z점수 계산기(z값과 확률 상호 변환)

사용법은 세 가지입니다. ① 측정값, 평균, 표준편차로 z점수 구하기 ② z점수와 확률 서로 바꾸기(한 칸에만 입력) ③ 두 z점수 사이에 들어갈 확률 구하기. 쓰고 싶은 묶음의 칸에만 입력하세요.

① 측정값 x

① 평균 μ

① 표준편차 σ

② z값 Z(확률 칸과 둘 중 하나만)

② 확률 P(x<Z)

② 확률 P(x>Z)

② 확률 P(0<x<Z)

② 확률 P(−Z<x<Z)

② 확률 P(x<−Z 또는 x>Z)

③ 왼쪽 Z1

③ 오른쪽 Z2

한 가지 사용법의 칸에만 입력하고 다른 칸은 비워 두세요. 확률은 0~1의 숫자로 입력합니다(예: 97.5%라면 0.975).

계산 결과·그래프

왼쪽 입력란에 숫자를 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과와 그래프가 표시됩니다.

이 페이지에서 할 수 있는 것
이 계산은 어디에 쓰일까요?
사용법
공식과 그래프
용어·기호 해설
- 기호
- 용어
먼저 알아 두면 좋은 내용
Excel로 계산하는 방법
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
Python으로 계산하는 방법
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
ChatGPT에게 물어서 계산하는 방법
DataChef의 특징
관련 기능
NumberChef 계산기 목록

이 페이지에서 할 수 있는 것

측정값 \(x\), 평균 \(\mu\), 표준편차 \(\sigma\)를 넣기만 하면 z점수(z값)와 그 값보다 작아질 확률을 한꺼번에 계산합니다
‘표준정규분포표’를 찾아보는 대신 z점수와 확률을 어느 방향으로든 바꿀 수 있습니다(z값 → 확률, 확률 → z값의 역산도 가능)
두 z점수 사이에 들어갈 확률(예: −1.96~1.96 사이에 들어갈 확률)도 그 자리에서 계산할 수 있습니다
공식의 쉬운 해설과 Excel·Google 스프레드시트·Python에 그대로 복사해 쓸 수 있는 수식도 이 페이지에 정리되어 있습니다

이 계산기는 ‘자료가 정규분포(평균을 중심으로 좌우 대칭인 종 모양)를 따른다’는 것을 전제로 합니다. 분포의 모양이 크게 치우친 자료에는 쓸 수 없습니다.

이 계산은 어디에 쓰일까요?

수능 표준점수의 원리, 전국에서 내 위치 알기(시험·입시)

수능의 표준점수는 z점수로 만들어지며, 국어·수학은 \(100 + 20 \times z\)입니다. 평균 65점, 표준편차 5점인 시험에서 75점이라면 \(z = 2\), 즉 국어·수학의 표준점수로는 140점이고, 정규분포라면 상위 약 2.3%(\(1 - \Phi(2) \fallingdotseq 0.0228\))의 위치라는 것을 알 수 있습니다.
만점도 평균도 다른 시험끼리 성적을 비교하거나 ‘표준점수 10점’이 실제로 얼마만큼의 차이인지를 확률로 읽어 낼 수 있는, 가장 친숙한 z점수의 활용입니다.

과목이나 시험이 다른 성적을 같은 잣대로 비교하기

‘영어 80점(평균 70점, 표준편차 10점)’과 ‘수학 65점(평균 50점, 표준편차 15점)’은 원점수로는 영어가 높아 보이지만, z점수로 바꾸면 둘 다 \(z = 1\)로 같은 위치입니다.
단위나 만점, 채점의 엄격함이 다른 자료끼리도 z점수라면 ‘집단 안에서 얼마나 위인지’로 공평하게 비교할 수 있습니다. 수능에서 선택 과목마다 다른 난이도를 표준점수로 맞추는 것이나 인사 평가의 점수 보정에도 이 생각이 쓰입니다.

아이의 성장도표(백분위수·SD 점수) 읽기(육아·보건)

영유아 건강검진이나 소아청소년 성장도표(질병관리청)에서는 키와 몸무게를 백분위수나 ‘SD 점수’로 평가합니다. SD 점수는 z점수와 같은 것으로, 평균에서 표준편차(SD) 몇 개분 떨어져 있는지를 나타냅니다.
기준으로 ±2SD(\(z = \pm 2\))의 바깥쪽은 각각 약 2.3%(백분위수로 약 2.3과 97.7)이며, 경과를 살펴보는 기준 중 하나로 씁니다(성장에는 개인차가 있어 판단은 의사가 경과를 보고 합니다). 그래프의 ‘−2SD’ 선의 뜻을 알면 검진 설명을 이해하기 쉬워집니다.

공장의 품질 관리, 규격에서 벗어나는 제품이 얼마나 나올까(제조업)

제품의 치수나 무게의 차이는 정규분포에 가까운 경우가 많아, 규격의 상한·하한을 z값으로 바꾸면 불량률을 어림할 수 있습니다. 규격이 평균 ±3σ의 위치라면 벗어나는 것은 약 0.3%(\(2 \times (1 - \Phi(3)) \fallingdotseq 0.0027\))입니다.
‘식스 시그마’라는 품질 개선 활동의 이름도 이 z값(σ 몇 개분인지)에서 왔습니다.

금융의 위험 관리, ‘99%의 확률로 손실은 여기까지’(은행·투자)

은행이나 자산운용사는 보유 자산의 손실 위험을 ‘VaR(Value at Risk, 최대 예상 손실)’이라는 지표로 잽니다. 수익률이 정규분포를 따른다고 가정하면 ‘99%의 확률로 손실이 이 범위에 들어가는’ 경계는 z값으로 \(\Phi^{-1}(0.99) \fallingdotseq 2.33\), 즉 평균에서 표준편차 2.33개분의 위치입니다.
전 세계 금융기관의 위험 계산의 바탕에 이 ‘확률 → z값’의 역변환이 쓰이고 있습니다.

공식과 그래프

z점수의 정의(평균에서 표준편차 몇 개분 떨어져 있는지)

그래프

수학 표기 (일반적인 수식)

\(z\) \(=\) \((\) \(x\) \(-\) \(\mu\) \()\) \(\div\) \(\sigma\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

④ \(z\): z점수 \(=\) \((\) ① \(x\): 측정값 \(-\) ② \(\mu\): 평균 \()\) \(\div\) ③ \(\sigma\): 표준편차

공식을 말로 읽으면

① \(x\): 측정값 에서

② \(\mu\): 평균 을 빼고,

③ \(\sigma\): 표준편차 로 나누면

④ \(z\): z점수 가 됩니다.

간단한 예

평균 65점, 표준편차 5점인 시험에서 75점을 받은 사람의 z점수는

\(z\): z점수 \(=\) \((\) 점수(75) \(-\) 평균(65) \()\) \(\div\) 표준편차(5)

\((75 - 65) \div 5 = 10 \div 5 = 2\)

이해의 핵심

z점수(z값)는 ‘평균에서 표준편차 몇 개분 떨어져 있는지’를 나타내는 수입니다. 양수이면 평균보다 위, 음수이면 평균보다 아래, 0이면 딱 평균입니다. 단위나 만점이 다른 자료끼리도 z점수로 바꾸면(표준화) 같은 잣대로 비교할 수 있습니다. 수능의 표준점수도 이 생각으로 만들어지며, 국어·수학의 표준점수는 \(100 + 20 \times z\)입니다(예의 \(z = 2\)는 표준점수 140점에 해당합니다).

z값으로 ‘\(Z\)보다 작은 값이 될 확률’ 구하기

그래프

수학 표기 (일반적인 수식)

\(P(x<Z)\) \(=\) \(\Phi(Z)\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

② \(Z\)보다 작을 확률 \(=\) ① 왼쪽의 넓이 \(\Phi(Z)\)

공식을 말로 읽으면

① 누적분포함수 \(\Phi\)(파이)에 z값 \(Z\)를 넣은 값 을 구하면(\(\Phi(Z)\)는 표준정규분포 곡선에서 \(Z\)보다 왼쪽의 넓이입니다),

② \(Z\)보다 작은 값이 될 확률 \(P(x<Z)\) 가 됩니다.

간단한 예

z값이 2일 때 2보다 작은 값이 될 확률은

2보다 작은 값이 될 확률 \(=\) 누적분포함수의 값 \(\Phi(2)\)

\(\Phi(2) \fallingdotseq 0.97725\ \ (97.7\%)\)

이해의 핵심

\(\Phi\)의 값은 예전에는 교과서 맨 뒤에 있는 ‘표준정규분포표’를 찾아서 알아냈습니다. 이 계산기는 그 표준정규분포표를 대신할 수 있습니다. 반대쪽인 ‘\(Z\)보다 큰 값이 될 확률’은 전체 확률 1에서 뺀 \(1 - \Phi(Z)\)입니다. 또 확률에서 z값으로 거꾸로 돌아가려면 역함수 \(\Phi^{-1}\)를 씁니다(예: \(\Phi^{-1}(0.975) \fallingdotseq 1.96\)). 이 계산기는 어느 방향의 변환도 할 수 있습니다.

\(-Z\)와 \(Z\) 사이가 될 확률(양쪽을 한꺼번에)

그래프

수학 표기 (일반적인 수식)

\(P(-Z<x<Z)\) \(=\) \(2\) \(\times\) \(\Phi(Z)\) \(-\) \(1\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

④ \(-Z\)와 \(Z\) 사이의 확률 \(=\) ② 2배(양쪽 몫) \(\times\) ① 왼쪽의 넓이 \(\Phi(Z)\) \(-\) ③ 전체 확률 \(1\)

공식을 말로 읽으면

① 누적분포함수의 값 \(\Phi(Z)\)(\(Z\)보다 왼쪽의 넓이) 를

② 2배(좌우 대칭이므로 2개분) 하고,

③ 전체 확률 \(1\) 을 빼면

④ \(-Z\)와 \(Z\) 사이가 될 확률 이 됩니다.

간단한 예

z값이 1.96일 때(\(\Phi(1.96) \fallingdotseq 0.975\)) −1.96과 1.96 사이가 될 확률은

−1.96과 1.96 사이가 될 확률 \(=\) 2배 \(\times\) 누적분포함수의 값(0.975) \(-\) 전체 확률(1)

\(2 \times 0.975 - 1 = 1.95 - 1 = 0.95\ \ (95\%)\)

이해의 핵심

이 식을 쓸 수 있는 것은 \(Z\)가 0 이상일 때입니다. 표준정규분포는 0을 중심으로 좌우 대칭이므로 ‘\(-Z\)부터 \(Z\)까지’의 넓이는 ‘\(Z\)보다 왼쪽의 넓이 \(\Phi(Z)\)’를 2배 하고, 겹쳐서 더해진 전체 1개분을 빼면 구할 수 있습니다. 바깥쪽(양 끝)으로 나갈 확률은 그 여사건으로 \(1 - (2\Phi(Z) - 1)\)입니다. 예의 \(Z = 1.96\)에서는 안쪽이 95%, 바깥쪽이 5%가 되며, 통계의 검정에서 자주 나오는 ‘유의수준 5%’의 경계가 바로 이 z값입니다.

두 z값 \(Z_1\), \(Z_2\) 사이가 될 확률

그래프

수학 표기 (일반적인 수식)

\(P(Z_1<x<Z_2)\) \(=\) \(\Phi(Z_2)\) \(-\) \(\Phi(Z_1)\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

③ \(Z_1\)과 \(Z_2\) 사이의 확률 \(=\) ① 왼쪽의 넓이 \(\Phi(Z_2)\) \(-\) ② 왼쪽의 넓이 \(\Phi(Z_1)\)

공식을 말로 읽으면

① 위쪽 경계 \(Z_2\)보다 왼쪽의 넓이 \(\Phi(Z_2)\) 에서

② 아래쪽 경계 \(Z_1\)보다 왼쪽의 넓이 \(\Phi(Z_1)\) 을 빼면

③ \(Z_1\)과 \(Z_2\) 사이가 될 확률 이 됩니다.

간단한 예

\(Z_1 = -1\), \(Z_2 = 0\)일 때(\(\Phi(0) = 0.5\), \(\Phi(-1) \fallingdotseq 0.15866\)) −1과 0 사이가 될 확률은

−1과 0 사이가 될 확률 \(=\) 위쪽 경계보다 왼쪽의 넓이 \(\Phi(0)\) \(-\) 아래쪽 경계보다 왼쪽의 넓이 \(\Phi(-1)\)

\(0.5 - 0.15866 = 0.34134\ \ (34.1\%)\)

이해의 핵심

‘큰 쪽까지의 넓이에서 작은 쪽까지의 넓이를 뺀다’는 것뿐이므로 \(Z_1\), \(Z_2\)가 어떤 조합이든(둘 다 음수여도) 쓸 수 있습니다. \(Z_1 = -1\), \(Z_2 = 1\)을 넣으면 약 0.683(68.3%)이 되어, ‘평균 ± 표준편차 1개분에 약 68%가 들어간다’는 정규분포의 유명한 기준(68–95–99.7 규칙)을 이 식으로 확인할 수 있습니다.

z점수는 ‘평균에서 표준편차 몇 개분 떨어져 있는지’를 나타내는, 자료의 위치를 재는 공통의 잣대입니다. z점수로 바꾸면 단위가 다른 자료끼리 비교할 수 있고, 누적분포함수 \(\Phi\)로 ‘그 값까지의 확률(넓이)’로 바꿀 수 있습니다.

용어·기호 해설

기호

\(z\)	제트(z값·z점수)	값이 평균에서 표준편차 몇 개분 떨어져 있는지를 나타내는 수로, \(z = (x - \mu) \div \sigma\)로 구합니다. 양수이면 평균보다 위, 음수이면 평균보다 아래입니다. 이 페이지에서는 사용법 ②, ③처럼 직접 정하는 z값을 대문자 \(Z\)로 구별해 씁니다.
\(x\)	엑스	측정값입니다. 시험 점수나 키처럼 z점수로 바꾸고 싶은 원래 값입니다.
\(\mu\)	뮤	평균입니다. 분포의 봉우리의 중심 위치입니다. 그리스 문자로, 영어의 m에 해당합니다.
\(\sigma\)	시그마	표준편차입니다. 자료가 흩어진 정도의 크기입니다. 클수록 봉우리는 낮고 넓어집니다. 그리스 문자로, 영어의 s에 해당합니다.
\(\Phi(Z)\)	파이 제트	표준정규분포(평균 0, 표준편차 1)의 누적분포함수입니다. ‘\(Z\)보다 작은 값이 될 확률’, 즉 곡선에서 \(Z\)보다 왼쪽의 넓이를 돌려줍니다.
\(\Phi^{-1}\)	파이 인버스(Φ의 역함수)	\(\Phi\)와 반대 방향의 함수입니다. ‘확률(넓이)’로 ‘그렇게 되는 z값’을 돌려줍니다. (예: \(\Phi^{-1}(0.975) \fallingdotseq 1.96\))
\(Z_1,\ Z_2\)	제트 일, 제트 이	사용법 ③에서 정하는 두 z값입니다. \(Z_1\)이 왼쪽(작은 쪽), \(Z_2\)가 오른쪽(큰 쪽)의 경계입니다.

용어

z점수 (표준화 점수)	값이 ‘평균에서 표준편차 몇 개분 떨어져 있는지’를 나타내는 단위 없는 수입니다. z값, 표준화 점수라고도 하며, 통계학에서는 표준점수라고도 부릅니다. 단위나 만점이 다른 자료끼리 같은 잣대로 비교할 수 있는 것이 가장 큰 장점입니다.
표준화	원래 값을 z점수로 바꾸는 것입니다. 어떤 정규분포의 자료든 표준화하면 평균 0, 표준편차 1인 표준정규분포 하나로 다룰 수 있게 됩니다.
표준정규분포	평균 0, 표준편차 1인 정규분포입니다. z점수의 세계의 분포로, 모든 정규분포의 확률 계산에서 ‘공통의 잣대’로 씁니다.
정규분포	평균을 중심으로 좌우 대칭인 종 모양으로 흩어진 분포입니다. 시험 점수, 키, 제품 무게의 차이 등 세상의 많은 자료가 이 모양에 가까워집니다.
누적분포함수	‘그 값 이하가 될 확률’을 돌려주는 함수입니다. 표준정규분포의 것은 기호 \(\Phi\)(파이)로 나타냅니다. 곡선의 왼쪽 넓이를 쌓아 올린(누적한) 것이어서 이런 이름이 붙었습니다.
표준정규분포표 (z표)	z값과 \(\Phi\)의 값(넓이)의 대응을 정리한 수표입니다. 고등학교 ‘확률과 통계’ 교과서나 통계 책의 맨 뒤에 실려 있습니다. 이 페이지의 사용법 ②는 이 표 대신 쓸 수 있습니다.
수능 표준점수	수능에서 원점수를 z점수로 바꾼 뒤 다시 정한 점수입니다. 국어·수학은 \(100 + 20 \times z\), 탐구 영역은 \(50 + 10 \times z\)로 계산하며(한국교육과정평가원), z점수의 가장 친숙한 활용 예입니다. 심리검사 등에서 쓰는 T점수(\(50 + 10 \times z\))도 같은 생각입니다.

먼저 알아 두면 좋은 내용

이 페이지의 계산을 ‘뜻을 이해하고’ 쓸 수 있도록, 미리 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.

평균(초등학교 5학년, 10~11세)	자료를 모두 더해 개수로 나누면 평균을 구할 수 있다는 것을 아는 것 평균이 ‘분포의 한가운데 부근’을 나타내는 대표의 값이라는 것을 아는 것
정수와 유리수의 계산(중학교 1학년, 12~13세)	\(55 - 70 = -15\)처럼 뺄셈의 결과가 음수가 되는 계산을 할 수 있는 것 음수를 양수로 나누면 답도 음수가 된다는 것을 아는 것
산포도와 표준편차(중학교 3학년, 14~15세)	평균이 같아도 ‘넓게 흩어진 자료’와 ‘좁게 모인 자료’가 있다는 것을 아는 것 표준편차가 그 흩어진 정도의 크기를 하나의 수로 나타낸 것임을 아는 것
정규분포와 넓이로 보는 방법(고등학교 ‘확률과 통계’, 16~18세)	분포의 곡선과 가로축으로 둘러싸인 넓이가 ‘전체에 대한 비율(확률)’을 나타낸다고 볼 수 있는 것 정규분포가 평균을 중심으로 좌우 대칭이라는 것을 아는 것

Excel로 계산하는 방법

아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.

‘z점수’를 구하는 표

측정값 x	75
평균 μ	65
표준편차 σ	5
z점수	=(B1-B2)/B3

‘z값보다 작은 값이 될 확률 P(x<Z)’를 구하는 표

z값 Z	2
P(x<Z)	=NORM.S.DIST(B1,TRUE)

‘−Z와 Z 사이가 될 확률’을 구하는 표

z값 Z	1.96
Φ(Z)	=NORM.S.DIST(B1,TRUE)
−Z와 Z 사이가 될 확률	=2*B2-1

‘두 z값 Z1, Z2 사이가 될 확률’을 구하는 표

왼쪽 Z1	-1
오른쪽 Z2	0
Φ(Z1)	=NORM.S.DIST(B1,TRUE)
Φ(Z2)	=NORM.S.DIST(B2,TRUE)
Z1과 Z2 사이가 될 확률	=B4-B3

표를 붙여 넣으면 B열의 숫자를 입력 칸으로 쓸 수 있습니다. ‘NORM.S.DIST(값, TRUE)’가 누적분포함수 \(\Phi\)에 해당하는 함수이고, TRUE는 ‘누적값(왼쪽의 넓이)을 돌려 달라’는 지정입니다.
첫 번째 표는 값·평균·표준편차(B1~B3)를 바꾸면 B4에 z점수가 나옵니다(예의 값이라면 B4는 2). 두 번째 표는 z값(B1)으로 확률(B2)을 구하며, 예의 값이라면 B2는 약 0.97725(97.7%)입니다.
세 번째 표에 z값 1.96을 넣으면 −1.96과 1.96 사이가 될 확률(B3)이 약 0.95(95%)가 됩니다. 네 번째 표는 두 z값 사이의 확률로, 예의 값(−1과 0)이라면 B5는 약 0.34134(34.1%)입니다.
거꾸로 ‘확률로 z값을 알고 싶을’ 때는 ‘=NORM.S.INV(확률)’을 씁니다(예: `=NORM.S.INV(0.975)`는 약 1.95996).

Google 스프레드시트로 계산하는 방법

아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.

‘z점수’를 구하는 표

측정값 x	75
평균 μ	65
표준편차 σ	5
z점수	=(B1-B2)/B3

‘z값보다 작은 값이 될 확률 P(x<Z)’를 구하는 표

z값 Z	2
P(x<Z)	=NORMSDIST(B1)

‘−Z와 Z 사이가 될 확률’을 구하는 표

z값 Z	1.96
Φ(Z)	=NORMSDIST(B1)
−Z와 Z 사이가 될 확률	=2*B2-1

‘두 z값 Z1, Z2 사이가 될 확률’을 구하는 표

왼쪽 Z1	-1
오른쪽 Z2	0
Φ(Z1)	=NORMSDIST(B1)
Φ(Z2)	=NORMSDIST(B2)
Z1과 Z2 사이가 될 확률	=B4-B3

Google 스프레드시트에서는 누적분포함수 \(\Phi\)를 ‘NORMSDIST(값)’으로 계산합니다(Excel의 ‘NORM.S.DIST(값, TRUE)’와 같은 기능이지만 TRUE는 지정하지 않아도 됩니다). 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고 B열의 숫자를 바꾸세요.
결과는 Excel판과 같습니다. 첫 번째 표는 75, 65, 5로 z점수 2를, 두 번째 표는 z값 2로 확률 약 0.97725를 구합니다.
확률로 z값을 구할 때는 ‘=NORMSINV(확률)’을 씁니다(예: `=NORMSINV(0.975)`는 약 1.95996).

Python으로 계산하는 방법

import math

def phi(z):
    # 표준정규분포의 누적분포함수 Φ(z)(오차함수 erf로 계산)
    return 0.5 * (1 + math.erf(z / math.sqrt(2)))

x = 75       # 측정값
mean = 65    # 평균
sd = 5       # 표준편차

z_score = (x - mean) / sd             # z값
p_less_than_z = phi(z_score)          # z값보다 작은 값이 될 확률 P(x<Z)

z = 1.96
p_between_minus_z_and_z = 2 * phi(z) - 1   # -z와 z 사이가 될 확률

z1, z2 = -1, 0
p_between_z1_z2 = phi(z2) - phi(z1)        # z1과 z2 사이가 될 확률

print(f"z값: {z_score}")
print(f"P(x<Z): {p_less_than_z}")
print(f"-z와 z 사이가 될 확률: {p_between_minus_z_and_z}")
print(f"z1과 z2 사이가 될 확률: {p_between_z1_z2}")

표준 라이브러리의 math.erf(오차함수)만으로 누적분포함수 \(\Phi\)를 계산할 수 있습니다. 거꾸로(확률 → z값)가 필요할 때는 표준 라이브러리 statistics 모듈의 NormalDist().inv_cdf()를 쓰세요(예: `statistics.NormalDist().inv_cdf(0.975)`는 약 1.95996).

LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)

z점수의 정의(평균에서 표준편차 몇 개분 떨어져 있는지)

z = (x − μ) ÷ σ

z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>z</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>x</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x3BC;</mi></mrow>
      <mi>&#x3C3;</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

z = (x - mu)/sigma

(x - mu)/sigma

z := (x - mu)/sigma;

z = (x - mu)/sigma;

z = (x-μ)/σ

z값으로 ‘\(Z\)보다 작은 값이 될 확률’ 구하기

P(x<Z) = Φ(Z)

P(x<Z) = \Phi(Z)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>&lt;</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mi>&#x3A6;</mi><mo>(</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

P(x<Z) = Phi(Z)

CDF[NormalDistribution[0, 1], Z]

with(Statistics): CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z);

p = normcdf(Z);

P(x<Z) = Φ(Z)

\(-Z\)와 \(Z\) 사이가 될 확률(양쪽을 한꺼번에)

P(−Z<x<Z) = 2Φ(Z) − 1

P(-Z<x<Z) = 2\Phi(Z) - 1

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mo>&#x2212;</mo><mi>Z</mi><mo>&lt;</mo><mi>x</mi><mo>&lt;</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mn>2</mn><mi>&#x3A6;</mi><mo>(</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn>
  </mrow>
</math>

P(-Z<x<Z) = 2 Phi(Z) - 1

2 CDF[NormalDistribution[0, 1], Z] - 1

with(Statistics): 2*CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z) - 1;

p = 2*normcdf(Z) - 1;

P(-Z<x<Z) = 2Φ(Z) - 1

두 z값 \(Z_1\), \(Z_2\) 사이가 될 확률

P(Z₁<x<Z₂) = Φ(Z₂) − Φ(Z₁)

P(Z_1<x<Z_2) = \Phi(Z_2) - \Phi(Z_1)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><msub><mi>Z</mi><mn>1</mn></msub><mo>&lt;</mo><mi>x</mi><mo>&lt;</mo><msub><mi>Z</mi><mn>2</mn></msub><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mi>&#x3A6;</mi><mo>(</mo><msub><mi>Z</mi><mn>2</mn></msub><mo>)</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>&#x3A6;</mi><mo>(</mo><msub><mi>Z</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

P(Z_1<x<Z_2) = Phi(Z_2) - Phi(Z_1)

CDF[NormalDistribution[0, 1], Z2] - CDF[NormalDistribution[0, 1], Z1]

with(Statistics): CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z2) - CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z1);

p = normcdf(Z2) - normcdf(Z1);

P(Z1<x<Z2) = Φ(Z2) - Φ(Z1)

ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법

당신은 통계 계산 도우미입니다. 다음 계산을 반드시 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 숫자만을 근거로 답해 주세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요).

평균 65점, 표준편차 5점인 시험에서 75점을 받은 사람이 있습니다.
1. 이 사람의 z값(z점수)을 구해 주세요.
2. 그 값보다 작은 점수가 될 확률 P(x<Z)를 구해 주세요(표준정규분포의 누적분포함수 Φ를 쓰고, math.erf나 statistics.NormalDist 같은 Python 표준 라이브러리를 써도 됩니다).
3. z값이 −1.96과 1.96 사이에 들어갈 확률도 구해 주세요.

계산에 사용한 공식과 실행 결과의 숫자를 보여 주세요.

사용법

1

숫자 입력

계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
2

계산

‘계산’ 버튼을 누릅니다
3

결과 확인

계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다

DataChef의 특징

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z점수 계산기(z값과 확률 상호 변환)

목차

이 페이지에서 할 수 있는 것

이 계산은 어디에 쓰일까요?

공식과 그래프

용어·기호 해설

기호

용어

먼저 알아 두면 좋은 내용

Excel로 계산하는 방법

Google 스프레드시트로 계산하는 방법

Python으로 계산하는 방법

LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)

ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법

사용법

DataChef의 특징

관련 기능

정규분포 확률 계산기

평균과 표준편차로 지정한 범위에 들어갈 확률, 상위 몇 %인지를 계산합니다

표준편차 계산기(모표준편차·표본표준편차)

숫자의 목록으로 모표준편차, 표본표준편차, 분산, 평균을 계산합니다

두 독립사건의 확률 계산기

두 확률로 ‘둘 다 일어날’ 확률, ‘적어도 하나가 일어날’ 확률 등을 계산합니다

추천

확률과 무작위

평균과 통계

비율과 백분율

속력

밀도와 농도

물리와 전기

단위 변환

정수와 양수·음수

분수·소수와 어림하기

방정식과 부등식

다항식과 전개

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