이차방정식 ax² + bx + c = 0의 계수 a, b, c를 입력해 주세요. 아래 수식은 입력란과 연동되어 있어 계수 부분을 직접 고쳐 써도 계산할 수 있습니다. 근의 공식으로 근을 구하고, 판별식의 값과 근의 종류, 풀이 과정도 보여 줍니다.
소수, 음수, 3/4 같은 분수를 쓸 수 있습니다. x² − 4 = 0처럼 없는 항이 있으면 그 계수에 0을 넣어 주세요.
계산 결과·그래프
왼쪽 입력란에 계수 a, b, c를 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과가 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- 계수 \(a, b, c\)만 넣으면 이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0\)의 근을 근의 공식으로 바로 구할 수 있습니다
- 판별식 \(D = b^2 - 4ac\)의 값과 근의 종류(서로 다른 두 실근, 중근, 서로 다른 두 허근)도 함께 보여 줍니다
- 근이 실수가 아닐 때도 \(-0.5 \pm 0.866i\)와 같은 두 허근(허수부분의 부호만 다른 켤레복소수 한 쌍)까지 구합니다
- 계수에는 소수, 음수뿐 아니라 3/4 같은 분수도 입력할 수 있습니다
- 공식의 쉬운 해설과 Excel, Google 스프레드시트, Python에 복사해 쓸 수 있는 수식도 이 페이지에 모아 두었습니다
a = 0이면 이차방정식이 아니므로 일차방정식 \(bx + c = 0\)(근은 \(x = -c \div b\))으로 풉니다. a와 b를 둘 다 0으로 할 수는 없습니다.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
위로 던진 공이나 쏘아 올린 불꽃의 ‘높이와 시간’ 구하기(물리·스포츠)
공을 처음 속도 20 m/s로 바로 위로 던지면 t초 후의 높이는 약 20t − 5t²(m)가 됩니다(중력가속도를 약 10 m/s²로 단순화한 경우). ‘높이가 15 m가 되는 것은 언제일까?’는 이차방정식 −5t² + 20t − 15 = 0을 푸는 것이 되고, 근의 공식으로 t = 1초와 3초(올라갈 때 한 번, 내려올 때 한 번)를 구할 수 있습니다.
불꽃이 터지는 높이의 설계나 농구 슛의 궤도처럼 ‘던진 물체’의 운동은 모두 이차방정식과 이어져 있습니다.
넓이로부터 땅이나 화단의 크기를 거꾸로 구하기(DIY·부동산)
‘세로가 가로보다 3 m 긴 직사각형 화단을 넓이가 딱 28 m²가 되게 만들고 싶다’면, 가로를 x라 할 때 x(x + 3) = 28이고 정리하면 x² + 3x − 28 = 0입니다. 근의 공식으로 x = 4와 x = −7이 나오지만, 길이는 음수가 될 수 없으므로 가로 4 m, 세로 7 m가 답입니다.
이처럼 ‘나온 두 근 중에서 뜻이 맞는 쪽을 고르는 것(근의 검토)’까지가 실생활에서 이차방정식을 쓸 때의 한 세트입니다.
복리의 이자율을 거꾸로 구하기(돈)
100만 원을 2년 만에 121만 원으로 불리려면 연이율이 몇 %여야 할까요? 연이율을 r이라 하면 100(1 + r)² = 121이고 정리하면 r² + 2r − 0.21 = 0입니다. 근의 공식으로 r = 0.1과 r = −2.1이 나오고, 이자율로서 뜻이 있는 r = 0.1(연 10%)이 답입니다.
복리처럼 ‘같은 배율을 두 번 곱하는’ 돈 계산은 이차방정식이 되므로, 목표 금액으로부터 필요한 수익률을 거꾸로 구할 수 있습니다.
다리와 아치의 설계(건축·토목)
아치교나 현수교 케이블의 모양은 포물선 y = ax² + bx + c를 써서 설계하는 것이 기본입니다. ‘지면에서의 높이가 몇 m가 되는 곳은 중심에서 몇 m 떨어진 위치인가’를 구하는 계산은 바로 이차방정식을 푸는 것에 해당합니다.
설계자나 토목 엔지니어가 구조물의 모양을 수식으로 정할 때 근의 공식은 그 기초가 됩니다.
이익이 0이 되는 가격(손익분기점) 어림하기(비즈니스)
‘가격을 올리면 1개당 이익은 늘지만 팔리는 개수는 줄어든다’는 관계를 단순한 모델로 만들면, 이익은 가격의 이차함수가 됩니다. ‘이익이 딱 0이 되는 가격’은 그 이차방정식의 근으로 구할 수 있고, 가격을 정할 때 상한과 하한의 기준이 됩니다.
실제 시장은 더 복잡하지만, ‘이익의 산이 어디에서 끝나는지’를 먼저 이차방정식으로 어림하는 것은 경영 분석의 첫걸음으로 자주 쓰는 방법입니다.
공식과 그래프
이차방정식의 근의 공식
그래프
수학 표기
(일반적인 수식)
\(x\)
\(=\)
\((\)
\(-b\)
\(\pm\)
\(\sqrt{b^2 - 4ac}\)
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(2a\)
\()\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
④
\(x\): 방정식의 근
\(=\)
\((\)
①
\(-b\): 부호를 바꾼 \(x\)의 계수
\(\pm\)
②
\(\sqrt{b^2 - 4ac}\): 판별식의 제곱근
\()\)
\(\div\)
\((\)
③
\(2a\): \(x^2\)의 계수의 2배
\()\)
공식을 말로 읽으면
①
\(-b\): 부호를 바꾼 \(x\)의 계수
에
②
\(\sqrt{b^2 - 4ac}\): 판별식의 제곱근
을 더한 것과 뺀 것(± 두 가지)을
③
\(2a\): \(x^2\)의 계수의 2배
로 각각 나누면
④
\(x\): 방정식의 근
이 됩니다(± 때문에 근은 보통 2개 나옵니다).
간단한 예
이차방정식 x² + 3x − 4 = 0(a = 1, b = 3, c = −4)의 근은
\(x\): 방정식의 근
\(=\)
\((\)
부호를 바꾼 \(b\)(−3)
\(\pm\)
판별식 25의 제곱근(5)
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(a\)의 2배(2)
\()\)
\(x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \times 1 \times (-4)}}{2 \times 1} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-3 \pm 5}{2}\)
\(x = \dfrac{-3 + 5}{2} = 1, \quad x = \dfrac{-3 - 5}{2} = -4\)
이해의 핵심
근의 공식은 이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0\)(\(a \neq 0\))을 완전제곱식으로 변형해 끝까지 푼 ‘답의 공식’입니다. 어떤 계수든 \(a, b, c\)의 값을 넣기만 하면 근을 구할 수 있습니다.
±(플러스 마이너스)는 ‘더한 경우와 뺀 경우가 모두 근이 된다’는 뜻이어서, 근은 보통 2개 나옵니다. 인수분해로 풀 수 있는 방정식도 물론 이 공식으로 풀 수 있고, 답은 반드시 같습니다.
판별식(근의 종류를 가려내는 식)
그래프
수학 표기
(일반적인 수식)
\(D\)
\(=\)
\(b\)
\(2\)
\(-\)
\(4\)
\(\times\)
\(a\)
\(\times\)
\(c\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
⑥
\(D\): 판별식
\(=\)
①
\(b\): \(x\)의 계수
②
제곱
\(-\)
③
\(4\): 정해진 수
\(\times\)
④
\(a\): \(x^2\)의 계수
\(\times\)
⑤
\(c\): 상수항
공식을 말로 읽으면
①
\(b\): \(x\)의 계수
를
②
제곱
하고, 그 값에서
③
\(4\): 정해진 수
와
④
\(a\): \(x^2\)의 계수
와
⑤
\(c\): 상수항
을 곱한 값을 빼면
⑥
\(D\): 판별식
이 됩니다.
간단한 예
x² + 3x − 4 = 0(a = 1, b = 3, c = −4)의 판별식은
\(D\): 판별식
\(=\)
\(b\)(3)
제곱
\(-\)
4
\(\times\)
\(a\)(1)
\(\times\)
\(c\)(−4)
\(D = 3^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 9 + 16 = 25\)
이해의 핵심
판별식 \(D\)는 근의 공식에서 √ 안에 있는 부분 그 자체로, 계산하기 전에 ‘근이 어떤 종류인지’를 판별할 수 있습니다.
- \(D > 0\): √가 양의 실수가 되므로 서로 다른 두 실근을 가집니다(그래프에서는 포물선이 x축과 두 점에서 만납니다)
- \(D = 0\): √ 부분이 0이 되므로 중근, 즉 단 하나의 실근을 가집니다(포물선이 x축에 접합니다)
- \(D < 0\): √ 안이 음수가 되어 실수의 범위에서는 근이 없습니다. 수의 범위를 허수까지 넓히면 서로 다른 두 허근을 가집니다(포물선은 x축과 만나지 않습니다)
중근(판별식 \(D = 0\)일 때)
그래프
수학 표기
(일반적인 수식)
\(x\)
\(=\)
\(-b\)
\(\div\)
\((\)
\(2a\)
\()\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
\(x\): 중근
\(=\)
①
\(-b\): 부호를 바꾼 \(x\)의 계수
\(\div\)
\((\)
②
\(2a\): \(x^2\)의 계수의 2배
\()\)
공식을 말로 읽으면
①
\(-b\): 부호를 바꾼 \(x\)의 계수
를
②
\(2a\): \(x^2\)의 계수의 2배
로 나누면
③
\(x\): 중근
이 됩니다(이것이 유일한 근입니다).
간단한 예
x² + 2x + 1 = 0(a = 1, b = 2, c = 1, 판별식 D = 4 − 4 = 0)의 근은
\(x\): 중근
\(=\)
부호를 바꾼 \(b\)(−2)
\(\div\)
\((\)
\(a\)의 2배(2)
\()\)
\(D = 2^2 - 4 \times 1 \times 1 = 0\)
\(x = \dfrac{-2}{2 \times 1} = -1\)
이해의 핵심
\(D = 0\)일 때는 \(\sqrt{0} = 0\)이므로 근의 공식의 ‘± √D’ 부분이 사라지고, 두 근이 하나로 겹칩니다. 이것을 중근이라고 합니다.
\(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\)처럼 좌변이 딱 ‘제곱의 꼴’로 인수분해되는 경우가 여기에 해당합니다.
서로 다른 두 허근(판별식 \(D < 0\)일 때)
그래프
수학 표기
(일반적인 수식)
\(x\)
\(=\)
\((\)
\(-b\)
\(\pm\)
\(\sqrt{4ac - b^2}\)
\(\,i\)
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(2a\)
\()\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
⑤
\(x\): 두 허근
\(=\)
\((\)
①
\(-b\): 부호를 바꾼 \(x\)의 계수
\(\pm\)
②
\(\sqrt{4ac - b^2}\): \(4ac - b^2\)의 제곱근
③
\(\,i\)
\()\)
\(\div\)
\((\)
④
\(2a\): \(x^2\)의 계수의 2배
\()\)
공식을 말로 읽으면
①
\(-b\): 부호를 바꾼 \(x\)의 계수
에
②
\(\sqrt{4ac - b^2}\): 양수 \(4ac - b^2\)(부호를 바꾼 판별식)의 제곱근
에
③
허수단위 \(i\)(제곱하면 −1이 되는 수)를 곱한 값을 ± 두 가지로 더하고 빼서,
④
\(2a\): \(x^2\)의 계수의 2배
로 각각 나누면
⑤
\(x\): 두 허근
이 됩니다(허수부분의 부호만 다른 켤레복소수 한 쌍입니다).
간단한 예
x² + x + 1 = 0(a = 1, b = 1, c = 1, 판별식 D = 1 − 4 = −3)의 근은
\(x\): 두 허근
\(=\)
\((\)
부호를 바꾼 \(b\)(−1)
\(\pm\)
\(4ac - b^2 = 3\)의 제곱근
\(\,i\)
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(a\)의 2배(2)
\()\)
\(x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}\,i}{2} \fallingdotseq -0.5 \pm 0.866\,i\)
이해의 핵심
\(D < 0\)일 때는 √ 안이 음수가 됩니다. 제곱해서 음수가 되는 실수는 없으므로 실수의 범위에서는 근이 없습니다.
그래서 ‘제곱하면 −1이 되는 수’인 허수단위 \(i\)를 도입하면 \(\sqrt{-3} = \sqrt{3}\,i\)처럼 쓸 수 있고, 근을 두 허수(복소수)로 나타낼 수 있습니다. \(4ac - b^2\)은 판별식 \(b^2 - 4ac\)의 부호를 바꾼 것으로, \(D < 0\)일 때는 반드시 양수가 되므로 안심하고 √를 풀 수 있습니다.
\(a = 0\)일 때(일차방정식이 됨)
그래프
수학 표기
(일반적인 수식)
\(x\)
\(=\)
\(-c\)
\(\div\)
\(b\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
\(x\): 일차방정식의 근
\(=\)
①
\(-c\): 부호를 바꾼 상수항
\(\div\)
②
\(b\): \(x\)의 계수
공식을 말로 읽으면
①
\(-c\): 부호를 바꾼 상수항
을
②
\(b\): \(x\)의 계수
로 나누면
③
\(x\): 일차방정식의 근
이 됩니다.
간단한 예
a = 0으로 입력한 2x + 4 = 0(b = 2, c = 4)의 근은
\(x\): 일차방정식의 근
\(=\)
부호를 바꾼 \(c\)(−4)
\(\div\)
\(b\)(2)
\(x = \dfrac{-4}{2} = -2\)
이해의 핵심
\(a = 0\)이면 \(x^2\)의 항이 사라져 이차방정식이 아니라 일차방정식 \(bx + c = 0\)이 됩니다. 근의 공식은 분모가 \(2a\)이므로 \(a \neq 0\)을 전제로 하지만, 이 계산기는 a = 0을 오류로 처리하지 않고 일차방정식으로 풀어 근을 하나 돌려줍니다(a와 b가 둘 다 0일 때만 방정식이 되지 않으므로 오류가 됩니다).
이차방정식 ax² + bx + c = 0의 근은 근의 공식 ‘x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)’에 계수를 넣기만 하면 구할 수 있습니다. √ 안에 있는 판별식 D = b² − 4ac의 부호를 보면, 계산하기 전에 ‘근이 2개인지, 1개(중근)인지, 허근인지’를 알 수 있습니다.
용어·기호 해설
기호
| \(a, b, c\) | 에이, 비, 시 | 이차방정식의 계수입니다. \(a\)는 \(x^2\)의 계수(\(x^2\) 앞의 수), \(b\)는 \(x\)의 계수(\(x\) 앞의 수), \(c\)는 상수항(숫자만 있는 항)입니다. |
| \(x\) | 엑스 | 방정식의 근으로 구하려는 미지수입니다. 이차방정식의 근은 최대 2개입니다. |
| \(D\) | 디(판별식) | 판별식 \(D = b^2 - 4ac\)를 나타냅니다. 영어 Discriminant의 첫 글자입니다. 그리스 문자 \(\Delta\)(델타)로 쓰는 책도 있습니다. |
| \(\sqrt{\phantom{9}}\) | 루트(제곱근) | ‘제곱하면 그 수가 되는 0 이상의 수’를 나타내는 기호입니다. \(\sqrt{25} = 5\), \(\sqrt{2} \fallingdotseq 1.414\)입니다. |
| \(\pm\) | 플러스 마이너스 | ‘+인 경우와 −인 경우 둘 다’를 한꺼번에 쓰는 기호입니다. 근의 공식에서는 ‘더한 값과 뺀 값이 모두 근이 된다’는 것을 나타냅니다. |
| \(i\) | 아이(허수단위) | 제곱하면 \(-1\)이 되는 수(\(i^2 = -1\))입니다. √ 안이 음수가 될 때의 근을 나타내는 데 씁니다. |
| \(x_1, x_2\) | 엑스 일, 엑스 이 | 두 근을 구별하는 이름입니다. 이 페이지에서는 ±의 + 쪽을 \(x_1\), − 쪽을 \(x_2\)로 했습니다. |
용어
| 이차방정식 | \(x^2\)(제곱)의 항이 들어 있는 방정식입니다. 정리하면 \(ax^2 + bx + c = 0\)(\(a \neq 0\))의 꼴이 됩니다. 중학교 3학년에서 배웁니다. |
| 계수 | 문자 앞에 붙어 있는 수입니다. \(3x\)에서 3이 계수입니다. 계수를 읽을 때는 \(x^2 - x = 0\)을 ‘a = 1, b = −1, c = 0’으로 읽는 것처럼 생략된 1과 부호에 주의합니다. |
| 근 | 방정식을 참이 되게 하는 문자의 값입니다. 해라고도 합니다. 방정식을 ‘푼다’는 것은 근을 모두 구하는 것입니다. |
| 근의 공식 | 이차방정식의 근을 계수 a, b, c로부터 바로 계산하는 공식입니다. 인수분해가 떠오르지 않는 방정식도 반드시 풀 수 있다는 것이 장점입니다. |
| 판별식 | 근의 공식에서 √ 안에 있는 \(b^2 - 4ac\)입니다. 이 부호만으로 근의 종류(서로 다른 두 실근, 중근, 서로 다른 두 허근)를 판별할 수 있습니다. 고등학교 1학년에서 배웁니다. |
| 중근 | 두 근이 겹쳐서 단 하나가 된 근입니다. 판별식이 0일 때 생기고, 그래프에서는 포물선이 x축에 접합니다. |
| 실근 | 실수(보통의 수직선 위에 있는 수)인 근입니다. 판별식이 0 이상이면 실근이 있습니다. |
| 허근 | 실수가 아니어서 허수단위 \(i\)를 써서 나타내는 근입니다. 판별식이 음수일 때 \(-0.5 \pm 0.866i\)처럼 ‘실수부분 ± 허수부분 \(i\)’ 꼴의 한 쌍(켤레복소수)이 됩니다. 고등학교 1학년에서 배웁니다. |
| 완전제곱식 | \((x + p)^2\)처럼 다항식의 제곱으로 된 식입니다. 방정식을 \((x + p)^2 = q\)(제곱의 꼴 = 수)로 변형하는 것을 계수 a, b, c를 문자 그대로 둔 채 끝까지 하면 근의 공식이 유도됩니다. |
| 인수분해 | 식을 곱의 꼴로 나타내는 것입니다. \(x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4)\)로 인수분해할 수 있으면 근의 공식을 쓰지 않아도 근 x = 1, −4를 알 수 있습니다. |
| 포물선 | \(y = ax^2 + bx + c\)의 그래프 모양입니다. 이차방정식의 실근은 이 포물선과 x축의 교점의 x좌표에 해당합니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘뜻을 이해하고’ 쓸 수 있도록, 미리 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
막히면 이 표의 내용으로 돌아가 복습하는 것이 지름길입니다.
| 정수와 유리수의 계산(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 제곱근과 실수(중학교 3학년, 14~15세) |
|
| 이차방정식(중학교 3학년, 14~15세) |
|
| 이차함수와 그래프(중학교 3학년, 14~15세) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
근의 공식으로 두 실근을 구하는 표(D > 0일 때)
| x²의 계수 a | 1 |
| x의 계수 b | 3 |
| 상수항 c | -4 |
| 판별식 D = b² − 4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| 근 1 x₁ | =(-B2+SQRT(B4))/(2*B1) |
| 근 2 x₂ | =(-B2-SQRT(B4))/(2*B1) |
판별식으로 근의 종류를 판정하는 표
| x²의 계수 a | 1 |
| x의 계수 b | 1 |
| 상수항 c | 1 |
| 판별식 D = b² − 4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| 근의 종류 | =IF(B4>0,"서로 다른 두 실근",IF(B4=0,"중근","서로 다른 두 허근")) |
중근을 구하는 표(D = 0일 때)
| x²의 계수 a | 1 |
| x의 계수 b | 2 |
| 상수항 c | 1 |
| 중근 x | =-B2/(2*B1) |
두 허근의 실수부분과 허수부분을 구하는 표(D < 0일 때)
| x²의 계수 a | 1 |
| x의 계수 b | 1 |
| 상수항 c | 1 |
| 실수부분(−b ÷ 2a) | =-B2/(2*B1) |
| 허수부분(±가 붙는 쪽) | =SQRT(4*B1*B3-B2^2)/ABS(2*B1) |
a = 0일 때(일차방정식)의 근을 구하는 표
| x의 계수 b | 2 |
| 상수항 c | 4 |
| 근 x | =-B2/B1 |
붙여 넣으면 위쪽 행(계수 a, b, c)이 입력란이 되고, 아래쪽 행은 자동으로 계산된 결과가 됩니다.
‘^2’는 제곱, ‘SQRT( )’는 제곱근(루트)을 구하는 함수입니다.
예를 들어 첫 번째 표라면 판별식 25, 근 1은 1, 근 2는 −4로 표시됩니다.
첫 번째 표의 SQRT는 D > 0일 때만 쓸 수 있습니다(D < 0이면 #NUM! 오류가 나므로, 그때는 네 번째 허근용 표를 써 주세요).
‘^2’는 제곱, ‘SQRT( )’는 제곱근(루트)을 구하는 함수입니다.
예를 들어 첫 번째 표라면 판별식 25, 근 1은 1, 근 2는 −4로 표시됩니다.
첫 번째 표의 SQRT는 D > 0일 때만 쓸 수 있습니다(D < 0이면 #NUM! 오류가 나므로, 그때는 네 번째 허근용 표를 써 주세요).
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
근의 공식으로 두 실근을 구하는 표(D > 0일 때)
| x²의 계수 a | 1 |
| x의 계수 b | 3 |
| 상수항 c | -4 |
| 판별식 D = b² − 4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| 근 1 x₁ | =(-B2+SQRT(B4))/(2*B1) |
| 근 2 x₂ | =(-B2-SQRT(B4))/(2*B1) |
판별식으로 근의 종류를 판정하는 표
| x²의 계수 a | 1 |
| x의 계수 b | 1 |
| 상수항 c | 1 |
| 판별식 D = b² − 4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| 근의 종류 | =IF(B4>0,"서로 다른 두 실근",IF(B4=0,"중근","서로 다른 두 허근")) |
중근을 구하는 표(D = 0일 때)
| x²의 계수 a | 1 |
| x의 계수 b | 2 |
| 상수항 c | 1 |
| 중근 x | =-B2/(2*B1) |
두 허근의 실수부분과 허수부분을 구하는 표(D < 0일 때)
| x²의 계수 a | 1 |
| x의 계수 b | 1 |
| 상수항 c | 1 |
| 실수부분(−b ÷ 2a) | =-B2/(2*B1) |
| 허수부분(±가 붙는 쪽) | =SQRT(4*B1*B3-B2^2)/ABS(2*B1) |
a = 0일 때(일차방정식)의 근을 구하는 표
| x의 계수 b | 2 |
| 상수항 c | 4 |
| 근 x | =-B2/B1 |
Excel과 같은 수식을 그대로 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 계수의 값을 자신의 방정식에 맞게 고쳐 써 주세요.
Python으로 계산하는 방법
import math
a = 1.0 # x^2의 계수
b = 3.0 # x의 계수
c = -4.0 # 상수항
if a == 0 and b == 0:
print("a와 b가 둘 다 0이면 방정식이 되지 않습니다")
elif a == 0:
# a = 0이면 일차방정식 bx + c = 0이 됩니다
print(f"일차방정식의 근: x = {-c / b}")
else:
discriminant = b**2 - 4*a*c # 판별식 D
print(f"판별식 D = {discriminant}")
if discriminant > 0:
root = math.sqrt(discriminant)
print(f"서로 다른 두 실근: x1 = {(-b + root) / (2*a)}, x2 = {(-b - root) / (2*a)}")
elif discriminant == 0:
print(f"중근: x = {-b / (2*a)}")
else:
real_part = -b / (2*a)
imaginary_part = math.sqrt(-discriminant) / (2*abs(a))
print(f"서로 다른 두 허근: x = {real_part} ± {imaginary_part}i")
표준 라이브러리만으로 동작합니다. ‘**2’는 제곱, math.sqrt( )는 제곱근입니다. 맨 위의 a, b, c를 자신의 방정식의 계수로 고쳐 쓰고 실행해 주세요.
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
이차방정식의 근의 공식
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>x</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>−</mo><mi>b</mi>
<mo>±</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
<mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
x = (-b +- sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a)
Solve[a*x^2 + b*x + c == 0, x]
solve(a*x^2 + b*x + c = 0, x);
x = roots([a b c]);
x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)
판별식(근의 종류를 가려내는 식)
D = b² − 4ac
D = b^{2} - 4ac
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>D</mi>
<mo>=</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
</mrow>
</math>
D = b^2 - 4ac
b^2 - 4*a*c
d := b^2 - 4*a*c;
d = b^2 - 4*a*c;
D = b^2 - 4ac
중근(판별식 \(D = 0\)일 때)
x = −b ÷ (2a)
x = -\frac{b}{2a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>x</mi>
<mo>=</mo>
<mo>−</mo>
<mfrac><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow></mfrac>
</mrow>
</math>
x = -b / (2a)
-b/(2*a)
x := -b/(2*a);
x = -b/(2*a);
x = -b/(2a)
서로 다른 두 허근(판별식 \(D < 0\)일 때)
x = (−b ± √(4ac − b²) i) ÷ (2a)
x = \frac{-b \pm \sqrt{4ac - b^2}\,i}{2a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>x</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>−</mo><mi>b</mi>
<mo>±</mo>
<msqrt>
<mrow>
<mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
<mo>−</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
<mi>i</mi>
</mrow>
<mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
x = (-b +- sqrt(4ac - b^2) i) / (2a)
{(-b + Sqrt[4*a*c - b^2]*I)/(2*a), (-b - Sqrt[4*a*c - b^2]*I)/(2*a)}
x := [(-b + sqrt(4*a*c - b^2)*I)/(2*a), (-b - sqrt(4*a*c - b^2)*I)/(2*a)];
x = [(-b + sqrt(4*a*c - b^2)*1i)/(2*a), (-b - sqrt(4*a*c - b^2)*1i)/(2*a)];
x = (-b ± √(4ac - b^2) i)/(2a)
\(a = 0\)일 때(일차방정식이 됨)
x = −c ÷ b
x = -\frac{c}{b}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>x</mi>
<mo>=</mo>
<mo>−</mo>
<mfrac><mi>c</mi><mi>b</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
x = -c/b
-c/b
x := -c/b;
x = -c/b;
x = -c/b
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 수학 계산 도우미입니다. 다음 계산은 반드시 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답해 주세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 이차방정식 x² + 3x − 4 = 0을 근의 공식으로 풀어 주세요. 다음 내용을 각각 보여 주세요. 1. 판별식 D = b² − 4ac의 값과, 그로부터 알 수 있는 근의 종류(서로 다른 두 실근, 중근, 서로 다른 두 허근 중 어느 것인지) 2. 근 x의 값(허근이 되는 경우는 ‘실수부분 ± 허수부분 i’의 꼴로) 3. 근의 공식에 어떻게 대입했는지 보여 주는 풀이 과정 계산에 쓴 식과 실행 결과의 수치를 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
간단하고 무료
무료로 횟수 제한 없이 변환
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
회원가입 불필요
접속 즉시 바로 사용 가능
개인정보를 등록하지 않고도 이용할 수 있습니다
개인정보를 등록하지 않고도 이용할 수 있습니다
안전하고 안심
통신을 강력하게 암호화
"다운로드"를 누르면 파일이 자동으로 삭제됩니다
"다운로드"를 누르면 파일이 자동으로 삭제됩니다
빠른 속도
기다림 없는 쾌적한 표시 속도와 변환 속도
워터마크 없음
워터마크 없음
출처 표기 불필요
출처 표기 불필요
상업적 이용 가능
무료로 상업적 이용 가능
상업적 이용 허가 연락도 필요 없습니다
상업적 이용 허가 연락도 필요 없습니다
관련 기능
분수 계산기(분수의 사칙연산)
분수의 덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈을 풀이 과정과 함께 계산합니다
분수를 소수로 바꾸는 계산기(분자 ÷ 분모·순환소수)
분수를 소수로 바꿉니다. 나누어떨어지지 않는 순환소수도 다룹니다
표준편차 계산기(모표준편차·표본표준편차)
자료가 흩어진 정도를 나타내는 표준편차와 분산을 계산합니다
일차방정식 계산기(이항 풀이 과정·검산)
일차방정식 ax+b=cx+d를 이항 풀이 과정·검산·그래프와 함께 풉니다(해가 없는 경우·해가 무수히 많은 경우도 다룹니다)
연립방정식 계산기(가감법·대입법 풀이 과정)
미지수가 2개인 연립일차방정식을 교과서와 같은 가감법·대입법 풀이 과정과 함께 풉니다. 두 직선의 그래프와 해가 없는 경우·무수히 많은 경우의 판정도 있습니다
