이차부등식의 좌변 ax² + bx + c의 계수 a, b, c와 0과 비교하는 부등호를 입력해 주세요. 아래 수식은 입력란과 연동되어 있어 계수 부분을 직접 고쳐 써도 계산할 수 있습니다.
소수, 음수, 3/4 같은 분수를 쓸 수 있습니다. a가 빈칸이면 1(x²은 1x²이라는 뜻), b와 c가 빈칸이면 0으로 처리합니다. a에 0을 넣으면 일차부등식으로 풉니다.
계산 결과·그래프
왼쪽 입력란에 계수 a, b, c와 부등호를 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 해의 범위, 풀이 과정, 그래프가 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- 이차부등식 \(ax^{2}+bx+c>0\)의 해의 범위를 계수와 부등호만 고르면 구할 수 있습니다. 부등호는 \(>\), \(\ge\), \(<\), \(\le\)의 네 가지를 다룹니다
- 판별식 \(D=b^{2}-4ac\)의 부호에 따른 경우 나누기를 교과서와 같은 순서의 풀이 과정으로 한 줄씩 보여 줍니다. ‘두 근의 바깥쪽’, ‘두 근 사이’뿐 아니라 \(x \neq \alpha\), 해 없음, 모든 실수처럼 헷갈리기 쉬운 꼴도 바르게 판정합니다
- \(x^{2}\)의 계수가 음수일 때는 양변에 \(-1\)을 곱해 부등호의 방향을 바꾸는 풀이 과정도 자동으로 보여 줍니다
- 해의 경곗값은 \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\)처럼 근호를 간단히 한 정확한 값으로 보여 주고, 무리수일 때는 소수도 함께 적습니다. 계수에는 소수, 음수뿐 아니라 3/4 같은 분수도 입력할 수 있습니다
- 포물선과 해의 범위를 색으로 구분한 그래프를 그리므로, ‘\(y>0\)의 해 = 그래프가 \(x\)축보다 위에 있는 \(x\)의 범위’라는 관계를 눈으로 확인할 수 있습니다
- 공식의 쉬운 해설과 Excel, Google 스프레드시트, Python에 복사해 쓸 수 있는 수식도 이 페이지에 모아 두었습니다
우변은 0으로 고정되어 있습니다. \(x^{2}+2x > 3x+1\)처럼 우변에 식이 있을 때는 이항해서 우변을 0으로 만든 뒤(이 예라면 \(x^{2}-x-1>0\)으로) 입력해 주세요. \(x^{2}\)의 계수 \(a\)에 0을 넣으면 이차부등식이 되지 않으므로 일차부등식 \(bx+c>0\)으로 풉니다(\(b\)도 0이면 상수만 남은 부등식이 되어 답은 ‘모든 실수’ 또는 ‘해 없음’이 됩니다).
이 계산은 어디에 쓰일까요?
위로 던진 공이 일정한 높이보다 위에 있는 시간대(스포츠·물리)
바로 위로 던진 물체의 높이는 경과 시간 \(t\)초에 대해 \(h = v_{0}t - 4.9t^{2}\)(\(v_{0}\)는 던진 순간의 속력)라는 이차함수가 됩니다. ‘높이가 몇 m 이상인 시간대는 언제부터 언제까지인가’를 구하면 그대로 이차부등식이 됩니다.
처음 속력 초속 20 m로 던진 공이 높이 15 m 이상에 있는 시간은 \(20t - 4.9t^{2} \ge 15\), 즉 \(4.9t^{2} - 20t + 15 \le 0\)을 풀어 약 0.99초 후부터 3.09초 후까지의 약 2.1초 동안입니다. 공기 저항을 무시한 계산이지만, 불꽃이 보이는 시간이나 야구 뜬공의 체공 시간을 어림할 때 기준이 됩니다.
안전하게 멈출 수 있는 속도의 상한 구하기(교통안전·자동차)
자동차의 정지 거리는 ‘위험을 알아차리고 브레이크가 듣기 시작할 때까지 달리는 거리(공주 거리)’와 ‘브레이크가 들은 뒤 멈출 때까지의 거리(제동 거리)’의 합입니다. 공주 거리는 속력에 비례하지만 제동 거리는 속력의 제곱에 비례하므로, 정지 거리는 속력의 이차함수가 됩니다.
반응 시간 1초, 노면과 타이어의 마찰 계수 0.7이라 하면 정지 거리는 \(v + \dfrac{v^{2}}{13.72}\)(\(v\)는 초속, 단위 m)입니다. ‘시야가 트인 40 m 안에서 멈추고 싶다’면 \(v + \dfrac{v^{2}}{13.72} \le 40\)을 풀어 초속 17.5 m, 즉 시속 약 63 km까지가 됩니다. 속도 제한이나 차간 거리의 기준은 이런 이차 관계를 바탕으로 정해집니다.
흑자가 되는 가격의 범위 구하기(장사·손익분기)
가격을 올리면 1개당 이익은 늘지만 팔리는 개수는 줄어듭니다. 팔리는 개수가 가격의 일차식으로 나타날 때 이익(= 1개당 이익 × 개수 − 고정비)은 가격의 이차함수가 되고, ‘이익이 0 이상이 되는 가격대’는 이차부등식으로 구할 수 있습니다.
원가 3,000원인 상품을 \(p\)원에 팔면 \(1000-0.2p\)개 팔리고, 고정비가 10만 원 든다고 합시다. \((p-3000)(1000-0.2p) - 100000 \ge 0\)을 풀면 약 3,300원에서 4,700원 사이일 때 흑자입니다. 너무 싸도 너무 비싸도 적자가 된다는 감각을 수치로 확인할 수 있습니다.
정해진 길이의 재료로 필요한 넓이 확보하기(설계·DIY·농업)
둘레의 길이가 정해진 직사각형은 세로를 정하면 가로도 정해지므로, 넓이는 세로 길이의 이차함수가 됩니다. ‘필요한 넓이를 확보할 수 있는 치수는 어디부터 어디까지인가’는 이차부등식 그 자체입니다.
전체 길이 40 m의 울타리로 직사각형 화단을 두르고 넓이를 91 m² 이상으로 하고 싶다고 합시다. 세로를 \(x\) m라 하면 가로는 \(20-x\) m이므로 \(x(20-x) \ge 91\)이 되고, 풀면 세로는 7 m 이상 13 m 이하입니다. 정사각형에 가까울수록 넓이가 커진다는 것(이 예에서는 세로 10 m일 때 100 m²가 최대)도 함께 알 수 있습니다.
터널이나 아치에서 ‘높이를 확보할 수 있는 폭’ 구하기(건축·토목·운송)
포물선 모양의 아치교나 터널의 단면은 이차함수로 나타낼 수 있습니다. ‘키가 큰 차가 지나갈 수 있는 것은 중앙에서 좌우 몇 m까지인가’를 구하는 것은 이차부등식을 푸는 것과 같습니다.
중앙의 높이 4.5 m, 폭 30 m인 아치 단면이 \(y = -0.02x^{2} + 4.5\)(\(x\)는 중앙에서의 거리)로 나타날 때, 높이가 4 m 이상인 부분은 \(-0.02x^{2} + 4.5 \ge 4\)를 풀어 중앙에서 좌우 5 m씩, 폭 10 m입니다. 대형차의 통행 차로를 가운데 쪽으로 지정하거나 통과할 수 있는 차 높이를 게시하는 판단은 이런 계산에 바탕을 둡니다.
공식과 그래프
\(x^{2}\)의 계수가 양수이고 근이 2개일 때(\(>0\)은 ‘두 근의 바깥쪽’)
그래프
수학 표기
(일반적인 수식)
\(x\)
\(<\)
\(\alpha\)
\(\ \text{또는}\ \)
\(\beta\)
\(<\)
\(x\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
\(x\): 해가 되는 값
\(<\)
①
\(\alpha\): 작은 쪽의 근
\(\ \text{또는}\ \)
②
\(\beta\): 큰 쪽의 근
\(<\)
\(x\): 해가 되는 값
공식을 말로 읽으면
①
이차방정식 \(ax^{2}+bx+c=0\)의 두 근을 \(\alpha < \beta\)라 할 때,
\(\alpha\): 작은 쪽의 근
보다 작은 부분과
②
\(\beta\): 큰 쪽의 근
보다 큰 부분(두 근의 바깥쪽)이
③
\(x\): 해가 되는 값
입니다(아래로 볼록한 포물선은 두 교점의 바깥쪽에서 \(x\)축보다 위에 있기 때문입니다).
간단한 예
\(x^{2}-3x+2>0\)의 해는(\(x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)\)이므로 \(=0\)의 근은 \(x=1,\ 2\))
\(x\): 해가 되는 값
\(<\)
작은 쪽의 근(1)
\(\ \text{또는}\ \)
큰 쪽의 근(2)
\(<\)
\(x\): 해가 되는 값
\((x-1)(x-2) > 0\)
\(x < 1 \ \text{또는}\ 2 < x\)
이해의 핵심
이차부등식은 ‘계산’이 아니라 ‘그래프의 어디가 \(x\)축보다 위(아래)에 있는지 읽어 내는 문제’라고 생각하면 외울 것이 확 줄어듭니다.
\(x^{2}\)의 계수가 양수인 포물선은 아래로 볼록(골짜기 모양)하므로, \(x\)축과 두 점에서 만날 때 골짜기 바닥을 포함한 가운데 부분만 \(x\)축 아래로 내려가고 그 바깥쪽은 \(x\)축 위로 올라옵니다. 그래서 \(>0\)의 해는 바깥쪽, \(<0\)의 해는 안쪽이 됩니다.
‘바깥쪽’은 두 범위로 나뉘므로 \(x<1\) 또는 \(2<x\)처럼 ‘또는’으로 이어서 씁니다. 이것을 \(2<x<1\)처럼 한 줄로 묶어 쓰면 \(x\)가 2보다 크고 동시에 1보다 작다는 뜻이 되어 버리므로 틀린 표기입니다.
\(\ge 0\)처럼 등호가 붙을 때는 경곗값 자체도 해에 넣어 \(x \le 1\) 또는 \(2 \le x\)로 씁니다.
\(x^{2}\)의 계수가 양수이고 근이 2개일 때(\(<0\)은 ‘두 근 사이’)
그래프
수학 표기
(일반적인 수식)
\(\alpha\)
\(<\)
\(x\)
\(<\)
\(\beta\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
①
\(\alpha\): 작은 쪽의 근
\(<\)
③
\(x\): 해가 되는 값
\(<\)
②
\(\beta\): 큰 쪽의 근
공식을 말로 읽으면
①
\(\alpha\): 작은 쪽의 근
보다 크고
②
\(\beta\): 큰 쪽의 근
보다 작은 부분(두 근 사이)이
③
\(x\): 해가 되는 값
입니다(아래로 볼록한 포물선은 두 교점 사이에서 \(x\)축 아래로 내려가기 때문입니다).
간단한 예
\(x^{2}-3x+2<0\)의 해는(\(=0\)의 근은 앞과 같은 \(x=1,\ 2\))
작은 쪽의 근(1)
\(<\)
\(x\): 해가 되는 값
\(<\)
큰 쪽의 근(2)
\((x-1)(x-2) < 0\)
\(1 < x < 2\)
이해의 핵심
같은 \(x^{2}-3x+2\)라도 부등호의 방향만 바뀌면 해는 ‘바깥쪽’에서 ‘사이’로 통째로 바뀝니다. 좌변이 같으면 경곗값(\(=0\)의 근)은 언제나 같고, 달라지는 것은 ‘그 경계의 어느 쪽을 택하는가’뿐입니다.
\(1<x<2\)는 \(1<x\)와 \(x<2\)의 두 조건을 동시에 만족하는 \(x\), 즉 ‘1보다 크고 2보다 작다’는 뜻입니다. 이처럼 여러 부등식을 동시에 만족하는 \(x\)를 구하는 것을 연립부등식이라 하고, \(A<B<C\)의 꼴은 그것을 한 줄로 묶어 쓴 것입니다.
\(\le 0\)처럼 등호가 붙을 때는 \(1 \le x \le 2\)가 되어 양 끝의 1과 2도 해에 포함됩니다.
판별식(해의 꼴을 정하는 값)
그래프
수학 표기
(일반적인 수식)
\(D\)
\(=\)
\(b^{2}\)
\(-\)
\(4ac\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
\(D\): 판별식
\(=\)
①
\(b^{2}\): \(x\)의 계수의 제곱
\(-\)
②
\(4ac\): 4와 \(x^{2}\)의 계수와 상수항의 곱
공식을 말로 읽으면
①
\(b^{2}\): \(x\)의 계수의 제곱
에서
②
\(4ac\): 4와 \(x^{2}\)의 계수 \(a\)와 상수항 \(c\)의 곱
을 빼면
③
\(D\): 판별식
이 됩니다(이 부호만으로 포물선과 \(x\)축이 만나는 모양, 즉 해의 꼴이 정해집니다).
간단한 예
\(x^{2}-3x+2\)의 판별식은
\(D\): 판별식
\(=\)
\(-3\)의 제곱
\(-\)
4와 1과 2를 곱한 것
\(D = (-3)^{2} - 4 \times 1 \times 2 = 9 - 8 = 1 > 0\)
이해의 핵심
판별식은 포물선이 \(x\)축과 몇 번 만나는지 알려 주는 값입니다. \(D>0\)이면 두 점에서 만나고, \(D=0\)이면 한 점에서 접하고, \(D<0\)이면 만나지 않습니다. 인수분해할 수 없는 이차식이라도 이 값 하나로 해의 꼴이 정해집니다.
\(x^{2}\)의 계수가 양수(아래로 볼록)일 때 네 가지 부등호의 해는 다음과 같습니다.
\(D>0\)(두 점에서 만남): \(>0\)과 \(\ge 0\)은 두 근의 바깥쪽, \(<0\)과 \(\le 0\)은 두 근 사이입니다.
\(D=0\)(한 점에서 접함): 접점을 \(x=\alpha\)라 하면 \(>0\)은 \(x \neq \alpha\)(접점만 빠짐), \(\ge 0\)은 모든 실수, \(<0\)은 해 없음, \(\le 0\)은 한 점 \(x=\alpha\)뿐입니다.
\(D<0\)(만나지 않음): 포물선 전체가 \(x\)축보다 위에 있으므로 \(>0\)과 \(\ge 0\)은 모든 실수, \(<0\)과 \(\le 0\)은 해 없음입니다.
\(D=0\)이나 \(D<0\)일 때는 답이 범위가 되지 않아 시험에서 놓치기 쉽습니다. 그래프를 대충 그려 보고 ‘포물선이 \(x\)축 아래로 내려가는 부분이 있는가’를 따져 보면 헷갈리지 않습니다.
\(x^{2}\)의 계수가 음수일 때(양변에 \(-1\)을 곱해 양수로 고치기)
그래프
수학 표기
(일반적인 수식)
\(ax^{2}+bx+c\)
\(< 0\)
\(\Longleftrightarrow\)
\(-ax^{2}-bx-c\)
\(> 0\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
①
\(ax^{2}+bx+c\): \(x^{2}\)의 계수 \(a\)가 음수인 이차식
\(< 0\)
\(\Longleftrightarrow\)
②
\(-ax^{2}-bx-c\): 모든 항의 부호를 바꾼 이차식(\(x^{2}\)의 계수는 양수)
\(> 0\)
공식을 말로 읽으면
①
\(ax^{2}+bx+c\): \(x^{2}\)의 계수 \(a\)가 음수인 이차식
이 0보다 작다는 부등식은
②
\(-ax^{2}-bx-c\): 모든 항의 부호를 바꾼 이차식(\(x^{2}\)의 계수는 양수)
이 0보다 크다는 부등식으로 바꿀 수 있습니다(양변에 음수 \(-1\)을 곱했으므로 부등호의 방향도 바뀝니다).
간단한 예
\(-x^{2}+4x-3 \ge 0\)의 양변에 \(-1\)을 곱하면
\(-x^{2}+4x-3\)(\(x^{2}\)의 계수는 \(-1\))
\(\ge 0\)
\(\Longleftrightarrow\)
\(x^{2}-4x+3\)(\(x^{2}\)의 계수는 \(1\))
\(\le 0\)
\(-x^{2}+4x-3 \ge 0 \Longleftrightarrow x^{2}-4x+3 \le 0\)
\((x-1)(x-3) \le 0\)
\(1 \le x \le 3\)
이해의 핵심
\(x^{2}\)의 계수가 음수인 채로 두면 포물선이 위로 볼록(산 모양)해져서 ‘바깥쪽’과 ‘사이’가 뒤바뀌어 헷갈립니다. 먼저 양변에 \(-1\)을 곱해 아래로 볼록한 포물선으로 고쳐 두면 외울 패턴이 하나로 줄어듭니다.
부등식에서는 양변에 음수를 곱하거나 음수로 나누면 부등호의 방향이 바뀝니다. 예를 들어 \(2<3\)의 양변에 \(-1\)을 곱하면 \(-2>-3\)이 됩니다. 부호를 바꾸면 수직선에서 좌우가 뒤집히기 때문입니다. 방정식에는 없고 부등식에만 있는 주의점입니다.
양변에 \(-1\)을 곱해도 판별식 \(D\)는 바뀌지 않습니다(\((-b)^{2}-4(-a)(-c)=b^{2}-4ac\)). 예에서 \(-x^{2}+4x-3\)과 \(x^{2}-4x+3\)은 둘 다 \(D=4\)입니다.
이차부등식은 먼저 \(x^{2}\)의 계수를 양수로 고치고(음수이면 양변에 \(-1\)을 곱해 부등호의 방향을 바꿈), 판별식 \(D=b^{2}-4ac\)의 부호에 따라 경우를 나누는 것이 기본입니다. \(D>0\)일 때 \(>0\)은 두 근의 바깥쪽, \(<0\)은 두 근 사이이고, \(D=0\)이나 \(D<0\)일 때는 답이 ‘모든 실수’, ‘해 없음’, ‘한 점뿐’이 될 수 있습니다. 아래로 볼록한 포물선을 떠올리고 \(x\)축보다 위에 있는 부분을 읽어 내면 모든 경우를 같은 방법으로 풀 수 있습니다.
용어·기호 해설
기호
| \(a,\ b,\ c\) | 에이, 비, 시 | 이차부등식 \(ax^{2}+bx+c>0\)의 계수입니다. \(a\)는 \(x^{2}\)의 계수, \(b\)는 \(x\)의 계수, \(c\)는 상수항입니다. 미리 주어진 수에는 알파벳 앞쪽의 문자 \(a,\ b,\ c\)를 쓰는 관례가 있습니다. |
| \(x\) | 엑스 | 구하려는 미지수입니다. 이차부등식에서는 ‘\(x\)가 어디에서 어디까지의 값일 때 성립하는가’를 묻기 때문에 답은 하나의 수가 아니라 범위가 됩니다. 미지수에는 알파벳 끝쪽의 문자 \(x,\ y,\ z\)를 쓰는 관례가 있습니다. |
| \(D\) | 디 | 판별식 \(b^{2}-4ac\)입니다. 영어 Discriminant(판별하는 것)의 첫 글자입니다. 이 부호만으로 포물선과 \(x\)축이 만나는 모양(해의 꼴)이 정해집니다. |
| \(\alpha,\ \beta\) | 알파, 베타 | 이차방정식 \(ax^{2}+bx+c=0\)의 두 근에 붙이는 이름입니다. 그리스 문자의 첫째와 둘째 글자로, \(\alpha < \beta\)(\(\alpha\)가 작은 쪽)로 두는 관례가 있습니다. 이차부등식에서는 이 둘이 해의 범위의 경계가 됩니다. |
| \(>,\ <\) | 크다, 작다 | 크기를 나타내는 부등호입니다. \(A>B\)는 ‘\(A\)는 \(B\)보다 크다’, \(A<B\)는 ‘\(A\)는 \(B\)보다 작다’는 뜻이고, 벌어진 쪽이 항상 큰 수입니다. 등호를 포함하지 않으므로 경곗값 자체는 해가 아닙니다. |
| \(\ge,\ \le\) | 크거나 같다, 작거나 같다 | 등호가 붙은 부등호입니다. \(A \ge B\)는 ‘\(A\)는 \(B\)보다 크거나 같다(이상)’, \(A \le B\)는 ‘\(A\)는 \(B\)보다 작거나 같다(이하)’는 뜻입니다. 경곗값 자체도 해가 됩니다. 일본 교과서처럼 아래쪽을 두 줄로 쓰는 ≧, ≦도 뜻은 같습니다. |
| \(\neq\) | 같지 않다 | ‘같지 않다’를 나타내는 기호입니다. \(x \neq 3\)은 ‘\(x\)는 3을 뺀 어떤 값이든 된다’는 뜻입니다. 이차부등식에서는 포물선이 \(x\)축에 접할 때(\(D=0\)) 이런 꼴의 답이 나옵니다. |
| \(\sqrt{\phantom{x}}\) | 루트 | 제곱하면 그 수가 되는 양수(제곱근)를 나타내는 기호입니다. \(\sqrt{5}\)는 ‘제곱하면 5가 되는 양수’로 약 2.236입니다. 라틴어 radix(뿌리)의 첫 글자 r을 바꾼 모양에서 왔다고 합니다. 경곗값이 딱 떨어지지 않을 때 나옵니다. |
| \(\Longleftrightarrow\) | 동치 | 왼쪽과 오른쪽이 같은 뜻임을 나타내는 기호입니다. \(P \Longleftrightarrow Q\)는 ‘\(P\)가 성립하면 \(Q\)도 성립하고, 그 반대도 성립한다’는 뜻입니다. 부등식을 변형할 때는 이 관계를 지키도록(해가 바뀌지 않도록) 주의합니다. |
| \(y\) | 와이 | 이차함수 \(y=ax^{2}+bx+c\)의 값, 즉 포물선의 ‘높이’입니다. \(ax^{2}+bx+c>0\)을 푸는 것은 이 높이가 0보다 큰(그래프가 \(x\)축보다 위에 있는) \(x\)의 범위를 구하는 것과 같습니다. |
용어
| 이차부등식 | \(ax^{2}+bx+c>0\)처럼 \(x\)의 이차항이 들어 있는 부등식입니다. 답은 하나의 수가 아니라 ‘\(x\)의 범위’가 됩니다. 고등학교 1학년에서 배웁니다. |
| 부등식 | \(>\), \(<\), \(\ge\), \(\le\)로 두 양의 크기를 나타낸 식입니다. 양변에 같은 수를 더하거나 빼도 방향은 바뀌지 않지만, 음수를 곱하거나 음수로 나누면 방향이 바뀝니다. |
| 이차함수 | \(y=ax^{2}+bx+c\)(\(a \neq 0\)) 꼴의 함수입니다. 그래프는 포물선입니다. 이차부등식은 이 그래프가 \(x\)축보다 위나 아래에 있는 부분을 읽어 내는 문제로 바꿔 말할 수 있습니다. |
| 포물선 | 이차함수의 그래프가 그리는 좌우 대칭의 매끄러운 곡선입니다. 물체를 비스듬히 던졌을 때(던질 포, 물건 물) 그리는 자취가 이 모양이어서 ‘포물선’이라고 합니다. |
| 아래로 볼록 | 포물선이 골짜기 모양(양 끝이 위를 향한 모양)인 것입니다. \(x^{2}\)의 계수가 양수일 때 이 모양이 됩니다. 반대로 계수가 음수이면 산 모양이 되며, 이것을 ‘위로 볼록’이라고 합니다. |
| 판별식 | \(D=b^{2}-4ac\)입니다. 이차방정식의 실근이 몇 개인지(포물선이 \(x\)축과 몇 번 만나는지)를 알려 줍니다. \(D>0\)이면 2개, \(D=0\)이면 1개(중근), \(D<0\)이면 0개입니다. |
| 실근 | 방정식의 근 가운데 수직선 위에 놓을 수 있는 보통의 수(실수)인 것입니다. \(D<0\)이면 실근이 없고, 포물선은 \(x\)축과 만나지 않습니다. |
| 중근 | \(D=0\)일 때의 근입니다. \((x-3)^{2}=0\)처럼 같은 근 2개가 겹친 것으로, 포물선은 \(x\)축과 한 점에서 접합니다. |
| 근의 공식 | \(x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)입니다. 인수분해할 수 없는 이차방정식도 풀 수 있으며, 이차부등식에서는 경곗값을 구하는 데 씁니다. |
| 인수분해 | \(x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)\)처럼 식을 곱의 꼴로 고치는 것입니다. 이차부등식에서 인수분해할 수 있으면 경곗값이 한눈에 보입니다. |
| 경곗값 | 해의 범위의 경계가 되는 값입니다. 이차부등식에서는 \(ax^{2}+bx+c=0\)의 근, 즉 포물선이 \(x\)축과 만나는 점의 \(x\)좌표입니다. \(\ge\), \(\le\)이면 포함하고 \(>\), \(<\)이면 포함하지 않습니다. |
| 해의 범위 | 부등식을 성립시키는 \(x\)의 모임입니다. \(1<x<2\)처럼 하나의 범위일 때도 있고, \(x<1\) 또는 \(2<x\)처럼 두 범위로 나뉠 때도 있습니다. |
| 연립부등식 | 여러 부등식을 동시에 만족하는 \(x\)를 구하는 것입니다. \(1<x\)와 \(x<2\)를 모두 만족하는 범위는 \(1<x<2\)처럼 한 줄로 묶어 씁니다. |
| 해 없음 | 부등식을 성립시키는 \(x\)가 하나도 없는 것입니다. 예를 들어 \(x^{2}+2x+5<0\)은 아래로 볼록한 포물선이 \(x\)축 아래로 내려가지 않으므로 해가 없습니다. |
| 모든 실수 | 어떤 \(x\)를 넣어도 부등식이 성립하는 것입니다. \(x^{2}\)의 계수가 양수일 때 \(D<0\)(포물선이 \(x\)축과 만나지 않음)이면 \(>0\)이나 \(\ge 0\)의 답이 됩니다. \(D=0\)일 때도 \(\ge 0\)은 접점이 등호로 포함되므로 모든 실수가 됩니다(같은 \(D<0\)이라도 \(<0\)이나 \(\le 0\)은 해 없음). |
| 수직선 | 수를 한 직선 위에 나타낸 그림입니다. 이차부등식의 해를 나타낼 때는 범위를 굵은 선으로 그리고, 경계를 포함하면 찬 점(●), 포함하지 않으면 빈 점(○)으로 나타냅니다. |
| 이항 | 부등식이나 방정식의 항을 부호를 바꾸어 반대쪽 변으로 옮기는 것입니다. 우변에 식이 있으면 좌변으로 이항해 우변을 0으로 만든 뒤 풉니다. |
| 상수항 | \(x^{2}+3x+5\)의 5처럼 \(x\)를 포함하지 않는 ‘숫자만 있는 항’입니다. \(x\)가 어떤 값이든 바뀌지 않으므로 상수항이라고 합니다. |
| 계수 | 문자 앞에 붙어 있는 수입니다. \(3x^{2}\)에서 3이 계수입니다. \(x^{2}\)처럼 수가 쓰여 있지 않으면 계수는 1입니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘뜻을 이해하고’ 쓸 수 있도록, 미리 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
막히면 이 표의 내용으로 돌아가 복습하는 것이 지름길입니다.
| 부등식의 성질(중학교 2학년, 13~14세) |
|
| 인수분해(중학교 3학년, 14~15세) |
|
| 이차방정식의 풀이(중학교 3학년, 14~15세) |
|
| 이차함수의 그래프(중학교 3학년, 14~15세) |
|
| 제곱근과 실수(중학교 3학년, 14~15세) |
|
| 수직선과 범위의 표현(중학교 1학년, 12~13세) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
근이 2개일 때의 바깥쪽(ax²+bx+c > 0)을 구하는 표
| x²의 계수 a | 1 |
| x의 계수 b | -3 |
| 상수항 c | 2 |
| 판별식 D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| 작은 쪽의 근 α | =(-B2-SQRT(B4))/(2*B1) |
| 큰 쪽의 근 β | =(-B2+SQRT(B4))/(2*B1) |
| 해의 범위(바깥쪽) | ="x < "&B5&" 또는 "&B6&" < x" |
근이 2개일 때의 사이(ax²+bx+c < 0)를 구하는 표
| x²의 계수 a | 1 |
| x의 계수 b | -3 |
| 상수항 c | 2 |
| 판별식 D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| 작은 쪽의 근 α | =(-B2-SQRT(B4))/(2*B1) |
| 큰 쪽의 근 β | =(-B2+SQRT(B4))/(2*B1) |
| 해의 범위(사이) | =B5&" < x < "&B6 |
판별식 D = b²−4ac를 구하는 표
| x²의 계수 a | 1 |
| x의 계수 b | -3 |
| 상수항 c | 2 |
| 판별식 D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| x축과의 교점의 개수 | =IF(B4>0,2,IF(B4=0,1,0)) |
x²의 계수가 음수일 때 부호를 바꾸는 것을 확인하는 표
| x²의 계수 a | -1 |
| x의 계수 b | 4 |
| 상수항 c | -3 |
| −1을 곱한 x²의 계수 | =-B1 |
| −1을 곱한 x의 계수 | =-B2 |
| −1을 곱한 상수항 | =-B3 |
| 부호를 바꾼 뒤의 판별식(원래와 같은 값) | =B5^2-4*B4*B6 |
붙여 넣으면 위의 3행(계수 a, b, c)이 입력란이 되고, 아래쪽 행은 자동으로 계산된 결과가 됩니다.
‘^’는 거듭제곱, ‘SQRT’는 제곱근, ‘&’는 문자를 이어 붙이는 기호입니다.
첫 번째와 두 번째 표는 둘 다 a=1, b=−3, c=2(즉 x²−3x+2)입니다. 판별식은 1, 경곗값은 1과 2이고, 해는 ‘x < 1 또는 2 < x’(바깥쪽)와 ‘1 < x < 2’(사이)입니다. 판별식이 음수가 되는 계수를 넣으면 SQRT가 오류를 내므로, 먼저 세 번째 표로 교점의 개수를 확인하세요.
세 번째 표는 판별식만 구하는 표로, IF 함수로 x축과의 교점의 개수(2, 1, 0)도 판정합니다.
네 번째 표는 x²의 계수가 음수일 때(a=−1, b=4, c=−3) 모든 부호를 바꿉니다. 새 계수는 1, −4, 3이 되고, 판별식이 바꾸기 전과 후 모두 4인 것을 확인할 수 있습니다.
‘^’는 거듭제곱, ‘SQRT’는 제곱근, ‘&’는 문자를 이어 붙이는 기호입니다.
첫 번째와 두 번째 표는 둘 다 a=1, b=−3, c=2(즉 x²−3x+2)입니다. 판별식은 1, 경곗값은 1과 2이고, 해는 ‘x < 1 또는 2 < x’(바깥쪽)와 ‘1 < x < 2’(사이)입니다. 판별식이 음수가 되는 계수를 넣으면 SQRT가 오류를 내므로, 먼저 세 번째 표로 교점의 개수를 확인하세요.
세 번째 표는 판별식만 구하는 표로, IF 함수로 x축과의 교점의 개수(2, 1, 0)도 판정합니다.
네 번째 표는 x²의 계수가 음수일 때(a=−1, b=4, c=−3) 모든 부호를 바꿉니다. 새 계수는 1, −4, 3이 되고, 판별식이 바꾸기 전과 후 모두 4인 것을 확인할 수 있습니다.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
근이 2개일 때의 바깥쪽(ax²+bx+c > 0)을 구하는 표
| x²의 계수 a | 1 |
| x의 계수 b | -3 |
| 상수항 c | 2 |
| 판별식 D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| 작은 쪽의 근 α | =(-B2-SQRT(B4))/(2*B1) |
| 큰 쪽의 근 β | =(-B2+SQRT(B4))/(2*B1) |
| 해의 범위(바깥쪽) | ="x < "&B5&" 또는 "&B6&" < x" |
근이 2개일 때의 사이(ax²+bx+c < 0)를 구하는 표
| x²의 계수 a | 1 |
| x의 계수 b | -3 |
| 상수항 c | 2 |
| 판별식 D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| 작은 쪽의 근 α | =(-B2-SQRT(B4))/(2*B1) |
| 큰 쪽의 근 β | =(-B2+SQRT(B4))/(2*B1) |
| 해의 범위(사이) | =B5&" < x < "&B6 |
판별식 D = b²−4ac를 구하는 표
| x²의 계수 a | 1 |
| x의 계수 b | -3 |
| 상수항 c | 2 |
| 판별식 D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| x축과의 교점의 개수 | =IF(B4>0,2,IF(B4=0,1,0)) |
x²의 계수가 음수일 때 부호를 바꾸는 것을 확인하는 표
| x²의 계수 a | -1 |
| x의 계수 b | 4 |
| 상수항 c | -3 |
| −1을 곱한 x²의 계수 | =-B1 |
| −1을 곱한 x의 계수 | =-B2 |
| −1을 곱한 상수항 | =-B3 |
| 부호를 바꾼 뒤의 판별식(원래와 같은 값) | =B5^2-4*B4*B6 |
Excel과 같은 수식을 그대로 쓸 수 있습니다(SQRT, IF, & 모두 같은 이름입니다). 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 계수를 자신의 수치로 고쳐 써 주세요.
Python으로 계산하는 방법
from fractions import Fraction
import math
# 이차부등식의 계수(좌변 a*x^2 + b*x + c를 0과 비교)와 부등호(">", ">=", "<", "<=")
a = Fraction(1)
b = Fraction(-3)
c = Fraction(2)
sign = ">"
# x^2의 계수를 양수로 고칩니다(음수이면 양변에 -1을 곱하고 부등호의 방향을 바꿉니다)
if a < 0:
a, b, c = -a, -b, -c
sign = {">": "<", ">=": "<=", "<": ">", "<=": ">="}[sign]
discriminant = b * b - 4 * a * c
is_greater = sign in (">", ">=")
has_equal = sign in (">=", "<=")
if discriminant > 0:
root = math.sqrt(discriminant)
alpha = (-b - root) / (2 * a)
beta = (-b + root) / (2 * a)
mark = "<=" if has_equal else "<"
if is_greater:
answer = f"x {mark} {alpha} 또는 {beta} {mark} x" # 두 근의 바깥쪽
else:
answer = f"{alpha} {mark} x {mark} {beta}" # 두 근 사이
elif discriminant == 0:
alpha = -b / (2 * a)
answer = {">": f"x != {alpha}", ">=": "모든 실수",
"<": "해 없음", "<=": f"x = {alpha}"}[sign]
else:
answer = "모든 실수" if is_greater else "해 없음"
print(f"판별식 D = {discriminant}")
print(f"해의 범위: {answer}")
표준 라이브러리만으로 동작합니다. 계수를 fractions.Fraction으로 두면 판별식의 부호가 소수의 반올림 오차에 영향을 받지 않습니다. 이 예는 x² − 3x + 2 > 0으로, 실행하면 ‘판별식 D = 1’, ‘해의 범위: x < 1.0 또는 2.0 < x’의 두 줄이 표시됩니다. 계수와 부등호를 고쳐 쓰고 실행해 주세요.
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
\(x^{2}\)의 계수가 양수이고 근이 2개일 때(\(>0\)은 ‘두 근의 바깥쪽’)
x < α 또는 β < x
x < \alpha \ \text{또는}\ \beta < x
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>x</mi><mo><</mo><mi>α</mi>
<mtext> 또는 </mtext>
<mi>β</mi><mo><</mo><mi>x</mi>
</mrow>
</math>
x < alpha " 또는 " beta < x
Reduce[a x^2 + b x + c > 0 && a > 0, x, Reals]
solve(a*x^2 + b*x + c > 0, x);
solve(a*x^2 + b*x + c > 0, x)
x < α 또는 β < x
\(x^{2}\)의 계수가 양수이고 근이 2개일 때(\(<0\)은 ‘두 근 사이’)
α < x < β
\alpha < x < \beta
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>α</mi><mo><</mo><mi>x</mi><mo><</mo><mi>β</mi>
</mrow>
</math>
alpha < x < beta
Reduce[a x^2 + b x + c < 0 && a > 0, x, Reals]
solve(a*x^2 + b*x + c < 0, x);
solve(a*x^2 + b*x + c < 0, x)
α < x < β
판별식(해의 꼴을 정하는 값)
D = b² − 4ac
D = b^{2} - 4ac
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>D</mi><mo>=</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
</mrow>
</math>
D = b^2 - 4ac
Discriminant[a x^2 + b x + c, x]
discrim(a*x^2 + b*x + c, x);
D = b^2 - 4*a*c;
D = b^2 - 4ac
\(x^{2}\)의 계수가 음수일 때(양변에 \(-1\)을 곱해 양수로 고치기)
ax² + bx + c < 0 ⟺ −ax² − bx − c > 0
ax^{2} + bx + c < 0 \Longleftrightarrow -ax^{2} - bx - c > 0
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo><mi>b</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>c</mi>
<mo><</mo><mn>0</mn>
<mo>⟺</mo>
<mo>−</mo><mi>a</mi><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo><mi>b</mi><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>></mo><mn>0</mn>
</mrow>
</math>
ax^2 + bx + c < 0 hArr -ax^2 - bx - c > 0
Reduce[-a x^2 - b x - c > 0, x, Reals]
solve(-a*x^2 - b*x - c > 0, x);
solve(-a*x^2 - b*x - c > 0, x)
ax^2 + bx + c < 0 ⟺ -ax^2 - bx - c > 0
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 수학 계산 도우미입니다. 다음 문제는 반드시 Python 코드를 실제로 실행해서 풀고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답해 주세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 이차부등식 x² − 3x + 2 > 0을 풀어 주세요. 다음 내용을 각각 보여 주세요. 1. 판별식 D = b² − 4ac의 값 2. 경곗값(x² − 3x + 2 = 0의 근) 3. 해의 범위(‘두 근의 바깥쪽’, ‘두 근 사이’, ‘모든 실수’, ‘해 없음’ 중 어느 것인지도 밝혀 주세요) 4. x²의 계수가 음수라면 양변에 −1을 곱해 부등호의 방향을 바꾸는 과정도 보여 주세요 Python에서는 sympy의 solve_univariate_inequality와 fractions를 쓴 판별식의 정확한 계산을 모두 사용하고, 두 결과가 일치하는 것을 확인한 뒤에 답해 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
간단하고 무료
무료로 횟수 제한 없이 변환
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
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