내분점·외분점 계산기(중점·삼각형의 무게중심도 계산)

구할 점의 종류와 차원을 고르고, 두 점 A, B의 좌표와 비 m:n을 입력해 주세요. 아래 수식은 입력란과 연동되어 있어, 수식 속의 좌표나 비 부분을 직접 고쳐도 계산할 수 있습니다.

구할 점

차원

점 A의 x좌표 x₁

점 A의 y좌표 y₁

점 A의 z좌표 z₁

점 B의 x좌표 x₂

점 B의 y좌표 y₂

점 B의 z좌표 z₂

점 C의 x좌표 x₃

점 C의 y좌표 y₃

점 C의 z좌표 z₃

비의 수 m(A에서 분점까지)

비의 수 n(분점에서 B까지)

소수, 음수, 3/4 같은 분수를 쓸 수 있습니다. 좌표의 빈칸은 0, 비의 빈칸은 1로 처리합니다. 비 m:n은 ‘A에서부터 m, 거기서 B까지가 n’의 순서입니다.

계산 결과·도형

왼쪽 입력란에 두 점의 좌표와 비를 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과와 그림이 표시됩니다.

이 페이지에서 할 수 있는 것
이 계산은 어디에 쓰일까요?
사용법
공식과 그림
용어·기호 해설
- 기호
- 용어
먼저 알아 두면 좋은 내용
Excel로 계산하는 방법
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
Python으로 계산하는 방법
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
ChatGPT에게 물어서 계산하는 방법
DataChef의 특징
관련 기능
NumberChef 계산기 목록

이 페이지에서 할 수 있는 것

두 점 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\)의 좌표와 비 \(m:n\)만 넣으면 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(m:n\)으로 나누는 점(내분점·외분점)의 좌표를 바로 계산할 수 있습니다
중점(\(1:1\)로 내분하는 점)과 삼각형의 무게중심(세 꼭짓점의 좌표의 평균)도 같은 페이지에서 계산할 수 있습니다
수직선(1차원), 좌표평면(2차원), 공간(3차원) 어디에서나 쓸 수 있습니다
답은 \(\dfrac{13}{2}\)처럼 약분한 분수(정확한 값)와 소수로 함께 표시합니다. 공식에 수를 대입한 풀이 과정도 볼 수 있습니다
구한 점이 선분의 어디에 있는지(내부인지, 어느 쪽 바깥인지)를 그림으로 확인할 수 있습니다. 좌표와 비에는 소수, 음수뿐 아니라 3/4 같은 분수도 입력할 수 있습니다
내분점 공식에서 \(m\)과 \(n\)이 서로 바뀌어 곱해지는 것처럼 보이는 이유의 해설과 Excel·Google 스프레드시트·Python용 복사해서 쓰는 수식도 이 페이지에 모아 두었습니다

비 \(m:n\)은 ‘\(\mathrm{A}\)에서부터 \(m\), 거기서 \(\mathrm{B}\)까지가 \(n\)’의 순서로 입력해 주세요. 순서를 바꾸면 다른 점이 됩니다.

이 계산은 어디에 쓰일까요?

애니메이션·게임에서 두 점 사이를 매끄럽게 움직이기(CG·영상)

캐릭터나 카메라를 A 지점에서 B 지점으로 움직일 때, 컴퓨터는 매 프레임 ‘선분 AB를 \(t : \left(1-t\right)\)로 내분한 점’(\(t\)는 \(0\)에서 \(1\) 사이의 수)을 계산해 위치를 정합니다. 선형 보간(linear interpolation)이라고 부르는, CG에서 가장 기본적인 계산입니다.
t를 0에서 1까지 조금씩 늘리면 A에서 B까지 일정한 속도로 움직이고, t를 늘리는 방법을 바꾸면 천천히 출발해 천천히 멈추는 자연스러운 움직임이 됩니다. 색을 섞는 것, 이미지를 확대·축소하는 것, 두 얼굴 사이를 바꾸는 모핑도 모두 같은 내분 계산을 색이나 좌표에 적용한 것입니다.

시소와 천칭의 균형(물리·무게중심)

길이 1 m인 막대(막대 자체의 무게는 무시할 수 있다고 합니다)의 양 끝에 1 kg과 2 kg의 추를 달았을 때, 받침점을 어디에 두어야 균형을 이룰지는 내분점의 계산 그 자체입니다. 답은 1 kg 쪽 끝에서 \(\dfrac{2}{3}\) m인 위치로, 무게중심은 무게로 가중치를 준 평균이므로 무거운 쪽으로 다가갑니다. 식으로 쓰면 위치 \(x_1\)에 질량 \(m_1\), 위치 \(x_2\)에 질량 \(m_2\)가 있을 때 무게중심은 \(\dfrac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}\)로, 내분점의 공식과 같은 꼴입니다.
여기서는 ‘가벼운 쪽 끝의 좌표에 무거운 쪽의 질량을 곱하는’ 모양으로 보이지 않는데, 질량 자체가 가중치이기 때문입니다. 길이의 비로 생각하는 내분에서는 ‘반대쪽 부분의 길이’가 가중치가 됩니다. 삼각형이나 판, 자동차, 비행기의 무게중심을 구할 때도 같은 생각을 씁니다.

평균 점수를 인원수로 가중해서 합치기(통계·가중평균)

40명인 반의 평균 점수가 60점, 20명인 반의 평균 점수가 90점일 때, 두 반을 합친 평균 점수는 75점이 아니라 \(\dfrac{40 \times 60 + 20 \times 90}{40 + 20} = 70\)점입니다. 60과 90을 수직선 위의 두 점 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\)로 보면, 답은 선분 \(\mathrm{AB}\)를 인원수의 비 \(40:20\)을 뒤집은 \(20:40\)으로 내분한 점입니다. 답이 인원수가 많은 60 쪽으로 다가가는 것은 반대쪽의 인원수가 가중치가 되기 때문으로, 이 페이지의 엇갈려 곱하는 모양과 똑같습니다.
물가지수, 타율, 설문 조사의 종합 평가, 투자의 평균 매입 단가 등 크기가 다른 집단을 합친 평균은 모두 이 꼴입니다. 그냥 더해서 2로 나누어 작은 집단을 지나치게 무겁게 다루는 실수를 막아 줍니다.

측량·토목에서 두 점 사이에 말뚝을 박을 위치 정하기(건설)

도로나 택지 조성 공사에서는 측량한 두 점의 좌표를 바탕으로 ‘그 사이의 정해진 비율의 위치’를 계산해 말뚝을 박습니다. 100 m 구간을 4등분하는 위치는 1:3, 1:1, 3:1로 내분하는 점으로 좌표를 구할 수 있습니다.
높이를 포함한 3차원 좌표를 쓰면 경사면 도중의 점도 같은 공식으로 구할 수 있습니다. 양쪽에서 파 들어가 한가운데에서 정확히 만나야 하는 터널 공사도 이런 좌표 계산을 많이 쌓아서 정확하게 진행합니다.

지도 앱에서 ‘중간 지점’이나 ‘중간에서 만날 장소’ 찾기(지리 정보)

두 지점의 위도·경도를 좌표로 보면 중점의 공식으로 ‘딱 한가운데쯤의 지점’을 구할 수 있습니다. 만날 장소를 추천하는 기능이나, 긴 경로를 같은 간격의 점으로 나누어 도중의 고도나 날씨를 확인하는 데 쓰입니다.
넓은 범위에서는 지구가 둥글다는 것을 고려한 계산이 필요하지만, 도시 안 정도라면 좌표를 평면으로 보고 내분해도 실제로는 거의 차이가 나지 않습니다.

공식과 그림

내분점(선분을 \(m:n\)으로 내분하는 점)

그림

수학 표기 (일반적인 수식)

\(x\) \(=\) \((\) \(n\) \(\times\) \(x_1\) \(+\) \(m\) \(\times\) \(x_2\) \()\) \(\div\) \(m+n\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

⑥ 내분점 \(\mathrm{P}\)의 x좌표(\(x\)) \(=\) \((\) ① 분점에서 \(\mathrm{B}\)까지의 비의 수(\(n\)) \(\times\) ② 점 \(\mathrm{A}\)의 x좌표(\(x_1\)) \(+\) ③ \(\mathrm{A}\)에서 분점까지의 비의 수(\(m\)) \(\times\) ④ 점 \(\mathrm{B}\)의 x좌표(\(x_2\)) \()\) \(\div\) ⑤ 비의 수의 합(\(m+n\))

공식을 말로 읽으면

① 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(m:n\)으로 내분하는 점을 \(\mathrm{P}\)라 하면, 분점에서 \(\mathrm{B}\)까지의 비의 수(\(n\)) 를

② 점 \(\mathrm{A}\)의 x좌표(\(x_1\)) 에 곱하고,

③ \(\mathrm{A}\)에서 분점까지의 비의 수(\(m\)) 를

④ 점 \(\mathrm{B}\)의 x좌표(\(x_2\)) 에 곱해서, 그 두 값을 더한 것을

⑤ 비의 수의 합(\(m+n\)) 으로 나누면

⑥ 내분점 \(\mathrm{P}\)의 x좌표 가 됩니다(y좌표와 z좌표도 똑같은 꼴의 식으로 구합니다)

간단한 예

\(\mathrm{A}(1,\ 2)\), \(\mathrm{B}(7,\ 5)\)에 대해 선분 AB를 \(2:1\)로 내분하는 점 \(\mathrm{P}\)의 x좌표는

내분점 \(\mathrm{P}\)의 x좌표 \(=\) \((\) \(\mathrm{B}\) 쪽의 비의 수(1) \(\times\) 점 \(\mathrm{A}\)의 x좌표(1) \(+\) \(\mathrm{A}\) 쪽의 비의 수(2) \(\times\) 점 \(\mathrm{B}\)의 x좌표(7) \()\) \(\div\) 비의 수의 합(3)

\(x = \dfrac{1 \times 1 + 2 \times 7}{2 + 1} = \dfrac{15}{3} = 5\)

\(y = \dfrac{1 \times 2 + 2 \times 5}{2 + 1} = \dfrac{12}{3} = 4 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{P}(5,\ 4)\)

이해의 핵심

\(m:n\)으로 나누는데, 왜 \(m\)이 \(x_2\)(점 B의 좌표)에, \(n\)이 \(x_1\)(점 A의 좌표)에 곱해질까요? 이렇게 엇갈려 곱하는 모양이 내분점 공식을 외우기 어렵게 만드는 가장 큰 이유입니다. 이유를 따라가 보면, 엇갈리는 것이 자연스러운 결과라는 것을 알 수 있습니다. 점 \(\mathrm{P}\)는 \(\mathrm{A}\)에서 \(\mathrm{B}\)를 향해 전체의 \(\dfrac{m}{m+n}\)만큼 나아간 곳에 있습니다. \(\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n\)은 선분 \(\mathrm{AB}\) 전체를 \(m + n\)개의 같은 부분으로 나누었을 때 \(\mathrm{A}\) 쪽에 \(m\)개가 있다는 뜻입니다. 그래서 \(\mathrm{A}\)의 좌표에서 출발해, \(\mathrm{A}\)에서 \(\mathrm{B}\)까지의 변화량 \(x_2 - x_1\)의 \(\dfrac{m}{m+n}\)만큼 나아가면 됩니다. 이것을 정리하면 \(x = x_1 + \dfrac{m}{m+n}\left(x_2 - x_1\right) = \dfrac{\left(m+n\right)x_1 + m x_2 - m x_1}{m+n} = \dfrac{n x_1 + m x_2}{m+n}\) 이 되어, \(x_1\) 쪽에는 \(n\)만 남습니다. 의미로 외우려면 ‘반대쪽의 수가 무게’라고 기억하세요. \(\mathrm{P}\)가 \(\mathrm{A}\)에 가까울 때는 \(\mathrm{A}\) 쪽의 \(m\)이 작고 \(\mathrm{B}\) 쪽의 \(n\)이 큽니다. 답은 \(\mathrm{A}\)의 좌표에 가까워야 하므로, 큰 수(\(n\))가 \(x_1\)에 곱해지는 것이 자연스럽습니다. 시소나 천칭에서 받침점이 무거운 추 쪽으로 다가가는 것과 같은 관계입니다. \(m:n\)과 \(n:m\)을 헷갈리면 전혀 다른 점이 됩니다. 비는 언제나 ‘\(\mathrm{A}\)에서부터 \(m\), 거기서 \(\mathrm{B}\)까지가 \(n\)’의 순서로 쓰면 실수가 줄어듭니다.

외분점(선분을 \(m:n\)으로 외분하는 점)

그림

수학 표기 (일반적인 수식)

\(x\) \(=\) \((\) \(-n\) \(\times\) \(x_1\) \(+\) \(m\) \(\times\) \(x_2\) \()\) \(\div\) \(m-n\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

⑥ 외분점 \(\mathrm{Q}\)의 x좌표(\(x\)) \(=\) \((\) ① 분점에서 \(\mathrm{B}\)까지의 비의 수의 부호를 바꾼 수(\(-n\)) \(\times\) ② 점 \(\mathrm{A}\)의 x좌표(\(x_1\)) \(+\) ③ \(\mathrm{A}\)에서 분점까지의 비의 수(\(m\)) \(\times\) ④ 점 \(\mathrm{B}\)의 x좌표(\(x_2\)) \()\) \(\div\) ⑤ 비의 수의 차(\(m-n\))

공식을 말로 읽으면

① 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(m:n\)으로 외분하는 점을 \(\mathrm{Q}\)라 하면, 비의 수 \(n\)의 부호를 바꾼 수(\(-n\)) 를

② 점 \(\mathrm{A}\)의 x좌표(\(x_1\)) 에 곱하고,

③ \(\mathrm{A}\)에서 분점까지의 비의 수(\(m\)) 를

④ 점 \(\mathrm{B}\)의 x좌표(\(x_2\)) 에 곱해서, 그 두 값을 더한 것을

⑤ 비의 수의 차(\(m-n\)) 로 나누면

⑥ 외분점 \(\mathrm{Q}\)의 x좌표 가 됩니다(\(m\)과 \(n\)이 같으면 차가 \(0\)이 되어 외분점은 존재하지 않습니다)

간단한 예

\(\mathrm{A}(1,\ 2)\), \(\mathrm{B}(7,\ 5)\)에 대해 선분 AB를 \(3:1\)로 외분하는 점 \(\mathrm{Q}\)의 x좌표는

외분점 \(\mathrm{Q}\)의 x좌표 \(=\) \((\) 부호를 바꾼 \(\mathrm{B}\) 쪽의 비의 수(−1) \(\times\) 점 \(\mathrm{A}\)의 x좌표(1) \(+\) \(\mathrm{A}\) 쪽의 비의 수(3) \(\times\) 점 \(\mathrm{B}\)의 x좌표(7) \()\) \(\div\) 비의 수의 차(2)

\(x = \dfrac{-1 \times 1 + 3 \times 7}{3 - 1} = \dfrac{20}{2} = 10\)

\(y = \dfrac{-1 \times 2 + 3 \times 5}{3 - 1} = \dfrac{13}{2} \quad \Rightarrow \quad \mathrm{Q}\left(10,\ \dfrac{13}{2}\right)\)

이해의 핵심

외분점 \(\mathrm{Q}\)는 선분 \(\mathrm{AB}\)의 바깥쪽에 있으면서 \(\mathrm{AQ} : \mathrm{QB} = m : n\)이 되는 점입니다. 내분점은 ‘선분의 안에서 나누는 점’, 외분점은 ‘선분의 연장선 위에서 나누는 점’이라고 생각하면 됩니다. 공식은 내분점의 \(n\)을 \(-n\)으로 바꾼 꼴입니다. 왜 마이너스를 붙여도 될까요? 길이뿐 아니라 방향까지 생각해 봅시다. 내분에서는 \(\mathrm{A}\)에서 \(\mathrm{P}\)로 가는 방향과 \(\mathrm{P}\)에서 \(\mathrm{B}\)로 가는 방향이 같습니다. 외분에서는 \(\mathrm{A}\)에서 \(\mathrm{Q}\)로 가는 방향과 \(\mathrm{Q}\)에서 \(\mathrm{B}\)로 가는 방향이 항상 반대입니다(\(\mathrm{Q}\)가 선분 밖에 있으므로 \(\mathrm{Q}\)에서 \(\mathrm{B}\)로 가려면 되돌아와야 합니다). 길이의 비는 \(m:n\) 그대로지만, 방향까지 넣으면 비는 \(m : \left(-n\right)\)이 됩니다. 실제로 내분점의 공식에 \(m : \left(-n\right)\)을 넣으면 \(\dfrac{\left(-n\right)x_1 + m x_2}{m + \left(-n\right)} = \dfrac{-n x_1 + m x_2}{m - n}\) 이 되어, 외분점의 공식과 똑같아집니다. ‘외분은 뒤의 수에 마이너스를 붙인 내분’이라고 기억하면 공식을 두 개 외울 필요가 없습니다. 점이 어느 쪽에 생기는지는 \(m\)과 \(n\) 중 어느 쪽이 큰지로 정해집니다. \(m > n\)이면 \(\mathrm{B}\)의 바깥쪽, \(m < n\)이면 \(\mathrm{A}\)의 바깥쪽(\(\mathrm{B}\)와 반대 방향)에 생깁니다. \(\mathrm{Q}\)는 언제나 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) 중 비의 수가 작은 쪽의 점 쪽에 생깁니다. \(m = n\)일 때만 외분점이 존재하지 않습니다. 식에서는 분모 \(m - n\)이 \(0\)이 되고, 그림에서는 직선 \(\mathrm{AB}\) 위에 ‘선분의 바깥쪽이면서 \(\mathrm{A}\)와 \(\mathrm{B}\)에서 같은 거리에 있는 점’이 없기 때문입니다.

중점(\(1:1\)로 내분하는 점)

그림

수학 표기 (일반적인 수식)

\(x\) \(=\) \((\) \(x_1\) \(+\) \(x_2\) \()\) \(\div\) \(2\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

③ 중점 \(\mathrm{M}\)의 x좌표(\(x\)) \(=\) \((\) ① 점 \(\mathrm{A}\)의 x좌표(\(x_1\)) \(+\) ② 점 \(\mathrm{B}\)의 x좌표(\(x_2\)) \()\) \(\div\) \(2\)

공식을 말로 읽으면

① 점 \(\mathrm{A}\)의 x좌표(\(x_1\)) 와

② 점 \(\mathrm{B}\)의 x좌표(\(x_2\)) 를 더해서 2로 나누면

③ 중점 \(\mathrm{M}\)의 x좌표 가 됩니다(두 좌표의 평균 그 자체)

간단한 예

\(\mathrm{A}(1,\ 2)\), \(\mathrm{B}(7,\ 5)\)를 잇는 선분의 중점 \(\mathrm{M}\)의 x좌표는

중점 \(\mathrm{M}\)의 x좌표 \(=\) \((\) 점 \(\mathrm{A}\)의 x좌표(1) \(+\) 점 \(\mathrm{B}\)의 x좌표(7) \()\) \(\div\) \(2\)

\(x = \dfrac{1 + 7}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\)

\(y = \dfrac{2 + 5}{2} = \dfrac{7}{2} \quad \Rightarrow \quad \mathrm{M}\left(4,\ \dfrac{7}{2}\right)\)

이해의 핵심

중점은 \(1:1\)로 내분하는 점입니다. 내분점의 공식에 \(m = 1\), \(n = 1\)을 대입하면 \(x = \dfrac{1 \times x_1 + 1 \times x_2}{1 + 1} = \dfrac{x_1 + x_2}{2}\) 가 되어, 엇갈려 곱하는 모양이 사라집니다. 두 좌표에 모두 같은 \(1\)을 곱하므로 어느 쪽에 무엇을 곱하든 상관없기 때문입니다. 중점의 공식에 익숙해진 뒤 내분점의 공식이 갑자기 어렵게 느껴지는 것은, 엇갈림이 숨어 있는 이 특별한 경우부터 배웠기 때문입니다. 하는 일은 두 좌표의 평균을 구하는 것뿐입니다. 시험 점수 두 개의 평균을 내는 것과 같은 계산을 x좌표와 y좌표에 따로따로 한다고 생각하면 헷갈리지 않습니다.

삼각형의 무게중심

그림

수학 표기 (일반적인 수식)

\(x\) \(=\) \((\) \(x_1\) \(+\) \(x_2\) \(+\) \(x_3\) \()\) \(\div\) \(3\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

④ 무게중심 \(\mathrm{G}\)의 x좌표(\(x\)) \(=\) \((\) ① 꼭짓점 \(\mathrm{A}\)의 x좌표(\(x_1\)) \(+\) ② 꼭짓점 \(\mathrm{B}\)의 x좌표(\(x_2\)) \(+\) ③ 꼭짓점 \(\mathrm{C}\)의 x좌표(\(x_3\)) \()\) \(\div\) \(3\)

공식을 말로 읽으면

① 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 꼭짓점 \(\mathrm{A}\)의 x좌표(\(x_1\)) 와

② 꼭짓점 \(\mathrm{B}\)의 x좌표(\(x_2\)) 와

③ 꼭짓점 \(\mathrm{C}\)의 x좌표(\(x_3\)) 를 더해서 3으로 나누면

④ 무게중심 \(\mathrm{G}\)의 x좌표 가 됩니다(세 꼭짓점의 좌표의 평균)

간단한 예

세 점 \(\mathrm{A}(1,\ 2)\), \(\mathrm{B}(7,\ 5)\), \(\mathrm{C}(4,\ 8)\)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심 \(\mathrm{G}\)의 x좌표는

무게중심 \(\mathrm{G}\)의 x좌표 \(=\) \((\) 꼭짓점 \(\mathrm{A}\)의 x좌표(1) \(+\) 꼭짓점 \(\mathrm{B}\)의 x좌표(7) \(+\) 꼭짓점 \(\mathrm{C}\)의 x좌표(4) \()\) \(\div\) \(3\)

\(x = \dfrac{1 + 7 + 4}{3} = \dfrac{12}{3} = 4\)

\(y = \dfrac{2 + 5 + 8}{3} = \dfrac{15}{3} = 5 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{G}(4,\ 5)\)

이해의 핵심

무게중심 \(\mathrm{G}\)는 세 중선(꼭짓점과 마주 보는 변의 중점을 이은 선분)이 한 점에서 만나는 점입니다. 삼각형 모양의 판을 이 한 점으로 받치면 수평으로 균형을 이루기 때문에 ‘무게중심’이라고 부릅니다. 좌표의 평균이 되는 이유는 내분점의 공식으로 확인할 수 있습니다. 변 \(\mathrm{BC}\)의 중점 \(\mathrm{M}\)의 x좌표는 \(\dfrac{x_2 + x_3}{2}\)입니다. 무게중심은 중선 \(\mathrm{AM}\)을 꼭짓점에서부터 \(2:1\)로 내분하는 점이므로, 내분점의 공식에 \(m = 2\), \(n = 1\)을 대입하면 \(x = \dfrac{1 \times x_1 + 2 \times \dfrac{x_2 + x_3}{2}}{2 + 1} = \dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\) 이 되어, 세 좌표의 평균이 됩니다. 이 \(2:1\)은 무게중심의 가장 중요한 성질입니다. \(\mathrm{AG}\)의 길이는 \(\mathrm{GM}\)의 정확히 2배입니다. 어느 중선에서나 비가 같으므로 ‘무게중심은 각 중선을 꼭짓점에서부터 \(2:1\)로 내분한다’고 기억해 두면 도형 문제에서 도움이 됩니다.

선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(m:n\)으로 나누는 점은 내분점이면 \(\left(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m+n},\ \dfrac{n y_1 + m y_2}{m+n}\right)\), 외분점이면 \(n\)을 \(-n\)으로 바꾼 \(\left(\dfrac{-n x_1 + m x_2}{m-n},\ \dfrac{-n y_1 + m y_2}{m-n}\right)\)입니다. 점 \(\mathrm{A}\)의 좌표에 \(\mathrm{A}\)에서 먼 쪽의 수 \(n\)을 곱하므로, \(n\)이 클수록 점은 \(\mathrm{A}\)에 가까워집니다(분점은 비의 수가 작은 쪽의 끝으로 다가갑니다). 중점은 \(1:1\)로 내분하는 점, 삼각형의 무게중심은 세 꼭짓점의 좌표의 평균이며, 모두 ‘무게를 붙인 평균’(가중평균)이라는 같은 생각으로 이어져 있습니다.

용어·기호 해설

기호

\(\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}\)	에이, 비, 시	점에 붙이는 이름입니다. 도형에서는 점을 알파벳 대문자로 나타내는 약속이 있고, 차례로 A, B, C를 붙이는 것이 관례입니다. 이 페이지에서는 선분의 양 끝을 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\), 삼각형의 세 번째 꼭짓점을 \(\mathrm{C}\)로 합니다.
\(x_1,\ y_1\)	엑스 일, 와이 일	점 \(\mathrm{A}\)의 좌표입니다. 오른쪽 아래의 작은 숫자(첨자)는 ‘몇 번째 점인지’를 나타내는 번호로, 계산에 쓰는 수가 아닙니다. 마찬가지로 \(x_2,\ y_2\)는 점 \(\mathrm{B}\)의 좌표, \(x_3,\ y_3\)은 점 \(\mathrm{C}\)의 좌표입니다.
\(m:n\)	엠 대 엔	선분을 나누는 비입니다. \(\mathrm{A}\)에서 분점까지의 부분에 \(m\), 분점에서 \(\mathrm{B}\)까지의 부분에 \(n\)을 나누어 줍니다. \(m\), \(n\)은 비를 나타낼 때 자주 쓰는 문자일 뿐입니다. 순서를 바꾸면 다른 점이 됩니다.
\(\mathrm{P}\)	피	내분점에 자주 붙이는 이름입니다. 영어로 점을 뜻하는 Point의 첫 글자입니다.
\(\mathrm{Q}\)	큐	외분점에 자주 붙이는 이름입니다. 내분점의 \(\mathrm{P}\) 다음 알파벳을 쓰는 관례입니다.
\(\mathrm{M}\)	엠	중점에 자주 붙이는 이름입니다. 영어로 중점을 뜻하는 Midpoint(한가운데 점)의 첫 글자입니다.
\(\mathrm{G}\)	지	무게중심에 자주 붙이는 이름입니다. 무게중심을 뜻하는 center of Gravity(무게의 중심)의 첫 글자에서 왔다고 합니다.
\(\mathrm{AB}\)	선분 에이비	점 \(\mathrm{A}\)와 점 \(\mathrm{B}\)를 이은 선분입니다. 양 끝이 정해진 ‘곧은 선의 일부분’을 가리킵니다. 길이를 나타낼 때도 같은 \(\mathrm{AB}\)로 씁니다.
\(\mathrm{AP} : \mathrm{PB}\)	에이피 대 피비	선분 \(\mathrm{AP}\)의 길이와 선분 \(\mathrm{PB}\)의 길이의 비입니다. ‘\(\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n\)이 되는 점 \(\mathrm{P}\)’가 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(m:n\)으로 내분하는 점입니다.

용어

선분	두 점을 이은 곧은 선의 일부분입니다. 양 끝이 있는 것을 선분, 한쪽으로 끝없이 뻗는 것을 반직선, 양쪽으로 뻗는 것을 직선이라고 구별해 부릅니다.
내분점	선분의 내부에 있으면서 그 선분을 정해진 비로 나누는 점입니다. 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(m:n\)으로 내분하는 점 \(\mathrm{P}\)는 \(\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n\)을 만족하는 선분 \(\mathrm{AB}\) 위의 점입니다.
외분점	선분을 연장한 바깥쪽에 있으면서 \(\mathrm{AQ} : \mathrm{QB} = m : n\)을 만족하는 점입니다. 비의 수가 작은 쪽의 끝 쪽에 생깁니다(\(m > n\)이면 \(\mathrm{B}\)의 바깥쪽, \(m < n\)이면 \(\mathrm{A}\)의 바깥쪽). \(m\)과 \(n\)이 같으면 존재하지 않습니다.
분점	선분을 정해진 비로 나누는 점을 통틀어 이르는 말입니다. 내분점과 외분점을 함께 부를 때 씁니다.
중점	선분의 한가운데 점입니다. 양 끝에서 같은 거리에 있는 점으로, \(1:1\)로 내분하는 점에 해당합니다.
무게중심	삼각형의 세 중선이 만나는 한 점입니다. 삼각형 모양의 판을 이 점으로 받치면 수평으로 균형을 이루는 ‘무게의 중심’이며, 좌표는 세 꼭짓점의 좌표의 평균이 됩니다.
중선	삼각형의 꼭짓점과 마주 보는 변의 중점을 이은 선분입니다. 세 중선은 반드시 한 점(무게중심)에서 만나고, 그 점은 각 중선을 꼭짓점에서부터 \(2:1\)로 내분합니다.
비	두 양의 비율을 ‘\(2:1\)’처럼 나란히 나타낸 것입니다. \(2:1\)과 \(4:2\)는 같은 비입니다. 이 페이지에서는 선분을 나누었을 때 두 부분의 길이의 비율을 나타냅니다.
좌표	점의 위치를 수의 쌍으로 나타낸 것입니다. 수직선에서는 수 하나, 평면에서는 \((x,\ y)\)의 두 수, 공간에서는 \((x,\ y,\ z)\)의 세 수로 한 점의 위치가 정해집니다.
수직선	직선에 눈금을 매겨 수와 점을 일대일로 대응시킨 것입니다. 위치를 수 하나로 나타낼 수 있는 가장 단순한 좌표입니다.
좌표평면	가로 방향의 x축과 세로 방향의 y축을 짝지어, 평면 위의 점을 \((x,\ y)\)의 두 수로 나타낼 수 있게 한 것입니다.
가중평균	각각의 수에 ‘무게(가중치)’를 붙여서 내는 평균입니다. 내분점의 좌표 \(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m+n}\)는 \(x_1\)에 가중치 \(n\), \(x_2\)에 가중치 \(m\)을 붙인 가중평균 그 자체입니다. 보통의 평균은 모든 가중치가 같은 특별한 경우에 해당합니다.
첨자	\(x_1\), \(x_2\)처럼 문자의 오른쪽 아래에 작게 쓰는 번호입니다(아래첨자). 같은 종류의 양을 구별하기 위한 ‘일련번호’로, 곱하는 수도 지수도 아닙니다.

먼저 알아 두면 좋은 내용

이 페이지의 계산을 ‘의미를 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
막히면 이 표의 내용으로 돌아가 복습하는 것이 지름길입니다.

수직선과 좌표(초등학교~중학교 1학년, 9~13세)	수직선이 ‘직선에 눈금을 매겨 수와 점을 대응시킨 것’이라는 것을 알고, 음수의 위치도 읽을 수 있는 것 좌표평면에서 점 \((3,\ -2)\)가 ‘오른쪽으로 3, 아래로 2’인 위치를 가리킨다고 읽을 수 있는 것 점 \(\mathrm{A}\)의 좌표를 \((x_1,\ y_1)\)처럼 문자와 첨자로 썼을 때, 첨자의 \(1\)은 ‘첫 번째 점’이라는 번호이지 곱하는 수가 아니라는 것을 아는 것
비와 비율(초등학교 6학년, 11~12세)	\(2:1\) 같은 비가 ‘전체를 3으로 나눈 것 중 2와 1로 나눈다’는 뜻이라는 것을 아는 것 \(2:1\)과 \(4:2\)가 같은 비라는 것을 아는 것(비의 각 수에 같은 수를 곱하거나 나누어도 비는 변하지 않습니다) \(m:n\)으로 나누었을 때 \(\mathrm{A}\) 쪽 부분이 전체의 \(\dfrac{m}{m+n}\)에 해당한다는 것을 아는 것
정수와 유리수의 계산(중학교 1학년, 12~13세)	\(-3 \times 4 = -12\), \(\left(-9\right) \div \left(-2\right) = \dfrac{9}{2}\)처럼 음수의 곱셈·나눗셈의 부호를 올바르게 정할 수 있는 것 외분점의 식에 나오는 \(-n\) 같은 ‘마이너스가 붙은 문자’를 그대로 계산에 쓸 수 있는 것
분수의 계산(초등학교 5학년~중학교 1학년, 10~13세)	\(\dfrac{15}{3} = 5\)처럼 약분할 수 있고, 답을 약분한 분수로 쓸 수 있는 것 \(\dfrac{9}{2}\) 같은 분수를 그대로 답으로 다루는 데 익숙한 것(소수로 고치지 않아도 됩니다)
문자와 식, 대입(중학교 1~2학년, 12~14세)	\(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m + n}\) 같은 문자식에 구체적인 수를 대입해 계산할 수 있는 것 \(x_1 + \dfrac{m}{m+n}\left(x_2 - x_1\right)\) 같은 식의 괄호를 풀고, 동류항끼리 모아 정리할 수 있는 것
평균(초등학교 5학년, 10~11세)	평균이 ‘모두 더해서 개수로 나누는’ 계산이라는 것을 아는 것(중점도 무게중심도 이 평균 그 자체입니다) 인원수가 다른 집단의 평균을 합칠 때는 그냥 더해서 나누면 안 된다는 것을 아는 것

Excel로 계산하는 방법

아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.

내분점을 구하는 표

점 A의 x좌표 x1	1
점 A의 y좌표 y1	2
점 B의 x좌표 x2	7
점 B의 y좌표 y2	5
비의 수 m(A에서 분점까지)	2
비의 수 n(분점에서 B까지)	1
내분점 P의 x좌표	=(B6B1+B5B3)/(B5+B6)
내분점 P의 y좌표	=(B6B2+B5B4)/(B5+B6)

외분점을 구하는 표

점 A의 x좌표 x1	1
점 A의 y좌표 y1	2
점 B의 x좌표 x2	7
점 B의 y좌표 y2	5
비의 수 m(A에서 분점까지)	3
비의 수 n(분점에서 B까지)	1
외분점 Q의 x좌표	=(-B6B1+B5B3)/(B5-B6)
외분점 Q의 y좌표	=(-B6B2+B5B4)/(B5-B6)

중점을 구하는 표

점 A의 x좌표 x1	1
점 A의 y좌표 y1	2
점 B의 x좌표 x2	7
점 B의 y좌표 y2	5
중점 M의 x좌표	=(B1+B3)/2
중점 M의 y좌표	=(B2+B4)/2

삼각형의 무게중심을 구하는 표

꼭짓점 A의 x좌표 x1	1
꼭짓점 A의 y좌표 y1	2
꼭짓점 B의 x좌표 x2	7
꼭짓점 B의 y좌표 y2	5
꼭짓점 C의 x좌표 x3	4
꼭짓점 C의 y좌표 y3	8
무게중심 G의 x좌표	=(B1+B3+B5)/3
무게중심 G의 y좌표	=(B2+B4+B6)/3

붙여 넣으면 위쪽 행(좌표와 비)이 입력란이 되고, 아래쪽 행이 자동으로 계산된 결과가 됩니다. ‘*’는 곱셈, ‘/’는 나눗셈입니다.
첫 번째 표는 A(1, 2), B(7, 5)에 대해 선분 AB를 2:1로 내분하는 점 P(5, 4)를 구합니다. x좌표의 식 ‘=(B6*B1+B5*B3)/(B5+B6)’은 B1(A의 x좌표)에 B6(비의 수 n)을, B3(B의 x좌표)에 B5(비의 수 m)를 곱하고 있어 처음에는 짝이 어긋나 보입니다. 이것이 엇갈려 곱하는 부분이며, 바꾸어 넣으면 답이 달라집니다.
두 번째 표는 같은 두 점에 대해 3:1로 외분하는 점 Q(10, 6.5)를 구합니다. 첫 번째 표와 다른 점은 B6 앞의 마이너스와 분모의 뺄셈뿐입니다. m과 n에 같은 값을 넣으면 분모가 0이 되어 오류(#DIV/0!)가 나타나는데, 이것은 외분점이 존재하지 않는다는 뜻입니다.
세 번째 표는 중점 M(4, 3.5)을, 네 번째 표는 A(1, 2), B(7, 5), C(4, 8)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심 G(4, 5)를 구합니다.

Google 스프레드시트로 계산하는 방법

아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.

내분점을 구하는 표

점 A의 x좌표 x1	1
점 A의 y좌표 y1	2
점 B의 x좌표 x2	7
점 B의 y좌표 y2	5
비의 수 m(A에서 분점까지)	2
비의 수 n(분점에서 B까지)	1
내분점 P의 x좌표	=(B6B1+B5B3)/(B5+B6)
내분점 P의 y좌표	=(B6B2+B5B4)/(B5+B6)

외분점을 구하는 표

점 A의 x좌표 x1	1
점 A의 y좌표 y1	2
점 B의 x좌표 x2	7
점 B의 y좌표 y2	5
비의 수 m(A에서 분점까지)	3
비의 수 n(분점에서 B까지)	1
외분점 Q의 x좌표	=(-B6B1+B5B3)/(B5-B6)
외분점 Q의 y좌표	=(-B6B2+B5B4)/(B5-B6)

중점을 구하는 표

점 A의 x좌표 x1	1
점 A의 y좌표 y1	2
점 B의 x좌표 x2	7
점 B의 y좌표 y2	5
중점 M의 x좌표	=(B1+B3)/2
중점 M의 y좌표	=(B2+B4)/2

삼각형의 무게중심을 구하는 표

꼭짓점 A의 x좌표 x1	1
꼭짓점 A의 y좌표 y1	2
꼭짓점 B의 x좌표 x2	7
꼭짓점 B의 y좌표 y2	5
꼭짓점 C의 x좌표 x3	4
꼭짓점 C의 y좌표 y3	8
무게중심 G의 x좌표	=(B1+B3+B5)/3
무게중심 G의 y좌표	=(B2+B4+B6)/3

Excel과 같은 수식을 그대로 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 좌표와 비를 원하는 수로 바꾸세요.

Python으로 계산하는 방법

from fractions import Fraction

# 점의 좌표(3/4 같은 분수는 Fraction(3, 4)로 씁니다)
point_a = (Fraction(1), Fraction(2))
point_b = (Fraction(7), Fraction(5))
point_c = (Fraction(4), Fraction(8))   # 무게중심에 쓰는 세 번째 꼭짓점

def internal_point(a, b, m, n):
    # 내분점: 반대쪽의 수를 곱합니다(점 A에는 n, 점 B에는 m)
    return tuple((n * p + m * q) / (m + n) for p, q in zip(a, b))

def external_point(a, b, m, n):
    # 외분점: 내분점의 n을 -n으로 바꾼 것(m과 n이 같으면 계산할 수 없음)
    return tuple((-n * p + m * q) / (m - n) for p, q in zip(a, b))

def midpoint(a, b):
    # 중점: 두 좌표의 평균(1:1로 내분)
    return tuple((p + q) / 2 for p, q in zip(a, b))

def centroid(a, b, c):
    # 삼각형의 무게중심: 세 꼭짓점의 좌표의 평균
    return tuple((p + q + r) / 3 for p, q, r in zip(a, b, c))

def show(point):
    # 분수를 "(5, 4)", "(10, 13/2)"처럼 읽기 쉬운 형태로 표시
    return "(" + ", ".join(str(v) for v in point) + ")"

print("내분 2:1 :", show(internal_point(point_a, point_b, Fraction(2), Fraction(1))))
print("외분 3:1 :", show(external_point(point_a, point_b, Fraction(3), Fraction(1))))
print("중점     :", show(midpoint(point_a, point_b)))
print("무게중심 :", show(centroid(point_a, point_b, point_c)))

표준 라이브러리의 fractions 모듈을 쓰면 소수의 반올림 오차 없이 정확한 분수 그대로 계산할 수 있습니다. 이 예는 A(1, 2), B(7, 5), C(4, 8)입니다. 실행하면 내분점 (5, 4), 외분점 (10, 13/2), 중점 (4, 7/2), 무게중심 (4, 5)가 표시됩니다. zip을 쓰고 있으므로 각 점에 좌표를 세 개씩 주면 공간(3차원)에서도 그대로 쓸 수 있습니다.

LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)

내분점(선분을 \(m:n\)으로 내분하는 점)

P = ((n·x₁ + m·x₂) ÷ (m + n),  (n·y₁ + m·y₂) ÷ (m + n))

P\left(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m + n},\ \dfrac{n y_1 + m y_2}{m + n}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mi>n</mi><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
        <mo>+</mo>
        <mi>m</mi><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub>
      </mrow>
      <mrow><mi>m</mi><mo>+</mo><mi>n</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (n*x_1 + m*x_2)/(m + n)

{(n*x1 + m*x2)/(m + n), (n*y1 + m*y2)/(m + n)}

P := [(n*x1 + m*x2)/(m + n), (n*y1 + m*y2)/(m + n)];

P = [(n*x1 + m*x2)/(m + n), (n*y1 + m*y2)/(m + n)];

x = (n x_1 + m x_2)/(m + n)

외분점(선분을 \(m:n\)으로 외분하는 점)

Q = ((−n·x₁ + m·x₂) ÷ (m − n),  (−n·y₁ + m·y₂) ÷ (m − n))

Q\left(\dfrac{-n x_1 + m x_2}{m - n},\ \dfrac{-n y_1 + m y_2}{m - n}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mo>&#x2212;</mo><mi>n</mi><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
        <mo>+</mo>
        <mi>m</mi><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub>
      </mrow>
      <mrow><mi>m</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>n</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (-n*x_1 + m*x_2)/(m - n)

{(-n*x1 + m*x2)/(m - n), (-n*y1 + m*y2)/(m - n)}

Q := [(-n*x1 + m*x2)/(m - n), (-n*y1 + m*y2)/(m - n)];

Q = [(-n*x1 + m*x2)/(m - n), (-n*y1 + m*y2)/(m - n)];

x = (-n x_1 + m x_2)/(m - n)

중점(\(1:1\)로 내분하는 점)

M = ((x₁ + x₂) ÷ 2,  (y₁ + y₂) ÷ 2)

M\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2},\ \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub></mrow>
      <mn>2</mn>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (x_1 + x_2)/2

{(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2}

M := [(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2];

M = [(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2];

x = (x_1 + x_2)/2

삼각형의 무게중심

G = ((x₁ + x₂ + x₃) ÷ 3,  (y₁ + y₂ + y₃) ÷ 3)

G\left(\dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3},\ \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo>
        <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo>
        <msub><mi>x</mi><mn>3</mn></msub>
      </mrow>
      <mn>3</mn>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (x_1 + x_2 + x_3)/3

{(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3}

G := [(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3];

G = [(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3];

x = (x_1 + x_2 + x_3)/3

ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법

당신은 수학(좌표기하)의 계산 도우미입니다. 다음 계산을 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답해 주세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요).

좌표평면 위의 두 점 A(1, 2), B(7, 5)에 대해 다음을 구해 주세요.
1. 선분 AB를 2:1로 내분하는 점 P의 좌표
2. 선분 AB를 3:1로 외분하는 점 Q의 좌표
3. 선분 AB의 중점 M의 좌표
4. 점 C(4, 8)을 더한 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표

Python에서는 표준 라이브러리의 fractions 모듈로 정확하게 계산하고, 각 답을 약분한 분수와 소수로 함께 보여 주세요.
또한 내분점의 공식에서 왜 점 A의 좌표에 n을 곱하는지(왜 엇갈려 곱하는 꼴이 되는지)를 식을 차례로 정리하면서 설명해 주세요.