사용법은 두 가지입니다. [두 점으로 구하기] 점 1과 점 2의 좌표를 입력하면 기울기, 거리, 각도, 직선의 방정식을 계산합니다. [한 점과 거리로 구하기] 점 2의 칸을 비워 두고 거리 d와 기울기 m(또는 각도 θ)을 입력하면 점 1에서 나아간 곳의 점의 좌표를 계산합니다.
좌표, 거리, 기울기는 숫자(소수·음수도 가능)로 입력해 주세요. 점 2(X2, Y2)를 입력했을 때는 거리 d, 기울기 m, 각도 θ 칸은 쓰지 않습니다. 기울기 m과 각도 θ를 모두 넣으면 기울기 m을 우선합니다.
계산 결과·그래프
왼쪽 입력란에 두 점의 좌표를 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과가 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- 두 점의 좌표만 넣으면 직선의 기울기 \(m\)(일차함수의 변화율)을 바로 알 수 있습니다
- 기울기와 함께 두 점 사이의 거리, 경사각 \(\theta\), 직선의 방정식 \(y = mx + b\), y절편, x절편도 한꺼번에 계산합니다
- 거꾸로 ‘한 점, 나아갈 거리, 기울기(또는 각도)’로 나아간 곳의 점의 좌표를 구할 수도 있습니다
- 공식의 쉬운 해설과 Excel·Google 스프레드시트·Python에 복사해 쓸 수 있는 수식도 이 페이지에 모여 있습니다
기울기는 두 점의 x좌표가 다를 때만 계산할 수 있습니다. x좌표가 같은 두 점을 지나는 직선(y축에 평행한 직선)은 기울기를 정의할 수 없으므로 ‘정의되지 않음’으로 표시됩니다. 각도 θ는 x축의 양의 방향에서 시계 반대 방향으로 잰 0° 이상 360° 미만의 각도로 표시합니다.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
휠체어 경사로가 기준을 충족하는지 확인하기(건축·복지)
한국 기준으로 휠체어 경사로의 기울기는 ‘장애인·노인·임산부 등의 편의증진 보장에 관한 법률 시행규칙’에서 1/12 이하(가로로 12 가서 1 올라감, 기울기 약 0.083)로 정하고 있습니다. ‘높이 차가 60 cm인 현관에 수평 거리 7.2 m의 경사로를 만들 수 있을까?’ 같은 검토는 그야말로 기울기 계산 그 자체입니다(0.6 ÷ 7.2 = 1/12로 아슬아슬하게 기준 안. 각도로는 약 4.8°).
주택 리모델링이나 시설 설계에서 안전하게 쓸 수 있는 비탈인지 숫자로 확인할 수 있습니다.
도로 표지판의 ‘경사 10%’ 읽기(운전·자전거)
도로의 경사도를 알리는 오르막·내리막 경사 표지판의 ‘10%’는 ‘수평으로 100 m 가면 10 m 올라간다’, 즉 기울기 0.1이라는 뜻이며, 각도로는 \(\arctan 0.1 \fallingdotseq 5.7°\)입니다. ‘10% = 10°’가 아니라는 사실은 의외로 잘 알려져 있지 않습니다.
이렇게 읽을 줄 알면 자동차의 기어 선택이나 자전거·러닝 코스를 고를 때 비탈의 가파른 정도를 미리 숫자로 가늠할 수 있습니다.
지붕 물매로 각도 구하기(건축·DIY)
건축에서는 지붕의 기울기를 ‘물매 4/10’(‘4치 물매’라고도 함. 수평으로 10 가면 4 올라감, 기울기 0.4)처럼 나타냅니다. 각도로는 \(\arctan 0.4 \fallingdotseq 21.8°\)입니다.
지붕재마다 쓸 수 있는 물매의 범위가 정해져 있어서, 목수나 설계자는 이 환산을 일상적으로 씁니다. DIY로 창고 지붕을 만들 때도 도움이 됩니다.
등산로의 가파른 정도와 실제로 걷는 거리 가늠하기(등산·지도)
지도상의 수평 거리 1000 m에서 표고 차 300 m를 오르는 코스라면 평균 기울기는 300 ÷ 1000 = 0.3(경사각 약 16.7°)이고, 실제로 걷는 비탈의 거리는 피타고라스 정리로 \(\sqrt{1000^2 + 300^2} \fallingdotseq 1044\) m로 가늠할 수 있습니다.
‘실제 거리는 지도의 거리보다 길고, 기울기가 체력 소모를 좌우한다’는 것을 숫자로 파악하면 등산 계획이 더 안전해집니다.
데이터의 변화 속도를 기울기로 읽기(업무·그래프 읽기)
‘4월 매출 400만 원이 7월에 580만 원이 되었다’면 기울기는 (580 − 400) ÷ (7 − 4) = 월 60만 원으로, ‘매달 평균 60만 원씩 늘고 있다’고 읽을 수 있습니다.
꺾은선그래프의 기울기는 ‘변화의 속도’ 그 자체입니다. 매출, 몸무게, 기온 등 두 시점의 값으로 변화의 빠르기를 구하는 계산은 이 페이지의 기울기 공식과 같습니다.
공식과 그래프
직선의 기울기 \(m\)(변화율)
그래프
수학 표기
(일반적인 수식)
\(m\)
\(=\)
\(y_2 - y_1\)
\(\div\)
\(x_2 - x_1\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
직선의 기울기(\(m\))
\(=\)
①
y의 증가량(\(\Delta y = y_2 - y_1\))
\(\div\)
②
x의 증가량(\(\Delta x = x_2 - x_1\))
공식을 말로 읽으면
①
y의 증가량 \(\Delta y\)(세로로 얼마나 변했는지)
를
②
x의 증가량 \(\Delta x\)(가로로 얼마나 나아갔는지)
로 나누면
③
직선의 기울기(\(m\))
가 됩니다
간단한 예
점 (3, 4)와 점 (6, 8)을 지나는 직선의 기울기는
기울기(\(m\))
\(=\)
y의 증가량(8 − 4 = 4)
\(\div\)
x의 증가량(6 − 3 = 3)
\(m = \frac{8 - 4}{6 - 3} = \frac{4}{3} \fallingdotseq 1.333\)
이해의 핵심
기울기는 ‘가로로 1 갈 때마다 세로로 얼마나 변하는가’를 나타내는 수로, 중학교 2학년 일차함수에서 배우는 ‘x의 값의 증가량에 대한 y의 값의 증가량의 비율’과 같습니다. 기울기가 양수이면 오른쪽 위로 올라가는 직선, 음수이면 오른쪽 아래로 내려가는 직선, 0이면 가로로 평평한 직선입니다.
분자와 분모는 같은 순서로 빼세요(점 2에서 점 1을 뺐다면 양쪽 모두 그렇게). 순서가 섞이면 부호가 반대로 나옵니다. x의 증가량이 0(y축에 평행한 직선)이면 0으로 나누게 되므로 기울기를 정의할 수 없습니다.
두 점 사이의 거리 \(d\)
그래프
수학 표기
(일반적인 수식)
\(d\)
\(=\)
\(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
②
두 점 사이의 거리(\(d\))
\(=\)
①
증가량의 제곱의 합(\(\Delta x^2 + \Delta y^2\))의 제곱근
공식을 말로 읽으면
①
증가량의 제곱의 합(\(\Delta x^2 + \Delta y^2\))의 제곱근
을 계산하면(가로와 세로의 증가량을 각각 제곱해서 더하고, 그 제곱근을 구하면)
②
두 점 사이의 거리(\(d\))
가 됩니다
간단한 예
점 (1, 1)과 점 (4, 5) 사이의 거리는(Δx = 3, Δy = 4)
거리(\(d\))
\(=\)
제곱의 합(3² + 4² = 25)의 제곱근
\(d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
이해의 핵심
이것은 피타고라스 정리 그 자체입니다. 가로의 증가량 \(\Delta x\)와 세로의 증가량 \(\Delta y\)를 두 변으로 하는 직각삼각형을 떠올리면, 두 점을 잇는 선분이 그 빗변이 됩니다. 증가량이 음수여도 제곱하면 양수가 되므로, 점이 어디에 있든 이 공식을 그대로 쓸 수 있습니다.
경사각 \(\theta\)(직선의 각도)
그래프
수학 표기
(일반적인 수식)
\(\theta\)
\(=\)
\(\arctan m\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
②
경사각(\(\theta\))
\(=\)
①
기울기(\(m\))의 아크탄젠트(tan에서 각도를 거꾸로 구함)
공식을 말로 읽으면
①
기울기(\(m\))의 아크탄젠트
를 계산하면(‘tan의 값이 m이 되는 각도’를 거꾸로 구하면)
②
경사각(\(\theta\))
이 됩니다
간단한 예
기울기가 1인 직선(오른쪽으로 1 가면 1 올라감)이 x축과 이루는 각도는
경사각(\(\theta\))
\(=\)
기울기(1)의 아크탄젠트
\(\theta = \arctan 1 = 45^{\circ}\)
이해의 핵심
기울기와 각도는 \(m = \tan\theta\)의 관계로 이어져 있습니다. 아크탄젠트(\(\arctan\). 공학용 계산기에서는 tan⁻¹로 표시)는 그 반대로 기울기에서 각도를 구하는 계산입니다. \(\arctan\)는 −90°부터 90°까지의 각도를 돌려주므로, 기울기가 음수(오른쪽 아래로 내려가는 직선)이면 결과는 음의 각도가 됩니다. 이 계산기에서는 음의 각도에 360°를 더해 0° 이상 360° 미만으로 표시합니다(예: −63.4° → 296.6°). y축에 평행한 직선의 각도는 90°입니다.
두 점으로 구할 때는 ‘점 1에서 점 2를 향하는 방향’으로 각도를 재므로, 같은 두 점을 반대 순서로 넣으면 각도가 반대 방향(180° 차이)이 됩니다.
직선의 방정식 \(y = mx + b\)
그래프
수학 표기
(일반적인 수식)
\(y\)
\(=\)
\(m\)
\(\times\)
\(x\)
\(+\)
\(b\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
④
직선 위의 점의 y좌표(\(y\))
\(=\)
②
기울기(\(m\))
\(\times\)
①
x좌표(\(x\))
\(+\)
③
y절편(\(b\))
공식을 말로 읽으면
①
x좌표(\(x\))
에
②
기울기(\(m\))
를 곱하고
③
y절편(\(b\))
을 더하면
④
직선 위의 점의 y좌표(\(y\))
가 됩니다
간단한 예
기울기가 −2이고 점 (1, 5)를 지나는 직선의 방정식은(y절편은 b = 5 − (−2) × 1 = 7)
y좌표(\(y\))
\(=\)
기울기(−2)
\(\times\)
x좌표(\(x\))
\(+\)
y절편(7)
\(b = y_1 - m x_1 = 5 - (-2) \times 1 = 7\)
\(y = -2x + 7\)
이해의 핵심
기울기 \(m\)과 지나는 한 점 \((x_1, y_1)\)이 정해지면 직선은 하나로 정해집니다. y절편 \(b\)는 ‘그 점에서 성립하는 식’ \(y_1 = m x_1 + b\)를 \(b\)에 대해 풀어서 \(b = y_1 - m x_1\)로 구합니다.
y절편은 그래프가 y축과 만나는 높이(\(x = 0\)일 때의 \(y\)), x절편은 그래프가 x축과 만나는 위치(\(y = 0\)일 때의 \(x\))입니다. x절편은 \(-b \div m\)입니다(가로로 평평한 직선 \(m = 0\)은 x축 자신이 아니면 x절편이 없습니다). 교과서에서는 같은 식을 \(y = ax + b\)로 쓰는 경우가 많습니다.
한 점에서 거리 \(d\)만큼 나아간 점(기울기 \(m\)으로 지정)
그래프
수학 표기
(일반적인 수식)
\(\Delta x\)
\(=\)
\(d\)
\(\div\)
\(\sqrt{1 + m^2}\)
\(\Delta y\)
\(=\)
\(m\)
\(\times\)
\(\Delta x\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
x의 증가량(\(\Delta x\))
\(=\)
①
나아갈 거리(\(d\))
\(\div\)
②
\(1 + m^2\)의 제곱근
⑥
y의 증가량(\(\Delta y\))
\(=\)
④
기울기(\(m\))
\(\times\)
⑤
x의 증가량(\(\Delta x\))
공식을 말로 읽으면
①
나아갈 거리(\(d\))
를
②
\(1 + m^2\)의 제곱근
으로 나누면
③
x의 증가량(\(\Delta x\))
이 됩니다. 다음으로
④
기울기(\(m\))
를
⑤
x의 증가량(\(\Delta x\))
에 곱하면
⑥
y의 증가량(\(\Delta y\))
이 되고, 나아간 곳의 점은 \((x_1 + \Delta x,\ y_1 + \Delta y)\)로 구할 수 있습니다
간단한 예
점 (1, 1)에서 기울기가 0.75인 직선을 따라 오른쪽으로 거리 5만큼 나아간 점은
x의 증가량(\(\Delta x\))
\(=\)
나아갈 거리(5)
\(\div\)
\(\sqrt{1 + 0.75^2}\) (= 1.25)
\(\Delta x = 5 \div \sqrt{1 + 0.75^2} = 5 \div 1.25 = 4\)
\(\Delta y = 0.75 \times 4 = 3\)
\((x_2,\ y_2) = (1 + 4,\ 1 + 3) = (5,\ 4)\)
이해의 핵심
왜 \(\sqrt{1 + m^2}\)으로 나눌까요? 기울기가 \(m\)인 직선에서는 가로로 1 가면 세로로 \(m\) 올라가므로, 피타고라스 정리에 따라 실제로 나아가는 길이는 \(\sqrt{1 + m^2}\)입니다. 즉 ‘가로로 1 갈 때마다 직선을 따라 \(\sqrt{1 + m^2}\)만큼 나아간다’는 뜻이므로, 거리 \(d\)를 \(\sqrt{1 + m^2}\)으로 나누면 가로의 증가량이 나옵니다.
나아가는 방향은 ‘오른쪽으로’(\(\Delta x\)가 양수)와 ‘왼쪽으로’(음수)의 두 가지가 있으므로, 이 계산기는 두 해를 모두 표시합니다. 기울기 대신 각도 \(\theta\)로 지정하면 각도가 방향까지 정하므로 해는 하나이며, \(\Delta x = d\cos\theta\), \(\Delta y = d\sin\theta\)입니다.
직선의 기울기는 ‘y의 증가량 ÷ x의 증가량’, 두 점 사이의 거리는 피타고라스 정리, 각도는 아크탄젠트로 구합니다. 이 세 가지 도구가 있으면 두 점의 좌표만으로 직선에 관한 모든 것을 알 수 있습니다. 거꾸로 한 점과 거리, 기울기로 나아간 곳의 점을 구할 수도 있습니다.
용어·기호 해설
기호
| \(m\) | 엠 | 직선의 기울기입니다. ‘가로로 1 갈 때마다 세로로 얼마나 변하는가’를 나타냅니다. 양수이면 오른쪽 위로 올라가고, 음수이면 오른쪽 아래로 내려갑니다. 교과서의 \(y = ax + b\)에서는 \(a\)가 기울기입니다. |
| \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) | 엑스 일, 와이 일 | 두 점의 좌표입니다. \(x\)가 가로 방향, \(y\)가 세로 방향의 위치이고, 오른쪽 아래의 작은 숫자(첨자)는 ‘첫째 점·둘째 점’을 구별합니다. |
| \(\Delta x\), \(\Delta y\) | 델타 엑스, 델타 와이 | 증가량(변한 양)입니다. \(\Delta\)(델타)는 ‘변화’를 나타내는 그리스 문자로, \(\Delta x = x_2 - x_1\), \(\Delta y = y_2 - y_1\)입니다. |
| \(d\) | 디 | 두 점 사이의 거리입니다. 거리를 뜻하는 영어 distance의 첫 글자입니다. |
| \(\theta\) | 세타 | 각도의 이름으로 자주 쓰는 그리스 문자입니다. 이 페이지에서는 직선이 x축과 이루는 각도(경사각)를 나타냅니다. |
| \(b\) | 비 | y절편입니다. 직선이 y축과 만나는 높이(\(x = 0\)일 때의 \(y\)의 값)입니다. |
| \(\tan\) | 탄젠트 | 삼각비의 하나로, 각도에 대한 ‘세로 ÷ 가로’의 비입니다. 직선의 기울기는 \(m = \tan\theta\)의 관계로 각도와 이어져 있습니다. |
| \(\arctan\) | 아크탄젠트 | 탄젠트의 반대 방향 계산으로, ‘tan의 값이 그 수가 되는 각도’를 구합니다. 공학용 계산기에서는 tan⁻¹로 표시됩니다. |
용어
| 기울기 | 직선이 기울어진 정도를 나타내는 수입니다. ‘x가 1 늘 때 y가 얼마나 느는가’로, 클수록 가파른 직선이 됩니다. 도로나 지붕의 ‘경사’도 같은 생각입니다. |
| 변화율 | (y의 증가량) ÷ (x의 증가량)을 말합니다. 중학교 2학년 일차함수에서 ‘x의 값의 증가량에 대한 y의 값의 증가량의 비율’로 배우며, 일차함수에서는 직선의 기울기와 완전히 같은 값입니다. 고등학교에서는 평균변화율이라고 부릅니다. |
| 일차함수 | \(y = mx + b\)의 꼴로 나타내는 함수입니다. 그래프는 곧은 직선이 되고, \(m\)이 기울기, \(b\)가 y절편입니다(교과서에서는 \(y = ax + b\)로 쓰는 경우가 많습니다). |
| 절편 | 그래프가 축과 만나는 위치입니다. y축과 만나는 높이가 y절편(\(x = 0\)일 때의 \(y\)), x축과 만나는 위치가 x절편(\(y = 0\)일 때의 \(x\))입니다. |
| 경사각 | 직선이 x축의 양의 방향(수평 방향)과 이루는 각도입니다. 기울기와는 \(m = \tan\theta\)의 관계에 있습니다. |
| 경사도 | 비탈길이나 지붕 등이 기울어진 정도를 실생활에서 부르는 말입니다. 도로 표지판의 ‘10%’는 ‘수평으로 100 m 가면 10 m 올라간다’, 즉 기울기 0.1이라는 뜻입니다. 지붕은 ‘물매 4/10’처럼 수평 10에 대한 높이로 나타내기도 합니다. |
| 좌표 | 점의 위치를 (가로 위치, 세로 위치)의 수의 쌍으로 나타낸 것입니다. 점 (3, 4)는 ‘원점에서 오른쪽으로 3, 위로 4’인 위치입니다. 중학교 1학년에서 배웁니다. |
| y축에 평행한 직선 | x축에 수직인(바로 위로 뻗은) 직선입니다. x의 증가량이 0이므로 기울기의 공식이 ‘0으로 나누기’가 되어 기울기를 정의할 수 없습니다. 방정식은 \(y = mx + b\)의 꼴이 아니라 \(x = \text{상수}\)의 꼴이 됩니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘의미를 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
막히면 이 표의 내용으로 돌아가 복습하는 것이 지름길입니다.
| 좌표평면(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 정수와 유리수의 계산(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 일차함수와 그래프의 기울기(중학교 2학년, 13~14세) |
|
| 피타고라스 정리(중학교 2학년, 13~14세) |
|
| 삼각비 tan(중학교 3학년, 14~15세) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
직선의 기울기 m을 구하는 표
| 점 1의 x좌표 x₁ | 3 |
| 점 1의 y좌표 y₁ | 4 |
| 점 2의 x좌표 x₂ | 6 |
| 점 2의 y좌표 y₂ | 8 |
| 기울기 m | =(B4-B2)/(B3-B1) |
두 점 사이의 거리 d를 구하는 표
| 점 1의 x좌표 x₁ | 3 |
| 점 1의 y좌표 y₁ | 4 |
| 점 2의 x좌표 x₂ | 6 |
| 점 2의 y좌표 y₂ | 8 |
| 두 점 사이의 거리 d | =SQRT((B3-B1)^2+(B4-B2)^2) |
경사각 θ를 구하는 표
| 점 1의 x좌표 x₁ | 3 |
| 점 1의 y좌표 y₁ | 4 |
| 점 2의 x좌표 x₂ | 6 |
| 점 2의 y좌표 y₂ | 8 |
| 경사각 θ(도) | =DEGREES(ATAN2(B3-B1,B4-B2)) |
y절편과 x절편을 구하는 표
| 지나는 점의 x좌표 x₁ | 1 |
| 지나는 점의 y좌표 y₁ | 5 |
| 기울기 m | -2 |
| y절편 b | =B2-B3*B1 |
| x절편 | =-B4/B3 |
한 점에서 거리 d만큼 나아간 점을 구하는 표
| 점 1의 x좌표 x₁ | 1 |
| 점 1의 y좌표 y₁ | 1 |
| 나아갈 거리 d | 5 |
| 기울기 m | 0.75 |
| x의 증가량 Δx | =B3/SQRT(1+B4^2) |
| y의 증가량 Δy | =B4*B5 |
| 나아간 점의 x좌표 x₂ | =B1+B5 |
| 나아간 점의 y좌표 y₂ | =B2+B6 |
붙여 넣으면 위쪽 행이 입력 칸이 되고, 아래쪽 행의 수식이 자동 계산 결과가 됩니다.
‘SQRT(…)’는 제곱근, ‘^2’는 제곱, ‘DEGREES(…)’는 라디안을 도로 바꾸는 함수, ‘ATAN2(가로 증가량, 세로 증가량)’는 두 방향의 증가량으로 각도를 구하는 함수입니다.
첫째 표는 기울기 약 1.333, 둘째 표는 거리 5, 셋째 표는 각도 약 53.13°가 됩니다. 셋째 표의 ATAN2는 음의 각도(−180°부터 180°까지)를 돌려주므로, 오른쪽 아래로 내려가는 직선에서 0~360°의 각도가 필요하면 360을 더하세요.
다섯째 표는 ‘오른쪽으로 가는 해’(예에서는 점 (5, 4))를 계산합니다. ‘왼쪽으로 가는 해’는 Δx의 수식 앞에 마이너스를 붙이세요(=-B3/SQRT(1+B4^2)).
‘SQRT(…)’는 제곱근, ‘^2’는 제곱, ‘DEGREES(…)’는 라디안을 도로 바꾸는 함수, ‘ATAN2(가로 증가량, 세로 증가량)’는 두 방향의 증가량으로 각도를 구하는 함수입니다.
첫째 표는 기울기 약 1.333, 둘째 표는 거리 5, 셋째 표는 각도 약 53.13°가 됩니다. 셋째 표의 ATAN2는 음의 각도(−180°부터 180°까지)를 돌려주므로, 오른쪽 아래로 내려가는 직선에서 0~360°의 각도가 필요하면 360을 더하세요.
다섯째 표는 ‘오른쪽으로 가는 해’(예에서는 점 (5, 4))를 계산합니다. ‘왼쪽으로 가는 해’는 Δx의 수식 앞에 마이너스를 붙이세요(=-B3/SQRT(1+B4^2)).
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
직선의 기울기 m을 구하는 표
| 점 1의 x좌표 x₁ | 3 |
| 점 1의 y좌표 y₁ | 4 |
| 점 2의 x좌표 x₂ | 6 |
| 점 2의 y좌표 y₂ | 8 |
| 기울기 m | =(B4-B2)/(B3-B1) |
두 점 사이의 거리 d를 구하는 표
| 점 1의 x좌표 x₁ | 3 |
| 점 1의 y좌표 y₁ | 4 |
| 점 2의 x좌표 x₂ | 6 |
| 점 2의 y좌표 y₂ | 8 |
| 두 점 사이의 거리 d | =SQRT((B3-B1)^2+(B4-B2)^2) |
경사각 θ를 구하는 표
| 점 1의 x좌표 x₁ | 3 |
| 점 1의 y좌표 y₁ | 4 |
| 점 2의 x좌표 x₂ | 6 |
| 점 2의 y좌표 y₂ | 8 |
| 경사각 θ(도) | =DEGREES(ATAN2(B3-B1,B4-B2)) |
y절편과 x절편을 구하는 표
| 지나는 점의 x좌표 x₁ | 1 |
| 지나는 점의 y좌표 y₁ | 5 |
| 기울기 m | -2 |
| y절편 b | =B2-B3*B1 |
| x절편 | =-B4/B3 |
한 점에서 거리 d만큼 나아간 점을 구하는 표
| 점 1의 x좌표 x₁ | 1 |
| 점 1의 y좌표 y₁ | 1 |
| 나아갈 거리 d | 5 |
| 기울기 m | 0.75 |
| x의 증가량 Δx | =B3/SQRT(1+B4^2) |
| y의 증가량 Δy | =B4*B5 |
| 나아간 점의 x좌표 x₂ | =B1+B5 |
| 나아간 점의 y좌표 y₂ | =B2+B6 |
Excel과 같은 수식(SQRT, DEGREES, ATAN2, ^2)을 Google 스프레드시트에서도 그대로 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 입력 칸의 숫자를 원하는 좌표로 바꾸세요.
Python으로 계산하는 방법
import math
x1, y1 = 3.0, 4.0 # 점 1의 좌표
x2, y2 = 6.0, 8.0 # 점 2의 좌표
delta_x = x2 - x1 # x의 증가량
delta_y = y2 - y1 # y의 증가량
slope = delta_y / delta_x # 기울기 m (delta_x가 0이면 y축에 평행한 직선이라 오류가 남)
distance = math.hypot(delta_x, delta_y) # 두 점 사이의 거리 (√(Δx²+Δy²)와 같음)
angle = math.degrees(math.atan2(delta_y, delta_x)) % 360 # 각도 (0~360°)
y_intercept = y1 - slope * x1 # y절편 b
print(f"기울기 m: {slope}")
print(f"거리 d: {distance}")
print(f"각도 θ: {angle}")
print(f"직선의 방정식: y = {slope}x + {y_intercept}")
# 반대로: 점 (x1, y1)에서 기울기를 따라 거리 d만큼 나아간 점
d = 5.0
dx = d / math.sqrt(1 + slope ** 2) # 오른쪽으로 가는 해 (왼쪽으로 가는 해는 -dx)
dy = slope * dx
print(f"나아간 점: ({x1 + dx}, {y1 + dy})")
표준 라이브러리만으로 동작합니다. math.hypot은 제곱의 합의 제곱근, math.atan2는 아크탄젠트(가로·세로의 증가량으로 각도를 구하는 함수)입니다. 맨 위의 좌표를 바꿔서 실행해 보세요.
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
직선의 기울기 \(m\)(변화율)
m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>m</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)
(y2 - y1)/(x2 - x1)
m := (y2 - y1)/(x2 - x1);
m = (y2 - y1)/(x2 - x1);
m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)
두 점 사이의 거리 \(d\)
d = √(Δx² + Δy²)
d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>x</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>y</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
d = sqrt((Delta x)^2 + (Delta y)^2)
Sqrt[dx^2 + dy^2]
d := sqrt(dx^2 + dy^2);
d = sqrt(dx^2 + dy^2);
d = √(Δx^2 + Δy^2)
경사각 \(\theta\)(직선의 각도)
θ = arctan(m)
\theta = \arctan m
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mi>arctan</mi>
<mo>⁡</mo>
<mi>m</mi>
</mrow>
</math>
theta = arctan(m)
ArcTan[m]
theta := arctan(m);
theta = atan(m);
θ = arctan(m)
직선의 방정식 \(y = mx + b\)
y = mx + b (b = y₁ − m·x₁)
y = mx + b, \quad b = y_1 - m x_1
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mi>m</mi><mi>x</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi>
<mo>,</mo>
<mi>b</mi>
<mo>=</mo>
<msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>−</mo>
<mi>m</mi><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
</mrow>
</math>
y = m x + b, b = y_1 - m x_1
b = y1 - m*x1; y = m*x + b
b := y1 - m*x1; y := m*x + b;
b = y1 - m*x1; y = m*x + b;
y = mx + b, b = y_1 - mx_1
한 점에서 거리 \(d\)만큼 나아간 점(기울기 \(m\)으로 지정)
Δx = ±d ÷ √(1 + m²), Δy = m·Δx
\Delta x = \pm\frac{d}{\sqrt{1 + m^2}}, \quad \Delta y = m\,\Delta x
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>x</mi></mrow>
<mo>=</mo>
<mo>±</mo>
<mfrac>
<mi>d</mi>
<msqrt><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt>
</mfrac>
<mo>,</mo>
<mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>y</mi></mrow>
<mo>=</mo>
<mi>m</mi>
<mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>x</mi></mrow>
</mrow>
</math>
Delta x = +-d/sqrt(1 + m^2), Delta y = m Delta x
dx = d/Sqrt[1 + m^2]; dy = m*dx
dx := d/sqrt(1 + m^2); dy := m*dx;
dx = d/sqrt(1 + m^2); dy = m*dx;
Δx = ±d/√(1 + m^2), Δy = mΔx
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 수학 계산 도우미입니다. 다음 계산을 실제로 Python 코드를 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답해 주세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 좌표평면 위의 두 점 (3, 4)와 (6, 8)에 대해 다음을 각각 구해 주세요. 1. 두 점을 지나는 직선의 기울기 m 2. 두 점 사이의 거리 d 3. 직선이 x축과 이루는 각도 θ(도) 4. 직선의 방정식 y = mx + b(y절편 b의 값도 보여 주세요) 사용한 공식과 실행 결과의 수치를 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
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관련 기능
피타고라스 정리 계산기(두 변으로 나머지 한 변 구하기)
직각삼각형의 두 변으로 나머지 한 변, 각도, 넓이를 계산합니다. 두 점 사이의 거리 공식의 바탕입니다
이차방정식 근의 공식 계산기(판별식·허근)
계수 a, b, c로 이차방정식 ax²+bx+c=0의 해를 근의 공식으로 계산합니다
증감률 계산기(○% 인상·○% 할인·몇 % 늘었을까?)
변화 전과 변화 후의 값으로 몇 % 늘었는지, 줄었는지 계산합니다
두 점 사이의 거리 계산기(좌표로 거리·직선의 방정식)
두 점의 좌표로 거리를 계산합니다. 거리 공식(피타고라스 정리)의 해설은 여기에 있습니다
일차방정식 계산기(이항 풀이 과정·검산)
일차방정식 ax+b=cx+d를 이항 풀이 과정, 검산, 그래프와 함께 풉니다(해가 없는 경우·무수히 많은 경우도 대응)
일차함수 계산기(두 점·기울기와 한 점으로 y=ax+b 구하기, 절편과 교점)
두 점 또는 기울기와 한 점으로 일차함수 y=ax+b의 식을 구합니다. 기울기의 풀이 과정과 x축·y축과의 교점도 계산합니다
정비례·반비례 계산기(한 점으로 식과 비례상수 구하기, 대응표·그래프)
원점을 지나는 직선 y=ax의 기울기가 비례상수입니다. 한 점으로 정비례·반비례의 식을 그래프와 함께 구합니다
