합성하고 싶은 식 a sinθ + b cosθ의 계수 a, b를 입력하세요. 아래 수식은 입력란과 연결되어 있어서 계수 부분을 직접 고쳐도 계산할 수 있습니다.
소수·음수·3/4 같은 분수 말고도 √3, √3/2, 2√3 같은 √가 들어간 값도 쓸 수 있습니다(아래 수식에서는 sqrt라고 입력하면 √가 됩니다). 계수를 비워 두면 1로 봅니다(sinθ는 1sinθ라는 뜻).
계산 결과·그래프
왼쪽 입력란에 sinθ와 cosθ의 계수를 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과와 그래프가 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- \(a\sin\theta + b\cos\theta\) 꼴의 식을 하나의 사인 곡선 \(R\sin(\theta + \alpha)\)로 합성할 수 있습니다(삼각함수의 합성)
- 진폭 \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\)은 \(\sqrt{2}\) 같은 간단히 한 정확한 값과 소수로 함께 보여 줍니다. 각 \(\alpha\)는 \(\dfrac{\pi}{4}\) 같은 특수각이면 π의 분수로 나타낸 정확한 값으로, 그렇지 않으면 \(\cos\alpha\)와 \(\sin\alpha\)의 정확한 값과 라디안·도의 근삿값으로 보여 줍니다
- cos로 합성한 꼴 \(R\cos(\theta - \beta)\)도 함께 보여 줍니다(sin 합성과 어떻게 구별해 쓰는지는 해설에 정리했습니다)
- 합성한 식의 최댓값 \(R\), 최솟값 \(-R\)과 그때의 \(\theta\)도 구합니다(시험에 자주 나옴)
- 계수에는 정수·소수·분수 말고도 √3이나 √3/2 같은 √가 들어간 값도 입력할 수 있습니다. 원래의 두 파동과 합성한 파동·진폭을 그래프로 확인할 수 있습니다
대상은 같은 각 \(\theta\)에 대한 \(\sin\theta\)와 \(\cos\theta\)의 일차식(\(a\sin\theta + b\cos\theta\))입니다. \(\sin 2\theta\)와 \(\cos\theta\)처럼 각이 다른 식이나 \(\sin^{2}\theta\) 같은 제곱 항은 이 방법으로 합성할 수 없습니다.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
교류 전기의 전압·전류 파동을 하나로 묶기(전기)
한국의 가정용 콘센트에 오는 교류(220 V)는 전압이 사인 곡선 모양으로 1초에 60번 진동합니다. 회로 계산에서는 코일이나 축전기 때문에 파동이 어긋나고, 그 합이 \(a\sin\theta + b\cos\theta\)의 꼴로 나타납니다. 합성하면 실제로 어떤 파동 하나가 되는지, 즉 진폭(최대 전압)과 위상이 얼마나 어긋났는지를 알 수 있습니다.
전기기사·전기기능사 같은 자격시험에서도 이 합성 계산은 단골입니다.
같은 높이의 소리 겹치기(소리·음향)
소리는 공기가 진동하는 파동입니다. 같은 높이(같은 진동수)의 두 소리가 겹치면 파동을 나타내는 식의 합이 하나의 파동으로 합성됩니다. 합성한 진폭 \(R\)이 클수록 큰 소리가 되고, 파동의 마루가 맞으면 서로 보강하며, 반대가 되면 서로 상쇄됩니다.
노이즈 캔슬링 이어폰이 소음과 반대 방향의 파동을 내서 소리를 줄이는 것도 이 파동의 합성의 생각에 바탕을 두고 있습니다.
건물이나 기계의 흔들림 해석(지진·진동공학)
지진이나 기계 진동을 해석할 때는 흔들림을 sin 성분과 cos 성분으로 나누어 계산한 뒤, 마지막에 합성해서 실제 흔들림의 크기(진폭)를 구하는 일이 많습니다. 하나의 주기를 가진 단순한 진동으로 볼 수 있을 때는 가장 크게 흔들리는 양을 합성한 진폭 \(R\)로 어림합니다.
실제 지진파는 여러 주기가 복잡하게 섞여 있지만, 그 해석의 기본은 이 사인 곡선의 합성입니다.
전파 수신 세기가 장소마다 달라지는 이유(통신)
스마트폰은 기지국에서 곧바로 오는 전파와 건물 등에 반사되어 오는 전파가 겹친 상태로 수신합니다. 진동수가 같은 파동은 하나의 파동으로 합성되고, 지나온 거리의 차이에 따라 서로 보강하기도 하고 약해지기도 합니다(페이딩이라고 합니다).
조금만 움직여도 수신 막대 수가 바뀌는 것은 이 합성한 진폭이 장소마다 다르기 때문입니다.
공식과 그래프
삼각함수의 합성(sin으로 합성)
그래프
수학 표기
(일반적인 수식)
\(a\sin\theta\)
\(+\)
\(b\cos\theta\)
\(=\)
\(R\sin(\theta + \alpha)\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
①
계수 \(a\)가 붙은 \(\sin\theta\)의 항
\(+\)
②
계수 \(b\)가 붙은 \(\cos\theta\)의 항
\(=\)
③
진폭 \(R\), 각 \(\alpha\)인 하나의 사인 곡선
공식을 말로 읽으면
①
계수 \(a\)가 붙은 사인 항(\(a\sin\theta\))
과
②
계수 \(b\)가 붙은 코사인 항(\(b\cos\theta\))
의 합은
③
진폭이 \(R\)이고 각이 \(\alpha\)인 하나의 사인 곡선
으로 나타낼 수 있습니다
간단한 예
\(\sin\theta + \cos\theta\)(\(a = 1,\ b = 1\))를 합성하면
\(\sin\theta\)의 항(계수 1)
\(+\)
\(\cos\theta\)의 항(계수 1)
\(=\)
진폭 \(\sqrt{2}\), 각 \(\dfrac{\pi}{4}\)인 사인 곡선
\(R = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}\)
\(\cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}},\ \ \sin\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \ \Rightarrow\ \alpha = \dfrac{\pi}{4}\)
\(\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\,\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)\)
이해의 핵심
sin과 cos가 섞인 식은 그대로는 ‘언제 가장 커지는지’, ‘값의 범위가 어디까지인지’를 알기 어렵습니다. 삼각함수의 합성은 두 파동을 진폭 \(R\), 각 \(\alpha\)만큼 옆으로 이동한 하나의 사인 곡선으로 다시 써서, 식의 정체를 드러내는 방법입니다.
하나로 묶을 수 있는 이유는 덧셈정리 \(\sin(\theta + \alpha) = \sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha\)를 오른쪽에서 왼쪽으로 거꾸로 쓰기 때문입니다. \(a\sin\theta + b\cos\theta\)의 \(a\)를 \(R\cos\alpha\), \(b\)를 \(R\sin\alpha\)로 보면 식 전체가 \(R\sin(\theta + \alpha)\)로 접힙니다.
cos로 묶는 방법(cos로 합성) \(R\cos(\theta - \beta)\)도 있으며, 둘 다 맞는 답입니다. 한국의 참고서와 시험 문제에서는 sin으로 합성하는 꼴이 보통이고, 물리나 전기공학에서는 cos로 나타내는 경우가 많습니다. 문제에서 ‘\(R\sin(\theta + \alpha)\)의 꼴로’ 또는 ‘\(R\cos(\theta - \beta)\)의 꼴로’라고 지정하면 그 꼴로 답하세요.
진폭 \(R\)과 각 \(\alpha\)를 구하는 법
수학 표기
(일반적인 수식)
\(R\)
\(=\)
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
\(\cos\alpha\)
\(=\)
\(\dfrac{a}{R}\)
\(\sin\alpha\)
\(=\)
\(\dfrac{b}{R}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
②
진폭(합성한 파동의 높이) \(R\)
\(=\)
①
계수 \(a\), \(b\)의 제곱의 합의 제곱근
각 \(\alpha\)의 코사인 \(\cos\alpha\)
\(=\)
③
\(\sin\theta\)의 계수 \(a\)를 진폭 \(R\)로 나눈 값
각 \(\alpha\)의 사인 \(\sin\alpha\)
\(=\)
④
\(\cos\theta\)의 계수 \(b\)를 진폭 \(R\)로 나눈 값
공식을 말로 읽으면
①
계수 \(a\)와 \(b\)를 각각 제곱해서 더하고 제곱근을 구한 값
이
②
진폭(\(R\))
입니다. 각 \(\alpha\)는
③
계수 \(a\)를 진폭 \(R\)로 나눈 값
이 코사인,
④
계수 \(b\)를 진폭 \(R\)로 나눈 값
이 사인이 되는 각입니다
간단한 예
\(\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta\)(\(a = \sqrt{3},\ b = 1\))인 경우
진폭 \(R = 2\)
\(=\)
\(\sqrt{3}\)과 \(1\)의 제곱의 합의 제곱근 \(\sqrt{4}\)
\(R = \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2\)
\(\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \ \sin\alpha = \dfrac{1}{2} \ \Rightarrow\ \alpha = \dfrac{\pi}{6}\)
\(\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 2\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{6}\right)\)
이해의 핵심
진폭 \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\)은 좌표평면 위의 점 \((a,\ b)\)와 원점 사이의 거리, 즉 피타고라스 정리 그 자체입니다. 점 \((a,\ b)\)를 찍어 보면 \(\alpha\)는 원점에서 \((a,\ b)\)로 그은 화살표가 \(x\)축과 이루는 각입니다. 헷갈리면 점 \((a,\ b)\)를 그려서 거리와 각, 그리고 점이 어느 사분면에 있는지를 읽어 보세요.
\(\cos\alpha\)와 \(\sin\alpha\)를 둘 다 확인하는 것이 중요합니다. 한쪽만으로는 각이 하나로 정해지지 않습니다(예를 들어 \(\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\)만으로는 \(\alpha = \dfrac{\pi}{3}\)와 \(-\dfrac{\pi}{3}\)의 두 가지가 남습니다).
\(\alpha\)가 \(\dfrac{\pi}{6}\)나 \(\dfrac{\pi}{4}\) 같은 특수각이 되는 것은 계수의 쌍이 \((1,\ 1)\)이나 \((\sqrt{3},\ 1)\)처럼 특별한 꼴일 때뿐입니다. 특수각이 아니면 ‘\(\cos\alpha = \dfrac{3}{5},\ \sin\alpha = \dfrac{4}{5}\)인 각 \(\alpha\)’처럼 조건으로 나타냅니다(이 계산기도 같은 방식으로 보여 줍니다).
합성한 식의 최댓값·최솟값
그래프
수학 표기
(일반적인 수식)
\(-R\)
\(\le\)
\(a\sin\theta + b\cos\theta\)
\(\le\)
\(R\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
②
최솟값 \(-R\)
\(\le\)
①
합성하는 식(\(= R\sin(\theta + \alpha)\))
\(\le\)
③
최댓값 \(R\)
공식을 말로 읽으면
①
합성하는 식(\(a\sin\theta + b\cos\theta\))
의 값은(\(\theta\)가 모든 실수를 움직일 때)
②
최솟값(\(-R\))
부터
③
최댓값(\(R\))
까지의 사이를 움직입니다
간단한 예
\(3\sin\theta + 4\cos\theta\)(\(R = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5\))인 경우
최솟값 \(-5\)
\(\le\)
\(3\sin\theta + 4\cos\theta\)
\(\le\)
최댓값 \(5\)
\(R = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)
\(-5 \le 3\sin\theta + 4\cos\theta \le 5\)
이해의 핵심
합성하면 \(a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)\)가 됩니다. 사인의 값은 항상 \(-1\) 이상 \(1\) 이하이므로 식 전체는 \(-R\)부터 \(R\)까지의 값만 가질 수 있습니다. ‘sin과 cos가 섞인 식의 최댓값·최솟값을 구하여라’라는 시험의 단골 문제는 합성만 할 수 있으면 이 한 줄로 풀립니다.
최댓값이 되는 것은 \(\sin(\theta + \alpha) = 1\)일 때, 즉 \(\theta + \alpha = \dfrac{\pi}{2} + 2n\pi\)(\(n\)은 정수)일 때이므로 \(\theta = \dfrac{\pi}{2} - \alpha + 2n\pi\)입니다. 최솟값은 사인이 \(-1\)이 되는 \(\theta = -\dfrac{\pi}{2} - \alpha + 2n\pi\)일 때입니다.
\(\theta\)의 범위에 제한이 있는 문제(\(0 \le \theta < 2\pi\) 등)에서는 먼저 \(\theta + \alpha\)가 움직이는 범위를 구한 뒤, 그 범위 안에서 사인이 가장 커지는 곳과 가장 작아지는 곳을 찾습니다. 범위의 끝에서 최댓값이나 최솟값이 되는 경우도 있으니 주의하세요.
삼각함수의 합성은 \(a\sin\theta + b\cos\theta\)를 진폭 \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\), 각 \(\alpha\)(\(\cos\alpha = \dfrac{a}{R},\ \sin\alpha = \dfrac{b}{R}\))인 하나의 사인 곡선 \(R\sin(\theta + \alpha)\)로 묶는 조작입니다. 합성하고 나면 최댓값 \(R\)과 최솟값 \(-R\)을 바로 읽을 수 있습니다.
용어·기호 해설
기호
| \(a,\ b\) | 에이, 비 | 합성하는 식의 계수입니다. \(a\)는 \(\sin\theta\)에, \(b\)는 \(\cos\theta\)에 붙은 수입니다. 정해진 수에는 알파벳의 앞쪽 글자 \(a,\ b,\ c\)를 쓰는 것이 관례입니다. |
| \(\theta\) | 세타 | 각도를 나타낼 때 자주 쓰는 그리스 문자입니다. ‘각’을 뜻하는 그리스어의 머리글자는 아니고, 관례로 각도에 쓰게 되었습니다. 이 페이지에서는 합성하는 식 안의 ‘움직이는 각’을 나타냅니다. |
| \(R\) | 알 | 합성한 사인 곡선의 진폭(파동의 높이)입니다. 반지름을 뜻하는 radius의 머리글자에서 왔다고 합니다. 원점과 점 \((a,\ b)\) 사이의 거리 \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)과 같고, 식의 최댓값이기도 합니다. |
| \(\alpha\) | 알파 | sin으로 합성할 때 옮기는 각입니다. 그리스 문자의 첫 번째 글자로, 덧붙이는 각에 그리스 문자를 쓰는 관례를 따랐습니다. 원점에서 점 \((a,\ b)\)로 그은 화살표가 \(x\)축과 이루는 각과 같습니다. |
| \(\beta\) | 베타 | cos로 합성할 때 옮기는 각으로, 그리스 문자의 두 번째 글자입니다. \(\beta = \dfrac{\pi}{2} - \alpha\)의 관계가 있습니다(\(2\pi\), 즉 한 바퀴만큼 차이 나는 각은 같은 위치이므로 \(-\pi < \beta \le \pi\)에 들어가도록 \(2\pi\)를 더하거나 빼서 나타냅니다). |
| \(\sin\) | 사인 | 삼각함수의 하나로, sine을 줄여 쓴 것입니다. 단위원 위에서 각 \(\theta\)의 위치에 있는 점의 \(y\)좌표가 \(\sin\theta\)입니다. |
| \(\cos\) | 코사인 | 삼각함수의 하나로, cosine을 줄여 쓴 것입니다. 단위원 위에서 각 \(\theta\)의 위치에 있는 점의 \(x\)좌표가 \(\cos\theta\)입니다. |
| \(\pi\) | 파이 | 원주율(약 3.14)입니다. 라디안에서는 \(\pi\)가 꼭 180°에 해당하므로 \(\dfrac{\pi}{4}\)는 45°, \(\dfrac{\pi}{6}\)는 30°입니다. |
| \(2n\pi\) | 이엔파이 | ‘\(2\pi\)(한 바퀴)의 정수배’를 나타내는 표기입니다. \(n\)은 정수(number의 머리글자)입니다. 각은 한 바퀴(\(2\pi\))마다 같은 위치로 돌아오므로, 최댓값이나 최솟값이 되는 \(\theta\)는 \(2\pi\) 간격으로 무수히 많습니다. |
| \(\sqrt{\phantom{2}}\) | 루트 | 제곱근의 기호(근호)입니다. \(\sqrt{2}\)는 ‘제곱하면 2가 되는 양수’입니다. 진폭 \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\)의 계산에 나옵니다. |
| \(\le\) | 작거나 같다 | ‘이하’를 나타내는 부등호입니다. \(-R \le f(\theta) \le R\)은 ‘\(f(\theta)\)는 \(-R\) 이상 \(R\) 이하’라는 뜻입니다. |
용어
| 삼각함수의 합성 | \(a\sin\theta + b\cos\theta\) 꼴의 식을 하나의 사인 곡선 \(R\sin(\theta + \alpha)\)로 다시 묶는 조작입니다. 덧셈정리를 거꾸로 써서 할 수 있습니다. 현재 고등학교 교육과정(2015·2022 개정)의 정식 학습 요소는 아니지만, 덧셈정리(‘미적분’, 2022 개정에서는 ‘미적분 II’)를 응용한 심화 내용으로 참고서와 시험 문제에 자주 나옵니다. |
| 사인 곡선 | \(y = \sin\theta\)의 그래프처럼 매끄럽게 오르내림을 되풀이하는 파동의 모양입니다. 사인파라고도 합니다. 소리, 빛, 교류 전기 등 주변의 많은 파동이 이 모양입니다. |
| 진폭 | 파동의 ‘높이’로, 파동의 중심(이 페이지에서는 0)에서 가장 높은 곳까지의 거리입니다. \(y = R\sin(\theta + \alpha)\)의 진폭은 \(R\)이고, 파동은 \(-R\)부터 \(R\)까지 오르내립니다. |
| 주기 | 파동이 한 번의 모양을 다 그리고 처음으로 돌아올 때까지의 길이입니다. \(\sin\theta\)의 주기는 \(2\pi\)(360°)이고, 합성해도 이 주기는 바뀌지 않습니다. |
| 위상 | 파동이 ‘얼마나 옆으로 어긋나 있는가’를 나타내는 말입니다. \(R\sin(\theta + \alpha)\)는 \(R\sin\theta\)의 파동을 옆으로 \(\alpha\)만큼 옮긴 파동이고, 이 \(\alpha\)를 위상의 차이라고 합니다. |
| 덧셈정리 | \(\sin(\theta + \alpha) = \sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha\)처럼 두 각의 합의 삼각함수를 각각의 각의 삼각함수로 나타내는 정리입니다(삼각함수의 덧셈정리). 삼각함수의 합성은 이것을 오른쪽에서 왼쪽으로 거꾸로 씁니다. |
| 특수각 | \(30°\)(\(\dfrac{\pi}{6}\)), \(45°\)(\(\dfrac{\pi}{4}\)), \(60°\)(\(\dfrac{\pi}{3}\))처럼 삼각함수의 값이 \(\dfrac{1}{2}\)이나 \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 같은 간단한 정확한 값으로 쓰이는 각입니다. 교과서나 시험의 합성 문제는 대부분 \(\alpha\)가 특수각이 되도록 만들어져 있습니다. |
| 라디안(호도법) | 반지름이 1인 원에서 ‘호의 길이’로 각도를 재는 단위입니다. \(180° = \pi\) 라디안이므로 \(45°\)는 \(\dfrac{\pi}{4}\)에 해당합니다. 고등학교의 삼각함수에서는 도보다 라디안이 기본입니다. |
| 단위원 | 원점을 중심으로 하는 반지름이 1인 원입니다. 각 \(\theta\)의 위치에 있는 원 위의 점의 좌표가 \((\cos\theta,\ \sin\theta)\)가 되어, 삼각함수의 값을 눈으로 보는 도구가 됩니다. |
| 최댓값 | 함수가 가질 수 있는 가장 큰 값입니다. 합성한 \(R\sin(\theta + \alpha)\)는 사인의 값이 \(1\)까지만 움직이므로 최댓값 \(R\)을 바로 알 수 있습니다. |
| 최솟값 | 함수가 가질 수 있는 가장 작은 값입니다. 합성한 \(R\sin(\theta + \alpha)\)는 사인의 값이 \(-1\)까지만 움직이므로 최솟값 \(-R\)을 바로 알 수 있습니다. |
| 사분면 | 좌표평면을 \(x\)축과 \(y\)축으로 넷으로 나눈 부분입니다. 오른쪽 위가 제1사분면이고, 시계 반대 방향으로 제2·제3·제4사분면입니다. 각(단위원 위의 점)이 어느 사분면에 있는지에 따라 \(\cos\)과 \(\sin\)의 부호가 정해집니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘뜻을 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
막히면 이 표의 내용으로 돌아가 복습하는 것이 지름길입니다.
| 제곱근의 계산(중학교 3학년) |
|
| 피타고라스 정리(중학교 2학년) |
|
| 삼각비(중학교 3학년) |
|
| 삼각함수와 단위원·라디안(고등학교 대수) |
|
| 삼각함수의 그래프(고등학교 대수) |
|
| 삼각함수의 덧셈정리(고등학교 미적분 II) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
진폭 R과 각 α를 구하는 표
| sinθ의 계수 a | 1 |
| cosθ의 계수 b | 1 |
| 진폭 R | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 각 α(라디안) | =ATAN2(B1,B2) |
| 각 α(도) | =DEGREES(B4) |
cos로 합성(각 β)을 구하는 표
| sinθ의 계수 a | 1 |
| cosθ의 계수 b | 1 |
| 진폭 R | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 각 β(라디안) | =ATAN2(B2,B1) |
| 각 β(도) | =DEGREES(B4) |
최댓값·최솟값과 최대가 되는 θ를 구하는 표
| sinθ의 계수 a | 3 |
| cosθ의 계수 b | 4 |
| 진폭 R | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 최댓값 | =B3 |
| 최솟값 | =-B3 |
| 최대가 되는 θ(라디안) | =PI()/2-ATAN2(B1,B2) |
붙여 넣으면 위의 행(계수)이 입력란이 되고, 아래 행이 자동 계산 결과가 됩니다.
‘^’는 거듭제곱, SQRT는 제곱근, ATAN2(x, y)는 점 (x, y) 방향의 각을 돌려줍니다. α는 점 (a, b)의 방향이므로 =ATAN2(B1,B2), β는 점 (b, a)의 방향이므로 =ATAN2(B2,B1)입니다. 인수의 순서가 바뀌는 점에 주의하세요.
첫 번째 표는 sinθ + cosθ의 예로, R은 1.41421…(= √2), α는 0.78539…(= π/4) = 45°입니다.
세 번째 표는 3sinθ + 4cosθ의 예로, 최댓값은 5, 최솟값은 −5, 최대가 되는 θ는 0.64350…(라디안)입니다.
‘^’는 거듭제곱, SQRT는 제곱근, ATAN2(x, y)는 점 (x, y) 방향의 각을 돌려줍니다. α는 점 (a, b)의 방향이므로 =ATAN2(B1,B2), β는 점 (b, a)의 방향이므로 =ATAN2(B2,B1)입니다. 인수의 순서가 바뀌는 점에 주의하세요.
첫 번째 표는 sinθ + cosθ의 예로, R은 1.41421…(= √2), α는 0.78539…(= π/4) = 45°입니다.
세 번째 표는 3sinθ + 4cosθ의 예로, 최댓값은 5, 최솟값은 −5, 최대가 되는 θ는 0.64350…(라디안)입니다.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
진폭 R과 각 α를 구하는 표
| sinθ의 계수 a | 1 |
| cosθ의 계수 b | 1 |
| 진폭 R | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 각 α(라디안) | =ATAN2(B1,B2) |
| 각 α(도) | =DEGREES(B4) |
cos로 합성(각 β)을 구하는 표
| sinθ의 계수 a | 1 |
| cosθ의 계수 b | 1 |
| 진폭 R | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 각 β(라디안) | =ATAN2(B2,B1) |
| 각 β(도) | =DEGREES(B4) |
최댓값·최솟값과 최대가 되는 θ를 구하는 표
| sinθ의 계수 a | 3 |
| cosθ의 계수 b | 4 |
| 진폭 R | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 최댓값 | =B3 |
| 최솟값 | =-B3 |
| 최대가 되는 θ(라디안) | =PI()/2-ATAN2(B1,B2) |
Excel과 같은 수식을 그대로 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 계수를 자신의 수로 바꾸세요.
Python으로 계산하는 방법
import math
sin_coefficient = 1 # a(sin θ의 계수)
cos_coefficient = 1 # b(cos θ의 계수)
# 진폭 R = √(a² + b²)(hypot은 제곱의 합의 제곱근을 돌려줌)
amplitude = math.hypot(sin_coefficient, cos_coefficient)
# 각 α(점 (a, b)의 방향, 라디안)
alpha = math.atan2(cos_coefficient, sin_coefficient)
print(f"진폭 R = {amplitude}")
print(f"각 α = {alpha} 라디안 = {math.degrees(alpha)}도")
print(f"최댓값 = {amplitude}, 최솟값 = {-amplitude}")
print(f"최대가 되는 θ = {math.pi / 2 - alpha} 라디안(+ 2nπ)")
표준 라이브러리의 math 모듈만으로 계산할 수 있습니다. 이 예는 sinθ + cosθ를 합성하며, 실행하면 진폭 1.4142…(= √2)와 각 0.7853… 라디안(= π/4 = 45도)이 출력됩니다. √2 같은 정확한 값 자체는 낼 수 없으므로 정확한 꼴이 필요할 때는 이 페이지의 계산기를 쓰세요. 계수를 바꿔 다시 실행해 보세요.
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
삼각함수의 합성(sin으로 합성)
a·sinθ + b·cosθ = R·sin(θ + α)
a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><mo>⁢</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mi>R</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo>
<mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
a sin(theta) + b cos(theta) = R sin(theta + alpha)
a Sin[t] + b Cos[t] == Sqrt[a^2 + b^2] Sin[t + ArcTan[a, b]]
a*sin(theta) + b*cos(theta) = sqrt(a^2 + b^2)*sin(theta + arctan(b, a));
R = sqrt(a^2 + b^2); alpha = atan2(b, a); f = R*sin(theta + alpha);
a sin(θ) + b cos(θ) = R sin(θ + α)
진폭 \(R\)과 각 \(\alpha\)를 구하는 법
R = √(a² + b²), cosα = a/R, sinα = b/R
R = \sqrt{a^{2} + b^{2}},\quad \cos\alpha = \frac{a}{R},\quad \sin\alpha = \frac{b}{R}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>R</mi><mo>=</mo>
<msqrt><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt>
<mo>,</mo>
<mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mi>a</mi><mi>R</mi></mfrac>
<mo>,</mo>
<mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mi>b</mi><mi>R</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
R = sqrt(a^2 + b^2), cos(alpha) = a/R, sin(alpha) = b/R
R = Sqrt[a^2 + b^2]; alpha = ArcTan[a, b]
R := sqrt(a^2 + b^2); alpha := arctan(b, a);
R = sqrt(a^2 + b^2); alpha = atan2(b, a);
R = √(a^2 + b^2), cos(α) = a/R, sin(α) = b/R
합성한 식의 최댓값·최솟값
−R ≤ a·sinθ + b·cosθ ≤ R
-R \le a\sin\theta + b\cos\theta \le R
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>−</mo><mi>R</mi>
<mo>≤</mo>
<mi>a</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><mo>⁢</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>≤</mo>
<mi>R</mi>
</mrow>
</math>
-R <= a sin(theta) + b cos(theta) <= R
MaxValue[a Sin[t] + b Cos[t], t]
maximize(a*sin(theta) + b*cos(theta), theta = 0 .. 2*Pi);
[tmin, fneg] = fminbnd(@(t) -(a*sin(t) + b*cos(t)), 0, 2*pi); fmax = -fneg;
−R ≤ a sin(θ) + b cos(θ) ≤ R
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 수학(삼각함수) 계산 도우미입니다. 다음 계산을 실제로 Python 코드를 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답하세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 3sinθ + 4cosθ를 R sin(θ + α)의 꼴로 나타내세요. 다음을 각각 보여 주세요. 1. 진폭 R(근호로 정확한 값을 쓸 수 있으면 그것도) 2. cos α와 sin α의 값(분수)과 α의 근삿값(라디안과 도 모두) 3. 이 식의 최댓값과 최솟값, 그리고 최대가 되는 θ(라디안) Python에서는 math.hypot과 math.atan2를 쓰세요. 사용한 식과 실행 결과의 수치를 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
간단하고 무료
무료로 횟수 제한 없이 변환
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
회원가입 불필요
접속 즉시 바로 사용 가능
개인정보를 등록하지 않고도 이용할 수 있습니다
개인정보를 등록하지 않고도 이용할 수 있습니다
안전하고 안심
통신을 강력하게 암호화
"다운로드"를 누르면 파일이 자동으로 삭제됩니다
"다운로드"를 누르면 파일이 자동으로 삭제됩니다
빠른 속도
기다림 없는 쾌적한 표시 속도와 변환 속도
워터마크 없음
워터마크 없음
출처 표기 불필요
출처 표기 불필요
상업적 이용 가능
무료로 상업적 이용 가능
상업적 이용 허가 연락도 필요 없습니다
상업적 이용 허가 연락도 필요 없습니다
관련 기능
삼각비 계산기(sin·cos·tan의 값과 각도를 단위원 그림으로 계산)
각도 θ로 sin·cos·tan의 값을 정확한 값과 소수로 계산하고, 값으로 각도를 거꾸로 구하는 계산도 됩니다. 도와 라디안을 함께 적습니다
도와 라디안 변환 계산기(π의 분수로 나타낸 정확한 값과 단위원 그림)
도와 라디안을 서로 변환합니다. 30° → π/6처럼 π의 분수로 나타낸 정확한 값과 소수를 함께 보여 줍니다
