전개할 식 (Ax+B)ⁿ의 A, B, n을 입력해 주세요. 아래 수식은 입력란과 연동되어 있어 수식 쪽을 직접 고쳐 써도 계산할 수 있습니다. 모든 항을 전개할지, 특정한 한 항만 구할지는 ‘구할 것’에서 고를 수 있습니다.
소수, 음수, 3/4 같은 분수를 쓸 수 있습니다. 지수 n은 0 이상 12 이하의 정수입니다.
계산 결과·도형
왼쪽 입력란에 계수와 지수를 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 전개한 식과 파스칼의 삼각형이 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- \((Ax+B)^{n}\)(\(n\)은 0~12)을 이항정리로 전개하고, 내림차순으로 정리한 식을 바로 보여 줍니다
- \(x^{3}\)의 계수만 알고 싶을 때는 \(x\)의 지수(또는 앞에서부터 몇 번째 항인지)를 정해 그 한 항만 구할 수 있습니다
- 한 항만 구할 때는 이항계수 \({}_n\mathrm{C}_k\)의 값과 \(\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)에 대입한 풀이 과정도 보여 줍니다
- 파스칼의 삼각형을 \(n\)번째 줄까지 그리고, 사용한 줄에 색을 칠해 보여 줍니다
- \(A\), \(B\)에는 소수, 음수뿐 아니라 3/4 같은 분수도 입력할 수 있습니다. 계수는 분수 그대로 약분해 정확하게 계산합니다
- 공식의 쉬운 해설과 Excel, Google 스프레드시트, Python에 복사해 쓸 수 있는 수식도 이 페이지에 모아 두었습니다
다룰 수 있는 것은 \((Ax+B)^{n}\)의 꼴(\(n\)은 0 이상 12 이하의 정수)입니다. 지수가 분수나 음수인 경우(일반화된 이항정리)와 3개 이상의 항의 전개(다항정리)는 다루지 않습니다.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
‘n번 중 k번 일어날 확률’ 구하기(품질 관리·여론 조사·임상 시험)
한 번의 확률이 \(p\)로 매번 변하지 않고, 각 결과가 서로 영향을 주지 않는 시행을 \(n\)번 되풀이할 때 어떤 일이 \(k\)번 일어날 확률은 \({}_n\mathrm{C}_k p^{k}(1-p)^{n-k}\)로 구할 수 있습니다. 이것은 \((p + (1-p))^n\)을 이항정리로 전개한 각 항 그 자체이며, 이런 꼴의 확률분포를 이항분포라고 합니다.
예를 들어 불량률이 늘 3%인 공정에서 10개를 뽑았을 때 불량품이 하나도 나오지 않을 확률은 \(k = 0\)인 항 \(0.97^{10} \fallingdotseq 0.737\), 즉 약 74%입니다. 거꾸로 말하면 10개를 검사하면 약 26%의 확률로 불량품을 찾을 수 있습니다. 표본 검사의 개수를 정할 때, 여론 조사의 오차를 어림할 때, 신약의 효과를 통계적으로 판정할 때 등 확률이 얽힌 판단의 바탕이 됩니다.
유전에서 ‘자녀에게 나타나는 비율’ 계산하기(생물·농업)
부모가 둘 다 \(\mathrm{Aa}\)라는 유전자 조합일 때, 자녀의 유전자형은 \(\mathrm{AA} : \mathrm{Aa} : \mathrm{aa} = 1 : 2 : 1\)의 비율로 나타납니다. 이 1, 2, 1은 아버지와 어머니가 각각 \(\mathrm{A}\)와 \(\mathrm{a}\)를 \(\dfrac{1}{2}\)씩의 확률로 물려주므로 \(\left(\dfrac{1}{2}\mathrm{A} + \dfrac{1}{2}\mathrm{a}\right)^{2} = \dfrac{1}{4}\left(\mathrm{AA} + 2\,\mathrm{Aa} + \mathrm{aa}\right)\)로 전개했을 때의 이항계수이며, 파스칼의 삼각형의 \(n = 2\)인 줄과 같은 수입니다.
살펴볼 형질이 늘어나거나 형제자매의 수에 따라 경우를 나누면 손으로 계산하기 어려워지지만, 이항정리를 쓰면 ‘형제자매 4명 중 딱 2명만 어떤 형질이 나타날 확률’ 같은 계산도 한 번에 끝납니다. 품종 개량이나 유전 상담에서는 이런 방법으로 기대되는 비율을 어림합니다.
복리나 성장률을 ‘대략’ 어림하기(돈·경제)
연이율 \(r\)로 \(n\)년 운용했을 때의 배율 \((1+r)^{n}\)을 이항정리로 전개하면 \(1 + nr + {}_n\mathrm{C}_2 r^{2} + \cdots\)이 되고, 앞의 \(1 + nr\)이 단리의 생각, 그 뒤가 ‘이자에도 이자가 붙는 부분’에 해당합니다.
예를 들어 연이율 1%로 10년이면 \(1.01^{10} = 1.10462\cdots\)이지만, 전개의 처음 세 항 \(1 + 0.1 + 0.0045\)만으로도 1.1045로 거의 같은 값이 나옵니다. 뒤의 항일수록 작아지므로 암산으로 대강의 크기를 알고 싶을 때 편리합니다. 금리, 물가 상승률, 인구 증가율처럼 ‘해마다 같은 비율로 늘어나는 양’은 모두 이 꼴이 됩니다.
아주 작은 변화의 영향 어림하기(공학·물리·측정)
설계나 측정 현장에서는 ‘조금 바뀌었을 때 결과는 얼마나 바뀌는가’를 빨리 알고 싶은 경우가 많습니다. 이항정리로 전개해 제곱 이상의 작은 항을 버리면 \((1+x)^{n} \fallingdotseq 1 + nx\)라는 근사식을 얻을 수 있습니다.
예를 들어 정육면체의 한 모서리가 1% 길어지면 부피는 \((1+0.01)^{3} = 1.030301\)배, 즉 약 3% 늘어납니다. 근사식으로도 \(1 + 3 \times 0.01 = 1.03\)으로 거의 같은 답이 나옵니다. ‘길이의 오차가 1%이면 부피의 오차는 약 3%’라는 감각은 부품의 공차 설계나 측정 오차의 어림에 그대로 쓰입니다.
선택지의 총수 세기(조합·경우의 수)
\(n\)가지에 대해 ‘고른다·고르지 않는다’를 자유롭게 정할 때 조합의 총수는 \(2^{n}\)가지입니다. 이것은 이항정리에서 \(a = b = 1\)로 놓은 식 \(\sum_{k=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_k = 2^{n}\)에 해당하며, 파스칼의 삼각형의 각 줄을 모두 더한 값이기도 합니다.
예를 들어 토핑이 5가지인 라면집이라면 아무것도 넣지 않는 경우까지 포함해 \(2^{5} = 32\)가지로 주문할 수 있습니다. 게다가 줄의 내용을 보면 ‘딱 2가지만 넣는 주문은 \({}_5\mathrm{C}_2 = 10\)가지’처럼 내역까지 알 수 있습니다. 메뉴의 조합 수, 설문의 선택 패턴, 테스트 케이스의 개수 세기 등 선택지를 세는 곳에서 널리 쓰이는 생각입니다.
공식과 그림
이항정리
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\((a+b)^{n}\)
\(=\)
\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\)
\({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)
\(a^{n-k}\)
\(b^{k}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
⑤
\((a+b)^n\): \((a+b)\)를 \(n\)개 곱한 것
\(=\)
④
\(b\)를 고르는 개수 \(k\)를 0부터 \(n\)까지 바꾸며 모두 더한 합
①
\({}_n\mathrm{C}_k\): \(n\)개에서 \(k\)개를 고르는 방법의 수
②
\(a^{n-k}\): \(a\)를 \((n-k)\)번 곱한 것
③
\(b^{k}\): \(b\)를 \(k\)번 곱한 것
공식을 말로 읽으면
①
\({}_n\mathrm{C}_k\): \(n\)개에서 \(k\)개를 고르는 방법의 수
에
②
\(a^{n-k}\): \(a\)를 \((n-k)\)번 곱한 것
과
③
\(b^{k}\): \(b\)를 \(k\)번 곱한 것
을 곱하고,
④
\(b\)를 고르는 개수 \(k\)를 0부터 \(n\)까지 바꾸며 모두 더한 합
을 구하면
⑤
\((a+b)^n\): \((a+b)\)를 \(n\)개 곱한 것
이 됩니다.
간단한 예
\((a+b)^{3}\)을 전개하면(계수 1, 3, 3, 1은 \({}_3\mathrm{C}_0\)부터 \({}_3\mathrm{C}_3\)까지의 값)
\((a+b)\)를 3개 곱한 것
\(=\)
\(b\)를 고르는 개수 \(k\)를 0부터 3까지 바꾸며 모두 더한 합
3개에서 \(k\)개를 고르는 방법의 수
\(a\)를 \((3-k)\)번 곱한 것
\(b\)를 \(k\)번 곱한 것
\((a+b)^{3} = {}_{3}\mathrm{C}_{0}a^{3} + {}_{3}\mathrm{C}_{1}a^{2}b + {}_{3}\mathrm{C}_{2}ab^{2} + {}_{3}\mathrm{C}_{3}b^{3}\)
\(= a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}\)
이해의 핵심
\((a+b)^n\)은 ‘\((a+b)\)라는 괄호를 \(n\)개 늘어놓고 곱한다’는 뜻입니다. 전개할 때는 각 괄호에서 \(a\)와 \(b\) 중 하나씩 골라 곱하고, 고르는 방법의 모든 경우를 더합니다.
이때 ‘\(n\)개의 괄호 중 어느 \(k\)개에서 \(b\)를 고를지’를 정하는 방법은 \({}_n\mathrm{C}_k\)가지입니다. 그래서 같은 꼴의 항 \(a^{n-k}b^{k}\)이 \({}_n\mathrm{C}_k\)개 나오고, 이것을 모으면 계수가 \({}_n\mathrm{C}_k\)가 됩니다. 이것이 이항정리의 내용입니다.
위의 그림은 \((a+b)^2\)을 정사각형의 넓이로 나타낸 것입니다. \(ab\) 직사각형이 2개 있어서 \(2ab\)가 되므로, 계수 1, 2, 1을 눈으로 확인할 수 있습니다.
일반항(제\((k+1)\)항)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(T_{k+1}\)
\(=\)
\({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)
\(a^{n-k}\)
\(b^{k}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
④
\(T_{k+1}\): 전개한 식의 제\((k+1)\)항
\(=\)
①
\({}_n\mathrm{C}_k\): \(n\)개에서 \(k\)개를 고르는 방법의 수
②
\(a^{n-k}\): \(a\)를 \((n-k)\)번 곱한 것
③
\(b^{k}\): \(b\)를 \(k\)번 곱한 것
공식을 말로 읽으면
①
\({}_n\mathrm{C}_k\): \(n\)개에서 \(k\)개를 고르는 방법의 수
에
②
\(a^{n-k}\): \(a\)를 \((n-k)\)번 곱한 것
과
③
\(b^{k}\): \(b\)를 \(k\)번 곱한 것
을 곱하면
④
\(T_{k+1}\): 전개한 식의 제\((k+1)\)항
이 됩니다.
간단한 예
\((2x+3)^{5}\)의 제3항(\(k = 2\))은 \(a = 2x\), \(b = 3\)으로 놓으면
제3항 \(T_{3}\)
\(=\)
5개에서 2개를 고르는 방법의 수
\(2x\)를 3번 곱한 것
3을 2번 곱한 것
\(T_{3} = {}_{5}\mathrm{C}_{2}(2x)^{3}\cdot 3^{2} = 10 \times 8x^{3} \times 9 = 720x^{3}\)
이해의 핵심
번호와 \(k\)가 하나 어긋나는 것이 이항정리에서 가장 틀리기 쉬운 부분입니다. \(k = 0\)인 항이 제1항이므로, 제\((k+1)\)항의 \(k\)는 ‘번호에서 1을 뺀 수’입니다. 제3항이라면 \(k = 2\)입니다.
‘\(x^{3}\)의 계수를 구하시오’라는 문제에서는 번호가 아니라 \(x\)의 지수로 \(k\)를 정합니다. \((Ax+B)^n\)에서 \(x\)의 지수는 \(n-k\)이므로 \(n-k = 3\)을 풀어 \(k = n-3\)이 됩니다.
\(a\)나 \(b\)가 \(2x\) 같은 덩어리일 때는 \((2x)^{3} = 8x^{3}\)처럼 괄호 전체를 세제곱합니다. \(2x^{3}\)으로 잘못 쓰지 않도록 반드시 괄호를 붙여서 계산하세요.
이항계수(조합의 수)의 계산
수학 표기
(일반적인 수식)
\({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)
\(=\)
\(\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
②
\({}_n\mathrm{C}_k\): \(n\)개에서 \(k\)개를 고르는 방법의 수
\(=\)
①
\(\dfrac{n\text{개 전체를 한 줄로 세우는 방법 }n!}{\text{고른 }k\text{개의 순서 }k!\ \times\ \text{남은 }(n-k)\text{개의 순서 }(n-k)!}\)
공식을 말로 읽으면
①
계산식
\(\dfrac{n\text{개 전체를 한 줄로 세우는 방법 }n!}{\text{고른 }k\text{개의 순서 }k!\ \times\ \text{남은 }(n-k)\text{개의 순서 }(n-k)!}\)
의 값이
②
\({}_n\mathrm{C}_k\): \(n\)개에서 \(k\)개를 고르는 방법의 수
입니다.
간단한 예
5개에서 2개를 고르는 방법의 수 \({}_5\mathrm{C}_2\)는
5개에서 2개를 고르는 방법의 수
\(=\)
\(\dfrac{\text{5개 전체를 한 줄로 세우는 방법 }5!}{\text{고른 2개의 순서 }2!\ \times\ \text{남은 3개의 순서 }3!}\)
\({}_{5}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{5!}{2!\,(5-2)!} = \dfrac{120}{2 \times 6} = 10\)
\({}_{5}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\)
이해의 핵심
계승(팩토리얼)은 1부터 그 수까지를 모두 곱한 것입니다(\(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)). 정의에 따라 \(0! = 1\)이므로 \({}_n\mathrm{C}_0 = {}_n\mathrm{C}_n = 1\)입니다.
왜 나눗셈을 하는지는 늘어놓는 방법으로 생각하면 보입니다. \(n\)개를 모두 한 줄로 세우고 앞의 \(k\)개를 ‘고른 것’, 나머지 \((n-k)\)개를 ‘고르지 않은 것’으로 정하면 \(n!\)가지 줄 세우기마다 고르는 방법이 하나씩 정해집니다. 그런데 고른 \(k\)개끼리의 순서(\(k!\)가지)나 남은 \((n-k)\)개끼리의 순서(\((n-k)!\)가지)를 바꿔도 누가 뽑혔는지는 그대로입니다. 같은 고르는 방법을 \(k!\,(n-k)!\)번씩 겹쳐 센 셈이므로, 그만큼 나누면 고르는 방법의 수만 남습니다.
손으로 계산할 때는 위의 두 번째 방법이 더 빠릅니다. 분자는 \(n\)부터 1씩 줄여 가며 \(k\)개를 곱하고, 분모는 \(k!\)입니다. \({}_5\mathrm{C}_2\)라면 \(\dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\)입니다.
이항계수에는 \({}_n\mathrm{C}_k = {}_n\mathrm{C}_{n-k}\)라는 대칭성이 있습니다(\(k\)개를 고르는 것은 고르지 않을 \((n-k)\)개를 고르는 것과 같습니다). 예를 들어 \({}_7\mathrm{C}_5\)는 \({}_7\mathrm{C}_2 = 21\)로 계산하는 편이 빠릅니다. 전개식의 계수가 양 끝에서부터 같은 순서로 나열되는 것도 이 때문입니다.
파스칼의 삼각형(이웃한 두 수의 합)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\({}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}\)
\(+\)
\({}_{n-1}\mathrm{C}_{k}\)
\(=\)
\({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
①
\({}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}\): 한 줄 위의 왼쪽 위 수
\(+\)
②
\({}_{n-1}\mathrm{C}_{k}\): 한 줄 위의 오른쪽 위 수
\(=\)
③
\({}_n\mathrm{C}_k\): 그 바로 아래의 수
공식을 말로 읽으면
①
\({}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}\): 한 줄 위의 왼쪽 위 수
와
②
\({}_{n-1}\mathrm{C}_{k}\): 한 줄 위의 오른쪽 위 수
를 더하면
③
\({}_n\mathrm{C}_k\): 그 바로 아래의 수
가 됩니다.
간단한 예
\(n = 3\)인 줄의 3과 3을 더하면 \(n = 4\)인 줄의 6이 됩니다
왼쪽 위의 \({}_3\mathrm{C}_1 = 3\)
\(+\)
오른쪽 위의 \({}_3\mathrm{C}_2 = 3\)
\(=\)
바로 아래의 \({}_4\mathrm{C}_2 = 6\)
\({}_{3}\mathrm{C}_{1} + {}_{3}\mathrm{C}_{2} = 3 + 3 = 6 = {}_{4}\mathrm{C}_{2}\)
이해의 핵심
이항계수를 위의 줄부터 차례로 삼각형 모양으로 늘어놓은 것이 파스칼의 삼각형입니다. 각 줄의 양 끝은 1이고, 안쪽의 수는 바로 위에 있는 두 수(왼쪽 위와 오른쪽 위)의 합입니다. 계승을 쓰지 않고 덧셈만으로 계수를 만들 수 있습니다.
이 덧셈이 성립하는 이유도 고르는 방법으로 설명할 수 있습니다. \(n\)개에서 \(k\)개를 고를 때 특정한 하나에 주목하면, 그것을 고르는 경우(나머지 \((n-1)\)개에서 \((k-1)\)개를 더 고름)와 고르지 않는 경우(나머지 \((n-1)\)개에서 \(k\)개를 모두 고름)로 나뉩니다. 이 두 경우가 바로 위의 두 수입니다.
각 줄의 수를 모두 더하면 \(2^n\)이 됩니다(\(n = 4\)인 줄: \(1+4+6+4+1 = 16 = 2^4\)). 이것은 이항정리에서 \(a = b = 1\)로 놓은 식 그 자체입니다.
이항정리는 \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_k a^{n-k} b^{k}\), 즉 ‘전개했을 때 \(a^{n-k}b^{k}\)의 계수는 \({}_n\mathrm{C}_k\)가 된다’는 정리입니다. 한 항만 알고 싶을 때는 일반항 \({}_n\mathrm{C}_k a^{n-k} b^{k}\)을 쓰고, \(x\)의 지수로 \(k\)를 정합니다. 계수의 나열은 파스칼의 삼각형의 \(n\)번째 줄과 같습니다.
용어·기호 해설
기호
| \({}_n\mathrm{C}_k\) | 엔 시 케이 | \(n\)개에서 \(k\)개를 고르는 방법의 수(조합의 수)입니다. 이항정리에서는 전개했을 때의 계수가 되므로 이항계수라고도 합니다. \(\mathrm{C}\)는 combination(조합)의 첫 글자입니다. \(\binom{n}{k}\), nCk, C(n, k)로 쓰기도 합니다. |
| \(n!\) | 엔 팩토리얼 | 1부터 \(n\)까지의 정수를 모두 곱한 것입니다(\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)). 느낌표처럼 생겼지만 놀랐다는 뜻이 아니라 ‘계승’을 나타내는 수학 기호입니다. 정의에 따라 \(0! = 1\)로 합니다. |
| \(a,\ b\) | 에이, 비 | 이항정리에서 괄호 안에 들어가는 두 항입니다. ‘이항’은 이 두 항을 말합니다. 정해진 것을 나타낼 때는 알파벳 앞쪽의 문자 \(a,\ b,\ c\)를 쓰는 관례가 있습니다. |
| \(n\) | 엔 | 같은 괄호를 몇 개 곱하는지 나타내는 수(지수)입니다. 횟수나 개수를 나타내는 문자로는 number(수)의 첫 글자 \(n\)을 자주 씁니다. 이 페이지에서는 0 이상 12 이하의 정수입니다. |
| \(k\) | 케이 | ‘\(b\)를 몇 개 골랐는가’를 나타내는 번호로, 0부터 \(n\)까지 움직입니다. \(k = 0\)인 항이 제1항이므로 ‘제\((k+1)\)항’이라는 말을 씁니다. 정수의 번호에는 \(k\)를 흔히 씁니다. |
| \(\displaystyle\sum\) | 시그마 | ‘모두 더한다’를 나타내는 기호입니다. 그리스 문자 대문자 시그마로, 영어 Sum(합계)의 첫 글자 S에 해당합니다. \(\sum_{k=0}^{n}\)은 ‘\(k\)를 0부터 \(n\)까지 바꾸며 뒤의 식을 모두 더한다’는 뜻입니다. |
| \(T_{k+1}\) | 티 케이 플러스 일 | 전개한 식을 내림차순으로 정리했을 때 앞에서부터 \((k+1)\)번째 항입니다. \(T\)는 term(항)의 첫 글자입니다. 일반항이라고 합니다. |
| \(A,\ B\) | 에이, 비(대문자) | 이 계산기의 입력란에서 쓰는 문자입니다. \((Ax+B)^n\)의 \(A\)는 \(x\)에 곱해진 계수, \(B\)는 \(x\)가 붙지 않은 상수항입니다. 이항정리의 \(a\), \(b\)에 대응시키면 \(a = Ax\), \(b = B\)가 됩니다. |
| \(x\) | 엑스 | 값이 정해지지 않은 문자(변수)입니다. 이 계산기는 \((Ax+B)^n\) 꼴의 식을 전개하므로 답은 \(x\)에 대한 다항식이 됩니다. |
용어
| 이항정리 | \((a+b)^n\)을 전개했을 때 각 항의 계수가 조합의 수 \({}_n\mathrm{C}_k\)가 된다는 정리입니다. 고등학교 ‘확률과 통계’에서 배웁니다. |
| 이항계수 | 이항정리에 나오는 계수 \({}_n\mathrm{C}_k\)입니다. 조합의 수와 같은 것이지만, 전개식의 계수라는 역할에 주목할 때 이렇게 부릅니다. |
| 조합 | 여러 개 가운데에서 순서를 생각하지 않고 몇 개를 고르는 방법입니다. \(n\)개에서 \(k\)개를 고르는 방법의 수를 \({}_n\mathrm{C}_k\)로 씁니다. 순서까지 구별하는 ‘순열’과 달리, 고른 구성이 같으면 1가지로 셉니다. |
| 계승 | 1부터 그 수까지의 정수를 모두 곱한 것으로, 팩토리얼이라고도 합니다. \(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)입니다. 조합의 수를 계산할 때 씁니다. |
| 일반항 | 전개한 식의 ‘\(k\)번째는 이런 꼴이 된다’를 하나로 나타낸 항입니다. 이항정리에서는 제\((k+1)\)항 \({}_n\mathrm{C}_k a^{n-k} b^{k}\)이 일반항입니다. 한 항만 구하고 싶을 때는 여기에 값을 넣습니다. |
| 전개 | 괄호가 있는 식을 계산해 괄호가 없는 덧셈·뺄셈의 꼴로 고치는 것입니다. 인수분해와 정반대의 계산입니다. |
| 내림차순 | 식의 항을 문자의 차수가 큰 것부터 차례로 늘어놓는 방법입니다. \(x^3 + 2x^2 - x + 5\)처럼 정리합니다. 답은 보통 이 순서로 씁니다. |
| 파스칼의 삼각형 | 이항계수를 줄마다 삼각형 모양으로 늘어놓은 것입니다. 양 끝은 1이고, 안쪽의 수는 위의 줄에서 이웃한 두 수의 합입니다. 프랑스의 수학자 블레즈 파스칼의 이름이 붙어 있지만, 중국에서는 파스칼보다 수백 년 앞서 알려져 ‘양휘의 삼각형’이라 불렸고 페르시아와 인도에서도 일찍부터 알려져 있었습니다. |
| 다항식 | \(2x^3 - x + 5\)처럼 \(x\)의 거듭제곱에 계수를 곱한 항을 더한 식입니다. 이항정리로 전개한 결과도 다항식입니다. |
| 항 | 식을 덧셈·뺄셈의 경계로 나눈 하나하나의 덩어리입니다. \(x^3 - 2x + 3\)의 항은 \(x^3\), \(-2x\), \(3\)의 3개입니다. |
| 계수 | 문자 앞에 붙어 있는 수입니다. \(3x^2\)에서 3이 계수입니다. \(x^2\)처럼 수가 쓰여 있지 않은 항의 계수는 1로 봅니다. |
| 지수 | \(x^3\)의 오른쪽 위에 작게 쓰는 3입니다. 같은 것을 곱하는 횟수를 나타냅니다(\(x^3 = x \times x \times x\)). |
| 상수항 | \(x^2 + 3x + 5\)의 5처럼 \(x\)를 포함하지 않는 ‘숫자만 있는 항’입니다. 이 계산기에서는 괄호 안의 \(B\)와 전개한 식의 마지막 항이 상수항에 해당합니다. |
| 이항분포 | 같은 시행을 \(n\)번 되풀이할 때 성공이 \(k\)번 일어날 확률의 분포입니다. 그 확률 \({}_n\mathrm{C}_k p^{k}(1-p)^{n-k}\)은 \((p + (1-p))^n\)을 이항정리로 전개한 각 항 그 자체입니다. 이름의 ‘이항’도 이항정리에서 왔습니다. |
| 일반화된 이항정리 | 지수가 분수나 음수일 때도 쓸 수 있도록 넓힌 이항정리입니다. 항이 끝없이 이어지는 식(무한급수)이 됩니다. 이 계산기가 다루는 것은 지수가 0 이상의 정수인 경우뿐입니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘뜻을 이해하고’ 쓸 수 있도록, 미리 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
막히면 이 표의 내용으로 돌아가 복습하는 것이 지름길입니다.
| 다항식의 곱셈과 곱셈 공식(중학교 3학년, 14~15세) |
|
| 거듭제곱과 지수법칙(중학교 1~2학년, 12~14세) |
|
| 정수와 유리수의 계산(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 조합과 계승(고등학교, 15~18세) |
|
| 합의 기호 ∑(고등학교 2학년, 16~17세) |
|
| 분수의 계산(초등학교 5학년~중학교 1학년, 10~13세) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
이항정리로 전개한 각 항의 계수를 구하는 표
| x의 계수 A | 2 |
| 상수항 B | 3 |
| 지수 n | 5 |
| k=0인 항의 계수(x의 n−0제곱) | =IFERROR(COMBIN($B$3,0)*$B$1^($B$3-0)*$B$2^0,0) |
| k=1인 항의 계수(x의 n−1제곱) | =IFERROR(COMBIN($B$3,1)*$B$1^($B$3-1)*$B$2^1,0) |
| k=2인 항의 계수(x의 n−2제곱) | =IFERROR(COMBIN($B$3,2)*$B$1^($B$3-2)*$B$2^2,0) |
| k=3인 항의 계수(x의 n−3제곱) | =IFERROR(COMBIN($B$3,3)*$B$1^($B$3-3)*$B$2^3,0) |
| k=4인 항의 계수(x의 n−4제곱) | =IFERROR(COMBIN($B$3,4)*$B$1^($B$3-4)*$B$2^4,0) |
| k=5인 항의 계수(x의 n−5제곱) | =IFERROR(COMBIN($B$3,5)*$B$1^($B$3-5)*$B$2^5,0) |
| k=6인 항의 계수(x의 n−6제곱) | =IFERROR(COMBIN($B$3,6)*$B$1^($B$3-6)*$B$2^6,0) |
일반항(제(k+1)항)의 계수를 구하는 표
| x의 계수 A | 2 |
| 상수항 B | 3 |
| 지수 n | 5 |
| 항의 번호(앞에서부터) | 3 |
| k(번호에서 1을 뺀 수) | =B4-1 |
| x의 지수(n−k) | =B3-B5 |
| 이항계수 nCk | =COMBIN(B3,B5) |
| 그 항의 계수 | =B7*B1^B6*B2^B5 |
이항계수(조합의 수)를 구하는 표
| n | 5 |
| k | 2 |
| 이항계수 nCk | =COMBIN(B1,B2) |
| 계승의 식으로 확인 | =FACT(B1)/(FACT(B2)*FACT(B1-B2)) |
파스칼의 삼각형을 만드는 표
| n = 0인 줄 | 1 | |||||
| n = 1인 줄 | 1 | 1 | ||||
| n = 2인 줄 | 1 | =B2+C2 | 1 | |||
| n = 3인 줄 | 1 | =B3+C3 | =C3+D3 | 1 | ||
| n = 4인 줄 | 1 | =B4+C4 | =C4+D4 | =D4+E4 | 1 | |
| n = 5인 줄 | 1 | =B5+C5 | =C5+D5 | =D5+E5 | =E5+F5 | 1 |
붙여 넣으면 위쪽 행(A, B, n 등)이 입력란이 되고, 아래쪽 행은 자동으로 계산된 결과가 됩니다.
COMBIN(n, k)는 이항계수 nCk, FACT(n)은 n의 계승, ‘^’는 거듭제곱의 기호입니다.
첫 번째 표는 (2x+3)⁵을 전개하는 예로, k=0부터 차례로 32, 240, 720, 1080, 810, 243이 표시됩니다(k인 행은 x의 n−k제곱의 계수입니다). A, B, n을 바꾸면 자신의 식의 계수가 나옵니다. n이 6보다 작으면 없는 항의 행은 0이 됩니다(IFERROR로 0으로 바꿉니다). n이 7 이상이면 마지막 행을 아래로 복사하고 식 안의 6을 7, 8, …로 바꿔 주세요.
두 번째 표는 ‘제3항만’ 구하는 예로, k는 2, x의 지수는 3, 이항계수는 10, 그 항의 계수는 720입니다.
세 번째 표는 5개에서 2개를 고르는 방법의 수로, 두 식 모두 10이 됩니다.
네 번째 표는 양 끝의 1만 직접 입력하고, 안쪽의 수는 바로 위의 두 칸을 더하는 식입니다. n = 5인 줄은 1, 5, 10, 10, 5, 1이 됩니다.
COMBIN(n, k)는 이항계수 nCk, FACT(n)은 n의 계승, ‘^’는 거듭제곱의 기호입니다.
첫 번째 표는 (2x+3)⁵을 전개하는 예로, k=0부터 차례로 32, 240, 720, 1080, 810, 243이 표시됩니다(k인 행은 x의 n−k제곱의 계수입니다). A, B, n을 바꾸면 자신의 식의 계수가 나옵니다. n이 6보다 작으면 없는 항의 행은 0이 됩니다(IFERROR로 0으로 바꿉니다). n이 7 이상이면 마지막 행을 아래로 복사하고 식 안의 6을 7, 8, …로 바꿔 주세요.
두 번째 표는 ‘제3항만’ 구하는 예로, k는 2, x의 지수는 3, 이항계수는 10, 그 항의 계수는 720입니다.
세 번째 표는 5개에서 2개를 고르는 방법의 수로, 두 식 모두 10이 됩니다.
네 번째 표는 양 끝의 1만 직접 입력하고, 안쪽의 수는 바로 위의 두 칸을 더하는 식입니다. n = 5인 줄은 1, 5, 10, 10, 5, 1이 됩니다.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
이항정리로 전개한 각 항의 계수를 구하는 표
| x의 계수 A | 2 |
| 상수항 B | 3 |
| 지수 n | 5 |
| k=0인 항의 계수(x의 n−0제곱) | =IFERROR(COMBIN($B$3,0)*$B$1^($B$3-0)*$B$2^0,0) |
| k=1인 항의 계수(x의 n−1제곱) | =IFERROR(COMBIN($B$3,1)*$B$1^($B$3-1)*$B$2^1,0) |
| k=2인 항의 계수(x의 n−2제곱) | =IFERROR(COMBIN($B$3,2)*$B$1^($B$3-2)*$B$2^2,0) |
| k=3인 항의 계수(x의 n−3제곱) | =IFERROR(COMBIN($B$3,3)*$B$1^($B$3-3)*$B$2^3,0) |
| k=4인 항의 계수(x의 n−4제곱) | =IFERROR(COMBIN($B$3,4)*$B$1^($B$3-4)*$B$2^4,0) |
| k=5인 항의 계수(x의 n−5제곱) | =IFERROR(COMBIN($B$3,5)*$B$1^($B$3-5)*$B$2^5,0) |
| k=6인 항의 계수(x의 n−6제곱) | =IFERROR(COMBIN($B$3,6)*$B$1^($B$3-6)*$B$2^6,0) |
일반항(제(k+1)항)의 계수를 구하는 표
| x의 계수 A | 2 |
| 상수항 B | 3 |
| 지수 n | 5 |
| 항의 번호(앞에서부터) | 3 |
| k(번호에서 1을 뺀 수) | =B4-1 |
| x의 지수(n−k) | =B3-B5 |
| 이항계수 nCk | =COMBIN(B3,B5) |
| 그 항의 계수 | =B7*B1^B6*B2^B5 |
이항계수(조합의 수)를 구하는 표
| n | 5 |
| k | 2 |
| 이항계수 nCk | =COMBIN(B1,B2) |
| 계승의 식으로 확인 | =FACT(B1)/(FACT(B2)*FACT(B1-B2)) |
파스칼의 삼각형을 만드는 표
| n = 0인 줄 | 1 | |||||
| n = 1인 줄 | 1 | 1 | ||||
| n = 2인 줄 | 1 | =B2+C2 | 1 | |||
| n = 3인 줄 | 1 | =B3+C3 | =C3+D3 | 1 | ||
| n = 4인 줄 | 1 | =B4+C4 | =C4+D4 | =D4+E4 | 1 | |
| n = 5인 줄 | 1 | =B5+C5 | =C5+D5 | =D5+E5 | =E5+F5 | 1 |
Excel과 같은 수식을 그대로 쓸 수 있습니다(Google 스프레드시트에도 COMBIN, FACT가 같은 이름으로 있습니다). 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, A, B, n을 자신의 수치로 고쳐 써 주세요.
Python으로 계산하는 방법
from fractions import Fraction
from math import comb
# (Ax + B)의 n제곱을 전개합니다(3/4 같은 분수는 Fraction(3, 4)로 쓸 수 있습니다)
coef_x = Fraction(2) # x의 계수 A
const = Fraction(3) # 상수항 B
power = 5 # 지수 n
# k는 0부터 n까지. x의 지수는 n - k, 계수는 nCk × A^(n-k) × B^k
for k in range(power + 1):
exponent = power - k
coefficient = comb(power, k) * coef_x ** exponent * const ** k
print(f"x^{exponent}의 계수: {coefficient}")
# x^3의 계수만 구합니다(k = n - 3)
target = 3
k = power - target
coefficient = comb(power, k) * coef_x ** target * const ** k
print(f"이항계수: {comb(power, k)}")
print(f"x^{target}의 계수: {coefficient}")
표준 라이브러리의 math.comb가 이항계수 nCk를, fractions.Fraction이 분수 그대로의 정확한 계산을 맡습니다(math.comb는 Python 3.8 이상에서 쓸 수 있습니다). 이 예는 (2x+3)⁵을 전개하는 것으로, 실행하면 계수가 32, 240, 720, 1080, 810, 243 순으로 나오고 마지막에 x³의 계수 720이 표시됩니다. A, B, n을 고쳐 쓰고 실행해 주세요.
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
이항정리
(a+b)ⁿ = ₙC₀aⁿ + ₙC₁aⁿ⁻¹b + ⋯ + ₙCₙbⁿ
(a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} {}_{n}\mathrm{C}_{k}\, a^{n-k} b^{k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
<mo>=</mo>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts>
<msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup>
<msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup>
</mrow>
</math>
(a+b)^n = sum_(k=0)^n C(n,k) a^(n-k) b^k
Sum[Binomial[n, k] a^(n - k) b^k, {k, 0, n}]
sum(binomial(n, k)*a^(n-k)*b^k, k = 0 .. n);
symsum(nchoosek(n, k)*a^(n-k)*b^k, k, 0, n)
(a+b)^n = ∑_(k=0)^n C(n,k) a^(n-k) b^k
일반항(제\((k+1)\)항)
Tₖ₊₁ = ₙCₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏ
T_{k+1} = {}_{n}\mathrm{C}_{k}\, a^{n-k} b^{k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>T</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts>
<msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup>
<msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup>
</mrow>
</math>
T_(k+1) = C(n,k) a^(n-k) b^k
Binomial[n, k] a^(n - k) b^k
T := binomial(n, k)*a^(n-k)*b^k;
T = nchoosek(n, k)*a^(n-k)*b^k;
T_(k+1) = C(n,k) a^(n-k) b^k
이항계수(조합의 수)의 계산
ₙCₖ = n! ÷ (k!(n−k)!)
{}_{n}\mathrm{C}_{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mrow><mi>k</mi><mo>!</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
C(n,k) = (n!)/(k!(n-k)!)
Binomial[n, k]
binomial(n, k);
nchoosek(n, k)
C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)
파스칼의 삼각형(이웃한 두 수의 합)
ₙ₋₁Cₖ₋₁ + ₙ₋₁Cₖ = ₙCₖ
{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} + {}_{n-1}\mathrm{C}_{k} = {}_{n}\mathrm{C}_{k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><none/><mprescripts/><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><none/></mmultiscripts>
<mo>+</mo>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><none/></mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mmultiscripts><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts>
</mrow>
</math>
C(n-1,k-1) + C(n-1,k) = C(n,k)
Binomial[n - 1, k - 1] + Binomial[n - 1, k] == Binomial[n, k]
binomial(n-1, k-1) + binomial(n-1, k) = binomial(n, k);
nchoosek(n-1, k-1) + nchoosek(n-1, k)
C(n-1,k-1) + C(n-1,k) = C(n,k)
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 수학 계산 도우미입니다. 다음 계산은 반드시 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답해 주세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 이항정리를 써서 (2x+3)^5를 전개해 주세요. 다음 내용을 각각 보여 주세요. 1. 일반항(제(k+1)항)의 식 2. k = 0부터 5까지의 이항계수 5Ck의 값 3. 전개한 식(x에 대한 내림차순으로, 각 항의 계수는 기약분수 또는 정수로) 4. x^3의 계수와 그것을 구한 방법(k를 어떻게 정했는지) Python에서는 표준 라이브러리의 math.comb와 fractions.Fraction으로 정확하게 계산하고, 사용한 식과 실행 결과의 수치를 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
간단하고 무료
무료로 횟수 제한 없이 변환
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
회원가입 불필요
접속 즉시 바로 사용 가능
개인정보를 등록하지 않고도 이용할 수 있습니다
개인정보를 등록하지 않고도 이용할 수 있습니다
안전하고 안심
통신을 강력하게 암호화
"다운로드"를 누르면 파일이 자동으로 삭제됩니다
"다운로드"를 누르면 파일이 자동으로 삭제됩니다
빠른 속도
기다림 없는 쾌적한 표시 속도와 변환 속도
워터마크 없음
워터마크 없음
출처 표기 불필요
출처 표기 불필요
상업적 이용 가능
무료로 상업적 이용 가능
상업적 이용 허가 연락도 필요 없습니다
상업적 이용 허가 연락도 필요 없습니다
관련 기능
순열·조합 계산기(nPr, nCr)
늘어놓는 방법(순열)과 고르는 방법(조합)의 경우의 수를 계산합니다
