부채꼴 넓이 계산기(반지름과 중심각으로 계산)

부채꼴의 반지름과 중심각을 입력하세요. 넓이(πr² × 중심각 ÷ 360)를 계산하고 부채꼴의 그림도 그립니다.

단위

반지름 r

중심각(도)

중심각(라디안)

중심각은 ‘도’와 ‘라디안’ 중 한쪽에만 입력하세요. 수는 단위 없이 입력합니다(반지름을 cm로 넣으면 넓이는 cm², m라면 m²).

계산 결과·도형

왼쪽 입력란에 반지름과 중심각(도 또는 라디안 중 하나)을 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과와 부채꼴의 그림이 표시됩니다.

이 페이지에서 할 수 있는 것
이 계산은 어디에 쓰일까요?
사용법
공식과 그림
- 부채꼴의 넓이(중심각이 도일 때)
- 부채꼴의 넓이(중심각이 라디안일 때)
용어·기호 해설
- 기호
- 용어
먼저 알아 두면 좋은 내용
Excel로 계산하는 방법
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
Python으로 계산하는 방법
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
ChatGPT에게 물어서 계산하는 방법
DataChef의 특징
관련 기능
NumberChef 계산기 목록

이 페이지에서 할 수 있는 것

반지름과 중심각만 넣으면 부채꼴의 넓이(\(\pi r^2 \times\) 중심각 \(\div\, 360\))를 바로 알 수 있습니다
중심각은 ‘도(°)’로도 ‘라디안’으로도 입력할 수 있습니다(둘 중 한 칸에 입력합니다)
나누어떨어지는 경우에는 원주율 \(\pi\)를 남긴 정확한 꼴(반지름 30, 중심각 90°라면 \(225\pi\))도 보여 줍니다
계산 결과와 함께 부채꼴의 그림도 그려 주므로, 원 전체 중 어느 부분의 넓이를 구했는지 한눈에 알 수 있습니다
공식의 쉬운 해설과 Excel·Google 스프레드시트·Python용 복사해서 쓰는 수식도 이 페이지에 정리되어 있습니다

원주율은 \(\pi = 3.14159\ldots\)를 써서 계산합니다(초등학교 수학에서 쓰는 ‘3.14’는 이 값의 어림값입니다). 단위 없이 수만 입력하세요. 반지름을 cm로 넣으면 넓이는 cm², m라면 m²가 됩니다.

이 계산은 어디에 쓰일까요?

피자나 홀케이크 한 조각의 크기 비교하기(음식 나누기)

지름 30 cm(반지름 15 cm)인 피자를 8등분하면 한 조각은 중심각 \(360^\circ \div 8 = 45^\circ\)인 부채꼴입니다. 넓이는 \(\pi \times 15^2 \times \dfrac{45}{360} = \dfrac{225\pi}{8} \fallingdotseq 88.4\,\mathrm{cm^2}\)입니다.
‘미디엄 8조각 중 한 조각과 라지 12조각 중 한 조각 중 어느 쪽이 큰가’ 같은 비교도, 이 식으로 넓이를 구하면 수로 판단할 수 있습니다.

스프링클러의 물 뿌리는 범위 어림하기(원예·농업)

회전식 스프링클러는 물이 닿는 거리를 반지름, 회전하는 각도를 중심각으로 하는 부채꼴 범위에 물을 뿌립니다. 반지름 10 m로 180° 도는 형식이라면 \(\pi \times 10^2 \times \dfrac{180}{360} = 50\pi \fallingdotseq 157.1\,\mathrm{m^2}\)입니다.
정원이나 밭의 넓이와 비교하면 필요한 대수와 놓을 자리를 사기 전에 계획할 수 있습니다(실제 물의 양은 바람이나 수압에 따라서도 달라지므로 어디까지나 범위의 기준입니다).

자동차 와이퍼가 닦는 범위 생각하기(자동차 설계·정비)

와이퍼는 암의 밑동을 중심으로 부채꼴로 움직입니다. 끝이 닿는 반지름이 60 cm이고 90° 움직인다면, 쓸고 지나가는 부채꼴은 \(\pi \times 60^2 \times \dfrac{90}{360} = 900\pi \fallingdotseq 2827\,\mathrm{cm^2}\)(약 0.28 m²)입니다.
실제로 닦이는 것은 여기서 블레이드가 닿지 않는 안쪽의 작은 부채꼴을 뺀 부분(바움쿠헨 같은 모양)이므로, ‘큰 부채꼴 − 작은 부채꼴’로 이 식을 두 번 써서 구합니다.

부채꼴 모양 화단이나 광장의 넓이 구하기(조경·정원 가꾸기)

길모퉁이나 건물 앞에는 부채꼴 모양의 화단·잔디밭이 자주 만들어집니다. 반지름 3 m, 중심각 120°인 화단이라면 \(\pi \times 3^2 \times \dfrac{120}{360} = 3\pi \fallingdotseq 9.4\,\mathrm{m^2}\)입니다.
잔디·흙·벽돌 같은 재료는 넓이당 필요량(1 m²당 몇 포대 등)으로 팔리므로, 넓이를 알면 살 양을 어림할 수 있습니다.

방범 카메라나 센서가 감시하는 범위 확인하기(방범·보안)

CCTV나 동작 감지 센서의 사양서에는 ‘화각 90°, 감지 거리 8 m’처럼 적혀 있습니다. 수평 방향으로 감시할 수 있는 범위를 부채꼴로 보면 \(\pi \times 8^2 \times \dfrac{90}{360} = 16\pi \fallingdotseq 50.3\,\mathrm{m^2}\)입니다.
주차장이나 매장 도면과 겹쳐 보면 사각지대가 없는지, 몇 대가 필요한지를 설치 전에 검토할 수 있습니다(장애물이나 위아래 방향의 각도에 따라 실제로 찍히는 범위는 달라집니다).

공식과 그림

부채꼴의 넓이(중심각이 도일 때)

그림

수학 표기 (일반적인 수식)

\(S\) \(=\) \(\pi\) \(\times\) \(r\) \(2\) \(\times\) \(\theta\) \(\div\) \(360\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

⑥ 부채꼴의 넓이 \(S\) \(=\) ③ 원주율 \(\pi\) \(\times\) ① 반지름 \(r\) ② 제곱(같은 길이를 두 번 곱함) \(\times\) ④ 중심각 \(\theta\)(도) \(\div\) ⑤ 원 전체의 각도 \(360^\circ\)

공식을 말로 읽으면

① 반지름(\(r\)) 을

② 제곱(같은 길이를 두 번 곱함) 하고

③ 원주율(\(\pi\), 약 3.14) 을 곱하면 먼저 원 전체의 넓이 \(\pi r^2\)이 됩니다. 여기에

④ 중심각(\(\theta\), 도) 을 곱하고

⑤ 원 전체의 각도(\(360^\circ\)) 로 나누면(= 중심각이 원 전체의 얼마만큼의 비율인지를 곱하면)

⑥ 부채꼴의 넓이(\(S\)) 가 됩니다

간단한 예

반지름 30 cm, 중심각 90°인 부채꼴의 넓이는

부채꼴의 넓이 \(S\) \(=\) 원주율 \(\pi\) \(\times\) 반지름(30 cm) 제곱 \(\times\) 중심각(90°) \(\div\) 원 전체의 각도(360°)

\(\pi \times 30^2 \times \dfrac{90}{360} = 900\pi \times \dfrac{1}{4} = 225\pi\)

\(225\pi = 225 \times 3.14159\ldots \fallingdotseq 706.86\,\mathrm{cm^2}\)

이해의 핵심

부채꼴은 ‘원을 피자처럼 중심각으로 잘라 낸 한 조각’입니다. 그래서 넓이는 원 전체의 넓이 \(\pi r^2\)에 ‘중심각이 원 전체(360°) 중 얼마만큼의 비율인가’\(\left(\dfrac{\theta}{360}\right)\)를 곱하기만 하면 구할 수 있습니다. 중심각이 90°라면 원 전체의 \(\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}\), 180°라면 절반, 360°라면 꼭 원 전체입니다. 중심각이 360의 약수(90°·60°·45° 등)일 때는 먼저 \(\dfrac{\theta}{360}\)를 약분한 뒤 곱하면 계산이 쉬워집니다.

부채꼴의 넓이(중심각이 라디안일 때)

그림

수학 표기 (일반적인 수식)

\(S\) \(=\) \(\pi\) \(\times\) \(r\) \(2\) \(\times\) \(\theta\) \(\div\) \(2\pi\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

⑥ 부채꼴의 넓이 \(S\) \(=\) ③ 원주율 \(\pi\) \(\times\) ① 반지름 \(r\) ② 제곱(같은 길이를 두 번 곱함) \(\times\) ④ 중심각 \(\theta\)(라디안) \(\div\) ⑤ 원 전체의 각도 \(2\pi\)

공식을 말로 읽으면

① 반지름(\(r\)) 을

② 제곱(같은 길이를 두 번 곱함) 하고

③ 원주율(\(\pi\), 약 3.14) 을 곱하면 먼저 원 전체의 넓이 \(\pi r^2\)이 됩니다. 여기에

④ 중심각(\(\theta\), 라디안) 을 곱하고

⑤ 원 전체의 각도(\(2\pi\) 라디안) 로 나누면(= 중심각이 원 전체의 얼마만큼의 비율인지를 곱하면)

⑥ 부채꼴의 넓이(\(S\)) 가 됩니다

간단한 예

반지름 10 cm, 중심각 1.5708 라디안(약 90°)인 부채꼴의 넓이는

부채꼴의 넓이 \(S\) \(=\) 원주율 \(\pi\) \(\times\) 반지름(10 cm) 제곱 \(\times\) 중심각(1.5708 라디안) \(\div\) 원 전체의 각도(\(2\pi\) 라디안)

\(\pi \times 10^2 \times \dfrac{1.5708}{2\pi} = 10^2 \times \dfrac{1.5708}{2}\)

\(100 \times 1.5708 \div 2 = 78.54\,\mathrm{cm^2}\)

이해의 핵심

라디안은 고등학교에서 배우는 각도를 재는 방법(호도법)으로, \(180^\circ = \pi\) 라디안, \(360^\circ = 2\pi\) 라디안입니다. 생각하는 방법은 도일 때와 똑같아서, 원 전체의 넓이 \(\pi r^2\)에 ‘중심각이 원 전체(\(2\pi\) 라디안) 중 얼마만큼의 비율인가’를 곱합니다. 이 식에서는 분자의 \(\pi\)와 분모의 \(\pi\)가 약분되어 사라지므로, 정리하면 고등학교 교과서에 나오는 \(S = \dfrac{1}{2} r^2 \theta\)(반지름의 제곱 × 중심각 ÷ 2)라는 간단한 꼴이 됩니다.

부채꼴의 넓이는 ‘원 전체의 넓이 \(\pi r^2\) × 중심각의 비율’로 구합니다. 중심각이 도라면 \(\div\,360\), 라디안이라면 \(\div\,2\pi\)(정리하면 \(S = \dfrac{1}{2} r^2 \theta\))입니다. 반지름을 cm로 넣으면 답은 cm²가 됩니다.

용어·기호 해설

기호

\(S\)	에스	넓이를 나타낼 때 자주 쓰는 기호입니다. 이 페이지에서는 부채꼴의 넓이를 나타냅니다.
\(r\)	알	반지름입니다. 영어 radius(반지름)의 첫 글자로, 원의 중심에서 호까지의 길이를 나타냅니다.
\(r^2\)	알의 제곱	같은 수 \(r\)을 두 번 곱한 값(\(r \times r\))입니다. 오른쪽 위의 작은 2는 ‘두 번 곱한다’는 뜻의 지수입니다.
\(\theta\)	세타	각의 크기를 나타낼 때 자주 쓰는 그리스 문자입니다. 이 페이지에서는 부채꼴의 중심각을 나타냅니다.
\(\pi\)	파이	원주율입니다. 원주가 지름의 몇 배인지를 나타내는 수로, \(3.14159265\ldots\)처럼 끝없이 이어지며 되풀이되지 않는 소수(무리수)입니다. 초등학교에서는 약 3.14로 계산합니다.
\(^\circ\)	도	각도의 단위입니다. 원 한 바퀴를 360등분한 각의 크기가 1°입니다. 각도기로 재는, 가장 친숙한 각도의 표현 방법(육십분법)입니다.
\(\mathrm{rad}\)	라디안	고등학교에서 배우는 각도의 단위(호도법)입니다. 반지름과 같은 길이의 호에 대한 중심각이 1 라디안이며, \(180^\circ = \pi\) 라디안(1 라디안 ≒ 57.3°)입니다.

용어

부채꼴	원을 두 반지름으로 잘라 낸, 부채 같은 모양입니다. 두 반지름과 호로 둘러싸여 있습니다.
중심각	부채꼴의 사북(부채의 손잡이 쪽 꼭지) 부분, 즉 원의 중심에 생기는 각입니다. 부채꼴이 벌어진 정도를 나타내며, 클수록 넓이도 호도 커집니다.
호	원주의 일부분입니다. 부채꼴의 바깥쪽 곡선 부분입니다.
원주율	원주 ÷ 지름의 값입니다. 어떤 크기의 원이든 같은 값(\(3.14159\ldots\))이 됩니다. 기호는 \(\pi\)입니다.
육십분법	원 한 바퀴를 360°로 하여 각도를 재는 방법입니다. 초등학교 때부터 계속 써 온 ‘도(°)’로 재는 방법입니다.
호도법	호의 길이를 바탕으로 각도를 재는 방법(단위는 라디안)입니다. 원 한 바퀴는 \(2\pi\) 라디안입니다. 고등학교 수학 I(2022 개정에서는 대수)의 삼각함수부터 씁니다.
비율	전체 중 얼마만큼을 차지하는지를 나타내는 수입니다. 이 페이지에서는 ‘중심각 ÷ 원 전체의 각도’가, 부채꼴이 원 전체 중 얼마만큼의 비율인지를 나타냅니다.

먼저 알아 두면 좋은 내용

이 페이지의 계산을 ‘뜻을 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.

비율과 분수의 곱셈(초등학교 5~6학년, 10~12세)	‘전체 중 얼마만큼인가’를 \(\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}\) 같은 분수(비율)로 나타낼 수 있을 것 분수의 약분과 ‘수 × 분수’의 계산을 할 수 있을 것
원의 넓이(초등학교 6학년, 11~12세)	원의 넓이를 ‘반지름 × 반지름 × 원주율(3.14)’로 구할 수 있음을 알 것 cm²·m²라는 넓이의 단위를 읽고 쓸 수 있을 것
문자와 식, 원주율 π(중학교 1학년, 12~13세)	원주율을 문자 \(\pi\) 그대로 남겨 \(225\pi\) 같은 꼴로 답을 쓸 수 있을 것
평면도형, 부채꼴(중학교 1학년, 12~13세)	부채꼴·중심각·호라는 용어의 뜻을 알 것 부채꼴이 ‘원을 중심각의 비율만큼 잘라 낸 모양’이라고 그려 볼 수 있을 것
호도법(고등학교 수학 I·대수) ※라디안 칸을 쓸 때만	라디안의 뜻과 \(180^\circ = \pi\) 라디안(원 한 바퀴 = \(2\pi\) 라디안)의 대응을 알 것

Excel로 계산하는 방법

아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.

‘부채꼴의 넓이(중심각이 도일 때)’를 구하는 표

반지름	30
중심각(도)	90
부채꼴의 넓이	=PI()B1^2B2/360

‘부채꼴의 넓이(중심각이 라디안일 때)’를 구하는 표

반지름	10
중심각(라디안)	1.5708
부채꼴의 넓이	=B1^2*B2/2

붙여 넣으면 A열에 항목 이름, B열에 수가 들어갑니다. 위쪽 행이 입력 칸이고, 마지막 행의 수식이 입력 칸의 값으로 자동 계산합니다.
수식 안의 ‘B1’, ‘B2’는 ‘그 셀에 들어 있는 수를 쓴다’는 뜻이며, ‘*’는 곱셈, ‘/’는 나눗셈, ‘^’는 거듭제곱(몇 번 곱하는지)의 기호입니다. ‘PI()’는 원주율 π(3.14159…)를 돌려주는 함수입니다.
첫 번째 표라면 B3에 π × 30² × 90 ÷ 360 = 약 706.86이 표시됩니다(cm로 입력했으므로 cm²). 두 번째 표(라디안 버전은 반지름² × 중심각 ÷ 2)는 B3에 78.54가 나옵니다. 입력 칸의 수를 자신의 부채꼴에 맞게 바꾸기만 하면 됩니다.

Google 스프레드시트로 계산하는 방법

아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.

‘부채꼴의 넓이(중심각이 도일 때)’를 구하는 표

반지름	30
중심각(도)	90
부채꼴의 넓이	=PI()B1^2B2/360

‘부채꼴의 넓이(중심각이 라디안일 때)’를 구하는 표

반지름	10
중심각(라디안)	1.5708
부채꼴의 넓이	=B1^2*B2/2

Excel과 같은 수식(PI() 함수도 같음)을 그대로 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 입력 칸의 수를 자신의 부채꼴에 맞게 바꾸세요.

Python으로 계산하는 방법

import math

radius = 30    # 반지름(이 예에서는 cm)
degrees = 90   # 중심각(도)

area = math.pi * radius ** 2 * degrees / 360   # 부채꼴의 넓이(입력 단위의 제곱. 이 예에서는 cm2)

print(f"부채꼴의 넓이: {area} cm2")

# 중심각을 라디안으로 잴 때(고등학교의 호도법)는 ‘반지름의 제곱 × 중심각 ÷ 2’
radians = 1.5708
area_by_radians = radius ** 2 * radians / 2
print(f"중심각이 {radians} 라디안이라면: {area_by_radians} cm2")

표준 라이브러리만으로 동작합니다. ‘math.pi’가 원주율 π, ‘**’가 거듭제곱(제곱), ‘*’가 곱셈, ‘/’가 나눗셈 기호입니다. 맨 위의 반지름과 중심각 값을 바꿔 실행하세요.

LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)

부채꼴의 넓이(중심각이 도일 때)

S = πr² × θ ÷ 360

S = \pi r^{2} \times \dfrac{\theta}{360}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>&#x03C0;</mi>
    <msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mfrac><mi>&#x03B8;</mi><mn>360</mn></mfrac>
  </mrow>
</math>

S = pi r^2 xx theta/360

Pi r^2 theta/360

S := Pi*r^2*theta/360;

S = pi*r^2*theta/360;

S = πr^2 × θ/360

부채꼴의 넓이(중심각이 라디안일 때)

S = πr² × θ ÷ (2π)

S = \pi r^{2} \times \dfrac{\theta}{2\pi}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>&#x03C0;</mi>
    <msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mfrac><mi>&#x03B8;</mi><mrow><mn>2</mn><mi>&#x03C0;</mi></mrow></mfrac>
  </mrow>
</math>

S = pi r^2 xx theta/(2 pi)

Pi r^2 theta/(2 Pi)

S := Pi*r^2*theta/(2*Pi);

S = pi*r^2*theta/(2*pi);

S = πr^2 × θ/(2π)

ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법

당신은 산수·수학 계산 도우미입니다. 다음 계산을 반드시 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답하세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요).

반지름 30 cm, 중심각 90°인 부채꼴이 있습니다.
다음 값을 각각 구하세요.
1. 이 부채꼴의 넓이는 몇 cm²인가(소수로)
2. 그 넓이를 원주율 π를 남긴 정확한 꼴로 나타내면 어떻게 되는가

계산에 사용한 식과 실행 결과의 수치를 보여 주세요.