평면인지 공간인지 고르고, 두 벡터 a, b의 성분과 실수배의 계수 k, l을 입력하세요. 아래 수식은 입력란과 연동되어 있어서 성분 부분을 직접 고쳐도 계산할 수 있습니다.
수는 숫자로 입력하세요. 소수, 음수, 3/4 같은 분수를 쓸 수 있습니다. 성분이 빈칸이면 0, 계수 k, l이 빈칸이면 1로 처리합니다.
계산 결과·도형
왼쪽 입력란에 벡터의 성분을 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과와 그림이 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- 평면(2차원)·공간(3차원)의 벡터 \(\vec{a}\), \(\vec{b}\)의 성분만 넣으면 합 \(\vec{a}+\vec{b}\), 차 \(\vec{a}-\vec{b}\), 실수배의 합 \(k\vec{a}+l\vec{b}\)를 한꺼번에 계산할 수 있습니다
- 크기 \(|\vec{a}|\)는 \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)처럼 근호를 간단히 한 정확한 값과 소수 두 가지로 보여 줍니다
- 내적 \(\vec{a}\cdot\vec{b}\), 이루는 각 \(\theta\)(도와 라디안. \(45^{\circ}\) 같은 특수각은 정확한 값), 단위벡터, 수직·평행 판정도 함께 구할 수 있습니다
- 계산기에는 손으로 쓸 때와 같은 세로 벡터 꼴의 수식이 표시되고, 성분을 직접 고쳐서 계산할 수도 있습니다
- 성분과 계수에는 소수, 음수뿐 아니라 3/4 같은 분수도 입력할 수 있습니다
- 공식의 쉬운 해설과 Excel·Google 스프레드시트·Python에 복사해 쓸 수 있는 수식도 이 페이지에 모아 두었습니다
크기가 0인 벡터(영벡터)는 방향이 정해지지 않으므로 이루는 각과 단위벡터를 구할 수 없습니다. 이 계산기는 \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) 중 하나가 영벡터이면 계산하지 않습니다.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
힘의 합성(물리·건축·공학)
물체에 여러 힘이 작용할 때 그 합쳐진 효과는 벡터의 합입니다. 비스듬히 당긴 줄의 장력을 수평 성분과 수직 성분으로 나누어 더하는 것이 바로 이 계산입니다.
다리나 건물을 설계할 때도 구조물 자체의 무게, 바람, 지진 같은 힘을 벡터로 합성해 각 부분에 걸리는 힘의 방향과 크기를 구합니다. 방향을 무시하고 크기만 더하면 위험한 설계가 되므로 벡터로 다루는 것이 꼭 필요합니다.
3D 게임·CG 영상 만들기
게임에서 캐릭터의 이동은 ‘위치벡터 + 속도 벡터’로 계산하며, 카메라의 방향이나 날아가는 탄의 방향도 모두 벡터입니다. 방향만 필요할 때(진행 방향, 시선 방향)는 단위벡터를 매 프레임 씁니다.
빛의 표현에서도 내적이 주역입니다. 면이 향하는 방향(법선 벡터)과 빛의 방향의 내적이 클수록 빛이 정면으로 닿으므로, 그 값으로 화면의 밝기를 정합니다. 내적이 0 이하이면 빛이 닿지 않는 면입니다.
비행기·배의 진로(속도의 합성)
비행기가 실제로 나아가는 길은 기수 방향의 속도 벡터와 바람의 속도 벡터의 합입니다. 북쪽에서 바람이 불 때 정동쪽으로 날려면 기수를 바람 쪽으로 조금 틀어야 하는데, 얼마나 틀지는 벡터의 뺄셈으로 구합니다.
바다에서도 해류의 벡터를 더하고 빼서 배의 방향을 정합니다. 속도와 시간을 성분별로 나누어 다룰 수 있는 것이 벡터의 강점입니다.
글이나 상품이 ‘얼마나 비슷한지’ 재기(AI·추천)
검색 엔진이나 생성형 AI는 글을 긴 수의 나열, 즉 벡터로 바꿉니다. 두 글이 비슷한지는 벡터가 이루는 각으로 판단하며, \(\cos\theta\)가 1에 가까울수록 비슷하다고 봅니다(코사인 유사도).
온라인 쇼핑몰의 ‘이 상품을 본 사람이 함께 본 상품’ 기능도 구매 이력을 벡터로 바꾸어 이루는 각이 작은 사람이나 상품을 찾습니다. 길이(총 구매액 등)보다 방향(취향의 패턴)이 중요하기 때문에 각도로 재는 방법이 잘 맞습니다.
위치와 자세를 재는 기기(드론·내비게이션·스마트폰)
드론이나 스마트폰은 가속도 센서로 잰 중력의 벡터와 기기의 기준 방향 벡터가 이루는 각으로 자신이 얼마나 기울었는지를 계산합니다. 화면이 세로·가로로 바뀌는 것도 이 계산의 결과입니다.
내비게이션이나 측량에서는 두 지점의 좌표의 차를 벡터로 다루어, 그 크기가 거리, 방향이 방위가 됩니다. 공간(3차원)에서도 높이 성분을 더하기만 하면 같은 식을 그대로 쓸 수 있습니다.
공식과 그림
벡터의 크기(성분으로 구하기)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(|\vec{a}|\)
\(=\)
\(\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
②
벡터 \(\vec{a}\)의 크기(화살표의 길이, \(|\vec{a}|\))
\(=\)
①
성분의 제곱의 합 \(a_1^{2}+a_2^{2}\)의 제곱근
공식을 말로 읽으면
①
성분으로 \(\vec{a}=(a_1,\ a_2)\)라고 나타낼 때,
\(x\)성분의 제곱과 \(y\)성분의 제곱의 합 \(a_1^{2}+a_2^{2}\)의 제곱근
을 계산하면
②
벡터 \(\vec{a}\)의 크기(화살표의 길이, \(|\vec{a}|\))
가 됩니다
간단한 예
\(\vec{a}=(4,\ 2)\)의 크기(오른쪽으로 4, 위로 2 가는 화살표의 길이)는
\(\vec{a}=(4,\ 2)\)의 크기
\(=\)
\(4^2+2^2=20\)의 제곱근
\(|\vec{a}| = \sqrt{4^{2}+2^{2}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \fallingdotseq 4.4721\)
이해의 핵심
이 식은 피타고라스 정리 그 자체입니다. 성분 \(a_1\), \(a_2\)는 화살표를 ‘오른쪽으로 얼마나’와 ‘위로 얼마나’로 나눈 것이므로, 화살표는 두 변이 \(a_1\), \(a_2\)인 직각삼각형의 빗변이 됩니다. 그래서 길이가 \(\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\)입니다.
공간(3차원)의 벡터 \(\vec{a}=(a_1,\ a_2,\ a_3)\)에서는 높이 성분의 제곱도 더해 \(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}\)이 됩니다. 항이 하나 늘 뿐 순서는 같습니다.
답의 근호는 반드시 간단히 한 꼴(예: \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\))로 씁니다. 이 계산기도 간단히 한 정확한 값과 소수를 함께 보여 줍니다.
벡터의 합·차(성분끼리 더하고 빼기)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(\vec{a}+\vec{b}\)
\(=\)
\((a_1+b_1,\ a_2+b_2)\)
\(\vec{a}-\vec{b}\)
\(=\)
\((a_1-b_1,\ a_2-b_2)\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
②
\(\vec{a}\)와 \(\vec{b}\)의 합
\(=\)
①
\(x\)성분끼리, \(y\)성분끼리 더한 벡터
④
\(\vec{a}\)와 \(\vec{b}\)의 차
\(=\)
③
\(x\)성분끼리, \(y\)성분끼리 뺀 벡터
공식을 말로 읽으면
①
\(x\)성분끼리, \(y\)성분끼리 더한 벡터(\((a_1+b_1,\ a_2+b_2)\))
가
②
\(\vec{a}\)와 \(\vec{b}\)의 합(\(\vec{a}+\vec{b}\))
이 되고,
③
\(x\)성분끼리, \(y\)성분끼리 뺀 벡터(\((a_1-b_1,\ a_2-b_2)\))
가
④
\(\vec{a}\)와 \(\vec{b}\)의 차(\(\vec{a}-\vec{b}\))
가 됩니다
간단한 예
\(\vec{a}=(4,\ 2)\), \(\vec{b}=(-1,\ 2)\)일 때
\(\vec{a}+\vec{b}\)
\(=\)
\((4+(-1),\ 2+2)\)
\(\vec{a}+\vec{b} = (4+(-1),\ 2+2) = (3,\ 4)\)
\(\vec{a}-\vec{b} = (4-(-1),\ 2-2) = (5,\ 0)\)
이해의 핵심
그림으로 보면 합 \(\vec{a}+\vec{b}\)는 ‘\(\vec{a}\)의 종점에 \(\vec{b}\)의 시점을 이었을 때, 처음 시점에서 마지막 종점까지의 화살표’입니다. \(\vec{a}\), \(\vec{b}\)를 두 변으로 하는 평행사변형의 대각선이 되므로 평행사변형법이라고 합니다.
차 \(\vec{a}-\vec{b}\)는 \(\vec{a}+(-\vec{b})\), 즉 \(\vec{b}\)의 방향을 반대로 해서 더한 것입니다. 그림에서는 \(\vec{b}\)의 종점에서 \(\vec{a}\)의 종점으로 향하는 화살표입니다. 방향을 틀리기 쉬우니 ‘빼는 벡터(\(\vec{b}\))의 끝에서 원래 벡터(\(\vec{a}\))의 끝으로’라고 기억하세요. 화살표가 \(\vec{a}\) 쪽을 향한다고 생각하면 거꾸로 그리지 않습니다.
공간(3차원)에서도 \(z\)성분끼리 더하고 빼는 항이 하나 늘 뿐 순서는 같습니다.
벡터의 실수배
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
\(k\vec{a}\)
\(=\)
\((ka_1,\ ka_2)\)
②
\(\vec{a}\)의 \(k\)배
\(=\)
①
성분을 각각 \(k\)배 한 벡터
공식을 말로 읽으면
①
성분을 각각 \(k\)배 한 벡터(\((ka_1,\ ka_2)\))
가
②
벡터 \(\vec{a}\)의 \(k\)배(\(k\vec{a}\))
가 됩니다
간단한 예
\(\vec{a}=(4,\ 2)\)를 2배 하면(방향은 그대로이고 길이가 2배인 화살표)
\(2\vec{a}\)
\(=\)
\((2 \times 4,\ 2 \times 2)\)
\(2\vec{a} = (2 \times 4,\ 2 \times 2) = (8,\ 4)\)
\(|2\vec{a}| = \sqrt{8^{2}+4^{2}} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} = 2 \times 2\sqrt{5} = 2|\vec{a}|\)
이해의 핵심
실수배는 화살표를 ‘늘이고 줄이는 것’입니다. \(k>0\)이면 방향은 그대로이고 길이가 \(k\)배, \(k<0\)이면 방향이 반대가 되고 길이가 \(|k|\)배가 됩니다(\(k=-1\)이면 역벡터 \(-\vec{a}\)). 크기는 \(|k\vec{a}|=|k|\,|\vec{a}|\)입니다.
이 계산기는 \(k\vec{a}+l\vec{b}\)의 꼴로 계산합니다. \(k=1,\ l=1\)이면 합, \(k=1,\ l=-1\)이면 차가 되므로, 계수만 바꾸면 \(2\vec{a}-3\vec{b}\) 같은 식도 계산할 수 있습니다.
\(k=0\)으로 하면 성분이 모두 0인 영벡터 \(\vec{0}\)이 됩니다. 영벡터는 길이가 0이고 방향이 정해지지 않습니다.
내적(두 벡터로 수를 만드는 계산)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)
\(=\)
\(|\vec{a}|\)
\(\times\)
\(|\vec{b}|\)
\(\times\)
\(\cos\theta\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)
\(=\)
\(a_1b_1+a_2b_2\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
④
\(\vec{a}\)와 \(\vec{b}\)의 내적
\(=\)
①
\(\vec{a}\)의 크기
\(\times\)
②
\(\vec{b}\)의 크기
\(\times\)
③
이루는 각 \(\theta\)의 코사인(\(\cos\theta\))
⑥
\(\vec{a}\)와 \(\vec{b}\)의 내적
\(=\)
⑤
\(x\)성분끼리의 곱과 \(y\)성분끼리의 곱의 합
공식을 말로 읽으면
①
\(\vec{a}\)의 크기(\(|\vec{a}|\))
와
②
\(\vec{b}\)의 크기(\(|\vec{b}|\))
와
③
이루는 각 \(\theta\)의 코사인(\(\cos\theta\))
을 모두 곱한 것이
④
내적(\(\vec{a}\cdot\vec{b}\))
이고, 이것은 성분을 쓰면
⑤
\(x\)성분끼리의 곱과 \(y\)성분끼리의 곱의 합(\(a_1b_1+a_2b_2\))
과 같은 값이므로, 이것으로도
⑥
내적(\(\vec{a}\cdot\vec{b}\))
을 구할 수 있습니다
간단한 예
\(\vec{a}=(4,\ 2)\), \(\vec{b}=(-1,\ 2)\)의 내적은
내적 \(\vec{a}\cdot\vec{b}\)
\(=\)
\(4 \times (-1) + 2 \times 2\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 4 \times (-1) + 2 \times 2 = -4 + 4 = 0\)
이해의 핵심
내적의 답은 벡터가 아니라 그냥 수(스칼라)입니다. 이름은 곱셈 같지만 ‘두 화살표로 수 하나를 만드는 특별한 계산’으로 생각하세요. 기호는 반드시 가운뎃점(점)으로 쓰며, \(\vec{a}\times\vec{b}\)로 쓰면 다른 계산(외적)이 됩니다.
그림으로 보면 ‘\(\vec{b}\)를 \(\vec{a}\)의 방향으로 바로 위에서 떨어뜨린 그림자(정사영)의 길이 \(|\vec{b}|\cos\theta\)에 \(|\vec{a}|\)를 곱한 것’입니다. 그래서 두 방향이 잘 맞을수록 내적이 크고, 직각이면 그림자의 길이가 0이라 내적은 0, 방향이 거의 반대이면 그림자가 반대쪽으로 생겨 내적이 음수가 됩니다.
정의의 식(크기와 이루는 각)은 각도를 알 때, 성분의 식은 좌표를 알 때 씁니다. 공간(3차원)에서는 항 \(a_3b_3\)이 더해져 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)이 됩니다.
두 벡터가 이루는 각
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(\cos\theta\)
\(=\)
\(\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
②
이루는 각 \(\theta\)의 코사인(\(\cos\theta\))
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{내적 }\vec{a}\cdot\vec{b}}{\text{두 크기의 곱 }|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\)
공식을 말로 읽으면
①
분수 \(\dfrac{\text{내적 }\vec{a}\cdot\vec{b}}{\text{두 크기의 곱 }|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\)
를 계산하면
②
이루는 각 \(\theta\)의 코사인(\(\cos\theta\))
이 구해지고, 여기서 각도 \(\theta\)를 알 수 있습니다
간단한 예
\(\vec{a}=(1,\ 1)\), \(\vec{b}=(2,\ 0)\)일 때 두 벡터가 이루는 각은(내적은 \(1 \times 2 + 1 \times 0 = 2\), 크기는 \(|\vec{a}|=\sqrt{2}\), \(|\vec{b}|=2\))
\(\cos\theta\)
\(=\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{2} \times 2}\)
\(\cos\theta = \dfrac{2}{\sqrt{2} \times 2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\theta = 45^{\circ} = \dfrac{\pi}{4}\)
이해의 핵심
내적의 정의 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)를 \(\cos\theta\)에 대해 풀었을 뿐인 식입니다. 먼저 구해지는 것은 각도 자체가 아니라 \(\cos\theta\)의 값이라는 점에 주의하세요.
\(\cos\theta\)에서 각도를 구할 때는 특수각의 값과 비교합니다. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)이면 \(45^{\circ}\), \(\dfrac{1}{2}\)이면 \(60^{\circ}\), \(0\)이면 \(90^{\circ}\)입니다. 그 밖의 값은 역코사인 \(\cos^{-1}\)(arccos)을 쓰며, 이 계산기는 소수로 보여 줍니다. 두 벡터가 이루는 각은 \(0^{\circ} \le \theta \le 180^{\circ}\)의 범위로 답하는 것이 약속입니다.
\(\cos\theta\)의 부호만 보아도 각의 종류를 알 수 있습니다. 양수면 예각, 0이면 직각, 음수면 둔각입니다. 분모에 근호가 남으면 \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)처럼 유리화한 꼴로 씁니다.
수직·평행 조건
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(\vec{a}\perp\vec{b}\)
\(\iff\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)
\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)
\(\iff\)
\(\vec{b}=k\vec{a}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
①
\(\vec{a}\)와 \(\vec{b}\)가 수직
\(\iff\)
②
내적이 0
③
\(\vec{a}\)와 \(\vec{b}\)가 평행
\(\iff\)
④
한쪽이 다른 쪽의 실수배
공식을 말로 읽으면
①
\(\vec{a}\)도 \(\vec{b}\)도 영벡터가 아닐 때,
\(\vec{a}\)와 \(\vec{b}\)가 직각으로 만나는 것
과
②
내적이 0인 것(\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\))
은 같고,
③
\(\vec{a}\)와 \(\vec{b}\)가 평행인 것
과
④
어떤 실수 \(k\)에 대해 \(\vec{b}=k\vec{a}\)인 것
도 같습니다
간단한 예
\(\vec{a}=(4,\ 2)\), \(\vec{b}=(-1,\ 2)\)일 때 내적이 \(4 \times (-1) + 2 \times 2 = 0\)이므로
\(\vec{a}\)와 \(\vec{b}\)는 수직
\(\iff\)
내적이 \(0\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 4 \times (-1) + 2 \times 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{a}\perp\vec{b}\)
\(\vec{c} = (8,\ 4) = 2\vec{a} \quad \Rightarrow \quad \vec{c}\parallel\vec{a}\)
이해의 핵심
수직인지는 이루는 각을 구하지 않아도 내적이 0인지만 보면 됩니다. \(\cos 90^{\circ}=0\)이므로 정의의 식 \(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\) 전체가 0이 되기 때문입니다. 도형의 증명에서 ‘직각임을 보이는’ 단골 도구입니다.
평면에서는 평행 조건 \(\vec{b}=k\vec{a}\)를 성분으로 쓰면 \(a_1b_2-a_2b_1=0\)이 되어, \(k\)를 구하지 않아도 판정할 수 있어 편리합니다(성분의 비 \(a_1:a_2=b_1:b_2\)가 같다는 것과 같은 뜻입니다).
두 조건 모두 ‘\(\vec{a}\)도 \(\vec{b}\)도 영벡터가 아니다’는 것이 전제입니다. 영벡터는 어떤 벡터와도 내적이 0이 되지만 방향이 없으므로 수직이라고 하지 않고, 평행인지도 따지지 않습니다. 그래서 교과서에서는 ‘\(\vec{a} \neq \vec{0},\ \vec{b} \neq \vec{0}\)일 때’라는 조건을 붙여 씁니다.
단위벡터(방향만 꺼내기)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)
\(=\)
\(\left(\dfrac{a_1}{|\vec{a}|},\ \dfrac{a_2}{|\vec{a}|}\right)\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
②
\(\vec{a}\)와 같은 방향이고 크기가 1인 벡터
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{원래 성분 }(a_1,\ a_2)}{\text{그 벡터의 크기 }|\vec{a}|}\)
공식을 말로 읽으면
①
분수 \(\dfrac{\text{원래 성분 }(a_1,\ a_2)}{\text{그 벡터의 크기 }|\vec{a}|}\)
처럼 성분을 각각 크기로 나누면
②
\(\vec{a}\)와 같은 방향이고 크기가 1인 벡터(단위벡터)
를 얻습니다
간단한 예
\(\vec{a}=(4,\ 2)\)와 같은 방향의 단위벡터는(크기는 \(|\vec{a}|=2\sqrt{5}\))
\(\vec{a}=(4,\ 2)\)와 같은 방향의 단위벡터
\(=\)
\(\dfrac{(4,\ 2)}{2\sqrt{5}}\)
\(\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \left(\dfrac{4}{2\sqrt{5}},\ \dfrac{2}{2\sqrt{5}}\right) = \left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5},\ \dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)\)
\(\sqrt{\left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)^{2}} = \sqrt{\dfrac{20}{25}+\dfrac{5}{25}} = \sqrt{\dfrac{25}{25}} = 1\)
이해의 핵심
단위벡터는 ‘길이의 정보를 버리고 방향만 남긴 벡터’입니다. 크기로 나누면 \(\left|\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\right| = \dfrac{|\vec{a}|}{|\vec{a}|} = 1\)이므로 길이는 반드시 1이 되고, 나눈 뒤에 길이를 다시 확인할 필요가 없습니다.
방향만 꺼내 두면 ‘\(\vec{a}\)의 방향으로 5만큼 간 점’을 ‘5 × 단위벡터’로 쓸 수 있습니다. 진행 방향, 시선 방향, 면이 향하는 방향(법선)처럼 길이는 상관없고 방향만 중요한 경우에 쓰는 도구입니다.
성분을 크기로 나누면 분모에 근호가 생기므로 \(\dfrac{4}{2\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)처럼 유리화해서 답합니다. 크기가 1인 벡터는 방향마다 하나씩 있으므로, 반대 방향의 단위벡터 \(-\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)와 구별해 ‘\(\vec{a}\)와 같은 방향의’라고 밝혀 씁니다. 공간(3차원)에서도 \(z\)성분을 같은 크기로 나누는 항이 하나 늘 뿐 순서는 같습니다.
벡터는 ‘방향과 크기를 가진 양’이며, 성분으로 \(\vec{a}=(a_1,\ a_2)\)처럼 나타내면 계산이 훨씬 쉬워집니다. 합·차·실수배는 성분끼리 계산하기만 하면 되고, 크기는 \(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\)(피타고라스 정리), 내적은 성분끼리의 곱의 합 \(a_1b_1+a_2b_2\)입니다. 내적을 두 크기의 곱으로 나누면 \(\cos\theta\)가 구해져 두 벡터가 이루는 각을 알 수 있습니다. 내적이 0이면 수직, 한쪽이 다른 쪽의 실수배이면 평행입니다.
용어·기호 해설
기호
| \(\vec{a}\) | 벡터 에이 | 벡터를 나타내는 기호. 문자 위의 화살표는 ‘방향을 가진 양’임을 나타냅니다. 책에 따라 \(\boldsymbol{a}\)처럼 굵은 글씨로 쓰기도 하며 뜻은 같습니다. 두 점 A, B를 잇는 유향선분은 \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)(A에서 B로 향하는 벡터)로 씁니다. |
| \(a_1,\ a_2,\ a_3\) | 에이 일, 에이 이, 에이 삼 | 벡터 \(\vec{a}\)의 성분. 오른쪽 아래의 작은 수(첨자)가 몇 번째 성분인지를 나타내며, \(a_1\)은 \(x\) 방향, \(a_2\)는 \(y\) 방향, \(a_3\)은 \(z\) 방향으로 가는 양입니다. \(\vec{a}=(a_x,\ a_y)\)처럼 \(x,\ y\)를 첨자로 쓰는 책도 있습니다. |
| \(|\vec{a}|\) | 벡터 에이의 크기 | 벡터 \(\vec{a}\)의 크기(화살표의 길이). 실수의 절댓값과 같은 세로 막대 기호를 쓰며, ‘방향을 떼어 내고 길이만 본다’는 같은 뜻의 기호입니다. 값은 항상 0 이상입니다. |
| \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) | 벡터 에이 내적 벡터 비 | 내적. 가운뎃점(점)으로 쓰는 것이 약속이며, 답은 벡터가 아니라 수입니다. 영어로 dot product(점곱)라고 하는 것은 이 기호의 모양에서 왔고, 스칼라곱이라고도 합니다. |
| \(\theta\) | 세타 | 두 벡터가 이루는 각. 각도에는 그리스 문자를 쓰는 관례가 있고 \(\theta\)가 대표적입니다. 벡터가 이루는 각은 시점을 맞추었을 때 벌어진 각으로, \(0^{\circ}\)부터 \(180^{\circ}\)까지의 범위에서 생각합니다. |
| \(\cos\theta\) | 코사인 세타 | 각 \(\theta\)의 코사인. 직각삼각형에서 ‘빗변에 대한 밑변의 비’에 해당하는 값으로, \(-1\)부터 \(1\)까지의 값을 가집니다. 내적과 이루는 각을 잇는 주인공입니다. |
| \(\cos^{-1}\) | 아크코사인 | 역코사인. \(\cos\theta\)의 값에서 각 \(\theta\)를 구하는 함수로, \(\arccos\)으로도 씁니다. 오른쪽 위의 \(-1\)은 ‘거꾸로 하는 조작’이라는 뜻이며 \(\cos\)의 \(-1\)제곱이 아닙니다. 공학용 계산기에서는 cos 위에 작게 적힌 키(SHIFT 등과 함께 누름)입니다. |
| \(k,\ l\) | 케이, 엘 | 벡터를 몇 배 할지를 나타내는 실수(스칼라). 상수를 나타내는 문자로 \(k\)를 자주 씁니다. 이 계산기에서는 \(k\vec{a}+l\vec{b}\)의 계수로 입력합니다. |
| \(\vec{0}\) | 영벡터 | 성분이 모두 0인 벡터(영벡터). 크기가 0이고 방향이 정해지지 않는 특별한 벡터로, 이루는 각이나 단위벡터를 생각할 수 없습니다. |
| \(\perp\) | 수직 | ‘수직이다’를 나타내는 기호. \(\vec{a}\perp\vec{b}\)는 ‘벡터 a와 벡터 b는 수직’이라고 읽으며, 직각의 모양을 본뜬 기호입니다. |
| \(\parallel\) | 평행 | ‘평행이다’를 나타내는 기호. \(\vec{a}\parallel\vec{b}\)는 ‘벡터 a와 벡터 b는 평행’이라고 읽으며, 평행한 두 직선을 나란히 놓은 모양의 기호입니다. |
| \(\iff\) | 동치(필요충분조건) | 왼쪽과 오른쪽이 같은 뜻(동치)임을 나타내는 기호. ‘왼쪽이 성립할 때, 그리고 그때에만 오른쪽도 성립한다’는 뜻이며 양쪽 방향의 화살표로 씁니다. |
| \(\sqrt{\ }\) | 루트(제곱근) | 제곱근의 기호. \(\sqrt{20}\)은 ‘제곱하면 20이 되는 양수’입니다. 벡터의 크기는 이 기호로 나타내며, \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)처럼 근호 안의 제곱인 인수를 밖으로 꺼낸 꼴(간단히 한 꼴)로 답합니다. |
용어
| 벡터 | ‘방향’과 ‘크기’를 함께 가진 양. 속도·힘·이동처럼 크기만으로는 부족하고 방향도 필요한 것을 나타냅니다. 화살표로 그리며, 평행이동해도(방향과 길이가 같으면) 같은 벡터로 봅니다. |
| 스칼라 | 방향이 없는 그냥 수(길이·무게·온도 등). 벡터와 구별할 때 쓰는 말이며, 내적의 답은 스칼라입니다. |
| 유향선분 | 방향을 정한 선분. 시점과 종점을 정한 화살표 그 자체이며, ‘위치와 상관없이 방향과 길이만 꺼낸 것’이 벡터입니다. |
| 성분 | 벡터를 ‘\(x\) 방향으로 얼마나, \(y\) 방향으로 얼마나’라는 수의 쌍으로 나타낸 것(벡터의 성분). \(\vec{a}=(4,\ 2)\)처럼 가로로 쓰기도 하고 세로로 늘어놓은 열벡터의 꼴로 쓰기도 하며, 둘은 같은 뜻입니다. 성분으로 나타내면 합이나 내적이 단순한 수의 계산이 됩니다. |
| 크기 | 벡터의 화살표의 길이. 노름이라고도 하며, 성분으로 \(\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\)을 계산해 구합니다. |
| 단위벡터 | 크기가 1인 벡터. \(\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)를 계산하면 \(\vec{a}\)와 같은 방향이고 길이만 1로 맞춘 벡터를 얻습니다. ‘방향만 나타내고 싶을 때’ 씁니다. |
| 영벡터 | 성분이 모두 0인 벡터 \(\vec{0}\). 크기가 0이고 방향이 정해지지 않습니다. \(\vec{a}-\vec{a}=\vec{0}\)처럼 같은 벡터의 차로 나타납니다. |
| 역벡터 | 크기가 같고 방향이 정반대인 벡터 \(-\vec{a}\). 실수배에서 \(k=-1\)로 한 것에 해당하며, 차의 계산 \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\)에서 씁니다. |
| 실수배 | 벡터를 \(k\)배 하는 것(스칼라배라고도 합니다). 방향은 그대로이고 길이가 \(k\)배가 되며, \(k\)가 음수이면 방향이 반대가 됩니다. |
| 평행사변형법 | 두 벡터의 합이 두 벡터를 두 변으로 하는 평행사변형의 대각선이 된다는 성질(평행사변형의 법칙). 힘의 합성을 그림으로 구할 때 그대로 쓰입니다. |
| 내적 | 두 벡터로 수 하나를 만드는 계산. \(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)로 정의되며, 성분으로는 \(a_1b_1+a_2b_2\)로 계산합니다. ‘두 방향이 얼마나 잘 맞는지’를 수로 나타낸 것입니다. |
| 이루는 각 | 두 벡터의 시점을 맞추었을 때 생기는 각 \(\theta\). \(0^{\circ}\)부터 \(180^{\circ}\)까지의 범위에서 생각합니다. |
| 정사영 | 어떤 벡터를 다른 벡터의 방향으로 바로 위에서 빛을 비추어 떨어뜨린 그림자. \(\vec{b}\)의 \(\vec{a}\) 방향으로의 정사영의 길이는 \(|\vec{b}|\cos\theta\)이고, 내적은 이 그림자의 길이와 \(|\vec{a}|\)의 곱으로 해석할 수 있습니다. |
| 수직 | 두 벡터가 직각으로 만나는 것(직교라고도 합니다). 영벡터가 아닌 두 벡터에서는 내적이 0인 것과 같은 뜻입니다. |
| 평행 | 두 벡터의 방향이 같거나 정반대인 것. 한쪽이 다른 쪽의 실수배로 쓰인다는 것과 같은 뜻이며, 평면에서는 \(a_1b_2-a_2b_1=0\)으로 성분만 보고 판정할 수 있습니다. |
| 위치벡터 | 원점을 시점으로 해서 점의 위치를 나타내는 벡터. 점 A의 위치벡터는 \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)이고, 점의 좌표가 그대로 성분이 됩니다. 도형의 성질을 벡터로 조사할 때의 출발점입니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘의미를 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
막히면 이 표의 내용으로 돌아가 복습하는 것이 지름길입니다.
| 좌표평면과 좌표공간(중학교 1학년~고등학교 기하, 12~18세) |
|
| 정수와 유리수의 계산(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 제곱근(중학교 3학년, 14~15세) |
|
| 피타고라스 정리(중학교 2학년, 13~14세) |
|
| 삼각비 cos(중학교 3학년)·삼각함수(고등학교 대수), 14~17세 |
|
| 문자와 식, 분수의 계산(중학교 1~3학년, 12~15세) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘벡터의 크기’를 구하는 표
| x성분 a1 | 4 |
| y성분 a2 | 2 |
| z성분 a3(평면이면 0) | 4 |
| 크기 |a| | =SQRT(B1^2+B2^2+B3^2) |
‘벡터의 합·차’를 구하는 표
| a의 x성분 a1 | 4 |
| a의 y성분 a2 | 2 |
| a의 z성분 a3 | 4 |
| b의 x성분 b1 | -1 |
| b의 y성분 b2 | 2 |
| b의 z성분 b3 | 2 |
| 합의 x성분 | =B1+B4 |
| 합의 y성분 | =B2+B5 |
| 합의 z성분 | =B3+B6 |
| 차의 x성분 | =B1-B4 |
| 차의 y성분 | =B2-B5 |
| 차의 z성분 | =B3-B6 |
‘벡터의 실수배’를 구하는 표
| 실수 k | 2 |
| x성분 a1 | 4 |
| y성분 a2 | 2 |
| z성분 a3 | 4 |
| k배의 x성분 | =B1*B2 |
| k배의 y성분 | =B1*B3 |
| k배의 z성분 | =B1*B4 |
‘내적’을 구하는 표
| a의 x성분 a1 | 4 |
| a의 y성분 a2 | 2 |
| a의 z성분 a3 | 4 |
| b의 x성분 b1 | -1 |
| b의 y성분 b2 | 2 |
| b의 z성분 b3 | 2 |
| 내적 a·b | =B1*B4+B2*B5+B3*B6 |
‘이루는 각’을 구하는 표
| 내적 a·b | 8 |
| 크기 |a| | 6 |
| 크기 |b| | 3 |
| cosθ | =B1/(B2*B3) |
| 이루는 각 θ(도) | =DEGREES(ACOS(B4)) |
| 이루는 각 θ(라디안) | =ACOS(B4) |
‘수직·평행 조건’을 확인하는 표(평면)
| a의 x성분 a1 | 4 |
| a의 y성분 a2 | 2 |
| b의 x성분 b1 | -1 |
| b의 y성분 b2 | 2 |
| 내적 a·b | =B1*B3+B2*B4 |
| 수직인가 | =IF(B5=0,"수직","수직이 아님") |
| a1b2 − a2b1 | =B1*B4-B2*B3 |
| 평행인가 | =IF(B7=0,"평행","평행이 아님") |
‘단위벡터’를 구하는 표
| x성분 a1 | 4 |
| y성분 a2 | 2 |
| z성분 a3(평면이면 0) | 4 |
| 크기 |a| | =SQRT(B1^2+B2^2+B3^2) |
| 단위벡터의 x성분 | =B1/B4 |
| 단위벡터의 y성분 | =B2/B4 |
| 단위벡터의 z성분 | =B3/B4 |
| 검산: 단위벡터의 크기 | =SQRT(B5^2+B6^2+B7^2) |
붙여 넣으면 위쪽 행(성분이나 계수)이 입력 칸이 되고, 아래쪽 행에 자동 계산 결과가 나옵니다.
‘^’는 거듭제곱, SQRT는 제곱근, ACOS는 역코사인(코사인의 값에서 각을 구하는 함수), DEGREES는 라디안을 도로 바꾸는 함수입니다.
1~4번째 표는 공간 벡터 a = (4, 2, 4), b = (−1, 2, 2)의 예입니다. 크기 |a|는 6, 합은 (3, 4, 6), 차는 (5, 0, 2), 2a는 (8, 4, 8), 내적은 8입니다. 평면 벡터일 때는 z성분의 칸을 0으로 하세요.
5번째 표는 그 내적 8과 크기 6, 3으로 각을 구합니다. cosθ는 0.4444…이고 각은 약 63.61도(약 1.1102라디안)입니다.
6번째 표는 평면 벡터 a = (4, 2), b = (−1, 2)의 예입니다. 내적이 0이므로 ‘수직’, a1b2 − a2b1이 0이 아닌 10이므로 ‘평행이 아님’이 표시됩니다.
7번째 표는 1번째 표와 같은 a = (4, 2, 4)의 단위벡터를 구합니다. 각 성분을 크기 6으로 나누어 (0.6667, 0.3333, 0.6667)이 되고, 맨 아래 행에서 그 크기가 정확히 1임을 확인할 수 있습니다.
‘^’는 거듭제곱, SQRT는 제곱근, ACOS는 역코사인(코사인의 값에서 각을 구하는 함수), DEGREES는 라디안을 도로 바꾸는 함수입니다.
1~4번째 표는 공간 벡터 a = (4, 2, 4), b = (−1, 2, 2)의 예입니다. 크기 |a|는 6, 합은 (3, 4, 6), 차는 (5, 0, 2), 2a는 (8, 4, 8), 내적은 8입니다. 평면 벡터일 때는 z성분의 칸을 0으로 하세요.
5번째 표는 그 내적 8과 크기 6, 3으로 각을 구합니다. cosθ는 0.4444…이고 각은 약 63.61도(약 1.1102라디안)입니다.
6번째 표는 평면 벡터 a = (4, 2), b = (−1, 2)의 예입니다. 내적이 0이므로 ‘수직’, a1b2 − a2b1이 0이 아닌 10이므로 ‘평행이 아님’이 표시됩니다.
7번째 표는 1번째 표와 같은 a = (4, 2, 4)의 단위벡터를 구합니다. 각 성분을 크기 6으로 나누어 (0.6667, 0.3333, 0.6667)이 되고, 맨 아래 행에서 그 크기가 정확히 1임을 확인할 수 있습니다.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘벡터의 크기’를 구하는 표
| x성분 a1 | 4 |
| y성분 a2 | 2 |
| z성분 a3(평면이면 0) | 4 |
| 크기 |a| | =SQRT(B1^2+B2^2+B3^2) |
‘벡터의 합·차’를 구하는 표
| a의 x성분 a1 | 4 |
| a의 y성분 a2 | 2 |
| a의 z성분 a3 | 4 |
| b의 x성분 b1 | -1 |
| b의 y성분 b2 | 2 |
| b의 z성분 b3 | 2 |
| 합의 x성분 | =B1+B4 |
| 합의 y성분 | =B2+B5 |
| 합의 z성분 | =B3+B6 |
| 차의 x성분 | =B1-B4 |
| 차의 y성분 | =B2-B5 |
| 차의 z성분 | =B3-B6 |
‘벡터의 실수배’를 구하는 표
| 실수 k | 2 |
| x성분 a1 | 4 |
| y성분 a2 | 2 |
| z성분 a3 | 4 |
| k배의 x성분 | =B1*B2 |
| k배의 y성분 | =B1*B3 |
| k배의 z성분 | =B1*B4 |
‘내적’을 구하는 표
| a의 x성분 a1 | 4 |
| a의 y성분 a2 | 2 |
| a의 z성분 a3 | 4 |
| b의 x성분 b1 | -1 |
| b의 y성분 b2 | 2 |
| b의 z성분 b3 | 2 |
| 내적 a·b | =B1*B4+B2*B5+B3*B6 |
‘이루는 각’을 구하는 표
| 내적 a·b | 8 |
| 크기 |a| | 6 |
| 크기 |b| | 3 |
| cosθ | =B1/(B2*B3) |
| 이루는 각 θ(도) | =DEGREES(ACOS(B4)) |
| 이루는 각 θ(라디안) | =ACOS(B4) |
‘수직·평행 조건’을 확인하는 표(평면)
| a의 x성분 a1 | 4 |
| a의 y성분 a2 | 2 |
| b의 x성분 b1 | -1 |
| b의 y성분 b2 | 2 |
| 내적 a·b | =B1*B3+B2*B4 |
| 수직인가 | =IF(B5=0,"수직","수직이 아님") |
| a1b2 − a2b1 | =B1*B4-B2*B3 |
| 평행인가 | =IF(B7=0,"평행","평행이 아님") |
‘단위벡터’를 구하는 표
| x성분 a1 | 4 |
| y성분 a2 | 2 |
| z성분 a3(평면이면 0) | 4 |
| 크기 |a| | =SQRT(B1^2+B2^2+B3^2) |
| 단위벡터의 x성분 | =B1/B4 |
| 단위벡터의 y성분 | =B2/B4 |
| 단위벡터의 z성분 | =B3/B4 |
| 검산: 단위벡터의 크기 | =SQRT(B5^2+B6^2+B7^2) |
Excel과 같은 수식을 그대로 쓸 수 있습니다(SQRT, ACOS, DEGREES, IF는 둘 다 같은 함수 이름입니다). 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고 성분을 원하는 값으로 바꾸세요.
또 Google 스프레드시트에는 SUMPRODUCT라는 함수가 있어서 ‘=SUMPRODUCT(B1:B3,B4:B6)’처럼 두 성분의 범위를 넣으면 수식 하나로 내적을 구할 수 있습니다.
또 Google 스프레드시트에는 SUMPRODUCT라는 함수가 있어서 ‘=SUMPRODUCT(B1:B3,B4:B6)’처럼 두 성분의 범위를 넣으면 수식 하나로 내적을 구할 수 있습니다.
Python으로 계산하는 방법
import math
from fractions import Fraction
# 벡터의 성분 (3/4 같은 분수는 Fraction(3, 4)로 쓸 수 있음. 평면이면 2개로)
a = [Fraction(4), Fraction(2), Fraction(4)]
b = [Fraction(-1), Fraction(2), Fraction(2)]
k, l = Fraction(2), Fraction(3)
# 합, 차, 실수배의 합 (성분끼리 계산)
vector_sum = [x + y for x, y in zip(a, b)]
vector_diff = [x - y for x, y in zip(a, b)]
combination = [k * x + l * y for x, y in zip(a, b)]
# 내적, 크기, 이루는 각
dot = sum(x * y for x, y in zip(a, b))
size_a = math.sqrt(sum(x * x for x in a))
size_b = math.sqrt(sum(x * x for x in b))
cos_theta = dot / (size_a * size_b)
theta_degrees = math.degrees(math.acos(cos_theta))
print(f"합: {vector_sum}")
print(f"차: {vector_diff}")
print(f"ka + lb: {combination}")
print(f"내적: {dot}")
print(f"크기 |a|: {size_a}, |b|: {size_b}")
print(f"cos(theta): {float(cos_theta)}, 이루는 각: {theta_degrees}도")
# 단위벡터와 수직 판정
unit_a = [float(x) / size_a for x in a]
print(f"a와 같은 방향의 단위벡터: {unit_a}")
print("수직" if dot == 0 else "수직이 아님")
표준 라이브러리만으로 쓸 수 있습니다. 성분을 Fraction(분수)으로 두면 합, 차, 내적은 반올림 오차 없는 정확한 값이 됩니다. 크기와 각은 제곱근이 들어가므로 math 모듈로 소수로 계산합니다. 이 예는 a = (4, 2, 4), b = (−1, 2, 2)이며, 내적 8, 크기 6과 3, 이루는 각 약 63.61도가 표시됩니다. 성분을 바꿔서 실행해 보세요.
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
벡터의 크기(성분으로 구하기)
|a| = √(a₁² + a₂²)
\left|\vec{a}\right| = \sqrt{a_1^{2} + a_2^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
abs(vec a) = sqrt(a_1^2 + a_2^2)
Norm[{a1, a2}]
LinearAlgebra:-Norm(Vector([a1, a2]), 2);
norm([a1 a2])
|a| = √(a_1^2 + a_2^2)
벡터의 합·차(성분끼리 더하고 빼기)
a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)
\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1,\ a_2 + b_2)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>+</mo>
<mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>,</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
vec a + vec b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
{a1, a2} + {b1, b2}
Vector([a1, a2]) + Vector([b1, b2]);
[a1 a2] + [b1 b2]
a + b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
벡터의 실수배
ka = (ka₁, ka₂)
k\vec{a} = (k a_1,\ k a_2)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>k</mi><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo>
<mi>k</mi><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>,</mo>
<mi>k</mi><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
k vec a = (k a_1, k a_2)
k {a1, a2}
k * Vector([a1, a2]);
k * [a1 a2]
ka = (k a_1, k a_2)
내적(두 벡터로 수를 만드는 계산)
a ⋅ b = |a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂
\vec{a}\cdot\vec{b} = \left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos\theta = a_1 b_1 + a_2 b_2
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>⋅</mo>
<mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
</mrow>
</math>
vec a * vec b = abs(vec a) abs(vec b) cos theta = a_1 b_1 + a_2 b_2
Dot[{a1, a2}, {b1, b2}]
DotProduct(Vector([a1, a2]), Vector([b1, b2]));
dot([a1 a2], [b1 b2])
a ⋅ b = |a||b| cos θ = a_1 b_1 + a_2 b_2
두 벡터가 이루는 각
cos θ = (a ⋅ b) / (|a||b|)
\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>cos</mi><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>⋅</mo>
<mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover>
</mrow>
<mrow>
<mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>|</mo>
<mo>|</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>|</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
cos theta = (vec a * vec b) / (abs(vec a) abs(vec b))
ArcCos[Dot[a, b]/(Norm[a] Norm[b])]
VectorAngle(Vector([a1, a2]), Vector([b1, b2]));
acos(dot(a, b) / (norm(a) * norm(b)))
cos θ = (a ⋅ b)/(|a||b|)
수직·평행 조건
a⊥b ⟺ a ⋅ b = 0, a∥b ⟺ b = ka
\vec{a}\perp\vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0,\qquad \vec{a}\parallel\vec{b} \iff \vec{b}=k\vec{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>⊥</mo>
<mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>⟺</mo>
<mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>⋅</mo>
<mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
</math>
vec a _|_ vec b <=> vec a * vec b = 0
Dot[a, b] == 0
evalb(DotProduct(a, b) = 0);
dot(a, b) == 0
a ⊥ b ⟺ a ⋅ b = 0
단위벡터(방향만 꺼내기)
a / |a| = (a₁/|a|, a₂/|a|)
\frac{\vec{a}}{\left|\vec{a}\right|} = \left(\frac{a_1}{\left|\vec{a}\right|},\ \frac{a_2}{\left|\vec{a}\right|}\right)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac>
<mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
</mfrac>
<mo>,</mo>
<mfrac>
<msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub>
<mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
vec a / abs(vec a) = (a_1/abs(vec a), a_2/abs(vec a))
Normalize[{a1, a2}]
LinearAlgebra:-Normalize(Vector([a1, a2]), 2);
[a1 a2] / norm([a1 a2])
a/|a| = (a_1/|a|, a_2/|a|)
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 수학(벡터) 계산 도우미입니다. 다음 계산을 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답해 주세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 공간벡터 a = (4, 2, 4), b = (−1, 2, 2)에 대해 다음을 각각 구해 주세요. 1. 합 a + b, 차 a − b, 2a + 3b의 성분 2. 크기 |a|와 |b|(근호를 간단히 한 정확한 값과 소수 둘 다) 3. 내적 a·b 4. 두 벡터가 이루는 각 θ(도와 라디안 둘 다. 특수각이면 정확한 값도) 5. a와 같은 방향의 단위벡터 6. a와 b가 수직인지 평행인지와 그 이유 Python에서는 fractions 모듈과 math 모듈(필요하면 sympy)을 쓰고, 사용한 식과 실행 결과의 수치를 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
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