세 변 a, b, c와 세 각 A, B, C(단위는 도) 중 알고 있는 3개(적어도 1개는 변)를 입력하세요. 변 a는 각 A의 맞은편(대변), 변 b는 각 B의, 변 c는 각 C의 맞은편입니다.
입력하는 것은 ‘정확히 3개, 적어도 1개는 변’입니다. 각도는 도(°)로 입력하세요(예를 들어 직각은 90). 나머지 칸은 비워 둡니다.
계산 결과·도형
왼쪽 입력란에 세 변·세 각 중 알고 있는 3개(적어도 1개는 변)를 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과가 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- 삼각형의 세 변 \(a, b, c\)와 세 각 \(A, B, C\) 중에서 알고 있는 3개(적어도 1개는 변)를 넣기만 하면 나머지 변과 각을 모두 알 수 있습니다
- 넓이, 둘레, 반둘레, 세 방향의 높이, 세 중선, 내접원과 외접원의 반지름까지 한 번에 계산합니다
- ‘정삼각형·이등변삼각형·부등변삼각형’, ‘예각삼각형·직각삼각형·둔각삼각형’의 분류도 자동으로 판정합니다
- ‘두 변과 그중 한 변의 대각’을 넣었을 때 삼각형이 두 가지로 생기는 경우에는 두 해를 모두 보여 줍니다(고등학교 사인법칙에서 자주 나오는 내용입니다)
- 코사인법칙·사인법칙·헤론의 공식의 쉬운 해설과 Excel·Google 스프레드시트·Python용 복사해서 쓰는 수식도 이 페이지에 정리되어 있습니다
변과 각은 ‘변 a는 각 A의 맞은편(대변)’처럼 같은 글자의 소문자·대문자끼리 마주 보게 대응합니다. 각도는 도(°) 단위로 입력하세요.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
측량·지도 만들기(건너갈 수 없는 곳까지의 거리 재기)
강 건너편 목표물까지의 거리는 줄자를 직접 대지 않아도 계산할 수 있습니다. 이쪽 강가에 100 m의 기선을 긋고 그 양 끝에서 목표물을 바라본 각도를 재면, 100 m의 변과 두 각을 아는 삼각형이 됩니다. 각도가 50°와 60°라면 나머지 각은 70°이고, 목표물까지의 거리는 사인법칙으로 \(100 \times \sin 50^\circ \div \sin 70^\circ \fallingdotseq 81.5\) m로 구해집니다.
측량사가 쓰는 토털 스테이션이나 지도 제작의 토대가 된 삼각측량은 바로 이 계산을 쌓아 올린 것입니다.
삼각형 모양 땅·밭의 넓이 재기(헤론의 공식)
삼각형 모양의 땅은 각도를 재는 도구가 없어도 줄자 하나로 넓이를 알 수 있습니다. 세 변이 30 m, 40 m, 50 m라면 반둘레는 60 m이고, 넓이는 \(\sqrt{60 \times 30 \times 20 \times 10} = 600\) m²(약 181.5평)입니다.
‘변의 길이라면 누구나 정확하게 잴 수 있다’는 점이 헤론의 공식이 실무에서 사랑받아 온 이유이며, 농지나 대지의 대략적인 넓이를 확인할 때 지금도 쓸모가 있습니다.
건축·DIY(비스듬한 부재의 길이와 각도를 미리 계산하기)
지붕의 경사면, 계단, 버팀대 역할을 하는 가새 등 건물에는 비스듬한 부재가 많습니다. 수평 3 m, 높이 2 m인 외쪽 지붕이라면 경사면의 길이는 \(\sqrt{3^2 + 2^2} \fallingdotseq 3.61\) m입니다(직각이므로 코사인법칙의 보정 항이 사라진 꼴, 즉 피타고라스 정리).
목재를 자르기 전에 길이와 각도를 계산해 두면 재료 낭비도 현장에서 다시 하는 일도 줄일 수 있습니다.
로봇 팔·기계 설계(두 개의 링크와 관절의 각도)
공장의 로봇 팔은 ‘팔의 링크 두 개와 그 사이 관절의 각도’라는 삼각형 그 자체입니다. 링크가 50 cm와 30 cm이고 관절을 120°로 벌리면, 밑동에서 손끝까지의 거리는 코사인법칙으로 \(\sqrt{50^2 + 30^2 - 2 \times 50 \times 30 \times \cos 120^\circ} = 70\) cm입니다.
손끝을 목표 위치로 움직이기 위해 관절의 각도를 거꾸로 계산하는 일(역기구학)도 코사인법칙의 변형이 기본 부품입니다.
천문학(별까지의 거리를 삼각형으로 재기)
항성까지의 거리는 지구가 태양 둘레를 반년 동안 공전하며 움직인 거리를 밑변으로 하는 아주 가늘고 긴 삼각형을 써서 잽니다(연주 시차라고 합니다). 밑변과 각도의 어긋남으로 거리를 알아내는 생각은 이 페이지의 ‘한 변과 각으로 나머지를 구하는’ 계산과 같습니다.
‘삼각형을 풀 수 있으면 직접 갈 수 없는 곳까지의 거리를 알 수 있다.’ 측량에서 우주까지 통하는, 기하학의 가장 강력한 응용 가운데 하나입니다.
공식과 그림
삼각형의 내각의 합
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(A\)
\(+\)
\(B\)
\(+\)
\(C\)
\(=\)
\(180^\circ\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
①
각 \(A\)
\(+\)
②
각 \(B\)
\(+\)
③
각 \(C\)
\(=\)
④
\(180^\circ\)(항상 일정)
공식을 말로 읽으면
①
각(\(A\))
과
②
각(\(B\))
과
③
각(\(C\))
을 더하면 반드시
④
\(180^\circ\)
가 됩니다
간단한 예
두 각이 50°와 60°인 삼각형에서 나머지 각은
나머지 각 \(C\)
\(=\)
\(180^\circ\)
\(-\)
각 \(A\)(50°)
\(-\)
각 \(B\)(60°)
\(180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ\)
이해의 핵심
어떤 모양의 삼각형이든 세 내각의 합은 반드시 180°입니다. 그래서 두 각을 알면 나머지 각은 뺄셈만으로 구할 수 있습니다. 이 계산기도 ‘한 변과 두 각’을 입력하면 먼저 이 식으로 나머지 각을 구합니다.
코사인법칙(두 변과 그 끼인각으로 나머지 변 구하기)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(c^{2}\)
\(=\)
\(a^{2}\)
\(+\)
\(b^{2}\)
\(-\)
\(2ab\cos C\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
④
나머지 변 \(c\)의 제곱
\(=\)
①
알고 있는 변 \(a\)의 제곱
\(+\)
②
알고 있는 변 \(b\)의 제곱
\(-\)
③
보정 항 \(2ab\cos C\)
공식을 말로 읽으면
①
알고 있는 변 \(a\)의 제곱
과
②
알고 있는 변 \(b\)의 제곱
을 더하고
③
끼인각이 벌어진 정도로 정해지는 보정 항(\(2ab\cos C\))
을 빼면
④
나머지 변 \(c\)의 제곱
이 됩니다(마지막에 제곱근을 구함)
간단한 예
두 변이 5와 7이고 그 끼인각이 60°(cos 60° = 0.5)일 때 나머지 변은
나머지 변 \(c\)의 제곱
\(=\)
변 \(a\)의 제곱(5²)
\(+\)
변 \(b\)의 제곱(7²)
\(-\)
보정 항(2×5×7×0.5)
\(c^{2} = 5^{2} + 7^{2} - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60^\circ = 25 + 49 - 35 = 39\)
\(c = \sqrt{39} \fallingdotseq 6.245\)
이해의 핵심
\(\cos C\)(코사인)는 ‘끼인각이 벌어진 정도’를 −1~1의 수로 나타낸 것입니다. 각이 꼭 90°이면 \(\cos 90^\circ = 0\)이 되어 보정 항이 사라지고, 피타고라스 정리 \(c^2 = a^2 + b^2\)이 됩니다. 즉 코사인법칙은 피타고라스 정리를 직각이 아닌 삼각형까지 넓힌 것입니다.
세 변을 알고 각을 구하고 싶을 때는 각에 대해 정리한 식 \(A = \arccos\bigl(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\bigr)\)를 씁니다(이 계산기의 ‘세 변’ 입력이 이 식을 씁니다).
사인법칙(변과 대각을 잇는 다리)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(\dfrac{a}{\sin A}\)
\(=\)
\(\dfrac{b}{\sin B}\)
\(=\)
\(\dfrac{c}{\sin C}\)
\(=\)
\(2R\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
①
변 \(a\) ÷ 대각의 사인 \(\sin A\)
\(=\)
②
변 \(b\) ÷ 대각의 사인 \(\sin B\)
\(=\)
③
변 \(c\) ÷ 대각의 사인 \(\sin C\)
\(=\)
④
외접원의 지름 \(2R\)
공식을 말로 읽으면
①
변 \(a\)를 그 대각의 사인으로 나눈 것(\(\dfrac{a}{\sin A}\))
,
②
변 \(b\)를 그 대각의 사인으로 나눈 것(\(\dfrac{b}{\sin B}\))
,
③
변 \(c\)를 그 대각의 사인으로 나눈 것(\(\dfrac{c}{\sin C}\))
은 모두 같고,
④
외접원의 지름(\(2R\))
과 같습니다
간단한 예
변 a가 6, 그 대각 A가 45°, 각 B가 60°일 때 변 b는
변 \(b\)
\(=\)
변 \(a\)(6)
\(\times\)
대각의 사인 \(\sin 60^\circ\)
\(\div\)
대각의 사인 \(\sin 45^\circ\)
\(b = \dfrac{6 \times \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} \fallingdotseq 7.348\)
이해의 핵심
‘변 ÷ 대각의 사인’은 세 쌍 중 어느 것으로 계산해도 같은 값이 됩니다. 그래서 한 쌍(변과 그 대각)만 알면 그것을 다리로 삼아 다른 변과 각을 차례로 구할 수 있습니다. 이 계산기의 ‘한 변과 두 각’ 입력은 이 식을 씁니다.
나아가 이 공통의 값은 삼각형의 세 꼭짓점을 지나는 원(외접원)의 지름 \(2R\)과 같습니다. 이것까지 포함한 것이 사인법칙의 완전한 형태입니다.
넓이(두 변과 그 끼인각)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(S\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{2}\)
\(\times\)
\(a\)
\(\times\)
\(b\)
\(\times\)
\(\sin C\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
⑤
넓이 \(S\)
\(=\)
④
2분의 1
\(\times\)
①
알고 있는 변 \(a\)
\(\times\)
②
알고 있는 변 \(b\)
\(\times\)
③
끼인각의 사인 \(\sin C\)
공식을 말로 읽으면
①
알고 있는 변(\(a\))
과
②
알고 있는 변(\(b\))
과
③
끼인각의 사인(\(\sin C\))
을 곱하고
④
2분의 1
로 하면
⑤
넓이(\(S\))
가 됩니다
간단한 예
두 변이 8과 5이고 그 끼인각이 30°(sin 30° = 0.5)인 삼각형의 넓이는
넓이 \(S\)
\(=\)
2분의 1
\(\times\)
변 \(a\)(8)
\(\times\)
변 \(b\)(5)
\(\times\)
끼인각의 사인(0.5)
\(S = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 5 \times \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 5 \times 0.5 = 10\)
이해의 핵심
초등학교에서 배우는 ‘밑변 × 높이 ÷ 2’에서 높이 부분이 \(b\sin C\)(변 b와 끼인각으로 계산한 높이)로 바뀐 식입니다. 끼인각이 90°이면 \(\sin 90^\circ = 1\)이므로 높이가 변 b 그 자체가 되어 넓이가 가장 커집니다.
헤론의 공식(세 변으로 넓이 구하기)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(s\)
\(=\)
\(\dfrac{a+b+c}{2}\)
\(S\)
\(=\)
\(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
②
반둘레 \(s\)
\(=\)
①
세 변의 합 ÷ 2
④
넓이 \(S\)
\(=\)
③
\(s\)와 ‘\(s\) − 각 변’ 3개의 곱의 제곱근
공식을 말로 읽으면
①
세 변 \(a, b, c\)를 모두 더해 2로 나눈 것
을
②
반둘레(\(s\))
라고 합니다.
③
\(s\)와, \(s\)에서 각 변을 뺀 세 수(\(s-a\), \(s-b\), \(s-c\))를 모두 곱해 제곱근을 구한 값
이
④
넓이(\(S\))
입니다
간단한 예
세 변이 3, 4, 5인 삼각형의 넓이는
반둘레 \(s\)
\(=\)
세 변의 합(3+4+5) ÷ 2
\(s = \dfrac{3+4+5}{2} = 6\)
\(S = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6\)
이해의 핵심
각도도 높이도 재지 않고 세 변의 길이만으로 넓이를 구할 수 있는 것이 헤론의 공식의 강점입니다. 줄자로 세 변만 재면 되므로 삼각형 모양 땅의 넓이를 구하는 일 등에 예부터 쓰였습니다. 먼저 반둘레 \(s\)(둘레의 절반)를 계산해 두는 것이 요령입니다. 다만 세 변이 삼각형의 성립 조건을 만족하지 않으면 근호 안이 0 이하가 되어 넓이가 나오지 않습니다.
내접원의 반지름
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
\(r\)
\(=\)
\(S\)
\(\div\)
\(s\)
③
내접원의 반지름 \(r\)
\(=\)
①
넓이 \(S\)
\(\div\)
②
반둘레 \(s\)
공식을 말로 읽으면
①
넓이(\(S\))
를
②
반둘레(\(s\), 둘레의 절반)
로 나누면
③
내접원의 반지름(\(r\))
이 됩니다
간단한 예
세 변이 3, 4, 5인 삼각형(넓이 6, 반둘레 6)의 내접원의 반지름은
내접원의 반지름 \(r\)
\(=\)
넓이(6)
\(\div\)
반둘레(6)
\(r = 6 \div 6 = 1\)
이해의 핵심
내접원은 삼각형의 세 변 모두에 안쪽에서 딱 맞게 접하는 원입니다. 내접원의 중심(내심)에서 삼각형을 작은 삼각형 3개로 나누면 각각 ‘밑변 = 한 변, 높이 = r’이므로, 전체 넓이는 \(S = \frac{1}{2}r(a+b+c) = rs\)가 됩니다. 이것을 \(r\)에 대해 풀면 \(r = S \div s\)입니다.
외접원의 반지름
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
\(R\)
\(=\)
\(abc\)
\(\div\)
\(4S\)
③
외접원의 반지름 \(R\)
\(=\)
①
세 변의 곱 \(abc\)
\(\div\)
②
넓이 \(S\)의 4배
공식을 말로 읽으면
①
세 변을 모두 곱한 것(\(abc\))
을
②
넓이의 4배(\(4S\))
로 나누면
③
외접원의 반지름(\(R\))
이 됩니다
간단한 예
세 변이 3, 4, 5인 삼각형(넓이 6)의 외접원의 반지름은
외접원의 반지름 \(R\)
\(=\)
세 변의 곱(3×4×5)
\(\div\)
넓이의 4배(4×6)
\(R = \dfrac{3 \times 4 \times 5}{4 \times 6} = \dfrac{60}{24} = 2.5\)
이해의 핵심
외접원은 삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원입니다. 이 식은 사인법칙 \(\frac{a}{\sin A} = 2R\)과 넓이 공식 \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\)를 조합해서 나옵니다.
예의 3·4·5 삼각형은 직각삼각형이므로 외접원의 중심이 빗변의 중점과 딱 일치하고, \(R\)은 빗변의 절반(\(5 \div 2 = 2.5\))이 됩니다. 계산 결과와 정확히 맞습니다.
삼각형은 ‘세 가지 조건(적어도 1개는 변)’으로 정해집니다. 세 변이면 코사인법칙을 각에 대해 정리한 식, 두 변과 그 끼인각이면 코사인법칙, 한 변과 두 각이면 내각의 합과 사인법칙. 이 세 도구로 나머지 변과 각을 모두 구할 수 있고, 거기서 넓이·내접원·외접원까지 차례로 이어집니다.
용어·기호 해설
기호
| \(a, b, c\) | 에이, 비, 시(소문자) | 삼각형의 세 변의 길이입니다. 변 a는 각 A의 맞은편(대변)처럼 같은 글자의 소문자·대문자로 대응시키는 것이 수학의 관례입니다. |
| \(A, B, C\) | 에이, 비, 시(대문자) | 삼각형의 세 내각(단위는 도)입니다. 셋을 더하면 반드시 180°가 됩니다. |
| \(S\) | 에스 | 삼각형의 넓이입니다. |
| \(s\) | 에스(소문자) | 반둘레입니다. 둘레의 길이(\(a+b+c\))의 절반으로, 헤론의 공식이나 내접원의 반지름 계산에 씁니다. |
| \(\sin\theta\) | 사인 세타 | 삼각비의 하나입니다. 직각삼각형에서 ‘빗변에 대한 높이의 비율’을 나타내며, 각도로부터 세로 방향의 길이를 구할 때 씁니다. \(\sin 30^\circ = 0.5\), \(\sin 90^\circ = 1\)입니다. |
| \(\cos\theta\) | 코사인 세타 | 삼각비의 하나입니다. 직각삼각형에서 ‘빗변에 대한 밑변의 비율’을 나타냅니다. \(\cos 60^\circ = 0.5\), \(\cos 90^\circ = 0\)입니다. 코사인법칙의 ‘코사인’이 바로 이것입니다. |
| \(r\) | 알(소문자) | 내접원(세 변 모두에 안쪽에서 접하는 원)의 반지름입니다. |
| \(R\) | 알(대문자) | 외접원(세 꼭짓점을 모두 지나는 원)의 반지름입니다. |
용어
| 대변 | 어떤 각의 맞은편에 있는 변을 그 각의 ‘대변’이라고 합니다. 이 페이지에서는 변 a가 각 A의, 변 b가 각 B의, 변 c가 각 C의 대변입니다. |
| 대각 | 어떤 변의 맞은편에 있는 각을 그 변의 ‘대각’이라고 합니다. 이 페이지에서는 각 A가 변 a의, 각 B가 변 b의, 각 C가 변 c의 대각입니다. |
| 내각의 합 | 삼각형의 세 내각을 더하면 반드시 180°가 된다는 성질입니다. 두 각을 알면 나머지는 뺄셈으로 구할 수 있습니다. |
| 삼각형의 성립 조건 | 세 길이로 삼각형을 만들 수 있는 조건으로, ‘어느 두 변의 길이의 합도 나머지 한 변의 길이보다 크다’는 것입니다(가장 긴 변이 나머지 두 변의 합보다 작으면 됩니다). 예를 들어 1, 2, 4는 1 + 2 = 3이 4보다 작으므로 삼각형이 되지 않습니다. |
| 코사인법칙 | 두 변과 그 끼인각으로 나머지 변을 구하는 법칙 \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\)입니다. 피타고라스 정리를 직각이 아닌 삼각형으로 넓힌 것이며, 변형하면 세 변으로 각도 구할 수 있습니다. 고등학교 ‘대수’(2015 개정 교육과정에서는 ‘수학 I’)에서 배웁니다. |
| 사인법칙 | ‘변 ÷ 대각의 사인’이 세 쌍 모두 같고, 외접원의 지름 \(2R\)과 같다는 법칙입니다. 한 변과 그 대각을 알면 다른 변과 각으로 이어 주는 다리가 됩니다. 고등학교 ‘대수’(2015 개정 교육과정에서는 ‘수학 I’)에서 배웁니다. |
| 헤론의 공식 | 각도를 쓰지 않고 세 변의 길이만으로 넓이를 구할 수 있는 공식입니다. 고대 그리스의 수학자 헤론의 이름을 딴 것입니다. |
| 반둘레 | 삼각형의 둘레의 길이의 절반입니다. 헤론의 공식과 내접원의 반지름 식에 나옵니다. |
| 내접원 | 삼각형의 세 변 모두에 안쪽에서 접하는 원입니다. 중심(내심)은 세 각의 이등분선이 만나는 점입니다. |
| 외접원 | 삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원입니다. 중심(외심)은 세 변의 수직이등분선이 만나는 점입니다. |
| 중선 | 삼각형의 꼭짓점과 그 맞은편 변의 중점을 이은 선분입니다. 세 중선은 한 점(무게중심)에서 만납니다. |
| 예각삼각형 | 가장 큰 내각이 90°보다 작은 삼각형입니다. 삼각형은 내각의 크기에 따라 예각삼각형·직각삼각형·둔각삼각형의 셋으로 나뉩니다. |
| 직각삼각형 | 가장 큰 내각이 꼭 90°인 삼각형입니다. 삼각형은 내각의 크기에 따라 예각삼각형·직각삼각형·둔각삼각형의 셋으로 나뉩니다. |
| 둔각삼각형 | 가장 큰 내각이 90°보다 큰 삼각형입니다. 삼각형은 내각의 크기에 따라 예각삼각형·직각삼각형·둔각삼각형의 셋으로 나뉩니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘뜻을 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
내각의 합과 헤론의 공식은 중학교까지의 지식으로 쓸 수 있습니다. 코사인법칙·사인법칙은 고등학교 ‘대수’(2015 개정 교육과정에서는 ‘수학 I’)의 내용입니다.
| 삼각형의 각(초등학교 4학년~중학교 2학년) |
|
| 제곱근(중학교 3학년) |
|
| 피타고라스 정리(중학교 2학년) |
|
| 삼각비(중학교 3학년) |
|
| 사인법칙·코사인법칙(고등학교 대수) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
나머지 각(내각의 합)을 구하는 표
| 각 A(도) | 50 |
| 각 B(도) | 60 |
| 나머지 각 C(도) | =180-B1-B2 |
코사인법칙으로 나머지 변을 구하는 표
| 변 a | 5 |
| 변 b | 7 |
| 끼인각 C(도) | 60 |
| 나머지 변 c | =SQRT(B1^2+B2^2-2*B1*B2*COS(RADIANS(B3))) |
사인법칙으로 다른 변을 구하는 표
| 변 a | 6 |
| 그 대각 A(도) | 45 |
| 각 B(도) | 60 |
| 변 b | =B1*SIN(RADIANS(B3))/SIN(RADIANS(B2)) |
넓이(두 변과 그 끼인각)를 구하는 표
| 변 a | 8 |
| 변 b | 5 |
| 끼인각 C(도) | 30 |
| 넓이 S | =B1*B2*SIN(RADIANS(B3))/2 |
넓이(헤론의 공식)를 구하는 표
| 변 a | 3 |
| 변 b | 4 |
| 변 c | 5 |
| 반둘레 s | =(B1+B2+B3)/2 |
| 넓이 S | =SQRT(B4*(B4-B1)*(B4-B2)*(B4-B3)) |
내접원의 반지름을 구하는 표
| 넓이 S | 6 |
| 반둘레 s | 6 |
| 내접원의 반지름 r | =B1/B2 |
외접원의 반지름을 구하는 표
| 변 a | 3 |
| 변 b | 4 |
| 변 c | 5 |
| 넓이 S | 6 |
| 외접원의 반지름 R | =B1*B2*B3/(4*B4) |
붙여 넣으면 위의 행이 입력란이 되고, 마지막 행의 수식이 자동 계산 결과가 됩니다.
Excel의 COS와 SIN은 각도를 라디안으로 받기 때문에, 사이에 RADIANS 함수를 넣어 도를 라디안으로 바꿉니다. SQRT는 제곱근입니다.
예를 들어 두 번째 표에서는 B4에 약 6.245가 표시됩니다. 입력 숫자를 자신의 값으로 바꾸기만 하면 됩니다.
Excel의 COS와 SIN은 각도를 라디안으로 받기 때문에, 사이에 RADIANS 함수를 넣어 도를 라디안으로 바꿉니다. SQRT는 제곱근입니다.
예를 들어 두 번째 표에서는 B4에 약 6.245가 표시됩니다. 입력 숫자를 자신의 값으로 바꾸기만 하면 됩니다.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
나머지 각(내각의 합)을 구하는 표
| 각 A(도) | 50 |
| 각 B(도) | 60 |
| 나머지 각 C(도) | =180-B1-B2 |
코사인법칙으로 나머지 변을 구하는 표
| 변 a | 5 |
| 변 b | 7 |
| 끼인각 C(도) | 60 |
| 나머지 변 c | =SQRT(B1^2+B2^2-2*B1*B2*COS(RADIANS(B3))) |
사인법칙으로 다른 변을 구하는 표
| 변 a | 6 |
| 그 대각 A(도) | 45 |
| 각 B(도) | 60 |
| 변 b | =B1*SIN(RADIANS(B3))/SIN(RADIANS(B2)) |
넓이(두 변과 그 끼인각)를 구하는 표
| 변 a | 8 |
| 변 b | 5 |
| 끼인각 C(도) | 30 |
| 넓이 S | =B1*B2*SIN(RADIANS(B3))/2 |
넓이(헤론의 공식)를 구하는 표
| 변 a | 3 |
| 변 b | 4 |
| 변 c | 5 |
| 반둘레 s | =(B1+B2+B3)/2 |
| 넓이 S | =SQRT(B4*(B4-B1)*(B4-B2)*(B4-B3)) |
내접원의 반지름을 구하는 표
| 넓이 S | 6 |
| 반둘레 s | 6 |
| 내접원의 반지름 r | =B1/B2 |
외접원의 반지름을 구하는 표
| 변 a | 3 |
| 변 b | 4 |
| 변 c | 5 |
| 넓이 S | 6 |
| 외접원의 반지름 R | =B1*B2*B3/(4*B4) |
Excel과 같은 수식을 그대로 쓸 수 있습니다(RADIANS, SIN, COS, SQRT는 Google 스프레드시트에도 같은 이름으로 있습니다).
표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 입력 숫자를 자신의 값으로 바꾸세요.
표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 입력 숫자를 자신의 값으로 바꾸세요.
Python으로 계산하는 방법
import math
side_a = 3.0 # 변 a
side_b = 4.0 # 변 b
side_c = 5.0 # 변 c(세 변을 아는 경우의 예)
# 코사인법칙을 각에 대해 정리한 식으로 세 각 구하기(도)
angle_a = math.degrees(math.acos((side_b**2 + side_c**2 - side_a**2) / (2 * side_b * side_c)))
angle_b = math.degrees(math.acos((side_a**2 + side_c**2 - side_b**2) / (2 * side_a * side_c)))
angle_c = 180 - angle_a - angle_b
# 헤론의 공식으로 넓이
half_perimeter = (side_a + side_b + side_c) / 2
area = math.sqrt(half_perimeter * (half_perimeter - side_a)
* (half_perimeter - side_b) * (half_perimeter - side_c))
inradius = area / half_perimeter # 내접원의 반지름
circumradius = side_a * side_b * side_c / (4 * area) # 외접원의 반지름
print(f"각 A = {angle_a}°, 각 B = {angle_b}°, 각 C = {angle_c}°")
print(f"넓이 = {area}")
print(f"내접원의 반지름 = {inradius}, 외접원의 반지름 = {circumradius}")
표준 라이브러리의 math만으로 동작합니다. math.acos는 아크코사인(코사인을 거꾸로 계산), math.degrees는 라디안을 도로 바꾸는 함수입니다. 맨 앞의 세 변을 자신의 값으로 바꿔 실행하세요.
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
삼각형의 내각의 합
A + B + C = 180°
A + B + C = 180^\circ
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>A</mi><mo>+</mo><mi>B</mi><mo>+</mo><mi>C</mi>
<mo>=</mo>
<mn>180</mn><mo>°</mo>
</mrow>
</math>
A + B + C = 180^@
angleA + angleB + angleC == 180
A + B + C = 180;
C = 180 - A - B;
A + B + C = 180°
코사인법칙(두 변과 그 끼인각으로 나머지 변 구하기)
c² = a² + b² − 2ab·cos C
c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi>
<mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>C</mi>
</mrow>
</math>
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C
cSide = Sqrt[a^2 + b^2 - 2 a b Cos[angleC Degree]]
c := sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(C*Pi/180));
c = sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*b*cosd(C));
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C)
사인법칙(변과 대각을 잇는 다리)
a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac><mi>a</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>A</mi></mrow></mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>b</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>B</mi></mrow></mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>c</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>C</mi></mrow></mfrac>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn><mi>R</mi>
</mrow>
</math>
a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
bSide = a Sin[angleB Degree]/Sin[angleA Degree]
b := a*sin(B*Pi/180)/sin(A*Pi/180);
b = a*sind(B)/sind(A);
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R
넓이(두 변과 그 끼인각)
S = (1/2)·ab·sin C
S = \frac{1}{2}ab\sin C
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
<mi>a</mi><mi>b</mi>
<mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>C</mi>
</mrow>
</math>
S = 1/2 ab sin C
area = (1/2) a b Sin[angleC Degree]
S := (1/2)*a*b*sin(C*Pi/180);
S = a*b*sind(C)/2;
S = (1/2)ab sin(C)
헤론의 공식(세 변으로 넓이 구하기)
s = (a+b+c)/2, S = √(s(s−a)(s−b)(s−c))
s = \frac{a+b+c}{2}, \quad S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mi>s</mi>
<mo>(</mo><mi>s</mi><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
<mo>(</mo><mi>s</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>(</mo><mi>s</mi><mo>−</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
</msqrt>
</mrow>
</math>
S = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))
area = Sqrt[s (s - a) (s - b) (s - c)] /. s -> (a + b + c)/2
s := (a+b+c)/2; S := sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c));
s = (a+b+c)/2; S = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c));
S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))
내접원의 반지름
r = S/s
r = \dfrac{S}{s}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>S</mi><mi>s</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
r = S/s
inradius = area/s
r := S/s;
r = S/s;
r = S/s
외접원의 반지름
R = abc/(4S)
R = \dfrac{abc}{4S}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>R</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow>
<mrow><mn>4</mn><mi>S</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
R = (abc)/(4S)
circumradius = a b c/(4 area)
R := a*b*c/(4*S);
R = a*b*c/(4*S);
R = abc/(4S)
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 삼각형 계산 도우미입니다. 다음 계산을 실제로 Python 코드를 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답하세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 삼각형에서 변 a = 7, 변 b = 10, 각 A = 40°입니다(각 A는 변 a의 대각). 1. 사인법칙으로 각 B를 구하세요. 이 조건에서는 삼각형이 두 가지 생길 수 있으니 주의하세요. 해가 두 개이면 둘 다 보여 주세요. 2. 각각의 해에 대해 나머지 각 C, 변 c, 넓이를 구하세요. 사용한 식과 실행 결과의 수치를 표로 정리해 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
간단하고 무료
무료로 횟수 제한 없이 변환
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
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관련 기능
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직각삼각형의 두 변으로 나머지 한 변·각도·넓이를 계산합니다
삼각형 넓이 계산기(세 변의 길이로 헤론의 공식 계산)
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다각형의 내각·외각 계산기(내각의 합·외각의 합·정몇각형 역산)
n각형의 내각의 합·외각의 합과 정n각형의 한 내각/외각을 계산합니다(각의 크기로 정몇각형인지 거꾸로 구하는 계산도 됩니다)
