2}}{4} - n\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

② 중심(\(\mathrm{C}\)) \(=\) ① x의 계수(\(l\))와 y의 계수(\(m\)) 각각의 절반의 부호를 바꾼 좌표

④ 반지름의 제곱(\(r^{2}\)) \(=\) ③ 계수의 절반의 제곱의 합에서 상수항(\(n\))을 뺀 값

공식을 말로 읽으면

① 일반형 \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\)을 완전제곱식으로 고치면 계수(\(l\), \(m\)) 각각의 절반의 부호를 바꾼 좌표 가

② 중심(\(\mathrm{C}\)) 이 되고

③ 계수의 절반의 제곱의 합에서 상수항(\(n\))을 뺀 값 이

④ 반지름의 제곱(\(r^{2}\)) 이 됩니다

간단한 예

\(x^{2} + y^{2} - 4x - 6y + 9 = 0\)을 완전제곱식으로 고치면

중심 \((2,\ 3)\) \(,\) \(r^{2} = 4 + 9 - 9 = 4\)

\(x^{2} - 4x = (x - 2)^{2} - 4\)

\(y^{2} - 6y = (y - 3)^{2} - 9\)

\((x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4 + 9 - 9 = 4\)

\(r = \sqrt{4} = 2\)

이해의 핵심

완전제곱식으로 고친다는 것은 \(x^{2} - 4x\) 같은 ‘이차항과 일차항’을 \((x - 2)^{2} - 4\)처럼 ‘(덩어리)의 제곱과 상수’의 꼴로 바꾸는 변형입니다. x의 계수의 절반(\(-4\)의 절반인 \(-2\))을 써서 \((x - 2)^{2}\)을 만들면, 전개했을 때 남는 \(+4\)가 생기므로 그만큼을 빼서 맞춥니다. 변형한 결과의 우변이 \(r^{2}\)에 해당합니다. 이때 반드시 우변의 부호를 확인하세요. 우변이 0이면 식을 만족하는 점은 중심 한 점뿐이고, 음수이면 식을 만족하는 점은 어디에도 없습니다(제곱의 합은 음수가 될 수 없기 때문입니다). 즉 일반형의 식이 언제나 원을 나타내는 것은 아닙니다. 우변이 양수일 때만 원이 됩니다.

원과 직선의 위치 관계(중심과 직선 사이의 거리 d와 반지름 r의 비교)

그림

수학 표기 (일반적인 수식)

\(d\) \(=\) \(\dfrac{\left|\,pa + qb + s\,\right|}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}}\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

② 중심 \((a,\ b)\)와 직선 사이의 거리(\(d\)) \(=\) ① 중심의 좌표를 직선의 방정식의 좌변에 대입한 값의 절댓값을 \(\sqrt{p^{2} + q^{2}}\)으로 나눈 것

공식을 말로 읽으면

① 직선 \(px + qy + s = 0\)에 대하여 중심의 좌표 \((a,\ b)\)를 좌변에 대입한 값의 절댓값을 \(\sqrt{p^{2} + q^{2}}\)으로 나눈 것 이

② 중심과 직선 사이의 거리(\(d\)) 가 됩니다. 이 \(d\)를 반지름 \(r\)과 비교하면 원과 직선의 위치 관계를 알 수 있습니다

간단한 예

원 \((x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4\)(중심 \((2,\ 3)\), 반지름 2)와 직선 \(3x + 4y - 8 = 0\)에서는

거리 \(d = 2\) \(=\) 반지름 \(r = 2\)

\(d = \dfrac{|3 \times 2 + 4 \times 3 - 8|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \dfrac{10}{5} = 2\)

\(d = r\)

이해의 핵심

위치 관계는 거리 \(d\)와 반지름 \(r\)의 크기에 따라 세 가지로 나뉩니다. \(d < r\)이면 원과 직선은 서로 다른 두 점에서 만나고, \(d = r\)이면 한 점에서 접하며(이 직선을 접선, 그 교점을 접점이라고 합니다), \(d > r\)이면 교점이 없습니다. \(\sqrt{\ }\)가 들어 있는 수끼리의 비교는 틀리기 쉬우므로, 이 계산기는 \(d^{2}\)과 \(r^{2}\)을 분수 그대로 비교해 정확하게 판정합니다. 손으로 계산할 때도 같은 방법을 쓸 수 있습니다. 다른 방법으로, 원과 직선의 방정식을 연립해 \(y\)(또는 \(x\))를 소거하고, 그렇게 얻은 이차방정식의 판별식 \(D\)의 부호로 판정하는 방법도 있습니다(\(D > 0\)이면 두 점, \(D = 0\)이면 접함, \(D < 0\)이면 교점 없음). 교점의 좌표까지 구할 때는 이 연립방정식을 풉니다.

원의 방정식은 중심과 반지름을 읽을 수 있는 표준형 \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\)과 전개한 일반형 \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\)의 두 가지 꼴로 쓸 수 있습니다. 일반형은 완전제곱식으로 고쳐 표준형으로 바꿀 수 있지만, 우변(\(r^{2}\)에 해당하는 값)이 양수일 때만 원을 나타냅니다. 원과 직선의 위치 관계는 중심과 직선 사이의 거리 \(d\)와 반지름 \(r\)의 크기를 비교해 판정할 수 있습니다.

용어·기호 해설

기호

\((x,\ y)\)	엑스, 와이	원 위를 움직이는 점의 좌표입니다. 원의 방정식은 ‘이 식을 만족하는 \((x,\ y)\)를 모두 모으면 원이 된다’는 뜻의 식입니다.
\(a,\ b\)	에이, 비	원의 중심의 좌표 \((a,\ b)\)를 나타내는 문자입니다. ‘정해진 수’를 나타낼 때는 알파벳 앞쪽의 문자 \(a,\ b,\ c\)를 쓰는 관례가 있습니다. 움직이는 점의 \(x,\ y\)와 달리, 하나의 원에서는 값이 고정되어 있습니다.
\(r\)	알	원의 반지름입니다. 영어 radius(반지름)의 첫 글자입니다. 표준형의 우변에 나오는 것은 \(r\) 자체가 아니라 제곱한 \(r^{2}\)이라는 점에 주의하세요.
\(\mathrm{C}\)	씨	원의 중심을 나타낼 때 자주 쓰는 문자입니다. 영어 center(중심)의 첫 글자입니다. 원 자체를 \(C\)라고 이름 붙이기도 합니다.
\(l,\ m,\ n\)	엘, 엠, 엔	일반형 \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\)의 계수입니다. 한국의 교과서에서는 \(x^{2} + y^{2} + Ax + By + C = 0\)처럼 \(A,\ B,\ C\)로 쓰는 경우가 많지만 뜻은 같습니다.
\(d\)	디	중심과 직선 사이의 거리입니다. 영어 distance(거리)의 첫 글자입니다. 반지름 \(r\)과의 크기 비교로 원과 직선의 위치 관계가 정해집니다.
\(p,\ q,\ s\)	피, 큐, 에스	이 페이지에서 직선의 방정식을 \(px + qy + s = 0\)으로 쓸 때의 계수입니다. 직선의 방정식은 보통 \(ax + by + c = 0\)으로 쓰지만, 이 페이지에서는 원의 중심 \((a,\ b)\)와 문자가 겹치지 않도록 다른 문자를 씁니다.
\(\sqrt{\ }\)	루트(근호)	제곱하면 그 수가 되는 양수(양의 제곱근)를 나타내는 기호입니다. 반지름은 \(r = \sqrt{r^{2}}\)으로 구합니다. 예를 들어 \(r^{2} = 8\)이면 \(r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)입니다.

용어

원	평면 위에서 한 점(중심)으로부터의 거리가 일정한(반지름) 점을 모두 모아서 생기는 도형입니다. 이 ‘거리가 일정하다’는 정의를 식으로 나타낸 것이 원의 방정식입니다.
원의 방정식	좌표평면 위의 원을 나타내는 식입니다. 식을 만족하는 점 \((x,\ y)\)의 모임이 꼭 원이 됩니다. 고등학교 1학년 수학의 ‘도형의 방정식’에서 배웁니다.
표준형	\((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\) 꼴입니다. 중심 \((a,\ b)\)와 반지름 \(r\)을 식만 보고 읽을 수 있는 것이 장점입니다.
일반형	표준형을 전개해서 정리한 \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\) 꼴입니다. 중심이나 반지름을 바로 읽을 수는 없지만, 이미 전개되어 있어서 계산 도중에 다루기 쉬운 꼴입니다.
완전제곱식	\((x - 2)^{2}\)처럼 어떤 식의 제곱으로 나타낸 식입니다. \(x^{2} + lx\) 같은 식을 \(\left(x + \dfrac{l}{2}\right)^{2} - \dfrac{l^{2}}{4}\)처럼 ‘(덩어리)의 제곱 + 상수’ 꼴로 바꾸는 것을 ‘완전제곱식으로 고친다’고 합니다. 이차함수의 꼭짓점을 구할 때도 쓰는, 이 페이지 계산의 핵심이 되는 방법입니다.
중심	원의 한가운데에 있는 점입니다. 원 위의 어느 점에서나 거리가 같은(= 반지름) 점입니다. 표준형의 \((a,\ b)\)가 그대로 중심의 좌표입니다.
반지름	중심에서 원 위의 점까지의 거리 \(r\)을 말합니다. 길이이므로 항상 양수입니다. 표준형의 우변 \(r^{2}\)의 양의 제곱근을 구해서 얻습니다.
피타고라스 정리	직각삼각형에서 ‘빗변의 길이의 제곱 = 나머지 두 변의 길이의 제곱의 합’이 성립한다는 정리입니다. 두 점 사이의 거리 계산의 바탕이 되며, 원의 방정식의 표준형은 이 정리를 식으로 나타낸 것입니다. 중학교 2학년에서 배웁니다.
교점	두 도형이 함께 지나는 점(두 도형이 만나는 점)입니다. 원과 직선이라면 서로 다른 두 점에서 만날 때 2개, 접할 때 1개, 떨어져 있을 때 0개입니다. 좌표는 두 식을 연립해서 구합니다.
접하다	원과 직선이 오직 한 점에서만 만나는 것입니다. 이때의 직선을 접선, 그 교점을 접점이라고 합니다. 중심과 접선 사이의 거리는 반지름과 꼭 같아집니다.
현	원과 직선이 두 점에서 만날 때 그 두 점을 잇는 선분입니다. 중심에서 현에 내린 수선은 현을 꼭 절반으로 나누므로, 현의 절반, 중심과 직선 사이의 거리 \(d\), 반지름 \(r\)이 피타고라스 정리로 연결됩니다.
점과 직선 사이의 거리	점에서 직선에 내린 수선의 길이(점에서 직선까지의 가장 짧은 거리)입니다. 공식 \(d = \dfrac{\|ax_0 + by_0 + c\|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\)로 계산할 수 있고, 원과 직선의 위치 관계를 판정할 때 씁니다.
판별식	이차방정식 \(ax^{2} + bx + c = 0\)의 실근의 개수를 알려 주는 식 \(D = b^{2} - 4ac\)를 말합니다. 원과 직선의 방정식을 연립해서 얻은 이차방정식의 판별식으로도 위치 관계를 판정할 수 있습니다(\(D > 0\)이면 두 점, \(D = 0\)이면 접함, \(D < 0\)이면 교점 없음).
좌표평면	가로 수직선(\(x\)축)과 세로 수직선(\(y\)축)을 직각으로 짜 맞춰, 점의 위치를 \((x,\ y)\)의 수의 쌍으로 나타낼 수 있게 한 평면입니다. 도형을 식으로 다루는 ‘도형의 방정식’의 무대입니다.

먼저 알아 두면 좋은 내용

이 페이지의 계산을 ‘의미를 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
막히면 이 표의 내용으로 돌아가 복습하는 것이 지름길입니다.

좌표평면과 점의 좌표(중학교 1학년, 12~13세)	점의 위치를 \((x,\ y)\)의 수의 쌍으로 나타낼 수 있는 것(예: 점 \((2,\ 3)\)은 원점에서 오른쪽으로 2, 위로 3인 위치) ‘식을 만족하는 점을 모두 모으면 그래프(도형)가 된다’는 감각이 있는 것
피타고라스 정리와 두 점 사이의 거리(중학교 2학년~고등학교 1학년, 13~16세)	직각삼각형에서 ‘빗변의 길이의 제곱 = 나머지 두 변의 길이의 제곱의 합’이 성립한다는 것을 아는 것 두 점 사이의 거리를 \(\sqrt{(x_2 - x_1)^{2} + (y_2 - y_1)^{2}}\)으로 구할 수 있다는 것(피타고라스 정리 그 자체)
제곱근(중학교 3학년, 14~15세)	\(\sqrt{4} = 2\)처럼 제곱하면 그 수가 되는 양수를 구할 수 있는 것 \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)처럼 근호 안에서 제곱인 인수를 밖으로 꺼내 간단히 할 수 있는 것
곱셈 공식·인수분해와 완전제곱식(중학교 3학년~고등학교 1학년, 14~16세)	\((x - 2)^{2} = x^{2} - 4x + 4\) 같은 전개(곱셈 공식)를 할 수 있는 것 \(x^{2} - 4x = (x - 2)^{2} - 4\)처럼 완전제곱식으로 고칠 수 있는 것(이차함수의 꼭짓점을 구할 때와 같은 변형) 이차방정식을 인수분해나 근의 공식으로 풀 수 있고, 판별식 \(D = b^{2} - 4ac\)의 부호와 근의 개수의 관계를 아는 것
점과 직선 사이의 거리(고등학교 1학년, 15~16세)	직선의 방정식을 \(ax + by + c = 0\) 꼴(일반형)로 쓸 수 있는 것(\(y = mx + k\) 꼴에서 바꾸는 방법도) 점 \((x_0,\ y_0)\)과 직선 \(ax + by + c = 0\) 사이의 거리를 \(\dfrac{\|ax_0 + by_0 + c\|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\)로 구할 수 있다는 것

Excel로 계산하는 방법

아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.

‘일반형 → 표준형(중심과 반지름)’을 구하는 표

x의 계수 l	-4
y의 계수 m	-6
상수항 n	9
중심의 x좌표(−l/2)	=-B1/2
중심의 y좌표(−m/2)	=-B2/2
반지름의 제곱 r²(l²/4 + m²/4 − n)	=B1^2/4+B2^2/4-B3
반지름 r(r² > 0일 때만 원)	=IF(B6>0,SQRT(B6),"원이 아님")

‘표준형 → 일반형’을 구하는 표

중심의 x좌표 a	1
중심의 y좌표 b	-2
우변의 값(반지름의 제곱 r²)	9
x의 계수 l(−2a)	=-2*B1
y의 계수 m(−2b)	=-2*B2
상수항 n(a² + b² − r²)	=B1^2+B2^2-B3

‘원과 직선의 위치 관계’를 판정하는 표

중심의 x좌표 a	2
중심의 y좌표 b	3
반지름 r	2
직선의 x의 계수 p	3
직선의 y의 계수 q	4
직선의 상수항 s	-8
중심과 직선 사이의 거리 d	=ABS(B4B1+B5B2+B6)/SQRT(B4^2+B5^2)
위치 관계 판정	=IF(B7<B3,"서로 다른 두 점에서 만남",IF(B7=B3,"접함","교점 없음"))

붙여 넣으면 위쪽 행(계수 등)이 입력란이 되고, 아래쪽 행이 자동 계산 결과가 됩니다. ‘^’는 거듭제곱, SQRT는 제곱근, ABS는 절댓값을 구하는 함수입니다.
첫 번째 표는 x²+y²−4x−6y+9=0의 예로, 중심 (2, 3), r²=4, 반지름 2가 됩니다. r²이 0 이하이면 원이 되지 않으므로 ‘원이 아님’이 표시됩니다.
두 번째 표는 중심 (1, −2), r²=9의 예로, l=−2, m=4, n=−4, 즉 x²+y²−2x+4y−4=0이 됩니다.
세 번째 표는 원 (x−2)²+(y−3)²=4와 직선 3x+4y−8=0의 예로, d=2가 반지름 2와 같으므로 ‘접함’이 됩니다. SQRT 계산은 소수의 오차가 생길 수 있으므로, 접하는지 정확하게 판정하려면 d²과 r²을 비교하는 방법(=(B4*B1+B5*B2+B6)^2/(B4^2+B5^2)와 B3^2의 비교)이 더 확실합니다.

Google 스프레드시트로 계산하는 방법

아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.

‘일반형 → 표준형(중심과 반지름)’을 구하는 표

x의 계수 l	-4
y의 계수 m	-6
상수항 n	9
중심의 x좌표(−l/2)	=-B1/2
중심의 y좌표(−m/2)	=-B2/2
반지름의 제곱 r²(l²/4 + m²/4 − n)	=B1^2/4+B2^2/4-B3
반지름 r(r² > 0일 때만 원)	=IF(B6>0,SQRT(B6),"원이 아님")

‘표준형 → 일반형’을 구하는 표

중심의 x좌표 a	1
중심의 y좌표 b	-2
우변의 값(반지름의 제곱 r²)	9
x의 계수 l(−2a)	=-2*B1
y의 계수 m(−2b)	=-2*B2
상수항 n(a² + b² − r²)	=B1^2+B2^2-B3

‘원과 직선의 위치 관계’를 판정하는 표

중심의 x좌표 a	2
중심의 y좌표 b	3
반지름 r	2
직선의 x의 계수 p	3
직선의 y의 계수 q	4
직선의 상수항 s	-8
중심과 직선 사이의 거리 d	=ABS(B4B1+B5B2+B6)/SQRT(B4^2+B5^2)
위치 관계 판정	=IF(B7<B3,"서로 다른 두 점에서 만남",IF(B7=B3,"접함","교점 없음"))

Excel과 같은 수식을 그대로 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 계수를 원하는 숫자로 바꾸세요.

Python으로 계산하는 방법

from fractions import Fraction
import math

# 일반형 x² + y² + lx + my + n = 0의 계수(3/4 같은 분수는 Fraction(3, 4)로 쓸 수 있음)
coef_l = Fraction(-4)
coef_m = Fraction(-6)
coef_n = Fraction(9)

center_x = -coef_l / 2
center_y = -coef_m / 2
radius_squared = coef_l ** 2 / 4 + coef_m ** 2 / 4 - coef_n

print(f"중심: ({center_x}, {center_y})")
print(f"반지름의 제곱 r²: {radius_squared}")
if radius_squared > 0:
    print(f"반지름 r: {math.sqrt(radius_squared)}")
elif radius_squared == 0:
    print("원이 되지 않고, 중심 한 점만 나타냅니다")
else:
    print("원이 되지 않고, 이 식을 만족하는 점이 없습니다")

# 직선 px + qy + s = 0과의 위치 관계(d²과 r²을 분수 그대로 비교하므로 오차 없이 판정할 수 있음)
line_p = Fraction(3)
line_q = Fraction(4)
line_s = Fraction(-8)
distance_squared = (line_p * center_x + line_q * center_y + line_s) ** 2 / (line_p ** 2 + line_q ** 2)
if distance_squared < radius_squared:
    print("원과 직선은 서로 다른 두 점에서 만납니다")
elif distance_squared == radius_squared:
    print("원과 직선은 접합니다")
else:
    print("원과 직선은 만나지 않습니다")

표준 라이브러리의 fractions 모듈을 쓰면 소수의 반올림 오차 없이 정확한 분수 그대로 계산할 수 있습니다. 이 예는 원 x²+y²−4x−6y+9=0과 직선 3x+4y−8=0에 대한 것으로, 실행하면 중심 (2, 3), r²=4, 반지름 2.0과 ‘원과 직선은 접합니다’가 표시됩니다. 거리와 반지름을 d²과 r² 그대로 비교하는 것은, 제곱근의 소수 오차 때문에 ‘접한다’는 판정이 어긋나는 것을 막기 위해서입니다. 계수를 바꿔서 실행해 보세요.

LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)

원의 방정식(표준형)

(x − a)² + (y − b)² = r²

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>a</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
  </mrow>
</math>

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

(x - a)^2 + (y - b)^2 == r^2

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2;

(x - a)^2 + (y - b)^2 == r^2

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

일반형 → 표준형(완전제곱식으로 고쳐 중심과 반지름 구하기)

(x + l/2)² + (y + m/2)² = l²/4 + m²/4 − n

\left(x + \frac{l}{2}\right)^{2} + \left(y + \frac{m}{2}\right)^{2} = \frac{l^{2}}{4} + \frac{m^{2}}{4} - n

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>l</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>m</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><msup><mi>l</mi><mn>2</mn></msup><mn>4</mn></mfrac>
    <mo>+</mo>
    <mfrac><msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup><mn>4</mn></mfrac>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

(x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 = l^2/4 + m^2/4 - n

Simplify[(x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 - (l^2/4 + m^2/4 - n) == x^2 + y^2 + l x + m y + n]

Student:-Precalculus:-CompleteSquare(x^2 + y^2 + l*x + m*y + n, [x, y]);

expand((x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 - (l^2/4 + m^2/4 - n))

(x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 = l^2/4 + m^2/4 - n

원과 직선의 위치 관계(중심과 직선 사이의 거리 d와 반지름 r의 비교)

d = |pa + qb + s| / √(p² + q²)

d = \frac{\left|pa + qb + s\right|}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mo>|</mo><mi>p</mi><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>q</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>s</mi><mo>|</mo></mrow>
      <msqrt><mrow><msup><mi>p</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>q</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

d = |p a + q b + s| / sqrt(p^2 + q^2)

d = Abs[p a + q b + s]/Sqrt[p^2 + q^2]

d := abs(p*a + q*b + s)/sqrt(p^2 + q^2);

d = abs(p*a + q*b + s)/sqrt(p^2 + q^2);

d = |pa + qb + s|/√(p^2 + q^2)

ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법

당신은 수학(도형의 방정식) 계산 도우미입니다. 다음 계산을 반드시 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답하세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요).

원의 방정식 x² + y² − 4x − 6y + 9 = 0에 대해 다음 내용을 각각 보여 주세요.
1. 완전제곱식으로 고쳐 표준형 (x−a)² + (y−b)² = r²으로 바꾼 식
2. 중심의 좌표와 반지름(정확한 값으로)
3. 직선 3x + 4y − 8 = 0과의 위치 관계(서로 다른 두 점에서 만남/접함/교점 없음)와, 교점이 있으면 그 좌표

Python에서는 표준 라이브러리의 fractions 모듈(또는 sympy)을 써서 정확하게 계산하고, 거리와 반지름의 비교는 d²과 r²의 비교로 하세요. 계산에 쓴 식과 실행 결과의 수치를 보여 주세요.